(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）
一﹑选择题（每小题3分，共15分)
1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+
2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）
(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--
4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
的矩阵为A ,那么( ）
(A) 2331A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
（D) 1001A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)
1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；
2。

设100210341A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭
，*
A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；
6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式2
2
2
111
a
b c a b c = ； 7。

要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---，那么1A -的特征值分别为 ； 9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围为 ；
10. 设A 为n 阶方阵，且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵，那么1A -= 。

三﹑计算题（每小题9分，共27分）
1。

已知210121012A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
，
100100B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 使之满足AX X B =+。

2. 求行列式
1234
2341
34124123
的值.
3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩。

四﹑（10分）设有齐次线性方程组
12312312
3(1)0,(1)0,(1)0.
x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪
-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时， 上述方程组（1）有唯一的零解﹔（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五﹑（12分)求一个正交变换X PY =，把下列二次型化成标准形:
222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.
六﹑(6分）已知平面上三条不同直线的方程分别为
123: 230,: 230,: 230.
l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++=
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.
线性代数(A 卷）答案
一﹑1。

D 2。

C 3. B 4. A 5. A
二﹑1。

0 2。

*1()A A -=- 3. 1 4。

3 5. 1或—1 6. ()()()c a c b b a --- 7. 0 8。

111,,23--- 9。

405t -<< 10。

1142
A I + 三﹑1. 解 由AX X
B =+得1()X A I B -=-。

（2分） 下面求1()A I --。

由于
110111011A I ⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭
(4分）
而
1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（7分）
所以
10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

(9分)
2. 解
1
2342
34134124123=
1023410341104121012312
341341
1014121123
= （4分) 12340113
10
00440
004
-=-- (8分) 160= （9分) 。

3。

解 由于
3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
----⎝⎭⎝⎭
324212345011300212700424r r r r -⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪
+ ⎪--⎝⎭
43123401132002120000r r -⎛⎫ ⎪--
⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭
(6分） 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的一个最大无关组.(9分) 四﹑解 方程组的系数行列式
111111111
A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- （2分）
①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠，即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解； (4分） ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为
12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
,
它有一个二阶子式
12
3021
-=-≠-，因此秩(A ）2n =<(这里3n =）,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等
行变换,可得到方程组的一般解为
13233
3,,,
x x x x x x =⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数； （7分） ③当2λ=时， 2(1)(2)0A λλ=-+-=，方程组的系数矩阵为
11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
显然,秩（A ）1n =<(这里3n =),所以方程组也有无穷多个解。

对A 施行初等行变换
可得方程组的一般解为
123223
3,,
,
x x x x x x x =--⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. (10分） 五﹑ 解 二次型的矩阵为
12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, （2分)
因为特征多项式为
21
2 2
2
1 2 (1)(5)22 1
I A λλλλλλ----=---=+----， 所以特征值是1-(二重)和5. （4分）
把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得
1231231232220,2220,2220,
x x x x x x x x x ---=⎧⎪
---=⎨⎪---=⎩
解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为
12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.
利用施密特正交化方法将12,αα正交化:
11(1,0,1)T βα==-, 211
(,1,)22
T β=--，
再将12,ββ单位化得
1T η=
，2(T η=， (8分） 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得
1231231234220,
2420,2240,
x x x x x x x x x --=⎧⎪
-+-=⎨⎪--+=⎩
解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为
3(1,1,1)T α=.
再将3α单位化得
3T η=。

(10分) 令
123(,,)0
P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
则P 是一个正交矩阵，且满足
1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭。

所以,正交变换X PY =为所求，它把二次型化成标准形
222123123(,,)5f x x x y y y =--+。

（12分)
六﹑证明：必要性
由123,,l l l 交于一点得方程组
230
230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有解，可知
231()()230()10231a b c
b c R A R A b
c a a b c c a c a b
a b
=⇒=⇒++= (2分）
由于222
12
11[()()()]01b c c
a b a c b a c a b
=--+-+-≠,所以0a b c ++= （3分） 充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+
2222222()2[()][()]022312366()10231a b
ac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒
=-=-+=-++-≠⎪⎪
⎪
⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为
()()2R A R A ⇒==， (5分） 因此方程组
230
230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解，即123,,l l l 交于一点。

(6分）
线性代数习题和答案
第一部分选择题 (共28分)
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题
目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m,
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A。

m+n B. -（m+n） C。

n-m D. m—n
2.设矩阵A=
100
020
003
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
B.
100
1
2
00
1
3
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
C.
1
3
00
010
00
1
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
D。

1
2
00
1
3
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3。

设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，A＊是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2)的元素是（ )
A。

–6 B。

6
C。

2 D. –2
4。

设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A。

A =0B。

B≠C时A=0 C。

A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5。

已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩（A T）等于（）
A。

1 B。

2
C. 3 D。

4
6.设两个向量组α1，α2,…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ )
A.有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2)+…+λs（αs+βs）=0
C。

有不全为0的数λ1,λ2，…，λs使λ1(α1-β1)+λ2（α2-β2）+…+λs（αs—βs）=0
D。

有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7。

设矩阵A的秩为r，则A中（）
A。

所有r—1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D。

所有r阶子式都不为0
8。

设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A。

η1+η2是Ax=0的一个解 B.1
2η1+1
2
η2是Ax=b的一个解
C。

η1-η2是Ax=0的一个解D。

2η1—η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
A。

秩(A）〈n B。

秩(A)=n-1
C.A=0D。

方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n（≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）
A。

如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α，使（λE—A)α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D。

如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11。

设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（） A。

k≤3 B. k〈3
C。

k=3 D。

k〉3
12。

设A是正交矩阵，则下列结论错误的是( )
A.|A|2必为1
B.｜A｜必为1
C。

A—1=A T D.A的行（列）向量组是正交单位向量组
13。

设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC。

则（）
A.A与B相似
B. A与B不等价
C。

A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14。

下列矩阵中是正定矩阵的为( ）
A.
23
34
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪B。

34
26
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
C。

100
023
035
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
D。

111
120
102
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
第二部分非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

错填或不填均无分。

15。

111
35692536
= 。

16。

设A =111111--⎛⎝
⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝ ⎫
⎭
⎪。

则A +2B = 。

17.设A =（a ij ）3×3，｜A ｜=2，A ij 表示｜A |中元素a ij 的代数余子式(i ，j=1,2，3），则（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23）2
+
（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23）2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2
= .
18.设向量（2，—3,5）与向量（-4,6，a ）线性相关,则a= . 19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 。

20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 。

21。

设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β,α-β)= . 22.设3阶矩阵A 的行列式｜A ｜=8,已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 。

23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
⎪⎪
，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
24。

设实二次型f （x 1,x 2，x 3,x 4，x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .
三、计算题(本大题共7小题，每小题6分,共42分)
25。

设A =120340121-⎛⎝ ⎫
⎭⎪⎪⎪
，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪。

求（1）AB T
；(2）｜4A |。

26.试计算行列式31125134
20111533
------.
27。

设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪
⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B 。

28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪⎪⎪
⎪
2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4
=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪。

试判断α4是否为α1，α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数。

29。

设矩阵A =121
02242
66210233
3334-----⎛⎝
⎫
⎭
⎪⎪
⎪
⎪。

求：（1)秩（A ）;
（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8。

求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T —1
AT =D .
31。

试用配方法化下列二次型为标准形
f(x 1，x 2，x 3）=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，
并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分)
32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E —A 可逆，且(E —A ）-1=E +A +A 2。

33。

设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系。

试证明 （1）η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2)η0，η1，η2线性无关。

答案：
一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1。

D 2。

B 3。

B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10。

B 11.A 12.B 13。

D 14。

C 二、填空题（本大题共10空,每空2分，共20分） 15。

6 16. 337137--⎛⎝
⎫
⎭
⎪
17. 4
18。

–10
19。

η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2—η1）)，c 为任意常数 20. n —r 21. –5 22. –2 23。

1
24。

z z z z 12223242++-
三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）
25。

解(1）AB T =120340*********-⎛⎝
⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫
⎭
⎪⎪⎪
=861810310⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪⎪。

（2）｜4A |=43
|A ｜=64｜A |，而
｜A｜=120
340
121
2 -
=-.
所以｜4A|=64·（—2）=—128
26。

解
3112
5134
2011
1533
5111
11131
0010
5530
-
--
-
--
=
-
--
--
=
511
1111
550
--
--
=
511
620
550
62
55
301040
-
--
=
-
--
=+=.
27。

解AB=A+2B即（A-2E)B=A，而
(A—2E）-1=
223
110
121
143
153
164
1
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
=
--
--
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
-
.
所以B=(A—2E)—1A=
143
153
164
423
110
123
--
--
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
=
386 296 2129
--
---
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
.
28.解一
-
--
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
−→
−
--
--
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
2130
1301
0224
3419
0532
1301
0112
013112
−→
−
--
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
−→
−
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
1035
0112
0088
001414
1035
0112
0011
0000
−→
−
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
1002
0101
0011
0000
,
所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2，1,1）.
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
-++=
-=-
+=
+-=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
230
31
224
349
123
12
23
123
x x x
x x
x x
x x x.
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）. 29。

解对矩阵A施行初等行变换
A−→
−
--
-
-
-⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪12102 00062 03282 09632
−→−
--
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
−→
−
--
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪12102
03283
00062
000217
12102
03283
00031
00000
=B.
（1)秩（B）=3，所以秩（A）=秩(B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组.
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，—1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.
经正交标准化，得η1=
255
55
/
/
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，η2=
2515
4515
53
/
/
/
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
.
λ=-8的一个特征向量为
ξ3=
1
2
2-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，经单位化得η3=
13
23
23
/
/
/
.
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
所求正交矩阵为T=
2552151513
55451523
05323
///
///
//
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
.
对角矩阵D=
100 010 008-⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
.
（也可取T=
2552151513
05323
55451523
///
//
///
-
--
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪。

）
31。

解 f(x1，x2,x3）=（x1+2x2—2x3）2-2x22+4x2x3—7x32
=(x1+2x2—2x3）2—2（x2—x3）2-5x32。

(完整版)线性代数测试试卷及答案
设
y x x x
y x x
y x
1123
223
33
22
=+-
=-
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
，即
x y y
x y y
x y
112
223
33
2
=-
=+
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
，
因其系数矩阵C=
120
011
001
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
可逆，故此线性变换满秩。

经此变换即得f(x1，x2,x3）的标准形
y12—2y22—5y32 。

四、证明题（本大题共2小题,每小题5分,共10分）
32。

证由于（E-A)（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且
（E—A）—1= E+A+A2 。

33。

证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.
（1）Aη1=A(η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，
所以η1，η2是Ax=b的2个解。

（2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,
即（l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0。

则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解，矛盾。

所以
l1ξ1+l2ξ2=0。

又由假设，ξ1,ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0 。

所以η0,η1，η2线性无关。