9.方程与整式、等式的区别,方程的解题技巧
2023-2024学年四年级下册数学《方程》(教案)
2023-2024学年四年级下册数学《方程》（教案）一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解方程的概念，能够正确识别方程。
（2）掌握解方程的方法，能够解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生对方程的认识和理解。
（2）通过解方程的过程，培养学生解决问题的能力和逻辑思维能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）培养学生对方程的兴趣，激发学生的学习积极性。
（2）培养学生合作学习的意识，提高学生的团队协作能力。
二、教学内容1. 方程的概念：使学生理解方程的意义，能够识别方程。
2. 解方程的方法：使学生掌握解方程的方法，能够解决简单的实际问题。
3. 方程在实际生活中的应用：使学生能够运用方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：方程的概念和解方程的方法。
2. 教学难点：解方程的过程和实际应用。
四、教学过程1. 导入：通过实际生活中的问题，引导学生对方程产生兴趣，引出方程的概念。
2. 新课讲解：（1）讲解方程的概念，使学生理解方程的意义。
（2）讲解解方程的方法，使学生掌握解方程的步骤。
3. 案例分析：通过具体案例，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
4. 练习：布置相关练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。
5. 总结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后作业，让学生巩固所学知识。
五、教学评价1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，评价学生对方程的认识和理解。
2. 练习评价：通过练习题的完成情况，评价学生对解方程方法的掌握程度。
3. 结果评价：通过课后作业的完成情况，评价学生对知识的掌握程度。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。
同时，关注学生的学习兴趣和积极性，激发学生的学习动力，为下一节课做好准备。
需要重点关注的细节是“教学过程”部分中的“新课讲解”。
【基础知识精讲】等式和它的性质
【基础知识精讲】等式和它的性质等式是数学中的重要研究对象，它是从客观世界中存在的相等关系中抽象出来的.所以等式的实质是用含有等号的式子来表示相等关系.运用等式的性质可以对等式进行变形.本章的学习重点————解一元一次方程，实际上就是等式变形.1．关于等式的概念 首先看下面这样的式子： 2+3=3+2，3+x=5,a(b+c)=ab+ac,S=21ah,m+2m=3m.它们都是用等号连接两个代数式而成.像这种用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律，运算法则等.所以等式可以表示不同的意义. 我们看上面的几个等式，在等式m+2m=3m 里,不论m 等于任何数值，左边和右边的值总是相等.在等式a(b+c)=ab+ac 中，不论a ，b ，c 各等于任何数值，左边和右边也总是相等的.一个等式，不论用何数值代替其中的字母，它的左、右两边的值总是相等，这样的等式叫恒等式.由数字组成的等式，都是恒等式.一个等式，只取某些数值代替等式中的字母时，等式才成立，而取另外一些数值代替等式中的字母时，等式不成立，这样的等式叫做条件等式.如x+3=5,S=21ah 等.综上所述，等式可以分成两类：即恒等式和条件等式.我们接下来要学习的方程就是条件等式.为方便起见，在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.一般说，等式的左边和右边都是代数式，但等式不是代数式.等式含有等号，代数式不含等号.2．关于等式的性质等式性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. 等式性质2 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式. 例如：3x-2=8是一个等式.3x-2+2=8+2 (等式两边都加上2) 得3x=10 (所得结果仍是等式) 又如：3x+5=7, (等式两边都减去5) 得3x=2 (所得结果仍是等式)再如，31x=-9,根据等式性质2，得31x ×3=-9×3 （等式两边都乘以3）得x=-27 （所得结果仍是等式） 再如，-5x=15,等式两边同除以-5， -5x ÷(-5)=15÷(-5), 得x=-3.由此可见，运用等式的性质可以使方程变形为所需形式.所以等式的性质是解方程的理论依据.等式还有两条性质，在解一元一次方程时也会用到，它们是：（1） 对称性：如是a=b ，那么b=a..即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式； （2） 传递性：如果a=b ，且b=c ，那么a=c.这一性质也叫做等量代换 【重点难点解析】1． 本节的重点是等式的两条性质的变形应用；难点是找出等式变形的根据.2． 运用等式性质1时，必须注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式、才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系.如2+3=5，如果左边加上5，左边加上6，那么2+3+5≠5+6.运用等式性质2时，要注意等式两边都乘以（或除以）同一个数（不是同一个整式），才能保证所得结果仍是等式，还要注意0不能作除数.3． 利用等式性质把等式变形，如填空并说明：若5x=4x-7,那么5x- =-7，是怎样变形的？解答这类题的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的.如该例中第二个等式中的右边-7是由第一个等式的右边4x-7减4x 得到的，所以第二个等式的左边也应是5x-4x ，因此填空为4x.例1 判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？①3x-4 ②a-b-c=a-(b+c) ③5x+6=10 ④6-10=-4 ⑤ a(m+n)=am+an ⑥ x 2-2x+1 分析：根据等式，代数式的意义来进行判断. 解：② 、 ③、 ④、 ⑤是等式，① 、⑥是代数式.注：等式和代数式既有区别，又有联系.首先等号是关系符号，而代数式中只有运算符号，所以代数式不是等式，但等式的左、右两边可以是代数式.例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质以及怎样变形的？ （1）若4x=7x-5,则4x+ =7x; （2）若8a=3a+4,则8a- =4;（3）若2x=8，则5x=.分析：题（1）等式的右边由7x-5变成了7x,说明右边加上了5，根据等式性质1，左边4x 也要加上5.题（2）等式的右边由3a+4变成了4，说明减去了3a,根据等式性质1，左边8a 也要减去3a.题（3）等式的左边由2x 变成了5x ，说明乘以25，根据等式性质2，右边的8也要乘以25.解：（1）4x+5=7x,根据等式性质1，等式两边都加上5. （2）8a-3a=4,根据等式性质1，等式两边都减去3a.（3）5x=20根据等式性质2，等式两边都乘以25.注：解这类题时，先从不需填空的一边入手，看这一边是怎样变形的，再根据等式的性质1或性质2，对另一边进行变形. 例3 回答下列问题：（1）从2a+3=2b-3,能不能得到a=b,为什么？ （2）从5ab=6b,能不能得到5a=6，为什么？解：（1）从等式2a+3=2b-3,不能得到a=b.根据等式性质1，等式两边都减去3，得2a=2b-6;再根据等式性质2，等式两边都除以2，得a=b-3.而b 不可能等于b-3，∴a ≠b.（2）当b=0 时，从5ab=6b ，不能得到5a=6.这是因为等式两边不能都除以0. 当b ≠0时，根据等式性质2，能得到5a=6.这是在等式两边可以同除以b (b ≠0).【难题巧解点拨】例1 解方程：4x=7分析：若去掉绝对值，则应确定4x的符号，故要讨论x 的范围，即：x>0,x<0,或x=0.解：当x>0时，4x=7，∴x=28当x=0时，0=7.这是不可能的. ∴x =0不是此方程的解.当x<0时，-4x=7，∴x=-28.综上所述，此方程的解是：x=28或x=-28. 例2 解方程：321=++-x x解：（1）当x ≤-2时：-（x-1）-(x+2)=3 ∴x=-2 （2）当-2<x ≤1时：-（x-1）-(x+2)=3 3=3 x 为在-2<x ≤1内的任何有理数.（3）当x>1不在x>1的范围内，故在x>1范围内此方程无解. ∴ 综合（1）、（2）、（3）得出此方程的解为-2≤x ≤1注：此为绝对值中含有未知数的方程，通过对未知数的范围进行分段考虑，可把原方程转化为一元一次方程来解.具体分段方法是：首先令各绝对值内的整体为0，以求出未知数的各分点.如本题中：令x-1=0和x+2=0,得到分点x=1和x=-2，从而将未知数x 的范围按从小到大（或从大到小）的顺序分为：x ≤2,-2<x ≤1,x>1三段.其次分别在未知数各段内对原方程进行转化. 另外，应注意检查各方程的解是否在未知数的对应各段范围内，只有在内，此解方是方程在这个范围内的解；若解不在该范围内则此方程在这个范围内无解. 【课本难题解答】1．已知x 、y 都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，然后填空： （1）如果x+y=0,那么x=.这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数.（2）如果xy=1,那么x=.这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数.解：（1）-y,互为相反数.（2）y 1，互为倒数.注：（1）题运用了等式的基本性质1，两边都加上-y;(2)题运用于等式的基本性质2.两边都乘以y 1；这两题从等式变形的角度来讲相反数与倒数，从而将“互为相反数”和“互为倒数”以等式的形式反映出来.2．用适当的数填空： （1）如果-1=x,那么x=;（2）如果x=y,y=0.6,那么x= ； （3）如果x=0,y=0,那么x=y=.分析：（1）由于等式具有对称性，所以等式的左右两边的代数式可以互换位置，交换等式-1=x 的左右两边即可得x=-1;（2）由于等式具有传递性，所以从x=y,y=0.6可知x=0.6,（3）由等式的对称性和传递性可得x=y=0. 【典型热点考题】例1 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的. （1）如果3a=5a-4,那么3a+ =5a;（2）如果3a=6,那么5a= ;（3）如果5=x,那么x=;（4）如果a=b,b=c,c=d,那么a=.解：（1）3a+4=5a.根据等性质1，等式两边都加上4.（2）5a=10.根据等性质2，等式两边都乘以35.（3）x=5,根据等式性质3，左右两边互换. （4）a=c 或 a=d ，根据等式性质4.等量代换.例2 判断下列各式中，哪些是代数式？哪些是等式？哪些是恒等式？哪些是条件等式？哪些是不等式？ ①3a+4; ②5a+6=7; ③x+2y=8; ④am+bm=(a+b)m; ⑤5-3=2;⑥ x-1>y; ⑦2a 2-3a 2; ⑧3a<-2a. 解：① ⑦是代数式；② ③ ④ ⑤是等式；④ ⑤是恒等式；② ③是条件等式；⑥⑧是不等式. 注：应掌握代数式、等式、不等式的意义，它们之间的区别与联系. 例3 选择题：（1）由等式3a-5=2a+6得到a=11的变形是（ ）. A ．等式两边都除以3；B ．等式两边都加上6；C ．等式两边都加上（2a-5）;D ．等式两边都减去(2a-5).（2）下列说法中正确的是（ ）. A ．在等式ab=ac 两边都除以a,可得b=c; B ．在等式3a=9b 两边都除以3，可得a=3b;C ．在等式a ca b =两边都除以a,可得b=c ； D ．在等式ax=bx 两边都乘以x,可得a=b ； （3）下列推理错误的是（ ）.A ．若x=y,则ax=ay;B ．若-21x=6,则x=-12;C ．若,3232a c a b =则b=c;D ．若3x 2=3y 2,则x=y解：（1）D ；（2）B ；（3）D例4 已知a 、b 都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，再填空： （1）若a+b=0,则a=. 这就是说，如果两个数之和为0，那么这两个数.（2）若a=-b,则 a+ =0.这就是说，如果两个数互为相反数，则这两个数的和 .（3）若ab=1，则a=，这就是说，如果两个数的积为1，则这两个数.（4）若a=b 1，则=1，这就是说，如果两个数互为倒数，则这两个数的积 .解：（1）-b,互为相反数. （2）b,0 （3）b 1,互为倒数. （4）ab,1.说明：本例从等式变形角度刻画相反数、倒数 【同步达纲练习】（时间45分钟，满分100分）1．填空题：（5′×6=30′） （1）在等式7m-6=3m 的两边同时 ，得到4m=6,这是根据 . （2）在等式5a-7=8-9a 的两边同时，得到14a=15, 这是根据.（3）在等式43x=-5的两边都或，得到x=-320.（4）a+b=0，可得a= ；由a-b=0,可得a= ;由ab=1,可得a= .（5）由a=-2,b=-2,可得ab ；由a=-b ，可得b=，-b=.（6）比x 的一半少3的数是y 的32，用等式可以表示为.2．选择题：（6′×5=30′） （1）下列结论正确的是（ ） A ．若x+3=y-7,则x+7=y-11; B ．若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2y; C ．若0.25x=-4,则x=-1;D ．若7x=-7x,则7=-7.（2）下列说法错误的是（ ）.A ．若a y a x =,则x=y; B ．若x 2=y 2,则-4x 2=-4y 2;C ．若-41x=6,则x=-23;D ．若6=-x,则x=-6.（3）已知等式ax=ay,下列变形正确的是（ ）. A ．x=yB ．ax+1=ay+1C ．ay=-axD ．3-ax=3-ay（4）下列说法正确的是（ ）A ．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C ．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；D ．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；（5）将等式2-31-x =1变形，应得（ ）A ．6-x+1=3B ．6-x-1=3C ．2-x+1=3D ．2-x-1=33.(1)怎样从等式2x 2-3=0，得到x 2=23；(10′) (2) 怎样从等式032=-b a ，得到a=32b ；(10′)(3) 怎样从等式31m-3=m ，得到m=-4.5；(10′) (4) 怎样从等式S=21ah ，得到a=h 25.(10′)【素质优化训练】1．判断题：（1）3(a+b)=3a+b 不是恒等式；（ ） （2）由5a-3=2a+3变形，得到7a=6; （ ） （3）由5x-2=x+2变形可得x=1; （ ）（4）无论x 取何数值时，等式3x=5x 都不成立；（ ）（5）由2312yy x -=+两边都乘以2，可得x+y=1-3y. （ ） 2．选择题：（1）下列各式中，等式共有（ ）个.a+b+c=d;5a-3a –2a;(a-1)(a-2)=0;a-1<a-2;-a(a-b)=b-a;a 2>a;a(a-1) A ．2B ．3C ．4D ．5（2）若等式(a-1)(a-2)=0成立，那么a 等于（ ）. A ．1B ．2C ．1或2D ．任意有理数（3）下列说法中：①若mx=my,则x=y;②若mx=my,则mx+my=2my; ③若my=my,则mx-my=0; ④若mx=my,则mx 2=my 2,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．解答题：（1）将等式3a-2b=2a-2b 变形；两边都加上2b,得3a=2a,两边同除以a,得3=2，错在什么地方？（2）将公式S=21（a+b ）h 怎样变形，才能得到a=bh S-2(其中字母都不等于0).【生活实际运用】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长为粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时.有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？ 参考答案： 【同步达纲练习】1.(1)减去3m-6,等式性质1; (2)加上9a+7,等式性质1; (3)乘以34,都除以43; (4)-b,b,b 1.(5)=,-a,a; (6) 21x-3=y32.2.(1)B; (2)C; (3) D; (4) D; (5) A3.(1)等式2x 2-3=0两边同时加上3,再同除以2;(2)等式32b a -=0两边同时乘以2,再两边同时加上b32;(3)等式,331m m =-两边同时减去m31,再同时乘以23,得-29=m,即m=-4.5; (4)在等式S=21ah 两边同时除以21h,再利用等式的对称性得到a=h s 2.【素质优化训练】1.√×√××2.B C C3.(1)错在两边同除以a,a=0 (2)两边同乘以2,除以h,再减去b. 【生活实际运用】1.32小时，或是说40分钟。
初中数学知识点总结 初中的数学知识点总结(通用11篇)
初中数学知识点总结初中的数学知识点总结(通用11篇)大家都知道，初中数学学习是对学生逻辑计算能力的培养，想要学好初中数学，就要多总结所学知识。
熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟，下面是小编为大伙儿整理的初中的数学知识点总结【通用11篇】，仅供参考，希望对大家有所启发。
初中数学知识点总结篇一一元一次方程定义通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的较高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)。
一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式。
这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数须是1.即一元一次方程须同时满足4个条件：⑴它是等式；⑴分母中不含有未知数；⑴未知数较高次项为1;⑴含未知数的项的系数不为0。
一元一次方程的五个核心问题一、什么是等式？1+1=1是等式吗？表示相等关系的式子叫做等式，等式可分三类：一类是恒等式，就是用任何允许的数值代替等式中的字母，等式的两边总是相等，由数字组成的等式也是恒等式，如2+4=6,a+b=b+a 等都是恒等式；第二类是条件等式，也就是方程，这类等式只能取某些数值代替等式中的字母时，等式才成立，如x+y=-5,x+4=7等都是条件等式；第三类是矛盾等式，就是无论用任何值代替等式中的字母，等式总不成立，如x2=-2,|a|+5=0等。
一个等式中，如果等号多于一个，叫做连等式，连等式可以化为一组只含有一个等号的等式。
等式与代数式不同，等式中含有等号，代数式中不含等号。
等式有两个重要性质1)等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍然是一个等式；(2)等式的两边都乘以或除以同一个数除数不为零，所得结果仍然是一个等式。
二、什么是方程，什么是一元一次方程？含有未知数的等式叫做方程，如2x-3=8,x+y=7等。
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
解析小升初数学中常出现的解方程题
解析小升初数学中常出现的解方程题知识点：解方程的基本概念与技巧一、方程的定义与分类1. 方程的概念：含有未知数的等式。
2. 方程的分类：- 一元一次方程：ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）- 一元二次方程：ax² + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0）- 二元一次方程：ax + by = c（a、b、c为常数，a、b不同时为0）- 系数方程：含有未知数的系数的方程。
二、解一元一次方程1. 移项：将常数项移至等式右边，未知项移至等式左边。
2. 合并同类项：将等式左边的同类项合并。
3. 系数化为1：将未知数的系数化为1，求出解。
三、解一元二次方程1. 因式分解法：将一元二次方程因式分解，求出解。
2. 公式法：使用求根公式（x = [-b±√(b²-4ac)]/(2a)）求解。
3. 配方法：将一元二次方程配成完全平方形式，求出解。
四、解二元一次方程1. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
2. 加减消元法：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，求解。
3. 乘除消元法：将两个方程相乘或相除，消去一个未知数，求解。
五、解系数方程1. 分式方程：将分式方程转化为整式方程，求解。
2. 含绝对值方程：分情况讨论绝对值的正负，求解。
六、解方程的技巧1. 确定未知数：找出方程中的未知数，确定求解目标。
2. 化简方程：将方程化简为最简形式，便于求解。
3. 检验答案：将求得的解代入原方程，检验是否满足等式。
七、实际应用1. 比例问题：利用解方程解决比例问题。
2. 利润问题：利用解方程解决利润问题。
3. 面积问题：利用解方程解决几何图形面积问题。
4. 速度问题：利用解方程解决速度、时间、路程问题。
八、注意事项1. 注意方程的等式性质：解方程过程中，等式两边同时进行相同的运算。
2. 注意分类讨论：对于含有绝对值、分式等特殊方程，要进行分类讨论。
3. 注意检验答案：求得的解必须代入原方程检验，确保答案的正确性。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
中考数学专题训练第3讲一次方程与一元一次不等式(知识点梳理)
整式知识点梳理考点01 方程的有关概念一、等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果b a =，那么c b c a ±=±（c 为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果b a =，那么bc ac =.如果）（0≠=c b a ，那么cb c a =） 3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果b a =，那么a b =。
（2）传递性：如果b a =，c b =，那么c a =。
二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值.（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数.（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：),0(0是已知数、b a a b ax ≠=+。
考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用一、解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）.（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）.（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）.（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）.（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a 得方程的解为ab x =。
人教版五四制七年级数学上册全套教案
从算式列方程【教学目标】1．通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步。
2．初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。
3．培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
【教学重难点】重点：掌握如何列出方程，了解方程的概念。
难点：掌握方程的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习从算式列方程，这节课的主要内容有从算式列方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解从算式列方程内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习从算式列方程，它的具体内容是：含有未知数的等式叫做方程。
方程和等式的联系：方程是一种特殊的等式；等式包含方程。
方程和等式的区别：方程是含有未知数的等式；等式可以含有未知数，也可以不含未知数。
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式这样的方程叫做一元一次方程。
在理解一元一次方程时，要注意把握三点：（1）含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程，也就是分母中不含有未知数。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：下列各式哪些是方程？（1）347＋＝；（2）275x -＝；（3）2256x x -=-解一元一次方程（一）——合并同类项和移项【教学目标】1．掌握解方程中的合并同类项。
2．熟练运用移项变号法则解决一些实际问题。
3．亲历移项变号进行解方程的探索过程，体验分析归纳得出移项变号法则，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握利用合并同类项移项变号法则解一元一次方程。
难点：正确地找到等量关系列一元一次方程，会用“数学建模思想”解决实际问题，用“化归思想”分析以及分类讨论思想解方程。
初步养成了学生与他人合作交流、勇于探索的良好习惯。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习解一元一次方程（一）——合并同类项和移项，这节课的主要内容有解一元一次方程（一）——合并同类项和移项，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
2024年苏科版七年级数学上册 4.2 一元一次方程及其解法(课件)
知1－练
解：(1)3x－2＝7， 两边同时加2，得3x－2＋2＝7＋2 ， 等式的性质1
即3x＝9， 两边同时除以3，得x＝3 .
等式的性质2
(2)12x＋3＝23x－1， 两边同时减3，得12x＋3－3＝23x－1－3 ，
知1－练
等式的性质1
即12x＝23x－4， 两边同时减23x，得12x－23x＝ 23x－4－23x，
知1－练
例 2 若(m＋2)x|m|－1＝4是关于x的一元一次方程，求m的值. 解题秘方：由一元一次方程的概念可知未知数的次 数为1，系数不为0，据此求待定字母的值. 解：根据题意，可得|m|－1＝1，且m＋2 ≠ 0 . 由|m|－1＝1，得|m|＝2，所以m＝± 2 . 由m＋2 ≠ 0，得m ≠－2 .所以m＝2 .
系数化为1，得x＝12.
(2)15x－1＝65x，
15x－65x＝3＋1 ， －x＝4， x＝－4 .
移项 合并同类项 系数化为1
知2－练
知2－练
方法提醒 移项一般将含未知数的项放在等号的左边，常数项放
在等号的右边，若移项时为计算简便不是这样放置的，在 合并同类项时可直接交换过来，不需要变号，因为等式具 有对称性.
知2－练
例 4 解方程： (1)8－3x＝x＋6； (2)15x－1＝3＋65x. 解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤：移项 →合并同类项→系数化为1 .
解：(1)8－3x＝x＋6， －3x－x＝6－8， －4x＝－2 ，
移项 合并同类项
知2－练
x＝12.
系数化为1
也 可 移 项 ， 得 8 － 6=x ＋ 3x. 合 并 同 类 项 ， 得 4x ＝ 2.
1 7
x＝19这样等号两边都是整式，
高一数学知识点总结和技巧
高一数学知识点总结和技巧数学作为一门基础学科，是高中学习中非常重要的一部分。
在高一学年，我们会接触到许多新的数学知识点和技巧。
本文将对高一数学的一些重要知识点进行总结，并给出一些解题技巧，希望能帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、代数与函数1.一元一次方程和一元一次不等式在解一元一次方程和一元一次不等式时，可以使用逆运算的思想，通过加减乘除等运算将未知数集中到一边，将已知数集中到另一边，最终求解出未知数的值。
2.二元一次方程组解二元一次方程组时，可以使用消元法或代入法。
消元法是通过加减乘除等运算，将方程组中的某个变量消去，最终求解出另一个变量的值；代入法则是将已知的一个变量的值代入到另一个方程中，再求解出另一个变量的值。
3.幂函数和指数函数幂函数和指数函数是高中数学中重要的函数类型。
在解幂函数和指数函数的问题时，可以利用指数的性质，如指数与幂的互换、同底数幂相乘的法则等，简化计算过程。
二、几何与三角学1.相似三角形判断两个三角形是否相似时，可以利用它们的对应边成比例以及对应角相等的性质。
相似三角形之间的边长比值等于对应角的正弦、余弦或正切值，可以利用这些性质来求解未知数。
2.平行线与比例平行线与比例是几何中一个重要的概念。
当两条平行线与一条截线相交时，根据截线与平行线之间的特性，可以推导出各种线段比例关系，如李尔梅定理、比例分线定理等。
3.三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解三角函数问题时，可以利用这些函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，进行函数值的计算和方程的求解。
三、概率与统计1.排列与组合排列与组合是概率与统计中的基础知识，在解决排列与组合问题时，可以利用乘法原理和加法原理来计算可能性的总数。
2.随机事件与概率随机事件指的是在一定条件下，其结果是不确定的事件。
概率则是描述随机事件发生的可能性大小。
在计算概率时，可以利用频率和古典概型等方法来估计概率的大小。
人教版中考数学第一轮复习第二章方程与不等式
第二章 方程与不等式第七讲 一次方程（组）【基础知识回顾】一、 等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式2、等式的性质：①、性质1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②、性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式 即：若a=b,那么a c= ，若a=b （c≠o ）那么a c= 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值 】二、方程的有关概念：1、含有未知数的 叫做方程2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的解4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤：1。
2。
3。
4。
5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。
】四、二元一次方程组及解法：1、 解二元一次方程组的基本思路是： ；2.解方程组的解法：① 消元法 ② 消元法【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成 五、列方程（组）解应用题：一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量2、设：直接或间接设未知数3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）4、解：解这个方程（组），求出未知数的值5、验：检验方程（组）的解是否符合题意6：答：写出答案（包括单位名称）【重点考点例析】 一、选择题1．一元一次方程2x=4的解是（ ）A ．x=1 B ．x=2 C ．x=3 D．x=4x=ay=b 的形式2．已知方程组2535x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为（）A．-1 B．0 C．2 D．3A．4150048000x yx y+=⎧⎨+=⎩B．4150068000x yx y+=⎧⎨+=⎩C．1500468000x yx y+=⎧⎨+=⎩D．1500648000x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题12．方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是．13．若方程组7353x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则3（x+y）-（3x-5y）的值是．14．湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．15．某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．三、解答题20．解方程组128 x yx y=+⎧⎨+=⎩．21．解方程组251x yx y+=⎧⎨-=⎩．【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根方程有两个实数跟，则③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2则x1+x2 = x1x2 =【重点考点例析】一、选择题1．方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0 2．已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x-1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根4．一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解6．已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．-4 C．1 D．-17．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥08．若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞49．关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．-110．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4 11．用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2二、填空题三、解答题21．选择适当的方法解下列方程：（1）27(23)28x -=； （2）223990y y--= （3）221x +=； （4）2(21)3(21)20x x ++++= 23．关于x 的一元二次方程为（m-1）x 2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？25.要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m ，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a 对题目的解起着怎样的作用？第九讲 分式方程【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式方程 ﹥整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、3、增根：转化 去分母 A B D E F在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
解一元一次方程的常用求解方法讲解
解一元一次方程的常用求解方法讲解一、方程的概念与基本性质1.1 方程的定义：含有未知数的等式称为方程。
1.2 方程的基本性质：(1)加减性：方程两边同时加上或减去同一个数，方程的解不变。
(2)乘除性：方程两边同时乘以或除以同一个非零数，方程的解不变。
二、一元一次方程的定义与特点2.1 一元一次方程的定义：形式为ax+b=0的方程，其中a、b为常数，a≠0，x 为未知数。
2.2 一元一次方程的特点：(1)含有一个未知数。
(2)未知数的最高次数为1。
(3)一次项系数不为0。
三、解一元一次方程的步骤3.1 去分母：若方程中含有分母，可将方程两边同时乘以分母的倍数，消除分母。
3.2 去括号：若方程中含有括号，可运用分配律将括号内的项与括号外的项相乘。
3.3 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边。
3.4 合并同类项：将方程中的同类项合并。
3.5 系数化为1：将方程的系数化为1，得到未知数的值。
四、一元一次方程的求解方法4.1 代入法：将方程中的未知数用另一个代数式表示，然后求解代数式。
4.2 加减法：通过加减方程两边的同类项，将未知数系数化为1，从而求解。
4.3 乘除法：通过乘除方程两边的同类项，将未知数系数化为1，从而求解。
4.4 方程的变换：通过适当的数学运算，将一元一次方程转化为已知类型的方程，然后求解。
五、方程的解与解集5.1 方程的解：使方程成立的未知数的值。
5.2 解集：方程所有解的集合。
六、一元一次方程的应用6.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数，解决问题。
6.2 函数图像：一元一次方程对应的直线图像，了解方程的解与图像的关系。
以上为一元一次方程的常用求解方法讲解，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3答案：x = 4解题思路：将常数项移至等式右边，未知数项移至等式左边，然后进行加减运算得到未知数的值。
2.习题：求解方程 5x + 8 = 0答案：x = -8/5解题思路：将常数项移至等式右边，未知数项移至等式左边，然后进行加减运算得到未知数的值。
七年级数学下册 第六章 一元一次方程 华东师大版
第六章一元一次方程应知一、基本概念方程：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程解的过程叫做解方程。
【注意】解方程时，要用到等式的性质：（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
二、基本法则列一元一次方程的步骤：①弄清题意(设未知数)：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件(找等量关系)：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程(列方程)：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程。
【注意】此三步骤适用于列各种方程。
2. 解一元一次方程的步骤：①去分母。
②去括号。
③移项。
(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。
④合并同类项。
⑤化未知项的系数为1。
⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。
应会列一元一次方程。
解一元一次方程。
用一元一次方程解答实际问题。
【注意】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+xx等都不是一元一次方程.2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.例题1. 解下列方程：（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5（3）()()()3413231121+-=-+++xxx2. 一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？3. 小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？4. 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？5. 丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。
9.方程与整式、等式的区别,方程的解题技巧
学生姓名性别年级学科数学授课教师魏涛上课时间2013年月日第（）次课课时：2 课时教学课题方程与整式、等式的区别，方程的解题技巧教学目标结合方程特点进行有技巧的解题教学重点教学难点技巧性解题教学过程一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。
两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。
但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
二、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
三、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是( )A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
六年级数学一元一次方程
第五章一元一次方程复习指导一复习目标：掌握等式、方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形在解方程时的作用。
1．会解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法的一般步骤，并能正确灵活地加以运用。
2．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，求解方程、所根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
3．在经历“问题情境－－－建立数学模型－－－解释、应用与拓展”的过程中体会一元一次方程在数学应用中的价值。
培养运用数学知识，去分析解决实际问题的能力，提高创新能力。
二知识结构网络:三、重点难点本章的重点难点是一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题。
准确熟练地解一元一次方程，关键在于正确理解等式的两个基本性质，列方程解应用题，关键在于正确地分析题中的数量关系，找出能够表达题意的相等关系。
四、点击中考纵观历年中考对有关一元一次方程知识的考查，着重在其概念和解法以及列一元一次方程解应用题考查的内容都是一些基础知识，适合全体学生，因此，复习应贴近课本注重基础知识的训练与巩固。
五、基础知识点精要（一）概念1、等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。
2、方程 : 含有末知数的等式叫做方能，一个式子只有同时具备下面的两个条件时，它才是方程。
即：（1）是等式，（2）含有未知数这两个条件缺一不可。
3、一元一次方程在一个方程中，只含有一个末知数x（元）并且末知数的次数是1（次），系数不等于0，这样的方程叫一元一次方程。
应特别注意：（1）把ax=b（a≠0）叫做一元一次方程的最简形式。
ax十b=0（其中x是末知数，a、b是己知数，且a≠0）叫做一元一次方程的标准形式。
（2）判断一个具体的方程是否是一元一次方程特别要注意两个方面：一要看是否是一元一次方程特别要注意两个方面：一要看是否是整式方程，二是要看这个方程化简后是不是一元一次方程的最简形式。
即ax=b（a≠0）若该方程是整式方程且化十21是一元4.（1）（2）1、是等式。
4.1 等式与方程七年级上册数学苏科版
4.1 等式与方程
七上数学 SK
1.理解等式的概念，能根据现实情境中的等量关系列出等式.
2.掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形.
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义，发展
抽象能力.
4.认识方程解的意义，能判断一个数是不是方程的解，能结合具体
的值
左边的值
右边的值
比较左右两边的值
第1次
2
44
42
左边> 右边
第2次
5
47
51
左边< 右边
第3次
解：由第1，2次可知，方程42 + = 3 12 + 的解应当在2到5之
间，我们在这个范围内再选取一个整数进行估值.如 = 3,此时
42 + = 45，3 12 + = 45，左边=右边，所以方程
（1）比的2倍少18的数是54；
解：等量关系：的2倍−18 = 54，用等式表示为2 − 18 = 54.
（2）排球场的长为米，长比宽多9米，排球场的周长为56米；
解：等量关系：2（排球场的长+排球场的宽）=排球场的周长，用
等式表示为2 + − 9 = 56，即4 − 18 = 56.
作未知数）的等式叫作方程.
方程必须具备两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数.
二者缺一不可.
方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程，它们之间
的关系如图所示.
典例3
已知下列式子：
3
2
+ 8 = 3；12 − ；2 − 3 = 3；
+ 1 = 2 + 1；3 = 10；2 + 5 = 7； − 1 ≠
初中方程知识点总结（精选5篇）
初中方程知识点总结初中方程知识点总结（精选5篇）对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究，做出带有规律性的结论。
下面是小编为大家带来的初中方程知识点总结（精选5篇），希望对大家有所帮助。
初中方程知识点总结篇1一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：一换：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；二解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；三验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
初三数学人教版知识点归纳
初三数学人教版知识点归纳没有加倍的勤奋，就没有才能，也没有天才。
天才其实就是可以持之以恒的人。
勤能补拙是良训，一分辛苦一分才，勤奋一直都是学习通向成功的最好捷径。
下面是小编给大家整理的一些初三数学知识点，希望对大家有所帮助。
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1、这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为 0)一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
2、不等式与不等式组不等式：①用符号”=“号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3、函数变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
一次函数：①若两个变量 X，Y 间的关系式可以表示成 Y=KX+B(B 为常数，K 不等于 0) 的形式，则称 Y 是 X 的一次函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生姓名性别年级学科数学授课教师魏涛上课时间2013年月日第（）次课课时：2 课时教学课题方程与整式、等式的区别，方程的解题技巧教学目标结合方程特点进行有技巧的解题教学重点教学难点技巧性解题教学过程一、方程与整式、等式的区别（1）从概念来看：整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。
两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。
但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
二、规律方法指导1、判断一个式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
三、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是( )A、5B、6C、7D、8思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
举一反三：[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
答案：[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
[变式3]已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( )A．－5 B．5 C．7 D．2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1．巧凑整数解方程：2、思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的和故直接移项凑成整数比先去分母简单。
举一反三：[变式]解方程：＝2x－52．巧用观察法解方程：3、思路点拨：该方程可化为＝3，不难看出，当y＝1时，该方程左边三项的值都是1，即左边＝右边，因原方程是一元一次方程，故只能有一个解，于是可求得方程的解是y＝1。
解：由观察可得y＝13．巧去括号解方程：4、思路点拨：含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从外向内去括号可以使计算简单。
举一反三：[变式]解方程：4．运用拆项法解方程：5、思路点拨：注意到，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
5．巧去分母解方程：6、思路点拨：当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
解：总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。
可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。
举一反三：[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：原方程可变形为 (__________________________)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)合并，得5x=-17. (合并同类项)（____________________）,得x=. （_________________________）6．巧组合解方程：7、思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。
7．巧解含有绝对值的方程：8、|x－2|－3＝0思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号。
举一反三：【变式1】已知方程，那么方程的解是________.[变式3]8．利用整体思想解方程：9、思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。
总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。
对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
类型三、一元一次方程的常见应用题1.优化方案问题10、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。
请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？类型普通(元/间)豪华(元/间)双人房140 300三人房150 400解：设安排普通双人房x间，则可住2x人，费用为140×50％·x元，此时安排普通三人房间，可住(78－2x)人，费用为150×50％×元。
由题意，得140×50％×x＋150×50％×＝2130。
解得x＝9，＝20。
即安排三人房20间，双人房9间即可。
举一反三：【变式】某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？解：设租用45座客车x辆，则根据春游学生人数不变，列方程：45x+15=60x-60解得： x=5若租用45座客车，则需用5辆，需花费：250×5=1250元若租用60座客车，则需用4辆，需花费300*4=1200元因为：1250>1200，因此租用60座客车比较合算。
答：租用60座客车更合算，租用4辆车。
2.行程中的追及相遇问题11、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？思路点拨：设甲的速度为千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：相遇前相遇后速度时间路程速度时间路程甲 3 33+90乙 3 3+90 1 3相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程；相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.解：设甲行驶的速度为千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3千米，乙行驶的路程为（3+90）千米，乙行驶的速度为千米/时，由题意，得.解这个方程，得=15.检验：=15适合方程，且符合题意.将=15代入，得==45.答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.总结升华：理解相遇前后的等量关系，相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题可以通过画线段图或列表帮助理解、分析。
举一反三：[变式]甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的。
摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？3．日历中的方程12、（1）在2006年8月的日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是＿＿＿。
（2）现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。
①图中框出的这16个数的和是＿＿＿。
②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大7；(2)①经观察不难发现，在这个长方形框里的16个数中，第一个数10与最后一个数34的和为44，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，……，它们的和都是44；②设最小的数为a，由图（2）及（1）可知，这16个数分成8组，每组的两个数之和都是2a＋37+3=2a＋24。
解：(1)a－7，a，a＋7(2)①352②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的矩形方框如下图所示。
则这16个数之和为16a＋192，当16a＋192＝2000时，a＝113，当16a＋192＝2006时，a＝113.375。
因为a是自然数，所以a＝113.375不符合题意，即框出的16个数的和不可能是2006。
由方形阵列的排法可知，a只可能在1,2，3,4列，即a被7除的余数只可能是1,2，3,4。
因为113＝16×7＋1，即113被7除余1,113在第一列中，所以这16个数的和是2000是可能的，这时，方框中最小的数是113，最大的数是113＋24＝137。
总结升华：(1)日历中的数量关系①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。
②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。