信息安全数学基础试卷A2014

信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)

信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)装订线装订线三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.求解一次同余方程1714(mod21)x 。

2.解同余方程组2(mod3)3(mod5)2(mod7) xxx≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）2.f是群G到G'的一个同态，{}=∈=，其f a a G f a e'ker|,()中e'是G'的单位元。

证明：ker f是G的正规子群。

3. 证明：如果p 和q 是不同的素数，则111(mod )q p p q pq --+=。

五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。

选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1(mod ()n )。

Bob 的公钥是（n ，e ），对外公布。

Bob 的私钥是d ，自己私藏。

如果攻击者分解n 得到p =47，q =23，并且已知e =257，试求出Bob 的私钥d 。

答案一、填空题（每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为[,](,)ab a b a b =。

2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果|m a b -，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。

3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=()()m n ϕϕ。

4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。

则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做()m ord a 。

如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。

5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件11(mod )n b n -≡，则n 叫做对于基b 的拟素数。

信息安全数学基础习题答案

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。

因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。

由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。

信息安全数学基础参考试卷

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。

信息安全数学基础习题答案[1]

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数(k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。

因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。

2014年各省市信息卷精选理数答案1-7

2014年各省市信息卷精选答案理数精选一1、C2、A3、D4、B5、A6、B7、D8、C9、1- 10、8011、1212、±413、①③14、3115、相交16．解：（1）()f x 的最小正周期为T= 313ππ=（2）33()tan()tan 2663f ππππ=-==（3）由711711(3)tan[(3)]tan()2232622f πππααπα+=-+-=-+=-得即所以1tan 2α=-cos 0α∴≠sin cos sin cos αααα-=+．tan 1tan 1αα-=+ 1123112--==--+另解：先求sin cos αα和再求得最后正确答案这步也得3分 17．解:（1）系统抽样（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =即中位数的估计值为77.5（3）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆），车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆） ∴0,1,2ξ=，2024261(0)15C C P C ξ===，1124268(1)15C C P C ξ===，0224266(2)15C C P C ξ===， ξ的分布列为ξ 012P115815615均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=.18．(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E ,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形, ∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB,∵1CE A E ⋂=E,1A E ⊂平面1A EC ，CE ⊂平面1A EC∴AB⊥面1CEA , ∴AB⊥1AC ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, ………9分有题设知A(1,0,0),1A则BC1BB =1AA),1A C),设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,可取n∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n||,∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C19．解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或;(Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ;20．解：（1）两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以原点为中心，1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点，长轴长为2a =的椭圆，1,1a c b =====∴椭圆的方程为2212x y +=，即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += （2）(i)当直线l 的斜率不存在时，易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部，直线l 与椭圆M 无交点，所以直线l 不存在。

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12,c=27,求a、b、c的最小公倍数a,b,c= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9,则模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11,则模m的所有平方剩余= .5、设m=22,则模m的所有原根个数= .6. 设m,n是互素的两个正整数,则φmn=________________;7. 设m是正整数,a是满足 m?a的整数,则一次同余式：ax≡b mod m有解的充分必要条件是_________________ ;8. 设m 是一个正整数,a是满足____________的整数,则存在整数a’,1≤a’＜m ,使得aa’≡1 mod m;9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题在题目后面的括号中,对的画“√”,错的画“×”1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b).2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数,则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b.4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则ad≡b d (mod md).5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系.6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.9、设p是素数, g是模p的原根, 若g x≡1(mod p), 则x是p−1的整数倍.10、设m>1,(a,m)=1, 则1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系.11. b≠0, 则(0,b)＝|b|.12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 则ab│m.13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0,若ad≡bdmodm;则a≡bmod m;14. 设m为正整数, a是满足(a,m)=1的整数,b为整数. 若r1,r2,…,rφ(m)为模m的一个简化剩余系, 则ar1+b,ar2+b,…,arφ(m)+b也为模m的一个简化剩余系.15. p为素数,n为整数且与p互素,则n2为模p的平方剩余.16. 设p为正整数, 设a∈Z,(a,p)=1, 则a是模p的平方剩余的充要条件是: a p+12≡1(mod p).17. 3是模7的原根;18. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1,d为正整数, 若a d≡1(mod m),则ord m(a)|d.19. 整数集关于整数的乘法构成群;20. 适当定义加法和乘法,集合{0,1}可以构成一个有限域;三、单项选择题把答案写在题目后面的括号中1. 设a与b是两个整数, 则存在整数s,t, 使得(a,b)=sa+tb,下面关于a与b 线性组合描述错误的是：A. 整数s,t的取值仅有一组唯一的值；B. 整数a,b的线性和所能表示的最小的正整数是a,b最大公因数,即sa+ tb=(a,b)；C. (a,b)的倍数也可以用a,b的线性和表示；D. 整数s,t,可以使用辗转相除法欧几里得算法反推得到;2、下面关于整除的描述错误的是：A. ±1是任何整数的因子；B.设a,b∈Z整数集合,c≠0c|b, c|a, 则c|a±b；C. 0是任何整数的倍数；D. 设a,b∈Z, 若 b|a, b≠0,则b|−a, −b|−a。

信息安全数学基础习题答案.pdf

“信息安全数学基础”习题答案第一章1、证明： (1)|()|()()|a b b ma m Z c d d nc n Z bd acmn mn Z ac bd ⇒=∈⇒=∈∴=∈∵，，，即。

(2)12111112|,|,,|11(3)|(),,k k k k a b a b a b a b c b c b c c c c ∴−+++∵ ，根据整除的性质及递归法，可证得：，其中为任意整数。

2、证明：1-2(2)(3,5)13|5|15|,(15,7)17|105|a a a a a =∴=∴∵∵∵根据例题的证明结论知：，又且,又，且,。

3、证明：1n p n p n >>因为，且是的最小素因数，若假设n/p 不是素数，则有121223131312,2,,,,2,,k k n p p p p k p p p p k n p p p p n p p n n p n n p =×××≥≥==×≥∴≥≤>> （其中为素数且均）若，则即,与题设矛盾，所以假设不成立，即为素数得证。

7、证明：首先证明形如6k -1的正整数n 必含有6k -1形式的素因子，这显然是成立的。

因为如果其所有素因数均为6k +1形式，则12,(61,1,2,,)j i i n p p p p k i j =×××=+= ,从而得到n 是形如6k +1形式的正整数，这与题设矛盾。

其次，假设形如6k -1的素数为有限个，依次为1212,,6s s q q q n q q q = ，考虑整数-1，则n 是形如6k -1的正整数，所以n 必有相同形式的素因数q ，使得使得q = q j (1≤j ≤s )。

由整数的基本性质(3)有：12|(6)1s q q q q n −= ，这是不可能的。

故假设错误，即存在无穷多个形如4k -1的素数得证。

2n3n最小非负余数最小正余数绝对值最小余数最小非负余数最小正余数绝对值最小余数3 0、1 1、3 0、1 0、1、2 1、2、3 -1、0、14 0、1 1、4 0、1 0、1、3 1、3、4 -1、0、1 8 0、1、4 1、4、8 1，0 0、1、3、5、7 1、3、5、7、8 3、1、-3、-1、0 10 0、1、4、5、6、9 1、4、5、6、9、10 -4、-1、0、1、4、5 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,10-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,413、解： (1)259222137222376(222,259)37372592221,1,1s t =×+=×⇒==−×∴==−(2)139571316827136821316823122(1395,713)31317136821713(13957131)2713(1)1395,1,2s t =×+=×+=×⇒==−×=−−×=×+−×∴=−=16、解： (1)(112,56)5611256[112,56]112(112,56)=×== (2)(67,335)6767335[67,335]335(67,335)=×== (3)(1124,1368)411241368[1124,1368]384408(1124,1368)=×==(7,4)1,0,7(1)4211,24410,1,2,771||1000142||100040,1,1427c s t k x k k k y k x k y x kk y k ==∴×−+×=∴=−=⎧=−=−⎪⎪=±±⎨⎪==⎪⎩≤⎧∴≤⎨≤⎩=−⎧∴=±±⎨=⎩∵ 而不定方程的一切解为：　其中，又方程的全部解为　，其中，第二章1、解：(1) 错误。

湖南省岳阳市2014届高考数学信息卷试题理新人教A版

某某市2014届高三信息卷数学（理工类）注意事项：本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，只交答题卷．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．并把答案填在答题卡中对应题号内．1．已知2a ib i i +=-（a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=A ．1-B ．1C ．2D ．32．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5：3，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为120的样本．则A 层中应该抽取的个数为 A ．30 B ．45 C ．50 D ．753．在△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若a=9，b=6， A=060，则sin B =A ． 13-B ．13C．3 D．3-4．若某空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积是A ．60B ．54C ．48D ．245．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+m (m 为常数)，则(1)f -= A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 6．已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数k 使得CA CB kCM +=成立，则k =A ．2B ．3C ．4D ．57．已知实数x ，y 满足条件22(3)(2)110x y x y ⎧-+-≤⎨--≥⎩，则2y z x =-的最小值为 A．3+ B．2．34 D ．438．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x '>恒成立，若12x x <，则12()x e f x 与21()x e f x侧视图正视图图1图2的大小关系为 A ．12()x e f x >21()x e f x B ．12()x e f x <21()x e f xC ．12()x e f x =21()x e f x D ．12()x e f x 与21()x e f x 的大小关系不确定二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9． 20cos xπ⎰dx =________．10．不等式|1|1x x +>+的解集是________．11．命题“∀x ∈R 3>”的否定是________． 12．执行如图2所示的程序框图，若0.9P =，则输出的n ＝____．13．若各项均为正数的等比数列{na }满足123a a a =5，789a a a =10，则192021a a a =________．14．若以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足 2AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．15．已知数列{}n a 满足：当(1)(1)(,22k k k k n -+∈（,n *k N ∈）时，1(1)k n a k +=-⋅，n S 是数列{}n a 的前n 项和，定义集合{|m n T n S =是n a 的整数倍，*,n m N ∈，且1n m ≤≤}，()Card A 表示集合A 中元素的个数，则15()Card T = ，2014()Card T = ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题12分）已知向量(23,2)2x m =，2(cos ,cos 22x xn =，()f x m n =⋅（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a c B b C ++=，若()1f A =，求角C 的值．17．（本小题12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”．求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（Ⅲ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．18．（本小题12分）在如图４所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，ABE ∆为等腰直角三角形，90BAE ∠=︒，且AD AE ⊥．（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ．（Ⅱ）求直线EC 与平面BED 所成角的正弦值． 19．（本小题13分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，实施 “放开二胎” 新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0.5万人，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．（Ⅰ）某某施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2013年为第一年）；（Ⅱ）若新政策实施后的2013年到2032年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2032年后是否需要调整政策？20．（本小题13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．过A BC D E 图４ 7 8 8 7 7 7 8 9 9 6 8 9 9图3它的两个焦点1F ，2F 分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于A 、B 两点，2l交椭圆于C 、D 两点，且12l l ⊥．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 的面积S 的取值X 围．21．（本小题13分）已知函数2()xx f x e =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()mf x x =有解，某某数m 的取值X 围；（Ⅲ）若存在实数12x x ≠，使1122()()x f x x f x ⋅=⋅成立，求证：126x x +>．某某市2014届高三信息卷数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D2.D3．C 4.A5.D 6.B 7.C 8.A二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上. 9.110. (,1)-∞-11.03x R ∃∈≤12.513. 40 14.94 15. 9, 1022 （答对一空记3分, 答对二空记5分）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.16.解：由2()23sin cos 2cos cos 1222x x xf x m n x x =⋅=⋅+=++ 2sin()16x π=++………………4分(Ⅰ)∵T=221ππ=()f x π∴的最小正周期是2………………6分图５(Ⅱ)由()1f A =即sin()6A π+=62A ππ=或………………8分又(2)cos cos 0a c B b C ++=，在ABC ∆中由正弦定理知2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ⋅+⋅+⋅=即2sin cos sin()A B B C ⋅=-+1cos 2B ∴=-23B π∴=………………10分A B ∆由、均为ABC 的内角且B 为钝角∴6A π=………………11分故()6C A B ππ=-+=………………12分17.解：（Ⅰ）众数：87；中位数：88.5 ……………2分（Ⅱ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A ，则604912098)()()(31027133103710==+=+=C C C C C A P A P A P ……………6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3 ……………7分1000342)107()0(3===ξP ； 1000441)107(103)1(213===C P ξ 1000189107)103()2(223===C P ξ；100027)103()3(3===ξP 分布列为……………11分1000273100018921000441110003420⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 9.0=. ……………12分注：用二项分布直接求解也可以．18. .解法一：（Ⅰ）由已知有AE ⊥AB ，又AE ⊥AD ，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥DB ，………………………………………………3分又ABCD 为正方形，所以DB ⊥AC ，……………………………………………4分所以DB ⊥平面AEC ，而BD ⊂平面BED故有平面AEC ⊥平面BED. ………………………………………………6分（Ⅱ）设AC 与BD 交点为O ，所以OE 为两平面AEC 和BED 的交线.过C 作平面BED 的垂线，其垂足必在直线EO 上，即∠OEC 为EC 与平面BED 所成的角.……………7分设正方形边长为2a ，则，AE=2a ，所以，EC=，…………………9分所以在三角形OEC 中，由余弦定理得 cos ∠OEC=3，故所求为sin ∠OEC=13………………………12分解法二：以A 为原点，AE 、AB 、AD 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．……1分（Ⅰ）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2)………………2分AC =(0,2,2)，BD =(0,-2,2)，AE =(2,0,0)，ED =(-2,0,2)，从而有0BD AC ⋅=，0BD AE ⋅=，即BD ⊥AC ，BD ⊥AE ，所以BD ⊥平面AEC ，故平面BED ⊥平面AEC.………………………6分（Ⅱ）设平面BED 的法向量为(,,)n x y z =，由00n ED n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得z x y z =⎧⎨=⎩，故取(1,1,1)n =…………8分而EC =(-2,2,2)，设直线EC 与平面BED 所成的角为θ，则有||1sin |cos ,|3||||n EC n EC n EC θ⋅=<>==…………………………12分19.解：（Ⅰ）当10≤n 时，数列{}n a 是首项为5.45，公差为5.0的等差数列，nn a n 5.045)1(5.05.45+=-⨯+=∴………………2分当11≥n 时，数列{}n a 是以公比为99.0的等比数列，又5010=a1099.050-⨯=∴n n a………………4分因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万元）的表达式为y图４-2ABCD E 图４-1O10450.5,110500.99,1120n n n n a n -+≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩………………6分(Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2013年到2032年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：2010111220()S S a a a =++++10477.54950(10.99)972.5=+⨯-≈万……10分(说明：10100.99(10.01)0.9=-≈) ∴新政策实施到2032年年人口均值为2048.6220S ≈万………………12分由204920S <，故到2032年不需要调整政策．………………13分20解：（Ⅰ）由122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==，………………2分将点P 的坐标代入椭圆方程得21c =，………………4分故所求椭圆方程为22143x y +=………………5分（Ⅱ）当1l 与2l中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为6S =，………………7分若1l 与2l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k -．∴直线1l 的方程为(+1y k x =），设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，2222(43)84120k x k x k +++-=（1） ∴2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -⋅=+，………………8分∴122||43x x k -=+，∴212212(1)|||43k AB x x k +=-=+（2）………………9分注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用1k -代替（2）中的k ，得2212(1)||34k CD k +=+，………………10分 ∴2222172(1)||||2(43)(34)k S AB CD k k +=⋅=+⋅+，令2(0,)k t =∈+∞， ∴22272(1)6(122512)6662886612(43)(34)12251249491225t t t t S t t t t t t +++-===-≥-=+⋅+++++，∴288[,6)49S ∈，综上可知，四边形ACBD 面积的288[,6]49S ∈. (13)分21.解：（Ⅰ）'2()(2)x f x x x e -=-，令'()002f x x >⇒<<，'()00f x x <⇒<或2x >………………3分所以()f x 递增区间为(0,2)，递减区间为(,0),(2,)-∞+∞………………4分（Ⅱ）()m f x x =3(0)x x m x e ⇔=≠，令3()(0)x x g x x e =≠，则'23()(3)xg x x x e -=-令'()03g x x >⇒<，'()03g x x <⇒>，所以()g x 在(,0),(0,3)-∞递增，在(3,)+∞递减，………………6分max 327(3)g g e ==，故327(,0)(0,]m e ∈-∞………………8分(Ⅲ)令3()()()x x h x xf x x R e ==∈，则由（2）知，()h x 在(,3)-∞递增，在(3,)+∞递减.由条件有12()()h x h x =，不妨设12x x <，则必有123,3x x <>，于是263x -<…9分假设126x x +≤，则121263()(6)x x h x h x ≤-<⇒≤-，即223322226(6)()(6)x x x x h x h x e e --≤-⇔≤2263232(6)x x x e e x --⇔≤，令23(0)x t t -=<，则有3233333(0)33tt t e t t e t e t t +-++⎛⎫≤⇔≤< ⎪--⎝⎭，即23(3)30t t e t ---≤（*），令23()(3)3xu x x ex =---(0)x <.232()(1)13xx u x e '=--，………………11分因为234()0(0)9xu x xe x ''=-><恒成立，所以()u x '在(,0)-∞上是增函数，所以()(0)0u x u ''<=，所以()u x 在(,0)-∞上是减函数，故()(0)0u x u >=,0t ∴<时，()0u t >，这与（*）矛盾！所以原不等式得证，即126x x +>．…………13分。

信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)

信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分）1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________。

2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作_____________。

3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=________________。

4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。

则使得1(mod )ea m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做__________。

如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的____________。

5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。

6. 设,G G '是两个群，f 是G 到G '的一个映射。

如果对任意的,a b G ∈，都有_______________，那么f 叫做G 到G '的一个同态。

7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有0H =<>或H =______________。

8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，*\{0}R R =对于乘法构成一个_______群。

二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 令1613,a = 3589b =。

用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。

2. 求同余方程22(mod 67)x ≡-的解数。

3. 计算3模19的指数19ord (3)。

三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1. 求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡。

2014级数学考试试题-A

1 / 4潍坊科技学院2013－2014学年第一学期期中考试《数学》试卷（A 卷）（时间 60分钟满分100分）（适用于五专部 2014 级计算机/建工学生）注：本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，将第Ⅰ卷答案填写在第Ⅱ卷上。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题3分，共60分）1．下列各题中所指的对象，能构成集合的是（）A ．接近0的数B ．著名的歌唱家C ．本校篮球打得好的学生D ．大于1小于2的数 2．设{}/4M x x =≤，则下列各式正确的是（）A ．3M ⊆B ．3M ∉C ．{}3M ∈D ．{}3M ⊆3．已知集合{}{}1,2,3,4,3,5A B ==，则A B =（）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}54．已知集合{}{}1,2,3,4,3,5A B ==,则A B =（）A ．{}1,2,3,4B ．{}3,5C ．{}1,2,3,4,5D ．{}35．“3x =-”是方程“260x x +-=”的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.下列各题中所指的对象，能构成集合的是（）A.非常小的数B. 本班兴趣广泛的同学C. 好看的书D. 0与1之间的数 7.集合(],1A =-∞，则（） A ．A ∅∈ B ．{}0A ∈C ．0A ⊆D ．{}0A ⊆8.函数()312f x x x =++-的定义域（） A ．[)1,-+∞ B ．()(),22,-∞+∞C ．[)()1,22,-+∞D ．(]1,1-9. 若集合{}{}2/1,/1A x x B x x =≤=<，则集合A 与B 的关系是（）A ．AB ØB ． A B ⊆C ． A B ⊇D ．A B =10. 5x >是3x >的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 集合{}{}/13,/15A x x B x x =-<≤=<<，则A B =（）A ．()1,5-B ．()3,5C ．()1,1-D ．(]1,312. 下列关系式正确的是（）A ．3Z -∉B ．2R ∈C ．Q π∈D ．0N +∈13. 下列表达式正确的是（）A ．0∈∅B ．{}0=∅C ．{}0∅⊆D ．{}0∅∈14. 满足不等式12x -≤<的全体实数用区间表示为（）A. ()1,2-B. [)1,2-C. []1,2-D. (]1,2-系部_____________ 班级________________ 姓名__________________ 学号____________出卷人安静静----------------------------------------------密-------------------------------------封----------------------------------------线------------------------------------2 / 415. “a b >”是“ac bc >”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16. 集合{}2/560x x x -+=用列举法表示为（）A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．(){}2,317. 集合{},a b 的子集共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18. 设,x y 为实数，则22x y =的充要条件是（）A ．x y =B ．x y =-C ．33x y =D ．x y =19. 下列选项中正确的是（）A ．a c ab bc >⇒>B ．22a b ac bc >⇒>C ．22ac bc a b >⇒>D ．,a b c d ac bd >>⇒>20.设集合A Z =,{}/32B x x =-≤<，则集合A B 中的元素个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．6系部_____________ 班级________________ 姓名__________________ 学号____________出卷人：安静静----------------------------------------------密-------------------------------------封----------------------------------------线------------------------------------3 / 42013－2014学年第一学期期末考试《数学》试卷（A 卷）试题答题纸一、选择题答题卡1 234567891011 121314151617181920第Ⅱ卷（非选择题共40分）二、填空：（每小题3分，共15分）21.已知函数()5,537,5x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，则()3f = _______________________．22. 已知集合{}0M =，{}{}0,1,0,1,2N P ==，则()M N P= _______________________。

2014-2015第一学期信息安全基础期末考试试卷(A卷)答案

山东科技大学2014—2015学年第一学期《信息安全基础》期末考试试卷（A卷）答案一、填空1、认证业务不可否认业务2、反馈函数3、1284、数论5、有限域上离散对数问题6、行移位（ShiftRow）、列混合（MixColumn）7、248、王小云二、名词解释1、离散对数：设p是素数，a是p的本原根。

即a1,a2,…,a p-1在 mod p下产生1到p-1的所有值，所以对b∈{1,…,p-1}，有惟一的i∈{1,…,p-1}使得b≡a i mod p。

称i为模p下以a为底b的离散对数，记为b(mod p)。

i≡loga2、陷门单向函数：t是与f有关的一个参数。

已知x, 计算y使得y=f(x)容易；如果不知道t，已知y, 计算x使得y=f(x)是难的，但知道t时，已知y, 计算x使得y=f(x)是容易的。

参数t称为陷门（Trapdoor）。

3、寻找函数H的具有相同输出的两个任意输入的攻击方式，称为第II类生日攻击。

4、在交互证明系统中，设P知道某一秘密，并向V证明自己掌握这一秘密，但又不向V泄露这一秘密，这就是最小泄露证明。

进一步，如果V除了知道P能证明某一事实外，不能得到其他任何信息，则称P实现了零知识证明，相应的协议称为零知识证明协议。

三、问答题1、答：应考虑以下几个方面：1)加密算法。

（3分）2)用于加密算法的秘密信息。

（3分）3)秘密信息的分布和共享。

（8分）4)使用加密算法和秘密信息以获得安全服务所需的协议。

（10分）2、设计一个性能良好的序列密码最基本的设计原则是什么？它又可分为哪些基本原则？答：最基本的设计原则是“密钥流生成器的不可预测性”，它可分解为下述基本原则：答：①长周期。

②高线性复杂度。

③统计性能良好。

④足够的“混乱”。

⑤足够的“扩散”。

⑥抵抗不同形式的攻击。

（少一个扣2分）3、在具有仲裁方式的数字签字中，如果仲裁方和发送方共谋否认曾发过的消息，也可和接收方共谋以伪造发送方的签字，如何解决这个问题，请给出实例。

信息安全数学基础试卷一

《信息安全数学基础》试卷一一、判断题（本题满分10分，共含10道小题，每小题1分，认为命题正确的请在答题表里填写“√”，认为命题错误的请在答题表里填写“×”）1、任何一个交换群必定是循环群。

2、若4mod b a ≡，则有8mod b a ≡。

3、若无向图中的每一对顶点之间都有链，则此无向图为树。

4、存在一个无向图G ，G 既是哈密顿图，又是欧拉图。

5、若G H ≤1，G H ≤2，则G H H ≤⋂21。

6、同余方程有解。

7、模n 的缩系中共有)1(-n ϕ个元素。

8、),,⨯+Z （是一个域。

9、对于奇素数p 而言，模p 的两个二次剩余之积为二次剩余，两个二次非剩余之积为二次剩余。

10、对称群3S 有4阶子群。

二、计算题（本题满分15分）1、设T 是一棵无向树且有3个次数是3的点,2个次数是2的点,其余均为次数是1的点，求出该树一共有多少个点？（本小题5分）2、使用扩展的Euclid 算法求解(a,b)及整数s ，t,使得sa+tb=(a,b),其中a=135,b=97。

（本小题10分）三、解答题（本题满分45分）1、利用整数的惟一分解定理求出(45，100)和[45，100]。

（本小题6分）2、写出模7的缩同余类集合，列出其乘法运算表，并求出此集合中所有非零元素关于乘法的逆元。

（本小题15分）3、判断下列二次同余方程是否有解，并给出判断依据。

（本小题15分）（1）（2）)137(mod 62=x )365(mod 12-=x (mod )k x a n ≡⇔(,())|g k n ind a ϕ4、有向图如图1所示，写出其对应的邻接矩阵、关联矩阵，并判断此图是否为连通图，给出判断依据。

（本小题9分）图1四、求解下列同余方程或同余方程组（本题满分15分）1、)15(mod 93≡x （本小题5分）2、⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡9mod 711mod 57mod 2x x x （本小题10分）五、证明题（本题满分15分）1、证明：若n b a mod ≡，n d c mod ≡，则有n d b c a mod +≡+。

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《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) kn ，(3) n 或kn ，(4) k 或2 k。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4) m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡30（mod 198）的解数是( )。

(1) 0，(2) 6，(3) 9，(4) 18。

信息安全数学基础试题

信息安全数学基础试题1. 题目：对称加密与非对称加密的区别是什么？请举例说明。

对称加密和非对称加密是信息安全中常用的两种加密方式，它们的区别主要体现在密钥的管理和使用方式上。

（1）对称加密：对称加密也被称为共享密钥加密。

它使用相同的密钥进行加密和解密操作。

加密和解密过程都使用相同的密钥，因此速度较快，但密钥的管理相对困难。

举例：最常见的对称加密算法是DES（数据加密标准）。

例如，Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，她需要事先与Bob共享DES密钥。

当Alice加密文件时，她使用这个密钥对文件进行加密，然后将加密后的文件发送给Bob。

Bob接收到文件后，使用相同的密钥进行解密操作，以获取原始文件。

（2）非对称加密：非对称加密也被称为公钥加密。

它使用一对密钥，其中一个是公钥，另一个是私钥。

公钥用于加密操作，私钥用于解密操作。

非对称加密相对安全，但速度较慢。

举例：非对称加密算法中最常见的是RSA算法。

假设Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，Bob首先生成一对密钥（公钥和私钥）。

Bob将公钥发送给Alice，而私钥则保留在自己手中。

Alice使用Bob的公钥对文件进行加密后，将加密后的文件发送给Bob。

Bob收到文件后，使用自己的私钥进行解密操作，以获取原始文件。

2. 题目：什么是哈希函数？请简要介绍哈希函数的概念和应用。

哈希函数是一种将输入转换为固定长度输出的函数。

它将任意长度的输入数据映射到固定长度的哈希值，并具有以下特点：（1）唯一性：不同的输入数据会产生不同的哈希值。

（2）定长输出：无论输入数据的长度是多少，哈希函数始终输出固定长度的哈希值。

（3）不可逆性：从哈希值无法还原得到原始的输入数据。

（4）散列性：输入数据发生轻微改变，哈希值会发生巨大变化。

应用领域：（1）数据完整性验证：哈希函数可以用于验证数据的完整性，通过比对哈希值判断数据是否被篡改。

（2）数字签名：哈希函数与非对称加密算法结合使用，利用私钥对数据的哈希值进行签名，保证签名的真实性和完整性。

《信息安全数学基础》(许春香著) 课后习题答案电子科技大学出版社

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群同构(3.2 定理 2), 所以结论成立. （13）由题意可知ห้องสมุดไป่ตู้am=e, bn=e, m,n 为使得上式成立的最小正整数, 又因为 ab=ba, 所以 (ab)mn=amnbmn=e, 又因为(m,n)=1, 假设存在 i 使得(ab)i=e,有(ab)mi=e,有 bmi=e,有 mi|n,有 i|n,同理 i|m,所以 i|mn,所以 mn 是使得(ab)i=e 成立的最小整数，结论成立。（15）设 H1, H2 是群 G 的两个正规子群, H= H1∩H2, 所以有对任意的 a∈G, h1∈H1 有 ah1a-1 ∈H1, 同样对任意的 h2∈H2 有 ah2a-1∈H2, 所以对任意的 h∈H1∩H2 有, aha-1∈H1∩H2, 所以结论成立. (先要证明 H 是 G 的子群, 略) （16）由题意设 eH, aH 是 H 的唯一两个左陪集, 仿照 3.4 定理 2 可证. (另证：G=H∪aH, G=H∪Ha, 又因为 H∩aH=空, H∩Ha=空, 所以有 aH=Ha). （17）由题意有 HN=NH 即对任意的 hn∈HN 有 hn=n'h, 对任意的 h1n1∈HN, h2n2∈HN, (h1n1)(h2n2)-1= h1n1n2-1h2-1=h1h2-1n1'n2'∈HN, 所以结论成立.
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必要性：因为群 G 是交换群, 所以对任意元素 a,b 有 ab=ba, 方程两边左乘以 a 右乘以 b 有 abab=aabb, 有(ab)2=a2b2. （9）证明：对群中任意元素 a,b 有 ab(ab)-1=e, 方程两边先左乘以 a 的逆元有 b(ab)-1=a-1, 在左乘以 b 的逆元有(ab)-1=b-1a-1, 所以结论成立. （12）证明：显然 mZ 是群 Z 的一个非空子集, 验证封闭性, 结合律, 单位元, 逆元, 得出 mZ 是一个群, 所以 mZ 是 Z 的子群. （因为对 mZ 中任意元素 am, bm 有 am-bm=(a-b)m, 因为 a-b∈Z, 所以(a-b)m∈mZ, 所以 mZ 是群 Z 的一个子群）. （13）证明：设群 G 的两个子群为 G1, G2, 则对任意 a,b∈G1∩G2 有 ab-1∈G1, ab-1∈G2, 所以 ab-1∈G1∩G2, 所以 G1∩G2 也是 G 的子群. （14）证明：设 G 是一个群, 对任意 a,b∈G, 存在一个 G 到 H 的映射 f,并且 f(ab)=f(a)f(b). 对任意 f(a),f(b)∈H 有 f(a)f(b)=f(ab)∈H, 所以 H 满足运算的封闭性. 对任意 f(a),f(b),f(c)有 (f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又因为 (ab)c=a(bc), 所以 (f(a)f(b))f(c)=f(a)(f(b)f(c)), 所以 H 满足结合律. 对任意 f(a)∈H, 有 f(ae)=f(a)=f(a)f(e), 所以 f(e)是 H 的单位元, 对任意的 f(a)∈H, 有 f(aa-1)=f(e)=f(a)f(a-1), 所以 f(a)的逆元为 f(a-1). 所以 H 是一个群. （16）证明：设 a 到 a-1 的一一映射为 f.

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