由极值求参数的值的方法
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数与极值
当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时, f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【规律总结】 1.求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极
值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 近其他点的函数值都大, 则b叫做极大值点,f(Байду номын сангаас) f′(b)=0 叫做函数y=f(x)的极大值. 其中_________,在点x=b f′(x)>0 附近的左侧 _________,右侧_________, f′(x)<0
【练习】 1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为 正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故
点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,
导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为 正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
【注意事项】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变 化情况,况且端点处的导数不一定为0.
书本P38
【题型探究】 类型一:求函数的极值
书本P39例题2
【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义域,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若
干个小开区间,并列成表格.
函数最值的求法
【解】 200πrh(元)，
(1) 因 为 蓄 水 池 侧 面 的 总 成 本 为 100·2πrh ＝
底面的总成本为 160πr2 元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr2)元． 又根据题意 200πrh＋160πr2＝12 000π， 1 所以 h＝ (300－4r2)，从而 5r π V(r)＝πr h＝ (300r－4r3)． 5
2 x 0 f ( x ) ≥ 2 c （3） 若对任意 ， 不等式
恒成立，求 c 的取值范围
王 新 敞 特 级 教 师 源 头 学 子 小 屋
h ttp :// w x c 8 . 3 3 2 .c 0 0 o m w x c k @ t1 2 6 .c o m
新 疆 奎 屯
· 2007 ·
【解析】 由 f′(x)＝6x2－12x>0，得 x<0 或 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2， ∴f(x)在[－2,0]上为增加的，在[0,2]上为减少的， ∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又 f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min ＝－37.
【答案】 D
例9
某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出
【规范解答】
200 (1)设长为 x m，则宽为 m. x
0<x≤16， 据题意 200 0< ≤16， x 25 解得 ≤x≤16，2 分 2
200 400 y＝2x＋2·x ×400＋ ×248＋16 x
0004 分
25 259 200 ＝800x＋ ＋16 000 2 ≤x≤16 ，6 分 x
259 200 (2)y′＝800－ ＝0，8 分 x2 解得 x＝18. 当 x∈(0,18)时，函数 y 为减少的； 当 x∈(18，＋∞)时，函数 y 为增加的.10 分 25 又∵ ≤x≤16， 2 ∴当 x＝16 时， y 取最小值 45 000. ∴当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时，总造价 y 最低为 45 000 元.12 分
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
导数与极值
2.三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和 (x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极
小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),
【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
6 2x 2 8x 6 2 x 1 x 3 (x＞0)， 所以φ′(x)= 2x 8 x x x
呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)= -x3+ax2-4在x= 4 处取得极值”,其他条件不变,小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”
改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”
x x
x 3 x 1
x2
. 令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 3 (1,+∞) + ↗
微专题(九)已知函数极值、最值求参数的值(或取值范围)
f′(x)>0，即f(x)单调递增．
∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－
4ln 2，无极大值．
(2)∵f′(x)＝a＋x2x， ∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递 增，没有最小值；
微专题(九) 已知函数极值、 最值求参数的值(或取值范围)
已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函 数的导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也
可以求出参数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值 的情况，列出关于参数的不等式(或组)．
已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数 最值(含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于 参数的不等式(或组)求解．
[例] [2019·云南统测]已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x. (1)当a＝－4时，求f(x)的极值； (2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解析：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝
a x
＋2＝a＋x2x.
当a＝－4时，f′(x)＝2x－x 4.
当a<0时，由f′(x)>0得，x>－a2，∴f(x)在－a2，＋∞上单调递增； 由f′(x)<0得，0<x<－a2，∴f(x)在0，－a2上单调递减． ∴当a<0时，f(x)的最小值为f－a2＝aln－a2＋2－a2. 根据题意得f－a2＝aln－a2＋2－a2≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0. ∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0， ∴实数a的取值范围是[－2,0)．
10已知函数极值、最值求参数的值(或取值范围)
微专题(十) 已知函数极值、最值求参数的值(或取值范围)已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函数的导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也可以求出参数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值的情况，列出关于参数的不等式(或组)． 已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数最值(含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于参数的不等式(或组)求解．[例] 已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．解析：(1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x. 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x. ∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2，无极大值．(2)∵f ′(x )＝a ＋2x x， ∴当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a 2，∴f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2a 上单调递增； 由f ′(x )<0得，0<x <－a 2，∴f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-20a ，上单调递减． ∴当a <0时，f (x )的最小值为f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＝a ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＋2⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a . 根据题意得f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＝a ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＋2⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0. ∵a <0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得－2≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[－2,0)．名师点评 已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[变式练] 设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．微专题(十)变式练解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x. ①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a. 因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0. 综合①②得a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞)。
第11讲导数中极值的5种常考题型总结(原卷版)
第11讲 导数中极值的5种常考题型总结【考点预测】 知识点一：极值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.①0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：利用导函数图像判断极值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【典型例题】题型一：求函数的极值与极值点 【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值； ①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值【例1】（2022·全国·高二课时练习）“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】(2022石泉县石泉)函数()2x x f x e=的极小值为( )A ．0B ．1eC ．2D ．24e【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数21f x x x ，则（ ）A ．()f x 有极小值，无极大值B ．()f x 有极大值，无极小值C ．()f x 既有极小值又有极大值D ．()f x 无极小值也无极大值【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数()3211y x =-+在1x =-处（ ）A ．有极大值B ．无极值C ．有极小值D ．无法确定极值情况【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的最小值点 B ．0x 是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极大值点 D ．0x -是()f x --的极大值点【例6】（2022全国·高二期末）已知函数()c bx ax x x f +++=23，下列结论中错误的是（ ）A ．存在R x ∈，使得()0=x fB ．若0==c a ，则函数()x f y =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()x f 的极小值点，则()x f 在区间()0,x ∞-上单调递减D ．若0x 是()x f 的极值点，则()00='x f【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()()()()324123f x x x x x '=---，则下列结论正确的是A ．()f x 在0x =处有极大值B ．()f x 在2x =处有极小值C ．()f x 在[]1,3上单调递减D ．()f x 至少有3个零点【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ） A ．若函数()f x 既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B ．2()1f x x x =++在任意给定区间[,]a b 上必存在最小值 C ．()||f x x =-的最大值就是该函数的极大值D ．定义在R 上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 1x f x x-=，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+上为增函数B ．()f x 在()0,∞+上为减函数C ．()f x 在()0,∞+上有极大值D ．()f x 在()0,∞+上有极小值2．（2022·全国·高三专题练习）函数21()(1)x f x x e +=-（e 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A ． ()f x 在R 上只有一个极值点 B ．()f x 在R 上没有极值点 C ．()f x 在0x =处取得极值点 D ．()f x 在1x =-处取得极值点3．（2022·全国·高二课时练习）若函数3()ln f x x x =，则（ ） A ．既有极大值，也有极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值 D ．既无极大值，也无极小值4．（2022·全国·高三专题练习）设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值 B ．有且仅有一个极大值 C ．有无数个极值 D ．没有极值5．（2018·云南·红河县第一高二期末（文））已知函数()3269f x x x x =-+，则下列结论中错误的是（ ）A ．0x R ∃∈，()00f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．3x =是函数()y f x =的极大值点D ．函数()y f x =在区间()1,3单调递减6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数()3x x f x e=，那么（ ）A ．()f x 有极小值，也有大极值B ．()f x 有极小值，没有极大值C ．()f x 有极大值，没有极小值D ．()f x 没有极值7．（2022·福建·厦门外国语高二期末多选题）已知函数()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 在点()e,e 处的切线方程为2e 0x y --=B ．()f x 的单调递减区间为()1,e ∞--C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的极小值点为()11e ,e ---8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R 上的可导函数()f x ，()'f x 为其导函数，下列说法不正确的是（ ）A ．使()0f x '=的x 一定是函数的极值点B ．()f x 在R 上单调递增是()0f x '>在R 上恒成立的充要条件C ．若函数()f x 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D ．若()f x 在R 上存在极值，则它在R 一定不单调9．（2022全国高三专题练习）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论错误的是（ ）A ．x R ∀∈，()()0f x f x ≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln x f x x =，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭_____，()f x 有极__________（填大或小）值．题型二：利用导函数图像判断极值【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值D ．函数()f x 的最小值为()f d【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级高三阶段练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f【例3】（2022·重庆市璧山来凤中高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在1x =-处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零【题型专练】1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 在区间()0,4单调递增B ．函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．函数()f x 在0x =处取得极小值D ．函数()f x 在3x =处取得极小值2．（2022·全国·高二单元测试）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，函数()()1'()g x x f x =-的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在(),2-∞-，()1,2上为减函数B ．()f x 在()2,1-，()2,+∞上为增函数C ．()f x 的极小值为()2f -，极大值为()2fD ．()f x 的极大值为()2f -，极小值为()2f4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值题型三：根据极值、极值点求参数的值 【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；①若函数()y f x =在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在(,)a b 内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】（2022·天津市第四高二期中）函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．2【例2】(2022全国课时练习)若函数()2()1xf x x ax e =--的极小值点是1x =，则()f x 的极大值为( )A ．e -B ．22e -C ．25e -D ．2-【例3】（2022·四川·阆中高二阶段练习（文））函数()()2f x x x a =-在2x =处有极大值，则a 的值为（ ） A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．【例4】（2022·重庆·万州纯阳中高二期中）已知函数()3223f x x mx nx m =+-+在1x =-时有极值0，则mn =______ .【题型专练】1．（2023全国高三专题练习）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设1=x 是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．43.设函数()23ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为________4．（2023河南省实验高二月考）函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．2-D ．25.(2021·河南新乡市)已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为( ) A ．ln21-- B ．ln21-+ C ．1-D ．1题型四：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数()()22e x x a f x x =++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数32()1(0)f x x mx m =-++≠在区间(0,2)上的极大值为最大值，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．(3,0)- C ．(,3)-∞- D ．(3,)+∞【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设0a ≠，若=x a 为函数2()()(1)f x a x a x =--的极小值点，则（ ） A ．1a < B ．1a > C ．2a a < D ．2a a >【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 2ln x f x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是（ ）A ．2e ,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数2()e 21x f x ax =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________．【例7】（2022·河南·安阳高三阶段练习（理））已知函数()()2ln 21f x x a x =++有两个不同的极值点21,x x ，且12x x <，则实数a 的取值范围是___________.【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，则实数t 的取值范围为___________.【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【题型专练】1.（2022吉林通榆县第高二期末（理））已知函数321()(23)13f x x ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．(3,1)- D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞2．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(1,0)-3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第高二期末）若函数()()216ln 62f x a x x a x =+-+有2个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞⋃+∞B ．()()0,66,⋃+∞C ．{}6D ．()0,∞+4.（2022·江西·丰城高二期末（理）多选题）函数32()132ax ax f x x =-++在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）A ．9,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭C ．1,06a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．19,62a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.若()f x 在2x =处取得极大值，a 的值可能为（ ） A ．-2 B ．14C ．1D ．26．（2022·广东·东莞市东华高级高三阶段练习多选题）对于函数()ln xf x x=，下列选项正确的是（ ） A ．函数()f x 的极小值点为e -，极大值点为eB ．函数()f x 的单调递减区间为 ][,,(e e ) -∞-⋃+∞，单调递增区为[]e,0)(0,e -⋃C ．函数()f x 的最小值为1e -，最大值为1eD ．函数()f x 存在两个零点1和1-7．（2022·广东广雅高三阶段练习）若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是____________.8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数()()e xf x x a =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是___________.9.（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x =--在()1,0内有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．11.（2022辽宁高三月考）已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________.321()53f x x ax x =-+-(1,1)-[1,1]-(,1)(1,)-∞-+∞(,1][1,)-∞-+∞题型五：证明函数存在极值点极值问题【例4】（2022·上海市进才高三阶段练习）已知函数()()e 0=->xf x ax x a .(1)求()()0,0f 处的切线方程； (2)求证：()f x 有且仅有一个极值点；【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1e xx f x +=. (1)求证：函数()f x 存在唯一的极大值点；【题型专练】1．（2022·安徽省定远县第三高三阶段练习）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导数． (1)判断并证明()'f x 在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在的极大值点个数；2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数()ln(1)sin =++f x x x ． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在(0,)π上的单调性； (3)证明：()f x 在(1,)π-上存在唯一的极大值点．3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；。
导数与函数的极值和最值考点及题型
第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。
专题二：已知极值求参数8
专题二：已知极值求参数【课标要求】会利用导数讨论函数的极值问题，利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件（不要求数学证明）【学习目标】（Aim ）能解决已知极值求参数的问题 （ ）【问题导学】一基础知识回顾1、函数极值的求法求函数y ＝f (x )的极值的方法是： 解方程f ′(x )＝0，当f ′(0x )＝0时，(1)如果在0x 附近的左侧，右侧 ，那么，f (0x )是极大值． (2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧，那么，f (0x )是极小值． 2．对函数极值概念的理解(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．3．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即导数为0是极值点的必要不充分条件．(2)导数为0是极值点：y ＝2x ，y ′(0)＝0，x ＝0是极小值点．(3)导数为0但不是极值点：y ＝3x ，y ′(0)＝0，x ＝0不是极值点．4．求函数f (x )＝1323+-x x 的极小值点为________．【典例应用】类型（一）：已知极值求参数的值例1． 已知函数f (x )＝23bx ax +，当x ＝1时，函数有极大值3. (1)求a ，b 的值；(2)求函数的极小值．微思微结：已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处 和 两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 根的合理性变式训练：已知f (x )＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．类型（二）：已知极值求参数的取值范围例2：函数 ，若 在 处取得极小值，求a 的取值范围？[])0(,34)14()(2>+++-=a e a x a ax x f x )(x f 2=x变式训练：将上面例2中的0>a 条件去掉，其他条件不变，求a 的范围反思与感悟：已知可导函数的极值求参数时，需要注意两点：（1）根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程组，利用 求解；（2）因为导数值等于0是此点为极值点的 条件，所以求解后必须 。
函数的极值与导数 说课稿 教案 教学设计
导数在研究函数中的应用一、教学目标：知识与技能：1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．过程与方法：通过具体函数和函数图形的分析形成极值的概念，并探究出运用导数求极值的方法；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数极值的判定及求法．难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）探究新知探究点一函数的极值与导数的关系思考1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？结论 思考1中点d 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (d )叫做函数y ＝f (x )的极小值；点e 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (e )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 思考2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )的符号不同．例如，函数f (x )＝x 3可导，且在x ＝0处满足f ′(0)＝0，但由于当x <0和x >0时均有f ′(x )>0，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．思考4 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有 个极小值点． 【答案】 1例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．解 f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )>0，得x <－2或x >2；由f ′(x )<0，得－2<x <2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增283单调递减－43单调递增由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减3单调递增因此，当x ＝1时，f (x )探究点二 利用函数极值确定参数的值思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，∴f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且函数f (x )＝－23ln x －16x 2＋x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)或即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．（三）当堂达标1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3【答案】 D∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 A【解析】 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．4．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x【答案】 B【解析】 y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点． 5．求下列函数的极值： f (x )＝x 3－22x －12；【解析】 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝x －22x ＋12x －13，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f (x )单调递增－38单调递减单调递增3单调递增故当x ＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f (－1)＝－38，无极小值．6．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值1极小值－1五、小结。
第6讲 函数的极值与最值(教师版)
第6讲 函数的极值与最值一．基础知识回顾1．极大值点与极大值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于或等于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．3．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值；如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值.4．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如图，函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．5．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值，(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．问题探究探究点一：函数的极值与导数的关系例1：求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值与极值点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )，有极小值f (3)＝－22，x ＝3是极小值点．跟踪训练1：求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值与极值点．解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋≦)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2.令f ′(x )因此当＝1时，()有极小值(1)＝3.＝1是极小值点． 探究点二：利用函数极值确定参数的值例2：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．解：因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋≦)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.跟踪训练2：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极 值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：(1)≧f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，≨f ′(x )＝ax＋2bx ＋1. 由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，≨a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x . f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋≦)时，f ′(x )＜0；所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．探究点三：函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为单调递减区间为(－2，2)． (－≦，－2)和(2，＋≦)；当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图像的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．跟踪训练3：若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．解：f (x )＝2x 3－6x ＋k ，则f ′(x )＝6x 2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1，可知f (x )在(－1,1)上是减函数，f (x )在(－≦，－1)和(1，＋≦)上为增函数．f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ，f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k . 要使函数f (x )只有一个零点，只需4＋k <0或－4＋k >0(如图所示)即k <－4或k >4. ≨k 的取值范围是(－≦，－4)∪(4，＋≦)． 探究点四：含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . 当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a 0<a ≤202<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a a ≤20a >2.跟踪训练4：已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0时，列表如下：由表可知，当x ＝0时，f (x )取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，≨f (0)＝3，即b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，≨f (2)＝－16a ＋3＝－29，≨a ＝2. (2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，≨f (0)＝－29，即b ＝－29. 又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，≨f (2)＝－16a －29＝3，≨a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.探究点五：函数最值的应用例3：已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1(x ＞0)等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1. 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，≨g (x )≤g (1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是[)－1，＋≦.跟踪训练5：设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：≧f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．≨当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. ≨当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，≨x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ≧对任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立，≨9＋8c <c 2，即c <－1或c >9. ≨c 的取值范围为(－≦，－1)∪(9，＋≦)．四．课时小结1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题. 4.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值5．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．6．.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．一般地，可采用分离参数法．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .7.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得． 五．作业设计1. 函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图像如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有(A)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2． 下列关于函数的极值的说法正确的是(D)A ．导数值为0的点一定是函数的极值点B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 3． 函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有(C)A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值 4． 已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则(C)A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<08． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于(D)A ．2B ．3C ．6D ．99． 若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是(B)A ．1<a <2B ．1<a <4C ．2<a <4D ．a >4或a <110． 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为 (D)A ．1 B.12 C.52 D.2211． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝3 .12． 设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a的值为9．13. 如果函数y ＝f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是③．(填序号)14． 已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是[－4，－2]．15．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．16．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1；(2)f (x )＝x 2e x .解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝3(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13.令f ′(x )>0，可得x >1或x <13；令f ′(x )<0，可得13<x <1.≨函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－≦，13和(1，＋≦)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e－x＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2.17．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：≧f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x－2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：≨f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52≨m ＝1.18．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解：(1)f ′(x )＝3x2－2x －1.令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f (－13)＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f (－13)＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.≧曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，≨f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0，≨a <－527或a >1，≨当a ∈(－≦，－527)∪(1，＋≦)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．19．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.(2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论：①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )ea －2.②若a <3，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如上表：所以f (x )在(－≦，a －2)，(－2a ，＋≦)内是增函数，在(a －2，－2a )内是减函数．函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )ea －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .20．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，≧函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，≨－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．≨⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，≨⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x22|恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，≨c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，≨c <－18.≨c ∈(－≦，－18)∪(54，＋≦)，此即为参数c 的取值范围．21．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x所以f (．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1)上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.。
高三数学二轮复习冲刺：已知极值点(极值个数)求参数的通性通法
已知极值点（极值个数）求参数的通性通法一.基本原理题型1：已知极值点求参数的值.1.已知函数()f x 有极值点0x ，求参数的值或范围,一般有两种情况：（1）由()00f x '=可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由()00f x '=求出参数的值，再代回()f x '去研究()f x 的单调性，确认()f x 在0x x =处取得极值即可.（2）由()00f x '=不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当()f x '的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.2.极值第二充分条件：若0)(],[0'0=⇒∈∃x f b a x ，且0)(0''≠x f ，则若0)(0''<x f ，则)(x f y =在0x 处取得极大值；若0)(0''>x f ，则)(x f y =在0x 处取得极小值.证明：将函数)(x f 在0x x =处二阶泰勒展开可得：200''00'0)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -+-+=由于)(x f 在0x x =存在极值，故0)(0'=x f 且对x 求导数可得)('x f ))((2)()(00''0''x x x f x f x f -+=由0)(0'=x f 代入上式可知：))((2)(00'''x x x f x f -=显然，若0)(0''<x f ，则0x x <时0)('>x f ，0x x >时0)('<x f ，故0x x =为)(x f 的极大值点，证毕.注：此证明方法仅供需要弄清结论原理的读者使用，若不需，则可直接记住结论内容就行.3.极值第二充分条件：若)(x f 在0x x =处具有直到n 阶的连续导数，且0)()()(0)1(0''0'==⋅⋅⋅==-x fx f x f n ，但0)(0)(≠x fn ，则：当n 为偶数时，)(0x f 为函数)(x f 的极值，当n 为奇数时，)(0x f 不是函数)(x f 的极值.题型2：已知极值个数求参数的范围这类问题的形式就是已知),(a x f 存在几个极值点，求参数a 的取值范围.这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数.二．典例分析题型1.已知极值点求参数的值例1．若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（）A．6B．15-C．6-或15D．6或15-解析： ()322f x x ax bx a =--+，2()32f x x ax b ∴=-'-，又1x =时()f x 有极值10∴232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩，当3,3a b ==-时，22()3633(1)0f x x x x =-+=-≥'，此时()f x 在1x =处无极值，不符合题意经检验，4,11a b =-=时满足题意，15a b ∴-=-，故选：B 例2.（2021年乙卷第10题）1．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A．a b <B．a b>C．2ab a <D．2ab a >分析1：分类讨论若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.依题意，x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D点评：按照传统的解法，此题应该先求一阶导数)('x f ，再分析)('x f 在a x =处何时出现左负右正，引入分类讨论，而对于多数中等水平学生而言，分类讨论是他们痛处，所以我们有必要思考如何避免上述做法.分析2：第二充分条件依题，2')())((2)(a x a b x a x a x f -+--=再次求导)(4)(2)(''a x a b x a x f -+-=由于a x =为极大值点，故0)(''<a f ，代入上式可得：2a ab >，故选D.点评：二阶导方法显然更加具有实用性，不用分类讨论，步骤也很明确，考试必备的好帮手.小结：已知0x x =为函数)(x f 的极大值或极小值，求参数问题.第一步：求二阶导数；第二步：若0)(0''<x f ，则)(x f y =在0x 处取得极大值；若0)(0''>x f ，则)(x f y =在0x 处取得极小值.例3.已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中a ∈R .（1）若2a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()1f 是()f x 的极大值，求a 的取值范围.解析：（1）若2a =，则()2ln f x x x x x =-+，所以()ln 121ln 22f x x x x x '=+-+=-+，故()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程0y =.（2）解法1：由题意，()()ln 0f x x ax a x '=-+>，()1f x a x ''=-，()21f x x'''=-，所以()11f a ''=-，若1a =，则()()110f f '''==，()110f '''=-≠，所以()1f 不是()f x 的极值，不合题意；若1a >，则()10f '=，()10f ''<，所以()1f 是()f x 的极大值，满足题意；若1a <，则()10f '=，()10f ''>，所以()1f 是()f x 的极小值，不合题意；综上所述，a 的取值范围是()1,+∞.解法2：由题意，()()ln 0f x x ax a x '=-+>，()1f x a x''=-①当0a ≤时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，所以()01f x x '=⇔>，()001f x x '<⇔<<，从而()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1f 是()f x 的极小值，不合题意；②当0a >时，()100f x x a ''>⇔<<，()10f x x a''<⇔>所以()f x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且()10f '=，若01a <<，则11a >，可知当01x <<时，()0f x '<，当11x a<<时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()1f 是()f x 的极小值，不合题意；若1a =，则11a=，()0f x '≤恒成立，从而()f x 在()0,+∞上单调递减，故()f x 无极值，不合题意；若1a >，则101a <<，可知当11x a<<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()1f 是()f x 的极大值，满足题意；综上所述，a 的取值范围是()1,+∞.题型2.已知极值点个数求参数的范围基本步骤：第1步求导，第2步令导函数为零后分离参数，第3步做出不含参数函数的图象后讨论合适出现满足题意的变号零点个数，即为参数范围.例4．已知函数()()3sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A．(B．()1,1-C．⎡⎣D．[]1,1-解析：()3(sin )3cos 3(sin cos )x x x f x e x a e x e x x a '=-+=+-3)]4xe x a π=+-，∵)4x π+≤，∴当a ≥()0f x '≤恒成立，a ≤()0f x '≥恒成立，当a <<时，()0f x '=有解，且在解的两侧()f x '的符号相反，即()f x 有极值．故选：A．例5．已知函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是（）A．()20,11,ee e ⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B．()0,1C．2,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．21,ee e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭解析：因为()313ln x a f x x a =-，所以()2x f x x a '=-.因为函数()313ln xa f x x a=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，所以只需方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根.即2ln ln x a x =，令()2ln x g x x =，则()()221ln x g x x -'=.()g x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减.∴2ln 0,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选D.例6．已知函数()212f x axlnx x a =-+有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是（）A．{0|a a >且1}a ≠B．{}0a a >C．{0a a <或1}a =D．{}0a a <解析：由题意，求得函数()f x 的导数()()'1ln f x a x x =+-，令()'0f x =，即()1ln 0a x x +-=.则10,1ln e x x a x x ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭且．设1()0,1ln x g x x x x e ⎛⎫=>≠ +⎝⎭且，得2ln ()(1ln )x g x x '=+．当()'0g x >时，得1x >；当()'0g x <时，得10x e <<或11x e<<，所以函数()g x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．因为函数()212f x axlnx x a =-+有且只有一个极值点，所以直线y a =与函数1()0,1ln x g x x x x e ⎛⎫=>≠ ⎪+⎝⎭的图象有一个交点，所以a<0或1a =．当1a =时()()'1ln 0f x x x =+-<恒成立，所以()y f x =无极值，所以{}0a a <．故选D．例7．已知函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，则实数t 的取值范围为___________.解析：由题意，函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得()22222(1)(1)(1)(1)[(1)]e 1e e 1x x x x x t x x t xf x t x x x x --⎛⎫'=--== ⎪⎝⎭----+，因为函数()f x 在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，所以()0f x '=在区间()0,∞+上有且只有一个实数根，即方程2(1)[(1e )0]x x xt x --=+在区间()0,∞+上有且只有一个实数根，因为1x =时方程2(1)[(1e )0]x x xt x --=+的根，所以方程1e ()0x t x -+=在区间()0,∞+上没有实数根，即方程,0e 1xt x x =>+在区间()0,∞+上没有实数根，等价于y t =与()e 1x g x x =+的图象在()0,∞+上没有交点，又由()22(1)0(1)(1e e e )x x x x xg x x x +-⋅'==>++，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()min 01g x g >=，且当x →+∞时，()g x ∞→+，所以1t ≤，即实数t 的取值范围是(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞三．习题演练1．已知函数321()23f x x ax x =+-在区间(1,)+∞上有极小值无极大值，则实数a 的取值范围（）A．12a <B．12a >C．12a ≤D．12a ≥解析：∵函数()32123f x x ax x =+-，∴()2'22f x x ax =+-，∵函数()32123f x x ax x =+-在区间()1,+∞上有极小值无极大值，∴()2'220f x x ax =+-=在区间()1,+∞上有1个实根，(],1-∞上有1个根．()2480'1210a f a ⎧∆=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得12a <．故选A．2．已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（）A．-1B．2C．-3D．4解析：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x ¢>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x ¢>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B3．若函数()2ln 21(0)y x ax a x a =+-+>在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是______．解析：()()()()()1e 211e 2x xf x x a x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，20x e a ->，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，此时()f x 只有极小值，没有极大值，当102ea <<时，当ln 2x a <或1x >-时，()0f x ¢>，当ln 21a x <<-时，()0f x '<，()f x 在(),ln 2a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln 2,1a -上单调递减，则()f x 在ln 2x a =处取得极大值()()21ln 2ln 2ef a a a =-≠，当12ea =时，()0f x '≥，当且仅当=1x -时取“=”,()f x 在R 上单调递增，()f x 没有极值，当12ea >时，当1x <-或ln 2x a >时，()0f x ¢>，当1ln 2x a -<<时，()0f x '<，()f x 在(),1-∞-，()ln 2,a +∞上单调递增，在()1,ln 2a -上单调递减，所以()f x 在1x =-处取得极大值()111e e f a -=-+=，得2e a =，综上得，2e a =.故答案为：2e4．已知函数()()22e 2xk f x x x kx =-+-，若1x =是函数()f x 在区间()0,∞+上的唯一极值点，则实数k 的取值范围是______．解析：函数()()22e 2xk f x x x kx =-+-，所以()()()()e 2e 1e x x x f x x kx k x k '--=-+=++，只需满足k e x g x +=)(在),0(+∞上恒无变号零点即可，由于x e 递增，故只需0)(≥x g 恒成立即可，综上：1k ≥-，故答案为：[)1,∞-+.5.（2016山东卷）设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，x R ∈（1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围.解法1：分类讨论(2)由(1)知，()'10f =.若0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在1=x 处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当(0,1)x ∈时，()'0f x <，1(1,)2x a∈，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意。
第四讲 已知函数极值求参数范围或证明不等式(学生版)
全国卷·北清状元全过卷大学—北清状元导数的应用1导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值．(2)利用导数证明不等式或探讨方程的根．(3)利用导数求解参数的范围或值.模块一导数的应用模块二解析几何模块三立体几何第四讲已知函数极值（点）求参数范围或证明不等式求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点()f x在0x x=处可导，那么x x=为()f x的一个极值点⇒()0'0f x=说明：①前提条件：()f x在x x=处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出x x=为()f x的一个极值点，例如：3y x=在()0,0处导数值为0，但0x=不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x=在()0,0处不可导，但是0x=为函数的极小值点）（1）筛选：令()'0f x=求出()'f x的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 导数的应用(Ⅰ)
解 (1)由已知f′(x)=3 -a,x2 ∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f′(x)=3 -ax≥2 0在(-∞,+∞)上恒成立， 即a≤3 x在2 x∈R上恒成立. ∵3 x≥2 0,∴只需a≤0. 又a=0时，f′(x)=3 ≥x20,f(x)= -1在x3R上是增函数， ∴a≤0. (2)由f′(x)=3 -ax≤2 0在(-1,1)上恒成立，得a≥3 在x∈x2(-1,1)上恒成立. ∵-1＜x＜1,∴3 ＜3,∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)=x32 -a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0, 即f(x)在（-1,1）上为x减2 函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
学后反思 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便， 但应注意f′(x)>0 ［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条 件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应 是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区 间内都不恒等于0.这就是说， 函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时， 应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用 不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0， 若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0 ［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.
由极值求参数的值的方法
由极值求参数的值的方法方法一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
基准1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。
求解：由算术平方根的性质，言√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的值域为{y∣y≥3｝.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
本题通过轻易观测算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的带发修行，简便清了，算是一种巧法。
练：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)方法二.反函数法当函数的反函数存有时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
指点：先求出来原函数的反函数，再算出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈r｝。
评测：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件就是原函数存有反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案：函数的值域为{y∣y1｝)方法三.分体式方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域基准3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
求解：由-x2+x+2≥0,所述函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域就是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
分体式方法就是数学的一种关键的思想方法。
练：求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})方法四.判别式法若可以化成关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,需用判别式法求函数的值域。
专题18 利用函数的极值求参数值(解析版)
专题18利用函数的极值求参数值一、单选题1．若函数()xf x e ax =-的极值为1，则实数a 的值为（）A ．eB ．2CD ．1【答案】D 【分析】对a 分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合函数()xf x e ax =-的极值为1，可求得实数a 的值.【详解】由已知可得()xf x e a '=-.当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，此时函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 无极值；当0a >时，令()0f x '<，可得ln x a <，此时函数()f x 单调递减；令()0f x '>，可得ln x a >，此时函数()f x 单调递增.所以，函数()xf x e ax =-的极小值为()ln ln ln ln 1af a ea a a a a =-=-=，令()ln g a a a a =-，则0a >且()11g =，()ln g a a '=-.当01a <<时，()0g a '>，函数()g a 单调递增；当1a >时，()0g a '<，函数()g a 单调递减.所以，()()10g a g ≤=，由于()ln 1g a a a a =-=，1a \=.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算能力，属于中等题.2．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >【答案】B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围．【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=，x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >．故选：B ．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．3．若0m >，0n >，且函数32()823f x x mx nx =--+在1x =处有极值，则mn 的最大值等于（）.A ．16B ．25C ．36D ．49【答案】C 【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到(1)24220f m n '=--=，再结合基本不等式，即可得出结果.【详解】因为32()823f x x mx nx =--+，所以2()2422f x x mx n '=--，又函数32()823f x x mx nx =--+在1x =处有极值，所以(1)24220f m n '=--=，即12m n +=，因为0m >，0n >，所以2362m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当6m n ==时，等号成立.故选：C.4．若函数32()()f x x ax x x =++∈R 不存在极值点，则a 的取值范围是（）A ．a <或a >B ．a ≤a ≥C ．a <<D ．a ≤≤【答案】D 【分析】由已知条件得2()3210f x x ax '=++=只有一个实数根或没有实数根，从而24120,a =-≤ 由此能求出a 的取值范围.【详解】32()f x x ax x =++ ，2()321f x x ax '∴=++32()2f x x ax x =+++ 在定义域内不存在极值，2()3210f x x ax '∴=++=只有一个实数根或没有实数根，24120a ∴∆=-≤，a ≤≤故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.5．函数cos ()xx a f x e-=在2x π=处取得极值，则（）A ．1a =，且2π为极大值点B ．1a =，且2π为极小值点C ．1a =-，且2π为极大值点D ．1a =-，且2π为极小值点【答案】B 【分析】先求导，再根据题意得(02f π'=，由此求得1a =，再根据导数研究函数的极值．【详解】解：∵cos ()xx af x e-=，∴sin cos ()xx x a f x e--+'=4xx ae π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，又()f x 在2x π=处取得极值，∴21(02a f eππ-+'==，得1a =，∴14()xx f x e π⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=，由()0f x '<得，104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即sin 42x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴322,444k x k k Z πππππ+<+<+∈，即22,2k x k k Z πππ<<+∈，同理，由()0f x '>得，22,2k x k k Z ππππ+<<+∈，∴()'f x 在2x π=处附近的左侧为负，右侧为正，∴函数()f x 在2x π=处取得极小值，故选：B ．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．6．已知321()(4)(0,0)3f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则11a b+的最小值是（）A．2B ．2C ．332D ．2213+【答案】D 【分析】求导()2'24f x x ax b =++-，根据极值点得到23a b +=，()1111123a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】()()32143f x x ax b x =++-，故()2'24f x x ax b =++-，根据题意()'11240f a b =++-=，即23a b +=，经检验()f x 在1x =处取得极值.()()1111112123313333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2b aa b ==，即632,32a b -==时，等号成立.故选：D .【点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7．若函数()()2122ln 2ax f x a x x =+--在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．()2,1--D ．(),2-∞-【答案】C 【分析】求出()f x '，根据()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有极小值可得()f x '的图象性质，从而可求a 的取值范围.【详解】()()2122212ax a x f x ax a x x+--'=+--=，由题意()f x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，且在该零点的左侧附近，有()0f x '<，右侧附近有()0f x '>.则()()2122ax a x x h +--=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，且在该零点的左侧附近，有()0f x '<，右侧附近有()0f x '>.当0a >时，()h x 为开口向上的抛物线且()02h =-，故()102100h h a ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪>⎪⎪⎩，无解.当0a =，则()20h x x =-<，舍.当0a <，()h x 为开口向下的抛物线，其对称轴为1211122a x a a-=-=->，故()102100h h a ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪<⎪⎪⎩，解得21a -<<-.故选：C.【点睛】本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题.8．已知函数()32f x x ax =-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx =+在()3,1a --上的极小值不大于1m -，则实数m 的取值范围是（）A ．159,4⎛⎤--⎥⎝⎦B ．159,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．154⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，D ．()9-∞-，【答案】A 【分析】对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解即可.【详解】∵2()3f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 无极值；当0a >时，()0,(,)f x x '>∈-∞+∞,()0,(()f x x f x '<∈的递增区间是(,)-∞+∞,递减区间是(，()f x在x =则有224f +⎛= ⎝+=+=，解得3a =，于是()3()32g x x m x =+-+，2()3(3)g x x m '=+-.当30m -≥时，()0g x '≥，()g x 在(3,2)-上不存在极小值.当30m -<时，()g x在(单调递减，在)+∞单调递增，所以()g x在x =(22g m =+-+=+依题意有32,21,m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即304,33,2m -⎧<<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得1594m -<≤-.故选：A.【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.9．已知函数2()()f x x x c =-在2x =处取极大值，则c =（）A ．－2或－6B ．2或6C ．6D ．2【答案】C 【分析】由题意可知'(2)0f =，从而可求得c 的值，然后再验证在x ＝2处是否取得极大值即可【详解】解：由2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，得'22()34f x x cx c =-+，因为函数2()()f x x x c =-在2x =处取极大值，所以'(2)0f =，即28120c c -+=，解得2c =或6c =，当2c =时，'2()384(2)(32)f x x x x x =-+=--，令'()0f x >，得23x <或2x >，令'()0f x <，得223x <<，所以()f x 在23x =处取得极大值，在2x =处取得极小值，所以2c =不合题意，当6c =时，'2()324363(2)(6)f x x x x x =-+=--，令'()0f x >，得2x <或6x >，令'()0f x <，得26x <<，所以()f x 在2x =处取得极大值，在6x =处取得极小值，所以6c =，故选：C 【点睛】此题考查由函数的极值点求参数，考查导数的应用，属于基础题10．已知a 为常数，函数()212e 1+2xf x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（）A ．0a <B ．01a <<C ．()15f x >D ．()23f x >【答案】C 【分析】求导得()2e xf x ax a '=--，令()2e xg x =，()()1h x a x =+，转化条件为要使函数()g x 、()h x 的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得2a >；数形结合可得当()12,x x x ∈时，函数()f x 单调递减，且120x x <<，即可得()15f x >、()23f x a <+，即可得解.【详解】因为()2e xf x ax a '=--，所以若要使函数()f x 有两个极值点，则()f x '有两个零点，令()2e xg x =，()()1h x a x =+，则要使函数()g x 、()h x 的图象有两个不同交点，易知直线()()1h x a x =+恒过点()1,0-，()2e xg x '=，在同一直角坐标系中作出函数()g x 、()h x的图象，如图，当直线()()1h x a x =+与函数()2e xg x =的图象相切时，设切点为()00,2ex x ，则002e 2e 1x x a x ==+，所以00x =，2a =，所以当且仅当2a >时，函数()g x 、()h x 的图象有两个不同交点，所以若要使函数()f x 有两个极值点，则2a >，故A 、B 错误；当2a >时，由图象可得当()12,x x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且120x x <<，所以()()1035f x f a >=+>，()()203f x f a <=+，故C 正确，D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、极值及函数与方程的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.二、解答题11．已知函数()()2xf x x e ax =--（e 为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上恰有一个零点；（2）若函数()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()1,0-.【分析】（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；（2）对()f x 求导，得()()1x f x x e a '=--，构造函数()()1xg x x e =-，利用导数的性质求出参数a 的范围即可【详解】（1）法一：易得：()()2xf x x e =-，∴()()21f x x e '=-，令()0f x >′，∴1x >，令()0f x <′，∴1x <，∴()f x 在()0,1上单调递减，且()0f x <；在()1,+∞上单调递增且有()10f e =-<，()330f e =>，故命题获证.法二：易得：()()2xf x x e =-，0x e >恒成立，∴()()2x f x x e =-有唯一零点2x =.（2）易得()()1xf x x e a '=--，令()()1xg x x e =-得()xg x xe '=，x(),0-∞0()0,∞+()g x '-+()g x ↓1-↑∴()g x 在(),0-∞上单调递减且()10g x -<<；在()0,∞+上单调递增且有()220g e =>，∵函数()f x 有两个极值点，∴()1,0a ∈-.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求导得到()()1xf x x e a '=--后，构造函数()()1xg x x e =-，并通过对()g x 通过求导得到奇函数的极值点，进而求出a 的范围，难度属于中档题12．已知函数()3212f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若当[]1,2x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围；（Ⅲ）对任意的[]12,1,2x x ∈-，()()1272f x f x -≤是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2b =-；（Ⅱ）c 的取值范围是()(),12,-∞-+∞ ．（Ⅲ）成立，证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意得f （x ）在x ＝1处取得极值所以f ′（1）＝3﹣1+b ＝0所以b ＝﹣2．（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g （x ）的最大值，则有c 2＞2+c ，解得：c ＞2或c ＜﹣1．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立，等价于|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min72=．【详解】（Ⅰ）∵f （x ）＝x 312-x 2+bx +c ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ．∵f （x ）在x ＝1处取得极值，∴f ′（1）＝3﹣1+b ＝0．∴b ＝﹣2．经检验，符合题意．（Ⅱ）f （x ）＝x 312-x 2﹣2x +c ．∵f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），当x ∈（﹣1，23-）时，f ′（x ）＞0当x ∈（23-，1）时，f ′（x ）＜0当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0∴当x 23=-时，f （x ）有极大值2227+c ．又f （2）＝2+c 2227+＞c ，f （﹣1）12=+c 2227+＜c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最大值为f （2）＝2+c ．∴c 2＞2+c ．∴c ＜﹣1或c ＞2．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立．由（Ⅱ）可知，当x ＝1时，f （x ）有极小值32-+c ．又f （﹣1）12=+c 32-+＞c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最小值为32-+c ．∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=，故结论成立．【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a 恒成立等价为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤a13．设函数()()x f x e ax a a R =-+∈，其图像与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12x x <．（I ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭．【答案】（I ）2a e >；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（I ）先求出()f x '，易得当0a ≤不符合题意；当0a >时，当ln x a =时，()f x 取得极小值，所以()ln 0f a <，得到a 的范围，再由()10f >，()3ln 0f a >，结合零点存在定理，得到答案.（Ⅱ）由题意，12120,0,x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩，两式相减，得到2121x x e e a x x -=-，记()2102x x s s -=>，将122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭转化为()g s ，再由导数求出其单调性，从而得到1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭.【详解】（I ）解：因为(),xf x e ax a a R =-+∈，所以()xf x e a '=-.若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，()f x 的图像与x 轴至多有一个交点，这与题设矛盾.所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值.因为函数()()xf x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于两点()1,0A x ，()()212,0B x x x <，所以()()ln 2ln 0f a a a =-<，即2a e >.此时，存在1ln a <，()10f e =>；存在3ln ln a a >，又ln a a>()33ln 3ln f a a a a a =-+232353024a a a a a ⎡⎤⎛⎫>-+=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又()f x 在R 上连续，故2a e >.（Ⅱ）证明：因为121200x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩，两式相减得2121x x e e a x x -=-.记()2102x x s s -=>，则12122121212122222121212x x x x x x x xx x x x e e ef e x x e e x x x x ++---⎡⎤⎛⎫+-⎛⎫'=-=---⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()12222x x s s e s e e s +-⎡⎤=--⎣⎦，设()()2ssg s s e e-=--，因为0s >，所以1,0ss ee ->>，2s s e e -+≥=，当且仅当s se e -=时，即1,0s s e e s -===，而0s >，所以2s s e e -+>，则()()20ssg s e e-'=-+<，所以()g s 是单调减函数，则有()()00g s g <=，而12202x x e s+>，所以1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：已知函数的零点情况求参数的取值范围，通常通过研究函数的单调性，进一步研究函数的值域，再解不等式求得参数的范围；证明函数值恒小于零，通过换元法构造新函数，再研究新函数的单调性和值域即可证明，不过这类题涉及知识点多，难度大.14．已知函数321()1()32x a f x x ax a R +=-++∈.（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（2）当2a <时，[]12,0,2x x ∀∈，()()1223f x f x -≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）2；（2）15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由解析式得到导函数()f x ¢，结合2x =是函数()f x 的一个极值点，()20f '=即可求a 的值；（2）由题设分析知，在[]0,2x ∈内有()()max min 23f x f x -≤，结合已知2a <，讨论0a ≤、01a <<、1a =、12a <<分别求a 的范围，然后求并集即可.【详解】解：（1）由函数解析式知：()()21f x x a x a '=-++，由题意，得()()24210f a a '=-++=，故2a =.经检验，2a =满足题意.（2）由已知，当2a <时，只需[]0,2x ∈，()()max min 23f x f x -≤.()()()()211f x x a x a x x a '=-++=--.①当0a ≤时，()f x 在[]0,1单减，在[]1,2单增.所以()()min 5162a f x f ==+，而()01f =，()523f =，故()max 53f x =.所以()()max min 5523623f a x f x =--≤-，解得13a ≥（舍去）.②当01a <<时，()f x 在[]0,a 单增，在[],1a 单减，在[]1,2单增.由于()()2203f f -=，所以只需()()()()210f a f ff ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即()()2144013a a a a ⎧+-+≥⎪⎨≥⎪⎩，所以113a ≤<.③当1a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 在[]0,2单增，所以()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，满足题意.④当12a <<时，()f x 在[]0,1单增，在[]1,a 单减，在[],2a 单增.由于()()2203f f -=，所以只需()()()()120f f f a f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即533a a ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，所以513a <≤.综上，知：15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当0x x =有极值则0()0f x '=，即可得有关参数的方程；（2）[]12,,x x a b ∀∈，()()1223f x f x -≤恒成立转化为[],x a b ∈，()()max min 23f x f x -≤；15．已知函数()xxe f x ae b x=+⋅，,,a b R ∈且0a >（1）若函数()f x 在12x =处取得极值，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，令1()()2ln g x f x x x=--，求()g x 的单调区间；【答案】（1）()2xxe f x e x=+；（2）()g x 的单调递减区间为1(0,2，单调递增区间为1(,)2+∞.【分析】（1）求出导函数()'f x ，由102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可解得,a b ，得函数解析式；（2）求出()'g x ，然后求出()0g x '=的解，确定()'g x 的正负，得单调区间．【详解】（1）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 2(1)()x xe xf x ae b x -'=+由已知可得：1()2021(22f f ⎧=⎪⎪⎨'⎪==⎪⎩2024a b a b -=⎧⇒⎨+=⎩解得2,1a b ==，经检验：2,1a b ==符合题意()2xxe f x e x=+（2）1()22ln x xe g x e x x x=+--的定义域为(0,)+∞222(1)21(21)()2((1)1)x xx e x x g x e x e x x x x--'=+-+=+-由于(1)1x y x e =+-满足(2)0(0)x y x e x '=+>>故：(1)1x y x e =+-在(0,)+∞上单增，故：当0x >时，(1)10x y x e =+->恒成立故1()02g x x '=⇒=x1(0,)2121(,)2+∞()'g x -+()g x 单调递减单调递增故：()g x 的单调递减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2+∞【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求单调区间，解题基础是掌握导数的运算法则，求出导函数．再根据导数与极值、单调性的关系求解．16．设函数()2ln f x x x ax=-（1）若函数()f x 有两个极值点，求a 实数的取值范围；（2）设()()()2f x g x ax x x=--，若当0a <时，函数()g x 的两个极值点1x ，2x 满足12x x <，求证：()294g x >.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到()ln 12f x x ax '=+-在()0,∞+上有两个零点，即ln 12x a x +=在()0,∞+上有两个不等实根，设()ln 1x h x x +=，0x >，得到函数()ln 1x h x x+=与直线2y a =在()0,∞+上有两个不同交点，对函数()ln 1x h x x+=求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果；（2）对函数()g x 求导，根据题中条件，由韦达定理，得到1212x x +=，求出21142x <<得到()22211ln 242x x g x ---=，21142x <<，设()1ln 42T x x x =---，1142x <<对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，可知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 12f x x ax '=+-在()0,∞+上有两个零点，即方程ln 12x a x+=在()0,∞+上有两个不等实根，设()ln 1x h x x+=，0x >，因此函数()ln 1x h x x+=与直线2y a =在()0,∞+上有两个不同交点，又()()221ln 1ln x xh x x x-+'==-，由()0h x '>得01x <<；由()0h x '<得1x >；则函数()ln 1x h x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；则()()max 11h x h ==；又当1x e >时，()0h x >，当10x e<<时，()0h x <；为使函数()ln 1x h x x+=与直线2y a =在()0,∞+上有两个不同交点，只需021a <<，解得102a <<，即实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）证明：因为()()()()22ln 0f x g x ax x ax ax x x x=--=-->，∴()21212ax ax g x ax a x x--'=--=，由()0g x '=的两根为1x ，2x ，故可得1212x x +=，因为12x x <，所以214x >，又()22222210ax ax g x x --'==，所以222102a x x =<-，解得2102x <<，∴21142x <<，∴()()222222222221ln ln 2x x g x ax ax x x x x -=--=--22222111ln ln 21242x x x x x -=-=----，21142x <<，设()1ln 42T x x x =---，1142x <<，则()()()()()()222214111451212121x x x x T x x x x x x x ---+'=-+=-=----，当1142x <<，()0T x '>，()T x 是增函数；所以()11ln 424T x T ⎛⎫>=+>⎪⎝⎭；因此()22211159ln 2242224g x x x =-->+=>-.【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型.17．已知函数3()31f x x ax =--在1x =-处取得极值．（1）求实数a 的值．（2）当[2,0]x ∈-时，求函数()f x 的最小值．【答案】（1）1；（2）3-.【分析】（1）()f x 在1x =-处取得极值，则(1)0f '-=可求出a 的值；（2）求出函数在[]2,0-上的单调区间，从而得出函数的最小值；【详解】解：（1）由32()31()33f x x ax f x x a '=--⇒=-，∵函数3()31f x x ax =--在1x =-处取得极值，∴(1)330f a '-=-=，解得1a =，当1a =时，2()33f x x '=-，令()0f x '>，得1x <-或1x >，令()0f x '<，得11x -<<，∴函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减，∴()f x 极大值(1)1f =-=，()f x 极小值(1)3f ==-∴1a =符合题意．（2）由（1）得()f x 在[]2,1--上单调递增，在[]1,0-上单调递减；()f x 极大值(1)1f =-=，()f x 极小值3=-，且(2)3f -=-，∴当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值为：(2)(1)3f f -==-．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，属于中档题.18．设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．【答案】（1）12a =；（2）()1,+∞.【分析】（1）利用导数的几何意义可得()20f '=，即可得答案；（2）利用极值的定义对a 分0a =、0a >、0a <三种情况进行讨论；【详解】解：（1）∵()()23132e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，∴()()211e xf x ax a x '⎡⎤=-++⎣⎦，∴()()2221e 0f a '=-=，∴12a =．（2）()()()11e =--'xf x ax x ．①当0a =时，令()0f x '=，得1x =，()f x '、()f x 随x 变化如下表：x(),1-∞1()1,+∞()f x '+0-()f x极大值∴()f x 在1x =处取得极大值（舍去）．②当0a >时，令()0f x '=得11x a=，21x =．（ⅰ）当12x x =，即1a =时，()()21e 0=-'≥x f x x 在R 上单调增，∴()f x 无极值（舍）．（ⅱ）当12x x >，即01a <<时，()f x '，()f x 随x 变化如下表：x(),1-∞111,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-+()f x极大值极小值∴()f x 在1x =处取极大值（舍）．（ⅲ）当12x x <，即1a >时，()f x '，()f x 随x 变化如下表：x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '+0-+()f x极大值极小值∴()f x 在1x =处取极小值即1a >成立．③当0a <时，令()0f x '=得11x a=，21x =．x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-0+0-()f x极小值极大值∴()f x 在1x =处取极大值（舍）．综上所述：a 的取值范围为()1,+∞．【点睛】本题考查导数的几何意义、极值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+-+.（1）当1a =-时，求证：()f x 恰有1个零点；（2）若()f x 存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）151,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）先求导，根据导数和函数最值得关系求出最值，即可判断；（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，函数()2ln f x x x x =-+的定义域为(0,)+∞,可得()()()421112121x x x x f x x x x x+--++'=-+==-，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数取得最大值，最大值()()max 10f x f ==，所以函数()f x 恰有1个零点.（2）由函数()()3ln 21f x x ax a x =+-+，其中(0,)x ∈+∞，可得()()2212(21)1(21)(1)321ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=+-+==，①当0a ≤时，令()0f x '=，解的1x =，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数取得极大值，极大值为()110f a =--<，解得1a >-，所以10a -<≤.②当0a >时，令()0f x '=，解的1x =或12x a=，若112a>时，即102a <<时，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当112x a<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当12x a>时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；即函数()f x 在区间1(0,1),(,)2a +∞上单调递增，在1(1,2a单调递减，当1x =时，函数取得极大值，极大值为()110f a =--<，解得1a >-，所以102a <<；若112a =时，即12a =时，可得()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞单调递增，函数无极值；若112a <时，即12a >时，当102x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当112x a<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；即函数()f x 在区间1(0,)2a +∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减，当12x a=时，函数取得极大值，极大值为()()11111ln 12ln 21022424f x f a a a a a a a ⎛⎫==+-+⨯=---< ⎪⎝⎭极大值恒成立，所以12a >.综上所述，函数()f x 存在极大值，且极大值小于0，则a 的取值范围为111,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的综合应用，其中解答中熟记导数与函数间的关系，着重考查导数的应用，以及分类讨论思想，属于中档试题.20．已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.（1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围；（2）若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a ∈-；（2）()f x 有3个零点.【分析】（1）先求导得2sin )(1)(a g x x x '=--+，求出2()0(1)a g ππ'=-<+()4sin 425a g '=--，再由sin 4025a --≤和sin 4025a-->两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b π-时零点的个数情况，再分(,(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可.【详解】解：（1）当1b =时，si ()(l )n 1n f x a x x =++，cos 1()()x x ag f x x '==++，2sin )(1)(a g x x x '=--+()0a >在(),4π是增函数，2()0(1)a g ππ'=-<+，(4)sin 425a g '=--，当(4)sin 4025ag '=--≤时，()g x 在(,4)π是减函数，无极值；当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得00()g x '=，从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以()0,25sin 4a ∈-（2）当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,2b e π∈-，可知，（i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-，1()cos f x x x b'=-+，（ii ）(,)2x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减，()1ln()1ln(02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，()0f s =；（iii ）当(,)2x b π∈-，21()sin ()f x x x b ''=-++是减函数，且21(0)00f b ''=+>，21(102()2f b ππ''=-+<+则1(0,)2x π∃∈，1()0f x ''=，()f x '在1(,)b x -是增函数，1()2x π，是减函数，并且lim ()0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1()022f b ππ'=-<+，所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=；3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知()f x ()f x 在()2,b x -减，在()23,x x 增，在3(,)2x π减，又因为()lim 0x b x f +→->，()00ln 0f b =-<，(02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =，(0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．设函数()()1xe f x a x x=--，其中R a ∈.（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在()2,1--上有极大值，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）y e =；（Ⅱ）223,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得()()21x e x f x a x -'=-，令()()21x e x g x a x -=-，则()()2322x e x x g x x -+'=，则可证明()0g x '<在()2,1x ∈--上恒成立，则()g x 在()2,1--递减，即()f x 在()2,1--上单调递减，若函数()f x 在()2,1--上有极大值，则只需()()2010f f ⎧->⎪⎨-<''⎪⎩即可.【详解】（Ⅰ）由题意()xe f x x =，求导得()()21x e x f x x-'=.所以()l f e =，()l 0f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,l f 处的切线方程为y e =.（Ⅱ）()()21x e x f x a x-'=-，令()()21x e x g x a x -=-，则()()2322x e x x g x x -+'=.因为对于()2,1x ∀∈--，()()23110x e x g x x⎡⎤-+⎣⎦'=<恒成立，所以()g x 在()2,1--上单调递减，即()f x 在()2,1--上单调递减，因为()f x 在()2,1--上有极大值，所以()f x 在()2,1--上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需()()20,10,f f ⎧->⎪⎨-<''⎪⎩，即230,4210.a e e⎧-->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩所以2234a e e-<<-.所以函数()f x 在()2,1--上有极大值时，a 的取值范围为223,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解，考查根据函数的极值点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时分析清楚函数的单调性是核心.22．已知函数2()x f x e e =+.（1）求函数2()f x e在2x =处的切线方程；（2）若不等式2()()f x y f x y me x ++-≥对任意的[0,),[0,)x y ∈+∞∈+∞都成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）0x y -=；（2）(,2]-∞.【分析】(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;(2)根据题意可得222x y x y e e e me x +-++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，当0x =时,显然成立;当0x >时,设2()2x y x y g x e e e +-=++，问题即转化为2()g x me x ≥恒成立,只需要[]2min ()g x me x ≥即可,因为22=)22(2x x g x e e e e ++≥⨯(当且仅当0y =时取等号)，即满足2222xe e me x +≥即有2222222x x e e e e m e x e x ++=⋅≥对(0,)x ∈+∞恒成立,构造2()x e eh x x+=,通过求导判断函数的单调性求最小值,即可求得m 的取值范围.【详解】（1）设2222()()1x x f x e e e t x e e e +===+，则2'()xe t x e =，当2x =时，22(2)12e t e =+=，22'(2)1e t e==，∴函数()f x 在2x =处的切线方程为22y x -=-，即0x y -=.（2）根据题意可得222x y x y e e e me x +-++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，当0x =时，不等式即为220y y e e e -++≥，显然成立；当0x >时，设2()2x y x y g x e e e +-=++，则不等式222x y x y e e e me x +-++≥恒成立，即为不等式2()g x me x ≥恒成立，∵()2222()22222x y x y x y y x x g x e e e e e e e e e e e +--=++=++≥⨯+=+(当且仅当0y =时取等号)，∴由题意可得2222xe e me x +≥，即有2222222x x e e e e m e x e x++=⋅对(0,)x ∈+∞恒成立，令2()x e e h x x +=，则2222()(1)'()x x x xe e e x e e h x x x-+--==，令()0h x '=，即有2(1)0x x e e --=，令2()(1)x m x x e e =--，则()(1)x x x m x e x e xe '=+-=，当0x >时，()0x m x xe '=>，()m x ∴在(0,)+∞上单调递增，又22(2)(21)0m e e =--= ，2(1)0x x e e ∴--=有且仅有一个根2x =，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，∴当2x =时，()h x 取得最小值，为222(2)2e e h e +==，∴2222m e e ⨯=≤．∴实数m 的取值范围(,2]-∞【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数恒成立问题求解参数范围,考查转化与化归思想,考查计算能力,综合性较强,难度困难.23．已知函数()=e (ln 1)()x f x a x a R -+∈.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)(e )y a x =-；(Ⅱ),e)2.【分析】（1）由题意()e xaf x x'=-，因为(1)e f a =-，(1)e f a '=-，利用点斜式方程即可求解切线的方程；（Ⅱ）由()e xaf x x'=-，分0a ≤和0a >讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a 的取值范围．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()xa e xf x =-'．（Ⅰ）因为()1e f a =-，()1e f a '=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()()e e 1y a a x --=--，即()e y a x =-．（Ⅱ）()xa e xf x =-'．（ⅰ）当0a ≤时，对于任意1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，都有()0f x '>，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，没有极值，不合题意．（ⅱ）当0a >时，令()e xa g x x =-，则()2e 0xa g x x=+>'．所以()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，即()f x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，等价于()10,10.2f f ⎧>⎪⎨⎛⎫< ⎪⎭'⎝'⎪⎩所以e 0,20.a a ->⎧⎪<所以e e 2a <<．所以a 的取值范围是e ,e 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．24．已知函数()ln x e mf x m x x x=++.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1；（Ⅱ）(),e -∞-.【分析】（Ⅰ）()f x 定义域为()0,∞+，求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间即可.（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论①当0m ≥时，②0e m -≤<，③当m e <-时，判断函数的单调性求解函数的极值即可.【详解】解：（Ⅰ）()f x 定义域为()0,∞+，当1m =时，()21(1)1()ln ,()x x e x e f x x f x x x x+-'=++=，令()'0f x >得1x >，令()'0f x <得01x <<.所以()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1.（Ⅱ）()2(1)()xe m xf x x+-'=，①0m ≥时，()0,xe mf x +>在()0,1递减，在()1,+∞递增，函数()f x 在1x =处取得极小值，不合题意；②当0e m -≤<时，若()1,x ∈+∞，则0x x e m e e +≥->.此时()0f x >′，函数()f x 在1x =处不可能取得极大值.③当m <-e 时，ln （-m ）>1.函数()f x 在1x =处取得极大值.综上可知，m 的取值范围是(),e -∞-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查已知函数的极值求参数，考查学生的计算能力以及转化能力，属于中档题.25．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-.（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）求函数()y f x =在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值.【答案】（1）1a =-；（2）答案见解析.【分析】（1）求导()'fx ()()211x ax x--+=.由已知得()()()'12110f a =--+=，解得1a =-.再验证，可得答案.（2）由已知得01a <<，求导得()f x 单调性.分102a <≤，1222a <<，212a ≤<三种情况分别求函数()y f x =在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值.【详解】（1）因为()()2ln 2f x x ax a x =-+-，所以函数的定义域为()0,∞+.所以()()()2'122122ax a x f x ax a x x-+-=-+-=()()211x ax x --+=.因为()f x 在1x =处取得极值，即()()()'12110f a =--+=，解得1a =-.当1a =-时，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上()'0f x <，在()1,+∞上()'0f x >，此时1x =是函数()f x 的极小值点，所以1a =-.（2）因为2a a <，所以01a <<，()()()'211x ax f x x-+=-.因为()0,x ∈+∞，所以10ax +>，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.①当102a <≤时，()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()32max ln 2f x f a a a a a ==-+-；②当21212a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即1222a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 12ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭；③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()2532max 2ln 2f x f a a a a a ==-+-.综上所述，当102a <≤时，函数()y f x =在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()y f x =在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值是1ln 24a --；当212a ≤<时，函数()y f x =在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值是5322ln 2a a a a -+-.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值，函数的单调性，以及函数的最值，关键在于分析导函数取得正负的区间，属于较难题.26．已知函数()()()21112ln 2f x ax a x a x =+-+-（0a >）.（1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）14a =；极大值为58-，极小值为1ln212-；（2）答案见解析.【分析】（1）由极值点处导数值为0即可求a 的值，进而得到()f x 的解析式，利用其导函数研究单调区间，求()f x 的极值；（2）利用()f x 的导函数，结合分类讨论确定各种情况下()f x 的单调性；【详解】（1）∵()()()21112ln 2f x ax a x a x =+-+-，∴()()()1210a f x ax a x x -=++'->，由题意知：()()1212212022a f a a a -='=+-+-=，解得14a =，此时()2131ln 842f x x x x =-+，有()()()121314424x x f x x x x--'=-+=，当01x <<和2x >时，()0f x ¢>，()f x 是增函数，当12x <<时，()0f x ¢<，()f x 是减函数，∴函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，()f x 的极大值为()1351848f =-=-，()f x 的极小值为()13112ln2ln212222f =-+=-.（2）由（1）知()()()()2121112a a x x ax a x a a f x x x -⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭=='()0x >，①当120a a -≤，即12a ≥时，则：当01x <<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．②当1201a a -<<，即1132a <<时，则：当120a x a -<<和1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当121a x a -<<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减．③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12a x a ->时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当121a x a -<<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减．④当121a a -=，即13a =时，()0f x ¢³，()f x 在定义域()0,+¥上单调递增．综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1和12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+¥上单调递增；③当1132a <<时，()f x 在区间12,1a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+¥上单调递增；④当12a ≥时()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+¥上单调递增．【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的性质，由极值点与导数的关系求参数，进而求函数的极值，结合分类讨论的方法说明参数在不同范围内函数的单调区间；27．已知函数()()()2xf x ax x a e a R -=++∈（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求a 的值；（2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1a =；（2）1b ≥.【分析】。
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由极值求参数的值的方法
求参数的值的方法主要分为两种：极值法和导数法。
1. 极值法：对于一个函数f(x)，如果f(x) 在x=a 处取得极值，那么该函数在x=a 处的导数值为零，即f'(a)=0。
因此，通过求解方程f'(x)=0，可以得到函数f(x) 在取得极值的点的x 值。
将求得的x 值代入函数f(x) 中，可以得到相应的参数值。
2. 导数法：对于一个函数f(x)，通过求解其一阶导数f'(x) 并令其等于零，可以得到函数f(x) 的临界点（即导数为零的点），这些点可能是函数的极值点或者是拐点。
对于一个多项式函数，它的导函数是一个低一次的多项式函数，可以通过求解多项式函数的根来找到函数的极值点。
然后将极值点代入原函数，可以得到相应的参数值。
需要注意的是，通过极值法和导数法求参数的值时，可能会出现多个解或者无解的情况。
在此情况下，需要根据实际问题的条件和约束来确定参数的取值范围。