高考数学 专题07 直线与椭圆的解题方法(解析版)

专题07 直线与椭圆的解题方法

一．【学习目标】

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程

(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)为例

(1)范围：________________．

(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．

(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .

(4)离心率e ＝_______，0

（一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆

（四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】

（一）直线与椭圆关系求离心率

例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右顶点和右焦点，过

坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．

13 B ．23 C ．83

D ．32或8

3

【答案】A

【解析】如图 设()()0000,,

,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，

00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝

⎭,

,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0

000022y y x a c x c

-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,

002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,1

3

c e a ∴==,故选A.

练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x y

C a b a b

+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与

椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为

A.22

162

x y += B.22

184x y += C.22

182x y += D.22

12016

x y += 【答案】A

【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =， 设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ==

==o o ，即31,)2

A c , 代入椭圆的方程可得22

22144c c a b

+=

又由122F AF S ∆=，则2111

22222

S c c c =

⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-， 解得2

2

6,2a b ==，所以椭圆的方程为22

162

x y +=，故选A.

方法2，利用焦点三角形面积公式2

tan ||||21221θ

b y F F S A ==（21AF F ∠=θ） 求出坐标31

,)2

A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b

练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=＞＞的两个焦点，

过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰

直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时， 椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接） 【答案】＜ 【解析】

把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b

+=，解得：2b

y a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：2

2b c a

=，即222a c ac -=

化为：2

11210e e +-=，101e <<

解得：1212

e -+=

= ②当2F PQ ∆

为等边三角形时，22b c a

=

)

22

2a c ac -=

2

2220e +=，201e <<

解得：2e =

则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<

（二）对称问题

例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22

221y x a b

+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，

若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤

∈ ⎥⎝

⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A

．0,

3⎛ ⎝⎦

B

．0,

2⎛ ⎝⎦

C

．,32⎣⎦

D

．,3

3⎣⎦ 【答案】A

【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，

∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，

而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-

⎪⎝

⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，代入椭圆方程得：||x =

，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭

， α为直线ON

的倾斜角，tan a

a ==

，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦

，1<≤

，1a b ∴<

≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而22

1a

b a

c e -=

=0e ∴<≤． ∴椭圆C

的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦

．故选A 项．