材料力学第七章习题选及其解答

7-2. 在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab 上的应力。应力单位为

MPa 。

解：（a ）

（1）应力分量

o xy y x MPa MPa 30 0 70 70==-==ατσσ

（2）用解析法求斜截面上的应力

MPa

MPa

xy y

x xy

y

x y

x 6.6060sin 2

70702cos 2sin 23560cos 27070270702sin 2cos 22=︒+=+-==︒++-=--+

+=

α

τασστα

τ

ασσσσσαα

（3）应力圆

（b ）

（1）应力分量

o xy y x MPa MPa 30 0 70 70====ατσσ

（2）用解析法求斜截面上的应力

a)

c)

d)

b)

σ

2cos 2sin 2

70270702sin 2cos 22=+-==+=--+

+=

ατασστα

τασσσσσααx y

x x y

x y

x MPa

（3）应力圆：为一点圆

（c ）

（1）应力分量

o xy y x MPa MPa 60 0 50 100====ατσσ

（2）用解析法求斜截面上的应力

MPa

MPa

x y

x x y

x y

x 7.21120sin 2

501002cos 2sin 25.62120cos 2

501002501002sin 2cos 22=︒-=+-==︒-++=--+

+=

α

τασστα

τασσσσσαα

（3）应力圆

σ

σ

（d ）

（1）应力分量

o xy y x MPa MPa 150 0 100 50===-=ατσσ

（2）用解析法求斜截面上的应力

MPa

MPa

x y

x x y

x y

x 65300sin 2

100502cos 2sin 2

5.12300cos 2

100502100502sin 2cos 2

2=︒--=+-=-=︒--++-=--+

+=

α

τασστα

τασσσσσαα

（3）应力圆

7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa 。试用解析法和应力圆求：

（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。

解：（e ）

（1）应力分量

M Pa M Pa xy y x 20 80 0=-==τσσ

（2）求主平面位置和主应力大小

20

e)

f)

σ

o

o o y

x xy

tg 7.7690 3.135

.022000=+-=∴-=--

=αασστ

α

MPa

MPa MPa

MPa x

y x y

x 7.84 0 7.47.847.420)280(280)2(23212

222min

max -===∴⎩⎨

⎧-=+±-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ （3）主平面位置及主应力方向

（4）最大剪应力

MPa 7.442

7.847.4231max =+=-=σστ

（5）应力圆

（f ）

（1）应力分量

M Pa M Pa M Pa xy y x 20 30 20==-=τσσ

（2）求主平面位置和主应力大小

o

o o y

x xy

tg 3.10990 3.198

.022000=+=∴=--

=αασστ

α

1

σ

MPa

MPa MPa MPa x

y x y

x 27 0 37273720)23020(23020)2(23212

222min

max -===∴⎩⎨

⎧-=+--±+-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ （3）主平面位置及主应力方向

（4）最大剪应力

MPa 322

27

37231max =+=-=

σστ （5）应力圆

7-10. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN ，T=600NN·m ，且

d=50mm ，=2mm 。试求：（1）A 点在指定斜截面上的应力。（2）A 点主应力的大小及方向，并用单元体表示。

解：（1）A 点的应力状态

σ

σx

属二向应力状态，应力分量是

MPa Pa t r T MPa Pa A P xy

y x 6.70106.7010

2262600207.63107.6310250200006

9

226

6-=⨯-=⨯⨯⨯-=-===⨯=⨯⨯⨯==--ππτ

σπσ

（2）斜截面的应力：

MPa MPa xy y

x xy

y

x y

x o 7.7240cos 6.70240sin 2

7.632cos 2sin 22.45240sin 6.70240cos 27.6327.632sin 2cos 2

2120=︒-︒=+-=-=︒+︒+=--+

+=

=α

τασστα

τ

ασσσσσααα

（3）主方向

o

o o y x xy

tg 9.12290 9.3222

.27.63)

6.70(222000=+==-⨯-=--=αασστ

α

（4）主应力

6.45 0 3.1096.453.109)6.70()2

7.63(27.63)2(23212

222min

max MPa MPa MPa MPa xy

y x y

x -===∴⎩⎨⎧-=-+±=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ

（5）主单元体

7-11. 图示简支梁为36a 工字梁，P=140kN ，l=4m 。A 点所在截面在P 的左侧，

且无限接近于P 。试求：（1）A 点在指定斜截面上的应力；（2）A 点的主