圆锥曲线的焦半径角度式

圆锥曲线的焦半径——角度式

一 椭圆的焦半径

设P 是椭圆22

221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则

PFO θ∠=，则2

cos b PF a c θ

=-

上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论

证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2

2

2

2PF FF FF FP FP '''=-⋅+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++

得：2

cos b PF a c θ

=-

1 过椭圆22

143

x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=

AF BF λ，则λ的值为

2（2002全国理）设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直

线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11

PF QF

+为定值，并求这个定值

结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即

2112a AF BF b

+= 3（2007XX 理）在椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，

使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明12

2232111

PF P F P F ++

为定值，并求此定值

结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，

，n P ，则

21

211

1n na

PF P F P F b

+++

= 4 F 是椭圆2

212

x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与

椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =，3FC r =，

4FD r

=，则下列结论一定成立的是（ ）

A 1234r r r r +++=

B 1234r r r r +

++= C

12341111r r r r +++=

D 1234

1111

r r r r +++= 5 F 是椭圆22

143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于

A 、

B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则

AB FM

的值为

6（2010XX 理）设椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直

线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB = （1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果15

4

AB =，求椭圆C 的方程

7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b +=的离心率为2

，过右焦点F 且斜率

为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）

A 1

B

C

D 2

8 已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C

相交于A ，B 两点，若2BF AF =，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）

A 10,2⎛⎤

⎥⎝⎦

B

0,2⎛ ⎝⎦

C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭

D 1,13⎛⎫

⎪⎝⎭

9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22

132

x y +

=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边

形ABCD 的面积的最小值

10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2

2

12

y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值

11 已知过椭圆22

1259

x y +

=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程

二 双曲线的焦半径

设P 是椭圆22

221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，

则PFO θ∠=，则2

cos b PF c a

θ=±

式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用

1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，

过F C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ）

A 65

B 75

C 58

D 9

5

2 （2007XX 理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为

三 抛物线的焦半径

已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos p

AF θ

=

+

证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos p

AF θ

=+

1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF

-=，则直线l 的倾斜角θ（02

π

θ<≤）等于（ ）

A 2π

B 3π

C 4π

D 6

π

2（2008XX ）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛