圆锥曲线的焦半径角度式
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线公式大全(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α 2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：1x y a b+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为BC -） (6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(00y x ，即0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式：（1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )其中圆心为(,)22D E --，半径为r =2、直线与圆的位置关系 点),(00y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- （2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+-- 3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤2．双曲线顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 222122()F F c c a b ==-离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程 2a x c=±2a y c=±焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠021s 21y c in PF PF •=••=θ 通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ab 22焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d=>【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a b y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式 ） （消y x x x x k x x k l ]4))[(1(1212212212-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：图形标准方程 22y px = ()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =- ()0p >开口方向 向右 向左 向上 向下定义 与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2px =2p y =-2p y =焦半径 0,0()M x y 02pMF x =+02pMF x =-+02pMF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔直线与椭圆相交?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.直线与椭圆相切?⎩⎨⎧ y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⎩⎨⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(b x x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；π；⑸112. ||||FA FB P+=⑷焦点F对A B、在准线上射影的张角为2。
关于圆锥曲线焦半径的两类公式
∵线段 Q F2 交双曲线于点 P , 即 P 在
Q F2 上 , 于是 Q P∶ PF2 = | Q P | ∶ | PF2 | = 2 ,
由定比分点公式得点 P (
点 , F 是焦点 , 若 PF 或 PF 的延长线交 y 轴 于点 Q , 有向线段 PQ ∶ Q F = λ, 则 | PF | =
求.
3 ) P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )
4
= 1 上 一 点 , F1 , F2 是 两 焦 点 , 当
∠F1 PF2 为钝角时 , 点 P 横坐标的取值范围 是
.
上任一点 , F 为抛物线的焦点 , 则抛物线的 焦半径公式为| PF| = x 0 +
p
2
(1 - λ ).
2 21 c, c) . 3 6 11 c 5c ∴ | PF1 | = , | PF2 | = , 故有 6 6 2 | PF2 | 1 +λ e a +λ ce 5 = = . 2 = | PF1 | a-λ 11 ce 1-λ e
证 1) ①当 E 为左焦点时 , x E = - c , 又 ∵ x Q = 0 , ∴λ = PQ ∶ Q E = ( x Q - x P) ∶
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②当 E 为右焦点时 , x E = c , 仿 ①的方 法可得 x P = - λ c , 代入椭圆焦半径公式即可 得证 . 2 ) , 3) 的证明与 1) 相仿 , 从略 .
圆锥曲线的焦半径公式推导
圆锥曲线的焦半径公式推导如下：圆锥曲线的焦半径公式是解决与圆锥曲线相关问题的重要工具。
对于椭圆来说，如果焦点在x轴上，且设点A(x_1, y_1)在椭圆上，那么点A到左焦点F_1的焦半径为a + ex_1，到右焦点F_2的焦半径为a - ex_1。
推导过程可以基于椭圆的标准方程和定义来进行：1. 椭圆的标准方程：对于中心在原点，半长轴为a，半短轴为b的椭圆，其标准方程通常写作：x²/(a²) + y²/(b²) = 1 (其中a > b > 0)2. 离心率：离心率e是描述椭圆形状的一个参数，定义为c/a，其中c是椭圆的焦距。
3. 焦半径的定义：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，到焦点的距离称为焦半径。
4. 使用相似三角形：根据圆锥曲线的第二定义，从椭圆的一个焦点出发到椭圆上一点的射线，与从另一焦点出发到同一点的射线以及与主轴的夹角θ之间存在关系。
通过构建相似三角形，可以得到焦半径的计算公式。
5. 坐标式：当焦点在x轴上时，若已知椭圆上一点的横坐标x_1，则到左焦点F_1的焦半径长度可以用a + ex_1来计算，到右焦点F_2的焦半径长度用a - ex_1来计算。
这里的e是椭圆的离心率。
6. 倾斜角式：利用焦半径与主轴正方向的夹角θ，可以得到更为通用的焦半径表达式，尤其适用于焦点不在坐标轴上的情况。
在这种情况下，焦半径的长度与夹角θ有关，表达式为r = b²/(a±ccosθ)，这里±的选择取决于焦点的位置。
综上所述，圆锥曲线的焦半径公式有多种表达形式，可以根据具体问题的需要选择合适的公式进行计算。
这些公式不仅在理论研究中有着重要作用，在解题和实际应用中也极其重要。
圆锥曲线的焦半径公式
圆锥曲线上任意一点到核心的间隔叫做圆锥曲线关于该点的焦半径.操纵圆锥曲线的第二定义很容易)为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的左、右核心，则 =a+e x , =a-e x .
(2)若P(x ,y )为椭圆 + =1(a>b>0)上任意一点，F 、F 分别为椭圆的上、下核心，则 =a+e y , =a-e y .
(4)若P(x ,y )为抛物线x =-2py(p>0)上任意一点，则 = -y +
不克不及，请说明来由.(答案：点P不存在)
(1)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的左、右核心，则
①当点P在双曲线的左支上时， =-e x -a, =-e x +a.
②当点P在双曲线的右支上时， =e x +a, = e x -a.
(2)若P(x ,y )为双曲线 - =1(a>0，b>0)上任意一点，F 、F 分别为双曲线的上、下核心，则
①当点P在双曲线的下支上时， =-e y -a, = -ey +a.
②当点P在双曲线的上支上时， =ey +a, = ey -a.
(1)若P(x ,y )为抛物线y =2px(p>0)上任意一点，则 = x +
(2)若P(x ,y )为抛物线y =-2px(p>0)上任意一点，则 = -x +
(3)若P(x ,y )为抛物线x =2py(p>0)上任意一点，则 = y +
圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式
圆锥曲线综合1：焦半径与焦点弦的三角形式圆锥曲线焦半径和焦点弦的三角形式及其性质(以焦点在x 轴上的曲线为例)设圆锥曲线的焦点弦AB 所在直线的倾斜角为θ，斜率为k ，离心率为e ，焦准距为p (抛物线只需令e=1)性质1：焦半径AF=|cos ||cos 1|2θθc a b e ep -=-，BF=|cos ||cos 1|2θθc a b e ep +=+抛物线：AF=|cos 1|θ-p ，BF=|cos 1|θ-p 性质2：焦点弦AB=|cos 2||cos 12|222222θθc a ab e ep -=-，抛物线：AB=|sin 2|2θp 性质3：222BF 1AF 1b a ep ==+；抛物线：p2BF 1AF 1=+性质4：若→→=FB AF λ，则有|11|12+-+=λλk e ，|11||cos |+-=λλθe 典型例题例1：过椭圆1222=+y x 的左焦点作倾斜角为60°的直互，直线和椭圆交于A 、B 两点，则AB=____例2：已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与D 、E 交于两点，则AB+DE 的最小值为_______例3：已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若→→=FB 4AF ，则C 的离心率为______.例4：已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点，设FA>FB ，则FA 与FB 的比值等于___________例5:已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A 、B 两点，若AF 2=2F 2B ，AB=BF 1，则C 的方程为________例6设圆的圆心为A ，直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合，l 交圆于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(1)证明EA+EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.练习题1.设F 1、F 2分别是C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N(1)若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN=5F 1N ，求a 、b2.中心在原点O 的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l 的方程为：x =12(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点P 1、P 2、P 3，使得∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1，证明:321FP 1FP 1FP 1=+为定值，并求此定值.。
巧用圆锥曲线的焦半径
巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离.圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念.许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机.因此，掌握它是非常重要的.圆焦半径：R f=" + xe, R，-; = a- xe,右支双曲线焦半径：R t =xe + th R = x e■- </ (x > 0),左支双曲线焦半径：R t = - (x e + a), R 6 = - (x e- a) (x <0),抛物线焦半径：Rw + f .art对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得.如对双曲线而言：当P(xo,yo)是双曲线屁2_巧2 =局2(“>0">0)右支上的一点，Fl,F2是其左右焦点.则有左准线方程为.丫 =-必.C由双曲线的第二怎义得，左焦半径为IPF] 1=&(心+・)=5+^；c由IPFiF IPF2I =2r/,得IPF2I = IPF2I - 2a = ex0 - ・(IPF2I亦可由第二定义求得).例1已知Fi，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以Fi为顶点，F?为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足IPF,l = elPF2l.贝9 e的值为()(A)苹(C)斗(D)2-j2解法1 设F,(-c,0), F2(C,0), P(A O,yo),于是，抛物线的方程为^=2(4c)(x + c),抛物线的准线/： x=-3c,椭圆的准线m： x = - —, c设点P到两条准线的距离分別为d 1, di.于是，由抛物线定义,得J1 = IPF2I, ................ ①又由椭圆的定义得IPFil = ed2,而IPFil = elPF2l, ..................... ②由①②得t/2 = IPF2l,故山=鸟,从而两条准线重合.・•・—3c = _Xne2=_lne =週.故选(C).c 3 3解法2 由椭圆定义得IPF1l + IPF2l = 2a,又IPF|l = elPF2l, A I PF2I (l+e) = 2a, .. ①又由抛物线定义得IPF2I= AO +3C,即XO =IPF2I-3C,.......................... ②由椭圆定义得IPF2l = “—exo, ............................. ③由②③得IPF2l = "—elPF2l + 3ec,即I PF?I (1+e ) = “ + 3ec, ......... ④由①④得2a = a + 3ec,解得e =斗,故选(C).点评结合椭圆、抛物线的泄义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想.例2设椭圆E：+ (a> b> 0),的左、右焦点分别为Fi,氏，右顶点为A.如果点M为椭圆E上的任意一点，且IMF.I - IMF2I的最小值为4(1)求椭圆的离心率e：(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P,试问是否存在常数X(X>0),使得ZPAF> = X ZPF>A成立？试证明你的结论.分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解.而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索.由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率.而ZPFiA显然是一锐角，又易知ZPAFi是(0. 123)内的角，且90。
圆锥曲线的焦半径角度式
圆锥曲线的焦半径——角度式一 椭圆的焦半径设P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF a c θ=- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2222PF FF FF FP FP '''=-⋅+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++得：2cos b PF a c θ=-1 过椭圆22143x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=AF BF λ，则λ的值为2 （2002全国理）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11PF QF+为定值，并求这个定值结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即2112a AF BF b+=3（2007重庆理）在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明122232111PF P F P F ++为定值，并求此定值结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，，n P ，则212111n naPF P F P F b+++= 4 F 是椭圆2212x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =， 3FC r =，4FD r =，则下列结论一定成立的是（ ）A 1234r r r r +++=1234r r r r+++=C12341111r r rr +++=12341111r r r r +++=5 F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则ABFM的值为6（2010辽宁理）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果154AB =，求椭圆C 的方程7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）8 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，若2BF AF =，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B 0,2⎛ ⎝⎦C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 1,13⎛⎫⎪⎝⎭9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11 已知过椭圆221259x y +=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程二 双曲线的焦半径设P 是椭圆22221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF c aθ=±式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 952 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为三 抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos pAF θ=+证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos pAF θ=+1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF-=，则直线l 的倾斜角θ（02πθ<≤）等于（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =,，则弦AB 的中点到准线的距离为5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为7 抛物线1C ：22y px =和圆2C ：222()24p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1C 交于A 、D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅的值为（ ）A 24pB 23pC 22p D 2p。
圆锥曲线焦半径公式推导
圆锥曲线焦半径公式推导
圆锥曲线是指在平面上的点到一定点（焦点）和一条直线（准线）的距离比例等于一个常数的点的轨迹。
设圆锥曲线的焦点为F，准线上一点为P，焦半径为r，则有以下公式推导：
首先，根据圆锥曲线的定义，可以得到FP/PM=k（k为常数）。
设直角坐标系下焦点F(-c,0)和准线为x轴的方程为y=0，点P在
准线上，坐标为(x,0)，则有FP的长度为
√((x+c)^2+y^2)=√((x+c)^2)，PM的长度为x，所以有：
√((x+c)^2)/x=k
(x+c)^2/x^2=k^2
x^2+2cx+c^2=k^2x^2
(c^2-k^2)x^2-2cx+c^2=0
(c^2-k^2)x^2-2cx+c^2=0
所以焦半径r为：
r= c^2/(k^2-1)
这就是圆锥曲线焦半径的公式推导过程。
除了推导公式，圆锥曲线还有圆锥抛物线、圆锥双曲线等不同类型，它们的焦半径公式也各有不同。
深入学习圆锥曲线的不同类型和性质，可以帮助我们更好地理解和应用这些曲线。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径——角度式一 椭圆的焦半径设P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF a c θ=- 上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=-u u u u r u u u u r u u u r两边平方得：2222PF FF FF FP FP '''=-⋅+u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++得：2cos b PF a c θ=-1 过椭圆22143x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=AF BF λ，则λ的值为2 （2002全国理）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11PF QF+为定值，并求这个定值结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即2112a AF BF b+=3（2007重庆理）在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明122232111PF P F P F ++为定值，并求此定值结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，L ，n P ，则212111n naPF P F P F b +++=L 4 F 是椭圆2212x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =u u u r ，2FB r =u u u r ， 3FC r =u u u r，4FD r =u u u r，则下列结论一定成立的是（ ）A1234r r r r +++= B1234r r r r +++=C12341111r r r r +++= D12341111r r r r +++=5 F 是椭圆22143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A 、B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则ABFM的值为6（2010辽宁理）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB =u u u r u u u r（1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果154AB =，求椭圆C 的方程7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）A 1BCD 28 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，若2BF AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B 0,2⎛ ⎝⎦C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D 1,13⎛⎫⎪⎝⎭9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积的最小值10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u ur 共线，且0PF MF ⋅=u u u r u u u r ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值11 已知过椭圆221259x y +=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程二 双曲线的焦半径设P 是椭圆22221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，则PFO θ∠=，则2cos b PF c aθ=±式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F 且斜率为的直线交C 于A ，B 两点，若4AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率为（ ） A 65 B 75 C 58 D 952 （2007重庆理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为三 抛物线的焦半径已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos pAF θ=+证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos pAF θ=+1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF-=，则直线l 的倾斜角θ（02πθ<≤）等于（ ）A 2πB 3πC 4πD 6π2（2008江西）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB= 3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于4（2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =u u u r u u u r,，则弦AB 的中点到准线的距离为5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为7 抛物线1C ：22y px =和圆2C ：222()24p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1C 交于A 、D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A 24pB 23pC 22p D 2p。
圆锥曲线中的焦半径公式的应用
０ ３０ ） ６ ００
（ 华 。） 华 一＇ ｚ
而 ＝ 、 ÷ 佩 ．
。 一
・ ． ‘
的焦半径．
一
、
椭 圆
Ｉ ＰＦ２Ｉ＝ １
２ ＜ ４，
标准方程 ： ＋
＝１ ｎ＞６＞ ） （ ｏ
・ ． ．
／ ０＋ ６ 一 ＜ ， ６ ＜ ． ２ ４ ２ ４ ． ４ ・ ．
焦 半 径 ： Ｐ ｌ ＝ｎ＋ Ｉ Ｆ ＝ ｌ Ｆ ｌ ｅ ， Ｐ ２ Ⅱ一ｅ． ｌ ｘ 对 于 焦 点 在 Ｙ轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 所 对 应 的 焦 半
径 ， 自己推 导． 可
二 、 曲 线 双
又 ． ’６∈ Ｎ ．’ ＝１． ． ．ｂ
例 ３ 过 椭 圆 ２ ｘ ＋ｙ ＝２的 一个 焦 点 Ｆ ０ １ 作 一 直 线 （ ，）
三 、 物 线 抛
，
／＼ ＼ ＝
ｕ）， ），
＝
＝
（
标 准 方 程 ： ±２ ｘ Ｐ＞ ） Ｙ＝ ｐ（ ０ ．
Ｉ Ａ Ｉ＋ Ｉ Ｂ Ｉ＝ｎ — ｅ Ｆｌ Ｆ２ ｙｌ＋ 。 一 ｅ ２ ｙ
焦 半 径 ：Ｐ ＝ ｌ Ｉ ． ｌ ＦＩ ＋
＝
对 于抛 物 线 的 其 他 形 式 的 标 准 方 程 所 对 应 的 焦 半 径 ， 可 自己 推 导．
（ ） Ｉ ＢＩ ， ０ ａ＋ （ ＋ ） ， ２ 若 Ａ ≥２ 贝 ２ ｅ ≥２
・ ．
． ｌ＋ ２≥ 一 ３
・
一
Ｉ Ｐ，１ｌ＝ ｅ １＋口，Ｉ ＰＦ２Ｉ＝ ｅ ｌ— ｒ． 上
．
．
ｌ ＋
ｔ ａｎ
字 ｔ≤ ， ｊａ 字 ｎ ｊ ≤
三类圆锥曲线“焦半径公式”的一套记忆口诀
丽ＦＩ ［ １～ Ｐ
・ ．
又 Ｂ（。６ 、 Ｃ在 同一支 ， ｘ ，）Ａ、 即上 支上． Ｉ ＡＦＩ 一一（ －ｅ ） １ ＦＩ ａ ｙ ，Ｂ 一一 （ － ｅｚ ，Ｃ 一一 ａ ｙ ） １ ＦＩ
（ －ｅ３． ａ－ ｙ ）
‘ ￣因 ｌ Ｉ ＋。 Ｎ ａ Ｉ＜ ， Ｐ 一 ｚｌ ｌ ． Ｘ ｏ 而 Ｍ 譬 ， ２ Ｉ Ｐ 一
下表不下焦点 ； 表示上焦点． 上
二 、 曲线 和 抛 物线 的焦 半 径 公 式 双
对 于 双 曲线 的 两种 情 况 而 言 ， 半 径 公 式 的得 到 有 焦
直线 ｚ 叫做圆锥曲线相应 于焦点 Ｆ 的准线 ； 常数 叫做 离心率 ， 这里 ｅ ， ｅ ＞Ｏ 当 ＞ｌ时轨迹是 双曲线 ； Ｏ ＜ｌ 当 ＜ｅ
＋右 一 ， ＋上 一 ” 律 ， 表 示 左 焦 点 ； 表 示 右 焦 点 ； 下 规 左 右
程》 涉及 三类 圆锥 曲线 的统 一定 义 ， 即圆锥 曲线第 二定
义 ： 面内与一定点 平 Ｆ和它到定直线 的距离 的 比是常数
ｅ的点 的轨 迹 ， 圆锥 曲 线 ， Ｆ 叫 做 圆锥 曲线 的 焦 点 ， 叫 点
． …
结合 椭 圆 的 几 何 性 质 及 第
二 定 义 ２ １ ｎ ． ｉ ２ — （
＞ ６ ０ ， （ ｃ ０ ， ｃ ０ ， ＞ ） Ｆ１ 一 ， ） Ｆ（ ， ） Ｐ
Ⅳ
／ ． ．一 ． ：
旷
焦点 ， 上表示 上焦点 ； 然后依 动点 ， 断 Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｆ 『 判 。与 ２ Ｐ Ｐ 的长短 ， ｎ 视 ＋髓ｏ 口 ． ， ＋ｅ ０ａ ｙ ， 一ｅ ０ａ ｙ ， —ｅｏ为整 体 ， ７ ￣ 依 ｌ Ｆ ｌ Ｆ 的长短添正或负号． Ｐ １与 Ｐ ２ Ｉ ｌ 对于抛物线的四种情况 而言 ， 焦半径公 式 的得 到有
圆锥曲线公式
圆锥曲线公式
圆锥曲线的公式主要有以下：1、椭圆：焦半径：a+ex(左焦点)，a-ex(右焦点)，x=a²/c2、双曲线：焦半径：|a+ex|(左焦点)|a-ex|(右焦点)，准线x=a²/c3、抛物线(y²=2px)等。
公式
椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的标准方程共分两种状况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(ab0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(ab0)；
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)
2.双曲线：到两个定点的距离的差的肯定值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a|F1F2|)}。
双曲线的标准方程共分两种状况：
焦点在X轴上时为
x^2/a^2-y^2/b^2=1；
焦点在Y轴上时为
y^2/a^2-x^2/b^2=1；
3.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
y²=2px（p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点。
抛物线标准方程共分四种状况：
右开口抛物线：y^2=2px；
左开口抛物线:y^2=-2px；
上开口抛物线：x^2=2py；
下开口抛物线:x^2=-2py；
[p为焦距（p0）]。
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线的焦半径(角度式)
圆锥曲线的焦半径一一角度式椭圆的焦半径2设P 是椭圆X 2 a2-yr 1 （ a b 0）上任意一点，F 为它的一个焦点,贝U bPFO，则IPFb 2 a ccos上述公式定义 PFO， P 是椭圆上的点，F 是焦点，0为原点，主要优UUml ULIJU ULIn 证明：设I PF l m ,另一个焦点为F ，则PFFF FP UJLuI 2 UULUI 2 UUllJ UUU UUU 2两边平方得：PF FF 2FF FP FP2 2 2即：(2 a m ） 4c 4cm CoS m得：PFa c cosAF BFl ，贝U 的值为 _______2 22 （2002全国理）设椭圆x 2占1 （a b 0a b2ι过椭圆x ～4 1的右焦点F 任作一直线交椭圆于 A 、B 两点，若AFBF线交椭圆于P Q 两点,求证： 1 PF 1 QF为定值，并求这个定值 结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即 1_ _1_ 2aAF BF b 2的一个焦点F ,过F 作一条直 无需再单独讨论2 3（2007重庆理）在椭圆笃a2y21（ a b 0）上任取三个不同的点R , P 2， P 5 , b2 26( 2010辽宁理）设椭圆C ：笃占1( aa bIUur UUn直线与椭圆C 相交于A , B 两点,直线I 的倾斜角为60°， AF 2FB使 PF 2 F 2 P 2F 2Fo 〉 并求此定值 F3 F 2pl,F 2为右焦点，证明1 IFiF^1 F 2F 21 P 3F 2为定值，结论：若过 F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于P ,P 2，L ，F n ,则 PFP 2F1P n Fna b 24 F 是椭圆 1的右焦点,由F 引出两条相互垂直的直线 直线a 与椭圆交于点 直线b 与椭圆交于UUrUUrIUIFA 「1 FB 「2 , FCa ，b ， D ，若 IUU FD「1则下列结论一定成立的是(「14.22 F 是椭圆—4A 、B ,线段AB 的中垂线I 交X 轴于点M ，则AB FM的值为b 0）的左焦点为F ,过点F 的(1）求椭圆C的离心率15(2）如果IAB 寸，求椭圆C的方程2 7 （2010全国U理）已知椭圆C :笃a b23 1的离心率为¥ ，过右焦点F且斜UJU UuIB两点，若AF 3FB ，则k （）A 0，1B θA222 29 （2007全国I理）已知椭圆——1的左右焦点分别为F1 , F2 ,过R的直线3 2交椭圆于B , D两点，过F2的直线交椭圆于A , C两点，且AC BD ,求四边形ABCD的面积的最小值8已知椭圆(a b 0）的右焦点为F ，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点,UJU若BFAF ,则椭圆的离心率e的取值范围是（）10 （2005全国卷U理)P ,Q ， M , N四点都在椭圆x2F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知UULr UUU UuLr UUlrPF与FQ共线，MF与FN共线，且PFUUUUJUrMF 0,率为k ( k 0) 的直线与C相交于A ,C A求四边形PQMN 面积的最大值和最小值2 211已知过椭圆— L 1左焦点F l 的弦（非长轴）交椭圆于 A , B 两点,F 2为259右焦点,求使 F 2AB 的面积最大时直线AB 的方程双曲线的焦半径式中“ ”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取 负，取 PFO，无需讨论焦点位置，上式公式均适用2设P 是椭圆笃ab 21 （ a 0， b 0）上任意一点, F 为它的一个焦点,则 PFO，则PFb 2 CCoS a1 （ a 0，b 0）的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ,B 两点，若AFIUU4FB ,则C 的离心率为（2 （2007重庆理）过双曲线x 2 y 2 4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则IFPFQ 的值为 ________________抛物线的焦半径已知A 是抛物线C : y 2 2px （ P 0)上任意一点，F 为焦点， AFo 贝U AF 一P一1 COS证明：PN 为准线，于是 AF AN ,其中PF P, FM AF cos 于是 AN PF FM P AF cos 所以 AF P AF cos21 11过抛物线y 2x 的焦点F 作直线交抛物线于A , B 两点，若TA^ — 1 ,则直线4的倾斜角（0 -)等于（ ） AB— C_ D23462 （2008江西）过抛物线χ2 2py ( P 0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与 AF抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧)，则 Lr _______________IFB 3 （2008全国理）已知F 为抛物线C ： y 2 4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线 与抛物线C 交于A,B 两点，设IFA FB ，则FA 与FB 的比值等于 _________________7 抛物线 C i : y 2 2px 和圆 C 2 : (X -)2 y 22IUU IUU交于A 、D ,与C 2交于B 、C ,则AB CD 的值为() 2P-D故AFP 1 cos55 （2010重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2 4x上的两点A , B满足IuIr UurAF 3FB ,,则弦AB的中点到准线的距离为____________5已知抛物线y* 6 4x ，准线与X轴交于E点，过点E的直线y k（x 1)交抛物线于A ， B两点，F是焦点，且满足AFB 600,求AB6已知F为抛物线C : y2 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线I1,I2，直线I i与C交于A，B两点，直线∣2与C交于D,E两点，贝U AB2y T 1的右焦点，过点F作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于2 21 (2009全国U理）已知双曲线 C :务占a b6DE的最小值为2—,直线I经过C i的焦点，与C i 4。
(高中数理化2008)圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线的焦半径公式及其应用浙江省东阳市横店高级中学（322118）刘光红（本文发表在《高中数理化》2008-2上）连接圆锥曲线的焦点与曲线上任意一点的线段统称为它的焦半径，根据圆锥曲线的统一定义，很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式，下面是用处较多的椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式：（1）对于椭圆而言，焦半径公式为：，.（2）对于双曲线而言，焦半径公式为：当点P在双曲线的左支时：，，当点P在双曲线的右支时：，.（3）对于抛物线而言，焦半径公式为：以上各式中，P（x,y）是曲线上的一点，是椭圆、双曲线的左右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是：随着曲线方程的不同，焦半径公式也有不同，对于焦点在y轴上的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程对应的焦半径公式请同学们自己给出。
下面介绍焦半径公式在解题中的应用。
1求比值例1 设为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的一个点，已知点P，是一个直角三角形的顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知，并求得，离心率，由椭圆的对称性，不妨设是椭圆上的任意一点，则由题意知分别为其左焦半径和右焦半径，由焦半径公式得，。
（1）若为直角，则，代入化简得，故=。
（2）若为直角，即可求得，故=。
2解是否存在的问题例2 已知椭圆，是否在椭圆位于y轴左侧部分上存在一点M，使点M到左准线l的距离为点M到两个焦点的距离的比例中项？并说明理由。
解：由已知方程得，左准线l：。
设椭圆上位于y轴左侧部分存在的点M()，满足(*)由椭圆的焦半径公式知：，，又，代入（*）式解得或，与矛盾，故这样的点M不存在。
3求弦长例3 过双曲线的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求的值。
解：由双曲线的方程知：，所以，所以，右焦点F(5，0)，设，，则AB的方程为，代入双曲线的方程，消去y，整理得，所以。
所以==。
4求最值例4 给定椭圆，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得与它们的交点为顶点的四边形面积最大。
解：设双曲线的方程为，上焦点为，设A为两曲线在第一象限的交点，由焦半径公式得：，将解得的代入椭圆（双曲线）方程得，由对称性，以交点为顶点的四边形为矩形，其面积为：，当且仅当时，，故所求的曲线方程为。
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圆锥曲线的焦半径——角度式
一 椭圆的焦半径
设P 是椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）上任意一点，F 为它的一个焦点，则
PFO θ∠=，则2
cos b PF a c θ
=-
上述公式定义PFO θ∠=，P 是椭圆上的点，F 是焦点，O 为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论
证明：设PF m =，另一个焦点为F '，则PF FF FP ''=- 两边平方得：2
2
2
2PF FF FF FP FP '''=-⋅+ 即：222(2)44cos a m c cm m θ-=++
得：2
cos b PF a c θ
=-
1 过椭圆22
143
x y +=的右焦点F 任作一直线交椭圆于A 、B 两点，若AF BF +=
AF BF λ，则λ的值为
2（2002全国理）设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的一个焦点F ，过F 作一条直
线交椭圆于P 、Q 两点，求证：11
PF QF
+为定值，并求这个定值
结论：椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即
2112a AF BF b
+= 3（2007XX 理）在椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上任取三个不同的点1P ，2P ，3P ，
使122223321PF P P F P P F P ∠=∠=∠，2F 为右焦点，证明12
2232111
PF P F P F ++
为定值，并求此定值
结论：若过F 作n 条夹角相等的射线交椭圆于1P ，2P ，
，n P ，则
21
211
1n na
PF P F P F b
+++
= 4 F 是椭圆2
212
x y +=的右焦点，由F 引出两条相互垂直的直线a ，b ，直线a 与
椭圆交于点A 、C ，直线b 与椭圆交于B 、D ，若1FA r =，2FB r =，3FC r =，
4FD r
=，则下列结论一定成立的是（ ）
A 1234r r r r +++=
B 1234r r r r +
++= C
12341111r r r r +++=
D 1234
1111
r r r r +++= 5 F 是椭圆22
143x y +=的右焦点，过点F 作一条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于
A 、
B ，线段AB 的中垂线l 交x 轴于点M ，则
AB FM
的值为
6（2010XX 理）设椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点为F ，过点F 的直
线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，2AF FB = （1） 求椭圆C 的离心率 （2） 如果15
4
AB =，求椭圆C 的方程
7（2010全国Ⅱ理）已知椭圆C ：22221x y a b +=的离心率为2
，过右焦点F 且斜率
为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =（ ）
A 1
B
C
D 2
8 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C
相交于A ，B 两点，若2BF AF =，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A 10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
B
0,2⎛ ⎝⎦
C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
9（2007全国Ⅰ理）已知椭圆22
132
x y +
=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，求四边
形ABCD 的面积的最小值
10（2005全国卷Ⅱ理）P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆2
2
12
y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值
11 已知过椭圆22
1259
x y +
=左焦点1F 的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，2F 为右焦点，求使2F AB ∆的面积最大时直线AB 的方程
二 双曲线的焦半径
设P 是椭圆22
221x y a b -=（0a >，0b >）上任意一点，F 为它的一个焦点，
则PFO θ∠=，则2
cos b PF c a
θ=±
式中“±”记忆规律，同正异负，即当P 与F 位于轴的同侧时取正，否则取负，取PFO θ∠=，无需讨论焦点位置，上式公式均适用
1（2009全国Ⅱ理）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，
过F C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ）
A 65
B 75
C 58
D 9
5
2 （2007XX 理）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，则FP FQ ⋅的值为
三 抛物线的焦半径
已知A 是抛物线C ：22y px =（0p >）上任意一点，F 为焦点，AFO θ∠=，则1cos p
AF θ
=
+
证明：PN 为准线，于是AF AN =，其中PF p =，cos FM AF θ=⋅ 于是cos AN PF FM P AF θ=-=- 所以cos AF P AF θ=- 故1cos p
AF θ
=+
1 过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若111AF BF
-=，则直线l 的倾斜角θ（02
π
θ<≤）等于（ ）
A 2π
B 3π
C 4π
D 6
π
2（2008XX ）过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与抛
物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则
AF FB
=
3（2008全国理）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于
4（2010XX 理）已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =,，则弦AB 的中点到准线的距离为
5 已知抛物线24y x =，准线与x 轴交于E 点，过点E 的直线(1)y k x =+交抛物线于A ，B 两点，F 是焦点，且满足060AFB ∠=，求AB
6 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线
1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为
7 抛物线1C ：2
2y px =和圆2C ：222()24
p p x y -+=，直线l 经过1C 的焦点，与1
C 交于A 、
D ，与2C 交于B 、C ，则AB CD ⋅的值为（ ）
A 24p
B 23p
C 2
2
p D 2p。