2023年新高考数学大一轮复习专题七考前冲刺一 12类二级结论高效解题(含答案)

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2021年高考数学第一轮复习课后练习册子及其答案和详细解析

高考Байду номын сангаас复习课程--2021 年高考数学第一轮总复习
强化练习题
目录
第 1 讲集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................

2025年高考数学一轮复习-第二板块-数列-层级(二)创新性考法【课件】

a1，n≥1.
此时 a2m ＋ a2n － 2am ＋ n ＝ a1 4n2－2n＋24m2－2m－(n＋m)2＋(n＋m) ＝ a1(m － n)2≥0，故 2am＋n≤a2m＋a2n 成立，若 nam＋man＝am＋n 成立，取 m＝n＝2，则 4a2 ＝a4，但此时 a4＝7a1，a2＝2a1,4a2＝a4 不成立，故 B 错误；对于 D，可令 an＝ 2n－1，则 a2m＋a2n＝22m－1＋22n－1≥2· 22m－1·22n－1＝2m＋n＝2am＋n，当且仅当 m＝n 时等号成立，满足题干条件，此时，2aman＝2m＋n－1＝am＋n，解得 a＝12，故 D 选项可能成立．故选 D.
(1)证明：数列a1n－1为等比数列； (2)是否存在正整数 m，n，k，且 m<n<k，使得 am，an，ak 成等差数列？若存在，求出 m，n，k 的值；若不存在，请说明理由．
[新新点拨]
新考法
数列的存在性问题
数列中的存在性问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，
新思路往往涉及数论、函数、方程、不等式等知识，蕴含了丰富的数学思想，特别是解决3个字母存在性问题的关键是能通过研究方
[针对训练]
已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，则
()
A．a1<a3，a2<a4
B．a1>a3，a2<a4
C．a1<a3，a2>a4
D．a1>a3，a2>a4
解析：法一：因为ln x≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋ a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比数列的公比q<0.

2023届高考数学一轮复习收官卷(一)(新高考Ⅰ专用) Word版含解析

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2022·河北·高碑店市崇德实验中学高三阶段练习）已知复数1(1)i =++-z m m 是虚数，则实数m 的取A ． B ．C ．D ．【答案】D【详解】将PBC翻折到平面PAB内，得到如图所示平面四边形OBC P'，因为1 PABS=45,90,OP=6 6(C x ++-6 6(2)C x++项的系数为5 5(2C x++项的系数为C项的系数为06160100C⋅=.一模（文））如图，已知双曲线的一边1AF的中点恰好在双曲线131+111二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·河北衡水·高三阶段练习）尽管2022年上半年新能源汽车产销受疫情影响，但各企业高度重视新1b，c =-，所以1a +2022·安徽·六安一中高三阶段练习）正方形直径的半圆上任意点，AP AD AE λμ=+，则（A ．μ最大值为1B ．λ最大值为2．AP AD ⋅最大值是．AP AE ⋅最大值是【答案】ACD【详解】如图，以线段轴，线段AB 的垂直平分线为(2cos ,2sin P θ又()()()()()2,0,2,0,2,2,2,4,2,4A B E D C --，则()()()2cos 2,,0,4,24n ,2si AP AD AE θθ=+==，AP AD AE λμ=+，即()(2cos 2sin 2,0,4θθλ+=2cos 242sin 42θμθλμ+=⎧∴⎨=+⎩，，则1cos θ1，0sin ≤]0,1 ()5sin 11θϕ--=(2cos AP AD ⋅=(2cos AP AE ⋅=其中sin 4φ=当()sin θφ+=时，AP AE ⋅取最大值故选：ACD.12．（2022·河北沧州·高二期末）学校食坣每天中都会提供,A B 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的)1,n n∈N. 正确161 154n⎛⎫⋅-⎪⎝⎭，5012θ≤≤2sin θ∴+（16．（2022·个原理，已知2241522415四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）60，cos B +b =所以ABC 的面积②：tan A =A 为三角形内角，故60或120，60=时，sin sin cos A B =+由正弦定理得3b =所以ABC 的面积120=时，sin 由正弦定理得sin 所以ABC 的面积综上ABC 的面积为③：sin a B =由正弦定理得sin B 为三角形内角，所以sin 3cos A =cos 0A ≠，所以60.所以ABC 的面积2022·宁夏证明：{n a 14n n b a =-【答案】(1)证明见解析；121n ++-121n >+则1121n -+12<，即12n S <. 19．（2022·60，OB【答案】(1)证明见解析；因为OD //面,PAC DO ⊂面PBH ，面PBH ⋂面PAC PH =，故OD //PH ，POB ≅，则PA PB =，取因为PO ⊥面ABC ，,OA OB ⊂面ABC ，则,PO OA PO OB ⊥⊥，POB ≅，则AB 中点，故可得,PAC OM ⊄面分别为AB 面PAC ，故DM OM ⋂POB ()(()()(43,0,0,0,12,0,23,2,3AB AC AP ===设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则00m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23230430x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，解得0x =，取=3y -，则2z =，则(0,3,2m =-设平面PAC 的法向量为(),,n m n t =，00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即230120m n t n ++=，解得0n =，取，则2t =-，(3,0,n =-4491cos ,9113m n m n n m ⋅--===⨯，设平面PAB 与平面PAC 的夹角为θ，49191=，即平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值为2022·广东江门·高三阶段练习）通过验血能筛查乙肝病毒携带者，统计专家提出一种f x，则x上是减函数，在(0,f 的极小值为(0。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第六章必刷大题12 数列的综合问题

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3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋2＝2an. (1)求a2及数列{an}的通项公式；
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由题意，当n＝1时，S1＋2＝a1＋2＝2a1，解得a1＝2，当n＝2时，S2＋2＝2a2，即a1＋a2＋2＝2a2，解得a2＝4，当n≥2时，由Sn＋2＝2an，可得Sn－1＋2＝2an－1，两式相减，可得an＝2an－2an－1，整理，得an＝2an－1， ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
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12Tn＝222＋233＋244＋…＋2nn＋n2＋n＋11，两式相减，可得12Tn＝221＋212＋213＋…＋21n－n2＋n＋11 ＝1＋2121－－221n1＋1－n2＋n＋11 ＝32－n2＋n＋31 ，∴Tn＝3－n＋2n 3.
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4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S3＝5a1. (1)求{an}的通项公式；
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由题意知，在数列{an}中，an＋1＝3Sn＋1， an＝3Sn－1＋1，n≥2，两式相减可得an＋1－an＝3an，an＋1＝4an，n≥2，由条件知，a2＝3a1＋1＝4a1，故an＋1＝4an(n∈N*). ∴{an}是以1为首项，4为公比的等比数列. ∴an＝4n－1(n∈N*).
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(2)设 cn＝bn－1bbnn＋1－1，数列{cn}的前 n 项和 Tn，求证：23≤Tn<1.
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cn＝bn－1bbnn＋1－1＝2n－122nn＋1－1＝2n－1 1－2n＋11－1，故数列{cn}的前 n 项和 Tn＝1－22－1 1＋22－1 1－23－1 1＋…＋2n－1 1－2n＋11－1 ＝1－2n＋11－1，因为n∈N*，所以 0<2n＋11－1≤13，所以23≤Tn<1.

冲刺2023年高考数学最新真题重组卷(解析版)

绝密★启用前冲刺2023年高考数学真题重组卷新高考地区专用（解析版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021年高考全国甲卷）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤2．（2022年高考全国甲卷）若1z =-，则1zz =-（）A ．1-B ．1-C ．133-+D ．1i33-3．（2022年高考全国乙卷）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B．C ．3D．4．（2020年高考全国新课标III 卷）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+>（）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19355．（2022高考全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．23C 【解析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字6156．（2022年高考全国II 卷）若sin()cos()sin 4αβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-7．（2021年高考天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为3π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12πB 【解析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==，所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥ ，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠= ，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，CD ∴==因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=.故选：B.8．（2022年高考全国II 卷）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-D 【解析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021年高考全国I 卷）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同10．（2022年高考全国II 卷）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线2y x =-是曲线()y f x =的切线11．（2021年高考全国II卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的⊥的是（）顶点．则满足MN OPA．B．C．D．BC【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC ∠（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，在直角三角形OPC ，OC =1CP =，故tanPOC ∠=故MN OP ⊥不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ⊥，PQ MN ⊥，由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ，而OQ ⊂平面ANDT ，故SN OQ ⊥，而SN MN N = ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，OQ MN ⊥，而OQ PQ Q = ，所以MN ⊥平面O P Q ，而PO ⊂平面O P Q ，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ⊥，故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO ∠或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故12PQ AC ==OQ ===PO =222QO PQ OP <+，故QPO ∠不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.12．（2022年高考全国I 卷）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022年高考天津卷）523x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______.14．（2020年高考天津卷）已知0,0a b >>，且1ab =，则22a b a b++的最小值为_________．15．（2018年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅= ，则点A 的横坐标为________．2, y x16．（2022年高考浙江卷）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B xy 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．4四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022年高考全国甲卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221n n S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．18．（2020年高考全国I 卷）（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c+的最小值．19．（2022年高考全国II卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.20．（2022年高考全国I 卷）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以A 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC == ,21．（2021年高考北京卷）已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．22．（2022年高考浙江卷）设函数()ln (0)2f x x x x =+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）。

2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第1章-1.1-集-合

§1.1集合考试要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或BA )．(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B交集所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B补集全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(×)(3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.(×)(4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．(√)教材改编题1．若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是()A ．22∈AB ．8⊆AC ．{4}∈AD ．{0}⊆A答案D2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________.答案－1解析∵M ＝N ，1＝2，2，＝1，＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁U B )＝____________.答案{x |2≤x ≤3}{x |－2<x ≤3}解析∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________.答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，②当2a －1＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，综上，a ＝0或1.教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________．答案，解析依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0≠0，＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k 思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)已知集合A ∈N |4x －2∈ZA 中的元素个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析∵4x －2∈Z ，∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6，又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6.故集合A 中有5个元素．(2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }，b a ，a 2023＋b 2023＝________.答案0解析∵{1，a ＋b ，a }，ba，a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }，∴b ＝1，a ＝－1，∴a 2023＋b 2023＝0.题型二集合间的基本关系例2(1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是()A ．M ＝PB ．P ∈MC ．M PD ．PM答案D解析因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此P M .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2；②当B ≠∅m －1≤m ＋1，m －1≥－3，＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．延伸探究在本例(2)中，若把B ⊆A 改为BA ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2；②当B ≠∅时，m－1≤m＋1，m－1≥－3，＋1<4m－1≤m＋1，m－1>－3，＋1≤4.解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．教师备选已知M，N均为R的子集，若N∪(∁R M)＝N，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M⊆∁R N D．∁R N⊆M答案D解析由题意知，∁R M⊆N，其Venn图如图所示，∴只有∁R N⊆M正确．思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足A C⊆B的集合C的个数为()A．4B．6C．7D．8答案C解析∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A C⊆B，∴集合C的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．答案0，±1解析∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N⊆M.若N＝∅，则a＝0；若N≠∅，则N∴1a＝1或1a＝－1，∴a＝±1综上有a＝±1或a＝0.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T 等于()A．∅B．S C．T D．Z答案C解析方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s ＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.方法二S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3，1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S ＝T.(2)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁R A)∪B等于()A．[－1,5)B．(－1,5)C．(1,4]D．(1,4)答案B解析因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，又B＝{x|1<x<5}，所以∁R A＝(－1,4)，则集合(∁R A)∪B＝(－1,5)．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B 有2个子集，∴A ∩B 中的元素个数为1；∵1∈(A ∩B )，∴a ∉(A ∩B )，即a ∉B ，∴a ≤0或a ≥2，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是()A ．a <－103或a >12B ．a ≤－103或a ≥12C ．a <－16或a >2D ．a ≤－16或a ≥2答案B解析A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}|－13≤x ≤1①B ＝∅，2a ≥a ＋3⇒a ≥3，符合题意；②B ≠∅<3，＋3≤－13<3，a ≥1，解得a ≤－103或12≤a <3.∴a 的取值范围是a ≤－103或a ≥12.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，若A ∩(∁R B )≠∅，则实数a 的取值范围是()A ．1≤a ≤2B ．1<a <2C ．a ≤1或a ≥2D ．a <1或a >2答案D解析A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，所以∁R B ＝{x |a －1<x <a ＋1}；又A ∩(∁R B )≠∅，所以a －1<0或a ＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N |13≤x ≤5M ∩N 等于()|0<x ≤13|13≤x <4C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5}答案B解析因为M ＝{x |0<x <4}，N |13≤x ≤5所以M ∩N |13≤x <4(2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________.答案22解析由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4，当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}，故应舍去；当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)，当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }，又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2.所以a ＝2，b ＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为()A ．15B ．16C ．20D ．21答案D 解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}|y ＝2x ，x ∈[1，4]集”的序号是________．答案②③解析①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x 也在集合中，符合题意；③|y ＝2x ，x ∈[1，4]|12≤y ≤20∉A ，又12≤1y ≤2，故1y 也在集合A 中，符合题意．教师备选对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝____________.答案{x |－3≤x <0或x >3}解析∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}．∴A *B ＝{x |－3≤x <0或x >3}．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)是集合A 的同一种分拆．若集合A 有三个元素，则集合A 的不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A ＝{1,2,3}，∵A 1∪A 2＝A ，当A 1＝∅时，A 2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．课时精练1．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于()A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于() A．R B．(1,2]C．(1,2)D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a 2＋a 3等于()A ．1B ．2C ．3D ．6答案C 解析集合A ＝{a 1，a 2，a 3}的所有非空真子集为{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 2，a 3}，则所有非空真子集的元素之和为a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＋a 1＋a 3＋a 2＋a 3＝3(a 1＋a 2＋a 3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是()①P ∪Q ＝R ；②P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}；③P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}；④P ∩Q 的真子集有3个．A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④答案C解析＋y ＝1，2＋y 2＝1，＝1，＝0＝0，＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}，故②正确，③错误；又P ，Q 为点集，∴①错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集，∴④正确．6．已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4答案D解析集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B |x ≤－a 2A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a 2≥2，即a ≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B不可能为()A．{3,6}B．{3,4,5}C．{2,3,6}D．{3,5,6}答案C解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B；对于A选项，若B＝{3,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，A可能；对于B选项，若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B可能；对于C选项，若B＝{2,3,6}，则A∩B＝{2,3}，所以∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C不可能；对于D选项，若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁U B)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知(∁U A)⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁U A)⊆B，知(∁U B)⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m ＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}，N ＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn 图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}＝{x ∈Z |－3<x －1<3}＝{x ∈Z |－2<x <4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn 图中阴影部分表示的集合是M ∩(∁R N )＝{－1,2,3}．11．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B ＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2,4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)，综上，有A ∪B ＝{－5，－2,4}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}，B ＝{x |1<x <2}，且(∁R B )∪A ＝R ，则实数a 的取值范围是____________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A ＝(－∞，a )，∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁R B )∪A ＝R ，∴a ≥2.13．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M 1，0，13，12，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．32D ．256答案A 解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15.14．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___人．答案18解析赞成A的人数为40×35＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则13x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.15．设集合A＝{x|x＝m＋3n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1x2∈A，则运算可能是________．(填序号)①加法；②减法；③乘法；④除法．答案①③解析由题意可设x1＝m1＋3n1，x2＝m2＋3n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋3(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足条件，①正确；x1－x2＝(m1－m2)＋3(n1－n2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，②错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋3(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，③正确；x1 x2＝m1＋3n1m2＋3n2，当m1m2＝n1n2＝λ(λ>0)时，x1x2∉A，所以除法不满足条件，④错误．16．已知集合A＝{x|8<x<10}，设集合U＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}，若(∁U B)∩A＝{x|8<x<9}，则实数a的取值范围是______________．答案－∞，92解析当B＝∅时，2a－1≤a，解得a≤1，此时∁U B＝U，(∁U B)∩A＝U∩A＝{x|8<x<9}，符合题意；当B≠∅时，2a－1>a，解得a>1，因为集合U＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}，所以∁U B＝{x|0<x≤a或2a－1≤x<9}，因为(∁U B)∩A＝{x|8<x<9}，所以2a－1≤8，解得a≤9 2，所以B≠∅时，1<a≤9 2，综上所述，实数a ∞，92.。

2023年新高考数学一轮复习7-6 数学归纳法(知识点讲解)含详解

专题7.6 数学归纳法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．【知识点展示】数学归纳法1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *) 时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示【常考题型剖析】题型一：利用数学归纳法证明不等式例1.（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,nn n nb c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈例2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列{}n a 满足：11a =，且211n n n a a na n +=-++，（n 为正整数）．(1)计算：2a ，3a ，4a 的值； (2)猜测{}n a 的通项公式，并证明；(3)设n b问是否存在使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ≥的正整数均成立的最大整数p ，若存在请求出，若不存在，请说明理由．例3．（2017·浙江·高考真题）已知数列{}n x 满足：11x =，()()11ln 1n n n x x x n N *++=++∈证明：当*n N ∈时，（I ）10n n x x +<<；（II ）1122n n n n x x x x ++-≤；（III ）121122n n n x --≤≤. 【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化题型二：归纳、猜想、证明例4.（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，分别计算2S ，3S ，4S 的值，猜想n S 的表达式为______．例5.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．例6.（2014·广东·高考真题（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =. （1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．题型三：利用数学归纳法证明等式例7．（2021·全国·高考真题（理））记n S为数列{}n a的前n项和，n b为数列{}n S的前n项积，已知212n nS b+=．（1）证明：数列{}n b是等差数列;（2）求{}n a的通项公式．例8.（2015·江苏·高考真题）已知集合，，，令()f n表示集合n S所含元素的个数.（1）写出(6)f的值；（2）当6n≥时，写出()f n的表达式，并用数学归纳法证明.【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．专题7.6 数学归纳法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．【知识点展示】数学归纳法1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *) 时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示【常考题型剖析】题型一：利用数学归纳法证明不等式例1.（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,nn n nb c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈【答案】（1）12n n a ，1n b n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列{}n a 的通项公式，再由数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，进而求得{}n b 的通项公式；（2）把{}n b 的通项公式代入*1,nn n n b c c n N c +=+∈，首先利用数学归纳法证得12n c n >+，再利用放缩法及等差数列的前n 项和，即可证明. 【详解】（1）由23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，可得()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即324410a a a =⎧⎨+=⎩，即4410q q +=，解得2q或12q =，又因为1q >，所以2q ，又由3121a a q==，所以1112n n n a a q --==，因为数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，当1n =时，111122a b =⨯=，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式，所以1(1)2n n n a b n -=+⋅，所以11(1)212n n n n b n --+⋅==+.（2）先用数学归纳法证明当*n N ∈，12n c n >+，①当1n =时，1133,22c n =+=，左式>右式，不等式成立； ②假设n k =时，不等式成立，即12k c k >+，当1n k =+时，11k k k k c c c ++=+，因为1()k f x x x+=+在)+∞上单调递增，由12k c k >+>()12k f c f k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即111122k k c k k ++>+++，可得132k c k +>+，不等式也成立. 由①②得证当*n N ∈，12n c n >+，所以1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅=⎪⎝⎭. 例2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列{}n a 满足：11a =，且211n n n a a na n +=-++，（n 为正整数）．(1)计算：2a ，3a ，4a 的值； (2)猜测{}n a 的通项公式，并证明；(3)设n b 问是否存在使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ≥的正整数均成立的最大整数p ，若存在请求出，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22a =，33a =，44a =(2)()N n a n n *=∈，证明见解析(3)最大整数1p = 【解析】【分析】（1）将1,2,3n =依次代入递推关系式即可；（2）由123,,a a a 可猜想得到n a ；利用数学归纳法可证得猜想；（3）分离变量得111111b p b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪≤，令()111111b b b fn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪=，通过计算()()11f n f n <+可知()()min 1f n f ==p . (1)由题意得：221121122a a a =-+=-+=；2322234433a a a =-+=-+=，2433344a a a =-+=(2)猜想：()N n a n n *=∈；证明：当1n =时，11a =，满足n a n =；假设当()N n k k *=∈时，k a k =成立，那么当1n k =+时，2221111k k k a a ka k k k k k +=-++=-++=+，即当1n k =+时，11k a k +=+成立；综上所述：对于任意n *∈N ，n a n =成立. (3)由（2）得：n b111n b ∴+=；若12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪≤；令()111111b b b f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪=，则()111111111b b b b f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎪+=， ()()1111n f n f n b +∴==++⎪⎭()()2231123f n n f n n ⎡⎤+∴=<=⎢⎥++⎣⎦，()()1f n f n ∴<+，即()f n 递增，()()min 111f n f +∴====p ∴≤ 又p 为整数，∴最大整数1p =.例3．（2017·浙江·高考真题）已知数列{}n x 满足：11x =，()()11ln 1n n n x x x n N *++=++∈证明：当*n N ∈时，（I ）10n n x x +<<；（II ）1122n n n n x x x x ++-≤；（III ）121122n n n x --≤≤. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】【分析】（I ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++，构造函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由()1111ln 1n n n n n x x x x x ++++=++≤+及1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得()121122n n n x n N *--≤≤∈. 【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >．当1n =时，110x =>．假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n N *>∈，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n N *+<<∈．（Ⅱ）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，22'()ln(1)0(0)1x x f x x x x +=++>>+，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n N *++-≤∈．（Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112()022n n x x +-≥->，所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=，故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ．【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化题型二：归纳、猜想、证明例4.（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，分别计算2S ，3S ，4S 的值，猜想n S 的表达式为______．【答案】1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得122n n S S +=+，再利用11S =，可依次求出2S ，3S ，4S 的值，从而可猜想n S ，然后利用数学归纳法证明即可【详解】因为数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，所以122n n S S +=+，得1112n n S S +=+，当1n =时，2113122S S =+=，当2n =时，321137112224S S =+=⨯+=，当3n =时，4311715112248S S =+=⨯+=，由此可猜想1112211222n n n n S ---⋅-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，证明如下：当1n =时，11S =成立，假设当n k =时，成立，即1122k k S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当1n k =+时，1(1)11111111212222222k k k k k S S -+-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当1n k =+时成立，所以1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭例5.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N 时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯，……1114(1)(2)333n n n n n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯⎢⎥⎣⎦，所以1(21)33n n na n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2n n n a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n nS a a a a =++++()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++-11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122nn n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22nn S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．［方法四］：因为12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'，所以12n b b b +++21122322n n -=+⋅+⋅++⋅1(2)12(1)2n nf n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++()1212412(1)212n n nn n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n+++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2nn n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．例6.（2014·广东·高考真题（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =. （1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）13a =，25a =，37a =；（2）21n a n =+. 【解析】【详解】试题分析：（1）由11n n n a S S ++=-代入21234n n S na n n +=--，得到()2122134n n nS n S n n +=+++，然后由3S 的值逐步算出2S 与1S 的值，然后利用11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥求出1a 、2a 、3a 的值；（2）利用（1）中的结论归纳出n a 的通项公式，并以此归纳出n S 的表达式，然后利用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式的正确性.试题解析：（1）由21234n n S na n n +=--得()21234n n n S n S S n n +=---，整理得()2122134n n nS n S n n +=+++，因此有2322453242520S S S =+⨯+⨯=+，即2415520S ⨯=+，解得28S =，同理有21237S S =+，即12837S ⨯=+，解得13S =，113a S ∴==，221835a S S =-=-=，3321587a S S =-=-=；（2）由题意得13222n n S na n +=++，由（1）知13a =，25a =，37a =，猜想21n a n =+，假设当时，猜想成立，即21k a k =+，则有()()()1321222k k k a a k k S k k +++===+，则当1n k =+时，有()()123322232112222k k k k S kk a k k k k ++=++=++=+=++，这说明当1n k =+时，猜想也成立，由归纳原理知，对任意n N *∈，21n a n =+.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．题型三：利用数学归纳法证明等式例7．（2021·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【解析】【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-, 由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】：由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b -=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=．令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n n S b +=，得22=-nn n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ．故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+．下面用数学归纳法证明．当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++．综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；例8.（2015·江苏·高考真题）已知集合，，，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,6223{12,632312,6423122,6523n n n n tn n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意按a 分类计数：1,1,2,3,4,5,6;a b ==2,1,2,4,6;a b ==3,1,3,6;a b ==共13个（2）由（1）知1,1,2,3,,;a b n ==2,1,2,4,,2;a b k ==*3,1,3,,3;()a b k k N ==∈，所以当6n ≥时，()f n 的表达式要按236⨯=除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,6223{12,632312,6423122,6523n n n n tn n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立；②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．。

2023年高考数学一轮复习精讲精练第12练导数的综合问题(解析版)

第12练导数的综合问题学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．若不等式4342x x a ->-对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（） A ．27a <- B ．25a >- C ．29a ≥ D ．29a >【答案】D 【详解】43322()4,()4124(3)f x x x f x x x x x '=-=-=-,当3x <时，()0f x '<，当3x >时，()0f x '>，()f x 的递减区间是(,3)-∞，递增区间是(3,)+∞，所以3,()x f x =取得极小值，也是最小值， min ()(3)27f x f ==-，不等式4342x x a ->-对任意实数x 都成立，所以272,29a a ->->. 故选:D. 2．函数在区间(0,1)内的零点个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B3．已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若方程()e xf x a =有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】()e x f x a =2,0e ,0e x x x x a x x ⎧≥⎪⎪⇔=⎨-⎪<⎪⎩设()2,0e,0e x x xx g x x x ⎧≥⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩当0x ≥时，()1e x x g x ='-所以当01x ≤<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减1x =时，()g x 取得极大值1e当x 趋向于+∞，()g x 趋向于0当0x <时，()()20e xx x g x -'=>，()g x 单调递增依题意可知，直线x a =与()g x 的图象有两个不同的交点如图所示，a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭故选：B4．若关于x 的不等式()()22e 222ln 1x a x a a x -+-+>+-在()2,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,-+∞C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】D 【详解】依题意，()()()22e 221ln 1x a x x a x -+->-+-，则()()222elne 21ln 1x x a x a x --+>-+-（*）．令()2ln g t t a t =+(1)t >，则（*）式即为()()2e 1x g g x ->-．又2e 11x x ->->在()2,+∞上恒成立，故只需()g t 在()1,+∞上单调递增，则()20ag t t'=+≥在()1,+∞上恒成立，即2a t ≥-在()1,+∞上恒成立，解得2a ≥-．故选：D.5．已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（） A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【详解】由函数()y f x =存在零点，则()220x m xe x x x =-->有解，设()()220x h x xe x x x =-->，则()()()()120xh x x e x '=+->，当0ln 2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当ln 2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．则ln 2x =时()h x 取得最小值，且()2ln 2ln 2h =-，所以m 的取值范围是)2ln 2,-+∞⎡⎣．故选：C6．若存在()2,1x ∈--，使得不等式220x kx -+>成立，则实数k 的取值范围为（）A ．()-+∞ B ．(,-∞-C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+【答案】C 【详解】存在(2,1)x ∈--，不等式220x kx -+>成立，则22x k x+>，(2,1)x ∈--能成立，即对于(2,1)x ∈--，22x k x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，令222()x f x x x x +==+，(2,1)x ∈--，则22222()1x f x x x -'=-=，令()0f x x '=⇒=所以当(2,x ∈-，()0()f x f x '>，单调递增，当(1)x ∈-，()0()f x f x '<，单调递减，又(2)(1)3f f -=-=-，所以f(x)>−3，所以3k >-. 故选：C7．已知函数1e ,0,()e ,0,x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩若关于x 的方程2()(1)()0f x m f x m -++=有三个实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．1,(e,)e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0(1,e)e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C ．1,0(e,)e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,(1,e)e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()(1)()0f x m f x m -++=等价于(()1)(())0f x f x m --=，函数()y f x =的图象如图，因为()y f x =的图象与1y =有且仅有一个交点，即()0f x m -=有两个实数解，所以1(1e)e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0，，故选:B .8．若函数21()2f x x a x=--，当13x ≥时，()0f x ≤恒成立，则a 的取值范围（） A ．(],3-∞ B ．[)3,+∞C ．25,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．25,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【详解】解：依题意，当13x ≥时，212a x x ≥-恒成立，令21()2g x x x =-，13x ≥，则max ()a g x ≥，又3321'()2210g x x x -⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭， ∴()g x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，∴max 1225()9333a g x g ⎛⎫≥==-= ⎪⎝⎭，即253a ≥故选：D ．二、多选题9．已知函数22,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x ∈R ，()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值可以是（） A．-B ．C D ．【答案】ABC 【详解】因为函数22,0(),0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，满足对任意的x ∈R ，()f x ax ≥恒成立，当0x <时，22x ax +≥恒成立，即2a x x≥+恒成立，因为2x x+≤-2x x =，即x =所以a ≥-当0x =时，00e ≥恒成立.当0x >时，xe ax ≥恒成立，即xe a x≤恒成立，设()x e g x x =，()()221xx x e x xe e g x x x --'==， ()0,1x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数，()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()()min 1g x g e ==，所以a e ≤，综上所述：a e -≤. 故选：ABC10．已知函数()()ln 1f x x x a x x =+-+在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a 的取值可以为（） A ．－1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】ABC【详解】()()ln 1ln 1a f x x x a x x x x a x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，设()ln 1a g x x a x =+-+则在1x >上，()y f x = 与()y g x =有相同的零点.故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点,即()g x 在区间()1,+∞内没有零点()221a x a g x x x x-'=-=当1a ≤时，()20x ag x x -'=>在区间()1,+∞上恒成立,则()g x 在区间()1,+∞上单调递增.所以()()110g x g >=>，显然()g x 在区间()1,+∞内没有零点. 当1a >时, 令()0g x '>，得x a >，令()0g x '<，得1x a << 所以()g x 在区间()1,a 上单调递减增.在区间(),a +∞上单调递增. 所以()()ln 2g x g a a a ≥=+- 设()()ln 21h a a a a =+->，则()()11101a h a a a a-=-=<> 所以()h a 在()1,+∞上单调递减,且()()3ln310,4ln420g g =->=-< 所以存在()03,4a ∈，使得()00h a =要使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，则()ln 20g a a a =+-> 所以()013,4a a <<∈综上所述，满足条件的a 的范围是()03,4a a <∈由选项可知：选项ABC 可使得()g x 在区间()1,+∞内没有零点，即满足题意. 故选：ABC11．若存在正实数x ，y ，使得等式24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值可能是（） A ．1e-B ．31e C ．21e D ．2【答案】ACD 【详解】解：由题意，a 不等于0，由24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=，得24(3e )ln 0y y a x x +-=，令(0)y t t x =>，则24ln 3e ln t t t a -=-，设2()ln 3e ln g t t t t =-，则23e ()1ln g t t t'=+-，因为函数()g t '在(0,)+∞上单词递增，且2(e )0g '=，所以当20e t <<时，()0g t '<，当2t e >时，()0g t '>，则()g t 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增，从而22min ()(e )4e g t g ==-，即244e a -≥-，解得21ea ≥或0a <. 故21(,0),e a ⎡⎫∈-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：ACD.12．已知函数()x af x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（）A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立B ．当01a <<时，()f x 有且仅有一个零点C ．当e a >时，()f x 有两个零点D ．存在1a >，使得()f x 存在三个极值点【答案】ABC 【详解】对于A 选项，当e a =时，()0f x ≥，即eln 1e eln e x x x x x x ≥⇔≥⇔≤，设()ln x g x x=，则()21ln xg x x-'=，故当()0,e x ∈时，()0g x '>，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()ln e 1e e eg x g ≤==，故A 正确；对于B 选项，当01a <<时，()x af x a x =-单调递减，且当0x +→时，()1f x →，()110f a =-<，因此()f x 只有一个零点，故B 正确；对于C 选项，()0ln ln x af x a x x a a x =⇔=⇔=，即ln ln x ax a=，当e a >时，由A 选项可知，()10eg a <<，因此()()g x g a =有两个零点，即()f x 有两个零点，故C 正确；对于D 选项，()1ln xa f x a a ax-'=-，令()0f x '=，得11ln x a a a x --=，两边同时取对数可得，()()()1ln ln ln 1ln x a a a x -+=-，设()()()()1ln ln ln 1ln h x x a a a x =-+--，则()1ln a h x a x -'=-，令()0h x '=，得1ln a x a -=，则()h x 在10,ln a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,ln a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此()h x 最多有两个零点，所以()f x 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC. 三、填空题13．已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭14．已知函数ln ()1x xf x ae x=--两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=，则 ln 0x axe x x --=，令 ()ln xg x axe x x =--，则 ()()1111x x x g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭，当 0a ≤时， ()0g x '<在()0,∞+上恒成立，()g x 递减，不可能有两个零点，当0a >时，存在0x 使得 ()00g x '=，即 01x ae x =，当00x x <<时， ()00g x '<，当 0x x >时， ()00g x '>，若()f x 两个不同的零点，即()g x 有两个零点，则 ()00g x <，即()0000001ln 1ln 1ln0x xg x ax e x x e x a=--=-=-<，解得10a e<<，故答案为：10,e ⎛⎫⎪⎝⎭15．已知函数212,0()ln(),0x x f x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-<⎩，()()g x f x x a =-+，若函数()g x 只有唯一零点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)2,-+∞【详解】令()()0g x f x x a =-+=，得()f x x a -=-，则12,0()ln(),0x f x x xx x x ⎧+>⎪-=⎨⎪--<⎩ 当0x <时，令()ln y x x =--，所以110y x'=-<，则ln()y x x =--在(,0)-∞单调递减，所以函数12,0()ln(),0x f x x x x x x ⎧+>⎪-=⎨⎪--<⎩与y a =-的图象，由图象可知，当2a -≤，即2a ≥-时，图象有1个交点，即()g x 存在1个零点. 故答案为：[)2,-+∞16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】[)0,∞+ 【详解】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∴()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()001e 00h =-⨯=，∴0m ≥．故答案为：[)0,∞+. 四、解答题 17．已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =x =()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.18．已知函数()3222f x x ax =-+．（1）若3a =，求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）6；（2）()+∞【详解】解：（1）当3a =时，()32232f x x x =-+，所以()()26661f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得1x >或0x <，令()0f x '<，解得01x <<，所以()f x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以当0x =时，()f x 取得极大值为()02f =，当2x =时()26f =，所以函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值为6；（2）由()3222f x x ax =-+，所以()()26223f x x ax x x a '=-=-，当0a =时()260f x x '=≥所以函数在定义域上单调递增，则()f x 只有一个零点，故舍去；所以0a ≠，令()0f x '=得0x =或3a x =，函数()f x 有三个零点，等价于()f x 的图象与x 轴有三个交点，函数的极值点为0x =，3a x =，当0a >时，令()0f x '>得0x <或3a x >，所以函数在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<得03a x <<，所以函数在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数在0x =处取得极大值()02f =，在3a x =处取得极小值320327a a f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解得a >；当0a <时，令()0f x '>得0x >或3a x <，所以函数在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，令()0f x '<得03a x <<，所以函数在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数在0x =处取得极小值()02f =，所以()f x 的图象与x 轴不可能有三个交点；综上可得a >，即()a ∈+∞ 19．已知函数()1ln f x x a x x=-+. (1)若()f x 在()0,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；(2)记()f x 的两个极值点为1x ，2x ，求证：()()12122f x f x x x +<+-.【解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=--+=-，又()f x 单调， ∴210x ax -+≥对0x >恒成立，即1a x x≤+(0x >)恒成立，而12x x +≥，当且仅当1x =时取等号，∴2a ≤.(2)由（1）知：1x ，2x 是210x ax -+=的两个根，则120x x a +=>，121=x x ，且240a ∆=->， ∴2a >，故122x x a +=>，()()()121122121211ln ln ln 0f x f x x a x x a x a x x x x +=-++-+==，而20a ->， ∴()()12122f x f x x x +<+-，得证.。

备考2024年新高考数学一轮复习专题1-2 常用逻辑用语含详解

专题1.2常用逻辑用语题型一充分条件与必要条件的判定题型二根据充分（必要）条件求参数的范围题型三全称（存在）量词命题的否定题型四全称（存在）量词命题真假的判断题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围题型一充分条件与必要条件的判定例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量()2(1,),,4a x b x x == ，则“||2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“0ab >”是“0a b +>”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件练习2．（2023·重庆·统考二模）“20x x -<”是“e 0x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“2e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y -+=，其中0a >，则使得两圆相交的一个充分不必要．．．．．条件可以是（）A ．35a <”是“x >m ”的充分不必要条件，若Z m ∈，则m 取值可以是___________（满足条件即可）.题型二根据充分（必要）条件求参数的范围例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．a<0D ．01a <<例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，则α的一个可能值是__________.练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知x ∈R ，条件:01p x <<，条件1:q a x≥()0a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．0<1a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．0a >练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数()()()2e e -=-++x xf x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“m a >”是“63m ≥”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合2}{|+280A x x x =-≤，{|433}B x m x m =-≤≤+．(1)求A ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．题型三全称（存在）量词命题的否定例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，2210x x x +-+≤B ．x ∀∈R ，2210x x x +-+<C ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+<D ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“[]1,2x ∃∈-，21x <”的否定是（）A ．[]1,2x ∃∈-，21x ≥B ．[]1,2x ∃∉-，21x <C ．[]1,2x ∀∈-，21x <D ．[]1,2x ∀∈-，21x ≥练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“2010x x ∀>->，”的否定是（）A ．2010x x ∀≤->，B ．2010x x ∃>->，C ．2010x x ∃≤-≤，D ．2010x x ∃>-≤，练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是（）A ．R,sin x x x ∃∈≥B ．R,sin x x x ∃∉≥C ．R,sin x x x∀∈<D ．R,sin x x x∀∈≥练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题{}:15p x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A ．{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤B ．{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C ．{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤D ．{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“0x ∃>，0x x +≥”的否定是（）A ．0x ∀<，0x x +，0x x +<C ．0x ∀>，0x x +≤D ．0x ∀<，0x x +≤练习15．（2021秋·高一课时练习）命题00:0,21p x x ∃><，则命题p 的否定是（）A ．000,21x x ∃>≥B ．000,21x x ∃≤≥C ．0,21x x ∀>≥D ．0,21x x ∀≤≥题型四全称（存在）量词命题真假的判断例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题:N e 0，x p x ∃∈<（e 为自然对数的底数）2;:R 0q x x x ∀∈+≥，，则下列为真命题的是（）A ．p 真，q 假B ．p 真，q 真C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈，233x +≥;②0R x ∃∈，233x +≤;③所有的量词都是全称量词.练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R Q ðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题．．．是（）A ．0x ∃∈R ，0lg 1x =B ．0x ∃∈R ，0sin 0x =C ．x ∀∈R ，30x >D ．x ∀∈R ，20x >练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合{}02A x x =<<，{}244150B x x x =--<，则（）A ．x A ∃∈，xB ∉B ．x B ∀∈，x A ∈C ．x B ∃∈，x A∈D ．x A ∀∈，x B∉练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．2,30x x ∀∈+<RB ．2,1x x ∀∈≥NC ．5,1x x ∃∈<Z D ．2,5x x ∃∈=Q 练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=RB ．p 的否定：2,10x x "Î+=RC ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200310x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（）．A ．B ．C ．4D ．5例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题2:R,210p x ax x ∀∈++≠”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是______________.练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．0m ≥D ．1m <练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题2024:,31p x a x ∀∈<+R ，若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________.练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为______．练习25．（2021秋·高一课时练习）若“2R,30x x x m ∃∈++=”是真命题，则实数m 的取值范围是________．专题1.2常用逻辑用语题型一充分条件与必要条件的判定题型二根据充分（必要）条件求参数的范围题型三全称（存在）量词命题的否定题型四全称（存在）量词命题真假的判断题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围题型一充分条件与必要条件的判定例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量()2(1,),,4a x b x x == ，则“||2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得2x =±，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为()2(1,),,4a x b x x == 且//a b ，可得34x x =，解得2x =±或0x =，又因为b为非零向量，所以2x =±，即||2x =，故“||2x =”是“//a b ”的充要条件．故选：C.例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞【答案】CD【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】解不等式5log 32)1(x -<得：0321x <-<，解得312x <<，即原不等式的解集为3(1,)2，(1,0)-、(1,1)-与3(1,)2的交集都空集，因此选项A ，B 都不是；而3(1,2(1,2)-，3(1,)2(1,)-+∞，因此选项C 、D 都是.故选：CD练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“0ab >”是“0a b +>”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】先推导出充分性不成立，再举出反练习得到必要性不成立.【详解】因为0ab >，所以0,0a b >>或0,0a b <<，则0a b +>或0a b +<，故充分性不成立，若1,2a b =-=，满足0a b +>，但不满足0ab >，必要性不成立，故“0ab >”是“0a b +>”的既不充分又不必要条件.故选：D练习2．（2023·重庆·统考二模）“20x x -<”是“e 0x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.【详解】由20x x -<可得其解集为：}{01x x x ∈<<，由e 0x >可得其解集为：x ∈R .而}{01x x <<ÜR ，即由“20x x -<”可以推出“e 0x >”，反过来“e 0x >”不能推出“20x x -<”，故“20x x -<”是“e 0x >”的充分不必要条件.故选：A练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“32e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论,m n 判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.【详解】当m n >时32m n e m -=4=m n ；当m n <时32n m e n-=4n m =；所以32e =4=m n ，充分性不成立；当4=m n 时，则2e ==，必要性成立；综上，“2e =”是“4=m n ”的必要不充分条件.故选：B练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y -+=，其中0a >，则使得两圆相交的一个充分不必要．．．．．条件可以是（）A ．35a <<B ．36a <<C ．45a <<D ．25a <<【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.【详解】由1(0,0)C 且半径11r =，2(,0)C a 且半径24r =，结合a 大于0，所以2121r r a r r -<<+时，两圆相交，则35a <<，由选项可得A 选项为35a <<的充要条件；B 、D 选项为35a <<的必要不充分条件；C 选项为35a <<的充分不必要条件；故选：C练习5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，若Z m ∈，则m 取值可以是___________（满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足1m <且Z m ∈均可）.【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，且Z m ∈，所以1m <且Z m ∈，故可取0，故答案为：0（答案不唯一，满足1m <且Z m ∈均可）题型二根据充分（必要）条件求参数的范围例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．a<0D ．01a <<【答案】B【分析】2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是：1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩，解不等式组即可求出a 的取值范围.【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是：Δ440210a a a⎧⎪=+>⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩，解得10a -<<，故选：B.例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，则α的一个可能值是__________.【答案】π4（只需满足()π2π,2π2k k k α⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z 即可）【分析】解不等式sin cos 1x x +>，可得出满足条件的一个α的值.【详解】由sin cos 1x x +>π14x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则πsin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以，()ππ3π2π2π444k x k k +<+<+∈Z ，解得()π2π2π2k x k k <<+∈Z ，因为“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，故α的一个可能取值为π4.故答案为：π4（只需满足()π2π,2π2k k k α⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z 即可）.练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知x ∈R ，条件:01p x <<，条件1:q a x≥()0a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．0<1a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．0a >【答案】A【分析】先求出条件q 的x 的范围，再根据充分不必要建立不等式求解即可.【详解】条件q ：由不等式()10a a x>≥，解得：10<≤x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则()0,110,a ⎛⎤⎥⎝⎦，所以11a≥解得01a <≤.故选：A ．练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数()()()2e e -=-++x x f x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求得2()(22)0x x axc --+=e e 恒成立，即可求出a ，c ，再验证0b =时情况即可判断作答.【详解】显然函数2)())((x x f x ax bx c -=-++e e 定义域为R ，因()f x 是偶函数，即R,()()x f x f x ∀∈-=，亦即22()(()())x x x x ax bx c ax bx c ---++=--+e e e e ，整理得2()(22)0x x ax c --+=e e ，而e e x x --不恒为0，因此，2220ax c +=，即0a =且0c =，当0b =时，()0f x =也是偶函数，D 不正确，所以一定正确的是C.故选：C练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“m a >”是的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．【答案】0【分析】先由集合与充分必要的关系得到23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭是{}m m a >的真子集，从而利用数轴法得到23<a ，由此得解.【详解】因为“m a >”是3”的必要不充分条件，所以⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭是{}m m a >的真子集，23m ≥，所以23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭是{}m m a >的真子集，所以23<a ，所以实数a 能取的最大整数为0.故答案为：0.练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合2}{|+280A x x x =-≤，{|433}B x m x m =-≤≤+．(1)求A ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．【答案】(1)[]4,2-(2)1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出20+28x x -≤即可；（2）由题意知若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件则集合A 是集合B 的真子集，求出m 的取值范围，再讨论即可.【详解】（1）由20+28x x -≤，可得()()420x x +-≤，所以42x -≤≤，所以集合[4,2]A =-.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集，由集合A 不是空集，故集合B 也不是空集，所以7433214400333213m m m m m m m m ⎧≥-⎪-≤+⎧⎪⎪-≤-⇒≤⇒-≤≤⎨⎨⎪⎪+≥⎩⎪≥-⎩，当13m =-时，13{|2}3B x x =-≤≤满足题意，当0m =时，{|43}B x x =-≤≤满足题意，故103m -≤≤，即m 的取值范围为1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．【答案】(1)(3,4](2)()2,-+∞【分析】（1）首先求解集合B ，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；（2）根据条件转化为R A B ≠∅ ð，列式求a 的取值范围.【详解】（1）()2log 12x -≤，得014x <-≤，解得：15x <≤，即{}15B x x =<≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，所以B A ，则32131215a a a a -<-⎧⎪-≤⎨⎪->⎩，解得：34a <≤；（2）由条件可知，R A B ≠∅ ð，{1R B x x =≤ð或5}x >，所以31321a a a -<⎧⎨-<-⎩或215321a a a ->⎧⎨-<-⎩，解得：2a >-，所以a 的取值范围是()2,-+∞题型三全称（存在）量词命题的否定例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，2210x x x +-+≤B ．x ∀∈R ，2210x x x +-+<C ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+<D ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤【答案】D【分析】对全称量词的否定用存在量词，直接写出p ⌝.【详解】因为对全称量词的否定用存在量词，所以命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>的否定为：0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤.故选：D例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“[]1,2x ∃∈-，21x <”的否定是（）A ．[]1,2x ∃∈-，21x ≥B ．[]1,2x ∃∉-，21x <C ．[]1,2x ∀∈-，21x <D ．[]1,2x ∀∈-，21x ≥【答案】D【分析】由存在量词命题的否定形式可直接确定结果.【详解】由存在量词命题的否定知：原命题的否定为[]1,2x ∀∈-，21x ≥.故选：D.练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“2010x x ∀>->，”的否定是（）A ．2010x x ∀≤->，B ．2010x x ∃>->，C ．2010x x ∃≤-≤，D ．2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】命题“2010x x ∀>->，”的否定是2010x x ∃>-≤，,故选：D练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是（）A ．R,sin x x x ∃∈≥B ．R,sin x x x∃∉≥C ．R,sin x x x ∀∈<D ．R,sin x x x∀∈≥【答案】A【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.【详解】命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是“R,sin x x x ∃∈≥”.故选：A练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题{}:15p x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A ．{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤B ．{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C ．{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤D ．{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题{}15x x x ∀∉≤≤，245x x ->是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤，故选：B练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“0x ∃>，0x x +≥”的否定是（）A ．0x ∀<，0x x +，0x x +<C ．0x ∀>，0x x +≤D ．0x ∀<，0x x +≤【答案】B【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题：“0x ∃>，0x x +≥”为存在量词命题，该命题的否定为“0x ∀>，0x x +<”.故选：B.练习15．（2021秋·高一课时练习）命题00:0,21p x x ∃><，则命题p 的否定是（）A ．000,21x x ∃>≥B ．000,21x x ∃≤≥C ．0,21x x ∀>≥D ．0,21x x ∀≤≥【答案】C【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到答案.【详解】命题00:0,21p x x ∃><，的否定是0,21x x ∀>≥，故选：C题型四全称（存在）量词命题真假的判断例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题:N e 0，x p x ∃∈<（e 为自然对数的底数）2;:R 0q x x x ∀∈+≥，，则下列为真命题的是（）A ．p 真，q 假B ．p 真，q 真C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假【答案】C【分析】由全称量词，存在量词定义判断命题p ，q 正误可得答案.【详解】,e 0,x x ∀∈>∴N 命题p 为假命题，x ∀∈Q R ，必有20,0x x ≥≥，所以20x x +≥，∴命题q 为真命题.故选：C.例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈，233x +≥;②0R x ∃∈，2033x +≤;③所有的量词都是全称量词.【答案】①②【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的含义判断命题的真假即可.【详解】①因为20x ≥，所以R x ∀∈，233x +≥，故①为真命题；②当00x =时，2033x +=，所以0R x ∃∈，2033x +≤，故②为真命题；③量词有全称量词和存在量词，故③为假命题.故答案为：①②.练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R QðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P ∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð【答案】B【分析】根据条件画出Venn 图，根据图形，判断选项.【详解】因为R Q ðR P ð，所以P Q ，如图，对于选项A ：由题意知P 是Q 的真子集，故∃∈x Q ，x P ∉，故不正确，对于选项B ：由R Q ð是R P ð的真子集且R Q ð，R P ð都不是空集知，0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ð，故正确.对于选项C ：由R Q ð是R P ð的真子集知，x Q ∀∉，x P ∉，故不正确，对于选项D ：Q 是R P ð的真子集，故R x P ∃∈ð，R x Q ∉ð，故不正确，故选：B练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题．．．是（）A ．0x ∃∈R ，0lg 1x =B ．0x ∃∈R ，0sin 0x =C ．x ∀∈R ，30x >D ．x ∀∈R ，20x >【答案】C【分析】A 、B 、C 可通过取特殊值法来判断；D 由指数函数的性质来判断.【详解】当010x =时，0lg lg101x ==，故A 正确；当00x =时，0sin sin 00x ==，故B 正确；当0x <时，30x <，故C 错误；由指数函数的性质可知，x ∀∈R ，20x >，故D 正确.故选：C.练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合{}02A x x =<<，{}244150B x x x =--<，则（）A ．x A ∃∈，xB ∉B ．x B ∀∈，x A∈C ．x B ∃∈，x A ∈D ．x A ∀∈，x B∉【答案】C【分析】先求出B ，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】{}2354415022B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，则集合A 是集合B 的真子集，所以x A ∀∈，x B ∈，x B ∃∈，x A ∈，故ABD 错误，A 正确.故选：C.练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．2,30x x ∀∈+<R B ．2,1x x ∀∈≥N C ．5,1x x ∃∈<Z D ．2,5x x ∃∈=Q 【答案】C【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【详解】对于A ，因为20x ≥，所以2,33x x ∀∈+≥R ，A 错误；对于B ，当0x =时，21x <，B 错误；对于C ，当0x =时，51<x ，C 正确；由25x =可得x =均为无理数，故D 错误，故选:C.练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=R B ．p 的否定：2,10x x "Î+=R C ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题【答案】AC【详解】p 的否定为“2,10x x $Î+=R ”，A 对B 错；2,11x x "Î+³R ，所以p 是真命题，则p 的否定是假命题，故C 对D 错.故选：AC题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200310x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（）．A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意得到1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+≥成立是真命题，转化为13x x λ+≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由基本不等式得到1323x x+≥，从而得到23λ≤，从而求出答案.【详解】由题意得：1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+≥成立是真命题，故13x x λ+≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由基本不等式得：1132323y x x x x =+≥⋅=，当且仅当13x x =，即31,232x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，故23λ≤，故选：B.例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题2:R,210p x ax x ∀∈++≠”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是______________.【答案】{}1a a ≤【分析】问题等价于2210ax x ++=有解，即Δ4400a a =-≥⎧⎨≠⎩或0a =，解得答案.【详解】已知问题等价于2210ax x ++=有解，即Δ4400 a a =-≥⎧⎨≠⎩或0a =，解得1a ≤.故答案为：{}1a a ≤练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．0m ≥D ．1m <【答案】C【分析】由否命题为真命题可得2min ()x m ≤，求2y x =的最小值即可.【详解】因为命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，所以命题“[1,4]x ∃∈-时，2x m ≤”是真命题，即有2min ()x m ≤，易知当0x =，2y x =有最小值0,所以0m ≥.故选：C练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】C 【分析】由题知[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x ∃∈-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，因为，2239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当[]1,1x ∈-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x ∈-时，()200min 32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+∞故选：C练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题2024:,31p x a x ∀∈<+R ，若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(),1-∞【分析】根据题意知202431a x <+恒成立，求出x ∈R 时，202431x +的最小值，即可求出实数a 的取值范围.【详解】若2024,31x a x ∀∈<+R 为真命题，等价于()2024min 31a x<+，∵20240x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，∴2024311x +≥，即()2024min 131x +=，可得1a <，故实数a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】2m ≤【分析】根据命题的否定得“{}11x x x ∃∈-≤≤，使得20x x m --≥成立”是真命题，进而转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，故“{}11x x x ∃∈-≤≤，使得20x x m --≥成立”是真命题，因此{}11x x x ∃∈-≤≤，使2m x x ≤-，只需要()2max m x x ≤-，而二次函数()2f x x x =-在112⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减，在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，故当=1x -时，()f x 取最大值()1=2f -，因此2m ≤，故答案为：2m ≤练习25．（2021秋·高一课时练习）若“2R,30x x x m ∃∈++=”是真命题，则实数m 的取值范围是________．【答案】94m ≤【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.【详解】根据题意知，2340m ∆=-≥，解得，94m ≤，所以实数m 的取值范围是94m ≤.故答案为：94m ≤。

高考数学第一轮总复习7-1(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,含解析)新人教版B版

121.( 文)(2012 ·天津文，5) 设x∈ R，则“x>2”是“2x＋x－1>0”的 () A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不必需条件[答案]A[ 分析 ]此题考察充要条件，解一元二次不等式的知识．由 2x2＋x－ 1>0 得( x＋ 1)(2 x－ 1)>0 ，即 x112＋x－1>0，<－ 1 或x> ，又因为x>? 2x22而 2x 2－ 1>0?/x1＋>，选A. x2( 理 )(2012·河北保定模拟 ) 若a>0 且a≠1，b>0，则“ log a b>0”是“(a－1)( b－ 1) ＞0”的()A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件[答案]C[ 分析 ] ∵a>0 且a≠1，b>0，∴ log b>0?0<a<1，或a>1，? ( a－ 1)( b－ 1)>0.0< <1，>1.ab b2．( 文 )(2 011·甘肃天水一中期末) 已知a、b为非零实数，且a<b，则以下不等式建立的是()22 1 1A．a b1 111C.ab2<a2bD.a－b>a[答案] C[分析]∵，b 为非零实数，且< ，∴当＝－ 5，＝ 1 时， A、 B 不建立，当＝ 1，ba ab a b a＝2 时， D不建立，应选 C.2 2 a b 1 1[评论] C 可证明以下：∵a、b为非零实数，∴a b >0，∵a<b，∴a2b2<a2b2，∴ab2<a2b.( 理)(2011 ·泉州质检 ) 已知a、a∈ (0,1)，记 M＝ a a ，N＝ a ＋ a －1，则 M与 N 的大121212小关系是 ()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确立[答案]B[分析]由题意得－＝－－＋1＝(－ 1)(－1)>0，故>，选B.3．(2011 ·山东临沂模拟 ) 已知 0<a 0B ． 2<2b aa ＋b 1C ． 2< 2D ． log 2a ＋ log 2b <－ 2[答案]D13[ 分析 ]当 a ＝ 4， b ＝ 4时 A 不建立；a － b1a －b － 1a －b <－ 1，对B 有2 <2? 2<2 ? 又 a ＋b ＝ 1，可得 a <0，与 a >0 矛盾；b ab aa ＋b 1a ＋b－ 1b a b a对C 有2< 2? 2<2 ? a ＋ b <－ 1，与 a ＋ b >2( ∵ a ≠ b ，且 a >0，b >0) 矛盾，故选 D.4．(2011 ·海南三亚联考22－ 2mx ＋ 1>0，若) 已知 p ：? x ∈ R ， mx ＋2≤0， q ：? x ∈ R ，x p ∨ q 为假命题，则实数 m 的取值范围是 ()A ． m ≥1B ． m ≤－ 1C ． m ≤－ 1 或 m ≥1D ．－ 1≤ m ≤1[答案] A[ 分析 ] ∵ p ∨ q 为假命题，∴ p 和 q 都是假命题．22由 p ：? x ∈ R ， mx ＋2≤2 为假，得 ? x ∈ R ， mx ＋2>0，∴ m ≥0. ①由 q ：?x ∈ R ，x 2＋ 1>0 为假，得 ?x 0∈ R ，2－ 2 0＋1≤0，－2mxxmx22②∴Δ＝ ( － 2m ) －4≥0? m ≥1? m ≤－ 1 或 m ≥1.由①和②得 m ≥1，应选 A.5．( 文)(2011 ·吉林长春模拟 ) 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ( －∞， 0] 上是减函数，1且 f 2 ＝ 2，则不等式 f (log 4x )>2 的解集为 ()1A ．(0， 2) ∪(2 ，＋∞ )B ． (2 ，＋∞)C ．(0，22 ))∪( 2，＋∞) D． (0，2 2[答案 ] A[分析]作出函数f ( x ) 的表示图如图，则log 4 x 1或 log 41 x >2或0<x 1> <－，解得< . 故2 x 22选 A.x －1， x <2，2e( 理)(2011 ·河南郑州第二次模拟) 设 f ( x ) ＝ log 3x 2－ 1 ，x ≥2，则不等式f ( x )<2 的解集为 ()A ． ( 10，＋∞ )B ． (－∞， 1)∪[2 ， 10)C ． (1,2) ∪( 10，＋∞ )D ． (1， 10)[答案]Bx <2 ，≥ ，x <2，x ≥2，[ 分析 ] f ( x )<2 ?或x2或x － 1log2 <2.?x <10.?2e<2，3x － 1x <1，x <1 或 2≤ x < 10，应选 B.6．(2012 ·哈尔滨三中模拟 ) 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，当 0< <1 时， f ( x ) ＝lg x .x635设 a ＝ f ( 5) ， b ＝ f ( 2) ， c ＝ f ( 2) ，则 ()A ． a <b <cB ． b <a <cC ． c <b <aD ． c <a <b[答案] D[分析] ∵ f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，51 3 1 6 4∴ f ( 2) ＝ f ( 2) ， f ( 2) ＝－ f ( 2) ， f ( 5) ＝－ f ( 5) ，14∵ 0<x <1 时， f ( x ) ＝ lg x ，∴ f ( 2)< f ( 5)<0 ，14 1∴ f ( 2)<0< － f ( 5)< － f ( 2) ，即 c <a x2－x的解集为 {x|1<x<2} ，则实数的值为 ________．m x m[答案]2[分析]解法 1：由m( x－ 1)> x2－x整理得 ( x－ 1)(m－ x)>0，即( x－1)( x－ m)<0，又 m( x －1)> x2－x的解集为 { x|1< x<2} ，因此m＝2.解法 2：由条件知，x＝2是方程 m( x－1)＝ x2－x 的根，∴m＝2.9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙＝＋＋ ( 、为正实数 )，若 1⊙<3，b ab a b a b k则 k 的取值范围为________．[ 答案 ] (0,1)[ 分析 ]由题意得1⊙k＝k＋1＋k<3，即(k＋2)(k－1)<0，因此0<k<1.10．欣园食品加工厂要为员工每人配一身工作服和若干帮手套，市场价每套工作服53元，手套 3 元一副，该工厂联系了两家商铺，因为用货量大，这两家商铺都给出了优惠方法．商铺甲：买一赠一，买一套工作服赠予一帮手套；商铺乙：打折，按总价的95%收款．现该工厂需要工作服75 套，手套若干( 许多于 75 套 ) ，若你是厂长，你选择哪一家？[ 分析 ]设需要手套x 副，付款数为 y 元，按商铺甲的优惠方法付款：y1＝75×53＋3( x －75) ＝ 3x＋ 3750( x≥75) ；按商铺乙的优惠方法付款：y2＝(75×53＋3x)×95%＝2.85 x＋3776.25( x≥75)．令 y1＝ y2，即3x＋3750＝2.85 x＋3776.25，解得 x＝175，即购置175帮手套时，两商铺优惠同样．当 75≤x<175 时，y1<y2，选商铺甲省钱；当 x>175时， y1>y2，选商铺乙省钱．综上所述，当买175 帮手套时，两商铺的价钱同样，选择哪个商铺都能够；当买的手套数多于75 套少于 175 套时，选商铺甲优惠；当买的手套数多于175 副时，选商铺乙优惠.能力拓展提高11.( 文 ) 若对于x 的不等式( m－1) x<4x－x2的解集为 { x|0< x<2} ，则实数m 的值是()1A. 2B． 1C．2 D ．0[答案]C[分析]在同一平面直角坐标系中画出函数y＝4x－x2和y＝ ( m－ 1) x的图象，联合题意及图象可知，函数y ＝( －1)x的图象必经过点(2,2)，即有 2(－1) ＝ 2，求得＝2. 应选m m mC.( 理)(2011 ·杭州二模 ) 对于实数x，规定 [ x] 表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[ x]2－ 36[ x] ＋ 45<0 建立的x的取值范围是 ()315A．( 2，2 ) B ．[2,8]C． [2,8)D ． [2,7][答案]C[分析]由 4[ ] 2－36[x ] ＋45<0，得3<[x]<15，x22又 [ x] 表示不大于x的最大整数，因此2≤x<8.12．( 文 ) (2012 ·延边州质检 ) 函数f (x) 的定义域为 R， (1)＝ 8，对随意x∈R，′( )>6 ，f fx设 F( x)＝ f ( x)－6x－2，则 F( x)>0的解集为()A．(1，＋∞) B ． ( －1,1)C． ( －∞，－ 1) D ． ( －1，＋∞)[答案]A[ 分析 ] ∵f′(x)> 6，∴ F′(x)＝f′(x)－6>0，∴F( x)为增函数，又 F(1)＝ f (1)－6－2＝8－6－2＝0，∴ F( x)>0，即 F( x)> F(1)，∴ x>1，应选 A.( 理)(2012 ·包头一中期末) 设偶函数 f ( x)知足 f ( x)＝2x－4( x≥0)，则{ x| f ( x－2)>0}＝()A． { x| x<－ 2 或x>4} B ． { x| x<0 或x>4}C． { x| x<0 或x>6} D ． { x| x<－ 2 或x>2}[答案]B[ 分析 ]令t＝x－2，则f(x－2)>0化为f(t)>0，∴ t≥0时，2t－4>0，∴t>2，又f(x)为偶函数，∴ t <0时， f ( t )>0的解为 t <－2，∴ x－2>2或 x－2<－2，∴ x>4或 x<0，应选B.[评论]也能够先由偶函数定义求出 f ( x)在R上的分析式，再代入 f ( x－2)>0中化为对于 x 的不等式组求解．13．(2011 ·海淀抽检 ) 若对于x的不等式 4x－ 2x＋1－a≥0在 [1,2]上恒建立，则实数 a 的取值范围为 ________．[答案]( －∞， 0][ 分析 ] ∵ 4x－ 2x＋1－a≥0在[1,2]上恒建立，x x ＋1∴4 － 2 ≥a在[1,2] 上恒建立．令 y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴ 2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当x＝ 2，即x＝ 1 时，y有最小值 0，∴a∈ ( －∞， 0]．26*14．(2012 ·重庆市期末 ) 已知a>1，若不等式 log a＋1x－ log a x＋5<n＋n对随意n∈N 恒成立，则实数 x 的取值范围是________．[答案](1 ，＋∞)6*[ 分析 ] ∵n>0，n＋n≥26，当n＝6时取等号，但n∈N，∴ n＝2或3，当 n＝2时， n 666＋n＝ 5，当n＝ 3 时，n＋n＝ 5，∴n＋n≥5，由条件知， log a＋1x－log a x＋ 5<5，∴log a＋1x<log a x，又 a>1，∴ x>1.ax－515．已知对于x 的不等式x2－a<0的解集为 M.(1 ) 当a＝ 4 时，求会合M；(2)若 3∈M且 5?M，务实数a的取值范围．4x－ 55 [分析](1) a＝4 时，不等式化为x2－4<0，解得M＝(－∞，－2)∪4，2 .3a－ 5<0，3∈ ，9－aM(2) a≠25 时，由得5a－55?M，25－a≥0.∴∈1，5∪ (9,25) ；a3当 a＝25时，不等式化为25x－ 5 2<0，x －251∴M＝(－∞，－5)∪5，5 .知足 3∈M且 5?M，∴a＝25 知足条件．综上得 a 的取值范围是1，5．3∪ (9,25]16． ( 文 ) 已知向量a ＝ (， ) ，＝(1－，) ，此中∈R. 若f() ＝·.x m b x x m x a b(1)当 m＝3时解不等式 f ( x)< x；(2) 假如f ( x) 在( － 2，＋∞ ) 上单一递减，务实数m的取值范围．[ 分析 ]因为a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，因此 f ( x)＝ a·b＝－ x2＋( m＋1) x.(1)当 m＝3时， f ( x)＝－ x2＋4x，不等式 f ( x)< x，即－ x2＋4x<x，解得 x>3或 x<0，因此 m＝3时，不等式 f ( x)< x 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．2m＋1(2) 假如f ( x) ＝－x＋ ( m＋1) x在 ( －2，＋∞ ) 上单一递减，则有2≤－2，解得m≤－5，因此实数 m的取值范围是m≤－5.( 理 ) 某产品生产厂家依据过去的生产销售经验获得下边相关生产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为G( x)(万元)，此中固定成本为 2 万元，而且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元 ( 总成本＝固定成本＋生产成本) ；销售收入R( x)(万元)知足：－ 0.4 x2＋4.2 x－ 0.80≤x≤ 5，R( x)＝10.2x>5.假设该产品产销均衡，那么依据上述统计规律．(1)要使工厂有盈利，产量 x 应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？[分析]依题意， G( x)＝x＋2设收益函数为 f ( x)，则f ( x)＝－ 0.4 x2＋3.2 x－ 2.80≤x≤5，8.2 －xx>5 .(1)要使工厂有盈利，即解不等式f ( x)>0，当0≤ x≤5时，解不等式－0.4 x2＋3.2 x－2.8>0即x2－8x＋7<0，得1<x<7，∴ 1<x≤5.当 x>5时，解不等式8.2 －x>0，得x<8.2，∴5<x<8.2综上所述，要使工厂盈利， x 应知足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100 台，小于820台的范围内．(2)0 ≤x≤5时，f ( x) ＝－ 0.4( x－4) 2＋ 3.6 ，故当 x＝4时， f ( x)有最大值 3.6，而当 x>5时， f ( x)<8.2－5＝3.2.因此，当工厂生产400 台产品时，盈利最多．π2x<1”是“ x sin x<1”的()1．设 0<x< 2，则“x sinA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件[答案]Bπ2[ 分析 ] ∵ 0<x< 2，∴ 0<sin x<1，∴ 0<sin x<sin x<1∴sin2<s inxx x x则 x·sin x<1? x·sin2x<1建立，但 x sin2x<1建即刻，得不出 x sin x<1建立，∵ x sin2x<1 11? x sin x<sin x，但sin x<1 必定不建立．应选 B.2．已知> ≥2，有以下不等式：①b 2>3－；②1＋4>211；③ >＋；④＋a b b aab a b ab a blog 3>log3，此中正确的选项是 ()a bA．②④ B．①②C．③④ D．①③[答案] D224 [ 分析 ] ∵a>b≥2，∴b－ (3 b－a) ＝b( b－ 2) ＋ ( a－b)>0，∴ b >3b－ a，①正确；1＋ab－2222a＋b＝a－ 1b－ 1 ≥0，当b＝ 2 时，取等号，∴②错；ab－( a＋ b)＝ a( b－1)－ b≥a－11，即 log a3<log b3，b>0，故③正确； y＝log3x 为增函数，∴log3a>log3b≥log32>0，∴<log a log3b3故④错，∴选 D.3．已知实数x知足x2＋x<0，则x2、x、－x的大小关系是 () A．－x<x<x2B．x<－x<x222C．x <x<－x D．x<x <－x[答案]D[ 分析 ] ∵x2＋x<0，∴－ 1<x<0，∴0<x2<1,0< －x<1，又 x2－(－ x)＝ x2＋ x<0，∴ x2<－ x，故 x<x2<－x.212[评论]可取特值查验，由x＋ x<0得－ 1<x<0，取x＝－3知，x<x <－x.1x≥0，4．已知f ( x) ＝x<0 .则不等式 xf ( x)＋ x≤2的解集是________．0 [答案]( －∞， 1][分析]2x≤2，x≤2，原不等式化为①或②x≥0，x<0.它们的解集分别为[0,1] ， ( －∞， 0) ，取并集得原不等式的解集为(－∞， 1] ．5．(2012 ·山东青岛市检测 ) 已知函数y＝ax2＋ 2ax＋1的定义域为R，解对于x的不等式 x2－ x－ a2＋a>0.[剖析]函数 y＝ f x的定义域为 R，即f ( x) ≥0恒建立，ax2＋ 2ax＋1≥0恒建立，a＝0，a>0，不等式 x2－ x－ a2＋ a>0，可利用分组分解因式得，( x－a)( x＋a 即或1≥0，Δ≤ 0.－1)>0.[分析]因为函数y ＝ax2＋ 2＋ 1的定义域为 R，ax因此 ax2＋2ax＋1≥0恒建立(*)．当 a＝0时，1≥0恒建立，知足题意，当a ≠0时，为知足 (*) 必有>0 且＝ 4a2－ 4 ≤0，解得0< ≤1，a a a综上可知： a 的取值范围是0≤a≤1，原不等式可化为( x－a)[ x－ (1 －a)]>0 ，1当 0≤a<2时，解得x<a，或 x>1－ a；11当 a＝2时，解得 x≠2；1当2<a≤1时，解得x<1－ a，或 x>a，1综上，当 0≤a< 时，不等式的解集为{ x| x<a或x>1－a} ，29当 a＝1{ x| x∈R，x≠12时，不等式的解集为2} ，1当2<a≤1时，不等式的解集为{ x| x<1－a或x>a} ．10。

2025年高考数学一轮复习(新高考版)第6章必刷大题12 数列的综合问题

123456
(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.
123456
由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…，
则当n为偶数时，Sn＝ b1＋b4＋
＋b3
n 2
－2
＋
b2＋b5＋
n
n
n
＝ 3(1 272 ) ＋32(1 272 )
当n＝1时，整理得2a1＝k·21，解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，
(a)
当n≥2时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，
(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，
所以an＝2n－1.
123456
(2)若 bn＝n＋1l1og2an＋1，且数列{bn}的前 n 项和 Tn＝19090，求 n 的值. 由(1)得 bn＝n＋1l1og2an＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝19090，解得 n＝99.
13
123456
6.(2022·天津)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝a2－b2＝a3 －b3＝1. (1)求{an}与{bn}的通项公式；
123456
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1，由a2－b2＝a3－b3＝1可得 1＋d－q＝1， 1＋2d－q2＝1 ⇒d＝q＝2(d＝q＝0 舍去)，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.
1 27
1 27
6(272 1)

专题1-2 简易逻辑题型归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)

【题型一】判断命题的真假
【典例分析】
对于实数 a，b，m，下列说法：①若 a b ，则 am2 bm2 ；②若 a b ，则 a | a | b | b | ；③若 b a 0, m 0 ，
则
a b
m m
a b
；④若
a
b
0
，且 |
ln
a
||
ln b
|
，则
2a
b
的最小值为
2
2 ．其中是真命题的为（
③ PQ
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
( x1 x2 y1 y2 )2 x1 x2 y1 y2 2 d (P,Q) ，③正确；
2
2
2
④ P,Q 是椭圆 x2 y2 1 上的任意两点，要使 d(P,Q) 最大， 54
当 P,Q 关于原点对称时，可保证 d(P,Q) 最大，
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据已知可知，直线系 M 都为以 0, 2 为圆心，以 1 为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个
判断各命题的真假．
【详解】根据直线系 M : x cos y 2 sin 1 （ 0 2 ）得到，
所有直线都为圆心为 0, 2 ，半径为 1 的圆的切线．
①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④ M 中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数 n n 3 ，存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上；
⑦ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
2
2
2，
又由

2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第1章 §1

3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y 有最小值 2 P . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy 有最大值 14S2 . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
2ab B. ab<a＋b C. 2a2＋2b2<2 ab
√D.a＋b< 2a2＋2b2
对于选项A，因为0<a<1，b>1，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；对于选项 B， ab>a1＋2 1b＝a2＋abb，故选项 B 错误；对于选项 C， 2a2＋b2> 2×2ab＝2 ab，故选项 C 错误；对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以 a＋b< 2a2＋2b2，故选项 D 正确.
思维升华
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
5
跟踪训练1
(1)已知函数f(x)＝
2 2x－1
＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为_2__.
∵2x>1，∴x－12>0，
f(x)＝2x－2 1＋x＝x－1 12＋x－12＋12≥2 ＝2＋12＝52，
x－1 12·x－1即 x＝32时取“＝”.
∴f(x)的最小值为52.
(2)(2022·襄阳模拟)若实数 x>1，y>12且 x＋2y＝3，则x－1 1＋2y－1 1的最小值为___4___.

2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题(附答案解析)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写。

在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内, 1+3i3-i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】1+3i3-i=6+8i,故对应的点在第一象限，选A。

2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若A⊆B, 则a=()A.2B.1C.23D.-1【答案】B【解析】若a-2=0,则a=2,此时A=0,-2},B=1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a =1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意。

选B。

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有()A.C45400⋅C15200种 B.C20400⋅C40200种 C.C30400⋅C30200种 D.C40400⋅C20200种【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，选D。

第二章-章末总结 2025年高考数学知识点题型及考项复习

3
1

2
1
2
⋅ ⋅ 2.
1
2
所以33 ≥ 3 ⋅ ⋅ ⋅ 2, 5 ≤ 2 ⋅ 33 = 54,当且仅当 = 2,即 = 6, =
号成立.
所以 5 的最大值为54.
6
时等
4
1
+3
例5 (全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知正实数,满足
+
1
2+
= 1，则 +
1
2
− = 2
当且仅当 + =
∴

+
+
+

−1≥

+
++
+
2
−1=

+
+
+
2
1
− ,
2

且
+
+2 + 2
的最小值为
+
=
2−
+
,即 =
2
1
,即实数
2
2+1
,
2
2−1
=
时取等号.
2
1
的最大值为 2 − .
2
1
2
− ≥2
例3 (2022·上海交大强基测试)已知 > > 0，则 +

值为___.

1
4
1
9
【解析】由柯西不等式得 2 + 4 2 + 9 2 (1 + + ) ≥ 1，因此，
+ + = 1,

高效备考：2023年高考数学习题及解析大全

高效备考：2023年高考数学习题及解析大全引言高考是每个考生人生中非常重要的一段旅程，而数学作为高考科目之一，是许多考生感到困惑和挑战的科目之一。

为了帮助考生更好地备考数学，本文将提供2023年高考数学试题及解析的大全，旨在帮助考生全面了解高考考点、提高解题能力和应试技巧。

相信通过学习和掌握这些题目的解析，考生们能够在备考中更加高效地准备数学科目。

第一章代数方程与不等式H1方程的性质及解法方程是代数学中的重要概念，掌握方程的性质和解法对于解题至关重要。

本节将介绍一些常见的方程性质和解法，如一元二次方程、一次方程、二元一次方程等。

H2一元二次方程的解法一元二次方程是高中数学中常见的一个知识点，解一元二次方程需要掌握求根公式、配方法等解法。

例如：已知一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2−4ac>0时，方程有两个不相等实根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等实根；当b2−4ac<0时，方程无实根。

H2一次方程的解法一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一次方程只需要简单的运算和移项即可。

例如：已知一次方程ax+b=0，则可将方程变形为ax=−b，进而。

求得x=−baH1不等式的性质及解法不等式是数学中常见的数学表达式形式，求解不等式需要掌握不等式性质和解法。

本节将介绍一些常见的不等式性质和解法，如一元一次不等式、二次不等式、绝对值不等式等。

H2一元一次不等式的解法一元一次不等式是数学中较为简单的不等式形式，解一元一次不等式只需要简单的移项和绘制数轴即可。

例如：已知一元一次不等式ax+b>0，则将不等式变形为ax>−b，进而可通过分析a的正负来确定不等式的解集。

H2二次不等式的解法二次不等式是数学中比较复杂的一类不等式，解二次不等式需要掌握一些特殊函数和不等式性质。

例如：已知二次不等式ax2+bx+c>0，可以先求出二次函数的零点，然后根据函数的开口方向来确定不等式的解集。

2023年新高考数学一轮复习7-7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷解析版

专题7.7 《数列与数学归纳法》真题+模拟试卷第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．2．（2018·北京·高考真题（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC D ．【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.3．（2022·全国·高三专题练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（）元． A ．10373 B ．10396 C ．10422 D ．10456【答案】D 【解析】【分析】先求出存期两年的利息与本金和，再求得利息税，作差即可. 【详解】由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%，所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456．故选：D .4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列{}n a 与正项等差数列{}n b ，若1557a a b b =，则3a 与6b 的关系是（） A ．36a b = B ．36a b ≥ C ．36a b ≤ D ．以上都不正确【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为2222366a b d b =-≤，由此可得结果.【详解】设等差数列{}n b 公差为d ，则()()2257666b b b d b d b d =-+=-，又2135a a a =，2222366a b d b ∴=-≤，{}{},n n a b 均为正项数列，36a b ∴≤.故选：C5．（2017·全国·高考真题（理））（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【详解】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.6．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}()*N n a n ∈是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若1a 、数列{}2n a 的第2项、数列{}2n a 的第5项恰好构成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．1n a n =- D ．1n a n =+【答案】A 【解析】【分析】根据题意设()11n a n d =+-，所以()2121n d a n =+-，()2211n d a n =+-，所以1，13d +，124d +构成等比数列，即()()2131124d d +=⨯+，求出d 即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，所以()11n a n d =+-，所以()2121n d a n =+-，()2211n d a n =+-，又1a 、数列{}2n a 的第2项、数列{}2n a 的第5项恰好构成等比数列，即1，13d +，124d +构成等比数列，所以()()2131124d d +=⨯+，解得2d =，0d =（舍去），所以21n a n =-.故选：A.7．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列{}n a 满足()2*11102n n n a a a n N a +⎛⎫=+∈∈ ⎪⎝⎭，，，则以下说法正确的个数（） ①10n n a a +<<②22221231n a a a a a ++++<；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>----成立 ④11n a n <+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】利用二次函数的性质及递推关系得0n a >，然后作差1n n a a +-，可判断①，已知等式变形为21n n n a a a +=-，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得12111111nn a a a +++>---，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】因为22111(+)24n n n n a a a a +=+=-，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则130,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴210n n n a a a +-=>，∴10n n a a +<<，①错误；由已知21n n n a a a +=-，∴2221221321111()()()n n n n a a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=-<，②正确；由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及①得1112n a <-<，1121na <<-， ∴12111111nn a a a +++>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时12311111111mb a a a a ++++>----成立，③正确； (i)已知112a <成立， (ii)假设11n a n <+，则222111112411n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=+=+-<+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又22111230(1)12(2)(1)n n n n n n ++-=>+++++，∴112n a n +>+，由数学归纳法思想得④错误．故选：B ．8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列{}n a 的各项都是正数，()211N n n n a a a n *++-=∈．记1(1)1n n n b a --=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，给出下列四个命题： ①若数列{}n a 各项单调递增，则首项1(0,2)a ∈ ②若数列{}n a 各项单调递减，则首项1(2,)a ∈+∞ ③若数列{}n a 各项单调递增，当132a =时，20222S > ④若数列{}n a 各项单调递增，当123a =时，20225S <-，则以下说法正确的个数（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】【分析】将211n n n a a a ++-=化为21112n n n n a a a a +++-=-，根据数列的单调性列式，解不等式得到1n a +的范围，从而得2a 的范围，再根据2122a a a =-可得1a 的范围，由此可判断①②；由211n n n a a a ++-=，得111111n n n a a a ++=+-，利用裂项求和法求出2022S ，再根据单调性及首项1a ，可得2022S 的范围，由此可判断③④. 【详解】对于①，由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=， ∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，∴2(0,2)a ∈． ∴21221,24a a a ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭．∵10a >，∴102a <<．则①成立，对于②，由题意，正数数列{}n a 是单调递减数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=->，解得1(2,)n a +∈+∞，∴2(2,)a ∈+∞．∴2122(2,)a a a =-∈+∞．故②成立.又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-．∵1(1)1n n n b a --=-，∴2022122022123202211111111S b b b a a a a =+++=-+------1122320202021202120221111111111a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122320202021202120221111111111a a a a a a a a a =--++-++---1120221111a a a =---．对于③，当132a =时，因为12022322a a =<<，所以2022112,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴20222415336a <-<，则202225(,)36S ∈，故③不成立；对于④，当123a =时，因为12022223a a =<<，∴20222,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2022113,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴202291652a -<--<-．则202265S -<<-，故④成立. 故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·重庆·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且()1210n n n a na ++-=()n N *∈，则下列结论正确的是（） A ．{}n na 是等比数列 B ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C ．2n n a n =⋅D ．()122nn S n =-⋅+【答案】BC 【解析】【分析】由条件变形，先求n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再判断选项【详解】由题意得121n n a a n n +=⋅+，故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n na n-=⋅=，则2n n a n =⋅．故B ，C 正确，A 错误122222n n S n =+⋅++⋅, 23122222n n S n +=+⋅++⋅,两式相减得：()1212(222)122n n n n S n n ++=⋅-+++=-⋅+，故D 错误．故选：BC10．（2023·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD 【解析】【分析】根据211n S n n =-，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC.【详解】解：因为22111211124n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；当1n =时，110a =，当2n ≥时，由211n S n n =-，得()()211111n S n n -=---，两式相减得：212n a n =-+，又110a =，适合上式，所以212n a n =-+，故C 正确；因为120n n a a --=-<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确；故选：BCD 11．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足28a =，()1112nn n n a a na ---=⋅+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则（） A ．438a a = B ．14336a a ⋅=C ．数列221n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．4n S >，正整数n 的最小值为31【答案】BCD 【解析】【分析】对AB ，根据()1112nn n n a a na ---=⋅+计算134,,a a a 判断即可；对C ，根据递推公式可得22122nn a n a -=+判断即可；对D ，结合222124n n a n a ++=+与22122n n a n a -=+，求解可得22log 1n n b n +=+，进而求得22log 2n n S +=，再求解即可【详解】对AB ，因为28a =，所以()2121112248a a a a -=⋅+==，解得12a =，则()313222328a a a -=⋅+=，()4143324168a a a -=⋅+=，所以436a a =，14336a a ⋅=，所以A 选项错误，B 选项正确；对C ，因为()1112nn n n a a na ---=⋅+，即()112nn n a n a --=+，所以()212212222n n n a n n a --=+=+.又*n N ∈，所以数列221n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列，所以C 选项正确；对D ，因为()221222122224n n n a n n a +-++=++=+，所以 ()()2221222212221222212log log log log 1n n n n n n n n n a a n b a a a a a a n +-+-++⋅+=-⋅==+，所以22223412log log log log 231n n n S n n ++=++⋅⋅⋅+++ 2234122log log 42312n n n n n +++⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=> ⎪+⎝⎭，解得30n >.又*n N ∈，所以正整数n 的最小值为31，所以D 选项正确，故选：BCD.12．（2022·湖南·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第()*n n ∈N 行有n 颗，第n 行第()*,1i i i n ∈≤≤N 颗石头记为()(),,,n i n i a S 表示从第1行第1颗至第n 行第i 颗石头的总数，设()()()()*,1,2,,1k n n n k T S S S k k n =+++∈≤≤N ，则（）A ．()9,844S =B ．()2,2n n n nS += C ．11T = D ．()212k k n n k T -++=【答案】ABD 【解析】【分析】分析题意，可求得(),n i S 的表达式，从而得()()(),1,2,k n n n k T S S S =+++的表达式，逐项验证即可.【详解】解：由题意可知，()2,1232n n n nS n +=++++=，故B 正确；()()()2,111212(1)22n i n n n n i S n i i +---+=+++-+=+=，所以()29,89928442S -+⨯==，故A 正确；()()()()()22,1,2,11222k n n n k k n n k n n k T S S S k --++=+++=++++=，故D 正确；所以2122n n T -+=，故C 不正确．故选：ABD.第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 【详解】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯=14．（2017·北京·高考真题（理））若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______.【答案】1 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值. 【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二．问物几何？”即著名的“孙子问题”，最早由《孙子算经》提出，研究的是整除与同余的问题．现有这样一个问题：将1到2022这2022个数中，被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的中位数为____________．【答案】1007 【解析】【分析】由题意可知，数列{}n a 满足215(1)n a n -=-，再根据n a 与2022的大小关系确定数列{}n a 共有135项，进而求得中位数即可【详解】由题意可知，2n a -既是3的倍数，又是5的倍数，即215(1)n a n -=-，所以1513n a n =-，当135n =时，135151351320122022a =⨯-=<，当136n =时，13615136132027a =⨯-=2022>，所以123135n =，，，，，数列{}n a 共有135项，因此中位数为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：100716．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先分离参数将问题转化为232n n n λ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，进而转化为2max 3()2n n n λ+≤，构造232n n n n b +=，再作差判定单调性求出数列{}n b 的最值，进而求出λ的取值范围. 【详解】因为23n a n n =+，且2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，所以232n n n λ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，即2max 3()2nn n λ+≤，令232n nn nb +=，则2221113(1)(1)3354222n n n n n n n n n n n b b +++++++-++-=-=，因为21302b b -=>，32104b b -=>，43102b b -=-<，且21135402n n n n n b b ++-++-=<对于任意3n ≥恒成立，所以12345b b b b b <<>>>⋅⋅⋅，即2max 3315()24n n n b +==，所以实数λ的取值范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2018·北京·高考真题（文））设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12n a a a e e e +++.【答案】（I ）ln 2n ；（II ）122n +-. 【解析】【分析】（I ）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（II ）由（I ）可得2n a n e =，进而可利用等比数列求和公式进行求解. 【详解】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=，又1ln2a =，∴ln2d =. ∴()11ln2n a a n d n =+-=. （II ）由（I ）知ln2n a n =， ∵2ln 2=2nn a nln n e e e ==，∴{}n ae 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2nn a a a e e e e e e +++=+++2=222n +++1=22n +-. ∴12n a a a e e e +++ 1=22n +-18.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24n n S a n =+-． (1)证明：数列{}1n a -是等比数列．(2)若数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和170513m T =，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)8 【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系式化简证明；（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为21nn a =+．所以112112121n n n n n a a ++=-++，继而求和计算. (1)当1n =时，1123a a =-，13a =．当2n ≥时，()11214n n S a n --=+--，两式相减得121n n a a -=-，即()1121n n a a --=-，112a -=，则数列{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由（1）得12nn a -=，21n n a =+，当1n =时，1213a =+=，数列{}n a 的通项公式为21nn a =+．()()111221121212121n n n n n n n n a a +++==-++++， 11111111111135599172121321m m m m T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令111170321513m +-=+，得121513m ++=，解得8m =．19．（2016·全国·高考真题（理））n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （Ⅰ）求111101,,b b b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.【答案】（Ⅰ）1111010,1, 2.b b b ===（Ⅱ）1893. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,{2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<≤<=≤<=所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=20.（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12(1),=,2n n a n n a n n +-+⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数*()N n ∈ (1)求1a 、3a 、5a ；(2)将数列{}n a 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{}m b ()m ∈*N ， ①证明：m b m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②设数列+11m b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为m S ，求证：12m S <．【答案】(1)10a = ；34a = ；512a = (2)①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据12(1),=,2n n a n n a n n +-+⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数求解；（2）①利用等差数列的定义证明；②利用裂项相消法求解.(1)由题意知：21222202a a =-=-=，23444442a a =-=-=，256666122a a =-=-=；(2)①当n 为奇数时，n +1为偶数， ∴()()()221111122n n n n a a n n ++-=-+=-+=，∴()()221211212m m m b a m m ---===-，∴()2122m m m b m m m-==-，当2m ≥时，1(22)[2(1)2]21m m b b m m m m --=----=-， m b m ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11011b a ==为首项，2为公差的等差数列．②由①知12(1)(N )m b m m m *+=+∈，111111()2(1)21m b m m m m +∴==-++，11111111[(1)()()](1)2223121m S m m m =-+-++-=-++， 11122(1)2m =-<+. 21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．【答案】12k =±；当12k =时，n S n =；当12k =-时，2,21,2n n n k S n n k-=-⎧=⎨=⎩，()*k ∈N ．【解析】【分析】根据已知条件结合等比中项的性质，即可求解k 的值，解得12k =±，分别求解12k =和12k =-时的前n 项和为n S .【详解】解：因为121a a ==且()12n n n a k a a ++=+得3421111,1a a k k k=-=--，又{}1n n a a ++是等比数列，则()()()2231234a a a a a a +=++，即221122k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得12k =±．当12k =时，121,1a a ==，1n a =，故{}1n n a a ++是以2为首项，公比为1的等比数列，此时{}n a 的前n 项和n S n =；当12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，所以()211n n n n a a a a ++++=-+，且1220a a +=≠所以{}1n n a a ++以122a a +=为首项，公比为-1的等比数列，又()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，所以，当n 是偶数时，()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++++++()122na a n =+=，当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++⋅⋅+⋯⋅()11222n n -=+⨯-=-2,21,2n n n k S n n k-=-⎧=⎨=⎩，()*k ∈N综上，当12k =时，n S n =，当12k =-时2,21,2n n n k S n n k-=-⎧=⎨=⎩，()*k ∈N ． 22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足242340,n n a S n n n N *-+--=∈．数列{}n b 满足11b =，12,n n n n b a b n N *+=∈．(1)求证：数列{}-n a n 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：1113,2n n n n b b n N *+-+>≥-∈．【答案】(1)证明见解析，2nn a n =+ (2)证明见解析【解析】【分析】（1）由公式当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得n a 与1n a -的关系式，进而可证数列{}-n a n 为等比数列，并求得数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得112n n n n b b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1n b +与n b 同号，又数列{}n b 为递增数列，又122n n n n n n n b b b +-=≥，累加得121121222n n n b b ---≥+++1122n n -+=-所以n b 1132n n -+≥- (1)当1n =时，13a =；当2n ≥时，21142(1)3(1)40,n n a S n n n N *---+----=∈，所以()142240n n n a a a n ---+-=，整理得122n n a a n -=-+．所以[]12(1)n n a n a n --=--，又1120a -=≠，故0n a n -≠．所以12(1)n n a na n --=--，即{}-n a n 为等比数列．所以2,2n n n n a n a n -==+(2)由题意得112n n n n b b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1n b +与n b 同号，又因为110b =>，所以0n b >，即102n n n n nb b b +-=>，即1n n b b +>．所以数列{}n b 为递增数列，所以11n b b ≥=，即122n n n n n n n b b b +-=≥，累加得121121222n n n b b ---≥+++．令21121222n n n T --=+++，，所以2311212222n nn T -=+++，两式相减得：12311111111111221222222212n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=--，所以1122n n n T -+=-，所以1132n n n b -+≥-，所以11132n n n n b b +-+>≥-．。