离散数学结构 第8章 函数复习

第八章函数

主要内容

1. 函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）

2. 函数的合成与反函数

学习要求

1. 掌握：函数、A到B的函数、集合在函数下的像、集合在函数下的完全原像的概念

及表示法；当A与B都是有穷集时，会求A到B的函数的个数

2. 掌握：A到B的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方法

3. 掌握：常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映射等概念

4. 掌握：合成函数的主要性质和求合成函数的方法

5. 掌握：反函数的概念及主要性质

8.1 函数的定义与性质

一．函数和像

函数是一种特殊的二元关系。

定义8.1设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数(函数也可以称作映射)。对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，并称y为F在x 的值。

例8.1设

F1={,,}

F2={,}

判断它们是否为函数。

解F1是函数，F2不是函数，因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2，与函数定义矛盾。

由于函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等。

定义8.2设F，G为函数，则

F=G F G∧G F

由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：

1．domF=domG

2．x∈domF=domG都有F(x)=G(x)

例如函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的，因为domF={x|x∈R∧x≠-1} 而domG=R。domF≠domG。

定义8.3设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A，ranf B，则称f为从A到B

的函数，记作f：A→B。

例如f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数，g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数。定义8.4所有从A到B的函数的集合记作B A，读作“B上A”。符号化表示为

B A={f|f：A→B}

例8.2设A={1,2,3}，B={a,b}，求B A。

解B A={f0,f1,…,f7}，其中

f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}

f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}

f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}

f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}

f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}

f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}

由排列组合的知识不难证明：若|A|=m，|B|=n，且m,n>0,则|B A|=n m。在例8.2中，|A|=3，|B|=2，而|B A|=23=8。

当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：

1. A=且B=，则B A=={}。

2. A=且B≠，则B A=B={}。

3. A≠且B=，则B A=A=。

定义8.5设函数f：A→B,A1A,B1B。

(1) 令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。特别的，当A1=A时称f(A)为函数的像。

(2) 令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f下的完全原像。

在这里注意区别函数的值和像两个不同的概念。函数值f(x)∈B，而像f(A1)B。

设B1B，显然B1在f下的完全原像f-1(B1)是A的子集，考虑A1A，那么f(A1)B。f(A1)的完全原像就是f-1(f(A1))。一般说来f-1(f(A1))≠A1，但是A1f-1(f(A1))。例如函数f：{1,2,3}→{0,1}，满足

f(1)=f(2)=0,f(3)=1

令A1={1}，那么有

f-1(f(A1))=f-1(f({1}))=f-1({0})={1,2}

这时A 1f-1(f(A1))。

例8.3设f：N→N,且

令A={0,1}，B={2}，那么有

f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}

f-1(B)= f-1({2})={1,4}

二．函数的性质

下面讨论函数的性质。

定义8.6设f：A→B，

(1)若ranf=B，则称f：A→B是满射的。

(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y，则称f：A→B是单射的。

(3)若f：A→B既是满射又是单射的，则称f：A→B是双射的(或一一映像)。

由定义不难看出，如果f：A→B是满射的，则对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。如果f：A→B是单射的，则对于x1，x2∈A，x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。换句话说，如果对于x1，x2∈A有f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2。

例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?

(1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1

(2) f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集

(3) f：R→Z，f(x)=

(4) f：R→R，f(x)=2x+1

(5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。

解(1) f：R→R，f(x)=-x2+2x-1是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。

(2) f：Z+→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…}R。

(3) f：R→Z，f(x)=是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。

(4) f：R→R，f(x)=2x+1是满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。

(5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x不是单射的，也不是满射的，当x→0时，f(x)→+∞；而当x→+∞时，f(x)→+∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射的也不是满射的。

例8.5对于以下各题给定的A，B和f，判断是否构成函数f：A→B。如果是，说明

f：A→B是否为单射,满射,双射的。并根据要求进行计算。

(1) A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}。

(2) A,B同(1)，f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}。

(3) A,B同(1)，f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}。

(4) A=B=R，f(x)=x3。

(5) A=B=R+，f(x)=x/(x2+1)。