保守力势能
势能函数与保守力的关系
势能函数与保守力的关系势能函数与保守力的关系势能函数和保守力是两个重要的物理概念，它们之间有着密切的关系。
势能函数描述了物体所处的位置的势能大小，而保守力则是指一类物理力，其做功与物体所经过的路径无关。
在本文中，我们将探讨势能函数与保守力之间的关系。
首先，我们需要了解什么是势能函数。
如果一个物体在场中的位置发生了变化，那么它的势能也会发生变化。
在一定条件下，物体的势能与位置之间存在一种确定的数学关系，这种关系就是势能函数。
在物理中，势能函数常常用U(x)来表示，其中X是物体的位置。
其次，我们需要明白什么是保守力。
保守力是指其做功与路径无关的力，也就是说，无论物体经历了怎样的路径，保守力所做的功都是相同的。
在物理中，保守力常常被描述为一类势力，它们的势能变化与位置之间存在确定的数学关系。
接着，我们来看一下势能函数与保守力之间的关系。
势能函数与保守力之间存在着一种紧密的联系，也就是说，如果一个力是保守力，那么它所描述的势能函数一定存在。
反之亦然，如果一个势能函数存在，那么它所描述的力一定是保守力。
这是因为在物理中，只有保守力才能描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明描述这种情形的力是保守力。
此外，我们还需要了解，保守力的势能函数在很多方面都是唯一的。
也就是说，对于一个特定的保守力，存在着唯一一个势能函数可以描述它，并且这个势能函数的形式是确定的。
这是由保守力的基本特性所决定的。
总结一下，势能函数与保守力之间存在着密切的关系。
保守力可以描述为一类势力，保守力的存在必然导致势能函数的存在。
同样的，势能函数的存在也必然说明所描述的力是保守力。
在大多数情况下，保守力的势能函数都是唯一的，这是由保守力的基本特性所决定的。
深入了解势能函数与保守力之间的关系有助于我们更好地理解物理学的基本概念，进一步提高我们的学术水平。
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
大学物理-保守力和势能
e rdr dr co srdr
Wa bG r2M d rm GM (r1 a m r1 b)
But if M~m, what is the work?
Example: 质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作
用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。
When only gravitation does work:
(1) Near the earth’s surface 质点高度变化不大:
12m2vmgz常数
(2) High above the earth’s surface 质点高度变化很大:
1 2m2vmg2/R r常数
When only elastic force does work: 弹性力场:
m
m
体作质功心G 占系主里m mm要，M M 内 地(力位1a的。b1)功与质量成r1反0比Mm 。m 对a,小r1' 质M 量m 物mb
引力的功只m与M物1体1系统的初始和最终相对位置 有W 关2，G 与路M m 径无M关(a。b)
W 1W 2Gm(a 1M b 1)W W1/W2m/M
Case study 2: Work done by elastic forces
Work done by a conservative force 保守力的功：
(1) Reversible, “work” can be stored in a “BANK”;
(2) Independent of the path of the body;
(3) Zero work for closed path.
ba acbW0 elastriccefo dko wo
保守力和势能
一对力所作的总功的只取决于两质点的相对运动；
一对力做功的代数和与参考系的选择无关；
5
什么条件下, 一对内力做功为零?
v
m
M
f
s s
C
f
v
N
C
N
Af Af 0
作用点无相对位移
AN AN 0
相互作用力与相对位移垂直
6
功的大小与参照系有关
功的单位为焦耳 功率(power) 功率：单位时间内力对物体所作的功 平均功率
yb ya
W mgdy mg( yb ya ) mg( ya yb )
重力是保守力。重力的功等于重力势能增量 的负值。重力势能以地面为零势能点。
y dy a p o
12
dr dx
W mg( yb ya ) ＝－EP 为势能增量
dr
b
EP mgdy mg(0 y) mgy
P
C
y
R
.
o
m
F
解：
F F0 xi F0 yj
r
x
0
dr dxi dyj
2R
r xi yj
2 A F d r F0 x d x F0 y d y 2F0 R
0 0
8
练习2 如图 M =2kg , k =200N m , s = 0.2m , g ≈ 10ms
功(work)
力对空间累积
中学知识恒力作功
F
a
F
A F s cos F s
s
s
ds
dr
保守力与非保守力及势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数：
(1) 重力势能：
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力，其势能函数为何不同？它们
有何内在关系？ 3. 若选地表为万有引力势能零点，则 引力势能表达式如何？
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能： E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能：
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则：
质点在保守力场中的势能
dEp dx
y,z
E p x
同一可得：
Fy
E p y
,
Fz
E p z
于是：
F
Fxi
Fy j
Fzk
i
E p z
j
E
p
z
k
E
p
z
i
z
j
z
k
z
E
p
r
Ek
1 mv2 2
k 2r
F
（2） Er
r
kr0 r2
dr
r
k r2
dr
k r
质点在保守力场中 的势能
一、质点在保守力场中的势能
A重 (mgy2 mgy1)
A弹
( 1 2
k x2 2
1 2
kx12 )
A引
[(G
Mm ) r2
(G
Mm r1
)]
保守力作功可以表示为由质点的位置决定的某种
潜在能量（势能）的减少。
b
a F dr Epa Epb
E p
四、势能曲线
Ep
o
r
Ep
o
y
重力势能曲线
Ep 引力势能曲线
o
x
弹性势能曲线
例1、一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比 力 F=-k/r2 的作用下作半径为 r 的圆周运动，求 （1）此质点的动能。（2）如取距圆心无穷远 处为势能零点，求它的势能。
保守力与势能
内容摘要详细介绍保守力的特定性质证明以及常见的保守力种类。
定义势能函数，论证了几种常见势能的计算方法。
保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
关键词：保守力势能势能零点平衡AbstractDetailed introduction of specific properties conservative force proof and common conservative force types. The nature of the potential energy of physical meaning of a deep elaborated, demonstrates the potential of common calculation methodsKey words:Conservative force Potential energy Potential energy zero Balance内容摘要引言 (1)1.保守力 (2)1.1保守力的定义 (2)1.2保守力的性质 (2)1.3保守力的证明 (2)2.势能 (3)2.1势能的定义 (3)2.2势能的性质 (4)2.3势能零点 (5)2.4物体在势能场中的平衡 (7)3.几种常见势能的计算 (7)3.1引力势能 (7)3.2重力势能 (8)3.3弹性势能 (9)3.4电势能 (9)3.5分子势能 (10)4.结束语 (12)5.参考文献 (13)6.致谢 (14)引言保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
动量与角动量比较 保守力和势能 质点系的三个运动定理
= (42 . 2 − 29 . 8 ) × 10 3 = 12 .4 × 10 3 ms −1
（c）考虑地球对物体的引力
1 2 GM e m 1 1 2 mv3 − mv2 = mvr2− e 2 2 2 Re
2GM e v2 = = 11.2ms −1 Re
v 32 = v 22 + v r2− e
相对太阳的初速度
（b）考虑地球绕太阳运动 公转速度为 ve − s = 29.8 × 103 ms−1
r ve− s
r v r −e
r r r r r vr−e = vr−s + vs−e = vr −s − ve−s
设物体相对地球的初速度与地球相对太 阳运动速度方向一致，则
Rse
vr−e = vr−s − ve−s
A = −∫
x2 x1
x1 x x2 x
1 1 2 2 kx d x = kx 1 − kx 2 2 2
弹力作功只与始末位置有关。
万有引力作功 r r Mm r r dA = f ⋅ dr = −G 3 r ⋅ dr r
A
r r r r ⋅ dr = r dr cos α = rdr r 注意： dr ≠ dr
动量与角动量的比较
力:
动量 动量定理
t2
r F r r p = mv
力矩:
角动量
r r ∫ F外 d t = ∆ P
t1
r r dp F = dt
r r d L M = 角动量定理 dt
t2
r r r M =r×F r r L = r ×P
对固定点
r r ∫ M外dt = ∆L
t1
与内力无关 角动量守恒
1 1 2 A = kx 1 − kx 弹力作功 2 2 ⎛ Gm 1 m 2 ⎞ ⎟− 万有引力作功 A = ⎜ − ⎜ ⎟ r1 ⎝ ⎠
保守力和势能
xB kxdx
xA
1 2
k xA2
1 2
k xB2
F
l0 o xA xB X
弹力的功与过程无关，只与起始位置和终点位置有关。
• 保守力的数学表达式 L f 保 d r 0
证明
回路L = L1+ L2
b
a
f 保 dr f 保 dr f 保 dr
L
a
b
L1
L2
L1
b
b
f 保 dr f 保 dr 0
Fz
dEp dz
( dEp dx
i
dEp
dy
j
dEp
dz
k ) Ep
微分关系 F Ep
(b)
∫ a点势能 EPa= W保ab=
（1）万有引力势能 Wab G
Mm rb
F保·dr
(a) G
Mm ra
=
EPa－EPb
rb→∞ 势能零点
Mm
Mm
EPa
G
ra
r2
dr G
ra
Mm
EP引 G r
3.2 势 能 Ep
(2) 重力势能 EP重 = mgh
h相对势能零点的高度。
(3) 弹性势能
a
a
L1
L2
a·
·b
L2
• 保守力沿任意闭合回路的功 ≡ 0
L
• 非保守力沿任意闭合回路的功一般 ≠ 0
L f 非保 d r 0
3.2 势 能 Ep
EP引
W保ab=
b
a F保 d r ?
= EPa－Epob = －ΔEP
r
W保ab=－ΔEP
保守力的功 = 系统势能减少或增量的负值。
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
由势能求保守力守恒定律
Aext Aint,cons Aint,ncons EkB EkA
Aint,cons EpA EpB Aext Aint,ncons EB EA
1、系统的功能原理 当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的
增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个 结论叫做系统的功能原理。
f
A
1 2
mv02 (e2
1)
m 证明一：由动能定理得
v
v0 No
A
1 2
mv2
1 2
mv02
由牛顿定律 法向力：N m v2
R
切向力： f N m dv
dt
两式联立： v2 dv dv d dv v dv R dt d dt d R d
dv v d
v
dv
d
v v0
0
守力的大小和方向。
B B
φF
AAB
F dl
A
F cosdl
A
(EpB EpA) Ep
d A Fl d l dEp
●
A dl
●
Fl B
Fl
d Ep dl
l
保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的
导数的负值。
例如：
引力沿r方向的投影：Fr
d dr
( Gm1m2 ) r
Gm1m2 r2
B A Fi drC
B A Fi
dri
'
i
i
i
B
A fij drC
ji
i
B A
fij
dr
' i
ji
B
( A B
( A
保守力做功与势能
3-2 保守力做功与势能
3.2.3 由势能函数确定保守力场
1. 积分关系
2. 微分关系
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
E p x
dx
E p y
dy
E p z
dz
第3章 机械能和功
mg mgk , dr dxk) mgdz
可得物体沿acd路径从a点移动到b点时重力做的总功
A mg dr acb
mg
z2 z1
dz
mgz1
mgz2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例2 设一劲度系数为k的轻弹簧放在光滑水平桌面上， 一端固定，另一端连接到质量为m的质点上。计算当 质点由a点运动到b点的过程中弹性力所做的功。
质点沿BDA从B回到A点，引力作功为:
B
ABDA
GMm ra
GMm rb
rb
质点沿ACBDA封闭路径
一周，引力作功为 ：
AACBDA F dr
Mo r
ra
F dr
C
D
ACBDA
A
F dr F dr
ACB
BDA
0 AACB ABDA
AACBDA F dr 0
ACBDA
第3章 机械能和功
说 明
1.势能是相互作用有保守力的系统的属性。 2.势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。 势能零点可以任意选取。
设的空势间能为r0：点为势能零点，则空间任意一点 r
空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势 能零点时保守力作的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例3 轻弹簧原长l0，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 重物。已知弹簧挂重物后在O点达到平衡，此时弹簧伸 长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位 置，(2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势 能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总 势能。
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】本文将探讨物理学中的保守力和势能的概念。
在我们将介绍保守力和势能的基本概念。
接着，在我们将解释保守力的定义、势能的概念、保守力和势能之间的关系、不同类型的势能以及保守力和非保守力的区别。
在我们将探讨保守力和势能的重要性，它们在物理学中的应用以及研究它们的意义。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解保守力和势能在物理学中的重要性，以及它们对于理解物体运动和相互作用的作用。
【关键词】保守力、势能、物理学、定义、关系、种类、区别、重要性、应用、研究、意义。
1. 引言1.1 物理学中的保守力和势能概念物理学中的保守力和势能概念是指在物体运动过程中存在的一种重要物理现象。
保守力是指只与路径无关的力，即在物体沿着闭合路径作用力时所做的功为零的力。
而势能则是描述物体在受到保守力作用时所具有的能量状态。
保守力和势能之间存在着密切的关系，它们是描述物体运动的重要概念。
保守力和非保守力的区别在于前者所做的功只与初末位置有关，而后者所做的功与路径有关。
保守力和势能在物理学中具有重要的作用，它们能够描述物体的运动规律，并为我们理解自然界提供了重要的依据。
在物理学中，研究保守力和势能的重要性不言而喻。
它们的应用涵盖了多个领域，如力学、热力学等。
对保守力和势能进行深入研究有助于我们更好地理解物理世界，推动科学技术的发展。
保守力和势能的研究具有重要的意义，将为我们带来更多的探索和发现。
2. 正文2.1 保守力的定义保守力是指对物体做功与物体路径无关的力，即沿任意闭合路径对物体作用的保守力所做的功为零。
这意味着保守力是一种和路径无关的力，只与物体的起始位置和终止位置有关。
在物理学中，保守力的定义是指只有静力场才是保守场，即保守力是一种具有势能的力。
势能是指物体由于位置而具有的能量，是力的势能可以表示为能够做功的能量。
保守力的一个重要特征是它可以通过梯度形式的势能函数来描述，即保守力的大小等于势能函数的负梯度。
2.3 保守力、非保守力和势能
m'm
dW F dr G r3 r dr
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
（3）万有引力作功
说明：r
dr
r
dr
cos
rdr
m'm
m' m
dW F dr G
r3
r dr G
r2
dr
m 由A 点移动到B点时F作功为
W
dw
rB
rA
G
m' m r2
dr
m
A
r (t)
保守力、非保守力 和势能
一、几种常见力作功的特点
（1）弹性力作功
F kxi
dW
F
dx
kxi dxi
o
kxdx
F
x
xA xB
W
dw
xB kxdx
xA
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（2）重力作 功
P mgk
dr
dxi
dyj
dzk
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
(mgz B mgz A )
z
zA A
zB
mg
B
o
y
x
功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .
（3）万有引力作功
以
m' 为参考系，m
的位置矢量为 r
.
m'对 m 的万有引力为
F
G
m' m r3
4_4保守力与非保守力 势能
三. 保守力
以上通过讨论分析重力、万有引力、弹簧弹性力以及摩擦 力等各种类型力做功的特点，引入保守力与非保守力的概念。
若力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置， 与质点经过的路径无关，具有这种性质的力称为保 守力。（也可称作有势力）. 与保守力相对的称为非保守力：作功与路径有关 的力称为非保守力（nonconservative force） ，或耗散力
对M，内力做功 ：
4 – 4
保守力与非保守力 势能
2. 万有引力作功 Work done by universal gravitation B
AAB f dr
rA
rB
dr
m2
r dr
m1
1 1 Gm1 m 2 ( ) rB rA
Gm Gm m 1m 2 2 1 r dr dr 3 rAr r r2 A
rBr
B
r
f
A
A dA AdA
Gm1 m2 f r 3 r
r dr rdr
可见，万有引力作功与路径无关，只与始末位置有关。
4 – 4 A dA
保守力与非保守力 势能
dA
A dA A dA cos
A
r2
dA cos
AdA
4 – 4
保守力与非保守力 势能
一 力 场：
1. 场力：
F F (r )
质点所受的仅与质点位置有关的力.
例如：静电力，弹簧弹性力等.
2. 力场：存在场力的空间 .
例如：存在均匀电场的空间即为均匀力场.
3. 有心力：质点所受力的作用线总通过某一点，则该力
称为有心力（该点称为力心）. 例如：万有引力，弹簧弹性力等.
3–2 保守力与非保守力做功特点 势能
首页
上页
下页
末页
退出
*五、势能曲线
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线。
E p mgy
Ep
Ep
Ep
1 2
kx
2
Ep G
Ep
O
Mm r
r
y
O
O
x
重力势能线
y 0, E p 0
弹性势能曲线
x 0, E p 0
首页
引力势能曲线
r , Ep 0
上页 下页 末页 退出
2
A
m'm m'm W (G ) (G rB rA
F dr
ACB
F dr
)
ADB
首页 上页 下页 末页 退出
F dr
ACB
F dr
ADB
B
F dr
L
F dr
ACB
下页 末页 退出
( x, y,z )
上页
首页
四、重力势能和引力势能的关系
取坐标如图，取y=h0 处为重力势能零点。h处的重 势能为：
Ep G Mm ( R h0 ) G Mm ( R h)
y h h0 O R
1 1 GMm (R h ) ( R h) 0 GMm
利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保 守力的大小和方向。 当物体受一维保守力作用时
dA dE p
dA F cosdx Fx dx
dE p dx
Fx
保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导 数的负值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
保守力 势能
一，力学中常见力的功
1， 万有引力的功
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=⋅=⋅=⎰⎰
⎰a b r r r r r r b
a
r Mm G r Mm G r Mm
G
dr r Mm G
d r r
Mm G -d A b
a b
a
b
a
2
2)(r
r r F
引力做功与路径无关。
2， 重力的功
)
())((a b h h h h y b
a
y
x
b
a
mgh mgh mgdy dy F dy dx F
F d A b
a
b
a
--=-==
++=
⋅=⎰⎰
⎰⎰j i j i s F
重力做功与路径无关。
3， 弹性力的功
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=-=⋅-=
⋅=⎰
⎰222
21212
1
a b x x x x b
a kx kx kx dx kx dr F A b
a
b
a
i i
弹性力做功与路径无关。
a b
【例】：试证明力做功与路径无关可表述为：⎰=⋅L
d 0r F
证：0=⋅-⋅=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰b
a
b a
a b
L
b a
d d d d d r F r F r F r F r F
二，保守力
由上可见，万有引力、重力、弹性力作功的特点都是与路径无关；
人们将做功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关的这类力叫做保守力。
所以万有引力、重力、弹性力均是常见的保守力。
它们都满足关系
0=⋅⎰L
d r F
保
三，势能
由保守力做功的表达式可以看出：
保守力做功＝某个只与质点位置有关的状态量的改变（负号表示“减少”）。
人们将这个只与位置有关的状态量叫“势能”。
通常用E P 表示。
所以 “保守力做功＝势能的减少”可表示为：
)(Pa Pb P E E E A --=∆-＝保
说明：（1）势能是质点系中相互作用的物体所共有的。
单个质点无势能可言。
（2）只有当保守力作为系统内力并做功时系统方可能有势能。
（3）势能差是绝对的，但势能却是相对的，它依赖于势能零点的选择。
()()[]C E C E E E A Pa Pb Pa Pb +-+-=--)(＝保
其中C 为任意常数，选择得当，可以使E P 的表达式获得最简形式。
一般⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
====-=∞=2
21)()0)()0()()(kx x E x mgy y E y r Mm G r E r P P P 长处（弹性势能零点取弹簧原重力势能零点取地面处处引力势能零点取无穷远
综上所述保守力场中任意一点的势能可表示为：
——物体在保守力场中任意一点的势能等于保守力将它从该点移到零势点所做的功。
四，势能曲线如下：
势能曲线的用途：
1，根据势能曲线可以讨论物体的运动，只有动能为正值时运动才可能发生； 2，利用势能曲线还可以求各个位置保守力
dx
dE F dx F dx F dA dE dA p x x p
-
===-=ϕcos
【例】 一质点在几个力的作用下，沿半径为R 的圆周运动，其中一个力是恒力F=F 0i ，如图所示。
当质点从A 点沿逆时针方向走过四分之三圆周到达B 点时恒力F 所做的功是多少？
解：
⎰⎰⎰-===⋅=-R F dx F Fds d A R
00
0cos θs F
思考：该力是否保守力？
【例】质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为r =Acos ωt i +Bsin ωt j (SI),式中A 、B 、ω都是正常数，试求：
（1）t=0时的速度； （2）t=π/2ω时的速度；
（3）力在t 1=0到t 2=π/2ω这段时间内所做的功。
（4）该力是保守力吗？ 解：
)
(2
1
2121)3(2/)2(0)1(cos sin 222202B A m mv mv A A t B t t B t A dt
d -=-=-====+-==
ωωωπωωωωωi
v j v j i r
v 0
（4）判断该力是否保守力，条件是考察质点运动一周该力做功是否为零。
)(2
121212
22202=-=-===B B m mv mv A B T t ωωj
v
B
【例】竖直悬挂的弹簧振子系由质量为m 、倔强系数为k 的轻弹簧构成。
试求以质点平衡位置为坐标原点和势能零点时，系统势能表达式。
解：取质点、弹簧和地球为系统， 质点平衡处（x=0）： mg kl = 任意位置处（x ） ，质点受合力 kx l x k mg F -=+-=)(
以平衡位置为势能零点，系统势能为
2002
1
)(kx kxdx Fdx x E x x =-==⎰⎰
20
2
02
1)()()()(21
)()(kx x E x E x E mgx
mgdx x E kx klx dx x l k x E G T x G x T =+=-==+=+-=⎰⎰。