变质量动力学
变质量动量定理
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
(e) 设作用于质点系的外力为 F
质点系在瞬时t的动量为 p1 m dm 1 质点系在瞬时t+dt的动量为 p2 (m dm)( d ) 根据动量定理
( e) (m dm)( d ) (m dm 1 ) F dt 将上式展开得 ( e) md dm dm d dm 1 F dt
i [
mi mi 1 mn m p (1 i )mi mi 1 mn m p
]
（e）
则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度
n ri ln i
i 1
n
（f）
利用拉格朗日乘子法 可以求得满足下式的 i 将使火箭的总质量为最小值
（d）
如果取 m p / m 1/ 100 则 m2 / m 1 / 10， m1 / m 9 / 10 如果仍用 0.8 、 r / g 300s m/s 则由式（d）可得 2 max 7500 这显然比 m1 m2时的 2 6000m/s 要大得多 下面讨论多级火箭 ，mn 设各级火箭的质量分别为 m1 ，m2 ， ， 2， ，n) 各级火箭内的燃料质量为 i mi (i 1
变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程
变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程引子：牛顿第二定律在物理学中被广泛应用，是描述物体运动状态的重要定律之一。
然而，在一些特定情况下，物体的质量可能会发生变化，这就需要引入变质量的牛顿第二定律。
本文将围绕这一主题展开讨论，分析在三维坐标、平动和转动方程中的应用。
一、牛顿第二定律的基本概念1. 牛顿第二定律的表述及原理牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系，通常表达为F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
这一定律的基本原理是力是物体运动状态改变的原因，力的大小和方向决定了物体的加速度。
2. 牛顿第二定律在三维坐标中的表示在三维坐标系中，物体可能受到来自不同方向的合外力，此时可以通过矢量运算来表示牛顿第二定律。
根据矢量的性质，可以将合外力表示为一个三维矢量F=(F_x, F_y, F_z)，物体的加速度也可以表示为一个三维矢量a=(a_x, a_y, a_z)，则牛顿第二定律可以表示为F=ma。
二、变质量的牛顿第二定律的推导及应用1. 变质量的概念及原因在一些特定情况下，物体的质量可能会随时间变化，例如火箭发射过程中燃料消耗导致质量减小。
此时，传统的牛顿第二定律就无法准确描述物体的运动状态，需要引入变质量的概念。
2. 变质量的牛顿第二定律的推导根据牛顿第二定律的基本原理，可以推导出变质量的牛顿第二定律。
假设物体的质量随时间变化，其质量函数可以表示为m(t)，则物体所受的合外力F(t)与加速度a(t)的关系可以表示为F(t)=m(t)a(t)。
在质量变化的情况下，需要考虑质量随时间的变化率dm/dt对物体运动状态的影响，进而推导出变质量的牛顿第二定律。
3. 变质量的牛顿第二定律在平动和转动方程中的应用在实际的物理问题中，变质量的牛顿第二定律被广泛应用于描述物体的平动和转动状态。
通过数学建模和推导，可以得到物体质量变化情况下的运动方程，从而更准确地预测物体的运动轨迹和速度。
变质量问题公式
变质量问题公式一、火箭发射类问题。
题目1：一枚火箭的初始质量为M_0，燃料以相对火箭的速度v_e向后喷出。
在某一时刻，火箭的质量变为M，求此时火箭的速度v（假设火箭在太空中，不受外力作用）。
解析：根据变质量物体的动力学方程：M(dv)/(dt)=-v_e(dM)/(dt)分离变量得：dv = - v_e(dM)/(M)两边积分：∫_v_0^v dv=-v_e∫_M_0^M(dM)/(M)其中v_0 = 0（初始速度为0）解得：v = v_eln(M_0)/(M)题目2：火箭的初始质量是1000kg，燃料的喷射速度为2000m/s。
当火箭的质量变为600kg时，它的速度是多少？解析：已知M_0 = 1000kg，M = 600kg，v_e=2000m/s由v = v_eln(M_0)/(M)v = 2000×ln(1000)/(600)=2000×ln(5)/(3)≈ 2000×0.5108 = 1021.6m/s题目3：火箭质量M_0 = 5000kg，燃料喷射速度v_e = 3000m/s。
若要使火箭达到6000m/s 的速度，火箭最终的质量M是多少？解析：根据v = v_eln(M_0)/(M)6000 = 3000×ln(M_0)/(M)ln(M_0)/(M)= 2(M_0)/(M)=e^2M=(M_0)/(e^2)=(5000)/(e^2)≈ 676.7kg二、雨滴增长类问题。
题目4：雨滴在云层中下落时，不断有小水滴凝结在上面。
设雨滴初始质量为m_0，在下落过程中，其质量的增长速率为λ（即(dm)/(dt)=λ），雨滴受到的空气阻力为F = - kv （k为常数，v为雨滴速度）。
求雨滴的速度随时间的变化关系。
解析：根据牛顿第二定律：(m_0+λ t)(dv)/(dt)=(m_0 +λ t)g- kv分离变量得：(dv)/(g-frac{k){m_0+λ t}v}=(dt)/(m_0+λ t)令u = m_0+λ t，则dt=(du)/(λ)方程变为：(dv)/(g-frac{k){u}v}=(du)/(λ u)这是一个一阶线性非齐次微分方程，通过求解该方程可得雨滴速度随时间的变化关系。
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
第4章 冲量和动量2
v mυ1 mυ2 v
y
A
O
x
I = 22 + 42 = 20 4 tan α = = 2 2
第四章 冲量和动量
kgm s
6
例 一篮球质量 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后， ， 高度下落， 高度下落 到达地面后， 以同样速率反弹，接触时间仅 以同样速率反弹，接触时间仅0.019s. 对地平均冲力? 求 对地平均冲力 解 篮球到达地面的速率 F F(max)
v 初态： 解 初态： m υ1 = −2i kgm s v v 末态： 末态： m υ2 = −4 j kgm s v t2 v B v v ∴ I = ∫t1 F ⋅ dt =mυ2 − mυ1 v v v v = −4 j − (−2i ) = 2i − 4 j kgm s v
作图法： 作图法：
Fx = 0 ⇒ (∑ miv ix ) = Px = 常量 Fz = 0 ⇒ (∑ miv iz ) = Pz = 常量
Fy = 0 ⇒ (∑ miv iy ) = Py = 常量
3、内力可改变系统内各质点的动量，不会改变系统总动量 内力可改变系统内各质点的动量， （揭示了物体间的相互作用及机械运动发生转移的规律） 揭示了物体间的相互作用及机械运动发生转移的规律） 4、当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 当外力 内力且作用时间极短时（如碰撞） 内力且作用时间极短时 可认为动量近似守恒。 可认为动量近似守恒。 5、动量守恒定律是自然界一切过程最基本的定律 （宏观低速、微观高速） 宏观低速、微观高速）
第四章 冲量和动量 11
设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。 例 设炮车放在光滑地面上，炮车 ，炮弹 ，起始时静止。 v 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度 方向的反冲速度u 当炮弹以 v' 相对于炮车射出，求炮车在 方向的反冲速度 研究对象：炮车＋ 解 研究对象：炮车＋炮弹 系统仅在x方向上满足动量守恒 系统仅在 方向上满足动量守恒 设炮弹对地速度
变质量相对运动动力学系统的对称性与守恒量
（０ １）
其 中
释
”啬 毒＋一 寺 《 （ 毒 口
（， ，） 足 结构方 ｚｇ口 满
则 这种不 变性称 为变 质量 相对运 动动力 学 系统 的 Ｌｅ 称 性 。 ｉ对
定理 ２ 如果无 限小 变换 的生 成元 ， 足确定 方 程 （０ ， 存 在规 范 函数 Ｇ ￡满 】 ）且
Ｑ
３ 系统 的 Ｌ ｅ对 称性 与守 恒 量 ｉ
Ｌｅ 称性是 微分 方程 在无 限小变换 Ｆ ｉ对 的不变性 。由微分 方程 在无 限小变 换 下的不 变性 理论 可知 。 如果 无 限小变换 的生 成元 ， 毒满 足如下 确定 方程
轴 龇 ＝ （？ ０， ｏ， （ｒ ￣） Ｏ － ０ 《 ＋ ０ ｏｏ， ｅ 一 ｏ ｏ
证 明
，
岳
楠等 ： 变质量 相对 运动 动 力学 系统 的对称性 与 守恒量
２ １
０ （ 口） （Ｏ－ｏ㈣ ） ｜ ＋ ￡ ＋ 一 ＋ ￡ｇｔ－ （一” ）一 ） ｓ 軎 一ｏ２ 厶（＋ ＋（亩＝ — ） Ｘ Ｑ （口（ 一ｒＩ — 。 毒 軎 —一 ） －） Ｏ Ｑ 一＝ ” Ｌ
１ 口 ２
。 ，＝ ， 一 ，２， ＿ ＝， ＝２， ＋ ） ， ＿ ０ 口 １删 ２ ０ （１） ， ｓ，
（３ ２）
Ｑｌ Ｑ”￡ｑ亩，：，Ｑ ＝ ２ｇ ， ” － ，，・口） 口十 １ ＝ （ 口 其 中 ｍ ，［ ｇபைடு நூலகம்常数 。试研 究 系统 的对 称性 与守恒 量 。 ｏ０， ∞，
Ｌ 。 ‘（，＋ Ｑ” ＋ ）￡ 口 。＋ ＾０ ，＋ Ｌ） （ 。 ＋ ＋ （ 一 ）ｅ
则 变质 量相对运 动 动力学 系统 的 Ｌｅ 称性 导致 守恒 量 ． 如 ｉ对 形
全国中学生物理竞赛公式定理
1.波尔相关理论：
（m为电子的质量，M为相当于电子的粒子的质量，比如 子）
2.阈能
（最好用资用能来进行推导，这个比较保险，公式容易记错）
3.康普顿散射
4.不确定关系
1. 2.
（另有说法为 ）
5.光电效应
光子携带能量：
光电子的动能：
反向截止电压：
[附]三角函数公式
3.能均分定理
二、固体液体气体和热传导方式
4.热传导定律
5.辐射
6.膨胀
7.表面张力
8.液体形成的球形空泡（两面都是空气）由于表面张力产生的附加压强为：
3、特殊准静态过程
9.等容过程
10.等压过程
11.等温过程
12.绝热过程
(1)状态方程（泊松方程）
完整的应为：
(2)做功
（整个方程实际的意义就是： ，本来是很简单的,所以对于绝热过程来说，一般不要乱用泊松方程，否则会误入歧途，因为泊松方程好像与热力学第一定律加上理想气体状态方程完全等效）
……）（指的是第k级明纹的位置，中央为暗纹）
5.等倾干涉
（注意等倾干涉的半波损失有两种情况）
（ 指的是第一次进入 介质的折射角）
6.等厚干涉（略）
7.牛顿物像公式
（其中 与 为以焦距计算的物距和像距）
对于物方与像方折射率相同的透镜有
牛顿公式的符号规则为:
以物方焦点的远离光心的距离为牛顿物距（即当经典物距小于焦距的物体的牛顿物距小于零）；以像方焦点的远离光心的距离为牛顿像距。
13.热力学第一定律
（ 指系统吸收的热量， 指外界对系统做的功）
14.特殊过程的有关关系列表如下：
特殊过程
第02章 质点动力学问题2：变质量火箭问题及其解答★★
１
喷出气体相对火箭的速度u 为常数模型：
一方面，记火箭开始飞行初始时刻为0t ，记火箭开始飞行初始时刻0t 的火箭质量为00)(M t m =，记火箭开始飞行初始时刻0t 的火箭速度为00)(V t v =。
另一方面，记火箭燃料用尽时刻为1t ，记火箭燃料用尽时刻1t 的火箭质量为M t m =)(1，记火箭燃料用尽时刻1t 的火箭速度为V t v =)(1。
记火箭消耗燃料行时刻10,
t t t t
≤≤ 的火箭质量及火箭速度分别为
)(,)(t v v t m m ==
这里，0d ,0d ><v m 。
假设喷出气体相对火箭的速度为u ，则有
厦门大学《普通物理》课程
质点动力学的变质量火箭问题及其解答
２
证明： 当10,
d t t t t
t t ≤≤+→时；利用“动量守恒定律”
，有 v m v v u m v v m m ⋅≡++-⋅-++⋅+]d [)d ()d ()d (
整理之，等价地表达为
0d d ≡⋅+⋅m u v m
等价地表达为
0]ln d[≡⋅+m u v
于是得到解答
)(ln )()(ln )(00t m u t v t m u t v ⋅+=⋅+
特别地，得到
)(ln )()(ln )(0011t m u t v t m u t v ⋅+=⋅+
等价地表达为
M
M u V V M u V M u V 000
0ln
ln ln ⋅+=⇔
⋅+=⋅+
证明完毕。
10变质量系统动力学解析
推导变质量系统动量定理的思路 与常质量系统相比，研究变质量系统动量变化规律的 特殊困难是什么？ 研究对象(质系)也随时间变化！ 设 S t 是变质量系统，S t 是常质量系统。
在 t t , S t St * b, c, d , e
* *
* * P t P t 的动量
P P* P 1 P 2
对系统 Q 用动量定理:
e
*
dP * Re dt
R 是t t * 时刻作用在 Q* 上的外力主向量。
d d * P P F1 F2 R e F dt dt
P1 F1 lim , t
P2 F2 lim t
M M 0 M1 M 2
dM 1 dM 2 dM dt dt dt
dM 1 dM 2 dv M R u1 v u2 v dt dt dt
记
uir ui v (相对速度)， 则
dM 1 dM 2 dv M R u1r u2 r dt dt dt
在
t * t 时刻系统 S
与系统 S 的动量之间关系为
P t * t P t * t P1 P2
即:
P t * P P t * P P1 P2
P P P1 P2
两边同时除以 t ，取极限后可得:
F 称为反推力。
如何借助牛顿第三定律 理解反推力？
变质量系统动量矩定理
设O为惯性空间不动点或质心，同上可推出：
dLO e e M O M1 M 2 M O M dt
LO1 M1 lim , t
LO 2 M 2 lim t
变质量动力学
变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少,譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小,因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究.一般情况下,当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究.关键词;变质量运动学动量定理动量距定理1。
变质量指点的运动微分方程1.变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时的质量为,速度为；再瞬时,有微小质量并入，只是指点的质量为,速度为；微小质量在尚未并入的瞬时，它的速度为，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为。
质点在瞬时的动量为：质点系在瞬时的动量为：根据动量定理得将上式展开得略去高阶微量，并以除各项，得或上式中是微小质量在并入前相对于质点的相对速度，令则可以得到上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中是变量，是代数量.变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
其中常称为反推力。
2.两种常用的质量变化规律1。
质量按线性规律变化。
设变化规律为,式中, 皆为常数,该式代表质量随时间变化呈线性关系.由知,其反推力为由上式可知,当为常量时,反推力也为常量,且与方向相反。
3.质量按指数规律变化。
设变化规律为式中，全为常数。
由知，其反推力为令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度则当为常量时，也是常量,即由反推力而引起的加速度为常量。
2。
变质量质点的动力学普遍定理1。
变质量指点的动量定理变质量质点在任一瞬时的动量,其中是时间的函数，将动量对时间求导得得出记并入（或放出）质量的绝对速度为，即则有记称为由于并入（或放出)质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
得出：=+上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和.将上式积分，设=0时质点质量为，速度为，得=+=+上式称为变质量质点动量定理的积分形式。
变质量动力学方程
变质量动力学方程引言质量是物理学中一个非常重要的概念，它是描述物体的一个基本属性。
而动力学则是研究物体运动的学问。
相关公式和方程也是研究物理学的基础。
如今，科技日新月异，我们对于物理学的理解也在不断拓展。
本文将探讨变质量动力学方程，以此来扩展我们对于动力学的认知。
什么是变质量动力学方程？变质量动力学方程是描述质量不随时间恒定的运动的方程。
通常情况下，物体的质量是不变的，然而在某些情况下，随着时间的变化，物体的质量会发生改变。
若忽略这一情况，将会导致对于物体运动的描述产生误差。
变质量动力学方程使我们能更加精准地描述物体的运动状态。
通过加入质量随时间变化的参数，我们能更加准确地计算物体的速度和加速度变化。
变质量动力学方程的分类变质量动力学方程可分为两大类：单质点和多体系统。
单质点方程单质点方程适用于研究只有一个物体的运动。
下面是单质点方程的公式：$$\frac{d(mv)}{dt} = F$$其中，m是物体的质量，v是物体的速度，F则是物体所受到的力。
我们可以对d(mv)/dt进行简单的变形，得到以下形式：$$ma + v\frac{dm}{dt} = F$$这个方程是另一种形式的变质量动力学方程。
它不仅可以应用在单质点运动的情况中，也可以用于多体系统的运动中。
多体系统方程多体系统方程适用于两个以上的物体运动的情况。
下面是多体系统方程的公式：$$\frac{d(m_1v_1)}{dt} = F_{1,2} + F_{1,3} + ... + F_{1,n}$$$$\frac{d(m_2v_2)}{dt} = F_{2,1} + F_{2,3} + ... + F_{2,n}$$ $$......$$$$\frac{d(m_nv_n)}{dt} = F_{n,1} + F_{n,2} + ... + F_{n,n-1}$$其中，$m_1$到$m_n$是物体的质量，$v_1$到$v_n$是物体的速度，$F_{1,2}$到$F_{n,n-1}$则是物体之间的力。
一道变质量力学问题的分析与讨论
解析 ： 以整 根绳 索为 体 系 ， 设 其长 为 ｆ ， 它共 受到 ３ 个力 ： 重力 ｚ ｇ， 台面支 承力 Ｆ Ｎ 和手 的拉 力 Ｆ在这
３个力 的作用 下 ， 体 系 的动量 在 不 断 变化 ． 由体 系动 量 定理 可知 ， 外 力矢量 和应 等 于体 系动 量 的变化 率． 现在 体 系动 量 只有竖 直 方 向分 量 ， 取 轴 的方 向竖 直 向上 （ 坐标 原 点在地 面 上） ． 在ｔ 时刻， 当绳 索提起 ｚ时 体 系的 动量 为
３ “ 解 析”中的 问题 分析 与 讨论
从式（ １ ３ ） 可 明显看 出拉 力 是 位 置 的 函数 ， 是 个 瞬 态力 ， 但 其 大小 是不 连 续 的 ， 在 ｚ— 处 有 个 突变 过程 ， 突变 过 程 中力 的大小 改变 了 ｐ ｗ： ．
４ 瞬态 力 突变 的原 因
２ ０ １ ７年 第 ｌ １ 期
物 理通报
竞 赛 与 物 理 专 题 研 修
一
道 变 质 量 力 学 问题 的分 析 与讨 论
姚 杳 朱 海 明
（ 安 徽 师 范 大学 附 属 中 学 安 徽 芜 湖 ２ ４ １ ０ ０ ０ ） （ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７ — ０ ４ —０ ８ ）
２ 原题 及 解析 ［ １
在ｔ ＋ｄ ｔ 时刻 ， 当绳 索 提起 ４ － ｄ 时体 系 的动量 为
ｐ（ ｔ －ｄ ４ ｔ ）一 ｐ ￡ （ ｚ －ｄ ４ ｘ） ０ （ ３ ）
【 题 目】如 图 １ 所示 ， 单位 长度 质 量为 Ｐ 的柔 软 绳 索盘 放在 水 平 台面 上．用手 将 绳 索 的一 端 以恒 定 速率 向上提 起 ， 求 当提起 高 度为 时 手 的拉力 ．
第10章 变质量质系动力学
! (25 + 2t )v = 2(5 − v)
− ln 5 − v = ln 25 + 2t 5 25
dv = t 2dt ∫0 5 − v ∫0 25 + 2t v = 10t v(5) = 10 25 + 2t 7
v
y
x
定常流体运动问题
请思考
" 相对速度对谁而言？ " 牛顿第二定律能否直接用于变质量质系中？
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
d (mv ) = F ( e ) dt
m dv = F ( e ) − dm v dt dt
动力学中确定研究对象的两种方法
m dv = F ( e ) + dm ur dt dt
第10章
例5
解
第10章
变 质 量 质 系 动 力 学
在 ∆t 时间间隔内，水 流ABCD段的水流运动 到abcd时，所受的力 以及他们对O轴之矩： 重力－由于水轮机水平 放置，重力对O轴之矩 等于0； 相邻水流的压力－忽略不计； 叶轮的反作用力矩－与水流对叶轮的驱动 力矩大小相等方向相反。
例3
qm ( r2 × v2 − r1 × v1 ) = M
例1
火箭的特征速度
第10章 忽略重力和空气阻力，当推进剂燃烧完时，
火箭获得的最大速度，称为特征速度 。
变 质 量 质 系 动 力 学
u为喷射速度
dv = −u ∫ dm ∫0 m0 m v = u ln(m0 / m)
v m
齐奥尔柯夫斯基 vc – 火箭的特征速度 m0 ＝ mk ＋mf 为火箭总质量 mk – 火箭壳体与装备质量 mf – 火箭推进剂（燃料）质量
论文：一般变质量问题的动力学方程与解题方法
一般变质量问题的动力学方程与解题方法摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。
关键词：变质量，动力学方程， 合外力在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。
1.变质量物体的动力学方程在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。
设一物质（主体）的质量在t 时刻为m ，它的速度是v →（v <<c ），同时有一微小质量△m 以速度u →运动，并在t +△t 时间间隔内与m 相合并，合并以后的共同速度是v →+△v →。
如果作用在主体m 及微小质量△m 上的合外力为F →，而内力和约束力恒有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得（m +△m ）（v →+△v →）-（m v →+△m u →）=F →△t （1） m v →+△m v →+m △v →+△m △v →-m v →-△m u →=F →△t （2） △m （v →-u →）+m △v →+△m △v →=F →△t （3） 由于△m 是一微小质量，△v →是一微小速度，则△m △v →是一二阶微小变量，即可略去，故而（3）式可以写成△m （v →-u →）+m △v →=F →△t （4）对（4）式两边同时除以△t ，可得t△△m（v →-u →）+m △t △v →=F → （5）在（5）式中，使△t →0，对其求极限可得△t△mlim△t →（v →-u →）+ △t△lim△t v →→m=F →（6）dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F → （7）由于dt)d(m v →=mdtd v →+v→dtdm（8） 则m dtd v →=dt)d(m v →-v→dtdm（9） 即（7）式可以写成v→dtdm- u→dtdm + dt )d(m v →-v→dtdm =F →（10） 化简整理（10）式可得dt)d(m v →-u→dtdm =F →（11） 综上，可得出变质量物体的动力学方程有（7）式和（11）式两种形式：形式一： dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F →形式二：dt)d(m v →-u→dtdm =F →2.变质量物体运动方程的应用在解决一般变质量问题的过程中，常常会遇到一些特殊的情况，这样，使得我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。
动量定理、变质量质点动力学方程
在生物学中，细胞分裂、细菌繁殖等现象也可以用动量 定理和变质量质点动力学方程来描述。通过这些理论， 我们可以更深入地理解生命运动的本质。在化学反应动 力学中，爆炸、燃烧等现象也可以用变质量质点动力学 方程来描述，这有助于我们更好地理解和控制化学反应 过程。同时，随着计算机技术的发展，我们可以通过数 值模拟来更精确地研究这些理论的数学结构和物理意义 ，这将有助于我们更好地应用这些理论来解决实际问题 。
动量定理的应用实例
总结词
动量定理的应用实例包括碰撞、火箭推进、车辆加速 等。
详细描述
动量定理在物理学、工程学和天文学等领域有着广泛 的应用。例如，在碰撞过程中，两个物体在接触时会 发生相互作用，根据动量定理可以计算出碰撞后物体 的速度；在火箭推进中，燃料燃烧产生的气体通过喷 嘴喷出，根据动量定理可以计算出火箭的推力；在车 辆加速过程中，发动机产生的力作用在车辆上，根据 动量定理可以计算出车辆的加速性能。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
变质量质点动力学方程
变质量质点的定义与特点
定义
变质量质点是指质量随时间变化的质 点。
特点
在运动过程中，质点的质量可能会发 生变化，如燃烧、蒸发等过程。
变质量质点动力学方程的推导过程
牛顿第二定律
$F=ma$，其中$F$是力，$m$是质量， $a$是加速度。
考虑变质量情况
由于质点的质量随时间变化，需要将质量的 变化纳入考虑范围。
动量定理指出，一个物体动量的变化率等于作用在其上的力。这个定理可以用于分析各种力学系统，如弹簧振荡器、行星运 动等。变质量质点动力学方程则考虑了物体质量随时间变化的情形，如火箭燃烧、爆炸等过程，通过这个方程可以更准确地 描述物体的运动规律。
变质量物体的运动
§3-7 变质量物体的运动1.公式推导设（m ， v ）与（∆m u , ）经过时间∆t 合并为（m m v v ++∆∆,）。
由动量定理： ()()()m m v v mv mv F t d mv dt dm dt u F ++--=⇒-=∆∆∆∆ 若 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dt F =⇒= 2.例题〖例3-9〗P138例 〖例3-10〗用手拿住均匀链条上端，使下端刚好着地。
突然将手放开，使链条竖直下落。
求证地面受到的最大压力是链条重量三倍。
解：设链条长l ，质量M ，上端A下落距离为x(t)。
考虑空中链条，落地链条瞬间与上端速度相等，()()l x Mdv ldt l x M l g dv dt g -=-⇒= ∴=v gx 22取全部链条为研究对象，其总动量为 p=(l-x)Mv/l, 由动量定理()/p Mv l l x Mg lMg N N Mgx l =-+-=-∴=23 当x=l 即链条全部落地的瞬间压力最大为N Mg =3。
质点系应用问题小结1.碰撞问题1)恢复系数的求法 2)碰撞后速度的求解 3)完全弹性碰撞问题 2.孤立两体问题 1)运动：两体质心作惯性运动，两体相对质心作圆锥曲线运动。
2)折合质量：将一物体视为静止，则对另一物体写动力学方程时需减小质量为折合质量。
3.变质量物体的运动 1)运动方程 d mv dt dm dtu F () -= 2)特殊情况 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dtF =⇒= 4.习题六〖P150习题2.3，2.5，2.8，2.10，2.14，2.16〗第四章 刚体运动学§4-1 刚体运动的分析1.刚体位置的描述 1)刚体的概念一种特殊的质点系，其任意两点间距在运动过程中保持不变（只有位变而无形变）2)问题的提出 自由度：描述物体运动的独立变量 对单个质点： r xi yj zk =++ 三个自由度对质点系：3n 个自由度，减去质点间的约束关系 对刚体：三点决定位置，且三点间距固定，故刚体 自由度为9－3＝63)欧拉方法 刚体运动＝基点运动（质点平动）＋绕基点转动 即：三个线变量＋三个角变量 2.刚体运动的分类1)平动 2)定轴转动 3)平面运动 4)定点转动 5)一般运动 概念、特征、自由度§4-2 角速度矢量1.有限转动与无限小转动1)构成矢量的条件 大小、方向，加法满足平行四边形法则且满足交换律（对易律）2)有限转动的非矢量性如图所示，刚体先绕z 轴转动90度再绕y 轴转动90度后所处的位置与刚体先绕y 轴转动90度再绕z 轴转动90度所处的位置不同。
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的动力学普遍定理
3、变质量质点的动力学普遍定理(1) 变质量质点的动量定理设变质量质点在任一瞬时的动量p =m v ，其中m =m (t )是时间的函数，将动量对时间求导，得到：d d()d d d d d d m m m t t t t==+p v v v 而，代入上式得：d d d d r mm t tf =+=+v F F F v d d d d d d r m m t t t =++p v F v 记并入或放出质量的绝对速度为v 1, 则：1=+rv v v 则动量对时间的导数等于：1d d d d m t t =+p F v 记1d d a m tf =F v 称F ϕa 为由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
于是有：d d a tf =+pF F —变质量质点动量定理的微分形式变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外力与由于并入或放出质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。
设t=0时质点质量为m 0、速度为v 0，积分上式得：00a 10d d d d tttmm m m t t t mf -=+=+òòòòv v F F F v 3、变质量质点的动力学普遍定理如果并入或放出质量的绝对速度v 1=0，则积分形式变为：000d tm m t-=òv v F 即使F =0，v 也不是常量，v =m 0v 0/m .(2) 变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一定点O 的动量矩为：O m =´L r v对时间t 求导，得到：d d d d d ()()()d d d d d O m m m m t t t t t=´=´+´=´L r r v v r v r v 代入变质量质点动量定理的微分形式得到：d()d a m tf =+v F F d d()d d O a m t tf =´=´+´L r v r F r F —变质量质点的动量矩定理变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
变质量物体的运动微分方程研讨
变质量物体的运动微分方程及火箭运动专业：物理学学号: 1: 瑞锋变质量物体的运动微分方程及火箭运动瑞锋(物理与电气工程系09级物理学专业,1)摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律.关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理一、变质量物体的基本运动微分方程在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。
但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。
那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量)(m 2t 和进入质点系的质量)(1t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t在t=0时刻为m 0，则它随着时间的变化规律为)()()(21t t t m m m m +-=，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。
设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。
在瞬时t ，质点的质量为m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。
力学名词中英对照
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[叠栅]云纹法||moirémethod[抗]剪切角||angle of shear resistance[可]变形体||deformable body[钱]币状裂纹||penny-shape crack[映]象||image[圆]筒||cylinder[圆]柱壳||cylindrical shell[转]轴||shaft[转动]瞬心||instantaneous center [of rotation][转动]瞬轴||instantaneous axis [of rotation][状]态变量||state variable[状]态空间||state space[自]适应网格||[self-]adaptive meshＣ0连续问题||C0-continuous problemＣ1连续问题||C1-continuous problemＣＦＬ条件||Courant-Friedrichs-Lewy condition, CFL conditionＨＲＲ场||Hutchinson-Rice-Rosengren fieldＪ积分||J-integralＪ阻力曲线||J-resistance curveＫＡＭ定理||Kolgomorov-Arnol'd-Moser theorem, KAM theoremＫＡＭ环面||KAM torusｈ收敛||h-convergenceｐ收敛||p-convergenceπ定理||Buckingham theorem, pi theorem阿尔曼西应变||Almansis strain阿尔文波||Alfven wave阿基米德原理||Archimedes principle阿诺德舌[头]||Arnol'd tongue阿佩尔方程||Appel equation阿特伍德机||Atwood machine埃克曼边界层||Ekman boundary layer埃克曼流||Ekman flow埃克曼数||Ekman number埃克特数||Eckert number埃农吸引子||Henon attractor艾里应力函数||Airy stress function鞍点||saddle [point]鞍结分岔||saddle-node bifurcation安定[性]理论||shake-down theory安全寿命||safe life安全系数||safety factor安全裕度||safety margin暗条纹||dark fringe奥尔-索末菲方程||Orr-Sommerfeld equation奥辛流||Oseen flow奥伊洛特模型||Oldroyd model八面体剪应变||octohedral shear strain八面体剪应力||octohedral shear stress八面体剪应力理论||octohedral shear stress theory巴塞特力||Basset force白光散斑法||white-light speckle method摆||pendulum摆振||shimmy板||plate板块法||panel method板元||plate element半导体应变计||semiconductor strain gage半峰宽度||half-peak width半解析法||semi-analytical method半逆解法||semi-inverse method半频进动||half frequency precession半向同性张量||hemitropic tensor半隐格式||semi-implicit scheme薄壁杆||thin-walled bar薄壁梁||thin-walled beam薄壁筒||thin-walled cylinder薄膜比拟||membrane analogy薄翼理论||thin-airfoil theory保单调差分格式||monotonicity preserving difference scheme 保守力||conservative force保守系||conservative system爆发||blow up爆高||height of burst爆轰||detonation; 又称“爆震”。
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变质量动力学
引言
有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。
一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。
关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理
1.变质量指点的运动微分方程
1. 变质量指点的运动微分方程：
设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为()e F 。
质点在瞬时t 的动量为：
11p mv dm v =+⋅
质点系在瞬时t dt +的动量为：
2()()p m dm v dv =++
根据动量定理
()21e dp p p F dt =-=
得
()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+⋅=
将上式展开得
()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +⋅+⋅-⋅=
略去高阶微量dm dv ⋅，并以dt 除各项，得
()1e dv dm dm m v v F dt dt dt
+-= 或
()1()e dv dm m v v F dt dt
--= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令
r dm F v dt
Φ=
则可以得到 ()e dv m F F dt
Φ=+
上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中m 是变量，
dm dt 是代数量。
变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
其中F Φ常称为反推力。
2. 两种常用的质量变化规律
1.质量按线性规律变化。
设变化规律为
0(1)m m t β=-, 1t β<
式中0m ,β 皆为常数，该式代表质量随时间变化呈线性关系。
由
0dm m dt β=-知，其反推力为
0r r dm F v m v dt
βΦ==- 由上式可知，当r v 为常量时，反推力F Φ也为常量，且与r v 方向相反。
3. 质量按指数规律变化。
设变化规律为
0t m m e β-=
式中0m ，β全为常数。
由
0t dm m e dt ββ-=-知，其反推力为 0t r r dm F v m e v dt
ββ-Φ==- 令a Φ表示仅在反推力F Φ作用下变质量质点的加速度
r F a v m
βΦΦ==- 则当r v 为常量时，a Φ也是常量，即由反推力而引起的加速度为常量。
2.变质量质点的动力学普遍定理
1.变质量指点的动量定理
变质量质点在任一瞬时的动量p mv =，其中()m m t =是时间t 的函数，
将动量对时间求导得
()dp d mv dm dv v m dt dt dt dt
==+
得出
r dp dm dm v F v dt dt dt
=++ 记并入（或放出）质量的绝对速度为1v ，即
1r v v v =+
则有
1dp dm F v dt dt =+ 记
1a dm F v dt
Φ= 称a F Φ为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
得出：
dp dt =()d mv dt
=F +a F Φ 上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数，等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。
将上式积分，设t =0时质点质量为0m ，速度为0v ，得
00mv m v -=0t
Fdt ⎰+0t
a F dt Φ⎰=0t
Fdt ⎰+01m
m v dm ⎰
上式称为变质量质点动量定理的积分形式。
2.变质量质点的动量矩定理
变质量质点对任一点O 的动量矩为
O L r mv =⨯
式中r 为从点O 指向该质点的矢径，点O 为定点。
将上式对时间t 求导，得
O dL dt =()d r mv dt
⨯=dr mv dt ⨯+()d r mv dt ⨯=()d r mv dt ⨯ 上式称为变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
3.变质量质点的动能定理
变质量质点动量订立的微分形式可以写为
dv m dt +dm v dt = F +1dm v dt 将上式各项点乘dr ，得
1mv dv dmv v F dr dmv v ⋅+⋅=⋅+⋅
由于2
21()22
v mv dv d mv dm ⋅=-，因此上式可以写为 22111()()22
d mv v dm F dr v v dm +=⋅+⋅ 或
2211()22
a d mv v dm F dr F dr Φ+=⋅+⋅ 上面两式称为变质量质点的动能定理：变质量质点的动能微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量 的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。
4. 实际问题中的变质量质点的动量定理及动量矩定理
日常生活或工程实践中，常会遇到质量不断变化的质点系，例如，向外喷射气体的火箭、吸入空气同时又喷出燃气的喷气式飞机、冻结或融化中的浮冰等．有的是不断地并入质量，有的是不断地放出质量，有的既并入又放出质量，这样的质点系称为变质量物体．变质量问题是理论力学研究的一个重要内容。
通常用到的几个变质量物体运动方程
1. 变质量物体的平动运动方程
()d dm m V F u V F dt dt
=+-=+Φ 该式是研究变质量问题的一个基本方程，简称密歇尔斯基方程。
2. 变质量物体绕定点转动的运动方程
()()n d r mv r F dr F dt
⨯=⨯+Φ-⨯ 上式中r F ⨯叫合外力距，dm r r u dt
⨯Φ=⨯叫反推力矩，dr ⨯n F 叫向心力距。
3. 变质量物体绕定点做一般曲线运动的方程
()()()n d r mv r F dr F F dt
τ⨯=⨯+Φ-⨯+ 式中dr ⨯F τ称为切向力矩。
例：用手拿住均匀链条的上端，使下端刚好着地，突然将手放开，使链条竖直下落，求下落速度，并求证地面受到的最大压力是链条重量的3倍。
解 ： 设x 轴向下，x 轴原点在链条初始位置的最高点，对空中长为l x -和即将落地的微质量链条组成的变质量体系进行考虑，()m l x ρ=-，dm dx ρ=-，N 为
地面静止链条向上作用于微质量链条dm 的力，
u 是dm 与空中主体链条分开后的瞬时速度即0，对该变质量体系应用变质量运动的微分方程可得
(0)dv dm m mg N v dt dt
=-+- 化为：
2dv m mg N v dt
ρ=-+
再将上面用动量定理求出的21N T m g v ρ=-=代入得
dv m
mg dt
= 于是有
22v gx =
而地面受到的压力为
211T N m g v m g ρ=+=+
当全部落下时，
22v gl =，22v gl = 得出最大压力为
2gl g=3g T M M ρ=+
因此，地面受到最大的压力为链条重量的3倍。
3.参考文献
【1】 江优良 廖湘萍《变质量物体运动微分方程应用讨》
【2】 郑荣霞 肖泰明 罗跃《变质量质点力学的动量矩定理及动能定理研究》湖北成人教育学院学报 2008
【3】 颜振珏 《从变质量的运动谈起》 黔南民族师范学院学报 2008
【4】 王奇文 李建国《变质量物体的运动方程和应用》 河南科学 2009
【5】 余君彦 李德明《对变质量质点运动的讨论及应用》 科技信息 2006。