中考培优竞赛专题经典讲义第30讲几何三大变换之翻折

第30讲几何三大变换之翻折翻折的性质（轴对称的性质）如图，将A ABC沿着DE翻折，使得点A落在BC的点F处结论有：①ADE FDE （即AD=DF，AE=EF，/ A= / DFE，/ ADE= / FDE，/ AED = / FED ）②DE垂直平分AF函数的对称变换①一次函数y kx b关于x轴对称后的解析式：y kx b关于y轴对称后的解析式：y kx b②二次函数y ax2 bx c关于x轴对称后的解析式：y ax2 bx c关于y轴对称后的解析式：y ax2 bx c【例题讲解】例题1.如图，ABC中，AB AC , BAC 54 , BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点0,将C沿EF（E在BC 上, F在AC上）折叠，点C与点0恰好重合，则0EC的度数是_____解: 如图, 连接OB、OC，Q BAC54，AO［为BA C的平分线，11BAO BAC-5427，22又Q AB AC，11ABC(1802BAC)(180 54 ) 63，Q D0是AB的垂直平分线, OA OB，ABO BAO 27，OBC ABC ABO6327 36，Q AO为BAC的平分线，AB AC，AOB AOC (SAS)，OB OC ,点O在BC的垂直平分线上，又Q DO是AB的垂直平分线，点O是ABC的外心，OCB OBC 36 ,Q将C沿EF（E在BC 上, F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合,OE CE，COE OCB 36，在OCE 中，OEC 180 COE OCB 180 36 36 108，例题2•如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为与边AD、BC交于点F、H，点C落在Q处，EQ与BC交于点G.（1）尺规作图作出折痕FH ;（2）求折痕FH的长；（3）求AEBG的周长；（4）若将题目中的点E为AB中点”改为点E为AB上任意一点”，其它条件不变，则A EBG的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.例题3、如图，矩形ABCD中，AB 8，BC 6，P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至EBP，PE与CD相交于点0，且OE OD，则AP的长为解：Q四边形ABCD是矩形,D A C 90 , AD BC 6 , CD AB 8 ,由折叠的性质可知ABP EBP ,EP AP，E A 90，BE AB 8，在ODP和OEG中，DOP EOGOD OED EODP OEG(ASA),OP OG , PD GE ,DG EP ,设AP EP x，贝U PD GE 6 x , DG x , CG8 x,BG 8 (6 x) 2 x,根据勾股定理得：BC2 CG2 BG2，即62(8 x)2 (x 2)2，解得：x 4.8，AP 4.8，故答案为：4.8.例题4.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB 8J3，AD 10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次;第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2,折痕为MN，连接ME、NE ;第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3,点B落到B处，折痕为HG，连接HE，则tan EHGD E£D c D-7A NB A图一解：如图2中，作NF CD 于F . 设DMQ DE EC , AB CD8灵,1DE —CD24廳,在RT DEM 中，Q DM2DE2EM2,L 2 2(4 J3) x(102 x),解得x 2.6 ,DM 2.6 , AM EM7.4 ,Q DEM NEF90 , NEF ENF DEM ENF,Q D EFN 90 ,DME s FEN ,x90，贝y AM EM 10 x,H・*DE EM FN EN，4 37.4 10EN，EN37 3 ,6AN 37厂EN —•3 ,6ANtan AMNAM53，如图3中，Q ME EN , HG EN EM //GHNME NHGQ NME AMN , EHG NHG , AMN EHGtan EHG tan AMN -^3.6故答案为5 3 .6例5.如图，已知YABCD的三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0，2n)(m n 0)，作YABCD关于直线AD的对称图形ABC i D(1) 若m 3，试求四边形CGRB面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上，试求-的值.m解：(1)如图1，QY ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，四边形AB1C1D是平行四边形，CC1 EF，BB EF，BC//AD//BG，CC1//BB1，四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，SY BCEF SY BCDASY B1 C1 DA S< B1C1EF ，方法二，tan EHG tan EMN EN EMBCDEA y BS Y BCC 1 B1 2S Y BCDAQ A(n,0)、 B(m,0)、 D(0,2 n)、m 3 ,在 Rt AOB 1 中,(m n)2,整理得3m 23m 8n 0,AB mn 3 n , OD 2n , S YBCDA AB OD3 n 2n 2 n 2 3n 3 2 2(n )2 2 9 —, 2 S Y BCC1 B1 2S YBCDA 4(n 狞 2 9 .Q 4 0 , 当n 3 时， S Y BCC IBI 最大值为9 ;(2)2, Q DF BB , , DB , OB ,BDF DB ,F 90 , B ,BOOB ,B 90 ,BDF OBB , .Q DOA BOB , 90 ,AOD s △ B ,OBOA OD n 2n OB ,OB ，OB ,m ，OB ,由轴对称的性质可得 AB , AB m2当占■=1 B 1恰好落在y 轴上，如图卸图2例题6.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边0A、OC分别在y轴和x轴的正半轴上, 边AB的中点，一抛物线y x2 2mx m(m 0)经过点A、D(1)求点A、D的坐标(用含m的式子表示);(2)把OAD沿直线OD折叠后点A落在点A处，连接OA并延长与线段BC的延长线交于点E ,①若抛物线经过点E，求抛物线的解析式；②若抛物线与线段CE相交，直接写出抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标：A(0, m),当y m时，x 0或2mD(2m,m);(2)①如图，设AD与x轴交于点Q，过点A作A N x轴于点N .Q把OAD沿直线OD折叠后点A落在点A处，OAD △ OA D , OA OA m , AD A D 2m , OAD OAD 90 , ADO ADO ,Q 矩形OABC 中，AD / /OC ,ADO DOQ ,ADO DOQ ,DQ OQ .设 DQ OQ x ，贝U AQ 2m x , m 时，y 有最大值2 〔 2 〔 m m (m ) 2 4在 Rt △ OAQ 中, 2 2 QOA AQ OQ 2 , 2 2m (2 m x) 解得x 54m ，Q S VOAQ ^OQgA N2 ,OAgAQ4 3A N 4 m 5 5m4 ON .OA^__AN 2 45m ，4A 点坐标为（—m , 53 m) 5易求直线OA 的解析式为y 当x 4m 时，y 3 4m 43m ,E 点坐标为（4 m, 3m). 代入y x 2 2mx m(m 0)得 0 (舍 ), 抛物线的解析式为: x 2 ②当 x 4m 时， x 2 2mx m 2 (4 m) 2mg4m 2 m 8m 即抛物线I 与直线CE 的交点为 2 (4m, 8m m), Q 抛物线I 与线段CE 相交,3m 剟 8m 2 m 0 ,8m解得:2 x 2mx m (x2m)1 1 2当-剟时，m m 随m 的增大而增大,1 21 2 1 3当m -时，顶点P 到达最高位置，m m ㊁4，【巩固练习】1、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AB 3 ,BC 5，则tan EFC 的值为 _____________ .3、点E 、F 分别在一张长方形纸条 ABCD 的边AD 、BC 上，将这张纸条沿着直线 EF 对折后如图，BF 与DE 交于点 G ,长方形纸条的宽AB=2cm ，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的S GEF最小值为4).2.如图，先将一平行四边形纸片ABCD 沿AE , EF 折叠，使点E , B , C 在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG 折叠，使AE 落在EF 上，贝U AEG _______ 度.（第3題）5、在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动•第一小组的同学将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕 EF （如图1）;再沿GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B 处（如图2），请求出 BGC 的度数.6. 如图，在 ABC 中，CA CB , C 90，点D 是BC 的中点，将 ABC 沿着直线EF 折叠，使点 A 与点D 重合，折痕交 AB 于点E ，交AC 于点F ,那么sin BED 的值为 ___________ .________ JRcffil4.如图①，在长方形ABCD 中,E 点在AD 上，并且ABE 30，分别以BE 、CE 为折痕进行折叠并压E平,（用含n 的代数式表示）*■ h47、如图，直线y —X 8与x 轴，y 轴分别交于点 A 和B , M 是OB 上的一点，若将 ABM 沿AM 折叠,3点B 恰好落在x 轴上的点B 处，则直线 AM 的解析式为8. 如图①，点D 为一等腰直角三角形纸片的斜边 AB 的中点，E是BC 边上的一点，将这张纸片沿 DE 折,10，则图②中CEF 的周长为9. 如图，正方形 ABCD 的边长是16,点E 在边AB 上,AE 3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的c F ,若图①中ABDE 翻折得到厶ADE ，若△ A EC 是直角三角形，贝U AD 长为_________CDB 恰为等腰三角形，则 DB 的长为AB 4 , D 是边AB 上一点，DE//BC 交AC 于点E ，将 ADE 沿B 落在B 处.若11.如图，Rt ABC中，ACB 90 , AC 3 , BC 4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F ,12、如图，ABC中，BAC 90 , AB 3 , AC 4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED ,连CE，则线段CE的长等于13. 如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0) , (0,1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C 不重合)，过点D作直线y 1 X b交折线OAB于点E .2(1)记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O.ARG 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.14. 如图，将二次函数y x2 3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线y x b与此图象有两个公共点时，求b的取值范围 ________ .15. 如图1,在矩形ABCD中，AB 4 , AD 2，点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合)，点Q在边AD 上,将CBP和QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线.(1)若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少？(3)在“线段CE ”、“线段QF ”、“点A ”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由.备用图16. 如图，矩形ABCD 中，AB 4 , AD 3 , M 是边CD 上一点，将 ADM 沿直线AM 对折，得到 ANM (1) 当AN 平分 MAB 时，求DM 的长； (2) 连接BN ，当DM 1时，求 ABN 的面积；(3) 当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF 的最大值.恰好落在CD 边的中点P 处. (1) 求矩形ABCD 的边AD 的长. (2)若P 为CD 边上的一个动点，折叠纸片，使得 A 与P 重合，折痕为 MN ，其中M 在边AD 上，N 在 边BC 上，如图2所示.设DP x cm , DM y cm ，试求y 与x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取 值范围.(3) ①当折痕MN 的端点N 在AB 上时，求当 PCN 为等腰三角形时x 的值；17.如图1 ,已知矩形纸片 ABCD 中, AB 6cm ,若将该纸片沿着过点 B 的直线折叠(折痕为BM),点A②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式.18•如图，已知矩形ABCD中，AB 4 , AD m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t(s).(1)若m 6，求当P , E , B三点在同一直线上时对应的t的值.(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t,使点E到直线BC 的距离等于3，求所有这样的m的取值范围.19.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A , C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE ,设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y 轴相交于点G ,经过点C , F , D的抛物线为y ax2 bx c .(1)求点D的坐标(用含m的式子表示)；(2)若点G的坐标为(0, 3)，求该抛物线的解析式；1(3)在(2)的条件下，设线段CD的中点为M ,在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM -EA ?2若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.参看答案1.解：根据题意可得：在 Rt ABF 中：AB 3 , AF AD BC 5 , 则 BF . AF 1 2 3 AB 24 ,又 Q EFC AFB 90 , AFB BAF 90 ,BAF CFE , 故 tan EFC tan BAF -. 3故答案为：4 .3AEB AEB ,CEF C EF , Q AEB AEBCEFC EF 180 ,AEB C EF 90 ,Q 点E , B , C 在同一直线上，AEF 90 ,Q 将折叠的纸片沿 EG 折叠， 使AE 落在EF 上,AEG GEA1 -AEF 245 ,故答案为:45.3.2.解：根据沿直线折叠的特点, 4.解：Q BE 2AE 2A E , A A 90 , ABE 、△ ABE 都为 30、 60、 90 的三角形， 1 AEB 60 ,AED 180 1AEB 180 60 60 60 ,DED AED AED n 60 (n 60),ABE △ AB E, CEF △ C EF ,(^n 30),Q AD / /BC ,BCE 2(1 n 30)故答案为：(―n 30).25.解：如图2,连接BB ，由题意得EF 垂直平分BC ,故BB 由翻折可得，BC BC ,△ BBC 为等边三角形，BCB 60 ,BCG 30 ,BGC 60 ;6.解：Q DEF 是 AEF 翻折而成,DEF AEF , A EDF ,Q ABC 是等腰直角三角形，EDF 45，由三角形外角性质得 CDF 45 BEDBED CDF ,DF 5故答案为：3 设CD 1 , CF x ，贝U CA CB 2 ,DF FA 2 x ,在Rt CDF 中， 由勾股定理得， 2 2 2 2 CF CD DF ，即 x2 1 (2 x), 圍②D45 , sin BED sin CDF CF 37.解：法一：4当x 0 时，y —x 8 8，即B(0,8),3QCA CB ,ACB 90 ,AD BD , CD DBAD DB , DCB DCA 45 , B B DCA 45当 y 0 时，x 6，即 A(6,0),所以 AB AB 10 ,即卩 B( 4, 0),因为点B 与B 关于AM 对称，所以BB 的中点为(0 4 . 设直线AM 的解析式为y 代入可得y lx 3.2法二：4直线y x 8与x 轴，3A(6,0) , B(0,8)/ 2 2 AB 6 8 10AB 10设 OM x ，贝U BM BM BO MO 8 x , BO AB AO 10 64 2 2 2 x 4(8 x)x 3M (0,3)又 A(6,0)1直线AM 的解析式为y — x 32故答案为y 1x 3 . 2J 0),即(2,4)在直线 AM 上,2kx b ，把(2,4) ； (6,0), y 轴分别交于点A 和B , 8.解：如图，作 DM AC 于M , DHBC 于 H , DN EB 于 N ，连接 DF .AQ BFM EFC ,DFB DFC , 在DFB和DFC中,B DCFDFB DFC ,DF DFDFB DFC ,CF BF ,Q EFC 的周长 EF CF EC (EF FB) EC EB EC CB ,Q AB .10 ,CB AB gcos45 币2 25 ,（解法二 、：连接BC : ,只要证明 BF CF ，即可推出 EFC 的周长 BC ） 故答案为 、5 .（iii ）如图2所示:9.解：（i ）如图1所示：当BD BC 时，过B 点作GH / /AD ，则 BGE 90 . 当BC BD 时，AG DH ^DC 2 8 .由AE 3, AB 16，得 BE 13.由翻折的性质，得B E B E 13EG AG AE 8 3 5,BG BE 2 EG 2 132 52 12 ,BH GH BG 16 12 4 ,DB / 2 2 • BH DH 42 2 8 4 5(ii)当 DB CD 时，贝U DB 16（易知点 F 在BC 上且不与点C 、B 重合）.点E 、C 在BB 的垂直平分线上，EC 垂直平分BB ,由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去.综上所述，DB 的长为16或4-、5 .故答案为：16或4、、5 .9 7,AB 3 tan ACB , AD -;4 825解得x 4 (不合题意舍去)，X2 ?故AD 长为-或25.8 8 7 25 故答案为：7或25.8 8 11.解：QRt ABC 中， ACB 90 , AC 3 , BC 4 ,A D当CB CD 时，Q EB EB , CB CB , AC 5 ,Q DE //BCAD : AB AE:AC , 即 AD : AE AB : A C 4:5 ,设 AD x , 贝U AE A E 5 x ,EC 5 5x , A B 2x 4 , 4 4 在 Rt △ A B C 中，AC .(2x 4)2 3210•解：在 ABC 中, B 90 , BC 3, AB 4 , Q △ A EC 是直角三角形,①当A 落在边AB 上时， EAC 90 , BAC ACB②点A 在线段AB 的延长线上(•. (2 x 4)2 32 )2 (5 5、2；x)(|x)2,424BE 2OB AB 5 , 根据折叠的性质可知 AC CD , A CDE , CE AB ,B D BC CD 43 1 ,Q B DF CDE , A B DF ,Q B B , ABC s △ DB F ,B F BC B F B DAB145， B F 4 5，12.解: 如图连接BE 交AD 于0，作AH BC 于H . 在Rt ABC 中，Q AC 4 , AB 3,BC .32 425, QCD DB ,AD DC DB 5 , 2Q 1gBCgAH 1gABgAC , 2 AH 2 125，Q AE AB ,点A 在BE 的垂直平分线上Q DE DB DC ,点D 在BE 的垂直平分线上， BCE 是直角三角形,AD 垂直平分线段BE ,Q 1gAD gBO1 1gBDgAH ， OB 12 5，13.解: (1) Q 四边形OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为(3,0) ,(0,1),B(3,1),若直线经过点A(3,0)时，则b 4 525若直线经过点B(3,1)时，贝U b -2若直线经过点C(0,1)时，贝U b 13① 若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1 b,-，如图1,2此时 E(2b,0)1 1S OEgCO 2b 1 b ；2 2 ② 若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即-b 5，如图22 24此时 E(3,b -) , D(2b 2,1),在 Rt BCE 中,EC . BC 2 BE 2 2 2425宙M , OA 与CB 相交于点N ，则矩形OAB1G 与矩形OABC 的重叠部 分的面积即为四边形 DNEM 的面积. 由题意知， DM //NE , DN / /ME ,S OCD S OAE S DBE 1 [—(2b 2 2) 1 3(b 自 (5 b)] 5b 2 b 2, b(1 b , 2) 2b b 2(3 b(2 5)(2)如图3，设04与CB 相交于点四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MED NED又Q MDE NED ,MED MDE,MD ME ,平行四边形DNEM为菱形.过点D作DH OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a , 由题意知，D(2b 2,1), E(2b,0),DH1 ,HE2b (2 b 2) 2 ,HN HE NE 2 a ,则在Rt DHN 中, 由勾股定理知：a2 (2 a)2 12,5 a -4S四边形DNEM NE DH 5.4矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为—414..解：二次函数yx 2 3与x 轴的交点坐标为（.3 , 0）、C 、3 , 0）,、.3 b 3 ,所以b 的取值范围为b 13或,3b. 3 . 4故答案为b 13或・.3 b 3 .4 15.解：(1)由 CBP 和 QAP 分别沿 PC 、PQ 折叠，得到 QFP 和 PCE ,则 AQP FQP ,CPB CPE PA QEF PF , PB EP ,PE , QPA QPF , CPB CPE .AB AP PB FP PB EF EP PB 3PB .Q AB 4,4PB38AP3 .Q180 QPA QPF CPB CPE 2( QPA CPB),QPA CPB 90 .Q 四边形ABCD 是矩形,A B 90 ,CPB PCB 90 ,QPA PCB ,在QAP 和PBC 中，A BQPA PCB ，当直线y x b 与yx 2 3( 3 x 3）有一个公共点时， x 2 x 3 b 0 ,△ 1 4( 3 b) 0 ,解 13得b 上，所以当b 4 兰时, 4直线y x b 与此图象有两个公共点时, 当直线y x b 经过点0）与点C.3 , 0）之间时，直线 y x b 与此图象有两个公共点时，解得QA PB AP BC，QATQA16QAP s PBC ,(2)由题意，得PF EP 2或EP FP 2.当EP PF2时,QEP PB , PF AP ,PB AP 2 .Q AP PB4,2BP 6 ,BP 3 ,AP 1 .当PF EP2时,QEP PB , PF AP ,AP PB 2 .Q AP PB4,2AP 6 .AP 3 .故AP的长为1或3.(3)①若CE与点A在同一直线上，如图2,连接AC，点E在AC 上, 在AEP 和ABC 中,AEP B 90EAP BACAEP s ABC ,AP AC EP BC .设AP x，贝U EP BP 4 x ,在Rt ABC中，Q AB 4 , BC 2 ,AC 2 5 ,x 2,54 x 2解得x 5 .5 .②若CE与QF在同一直线上，如图3,Q AQP EQP , CPB CPE ,AP EP BP,2AP 4,AP 2 .16.【解答】解：(1)由折叠性质得：ANM ADM ,MAN DAM ,Q AN平分MAB , MAN NAB ,DAM MAN NAB ,Q四边形ABCD是矩形，DAB 90 ,DAM 30 ,\3 厂DM ADg:an DAM 3 tan30 3 3 ；3(2)延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示:Q四边形ABCD是矩形，AB//DC ,DMA MAQ ,Q ANM 90 ,ANQ 90 , 在Rt ANQ 中， 由勾股定理得： 2x ,AQ 2AN 2 NQ 2 , (x 1)2 32 解得： x 4 ,NQ 4, AQ 5,Q AB 4, AQ 5 ,44 1 4 124 ； SNAB - ■ S NAQ — ANgNQ 3 45 5 2 5 2 5 (3) 过点 A 作AH BF 于点H ,如图 2 所示 :Q 四边形ABCD 是矩形,AB//DC ,HBABFC , Q AHBBCF 90 , ABH sBFC , BH CFAH BCQ AH, AN 3, AB 4可以看到点N 是在以A 为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN 与圆相切时，DF 最大，此时B 、N 、 M 三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD AH ,Q AD BC ,AH BC ,HBA BFC在 ABH 和 BFC 中， AHB BCF ,AH BC由折叠性质得： ANMDMA AMQ , ANMAQ AMQ ,MQ AQ ,设 NQ x ,贝U AQ MQ ADM , AD 3, MN MD 1 , 1 x ,0 .VABH BFC(AAS),CF BH ,由勾股定理得:BH . AB AH 4 3 7 ,CF 7 ,17.【解答】解：（1）根据题意得：BP AB 6cm ,Q 四边形ABCD 是矩形,C 90 , AB//CD , CD AB 6cm ,PC 1CD 3cm ,2根据勾股定理得：BC BP 2 PC 2AD 3、.3(cm)；(2) 根据题意得：AM MP 3 3 2 x y 2 (3 3 y)2 .3 2 3、勺y x18 2QP 为CD 的中点，y ，在 Rt MPD 中，PD 2 MD 2MP 2 ,其中，0x3 ；(3)①当点N 在AB上, x--3 ,PC, 3 , 而PN T 3 , NC-3.3 .PCN为等腰三角形，只可能NC NP ；过N点作NQ CD于Q，如图3所示：1 1 1则PQ CQ -(6 x) 3 —x, NP AN 6 CQ 3 x ,2 2 2在Rt NPQ中, PQ2 NQ2 NP2.(3 2x)2 (3 3)2(3 lx)2.解得：x 9.2②当点M在CD上时，N在AB上；如图4所示: 根据题意得：MN 垂直平分AP ,OA OP ,Q AB//CD , OM ON ,四边形ANPM是平行四边形，又Q PM AM ,四边形ANPM是菱形，折叠后重叠部分的面积S PMN的面积，设MP y，在Rt ADM 中，AD2DM 2AM2,(x y)2(3 .3)2y2.解得：y x22X27，S 1 MPgBC2 —丫少寸§ 3危2 81応2 ' 4x.VQ P 、B 、E 共线，BPC DPC ,Q AD//BC ,DPC PCB ,BPC PCB ,BP BC 6,在 Rt ABP 中，Q AB 2 AP 2 PB 2 ,2 2 2 4 (6 t) 6 ,t 6 2 5 或 6 25 (舍弃)，PD 6 2.5 ,t (62、、5)s 时，B 、E 、P 共线.(2)如图2中，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3 .作 EQ BC 于 Q , EM DC 于 M .则 EQ 3, CE DC 4c 18.【解答】解：（1）如图1中，设PD t .则PA 6 t .團1易证四边形EMCQ是矩形，CM EQ 3 , M 90 ,EM 、EC2 CM2. 42 32.,7 , Q DAC EDM , ADC M ,ADC s DME ,AD DCDM EM，AD 4T 7，AD 4 j ,（当AD 4： 7时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3 .作EQ BC于Q ,延长QE交AD于M .则EQ 3, CE DC 4在Rt ECQ 中，QC DM . 42 32,7 ,由DME s CDA ,DM EMCD AD，4 AD154 眉Ar>AD -7综上所述, 在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3 ,这样的m的取值范围心，m 4^7 .719.［解答】解：(1)根据折叠的性质得：CF AB m , DF DB, DFC DBA 90 , CE AE ,CED AED ,设CD x,贝U DF DB 2m x ,根据勾股定理得：CF2 DF 2 CD2,2 2 2即m (2 m x) x ,解得：x 5m ,45点D的坐标为：(-m, m);4(2)方法一：Q四边形OABC是矩形，OA 2m , OA//BC ,CDE AED ,CDE CED ,5CE CD -m ,45AE CE m ,43OE OA AE -m,4QOA//BC ,OEG s CDG ,OE OGCD CG3 m即5 m4解得：m 2,C(0,2) , D(- , 2),作FH CD 于H ，如图1所示:则 FHC 90 DFC ,Q FCH FCD ,FCH s DCF ,45，FH — N CC CH 22-5-2 FH CH F (8把点C(0,2) D (2，解得：a 抛物线的解析式为: 2-5-2 16 "5 2), 25，F （8， （3）存在；点P 的坐标为: (8 如图2所示：Q CD CE CE CD EA ,Q 线段CD 的中点为 DFC MF 1 CD 1 EA ，点2 2 P 与点 8 16点p 的坐标为：（5, ?；d)代入y 5 25x 2 ; 12 2 ax 156），或（？ 5 - EA , 90 , F 重合, 由抛物线的对称性得另一点P 的坐标为（冬 10 bx 1f)； 在线段CD 上方的抛物线上存在点 P ，使 PM 25 a4 -b 2 2 264 8_ 16 a b c —25 5 5 c 2c 得: 理由如下: 1尹，点p 的坐标为: (? 詈），或5 團2图\。