高中数学重点知识总结——对数函数及对数函数图象性质知识点总结
数学高三对数图形知识点
数学高三对数图形知识点一、对数函数基础对数函数是高中数学中的重要内容，尤其在高三的复习阶段，掌握对数的概念、性质及其图形特征对于解决相关的数学问题至关重要。
对数函数是由指数函数衍生而来，其定义为：若a^b=c（a>0，a≠1，b，c为实数），则b=log_a c（log表示以a为底c的对数）。
在这一定义中，a被称为对数的底数，c被称为真数，b是结果，即对数。
二、对数函数的图形特征对数函数的图形具有一些独特的特征，这些特征对于理解和应用对数函数非常重要。
首先，对数函数的图像总是位于x轴的上方，且随着底数a的不同，图像的位置和形状会发生变化。
当底数a大于1时，函数是单调增加的；当底数a在0到1之间时，函数是单调减少的。
此外，对数函数的图像总是通过点(1,0)，因为任何数的0次幂都等于1。
三、对数函数的性质对数函数的性质包括了以下几个方面：1. 单调性：如前所述，对数函数的单调性取决于底数a的值。
当a>1时，随着x的增加，函数值y=log_a x也会增加；当0<a<1时，随着x 的增加，函数值y=log_a x会减少。
2. 特殊点：对数函数在x=1处取得最小值，且该最小值为0，即y=log_a 1 = 0。
3. 无限趋近性质：当x趋向于0时，y值趋向于负无穷；当x趋向于正无穷时，y值趋向于正无穷。
这一性质与指数函数相反。
4. 对数运算法则：对数运算有其特定的法则，如log_a (xy) = log_a x + log_a y，log_a (x/y) = log_a x - log_a y，以及log_a (x^p) = p * log_a x等。
四、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在解决涉及指数增长和衰减的问题时，对数函数可以简化计算过程。
此外，在金融、物理、化学等领域，对数函数也是不可或缺的工具。
例如，复利计算、地震强度的量度、酸碱度的测量等都会用到对数函数。
第19讲 对数函数图像及性质
第19讲对数函数图像及性质【知识点梳理】1.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数，它是指数函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数．对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y x =的对称图形，即可获得．同样也分1a >与01a <<两种情况归纳：以2log y x =与12log y x =为例1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤(2)底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)图2-3-3【典型例题】题型一：对数函数的概念【例1】下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a yx =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【题型专练】1.已知函数①4x y =；②log 2x y =；③3log y x =-；④0.2log y =3log 1y x =+；⑥()2log 1y x =+.其中是对数函数的是（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④⑥题型二：对数函数的定义域【例1】函数()ln 1f x -的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【例2】函数y =）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【例3】已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．2⎤⎥⎣⎦D ．⎤⎦【例4】下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（）A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y【例5】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为（）A ．[]2,5B ．()(]2,33,5⋃C ．(]2,5D ．[)(]2,33,5⋃【题型专练】1.函数()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是__________．2.已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．3.函数()()1log 121-=x x f 的定义域为（）.A ．(),2-∞B ．()2,C ．()1,2D ．(]1,24.函数()21log (3)f x x =-的定义域为题型三：对数函数的定义域为R 和值域为R 的区别【例1】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【例2】函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．【题型专练】1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.2.若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
数学必修一第四章知识点总结
高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。
高一对数函数知识点的梳理总结
高一对数函数知识点的梳理总结1.对数的定义对数函数是指数函数的反函数。
对于正实数a和大于0且不等于1的实数b，对数函数记作 y = logb(x)，其中b为对数的底数，x 为输入值，y为输出值。
对数函数满足以下性质：- 对数函数的定义域为定义底数为b的对数的所有正实数；- 对数函数的值域为实数集；- 对数函数的图像为一个单调递增的曲线。
2.对数函数的性质2.1.对数函数的基本性质- logb(1) = 0，对于任意底数b；- logb(b) = 1，对于任意底数b；- logb(bx) = x，对于任意底数b和实数x。
2.2.对数函数的运算法则- logb(xy) = logbx + logby，对于任意底数b和正实数x、y；- logb(x/y) = logbx - logby，对于任意底数b和正实数x、y；- logb(xn) = n·logbx，对于任意底数b、正实数x和整数n。
2.3.对数函数的性质- 对数函数的图像在正半轴上存在一水平渐近线y = 0，在y轴上存在一竖直渐近线x = 0；- 对数函数在定义域内是严格单调递增的；- 对数函数的值域为整个实数集。
3.对数函数的应用对数函数在实际应用中具有广泛的作用，主要包括以下方面：3.1.科学计数法科学计数法主要用于表示十进制数过大或过小的情况，通过对数函数的运算，可以将一个数转化成一个常数与10的幂的乘积。
3.2.解决指数方程和指数不等式对于指数方程和指数不等式，可以利用对数函数的特性将其转化成对数方程和对数不等式，从而便于求解。
3.3.数据处理和模型拟合对数函数可以用于处理数据和拟合模型，尤其在处理呈指数增长或衰减的数据时，对数函数能够更好地描述数据的趋势和变化规律。
4.总结对数函数是一种重要的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过对对数函数的定义、性质和应用进行梳理，我们能够更好地理解和应用对数函数，提高解决数学问题的能力。
06-第四节 对数函数-课时1 对数函数的概念、对数函数的图象和性质高中数学必修一人教A版
+1− =
1
2 +1+
单调递减，且 > 0，而
= log 2 + 3单调递增，所以 为减函数，C错误；由 > 6 −
= − ，及 为减函数，得 < −，故 + < 0，D正确．
17.[2024福建莆田一中段考]函数 = log 2 − 2log 2 + 1 的值域为
2 = log 2 2 − 2 + 1 = 0，由 < 0可得
log 2 < − 1，即 = − 1的图象在
= log 2 图象的上方.画出 = log 2 ，
= − 1的大致图象，如图，由图可知不等
式 < 0的解集是 0,1 ∪ 2, +∞ ．
8.（多选）[2024广东深圳期末]已知函数 = ln ， = lg ，若
பைடு நூலகம்D. = ln
【解析】 由对数函数的定义，知D正确.
2.函数 = 2 − + 1 log
+1
1
是对数函数，则 =___.
【解析】 由2 − + 1 = 1，得 = 0或1.又 + 1 > 0, + 1 ≠ 1，所以
= 1.
3.[2024上海市朱家角中学质检]已知对数函数 的图象过点 4,2 ，则其
（1）若 = 3，求不等式 > 2的解集;
【解析】 由题设知 = log 3 2 + 1 > 2 = log 3 9,则2 + 1 > 9,解得
> 4,所以不等式的解集为 4, +∞ .
对数函数的图像与性质
对数函数的图像与性质知识梳理1．对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质(0，＋∞)3.对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.要点一、对数函数的图像例1、如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35例2、函数f （x ）＝log a （x ﹣2）+a x ﹣3+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，P 点坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（3，2）C ．（0，1）D ．（3，3）例3、函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)答案：A B A练习1、如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则（ ）A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞l2、函数f （x ）＝log a （x +2）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象经过定点（ ） A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（﹣2，2）D ．（﹣2，0）3、函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )4、函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)5、如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b6、函数y＝log a（x﹣5）2+1（a＞0，且a≠1）恒过点．要点二、对数函数的单调性例4、（1）已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c（2）已知a＝log1213，b＝（），c＝log1314，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b例5、已知函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）在[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a 的值为．例6、已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是．答案： D D 2 （，1）练习7、若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c8、已知a＝lnπ，b＝log5，c＝e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b9、设，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c10、若函数f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）在区间[2，4]上的最小值为2，则实数a的值为（）A．B．C．2D．或211、若函数f（x）＝log a（x+1）+2（a＞0且a≠1），图象恒过定点P（m，n），则m+n＝2；函数的单调递增区间为．12、已知函数f（x）＝log a（x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是13、若函数y＝log a（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围为要点三、反函数的概念例7、函数f（x）与g（x）互为反函数，且g（x）＝log a x（a＞0，且a≠1），若函数f（x）的图象经过点（2，9），则函数f（x）的解析式为例8、若函数f（x）＝log2x+2的反函数的定义域为（3，+∞），则此函数的定义域为．f﹣1（4）＝．答案：f（x）＝3x（2，+∞）4练习14、已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．15、设函数f（x）＝1og2（3x﹣1）的反函数为f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，则a＝．16、已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝．17、设函数的反函数是f﹣1（x），若f﹣1（3）＝4，则实数a＝．要点四、对数函数的综合应用例9、已知函数f（x）＝log2x（1）解关于x的不等式f（x+1）﹣f（x）＞1；（2）设函数g（x）＝f（2x+1）+kx，若g（x）的图象关于y轴对称，求实数k的值．【解答】解：（1）因为f（x+1）﹣f（x）＞1，所以log2（x+1）﹣log2x＞1，即：，所以，由题意，x＞0，解得0＜x＜1，所以解集为{x|0＜x＜1}．（5分）（2）g（x）＝f（2x+1）+kx＝，由题意，g（x）是偶函数，所以∀x∈R，有f（﹣x）＝f（x），即：成立，所以，即：，所以，所以﹣x＝2kx，（2k+1）x＝0，所以．（12分）练习18、已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）＝（﹣x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．19、已知函数f（x）＝ln（x2﹣ax+4）．（1）若f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当a＝4时，解不等式f（e x）≥x．答案：1、B 2、A 3、A 4、D 5、D 6、（4，1）或（6，1）7、B 8、D 9、C 10、B 11、（﹣1，+∞）12、[﹣1，+∞）13、（1，2）14、2 15、3 16、﹣5 18、f（x）＝a＞2或a＜017、﹣4＜a＜4 x的解集为{x|x≤0或x≥ln4且x≠2}19、。
高一对数知识点高中总结
高一对数知识点高中总结对数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中扮演着重要角色。
在高一阶段，我们学习了许多关于对数的知识点，通过总结和归纳，可以更好地理解和应用这些知识。
本文将对高一阶段的对数知识点进行整理和总结。
一、对数的定义和性质对数的定义是：如果一个正数a不等于1，且b大于0，那么称符号logₐb为以a为底b的对数，记作logₐb=c。
对数具有以下性质：1. logₐ1=0，因为a的0次方等于1。
2. logₐa=1，因为a的1次方等于a。
3. logₐ(㏑ₐb+㏑ₐc)=logₐb+c，对数的乘法公式。
4. logₐ(b/c)=logₐb-logₐc，对数的除法公式。
二、换底公式和常用对数对数的底数可以是任意正数，但常用的对数底数是10和e（自然对数）。
1. 换底公式：如果知道了一个数的对数以及底数，可以通过换底公式将其转化为另一个底数的对数。
换底公式为：logₐb=㏑b/㏑a。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的符号是㏑，常用对数表是我们常用的工具之一。
三、对数方程和对数不等式对数方程和对数不等式是对数的应用之一，要解决对数方程和对数不等式，需要利用对数的性质和换底公式，通过变量的替换和代数运算来求解。
1. 对数方程：是形如logₐx=b的方程，其中a、b为已知常数，x为未知数。
求解对数方程时，可以通过对数的性质和换底公式进行变换，最终得出x的值。
2. 对数不等式：是形如㏑ₐx>b的不等式，其中a、b为已知常数，x为未知数。
求解对数不等式时，需要注意不等式的取值范围，并通过对数的性质和换底公式进行变换，找到x的取值范围。
四、指数函数与对数函数的图像和性质在高一阶段，我们学习了指数函数和对数函数的图像和性质，这对我们理解对数与指数的关系、解决相关问题非常有帮助。
1. 指数函数的图像和性质：指数函数y=a^x的图像呈现出递增或递减的特点，且过原点。
指数函数具有指数遇加法、指数遇乘法和指数函数的值域等性质。
高一对数函数知识点梳理
高一对数函数知识点梳理对数函数是高中数学中的一个重要概念，对数函数既是指数函数的逆运算，也是一种特殊的函数类型。
在高一阶段，对数函数是数学课程中的重点，它的概念和性质需要我们掌握清楚。
本文将对高一对数函数的知识点进行梳理和总结，以帮助大家更好地理解和应用。
一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对于任意的正实数a和正实数x，以a为底的对数函数定义为：y=logₐx，其中a>0且a≠1，x>0。
其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对数函数是解指数方程的重要工具，可以帮助我们求解各种数学问题。
2. 对数函数的性质：（1）对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)（2）对数函数的值域为实数集(-∞,+∞)（3）对数函数的图像在x轴的正半轴上是递增的（4）对数函数的图像在x=a处有唯一的切线，且斜率为1/a （5）对数函数y=logₐx的反函数是指数函数y=aˣ二、对数函数的基本公式1. 对数的运算法则：（1）对数乘法公式：logₐ(mn) = logₐm + logₐn（2）对数除法公式：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn（3）对数乘方公式：logₐ(m^p) = p × logₐm2. 常用对数：以10为底的对数，记作logx=log₁₀x，简写为lgx。
常用对数可以简化对数运算和计算，是数学和科学中经常使用的一种对数形式。
3. 自然对数：以自然常数e为底的对数，记作lnx。
自然对数在微积分和概率论中应用广泛，它具有特殊的性质和应用价值。
三、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像特点：（1）以正实数a为底的对数函数y=logₐx的图像在x轴的正半轴上递增。
当x＝1时，y＝0；当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0。
（2）对数函数的图像在x=a处有一个特殊点A(a,1)，该点为对数函数图像的对称轴的交点。
（3）因为对数函数是单调递增的，所以它在定义域内的任意两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，若x₁＜x₂，则y₁＜y₂。
高中数学对数函数的图像和性质新.pptx
图象
性质
应用
一、对数函数图象
x
log 2 x
1
4
1
2
- 2 -1
1
2
4
8
0
1
2
3
y = log 2 x
x
1
4
1
2
log 2 x
-2
log 1 x
2
2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
1
0
-1
-2
-3
y = log 2 x
y = log 1 x
2
y = log 2 x
从解析式来看：
y = log 2 x
结论一:
(1,-5)
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
（知识层面，思想方法层面）
①对数函数的图象
本节内容 ②对数函数的性质
③应用
①类比
思想方法 ②数形结合
③分类讨论
①数学建模
核心素养 ②数学抽象
③数学运算
通过本节课的学习，今
后我们要学习的新函数
时，你知道如何入手研
究了吗？
谢谢大家！
利用对数函数单调性
分类讨论
(2) log 2 9
> log 5 9
(3)log 0.7 5 < log 3 8
log 2 5
> log 5 3
总结：
如何比较两个对数值的大小？
考虑对数函数的单调性；
可以利用换底公式,或者借助于数形结合；
要借助于中间值（如０或１）.
题型二 实际应用
（溶液酸碱度的测量）
高一数学对数函数知识点梳理
高一数学对数函数知识点梳理对数函数是数学中重要的一种函数类型，它在各个领域都有广泛的应用。
高一数学课程中，对数函数是一个重要的内容，掌握其知识点对学生的数学能力提升和考试成绩的提高至关重要。
下面将对高一数学中的对数函数知识点进行梳理和总结。
一、定义及性质1. 定义：对于任意正实数a（a≠1）和任意正数x，对数函数y=logₐx表示满足a^y=x的关系，其中a称为底数。
2. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
3. 对数函数的图像特点：当底数a>1时，函数图像单调增加；当0<a<1时，函数图像单调减少；对于不同的底数，图像有所差异。
二、基本公式和公式推导1. 对数函数的基本公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy，logₐ(x/y) =logₐx - logₐy，logₐx^m = m·logₐx，其中a>0，a≠1，x,y,m为正实数。
2. 对数函数的公式推导：通过基本公式，可以推导出其他形式的公式，例如换底公式、指数转化为对数等。
三、常用性质和运算法则1. 恒等式：logₐ1 = 0，logₐa = 1。
2. 反函数关系：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即y=logₐx和y=a^x是等价的。
3. 运算法则：对数函数具有运算法则，包括对数的乘方法则、除法法则、负指数法则等。
四、对数方程和不等式1. 对数方程：对于形如logₐx=b的方程，可以通过换底公式和去对数法解得x的值。
2. 对数不等式：对于形如logₐx<b的不等式，可以通过换底公式和构建对数函数图像解得x的取值范围。
五、应用1. 指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长的问题中有广泛的应用，例如人口增长、投资利息等。
2. 数据压缩与信息传输：对数函数在数据压缩和信息传输领域中起到重要的作用，可以实现资源的高效利用和快速传输。
3. 科学研究和工程应用：对数函数在科学研究和工程应用中有广泛的用途，例如声音的分贝计算、地震能量的测量等。
高中新教材数学必修件时对数函数的图象与性质
例题2：已知函数$f(x) 解析：将点$(4,2)$代入
= log_{a}(x - 3)$，若函 函数表达式，得到
数图像过点$(4,2)$，求 $log_{a}(4 - 3) = 2$，
$a$的值。
即$log_{a}1 = 2$，解
得$a = sqrt{10}$。
解析：首先，我们知道 $log_{a}b = frac{lg b}{lg a}$，因此可以将 原式转化为$frac{lg 3}{lg 2}$和$frac{lg 4}{lg 3}$，由于$lg 3 > lg 2 > 0$，$lg 4 > lg 3 > 0$，因此$frac{lg 3}{lg 2} > frac{lg 4}{lg 3}$，即$log_{2}3 > log_{3}4$。
利用已知函数变换得到对数函数图象
指数函数与对数函数的关系
利用指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a neq 1$）与对数函数$y=log_a x$互为 反函数的性质，可以通过指数函数的图象得到对数函数的图象。
平移和伸缩变换
通过对指数函数图象进行平移和伸缩变换，可以得到不同底数的对数函数图象 。
借助计算机软件绘制精确图象
高中新教材数学必修件时对 数函数的图象与性质
汇报人：XX 20XX-01-22
目 录
• 对数函数基本概念 • 对数函数图象绘制方法 • 对数函数性质分析 • 典型例题解析与技巧总结 • 拓展延伸：复合对数函数和参数问题探讨 • 回顾总结与课堂检测
01 对数函数基本概 念
对数定义及性质
对数的性质
工程学中的应用
在工程学中，复合对数函 数可以用来描述信号处理 、控制系统等问题的数量 关系。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种特殊函数，其函数表达式为y = logb(x)，其中b是底数，x是自变量，y是函数值。
对数函数有许多特别的性质和应用，本文将对对数函数的基本性质、图像特征和应用等进行详细总结。
一、对数函数的基本概念和性质1.底数是正实数且不等于1：对数函数中的底数b必须是一个正实数，并且不能等于1，因为否则函数将不存在。
2.自变量x必须大于0：对数函数的自变量x必须大于0，否则函数值将无意义。
3.对数函数的定义域和值域：定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。
值域：对数函数的值域是实数集，即(-∞,+∞)。
4. 对数与指数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即y = logb(x)与y = b^x互为反函数。
5. 乘法性质：logb(xy) = logb(x) + logb(y)，即对数函数中两个实数的乘积的对数等于这两个实数的对数之和。
6. 除法性质：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，即对数函数中两个实数的商的对数等于这两个实数的对数之差。
7. 幂性质：logb(x^p) = p · logb(x)，即对数函数中一个实数的幂的对数等于该实数的对数乘以这个幂。
二、对数函数的图像特征1.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。
2.x轴和y轴的渐近线：当x趋近于0时，对数函数的y值趋近于负无穷，故x轴是对数函数的水平渐近线；当y趋近于正无穷时，对数函数的x值趋近于正无穷，故y轴是对数函数的垂直渐近线。
3.对数函数的基准点(1,0)：对于任意正实数b，对数函数在点(1,0)上均有一个特殊点，即对数函数的基准点。
4.对数函数的图像特征：当底数b>1时，对数函数在(0,+∞)上是递增的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐增加的；当0<b<1时，对数函数在(0,+∞)上是递减的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐减少的；对数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴，并且通过点(1,0)。
对数函数的图象及性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图象 • 对数函数的实际应用 • 对数函数与其他数学知识的联系 • 练习与思考
01
对数函数的定义与性质
对数函数的定义
1 2
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其定义域为(0, +∞)。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx，其定义域为(0, +∞)。
对数函数和幂函数在定义域和值域上 存用
对数函数在数学中的应用
求解方程
对数函数在求解方程中有着广泛的应 用，例如在解对数方程、指数方程等 数学问题时，常常需要利用对数函数 的性质进行转换和求解。
数值计算
在数值计算中，对数函数可以用于加 速某些计算过程，例如在计算复数的 模、向量的点积等运算中，利用对数 函数可以大大简化计算过程。
3
任意对数
以a为底的对数，记作log_ax，其定义域为(0, +∞)，其中a>0且a≠1。
对数函数的基本性质
定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)， 因为对数的底数必须大于0且不
能等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实 数。
单调性
当底数a>1时，对数函数是增 函数；当0<a<1时，对数函数 是减函数。
基础练习题2
已知函数$f(x) = log_2(x^2 - 1)$，求函数的值域。
基础练习题3
已知函数$f(x) = log_2(x + 3) - 1$，判断函数的 奇偶性。
提升练习题
提升练习题1
求函数$y = log_2(x^2 - 4x + 5)$的单调区 间。
提升练习题2
高一上册对数函数知识点
高一上册对数函数知识点对数函数是高中数学中十分重要的一个概念，也是接下来学习指数函数的基础。
在本文中，我们将详细介绍高一上册对数函数的知识点。
一、对数函数的定义与性质对数函数y=logₐx的定义为：x=a^y，其中a>0且a≠1，x>0。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
1. 对数函数的定义域与值域对数函数y=logₐx的定义域为x>0，值域为R。
2. 对数函数的图像特点当底数a>1时，随着x的增大，对数函数的图像呈现上升趋势，y=logₐx的图像在y轴上无渐近线，对x轴是若干条斜率为负的异于0的射线。
当底数0<a<1时，对数函数的图像呈现下降趋势，y=logₐx的图像在y轴上无渐近线，对x轴是若干条斜率为负的异于0的射线。
3. 对数函数的性质（1）logₐ1 = 0，即底数为a的对数函数以a为底数的1的对数为0；（2）logₐa = 1，即底数为a的对数函数以a为底数的a的对数为1；（3）对数函数的对数相加等于底数相乘，即logₐxy = logₐx +lo gₐy；（4）对数函数的对数相减等于底数相除，即logₐ(x/y) = logₐx - logₐy；（5）对数函数的乘方等于对数的乘法，即logₐ(x^k) = k·logₐx；（6）底数为a的对数函数的图像关于y轴对称。
二、对数函数的常用换底公式常用的换底公式有两条，可以将一个底数为a的对数函数转化为另一个底数为b的对数函数。
1. 换底公式一logₐx = log_bx / log_ba2. 换底公式二logₐx = 1 / (log_ax / log_ab)三、对数函数的常用性质与等式的求解对数函数的常用性质和等式求解是高一上册对数函数的重要内容。
下面我们将介绍其中两个重要的性质。
1. 对数函数的指数形式的性质指数形式的性质可以将对数函数转化为指数函数，以便进行等式求解。
（1）指数形式一a^logₐx = x，其中a>0且a≠1，x>0（2）指数形式二logₐa^x = x，其中a>0且a≠1，x为实数2. 对数函数的常用等式的求解对数函数常用等式求解可以通过使用性质转化为简单的指数函数等式，进而求解。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
对数型函数知识点总结
对数型函数知识点总结一、对数的基本概念对数是指数的逆运算。
设a和b是正数，且a≠1，如果a的x次方等于b，那么x叫做以a为底b的对数，记作x=log_ab。
其中a叫做对数的底数，b叫做真数，x叫做对数。
对数的定义及运算规则见下表：1、对数的定义：log_ab=x 当且仅当 a^x=b2、对数的运算规则：对数的性质主要有：（1）a^x=b ⇔ x=logy=logeb/logea（2）log_a(m*n)=log_am+log_an（3）log_a(m/n)=log_am-log_an（4）log_ab*log_ba=1二、对数函数的图像及性质对数函数y=log_ax (a>0,a≠1)的图像特点：1、定义域：x>02、值域：(-∞,∞)3、关于y轴对称4、渐近线：x=0对数函数的变形：1、对数函数y=log_ax的变形：a>1时，是增函数；0<a<1时，是减函数。
2、指数函数y=a^x和对数函数y=log_ax的关系：如果a^x=y，那么x=log_ay三、对数方程及不等式的解法对数方程及不等式的解法：1、对数方程的解法：对数方程a^x=b (a>0,a≠1)的解法：a>1时，（1）当b>0时，两边取对数得x=log_ab；（2）当b=0时，方程无解；a=1时，方程a^x=1的解为x=0。
0<a<1时，（1）当b>0时，两边取对数得x=log_ab；（2）当b=0时，两边无解；2、对数不等式的解法：对数不等式a^x>b (a>0,a≠1)的解法：a>1时，分两种情况，大于时取对数得x>log_ab；0<a<1时，同样分两种情况，大于时取对数得x>log_ab；四、对数函数和指数函数的关系1、对数函数和指数函数的定义：指数函数y=a^x (a>0,a≠1) 是对数函数y=log_ax的逆函数。
高中数学对数函数知识点
高中数学对数函数知识点对数函数是高中数学中的重要内容，以下是关于对数函数的主要知识点：一、对数的定义与性质：1. 对数的定义：设a为正实数，且a≠1，b为正实数，若满足a^x=b，则称x为以a为底b的对数，记作x=logab。
其中，a称为底数，b称为真数。
2.对数的性质：- loga1=0，其中a为任意正实数，且a≠1；- logaa=1，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m*n)=logam+logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m/n)=logam-logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- logam^n=n*logam，其中a为任意正实数，且a≠1；- logab=logcb/logca，其中a、b、c为任意正实数，且a≠1、b>0、c>0；二、对数函数的图像与性质：1. 对数函数：设a为正实数，且a≠1，函数y=logax (x>0) 称为以a为底的对数函数。
其中，a称为底数。
2. 对数函数y=logax的图像特点：-定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)；-x轴为渐进线，即y趋近于负无穷大；-当x=1时，y=0，是对数函数的特殊点；-当x>1时，y>0，y随着x的增大而增大，呈现增函数的特点；-当0<x<1时，y<0，y随着x的减小而减小，呈现减函数的特点；-当x=a时，y=1，是对数函数的特殊点。
三、对数方程与对数不等式：1.对数方程：对数方程是指含有对数的方程。
解对数方程的一般步骤为：-用对数的定义化简方程；-化简后的方程，得到一个以指数形式表示的方程；-解指数方程；-检验解是否符合原方程的定义域。
2.对数不等式：对数不等式是指含有对数的不等式。
解对数不等式的一般步骤为：-用对数的定义化简不等式；-不等式中含有对数，要确定其定义域；-将不等式拆分成多个小不等式；-解每个小不等式的解集；-根据定义域的限制，得到最终的解集。
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高中数学重点知识总结
对数函数及对数函数图象性质
一、对数函数的概念
一般地，函数log a y x =（0a >且1a ≠），叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0,+∞。
二、对数函数的图象
三、对数函数图象的性质
1.图象都过定点()0,1。
定义域：()0,+∞，值域：R 。
2.01a <<时，为定义域上的减函数；.1a >时，为定义域上的增函数。
3.底数越大，在直线1x =的右侧越靠近x 轴，即“底大图低”。
四、对数函数图象的对称性
由图象可得，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。
五、反函数
1.互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。
2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
如3x y =与3log y x =互为反函数。
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称。
六、指、对、幂函数的增长快慢比较
任给三个单调增的指数函数、对数函数、幂函数，总存在一点0x ，使得0x x >时下面两种情况同时成立。
（1）函数值的大小关系：指数>幂函数>对数函数。
（2）函数值的增长速率：指数>幂函数>对数函数。
七、高中阶段常见的考查方式
1.求对数函数在某区间上的单调性、最值、值域。
2.求对数函数的复合函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等。
3.根据几个对数函数的图象判断底的大小关系。
4.根据对数函数的底，判断对应的函数图象。
5.跟据对数式值的正负找不等式关系。
如：若log 0a b >，则1,1a b >>或01,01a b <<<<。
若log 0a b <，则1,01a b ><<或01,1a b <<>。
6.给出对数函数简单变形或与其他函数复合后的解析式，选大致图象选项，或 判断奇偶性。
7.构造对数函数比较两个实数的大小，或判断两个实数的正负。