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江苏启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合阶段测试(含答案解析)

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九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (200)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (200)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点，且AD ＝CE ，连接BD ，AE 相交于点F ．（1）△BFE 的度数是多少；（2）如果12AD AC =，那么AF BF等于多少； （3）如果1AD AC n=时，请用含n 的式子表示AF ，BF 的数量关系，并证明．【答案】（1）∠BFE ＝60°；（2）AF BF ＝1；（3）1=1AF BF n -．证明见解析. 【解析】【分析】 （1）易证∠ABD ∠∠ACE ，可得∠DAF ＝∠ABF ，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD ＝CD ，BE ＝CE ．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF ＝x ，BF ＝y ，AB ＝BC ＝AC ＝n ．AD ＝CE ＝1，由∠ABD ∠∠CAE ，推出BD ＝AE ，设BD ＝AE ＝m ，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【详解】（1）∠∠ABC 是等边三角形，∠AB ＝AC ，∠BAD ＝∠C ＝60°，在∠ABD 和∠ACE 中，{AB ACBAD C AD CE=∠=∠=，∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ）∠∠DAF ＝∠ABD ，∠∠BFE ＝∠ABD+∠BAF ＝∠DAF+∠BAF ＝∠BAD ＝60°，（2）如图1中，当AD AC ＝12时，由题意可知：AD ＝CD ，BE ＝CE ．∠∠ABC 是等边三角形，BE ＝EC ，AD ＝CD ，∠∠BAE ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°，∠ABD ＝12∠ABC ＝30°， ∠∠FAB ＝∠FBA ，∠FA ＝FB ， ∠AF BF＝1． （3）设AF ＝x ，BF ＝y ，AB ＝BC ＝AC ＝n ．AD ＝CE ＝1，∠∠ABD ∠∠CAE ，∠BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∠∠ADF＝∠BDA，∠∠ADF∠∠BDA，∠AF AD AB BD=，∠1xn m=①，∠∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∠∠BFE∠∠BCD，∠BF BE BC BD=，∠1y nn m-=②，①÷②得到：11xy n=-，∠11 AFBF n=-．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．97．（1）如图1，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN，线段MN与线段AD相交于点T，若AD＝3AT，则tan△ABM＝；（2）如图2，在菱形ABCD中，CD＝6，△ADC＝60°，菱形形内部有一动点P，满足S△PAB＝13S菱形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为．【答案】（1）tan∠ABM＝13；（2）PA+PB的最小值为．【分析】(1)先利用HL证明Rt∠ABM∠Rt∠AND，再证明∠DNT∠∠AMT，可得AMDN＝AT DT ，由AD＝3AT，推出AMDN＝13，在Rt∠ABM中，tan∠ABM＝AMBM＝AMDN＝13；(2) 首先由S∠PAB＝13S菱形ABCD，，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是的直线l上，作A关于直线l的对称点A′，连接AA′，连接BA′，则BA′的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA′中，由勾股定理求得BA′的值，即PA＋PB的最小值.【详解】（1）∠AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，∠Rt∠ABM∠Rt∠AND（HL）．∠∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，∠∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，∠∠DAM＝∠ADN，∠ND∠AM，∠∠DNT∠∠AMT，∠AMDN＝ATDT，∠AT＝13 AD，∠AM DN ＝13， 在Rt ∠ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ＝AM DN ＝13； 故答案为：13； （2）∠四边形ABCD 是菱形，∠AB ＝CD ＝6，连接AC ，BD 交于O ，∠AC ∠BD ，∠∠ADC ＝60°，∠∠CDO ＝30°，∠DO ＝，OC ＝3，∠BD ＝AC ＝6，∠S 菱形ABCD ＝12×6×＝ 设∠ABP 中AB 边上的高是h ，∠S ∠PAB ＝13S 菱形ABCD ，∠12AB •h ＝13×＝∠h ＝∠动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点A ′，连接AA ′，连接BA ′，则BA ′的长就是所求的最短距离．在Rt ∠ABE 中，∠AB ＝6，AA ′＝∠BA ′即PA +PB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、三角形的面积，菱形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．98．如图1，已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴相交于A 、B 两点（A 左B 右），与y 轴交于点C ．其顶点为D ．（1）求点D 的坐标和直线BC 对应的一次函数关系式；（2）若正方形PQMN 的一边PQ 在线段AB 上，另两个顶点M 、N 分别在BC 、AC 上，试求M 、N 两点的坐标；（3）如图1，E 是线段BC 上的动点，过点E 作DE 的垂线交BD 于点F ，求DF 的最小值．（图1） （图2）【答案】（1）(1,4)D ，3y x =-+；（2）912(,)77M ，312(,)77N -；（3． 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D 的坐标；先根据二次函数的解析式可求出B 、C 的坐标，再利用待定系数法可求出直线BC 的一次函数关系式；（2）先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而可设点M 、N 的坐标，再根据正方形的性质（四边相等）列出等式求解即可；（3）先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再设点E 、F 的坐标，利用待定系数法分别求出直线DE 、EF 的一次项系数，然后利用EF DE ⊥列出等式并化简，得出DF 的表达式，由此求解即可得．【详解】（1）2223(1)4y x x x =-++=--+则顶点D 的坐标为(1,4)D当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =则点A 的坐标为(1,0)A -，点B 的坐标为(3,0)B当0x =时，3y =，则点C 的坐标为(0,3)C设直线BC 对应的一次函数关系式为11y k x b =+将点(3,0)B ，(0,3)C 代入得：111303k b b +=⎧⎨=⎩，解得1113k b =-⎧⎨=⎩ 则直线BC 对应的一次函数关系式为3y x =-+；（2）设直线AC 的解析式为22y k x b =+将点(1,0)A -，(0,3)C 代入得：22203k b b -+=⎧⎨=⎩，解得2233k b =⎧⎨=⎩ 则直线AC 的解析式为33y x =+设点M 的坐标为(,3)M m m -+，点N 的坐标为(,33)N n n +四边形PQMN 是正方形，PQ 在线段AB 上//,MN PQ MN MQ NP ∴==,3,33MN m n MQ m NP n ∴=-=-+=+则有3333m n m m n -=-+⎧⎨-+=+⎩，解得9737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 912333377n m ∴+=-+=-+= 则点M 的坐标为912(,)77M ，点N 的坐标为312(,)77N -； （3）设直线BD 的解析式为33y k x b =+将点(3,0)B ，(1,4)D 代入得：3333304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3326k b =-⎧⎨=⎩ 则直线BD 的解析式为26y x =-+设点E 的坐标为(,3)E e e -+，点F 的坐标为(,26)F a a -+，则03e <<，13a <<1)DF a ∴==-由题意，分以下两种情况：①当1e =时，则(1,2)E ，此时点E 恰好在抛物线的对称轴上EF DE ⊥∴点F 的纵坐标为2，即262a -+=，解得2a =则1)(21)DF a =-=-=②当1e ≠且03e <<时设直线DE 的解析式为44y k x b =+将点(,3)E e e -+，(1,4)D 代入得：444434ek b e k b +=-+⎧⎨+=⎩，解得411e k e +=-- 设直线EF 的解析式为55y k x b =+将点(,3)E e e -+，(,26)F a a -+代入得：5555326ek b e ak b a +=-+⎧⎨+=-+⎩，解得523e a k e a-+-=- EF DE ⊥451k k ∴⋅=-，即12311e e a e e a+-+--⋅=--- 整理得：223331e e a e ++=+则22331)5(1)31e e DF a e ++=-=-+=2(31)2(31)10931e e e +-++=+1012)931e e =++-+ 1e ≠且03e <<13110e ∴<+<且314e +≠对于任意两个正数12,x x都有20≥120x x ∴+-≥，即12x x +≥，当且仅当12x x =时，等号成立设31t e =+（110t <<且4t ≠）则10(2)2)999DF t t =+-≥=，当且仅当10t t =，即=t因此，此时DF又599-===>9>9综上，DF【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了利用待定系数法求出一次函数的解析式、⊥，二次函数的性质、正方形的性质等知识点，较难的是题（3），依据EF DE正确得出点E、F坐标之间的关系等式是解题关键．99．如图，等边△ABC内接于△O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.（1）求△APC和△BPC的度数（2）探究PA、PB、PM之间的关系（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．【答案】（1）∠APC=60°；∠BPC=60°；（2）PM= PA＋PB；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质和同弧所对的圆周角相等即可得出结论；（2）根据平行线的性质可得∠MCP=∠BPC=60°，然后根据等边三角形的判定可得∠CPM为等边三角形，再利用SAS证出∠BCP∠∠ACM，即可得出PB=AM，从而得出结论；（3）过点C作CD∠MP于D，根据（2）的结论和等边三角形的性质求出AM和CD，利用三角形的面积公式即可求出S∠CAM和S∠CAP，然后根据全等三角形的性质可得S∠BCP= S∠ACM，最后根据S四边形PBCM = S∠CAM＋S∠CAP＋S∠BCP即可得出结论．【详解】解：（1）∠∠ABC为等边三角形∠∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC∠∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）PM= PA＋PB，理由如下∠CM∠BP∠∠MCP=∠BPC=60°∠∠M=180°－∠MPC－∠MCP=60°∠∠CPM为等边三角形∠CP=CM，∠PCM=60°∠∠ACB=60°∠∠ACB=∠PCM∠∠BCP=∠ACM在∠BCP和∠ACM中CP CM BCP ACM BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠ACM∠PB=AM∠PM=PA ＋AM=PA ＋PB（3）过点C 作CD ∠MP 于D∠PA=1，PB=2，∠PM=PA ＋PB=3，AM=PB=2∠∠CPM 为等边三角形∠CM=CP=PM=3，∠CD ∠MP∠MD=12PM =32根据勾股定理可得=∠S ∠CAM=12AM CD •= S ∠CAP=124PA CD •= ∠∠BCP ∠∠ACM∠S ∠BCP = S ∠ACM =∠S 四边形PBCM = S ∠CAM ＋S ∠CAP ＋S ∠BCP 4=【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、圆周角定理的推论、全等三角形的判定及性质和三角形的面积，掌握等边三角形的判定及性质、同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键．100．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 、F 为线段AB 上两动点，且45ECF ∠=︒，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．（1）求证：ACE BFC ∆∆∽；（2）试探究AF 、BE 、EF 之间有何数量关系？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）222EF AF BE =+，理由见解析【分析】（1）由已知得出∠A=∠5=45°，再证得∠7=∠ACE ，即可得出∠ACE ∠∠BFC ；（2）将∠ACF 顺时针旋转90°至∠BCD ，由旋转的性质得出CF=CD ，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF ，证得∠DCE=∠2，由SAS 可证∠ECF ∠∠ECD ，得出EF=DE ，证得∠EBD=90°，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∠90ACB ∠=︒，AC BC =，∠545A ∠=∠=︒，∠71145A ∠=∠+∠=∠+︒，12145ACE ∠=∠+∠=∠+︒，∠7ACE ∠=∠，∠ACE BFC ∆∆∽；（2）222EF AF BE =+，理由如下：∠90ACB ∠=︒，AC BC =，∠545A ∠=∠=︒，将ACF ∆顺时针旋转90︒至BCD ∆，如图所示：则CF CD =，14∠=∠，645A ∠=∠=︒，BD AF =，∠245∠=︒，∠133445∠+∠=∠+∠=︒，∠2DCE ∠=∠，在ECF ∆和ECD ∆中，2CF CD DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()ECF ECD SAS ∆∆≌，∠EF DE =，∠545∠=︒，∠90EBD ∠=︒，∠222DE BD BE =+，即222EF AF BE =+．【点睛】本题是相似形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定、旋转的性质等知识；综合性较强，有一定的难度．。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (264)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (264)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，点O是等边三角形PQR的中心，'P，'Q，'R分别是OP，OQ，OR 的中点，则'''P Q R与PQR是位似三角形．此时，'''P Q R与PQR的位似比为________．【答案】1:2【解析】【分析】△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，即△P′Q′R′△△PQR，根据相似比等于P′Q′：PQ，可求得P′Q′=12PQ，从而可求得△P′Q′R′与△PQR的位似比为1：2．【详解】△△P′Q′R′与△PQR是位似三角形△△P′Q′R′△△PQR△相似比等于P′Q′:PQ△P′,Q′,R′分别是OP，OQ，OR的中点△P′Q′=12 PQ△△P′Q′R′与△PQR的位似比为1:2.故答案为1:2.【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是熟练的掌握位似变换相关知识点. 52．如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形 A 1B 1C 1 D 1的面积为______．【答案】45【解析】 由题意可知，1OA OA =11AD A D ，四边形ABCD △四边形A 1B 1C 1D 1，所以11AD A D =1OA OA =13，1111ABCD A B C D S S 四边形四边形=(13)2，即11115A B C D S 四边形=19，则1111A B C D S 四边形=45，故答案为45. 53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 为AB 的中点，P 为BC 上一动点，作PQ ⊥EP 交直线CD 于点Q ，设点P 每秒以1个单位长度的速度从点B 运动到点C 停止，在此时间段内，点Q 运动的平均速度为每秒_____个单位．【答案】43【分析】由题意可证△BEP △△CPQ ，可得BE BP PC CQ =，即CQ ＝(8)3BP BP -＝2(4)163BP --+，即可求CQ 的最大值，则可求点Q 运动的平均速度． 【详解】解：△四边形ABCD 是矩形△AB ＝CD ＝6，△B ＝△C ＝90°，△△BEP+△BPE ＝90°△E 为AB 的中点，△BE ＝3△PQ △EP△△BPE+△CPQ ＝90°，△△BEP ＝△CPQ ，且△B ＝△C ＝90°△△BEP △△CPQ △BE BP PC CQ= △CQ ＝(8)3BP BP -＝2(4)163BP --+ △CQ 的最大值为163△点Q 路程＝2×163＝323 △点Q 运动的平均速度＝323÷（8÷1）＝43 故答案为：43 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数的性质，求出CQ 的最大值是本题的关键．54．如图在正方形ABCD 中，点M 为BC 边上一点，BM 4MC =，以M 为直角顶点作等腰直角三角形MEF ，点E 在对角线BD 上，点F 在正方形外EF 交BC 于点N ，连CF ，若BE 2=，CMF S 3=，则MN =______．【答案】2【解析】分别过点E 、F 作EP △BC ，FQ △BC ，垂足分别为P 、Q ，△△BPE=△EPM=△FQM=△FQN=90°，△EP//FQ ，△△PEM+△EMP=90°，△△EMP+△QMF=△EMF=90°，△△PEM=△QMF ，又△ME=MF ，△△PEM △△QMF ，△PE=MQ ，PM=FQ ，△四边形ABCD 是正方形，△△DBC=45°，△△BPE =90°，△△BEP=45°=△EBP ，△BP=PE=2BE=22⨯=△+PM=+FQ ，△BM=4CM ，S △CMF ＝·2CM FQ =3，△，△，△EP//FQ ，△△EPN △△FQN ，△EP ：FQ=PN ：NQ ， ：3=（-NQ ）：NQ ，△，△MN=NQ+MQ=2=2，故答案为2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.55．如图，在等腰直角⊥ABC 中，AB ＝4，点D 是边AC 上一点，且AD ＝1，点E 是AB 边上一点，连接DE ，以线段DE 为直角边作等腰直角⊥DEF （D 、E 、F 三点依次呈逆时针方向），当点F 恰好落在BC 边上时，则AE 的长是_____．【答案】32或2 【分析】分两种情况：①当△DEF ＝90°时，证明△CDF △△BFE ，得出CF CD DFBE BF EF ===BF 2=，得出CF ＝BC ﹣BF ，得出BE 52=，即可得出答案； ②当△EDF ＝90°时，同①得△CDF △△BFE ，得出CF CD DF BE BF EF ===出BF CD ＝CF ＝BC ﹣BF ，得出BE CF ＝2，即可得出答案．【详解】解：分两种情况：①当△DEF ＝90°时，如图1所示：△△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，△AC ＝AB ＝4，△B ＝△C ＝△EFD ＝△EDF ＝45°，BC AB ＝，DF EF ，△AD ＝1，△CD ＝AC ﹣AD ＝3，△△EFC ＝△EFD+△CFD ＝△B+△BEF ，△△CFD ＝△BEF ，△△CDF △△BFE ，△CF CD DF BE BF EF===△BF2=，△CF ＝BC ﹣BF ＝， △BE52， △AE ＝AB ﹣BE ＝32； ②当△EDF ＝90°时，如图2所示：同①得：△CDF △△BFE ， △CF CD DF BE BF EF ===， △BF CD ＝，△CF ＝BC ﹣BF ＝﹣，△BE CF ＝2，△AE ＝AB ﹣BE ＝2；综上所述，AE 的长是32或2； 故答案为：32或2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (133)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (133)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）如图，l1∥l2∥l3，AB=25AC，DF=10，那么DE=_________________.【答案】4【解析】试题解析：：∵l1∵l2∵l3，∵AB DE AC DF＝．∵AB=25 AC，∵25 ABAC＝，∵25 DEDF＝．∵DF=10，∵2 105 DE＝，∵DE=4．72．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC，过点E作EF EC⊥，交AB于点F，则tan ECF∠=____．【答案】12【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∵A=∠D=90°，∵AE=ED，∵CD=AD=2AE，∵∵FEC=90°，∵∵AEF+∵DEC=90°，∵∵DEC+∵DCE=90°，∵∵AEF=∵DCE，∵∵A=∵D，∵∵AEF∵∵DCE，∵1=2 AE EFDC EC=，∵tan∵ECF=12 EFEC=．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．三、解答题73．如图，在梯形ABCD中，//AB CD，AD=BC，E是CD的中点，BE 交AC于F，过点F作//FG AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当2AD CA CF=⋅时，求证：AB AD AG AC⋅=⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰梯形的性质求得∵ADE ＝∵BCE ，进而证得∵ADE ∵∵BCE ，得出AE ＝BE ，根据平行线分线段成比例定理即可证得结论；（2）先根据已知条件证得∵CAB ∵∵CBF ，证得AB AC BF BC=，因为BF ＝AG ，BC ＝AD ，所以AB AC AG AD=，从而证得AB •AD ＝AG •AC ． 【详解】证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AB ∵CD ，AD ＝BC ，∵∵ADE ＝∵BCE ，在∵ADE 和∵BCE 中AD BC ADE BCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ADE ∵∵BCE ．∵AE ＝BE ，∵FG ∵AB ， ∵AG BF AE BE=， ∵AG ＝BF ．（2）∵AD 2＝CA •CF ， ∵AD CF CA AD=，∵AD ＝BC ， ∵BC CF CA BC=． ∵∵BCF ＝∵ACB ，∵∵CAB ∵∵CBF ． ∵AB AC BF BC=． ∵BF ＝AG ，BC ＝AD ， ∵AB AC AG AD=． ∵AB •AD ＝AG •AC ．【点睛】主要考查了三角形相似的判断和性质，平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是熟练掌握性质定理，并灵活运用．74．如图，抛物线243y ax ax a =-+（0a >），与y 轴交于点A ，在x 轴的正半轴上取一点B ，使2OB OA =，抛物线的对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，连接BC ．（1）求点B ，C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若BCD △与BDE 相似，求a 的值；（3）连接OE ，记OBE △的外心为M ，点M 到直线AB 的距离记为h ，请探究h的值是否会随着a的值变化而变化？如果变化，请写出h的取值范围：如果不变，请求出h的值．【答案】（1）B（6a，0），C（2，a-），（2）1441，，，；（3211134【分析】（1）将抛物线配方为2=--，得出顶点C（2，a-），当x=0时，y a x a(2)y=3a，OA=3a，OB=2OA=6a，即可得出点B坐标；（2）由点B位置不确定分三种情况讨论，若点B在点D的右侧时，若点B在点D的左侧时，若点B与点D重合时，得出1a=此情况不存在，另外∵BCD3与∵BDE相似时有两种情况∵DBC=∵EBD，与∵DCB=∵EBD时利用相似三角形的性质求a的值；（3）由点B位置不确定分三种情况讨论，若点B在点D的右侧时，若点B在点D的左侧时，若点B与点D重合时，利用相似三角形的性质求出MF的长度即可；【详解】（1）22=-+--，y ax ax a a x a43=(2)顶点C坐标为（2，a-），当x=0时，y=3a，A（0，3a），OA=3a，OB=2OA=6a，点B坐标为（6a，0），（2）由（1）知OD=2，OB=6a，BD=6a-2，若点B在点D的右侧时，如图1则6a -20>， ∵13a >， 当∵DBC=∵EBD 时∵tan ∵DBC=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， ∵CD 1=BD 2， ∵1=622a a -， 1=2a ∴，当∵DCB=∵EBD 时，tan ∵DCB=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， BD 1=CD 2， 6-21=2a a ， 411a =， 若点B 在点D 的左侧时，如图2，则1062,03a a <<<<，DB=2-6a ，当∵DBC=∵EBD 时，∵tan ∵DBC=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， ∵CD 1=BD 2， ∵1=262a a -， 1=4a ∴， 当∵DCB=∵EBD 时，tan ∵DCB=tan ∵EBD=OA 1=OB 2， BD 1=CD 2， 2-61=2a a ， 413a =，若点B 与点D 重合时，则62a =，13a ∴=此情况不存在， 综上所述a 的值为1441211134a =，，，； （3）由题意知点M 在OB 和BE 的垂直平分线上，设OB 和BE 的垂直平分线交于点M ，其中OB 的垂直平分线与OB 交于点G ，BE 的垂直平分线交OB 于点H 交BE 于点F ，当点B 在点D 的右侧时，如图362a ∴>，12a ∴>， BD=6-2a ∴，1tan 2EBD ∠=， 1312ED BD a ∴==-， 由勾股定理可求的BE =1BF=2∴1HF=BF=24-∴， 由勾股定理可求：1554a BH -=， 534a HG BG BH -∴=-=， GMH=EBD ∠∠，sin sin GMH EBD ∴∠=∠=，MF MH HF ∴=+= 当点B 在点D 的左侧时如图4，103a ∴<<， BD=OD-OB=2-6a ∴，1tan tan 2ABO DBE ∴∠=∠=， 1132DE BE a ∴==-， 由勾股定理可求的BE =，122BF BE ∴==，12DE BD ∴==， 由勾股定理可求得5154a BH -∴=， 132GB OB a ==， 534a GH GB BH -∴=+=， 90HBF BHF ∠+∠=︒，+=90GMH BHF ∠∠︒，=HBF GMH ∴∠∠，sin sin HBF GMH ∴∠=∠=，MH ∴==，∴=-=MF MH HF当点B与点D重合时，此时1a=，3此情况不符合题意，舍去，综上所述，点M到直线AB【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，抛物线的顶点坐标，分类讨论思想，相似三角形的性质，三角形的外心，锐角三角函数，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法，配方为抛物线的顶点式，求顶点坐标，会用分类思想研究三角形相似的情况，利用相似的性质求a的值，以及外心到AB的距离．本题难度较大，综合较强，是压轴题．75．如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC 所在直线上一点，且D与C不重合，若EC=ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：___.②若AE=2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围:P_____(用含n的代数式表示）．【答案】（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【分析】（1）①过点E作EF∵OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF=FC=3 2，OF=12，即可求OD=1，即可求点D坐标；②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF=DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．【详解】（1）①如图，过点E作EF∵OC，垂足为F，∵EC=ED，EF∵OC∵DF=FC，∵点C的坐标为（2，0），∵AO=CO=2，∵点E是AO的中点，∵OE=1，∵∵AOC=60°，EF∵OC，∵∵OEF=30°，∵OE=2OF=1∵OF=12，∵OC=2，∵CF=32=DF，∵DO=1∵点D坐标（-1，0）故答案为（-1，0）②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∵OC=2．∵AO=OC=2．∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE=2，∵点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，如图，若点E与坐标原点O重合，∵EC=ED，EC=2，∵ED=2．∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，∵D点坐标为（-2，0）如图，若点E在边OA的延长线上，且AE=2，∵AC=AE=2，∵∵E=∵ACE．∵∵AOC为等边三角形，∵∵OAC=∵ACO=60°．∵∵E=∵ACE=30°．∵∵OCE=90°．∵EC=ED，∵点D与点C重合．这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，综上所述：D（-2，0）（2）∵B（n，0），C（n+1，0），∵BC=1，∵AB=AC=1∵2≤AE＜3，∵点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，如图点E在AB的延长线上，过点A作AH∵BC，过点E作EF∵BD∵AB=AC，AH∵BC，∵BH=CH=12，∵AH∵BC，EF∵BD ∵AH∵EF∵AB BHBE BF＝,若AE=2，AB=1∵BE=1，∵AB BHBE BF＝=1∵BH=BF=1 2∵CF=32=DF∵D的横坐标为：n-12-32=n-2，若AE=3，AB=1∵BE=2，∵AB BHBE BF＝=12∵BF=2BH=1∵CF=DF=2∵D的横坐标为：n-1-2=n-3，∵点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2，如图点E在BA的延长线上，过点A作AH∵BC，过点E作EF∵BD，同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．故答案为n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．【点睛】此题考查三角形综合题，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，解题关键在于理解题意作辅助线，是中考压轴题．。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (75)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (75)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）在如图的网格中，小正方形的边长都是1，利用所学知识两种解法求四边形ABCD的面积，写出完整求解过程．【答案】方法一：见解析；方法二：见解析.【解析】【分析】方法一，把不规则的四边形ABCD补成规则图形，常规做法是过A、B、C 构造以网格线为边长的矩形，用矩形面积减去两个小直角三角形和一个矩形的面积和即得到四边形ABCD的面积．方法二，通过连接AC把不规则的四边形ABCD补成△ABC，则四边形面积为△ABC面积减去直角△ACD面积．计算得到AB2＝65，BC2＝52，AC2＝13，满足勾股定理逆定理，即△ABC为直角三角形且△ACB＝90°，易求其面积．【详解】方法一：如图，构造矩形GEFB，△S△GAB＝12GA•GB＝12×1×8＝4，S矩形AECD＝AE•EC＝3×2＝6，S △BCF ＝12CF •BF ＝12×6×4＝12，S 矩形GEFB ＝GE •EF ＝4×8＝32，△S 四边形ABCD ＝S 矩形GEFB ﹣S △GAB ﹣S 矩形AECD ﹣S △BCF ＝32﹣4﹣6﹣12＝10； 方法二：连接AC ，得Rt △ADC ，由图形及勾股定理得：AC 2＝32+22＝13，BC 2＝62+42＝52，AB 2＝82+12＝65，△AC 2+BC 2＝AB 2，△△ACB 为直角三角形且△ACB ＝90°，△S △ACB ＝12AC •BC ＝12，S △ADC ＝12AD •CD ＝12×2×3＝3， △S 四边形ABCD ＝S △ACB ﹣S △ADC ＝13﹣3＝10. 【点睛】本题考查了求三角形面积，勾股定理逆定理．在网格或直角坐标系中，要求不规则图形面积，常规做法是补成规则的三角形或四边形，使补成的三角形或四边形的边长在网格线（或与坐标轴平行的线）上．72．如图，AB 为O 的直径，4AB =，C 为O 上一点，且AC=BC ，P 为BC 上的一动点，延长AP 至Q ，使得2•AP AQ AB =，连接BQ ．（1）求证：直线BQ 是O 的切线；（2）若点P 由点B 运动到点C ，则线段PQ 扫过的面积是__________．（结果保留π）【答案】（1）见解析；（2）6π- 【分析】（1）做辅助线根据2•AP AQ AB =证明ABP AQB ∆∆∽,由相似三角形性质即可解题,（2）作出图像得S 阴影=S △ABQ -S △AOC -S 扇形BOC ,即可解题.【详解】（1）证明：连接PB ．AB 是O 的直径，90APB ∴∠=︒．2•AP AQ AB =，AP ABAB AQ∴=． 在ABP ∆和AQB ∆中，BAP QAB ∠=∠，ABP AQB ∴∆∆∽．90ABQ APB ∴∠=∠=︒，即AB BQ ⊥．AB 是O 的直径，∴直线BQ 是O 的切线．（2）解：6π-．如下图,阴影部分的面积即为线段PQ 扫过的面积, △AB=4,由（1）可得, BQ=4,OC=2,△S 阴影=S △ABQ -S △AOC -S 扇形BOC ,S 阴影=11144224224π⨯⨯-⨯⨯-=6π-.【点睛】本题考查了三角形的相似,切线的证明,不规则图形求面积,中等难度,证明切线是解题关键.73．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程2520x x-+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c++=（a≠0，24b ac-≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1），B（﹣ba ，ca）或A（0，1a ），B（﹣ba，c）等；（4）12bm ma+=-，1212m m n n+=ca．【解析】试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；（2）过点B作BD△x轴于点D，根据△AOC△△CDB，可得，进而得出，即，据此可得m是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．试题解析：（1）如图所示，点D即为所求；（2）如图所示，过点B作BD△x轴于点D，根据△AOC=△CDB=90°，△ACO=△CBD，可得△AOC△△CDB，△，△，△m（5﹣m）=2，△，△m是方程的实数根；（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得，上式可化为，又△，即，△比较系数可得，=．考点：三角形综合题；一元二次方程的解；相似三角形的判定与性质；阅读型；操作型；压轴题．74．如图，在△ABC中，△C=△ABC=2△A，BD△于AC于D，求△DBC的度数．【答案】18【分析】根据三角形的内角和定理与△C=△ABC=2△A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得△DBC的度数．【详解】解：△△C=△ABC=2△A，△△C+△ABC+△A=5△A=180°，△△A=36°．△△C=△ABC=2△A=72°．△BD△AC，△△DBC=90°-△C=18°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的运用，关键是掌握三角形内角和定理：三角形的内角和是180°．75．如图，已知AD BD ⊥，BC AC ⊥，AC BD =，且AC ，BD 相交于点O ．（1）求证：AD BC =；（2）取AB 的中点E ，连接OE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形．【答案】（1）详见解析；（2）ADO BCO ≌，Rt ADB Rt BCA ≌，AOE BOE ≌， ACD BDC ≌．【分析】（1）根据HL 证明Rt △ADB 与Rt △ACB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】 （1）AD BD ⊥，BC AC ⊥，90ADB BCA ∴∠=∠=︒．在Rt ADB 与Rt BCA 中，DB CAAB BA =⎧⎨=⎩，()Rt ADB Rt BCA HL ∴≌，AD BC ∴=；（2）图中所有的全等三角形：由AOD BOCADO BCO AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 可得()ADO BCO AAS ≌，AO BO ∴=，DAO CBO ∠=∠； 由DB CA AB BA =⎧⎨=⎩，可得()Rt ADB Rt BCA HL ≌，ABD BAC ∴∠=∠； 由AO BO OAE OBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 可得()AOE BOE SAS ≌；由AD BC DAC CBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 可得()ACD BDC SAS ≌． 【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据HL 证明Rt △ADB 与Rt △ACB 全等．。

九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案) (131)

九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案) (131)

九年级数学第二十七章相似综合复习试题（含答案） 在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC=2BE ，则BF FD的值是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15【答案】B【解析】解：如图，∵ABCD 是菱形，∵AD ∵BC ，且AD =BC ，∵∵BEF ∵∵DAF ，∵BF BE FD AD = ．又∵EC =2BE ，∵BC =3BE ，即AD =3BE ，∵BF BE FD AD ==13，故选B ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质．关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系．37．已知：如图，DE ∥BC ，AD:DB=1:2，则下列结论不正确的是（）A ．12DE BC =B ．19ADE ABC 的面积的面积∆=∆ C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D ．18ADE BCED ∆=的面积四边形的面积 【答案】A【解析】解：∵DE ∵BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ，∵13DE AD AD BC AB AD BD ===+，∵相似三角形周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，∵B ，C 选项正确，∵四边形BCED 的面积=∵ABC 的面积﹣∵ADE 的面积，∵D 选项正确．故选A ．38．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m【答案】C【解析】 试题分析：栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题：设长臂端点升高x m ， 则0.5116x =， ∵x=8．故选C ．考点：相似三角形的应用．39．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( )A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似，得到的鱼与原来的鱼位似D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以12【答案】C【解析】解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．40．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A．平移B．旋转C．轴对称D．位似【答案】D．【解析】试题分析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选D．考点：位似变换．。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (275)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (275)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案） 如图，□ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F .（1）求证：△EBC △△CDF ；（2）若BC ＝8，CD ＝3，AE ＝1，求AF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）AF=2【分析】（1）根据平行四边形性质证△EAF △△EBC ，△EAF △△CDF .得△EBC △△CDF .（2）由△EAF △△EBC ，得,EA AF EB BC =即1,138AF =+ 【详解】（1）证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AD △BC ，AB △CD .△△EAF △△EBC ，△EAF △△CDF .△△EBC △△CDF .（2）解：△△EAF △△EBC ， △,EA AF EB BC =即1,138AF =+. 解得AF=2.【点睛】相似三角形判定和性质.82．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．=1.414=1.732）【答案】该文化墙PM不需要拆除，见解析【分析】首先过点C作CD△AB于点D，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为1，可得tanα=tan△CAB=3==，然后由特殊角的三角函数值来求AD，BD的长；由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1AD，BD的长，继而求得AB=AD-BD的长，则可求得PA答案．【详解】解：该文化墙PM不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1△tanα3==，△α＝30°．作CD△AB于点D，则CD＝6米，△新坡面的坡度为1，△tan△CADCD6AD AD===，解得，AD＝△坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，△BD＝6米，△AB＝AD﹣BD6）米，又△PB＝8米，△PA＝PB﹣AB＝86）＝14﹣≈14﹣6×1．732≈3．6米＞3米，△该文化墙PM不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键．83．已知，图中正方形网格中每个小正方形边长为一个单位，现在网格中建立如图直角坐标系．（1）画出△ABC以点P为位似中心的位似图形△DEF，并且△DEF与△ABC 的位似比为2 ：1；（2）点A的对应点D的坐标是（_____ ，_____）；（3）若△ABC另一位似图形的顶点坐标分别为（1，－3），（3，－1），（4，－4），则这组位似图形的位似中心坐标为（_____ ，_____）．【答案】（1）画图见解析；（2）（3，2）；（3）（-1，-4）．【解析】试题分析：（1）连接AP、BP、CP并延长到2AP、2BP、2CP长度找到各点的对应点，顺次连接即可．（2）从直角坐标系中读出坐标即可．（3）从图上描出这三点的坐标，并与△ABC的三点对应连接，连线的交点就是位似中心．试题解析：（1）如图：（2）从坐标系中可得：D（3，2）（3）从图中描出如图：从图中可得位似中心的坐标为（-1，-4）．考点：1．作图-位似变换；2．坐标确定位置．∆各顶点的坐标分别为84．如图．已知ABC()()()∆放大为原来的2倍，------．以点О为位似中心．将ABC2,2,5,4,1,5A B C得到111∆并写出点1B的坐标．A B CA B C∆，请在网格中画出111【答案】见解析，点B1的坐标为（10，8）或（-10，-8）．【分析】连接AO，延长AO或OA到A1，使得OA1=2OA，同法作出点B1，C1即可．【详解】解：△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为（10，8）或（-10，-8）．【点睛】本题考查位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．85．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC >，ABC ∠的平分线交AC 于D ，DE BD ⊥交AB 于E ，BDE 的外接圆O 交BC 于F ．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）15AB =，AC 、BC 的长是一元二次方程227120x mx m -+=的两根，求O 的半径；（3）连接DF ，在（2）的条件下求BDF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）△O 的半径为458；（3）24316BFD S =．【分析】（1）由题意可得OD △BC ，从而得到OD △AC ，所以AC 是△O 的切线；（2）由根与系数关系及勾股定理可得AC 、BC 是2211080x x -+=的两根，从而得到AC=12、BC=9，再由OD △BC 可得15915OD OD -=，进一步可得△O 的半径；（3）连接EF ，可得EF △AC ，根据平行线截线段成比例性质可以得到DC 、BF 的值，从而得到△BDF 的面积．【详解】（1）△DE BD ⊥，△BE 是BDE 的外接圆O 的直径．连接OD ，则OD OB =，ODB OBD ∠=∠，又△FBD OBD ∠=∠，△FBD ODB ∠=∠，△//OD BC ，又△90ACB ∠=︒，△OD AC ⊥，△AC 是O 的切线．（2）△AC 、BC 的长是一元二次方程227120x mx m -+=的两根△7m AC BC +=，12m AC BC ⋅=由222AC BC AB +=，得22()2AC BC AC BC AB +-⋅=，△22(7)24225m m -=，解之，得123,3m m =-=．当3m =-时，方程2211080x x ++=必有一根为负，不合题意，舍去． 当3m =时，解方程2211080x x -+=，得1212,9x x ==．△AC BC >，△12AC =，9BC =．△//OD BC ，OD AO BC AB=， △OD AB OD BC AB -=，即15915OD OD -=， 解之，得458OD =． （3）连接EF ，△BE 是O 的直径，△EF BC ⊥，△//EF AC ， △BF BE BC AB=， △452749154BE BF BC AB =⋅=⨯=．△//OD BC，△DC AC OB AB=，△124591582ACDC OBAB=⋅=⨯=．△11279243224216 BFDS BF DC=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查圆的综合运用，熟练掌握直线与圆相切的判定、一元二次方程根与系数的关系、平行线截线段成比例性质、圆直径所对圆周角为直角等性质是解题关键．。

九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案) (218)

九年级数学第二十七章相似综合复习试题(含答案) (218)

九年级数学第二十七章相似综合复习试题（含答案） 如图，矩形ABCD 纸片，E 是AB 上的一点，且:5:3BE EA =，CE =，把BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好与AD 边上的点F 重合，求AB 、BC 的长．【答案】24AB =，30BC =.【解析】【分析】求线段的长度问题，题中可先设其长度为k ，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∵90A B D ∠=∠=∠=，BC AD =，AB CD =，∵90AFE AEF ∠+∠=∵F 在AD 上，90EFC ∠=，∵90AFE DFC ∠+∠=，∵AEF DFC ∠=∠，∵AEF DFC ∽， ∵AE AF DF DC=． ∵:5:3BE EA =设5BE k =，3AE k =∵8AB DC k ==，由勾股定理得：4AF k =， ∵348k k DF k= ∵6DF k =∵10BC AD k ==在EBC 中，根据勾股定理得222BE BC EC +=∵CE =，5BE k =，10BC k =∵222(5)(10)k k +=∵3k =∵824AB k ==，1030BC k ==【点睛】掌握矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形．77．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，CD △AB ，（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；（2）已知AB ＝10，AC ＝8，请你求出CD 的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3对，分别是：∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD ，∵ACD∵∵CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD，∵ABC∵∵CBD；（2）先在∵ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据∵ABC的面积不变得到1 2AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长；（3）由于∵B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与∵ABC相似时，分两种情况进行讨论：①∵PQB∵∵ACB；②∵QPB∵∵ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD，∵ABC∵∵CBD．故答案为3，∵ABC∵∵ACD，∵ABC∵∵CBD，∵ABC∵∵CBD；（2）如图1，在∵ABC中，∵∵ACB=90°，AB=10，AC=8，∵==6．∵∵ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，∵CD=6810AC BCAB⋅⨯==4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与∵ABC相似，理由如下：在∵BOC中，∵∵COB=90°，BC=6，OC=4.8，∵==3.6．分两种情况：①当∵BQP=90°时，如图2①，此时∵PQB∵∵ACB，∵BP BQ AB BC=，∵6106t t-=，解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，∵OQ=OB﹣BQ=3.6﹣2.25=1.35，BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．在∵BPQ中，由勾股定理，得3=，∵点P的坐标为（1.35，3）；②当∵BPQ=90°时，如图2②，此时∵QPB∵∵ACB，∵BP BQ BC AB=，∵6610t t-=，解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．过点P作PE∵x轴于点E．∵∵QPB∵∵ACB，∵PD BQ CO AB=，∵3.754.810 PD=，∵PE=1.8．在∵BPE中，0.45=，∵OE=OB﹣BE=3.6﹣0.45=3.15，∵点P的坐标为（3.15，1.8）；综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理．78．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC中，△ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD△AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD△△ABC，则△ACD与△ABC 的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m ，n ，b 的式子表示）．【答案】（1）12；（2）45；（3）A 、； ；B 、；②． 【解析】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB =5，根据相似比等于AC AB可求得答案；（3）A .①由矩形ABEF ∵矩形FECD ，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b 和1n a ，列出比例式整理即可；B .①分当FM 是矩形DFMN 的长时和当DF 是矩形DFMN 的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=1nb ，然后分当FM 是矩形DFMN 的长时和当DF 是矩形DFMN 的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.解：（1）∵点H 是AD 的中点，∵AH=AD ，∵正方形AEOH ∵正方形ABCD ，∵相似比为：==；故答案为；（2）在Rt ∵ABC 中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∵∵ACD 与∵ABC 相似的相似比为：=， 故答案为；（3）A 、①∵矩形ABEF ∵矩形FECD ，∵AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∵a=b；故答案为②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∵a=b；故答案为B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∵DN=b，∵、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∵矩形ABCD，∵FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∵AF=a﹣a=a，∵AG===a，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；∵、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∵矩形ABCD，∵FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∵AF=a﹣=，∵AG==，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∵DN=b，∵、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∵矩形ABCD，∵FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∵AF=a﹣a，∵AG===a，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；∵、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∵矩形ABCD，∵FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∵AF=a﹣，∵AG==，∵矩形GABH∵矩形ABCD，∵AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为b或b．点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.79．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为（4，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）A2的坐标为______．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）（8，-8）．【解析】【分析】(1)直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;(3)利用(2)中所画图形进而得出点C2的坐标【详解】解：（1）如图所示，∵A1B1C1即为所求；（2）如图所示，∵A2B2C2即为所求；（3）∵A（4，4），∵A1与A关于y轴对称，∵A1的坐标为（-4，4），∵∵A2B2C2是以点O为位似中心，将∵A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到的，∵A2的坐标为（8，-8），故答案为：（8，-8）．【点睛】此题考查作图-位似变换和作图-轴对称变换，掌握作图法则是解题关键80．如图，已知B′C′△BC，C′D′△CD，D′E′△DE.(1)求证：四边形BCDE 位似于四边形B ′C ′D ′E ′；(2)若AB B B''＝3，S 四边形BCDE ＝20，求S 四边形B ′C ′D ′E ′. 【答案】（1）见解析；（2）454【解析】试题分析：（1）由已知条件易得：AD AC C D D E B E B C AD AC CD DE BE BC''''''''='='===，结合四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 中对应顶点的连线相交于点A ，即可得到两个四边形是位似图形的结论；（2）由3AB B B ''=可得34AB AB '=，结合四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 是位似图形即可得到：四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 的相似比为34，结合S 四边形BCDE ＝20，即可求得S 四边形B ′C ′D ′E ′=254. 试题解析：（1）∵B ′C ′∵BC ，C ′D ′∵CD ，D ′E ′∵DE ， ∵AD AC C D D E B E B C AD AC CD DE BE BC''''''''='='===， 又∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 中对应顶点的连线相交于点A ，∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 是位似图形；（2）∵3AB B B''=， ∵34AB AB '=， 又∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 是位似图形，∵四边形B ′C ′D ′E ′和BCDE 的相似比为34， ∵S 四边形B ′C ′D ′E ′：S 四边形BCDE =9：16，又∵S 四边形BCDE ＝20，45 4.∵S四边形B′C′D′E′=。

九年级数学(下)第二十七章相似检测题参考答案(1)

九年级数学(下)第二十七章相似检测题参考答案(1)

第二十七章相似检测题参考答案1.C 解析：本题可以分别求出各边的边长及，，各边的边长，然后比较各边是否都扩大了相同的倍数.2.D 解析：平行四边形中有矩形、菱形、正方形，所以不都相似；等腰三角形中各底角可以不同，所以不都相似；所有的等腰梯形中，两底长度的比例可以不相等，故也不都是相似图形.3.C 解析：等腰直角三角形的三个角是确定的.4.B 解析：两个长方体木块的形状不一定相同.5.D 解析：由图形可得,在和中,,若①或②,根据三角形相似的识别方法有两组对应角相等的三角形相似，知∽；若③，则，又因为，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，知；若④，则，无法依据识别方法说明△ABC∽△ACP.因此，符合三角形相似的条件是①②③，故选D.6.B 解析：由得，∴ .7.A 解析：依据相似多边形的面积比等于相似比的平方解题.由四边形与四边形位似，得四边形与四边形相似.又由四边形与四边形相似得所以选A.8.A 解析：设小刚举起的手臂高出头顶，则9.C 解析:∵，∴ .又∵在,∴∴ .由得，即.10. B 解析：由“相似三角形面积的比等于相似比的平方”得,故选B.11. 解析：解此题的思路有以下几种：（1）由于，因此只需求出的值.∵,∴ ,∴ ,∴.（2）由于可变形为，可运用“设比值法”来求值.设，则,∴∴ .（3）利用合比性质：∵,∴ ,∴ .（4）由已知条件可用含的代数式表示（或用含的代数式表示），再代入求值.∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴12. 解析：设，则.把代入，得13. 解析：已知一个三角形的三边长是6、8、10，与其相似的三角形的最短边长为18.根据相似比的意义可知.本题关键是找准对应边，本题中两个相似三角形的最短边是对应边.14. 4 cm，6 cm，8 cm 解析：.由题意，得，解得= ；，解得=；，解得=.∴的各边长分别为，.15.5 解析：过作轴于.设，则.由,得,∴ .∴，.∴ .16. 1∶3 解析：位似的图形一定相似，所以四边形与四边形的相似比为1∶3.17.(1）（2）3∶2 （3）75解析：(1)相似三角形面积的比等于相似比的平方,∴，∴（2）相似三角形周长的比等于相似比,∵周长比为3∶2，∴相似比为3∶2.（3）相似三角形周长的比等于对应高的比，等于相似比,设较大三角形的周长为,则，解得.18.9∶11 解析：由，可设，，则.∵四边形是正方形，∴，.∴，∴ .∴ .设，则.∵ ,∴.∴ .∴四边形的面积为，∴与四边形的面积之比是19.分析:求线段的比时，单位一定要统一，做题时要看仔细.解：∵是成比例线段，∴ .又∵ 6 cm，，，∴，解得.点拨：线段成比例，即或，其中字母的位置不能颠倒.20.解：由，得,即.所以.点拨：本题两次运用了比例的基本性质，初学时易出错，所以我们要重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”.21.解:因为，所以.解得.所以因为，所以.所以为直角三角形.22.解:(1）因为，所以由相似三角形的对应角相等得.在中，，即，所以.（2）因为，所以由相似三角形的对应边成比例得，即，所以.点拨：正确把握相似三角形的定义及找准对应边、对应角是解决问题的关键.23.分析：（1）要求种满地带所需费用，先求出的面积.由于与相似，可先求的面积，由单价为8元/，得的面积为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得的面积.（2）先求出和的面积，再作选择.解：（1）∵四边形是梯形，∴，∴，∴ .∵种满△AMD地带花费160元，∴，∴，∴种满地带的费用为80×8=640（元）.（2）∵，∴ .∵与等高，∴，∴ .同理可求.当和地带种植玫瑰花时，所需总费用为160+640+80×12=1 760（元），当和地带种植茉莉花时，所需总费用为160+640+80×10=1 600（元）.∴应种植茉莉花，可刚好用完所筹资金.24.解:（1）的周长为，则的周长为cm.∵，∴ .∴，解得.∴这两个三角形的周长分别为100 cm和40 cm. （2）设的面积为，则的面积为 .由题意，得，解得2.∴这两个三角形的面积分别为和.。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (258)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (258)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）下列四组图形中，相似的组图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似判断.【详解】A.一个六边形，另一个是五边形，边数不相等，故不相似；B.一个图形是两个正方形围成的，另一个是一个正方形和一个圆围成的，故不相似；C.两个直角三角形各有一个40°和50°的锐角，符合两个角对应相等的两个三角形相似的判定方法，故相似；D.一个直角梯形，一个等腰梯形，故不相似.故选C.【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．37．放大镜中的四边形与原四边形的关系是( )A．平移B．相似C．旋转D．成轴对称【分析】根据相似图形的定义进行分析即可.【详解】放大镜中的四边形与原四边形的关系是相似，对应边成比例，对应角相等.故选：B【点睛】考核知识点：相似图形定义.理解定义是关键.38．下列各选项中的两个图形是相似图形的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】形状相同的图形是相似图形，据此分析判断.【详解】只有选项D的图形形状相同，故相似.故选：D【点睛】本题考核知识点：相似图形.解题关键点：理解相似图形定义.39．已知线段AB的两个端点的坐标分别是A(m,m), B(2n,n)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把线段AB缩小，则经过位似变换后，A的对应点A/的坐标是( )A．(12m,12n) B．(-12m,-12n) C．(12m,12n) 或(-12m,-12n) D．(n,1 2n) 或(-n,-12n)【答案】C根据位似变换的性质解答即可．【详解】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把线段AB 缩小，点A 的坐标为（m ，m ），∵点A '坐标是（12m ，12m ）或（-12m ，-12n ）． 故选：C ．【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．40．在平面直角坐标系中，已知点A(-4，2)，B(-6，-4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ´的坐标是（ ） A ．(-3，-2) B ．(-12，-8)C ．(-3，-2)或(3，2)D ．(-12，-8)或(12，8)【答案】C【分析】 根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．【详解】解：ABC ∆的一个顶点B 的坐标是(-6，-4)，以原点O 为位似中心相似比为1:2将ABC ∆缩小得到它的位似图形∵A B C '''，∴点B ′的坐标是：1[(6)2⨯-，()14]2⨯-或1[(6)2-⨯-，()14]2-⨯-， 即(-3，-2)或(3，2)．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k 得出是解题关键．。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (204)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (204)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）已知图1和图2中，小正方形的边长为1，按要求作格点三角形，并标注相应的字母，（1）在图1中作ABC ∆，使各其边长均为整数；（2）在图2中作A B C '''∆，使A B C ABC '''∆∆∽，并且:A B AB ''=【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据各其边长均为整数，可使AC=3，AB=5，BC=4；（2）根据△A ′B ′C ′△△ABC ，并且:A B AB ''=A B C '''∆的边是ABC ∆对应即可．【详解】解：（1）作△ABC ，使AC=3，AB=5，BC=4； （2）△△A ′B ′C ′△△ABC ，并且:A B AB ''=△A B C '''∆与ABC ∆ △AC=3，AB=5，BC=4；△'''==A C B C ''=A B 所作图形如下所示：【点睛】本题考查了作图中的相似变换和勾股定理，有一定难度，注意借助勾股定理使各边长均为整数，根据题意得出对应边的长是解题关键．87．如图1，某人用一张面积为S的三角形纸片ABC剪出一个△EFP，记△EFP 的面积为T，已知E、F、P分别是△ABC三边上的三点，且EF△BC．（1）如图2，当P与B重合，设AEAB 分别等于12、13、34时，△PEF的面积分别为1T、2T、3T.①1T= ，2T= ，3T= ；②写出3T的求解过程；（2）如图3，当点P是△ABC边BC上的任意一点时（点P可与B或C重合），设AE kAB，试求出T与k、S的函数关系式；（3）请探究T是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①14S，29S，316S；②见解析；（2）2kT(k k)S，理由见解析；（3）T存在最大值，当k=12时，最大ST4.【解析】【分析】(1)由等高可推出面积比等于底边之比，进而推出三角形面积； （2）点P 在BC 上的任意一处，连BF ，由EF △BC ，得△BEF 与EFPS 同高等底，因此BEFEFPS ST ==，由（1）可知：△AEF △△ABC ，可得AEFS︰S=2k ︰1，即AEFS=S ·2k ，由AE ︰AB=k ︰1，得AE ︰BE=k ︰（1-k ），故AEFS ︰EFBS=k ︰（1-k ），即k ·EFBS=（1-k ）·AEFS，所以k ︰T=（（1-k ）2k S ，化简可得.(3) 由（2）可知T=-（2k -k ）S,求抛物线的顶点坐标可得.【详解】解：（1）①1T =14S ，2T =29S ，3T =316S ； ②如图△EF △BC ， △△AEF=△ABC ，△A=△A ，△△AEF △△ABC ，又△34AE AB =， △916AEF S S =，△AEF S =916S.过F 作FD △AB 于D ，△12PEF S =FD ·BE ，1·2AEF S AE FD =，由于AE ︰AB=3︰4， △AE ︰BE=3︰1， △13PEF AEFS S=， △3T =1193316AEFSS =⨯，3T =316S. （2）当AEk AB=时，()2k T k k S =--，理由如下： 如图，点P 在BC 上的任意一处，连BF ，△EF △BC ，△BEF 与EFPS 同高等底，△BEFEFPSST ==，由（1）可知：△AEF △△ABC ， 设AE ︰AB=k ︰1，AEFS︰S=2k ︰1， △AEFS=S ·2k .又△AE ︰AB=k ︰1，则AE ︰BE=k ︰（1-k ），AEFS︰EFBS=k ︰（1-k ），k ·EFBS=（1-k ）·AEFS，k ︰T=（（1-k ）2k ST=（1-k ）kS 即T=-（2k-k ）S ；（3）由（2）可知T=-（2k -k ）S=-（2k -k+14-14）S=-S （k-12）2+4S， △T 存在最大值，当k=12时，4S T =最大. 【点睛】本题考核知识点：相似三角形，二次函数,动点问题综合.作好辅助线，根据相似三角形性质和平行线性质推出三角形的面积关系，列出二次函数，由二次函数求出最值.88．如图，△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （3，0），B （4，2）C （2，4）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）以点O 为位似中心，在第一象限画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比为2：1；（2）直接写出点C 1的坐标和△A 1B 1C 1的面积【答案】（1）见解析；（2）()14,8C 、11112A B C S ∆=． 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形．（2）由（1）所画的图形，即可得到1C 的坐标，然后利用间接求面积的方法，即可得到面积.【详解】解：（1）111A B C ∆如图所示．（2）△A （3，0），B （4，2）C （2，4）， △()16,0A ，()18,4B ，()14,8C ；△1111114828244412222A B C S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】此题主要考查了位似变换，以及求三角形的面积，正确得出对应点位置是解题的关键．89．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．例如，两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．【答案】①④是相似图形，②③不一定是相似图形．理由见解析. 【分析】根据相似图形的定义，对题目所给几何图形逐个分析即可． 【详解】①两个圆，它们的所有元素都对应成比例，是相似图形；②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；④两个正六边形，它们的边长等元素对应成比例，对应角相等，是相似图形．△①④是相似图形，②③不一定是相似图形． 【点睛】本题考查的是相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 90．（1）观察下列式子：221331+<+，222332+<+，223333+<+，224334+<+… 发现：对于真分数23，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）（2）类比猜想：由（1）猜想分式b a 和b ca c++（其中，0a b >>，0c >）的大小关系，并说明理由；（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到15%左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；A ．变差了B ．变好了C ．没有改变 （4）联想拓展：如图所示，一个长为acm 宽为bcm 的矩形（a b >），四周都增加1cm ，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）【答案】（1）变大；（2）b b ca a c+<+；（3）A ；（4）否 【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；（2）利用作差法比较b a 与b ca c++的大小，即可解答；（3）设=15%xy ，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m ，作差法比较--x m y m 、xy的大小解答； （4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可； 【详解】解：（1）△221331+<+，222332+<+，223333+<+，224334+<+… △对于真分数23，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大；（2）由（1）得：b a ＜b c a c++，理由如下：()()()()()---==b a c a b c c b a b b c a a c a a c a a c ++++++，△ 0a b >>， △ 0b-a ＜，△ ()()()()()---==b a c a b c c b a b b c a a c a a c a a c ++++++＜0，△b bc a a c++＜； （3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设=15%xy，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m ，则--x m y m -=x y ()()()()()------y x m x y m m x y y y m y y m =＜0， △--x m y m ＜xy， △ 采光条件变差， 故选A ； （4）由（2）知：11a ab b +≠+，所得大矩形与原来的矩形不相似， 故填：否． 【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．。

江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合阶段练习(答案解析)

江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合阶段练习(答案解析)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）A ．42B ．2C ．1D ．32．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DF DE AD = D ．BD BF AE DE= 3．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．354．如图，ABC 中，DE ∥BC ，AD:BD=1:3，则OE ：OB=（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:6 5．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=2CE ，AB=12，则AD 的长为（ ）A ．4B ．6C ．5D ．86．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝6，则线段AC 的长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．307．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．1528．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．25B ．2C ．4D ．5 9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，则点B '的坐标为（ ）A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()3,2D ．()3,2或()3,2--10．已知四个数2，3，m ，3成比例的线段，那么m 的值是（ ）A ．3B ．233C ．2D ．2311．如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DE EF=（ ）A ．13B ．12C ．23D ．112．如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）A ．512-B ．512+C ．352 D ．352+ 13．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1- 14．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题15．如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC 的重心，A′B′、A′C′分别于BC 交于点M 、N ，那么△A′MN 面积与△ABC 的面积之比是_____．16．如图，一次函数y ＝﹣34x +6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，过线段AB 的中点P （4，3）作一条直线与△AOB 交于点Q ，使得所截新三角形与△AOB 相似，则点Q 坐标是_____．17．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．18．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．19．如图，把正ABC ∆沿AB 边平移到''A B C '的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC ∆的面积的一半，若23AB ='CC 的长度是_________．20．如图，已知CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥交CD 于点E ，连接BD ，OB ，AC ，若8AB =，2DE =，则O 的半径为______．21．△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，要使△ABC ∽△DEF ，则△DEF 的第三边长为______．22．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．23．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．24．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．25．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN43=NF；③38BMMG=；④S四边形CGNF12=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是___________．26．已知b c c a a ba b c+++==＝k，则k=______．参考答案三、解答题27．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）求▱DEFG对角线DF的长；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为矩形且AE﹥BE时，连接BG，分别交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．28．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B （﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点．（1）画出将△OAB 向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O 1A 1B 1 ，并写出点P 的对应点P 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出△OAB 的一个位似△OA 2B 2 ，使它与△OAB 的相似比为2：1，并写出点P 的对应点P 2的坐标；（3）判断△O 1A 1B 1与△O 2A 2B 2，能否是关于某一点Q 为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q ，并写出点Q 的坐标．29．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）在斜边AB 上确定一点E ，使点E 到点B 距离和点E 到AC 的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC=6，点E 到AC 的距离为ED=4，求BD 的长．30．如图，已知AB 为O 直径，C 为O 外一点，（连结,AC BC 交O 于点F ，取弧BF 的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH AB ⊥于H ，且满足BH BC BE AB ⋅=⋅．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若8,10CF BF ==，求AC 和EH 的长【参考答案】一、选择题1．C2．C3．C4．B5．D6．C7．C8．A9．D10．B11．B12．A13．B14．D二、填空题15．【分析】由重心的性质可得AD＝AD由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC的重心∴AD＝AD∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位16．（03）或（0）或（40）【分析】首先确定AB两点坐标分两种情形：①当PQ∥OB时②当PQ′⊥AB时分别求解即可【详解】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B与y 轴交于点A∴A（06）B（80）17．b【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC⊥AC∴D1E1∥BC∴∵D1是斜边AB的中18．n+1【分析】作DG平行于AF交BC于G由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC于G∵AD：DC=1：n∴AD：19．【分析】根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形且面积比为2：1所以AB：A′B=：1推出A′B=从而得到AA′的长【详解】解：∵△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置∴AC∥A′C′∴△AB20．5【分析】设的半径为则由垂径定理得证明根据对应边成比例列式求出r的值【详解】解：∵∴∵∴∴设的半径为则∵∴∴解得故答案是：5【点睛】本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定解题的关键是掌握圆周角定理21．35【分析】根据△ABC∽△DEF得到结合△ABC的三边长分别为762△DEF的两边分别为13可以得到△DEF的两边13分别与△ABC的两边26是对应边得到两三角形相似比为可以求出△DEF的第三边【22．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的23．或【分析】先根据勾股定理得到AC＝5再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5设AD＝x则AE＝A′E＝xEC＝5﹣xA′B＝2x﹣4在Rt△A′BC中根据勾股定理得到A′C再根据△24．5【分析】首先由勾股定理求出AC再证明得到进而列方程求解即可【详解】25．①③【分析】①易证△ABF≌△BCG即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM的值即可解题；④连接AGFG根据③中结论即可求得S四边形CGNF和26．2或-1【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时根据比例的等比性质求得k的值；②当a+b+c=0时即a+b=-c求得k的值【详解】三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】如图，连接OD交AC于H，连接BC．利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质求出OH，AH，DH，证明△DMH∽△AOH，构建关系式即可解决问题．【详解】解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴226-=，BC AB AC∵AD DB=，∴OD⊥AB，∵∠OAH=∠CAB ，∠AOH=∠ACB=90°，∴△AOH ∽△ACB ， ∴OH OA AH BC AC AB== ∴56810OH AH == ∴1525,44OH AH ==， ∵DH=OD-OH=155544-=， ∵DM ⊥AC ，∵∠DMH=∠AOH=90°，∠DHM=∠AHO ，∴△DMH ∽△AOH ， ∴DM DH AO AH=， ∴542554DM =， ∴DM=1，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．2．C解析：C【分析】先根据已知条件可证得ADE ACB ∽，由此可得AED B ∠=∠，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可．【详解】解：∵AC 3AD =，3AB AE =， ∴AD AE 1AC AB 3==， 又∵A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽， ∴AED B ∠=∠，A 选项：∵A BFD ∠=∠，B B ∠=∠，∴BFD BAC ∽，故选项A 正确；B 选项：∵//DF AC ，∴C BFD ∠=∠，∠=∠A BDF ，∴BFD BCA △∽△，故选项B 正确；C 选项：BD DF DE AD=无法证明FDB △与ADE 相似； D 选项：∵BD BF AE DE=， AED B ∠=∠， ∴BFD EDA △∽△，故选项D 正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 3．C解析：C【分析】 先由23AB BC =得出25AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】 ∵23AB BC =， ∴25AB AC =， ∵a ∥b ∥c ， ∴25DE AB DF AC ==， 故选：C ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．4．B解析：B【分析】先根据DE ∥BC ，得出ADE ∽ABC ，进而得出1=4AD DE AB BC = ，再根据DE ∥BC ，得到ODE ∽OCB ，进而得到1=1:44OE DE OB CB ==． 【详解】解：∵DE ∥BC ，∴ADE ∽ABC ， ∴=AD DE AB BC， 又∵1=3AD BD ， ∴1=4AD DE AB BC =， ∵DE ∥BC ， ∴ODE ∽OCB ， ∴1=1:44OE DE OB CB ==． 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．D解析：D【分析】先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出AD=23AB ，代入求出即可． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE AB AC=， ∵AE=2CE ， ∴2223AE CE AC EC EC ==+ 又AB=12， ∴AD=23AB=8， 故选：D ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键． 6．C解析：C【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD ∽△ACE ，即可求出AC 的长．【详解】解：如图所示：过点A 作平行线的垂线，交点分别为D ，E ，可得：△ABD ∽△ACE ， 则AB AD AC AE =， 即628AC =， 解得：AC=24，故选：C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD ∽△ACE 是解题关键． 7．C解析：C【分析】 根据平行线分线段成比例得到BC AD CE DF =，代入已知解答即可． 【详解】解：∵////AB CD EF ， ∴BC AD CE DF=， ∵:3:1AD DF =，10BE =， ∴1031CE CE -=， 解得：CE=52， 故选：C ．【点睛】 本题考查平行线分线段成比例、比例的性质，掌握平行线分线段成比例是解答的关键，注意对应线段的顺序．8．A解析：A【分析】根据位似图形的性质可得DF =2AC ，然后根据两点间的距离公式求出AC 即可解决问题．解：∵DEF 与ABC 是位似图形，且相似比为2:1，∴DF =2AC ，∵AC ==∴DF =故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 9．D解析：D【分析】 由OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得OA B ''△与OAB 的位似比为1：2，又由点B 的坐标为（6，4），即可求得答案．【详解】解：∵OA B ''△与OAB 关于点O 位似， ∴OA B ''△∽OAB ， ∵OA B ''△的面积等于OAB 面积的14， ∴位似比为1：2，∵点B 的坐标为（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．故选D ．【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 10．B解析：B【分析】利用比例线段的定义得到23m =：m 即可．【详解】根据题意得23m =：所以3m =，所以m =． 故选：B ．本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．11．B解析：B【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴12DE AB EF BC ==． 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 12．A解析：A【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到512AE AB 和12BE AE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例．【详解】解：设正方形ABCD 的边长为a ，∵点E 是AB 上的黄金分割点，∴512AE AB ，则AE =，∴BE AE =，则21322BE a a ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，∵22211322S AE a a ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，22S BE BC =⋅=，∴)2222333222S a a a a -=--=，∴)223231:2:22S S a a ==． 故选：A ．本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．13．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1∽△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A1OB1与△A2OB2位似，∴△A1OB1∽△A2OB2，∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，∴△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，∵A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，∴点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．14．D解析：D【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②；证明△DCE≌△CBF可得结论③，证明△CHF∽△CBF即可得结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∴△ABE≌△DCE（SAS）∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴∠BAE=∠BCF，∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，∴∠BCF+∠CED=90°，∴∠CHE=90°，∴CF⊥DE，故②正确，∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴CE=BF ，∵CE=12BC=12AB ， ∴BF=12AB ， ∴AF=BF ，故③正确，∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC∴∠BCF+∠DECC=90°，∴∠CHE=90°∴∠CHE=∠FBC又∠DEC=∠BFC∴△CHF ∽△CBF ∴CH CE BC CF= ∵BC=2CE ， ∴2BC CE CE CE CH CF CF== ∴22CE CH CF =⋅故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．二、填空题15．【分析】由重心的性质可得AD ＝AD 由相似三角形的性质可得△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC 的重心∴AD ＝AD ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位 解析：19【分析】由重心的性质可得A 'D ＝13AD ，由相似三角形的性质可得△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=． 【详解】 解：∵点A′恰好是△ABC 的重心，∴A'D ＝13AD ， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，∴△ABC ∽△A'MN ，∴△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=， 故答案为：19． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及重心的性质，掌握重心的性质是本题的关键． 16．（03）或（0）或（40）【分析】首先确定AB 两点坐标分两种情形：①当PQ ∥OB 时②当PQ′⊥AB 时分别求解即可【详解】∵一次函数y ＝﹣x+6的图象与x 轴交于点B 与y 轴交于点A ∴A （06）B （80）解析：（0，3）或（74，0）或（4，0） 【分析】首先确定A ，B 两点坐标，分两种情形：①当PQ ∥OB 时，②当PQ ′⊥AB 时，分别求解即可．【详解】 ∵一次函数y ＝﹣34x+6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ， ∴A （0，6），B （8，0）， ∴OA ＝6，OB ＝8，AB ＝22OA OB +＝2268+＝10，如图有两种情形：①当PQ ∥OB 时，满足条件．∵AP ＝PB ，∴AQ ＝OQ ，∴Q （0，3）．②当PQ′⊥AB 时，满足条件．连接AQ′．∵PA ＝PB ，PQ′⊥AB ，∴Q′A ＝Q′B ，设Q′A ＝Q′B ＝m ，在Rt △AOQ′中，则有m 2＝62+（8﹣m ）2，解得m ＝254， ∴OQ′＝8﹣254＝74， ∴Q′（74，0）．③当PQ ∥y 轴时，同法可得P （4，0）．综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，3）或（74，0）或（4，0）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．b 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB 中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC ⊥AC ∴D1E1∥BC ∴∵D1是斜边AB 的中 解析：12b 22(1)ab n + 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在△ACB 中，D 2为其重心可得D 2E 1＝13BE 1，然后从中找出规律即可解答． 【详解】解：∵D 1E 1⊥AC ，BC ⊥AC ，∴D 1E 1∥BC ， ∴1111AE AD CE BD =， ∵D 1是斜边AB 的中点，∴AD 1＝BD 1， ∴11111AE AD CE BD ==， ∵AC ＝b ， ∴AE 1＝E 1C ＝12b ， ∵D 1E 1∥BC ， ∴BD 1E 1与CD 1E 1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D 1E 1＝12BC ，CE 1＝12AC ，S 1＝212S △ABC ； ∴在ACB 中，D 2为其重心，∴D 2E 1＝13BE 1， ∴D 2E 2＝13BC ，CE 2＝13AC ，S 2＝213S △ABC ， ∵D 2E 2：D 1E 1＝2：3，D 1E 1：BC ＝1：2，∴BC ：D 2E 2＝2D 1E 1：23D 1E 1＝3， ∴CD 3：CD 2＝D 3E 3：D 2E 2＝CE 3：CE 2＝3：4，∴D 3E 3＝14D 2E 2＝14×13BC ＝14BC ，CE 3＝34CE 2＝14×13AC ＝14AC ，S 3＝214S △ABC …； ∴S n ＝21(1)n +S △ABC ＝21(1)n +×12ab ＝22(1)ab n +． 故答案为：12b ，22(1)ab n +．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．18．n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G 由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG 所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC 于G ∵AD ：DC=1：n ∴AD ：解析：n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G ．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得1AC FC n AD FG==+；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG ，所以由等量代换证得结论． 【详解】证明：如图，作//DG AF 交BC 于G∵AD ：DC=1：n ，∴AD ：AC=1：（n+1）．∵//DG AF ，∴AC FC CD GC=， 根据比例的性质知，1AC FC n AD FG ==+， 又E 是BD 的中点，∴EF 是△BGD 的中位线，∴BF=FG ．∴FC:BF=FC BF =1FC n FG=+． 故填：n+1．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解． 19．【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形且面积比为2：1所以AB ：A′B=：1推出A′B=从而得到AA′的长【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置∴AC ∥A′C′∴△AB解析：【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB ：：1，推出，从而得到AA′的长．【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，∴AC ∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BD ， ∴21()2A BDABC S A B S AB ''∆∆==， ∴AB ：：1，∵AB=∴，∴AA′=．由平移可得' 'CC AA =∴'6CC =故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC 与阴影部分为相似三角形．20．5【分析】设的半径为则由垂径定理得证明根据对应边成比例列式求出r 的值【详解】解：∵∴∵∴∴设的半径为则∵∴∴解得故答案是：5【点睛】本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定解题的关键是掌握圆周角定理 解析：5【分析】设O 的半径为r ，则22CE r =-，由垂径定理得142AE BE AB ===，证明AEC DEB ，根据对应边成比例列式求出r 的值．【详解】 解：∵AB CD ⊥，∴90ACE DBE ∠=∠=︒，∵AEC DEB ∠=∠，∴AEC DEB ， ∴AE EC DE EB=， 设O 的半径为r ，则22CE r =-，∵AB CD ⊥， ∴142AE BE AB ===， ∴42224r -=，解得=5r ． 故答案是：5．【点睛】本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握圆周角定理和垂径定理，以及相似三角形对应边成比例的性质．21．35【分析】根据△ABC ∽△DEF 得到结合△ABC 的三边长分别为762△DEF 的两边分别为13可以得到△DEF 的两边13分别与△ABC 的两边26是对应边得到两三角形相似比为可以求出△DEF 的第三边【解析：3.5【分析】根据△ABC ∽△DEF ，得到AB AC BC DE DF EF==，结合△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，可以得到△DEF 的两边1、3分别与△ABC 的两边2，6是对应边，得到两三角形相似比为12，可以求出△DEF 的第三边． 【详解】解：∵要使△ABC ∽△DEF ，需AB AC BC DE DF EF==， ∵△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，∴△DEF 的两边1、3分别与△ABC 的两边2，6是对应边，∴两三角形相似比为12， ∴△DEF 的第三边长为：7×12＝3.5． 故答案为：3.5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据两三角形相似，结合两三角形的线段长求出相似比是解题的关键．22．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的解析：2【分析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．【详解】解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），∴BD BC 1==： ∵ABD △的面积是2∴ABC 的面积()3222=÷=故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．23．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△ 解析：78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，∴AC ＝5，∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，∵△A ′EC 是直角三角形，∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②点A 在线段AB 的延长线上（22(24)3x -+）2+（5﹣54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258．故AD 长为78或258．故答案为：78或258． 【点晴】 本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 24．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】解析：5【分析】首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到AB AE CD CE=，进而列方程求解即可．【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴==，∴设AE x =，则8CE x =-， BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，又//AB CD ，ABD BDC ∴∠=∠，DBC BDC ∴∠=∠，6BC CD ∴==，//AB CD ，∴~ABE CDE ∆∆，AB AE CD CE∴= 1068x x∴=- 解得5x =，5AE ∴=故答案为：5．【点睛】此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．25．①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接AGFG 根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和解析：①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF 的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF=∠CBG ，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△BNF ∽△BCG ，32BN BC NF CG ∴==， BN 32NF =，②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，2213AF AB BF =+=1122ABF AF BN AB BF S ∆=⋅=⋅， 6132413N B 3NF BN ===3AN 91AF NF =∴=-，∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线， 313213,1313NH EH ==∴，BN ∥EH ， 111313AH AN MN AH EH∴==，，解得：MN=2713143， ∴BM=BN-MN=31311，MG=BG-BM=81311， 38BM MG ∴=，③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则713 11142712213S 13CFG GNF CGNF S S CG CF NF NG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， 11633512226213ANG ADG ANGD S S S AN GN AD DG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， S 12CGNF S ≠四边形，④错误； 故答案为 ①③．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．26．2或-1【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时根据比例的等比性质求得k 的值；②当a+b+c=0时即a+b=-c 求得k 的值【详解】解析：2或-1．【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，求得k 的值；②当a+b+c=0时，即a+b=-c ，求得k 的值．【详解】①当a+b+c≠0时，由等比性质得k=2()a b c a b c++++=2；②当a+b+c=0时，即a+b=-c(或a+c=-b或b+c=-a)，得k=cc-=-1．故答案为2或-1．【点睛】此题考查比例的等比性质，解题时要注意等比性质的条件．三、解答题27．（1）10（2）62（3）35．【分析】（1）▱DEFG对角线DF的长就是Rt△DCF的斜边的长，由勾股定理求解；（2）▱DEFG周长的最小值就是求邻边2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB为对称轴，作点F的对称点M，连接DM交AB于点N，点E与N点重合时即DE+EF=DM时有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的长；（3）用等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．【详解】解：（1）如图1所示：连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∠C=90°，AD=BC，AB=DC，BF=FC，AD=2，∴FC=1，∵AB=3；∴DC=3，在Rt△DCF中，由勾股定理得DF=22221310FC DC+=+=，故▱DEFG对角线DF的长10．（2）如图2所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E 不与点N 重合时点M 、E 、D 可构成一个三角形，∴ME+DE ＞MD ，②当点E 与点N 重合时点M 、E （N ）、D 在同一条直线上，∴ME+DE=MD ，由①和②DE+EF 的值最小时就是点E 与点N 重合时，∵MB=BF ，∴MB=1，∴MC=3，又∵DC=3，∴△MCD 是等腰直角三角形，∴MD=22223332MC DC +=+=，∴NF+DN=MD=32，∴262DEFG C NF DF =+=（）； （3）设AE=x ，则BE=3-x ，∵▱DEFG 为矩形，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠AED=∠BFE ， 又∵∠A=∠EBF=90°，∴△DAE ∽△EBF （AA ）∴AE AD BF BE =， ∴213x x=-，解得：x=1（舍去），或x=2，即AE=2，BE=1， 过点G 作GH ⊥DC ，如图3所示：∵▱DEFG 为矩形，∴∠A=∠EBF=90°，∵AD=AE=2，BE=BF=1，∴在Rt △ADE 和Rt △EFB 中，由勾股定理得： 22222222AD AE +=+=，2222112BE BF +=+=，∴∠ADE=45°，又∵四边形DEFG 是矩形，∴EF=DG ，∠EDG=90°，∴2，∠HDG=45°，∴△DHG 是等腰直角三角形，∴DH=HG=1，在△HGQ 和△BCQ 中有GHQ BCQ HQG CQB ∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝， ∴△HGQ ∽△BCQ （AA ），∴12HG HQ CB CQ ==， ∵HC=HQ+CQ=DC-DH=2，∴HQ=23， 又∵DQ=DH+HQ ，∴DQ=25133+=，∵AB ∥DC ，EF ∥DG ，∴∠EBP=∠DQG ，∠EPB=∠DGQ ，∴△EBP ∽△DQG （AA ）， ∴35BP EB QG DQ ==． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线．28．（1）()121P m n +-，，作图见解析；（2） ()222P m n ，，作图见解析；（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）．【分析】（1）根据平移规律，画出111,,A B O 即可；（2）根据位似图形的性质，画出△22OA B 即可；（3）对应点连线的交点即为位似中心；【详解】解：（1）△111O A B 如图所示，1P （m+2，n-1）；（2）△22OA B 如图所示，2P （2m ，2n ）．（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）；【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．29．（1）见解析；（2）3【分析】（1）先作B 的角平分线，与AC 交于点D ，再以D 为圆心DC 为半径画弧，在AD 上截取DF=DC ，再作CF 的垂直平分线，交AB 于点E ，此时BE=DE ；（2）根据ADE ACB 得DE AE BC AB=，求出AE 的长，再用勾股定理求出AC 和AD 的长，从而得到CD 的长，最后再用勾股定理求出BD 的长．【详解】 解：（1）如图所示，证明过程如下：∵BD 平分B ， ∴EBD CBD ∠=∠，∵ED AC ⊥，BC AC ⊥， ∴//ED BC ，∴CBD EDB ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴BE DE =；（2）∵//DE BC ，∴ADE ACB ， ∴DE AE BC AB =， ∵4DE =，4AB AE BE AE =+=+，6BC =， ∴464AE AE =+，解得8AE =， ∴8412AB =+=， 根据勾股定理，2263AC AB BC -=2243AD AE DE =-=， ∴634323CD =-=∴2243BD CD BC +=【点睛】本题考查尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握尺规作图的方法，以及利用几何的性质定理进行证明求解．30．（1）见解析；（2）5AC =；4EH =【分析】（1）根据条件可证明△EBH ∽△CBA ，推出90CAB EHB ∠=∠=︒即可．（2）证明△AFC ∽△BFA ，可得AF 2=FC•FB ，求出AF ，再利用勾股定理求出AC ，证明EH=EF ，在Rt △BEH 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：∵BH BC BE AB ⋅=⋅， ∴BH BE BA BC=， ∵EBH CBA ∠=∠，∴EBH CBA ∽，∴EHB CAB ∠=∠，∵EH AB ⊥，∴90EHB ∠=︒，∴90CAB EHB ∠=∠=︒，∴AC AB ⊥，∴AC 是O 的切线．（2）解：连接AF ．∵AB 是直径，∴90AFB AFC ∠=∠=︒，∵90,90C CAF CAF FAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴C FAB ∠=∠，∴AFC BFA ∽，∴280AF FC FB =⋅=，∴45AF = ∴22228(45)12,10(45)65AC AB =+==+=∵DF BD =，∴FAD DAB ∠=∠，∵,EF AF EH AB ⊥⊥，∴EF EH =，设EH EF x ==，∵AE AE =，∴()Rt AEF Rt AEH HL ≌，∴5,25AF AH BH ===在Rt EBH △中，∵222BE EH BH =+，∴222(10)x x-=+，x=，∴4EH=．∴4【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角，切线的判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找相似三角形解决问题．。

江苏九年级数学下册第二十七章《相似》综合经典题(答案解析)

江苏九年级数学下册第二十七章《相似》综合经典题(答案解析)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作//EF BC，交AD于点F，过点E作//EG AB，交BC于G，则下列式子一定正确的是（）A．AE EFEC CD=B．BF EGCD AB=C．AF BCFD GC=D．CG AFBC AD=3．下列各组线段能成比例的是（）A．1.5cm，2.5cm， 3.5cm，4.5cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．3cm， 6cm， 4cm， 8cm D210cm5154．如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（）A ．5米B ．6米C ．8米D ．10米5．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16 7．如图△BCD 中，BE ⊥CD ，AE ＝CE=3，BE ＝DE=4．BC=5，DA 的延长线交BC 于F ，则AF=（ ）A ．1B ．0.6C ．1.2D ．0.88．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，点C 的坐标为（﹣2，0），若点A 的坐标为（﹣4，3），则点E 的坐标为（ ）A ．（52，﹣6）B ．（4，﹣6）C ．（2，﹣6）D ．3(,6)2- 9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，则点B '的坐标为（ ）A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()3,2D ．()3,2或()3,2--10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是BD 上的一个动点，过点P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ，连接OE ，OF ，设BP =x ，△OEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F ．若AB ∶BC ＝5∶3，DE ＝15，则EF 的长为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．2512．如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DE EF=（ ）A ．13B ．12C ．23D ．113．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题15．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别是AB 、AD 上的点，若BE ＝AF ＝1，∠BAD ＝120°，GF EG ＝_____．16．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．17．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b的值为_______． 18．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．19．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________20．如图，小思作出了边长为1的第1个等边三角形111A B C △，然后分别取111A B C △三边的中点2A ，2B ，2C ，作出了第2个等边三角形222A B C △，用同样的方法作出了第3等边三角形333A B C △．（1）111A B C △与222A B C △的面积比为______．（2）依此方法作下去，可得第n 次作出的等边三角形n n n A B C 的面积是______． 21．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论中正确的是__________． （填序号）①67.5AGE ∠=︒；②四边形AEFG 是菱形；③2BE OF =；④:21DOG OGEF S S =四边形:△．22．已知：如图，ABC 内接于O ，且BC 是O 的直径，AD BC ⊥于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，6AB ＝，8AC ＝．则CD =_________________．AF =_________________．23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，直线l 经过点C ，且l ∥AB ，P 为直线l 上一个动点，若AC ＝4，BC ＝3，以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则PC ＝_____．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．25．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN 43=NF ；③38BM MG =；④S 四边形CGNF 12=S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是___________．26．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.5m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2m ，MN ＝0.8m ，则木竿PQ 的长度为_______m ．三、解答题27．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合），在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN x =，PD y =，已知5103y x =-+，当Q 为BF 中点时，53y =．（1）判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由：（2）求DE ，BF 的长；（3）若30AED ∠=︒①当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个项点时，求所有满足条件的x 的值． 28．作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O ；（2）△A ＇B ＇C ＇与△ABC 的位似比是 ；（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A ＇B ＇C ＇关于点O 中心对称的△A ＂B ＂C ＂，并直接写出△A ＂B ＂C ＂各顶点的坐标． 29．如图，抛物线213-222y x x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A（，），C（，）；（2）探究△ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？30．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．（1）在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与ABC相似．（2）在图②中画一个三角形，使它与ABC相似（不全等）．（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使23 APPB．【参考答案】一、选择题1．B2．C3．C4．C5．D6．D7．B8．C9．D10．C11．B12．B13．B14．B二、填空题15．【分析】过点E作EM∥BC交AC下点M点根据菱形的性质可得△AEM是等边三角形则EM=AE=3由AF∥EM对应线段成比例即可得结论【详解】解：过点E作EM∥BC交AC 于点M∵四边形ABCD是菱形∴A16．【分析】根据矩形的性质得到AB∥CDAB=CDAD=BC∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CDAB=CD17．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a表示出b是解题的关键18．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的19．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM：CD=2：3由MN∥AB可得△CMN∽△CDB再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M是△ABC的重心∴AD=BD=CM：CD=2：3∵MN20．4：1；【分析】（1）由三角形中位线定理可得A2B2∥A1B1A2B2=A1B1=可证△C2B2A2∽△C1A1B1由相似三角形的性质可求解；（2）由三角形的中位线定理可求△AnBnCn的边长为由等21．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正22．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC的长再用等面积法求出AD长在用勾股定理求出CD的长然后连接OF证明利用对应边成比例求出DE和OE的长再利用两次勾股定理分别求出AE和EF的长最终得到AF的长23．32或5【分析】先根据勾股定理求出AB的长由l∥AB可得∠ACP＝∠A所以以点PAC 为顶点的三角形与△ABC相似只有两种情况或根据对应边成比例列式求出PC的长【详解】∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝924．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC的长【详解】解：①如图∵且D是AB中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键25．①③【分析】①易证△ABF≌△BCG即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM的值即可解题；④连接AGFG根据③中结论即可求得S四边形CGNF和26．24【分析】过N点作ND⊥PQ于D先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长再求出PQ即可【详解】解：如图过N点作ND⊥PQ于D∴又∵AB=2BC=15DN=PM=12NM=08∴∴QD=16∴P三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．B解析：B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．2．C解析：C【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【详解】解：∵EF∥BC，∴AF AE=，FD EC∵EG∥AB，∴AE BG=，EC GC∴AF BC=，FD GC故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．3．C解析：C【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【详解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；B、1×4≠2×3，故本选项错误；C、3×8＝4×6，故本选项正确；D、215105⨯≠⨯，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．4．C解析：C【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．【详解】解：如图，假设没有墙，电线杆AB的影子落在E处，∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5=2：1，∴AB：BE=2：1，∵CD=2，BE=BD+DE，∴BE=3+1=4，∴AB：4=2：1，∴AB=8，即电线杆AB的高为8米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解．5．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC=， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：D ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 6．D解析：D【分析】根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ， ∴AE EF DE AE=， ∴EF•ED=A E 2，∵AE=4， ∴EF•ED 的值为16，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据条件和判断Rt △CEB ≌Rt △AED ，然后得到角相等，证明△BEC ∽△BFA ，利用比例关系计算．【详解】解：∵AE=3，BE=4∴BA=BE-AE=1∴在Rt △CEB 与Rt △AED 中AE CE AD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △CEB ≌Rt △AED∴∠EBC=∠BAF∵∠ADE+∠EAD=90°，∠BAF=∠EAD∴∠EBC+∠BAF=90°∵∠BEC=∠BFA=90°∴△BEC ∽△BFA ∴AF BA CE BC =即135AF = ∴AF=0.6故选：B【点睛】本题考查相似和全等的结合，通过全等得到角关系，然后证相似得到比例关系计算边长即可．．8．C解析：C【分析】先利用位似的性质得到△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题．【详解】∵△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，而△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，∴△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，把C 点向右平移2个单位到原点，则A 点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3）， 点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），∴E 点坐标为（2，-6）．故选：C ．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．也考查了转化的思想．9．D解析：D【分析】由OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得OA B ''△与OAB 的位似比为1：2，又由点B 的坐标为（6，4），即可求得答案．【详解】解：∵OA B ''△与OAB 关于点O 位似，∴OA B ''△∽OAB ，∵OA B ''△的面积等于OAB 面积的14， ∴位似比为1：2，∵点B 的坐标为（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．故选D ．【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 10．C解析：C【分析】根据题意易得BO =EF 与x 的关系，进而分两种情况，依情况来判断函数图像即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，∴AC BD ==12BO OD BD ===①当P 在OB 上时，即0x ≤≤∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ， ∴EF BP AC OB=， ∴22EF BP x ==， ∵OP x =，∴)2122y x x x =⨯⨯=-+；②当P 在OD x <≤∵EF ∥AC ，∴△DEF ∽△DAC ， ∴EF DP AC OD =，=，∴()2EF x =，∵BP=x ， ∴OP x =∴(()21242y x x x =⋅=-+-， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下，故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质，关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．11．B解析：B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15， ∴53DE AB EF BC ==，即1553EF =， 解得，EF=9，故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．B解析：B【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴12DE AB EF BC ==． 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 13．B解析：B【分析】根据相似三角形的判定逐个判断即可得．【详解】①在ADE 和ACB △中，AED B A A∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADEACB ∴，则条件①能满足； ②//DE BC ，ADE ABC ∴，则条件②不能满足；③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ACB ∴，则条件③能满足；④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：AD DE AC BC=， 对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；综上，能满足的条件有2个，故选：B ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．14．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得=BF DF 12=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】解：∵点E 是BC 中点，∴BC=2BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，∴AD=2BE ，设BF=a ，∵OF=1，∴BO=DO=a+1，则DF=a+2，∵BC ∥AD∴△BEF ∽△DAF ， 12∴==BF BE DF DA∴1,22=+a a 解得a=2， 经检验a=2是原方程的解∴BF=2，∴BO=DO=3，∴BD=6故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．二、填空题15．【分析】过点E 作EM ∥BC 交AC 下点M 点根据菱形的性质可得△AEM 是等边三角形则EM=AE=3由AF ∥EM 对应线段成比例即可得结论【详解】解：过点E 作EM ∥BC 交AC 于点M ∵四边形ABCD 是菱形∴A解析：13【分析】过点E 作EM ∥BC 交AC 下点M 点，根据菱形的性质可得△AEM 是等边三角形，则EM=AE=3，由AF ∥EM ，对应线段成比例即可得结论．【详解】解：过点E 作EM ∥BC 交AC 于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝4，AD ∥BC ，∴∠AEM ＝∠B ＝60°，∠AME ＝∠ACB ＝60°，∴△AEM 是等边三角形，则EM ＝AE ＝3，∵AF ∥EM ，∴13GF AF GE EM ==， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质是解题的关键．16．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43 【分析】 根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．17．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a表示出b，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b（a≠0），∴b=56a，∴1651--66aa b a aa===，故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．18．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的解析：4.8m【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】//CE AB，ADB EDC∴∽，::AB CE BD CD∴=，即:1.67.5:2.5AB=，解得： 4.8mAB=．即路灯的高度为4.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．19．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM：CD=2：3由MN∥AB可得△CMN∽△CDB再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M是△ABC的重心∴AD=BD=CM：CD=2：3∵MN解析：【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心， ∴AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CDB ， ∴23MN CM DB CD ==，23=，解得MN =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 20．4：1；【分析】（1）由三角形中位线定理可得A2B2∥A1B1A2B2=A1B1=可证△C2B2A2∽△C1A1B1由相似三角形的性质可求解；（2）由三角形的中位线定理可求△AnBnCn 的边长为由等解析：4：1；22n 【分析】（1）由三角形中位线定理可得A 2B 2∥A 1B 1，A 2B 2=12A 1B 1=12，可证△C 2B 2A 2∽△C 1A 1B 1，由相似三角形的性质可求解； （2）由三角形的中位线定理可求△A n B n C n 的边长为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由等边三角形的性质可求解．【详解】（1）∵A 2，B 2，C 2分别是等边三角形三边B 1C 1，C 1A 1，A 1 B 1的中点， ∴A 2B 2∥A 1B 1，A 2B 2=12A 1B 1=12，△C 2B 2A 2也是等边三角形， ∴222C B A ∽△111C A B ， ∴22211114C B A C A B SS =， ∴△111C A B 与222C B A 的面积比为=4：1；故答案为：4：1；（2）由题意得，△A 2B 2C 2的边长为12， △A 3B 3C 3的边长为212⎛⎫ ⎪⎝⎭， △A 4B 4C 4的边长为312⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，∴△A n B n C n 的边长为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵边长是1的等边三角形的面积34=， ∴等边三角形△A n B n C n 的面积212313422n n -⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 故答案为：232n ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，根据规律求出第n 个等边三角形的边长是解题的关键．21．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD 为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正解析：①②③【分析】根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD 为正方形，∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，∴∠1=∠2=12∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，∵∠4=90°-∠1=67.5°，∴∠3=∠4=∠5，∴AE=AG=EF，AG∥EF，∴四边形AEFG为菱形；故②正确，∴GF∥AB，EF=GF，∴∠6=∠7=45°，∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，∴，OF，∴；故③正确，设OF=a，则a，a，∴OB=+1）a，∴OD=+1）a，DF=DO+OF=（）a，∵∠DOG=∠DFE=90°，∴△DOG∽△DFE，221(),2DOGDFES DOS DF∆∆∴===∴S△DOG：S四边形OGEF=1：1．故④错误．故答案为①②③【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．22．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC的长再用等面积法求出AD 长在用勾股定理求出CD的长然后连接OF证明利用对应边成比例求出DE和OE 的长再利用两次勾股定理分别求出AE和EF的长最终得到AF的长解析：325【分析】根据直径所对的圆周角是直角，求出BC的长，再用等面积法求出AD长，在Rt ACD△用勾股定理求出CD的长，然后连接OF，证明ADE FOE，利用对应边成比例求出DE 和OE的长，再利用两次勾股定理分别求出AE和EF的长，最终得到AF的长．【详解】解：∵BC是O的直径，∴90BAC ∠=︒，∵6AB =，8AC =，∴10BC =， 利用等面积法，求出245AB AC AD BC ⋅==， 在Rt ACD △中，22325CD AC AD =-=， 如图，连接OF ，∵F 是弧BC 的中点，∴OF BC ⊥，∵AD BC ⊥，∴//OF AD ， ∴ADE FOE ，∴AD DE FO OE=， ∵327555DO CD OC =-=-=， ∴设DE x =，75OE x =-， ∴245755x x =-，解得2435x =， ∴2435DE =，57OE =， 在Rt ADE △中，222427AE AD DE =+=， 在Rt EFO 中，222527EF EO FO =+=， ∴2422527277AF AE EF =+=+=．故答案是：325；． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．23．32或5【分析】先根据勾股定理求出AB 的长由l ∥AB 可得∠ACP ＝∠A 所以以点PAC 为顶点的三角形与△ABC 相似只有两种情况或根据对应边成比例列式求出PC 的长【详解】∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝9解析：3.2或5【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，由l ∥AB ，可得∠ACP ＝∠A ，所以以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似只有两种情况，ABC CAP 或ABC CPA ，根据对应边成比例列式求出PC 的长．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∵l ∥AB ，∴∠ACP ＝∠A ，当以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，①ABC CAP ， ∴AB AC CA CP =，则544CP=，解得 3.2CP =， ②ABC CPA ， ∴AB AC CP CA =，则544CP =，解得5CP =， 综上可知若△ABC 与△PAC 相似，则PC ＝3.2或5．故答案为：3.2或5．【点睛】本题考查圆周角定理和相似三角形的存在性问题，解题的关键是利用分类讨论的思想根据相似三角形对应边成比例求出要求的线段长．24．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或254【分析】分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．【详解】解：①如图，90CPD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，∴AD BD CD ==，∴DCP ABC ∠=∠，∵90CPD BCA ∠=∠=︒，∴CPD BCA ， ∴CP CD BC BA =， ∵6AC =，8BC =，∴10AB =，5AD BD CD ===， ∴5810CP =，解得4CP =；②如图，90CDP ∠=︒，此时CDP BCA ，∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254CP =．故答案是：4或254． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 25．①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接AGFG 根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和解析：①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF 的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF=∠CBG ，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△BNF ∽△BCG ，32BN BC NF CG ∴==， BN 32NF =，②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，2213AF AB BF =+=1122ABF AF BN AB BF S ∆=⋅=⋅， 6132413N B 3NF BN ===3AN 9113AF NF =∴=-， ∵E 是BF 中点， ∴EH 是△BFN 的中位线，313213,1313NH EH ==∴，BN ∥EH ， 111313AH AN MN AH EH∴==，，解得：MN=2713143， ∴BM=BN-MN=31311，MG=BG-BM=81311， 38BM MG ∴=，③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则713 11142712213S 13CFG GNF CGNF S S CG CF NF NG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， 11633512226213ANG ADG ANGD S S S AN GN AD DG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， S 12CGNF S ≠四边形，④错误； 故答案为 ①③．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．26．24【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D 先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长再求出PQ 即可【详解】解：如图过N 点作ND ⊥PQ 于D ∴又∵AB=2BC=15DN=PM=12NM=08∴∴QD=16∴P解析：2.4【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D ，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再求出PQ 即可．【详解】解：如图，过N点作ND⊥PQ于D，∴BC DN AB QD=，又∵AB=2，BC=1.5，DN=PM=1.2， NM=0.8，∴1.5 1.22QD=，∴QD=1.6，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4（m）．故答案为：2.4．【点睛】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．三、解答题27．（1）DE∥BF，见解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ＜BE；②x=6或x=1116或x=218【分析】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE=10，MN=6，把53y=代入5103y x=-+，解得x=5，即NQ=5，得出QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出结果；（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=3BE=3DP=DF时，求出BQ=645，即可得出BQ＜BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则FQ CFDP CD=，即可求出x=1116；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则PE AEBQ AB=，求出AE=53AB=133，即可得出x=218，由图可知，PQ不可能过点B．【详解】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，令y=0，得x=6，∴MN=6，把y=53代入5103y x=-+，解得：x=5，即NQ=5，∴QM=6-5=1，∵Q是BF中点，∴FQ=QB，∵BM=2FN，∴FN+5=1+2FN，解得：FN=4，∴BM=8，∴BF=FN+MN+MB=18；（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF=EM，EH∥CD，∴∠MHB=∠C=90°，∵∠A=90°，∠AED=30°∴AD=12DE=5，∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∴∠DFM=∠DEM=120°，∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，∴∠MEB=∠FBE=30°，∴DF=EM=BM=8，∴MH=12BM=4，∴EH=8+4=12，由勾股定理得：2243BM MH-=∴2283EH HB+=当DP=DF时，51083x-+=，解得：x=65，∴BQ=14-x=645，∵645＜83∴BQ＜BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ 经过点C 时，如图4所示：∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，∴CF=12BF=9， ∴CD=9+8=17，∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP ， ∴FQ CF DP CD =，49517103x x +=-+，解得：x=1116； （Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示：∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴PE AE BQ AB=， 由勾股定理得：2253DE AD -=∴AB=8353133+=，∴510(10)53314133xx--+=-，解得：x=218，由图可知，PQ不可能过点B；综上所述，当x=6或x=1116或x=218时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．28．（1）画图见解析；（2）1:2；（3）画图见解析；A＂（6,0），B＂（3，-2），C＂（4，-4）【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；（2）由OB=2OB′，即可得出△A′B′C′与△ABC的位似比为1：2；（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．【详解】解：（1）图中点O为所求；（2）△A′B′C′与△ABC的位似比等于1：2；故答案为：1：2；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）；C″（4，-4）．【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．。

江苏苏州市九年级数学下册第二十七章《相似》综合经典测试卷(答案解析)

江苏苏州市九年级数学下册第二十七章《相似》综合经典测试卷(答案解析)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列判断正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm3．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 4．如图，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，点D 、E 在AB 边上，45DCE ∠=，若3,4AD BE ==，则ABC ∣的面积为（ ）A ．20B ．24C ．32D ．365．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．166．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．152 7．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ） ①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ）A ．90B ．180C ．270D ．3600 9．已知a 3b 4=，则下列变形错误的是（ ）A ．34a b =B ．34a b =C ．4a=3bD ．43b a = 10．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案11．已知线段a 、b 有52a b a b +=-，则:a b 为（ ） A ．5:1 B ．7:2 C ．7:3 D ．3:712．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（ ）． A ．2 B ．51- C ．2或51-D ．35- 13．下列判断中，不正确的有（ ）A ．三边对应成比例的两个三角形相似B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似14．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点P 沿BC 边以2cm/s 的速度从点B 向点C 移动，同时点Q 沿CA 边以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动．若以点C 、P 、Q 构成的三角形与△ABC 相似，则运动时间为____________秒．16．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．17．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________18．如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料ABC ，它的边120BC mm =，高80AD mm =．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．设PN xmm =，用x 的代数式表示AE =________mm ，由//PN BC ，可得APN ABC ∽△△，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得PN =________mm ．拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时，PN =________mm ．19．如图，把正ABC ∆沿AB 边平移到''A B C '的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC ∆的面积的一半，若23AB =，则此三角形平移距离'CC 的长度是_________．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 在x 轴上，(2,0)D ，点D 的上方为点(2,1)C ，以原点O 为位似中心，相似比为1:3，在第一象限内把线段CD 扩大后得到线段AB ，则点A 的坐标为___________．21．目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一．现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a=3米和b=4米，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分为含以b 为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为____________米22．已知⊙O 的半径为2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以AP 为边作等腰Rt △APG ，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为____．23．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．24．若()0a b a c b c k k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 25．如图，BC 为半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，且BF:FC=5:1，若AB=8，AE=2，则AD 的长为__________．26．若233a b c ==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0）、A （﹣1，2）、B （﹣2，﹣1），P （m ，n ）是△OAB 的边AB 上一点．（1）画出将△OAB 向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O 1A 1B 1 ，并写出点P 的对应点P 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出△OAB 的一个位似△OA 2B 2 ，使它与△OAB 的相似比为2：1，并写出点P 的对应点P 2的坐标；（3）判断△O 1A 1B 1与△O 2A 2B 2，能否是关于某一点Q 为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q ，并写出点Q 的坐标．28．下图是由边长为1的小正方形组成的5×4网格，A 、B 、C 、D 、E 、F 、P 、Q 均为网格格点，请用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法.（1）在线段AB 上找到一点M ，使△AQM ≌△BPM.（2）在线段CD 上找点N ，使△ECN ∽△FDN.29．已知：如图在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．求证：△BEC ∽△BCH ．30．如图，已知O 的半径长为1，AB 、AC 是O 的两条弦，且=AB AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ．（1）求证：OAD ABD ∽△△．（2）当OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离．（3）记AOB 、AOD △、COD △的面积分别为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 和3S 的比例中项，求OD 的长．【参考答案】一、选择题1．B2．C3．B4．D5．D6．C7．D8．A9．A10．D11．C12．C13．B14．D二、填空题15．或【分析】首先设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似然后分别从当即时△CPQ∽△CBA与当即时△CPQ∽△CAB去分析求解即可求得答案【详解】设点P移动t秒时△CPQ与△ABC相似∵点P从点B以2c16．25【分析】连接EO可知EO⊥ED延长DE到点F作BF⊥DF根据题意可知△DEO∽△DFB在△EFB中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO可知EO⊥ED17．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM：CD=2：3由MN∥AB可得△CMN∽△CDB再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M是△ABC的重心∴AD=BD=CM：CD=2：3∵MN18．48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算然后根据矩形的性质可设则进行求解即可；【详解】设则∵PN∥BC∴∴即解得∴拓展：设则∵PN∥BC∴∴∴解得∴；故答案是：；48；【点睛19．【分析】根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形且面积比为2：1所以AB：A′B=：1推出A′B=从而得到AA′的长【详解】解：∵△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置∴AC∥A′C′∴△AB20．（63）【分析】根据位似变换的性质可知△ODC∽△OBA相似比是根据已知数据可以求出点A的坐标【详解】解：由题意得△ODC∽△OBA相似比是∴又∵∴OD=2CD=1∴OB=6AB=3∴点A的坐标为：21．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B分别计算即可【详解】解：如图在Rt△ABC中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△22．【分析】连接OA作OH⊥OA交⊙O于点H连接AHHCOP首先证明∠OAP∽△HAG推出由OP=2可得HG=2由OG≤OH+HG推出OG≤2+2由此即可解决问题；【详解】解：连接OA作OH⊥OA交⊙O23．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC的长【详解】解：①如图∵且D是AB中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键24．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（25．【分析】连接BEDE则BE⊥AC由勾股定理可求得BE再证明△EBF∽△CBE列比例式可求得CF的长即BC的长由勾股定理求得CE的长进而可求得AC的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE∽△26．66【分析】设a=2kb=3kc=3k代入求出k值进而求得abc然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．B解析：B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．2．C解析：C【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长约为3.7cm或2.3cm，故此选项错误；故选择：C．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．3．B解析：B首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.【详解】∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OB OD OC==， ∵AD 与BC 相交于点O ，∴∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OA DC OD==， ∵12AB cm =∴CD=12433AB ==cm, 故选B.【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.4．D解析：D【分析】设DE x =，则7AB x =+，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x 的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可．【详解】设DE x =，则7AB x =+，45DCE CAE DBC ∠=∠=∠=︒，ACE CDE BDC ∴△△△．设,CD a CE b ==，则有以下等式：()::3x b b x =+，()::4x a a x =+，::x a b AC =，整理得()()223,4,b x x a x x x AC ab =+=+⋅=， ()()()22222227342x x x x x a b x AC +++===， 解得5x =，12AB ∴=，AC BC ∴== 1362ABC S ∴=⨯=△，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 5．D解析：D【分析】根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠ADB=45°，∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF=∠BAC=45°，∵∠AEF=∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ， ∴AE EF DE AE=， ∴EF•ED=AE 2，∵AE=4， ∴EF•ED 的值为16，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．6．C解析：C【分析】 根据平行线分线段成比例得到BC AD CE DF =，代入已知解答即可． 【详解】解：∵////AB CD EF ， ∴BC AD CE DF=， ∵:3:1AD DF =，10BE =， ∴1031CE CE -=， 解得：CE=52， 故选：C ．本题考查平行线分线段成比例、比例的性质，掌握平行线分线段成比例是解答的关键，注意对应线段的顺序．7．D解析：D【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．8．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x，x，则9x－x=80，解得：x=10，故较大三角形的面积为：9x=90．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．9．A解析：A【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】解：由34ab得，4a=3b，A、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；B 、由等式性质得到4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；C 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；D 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．10．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ，∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ， ∴2299=64ADE FGH S DE k S GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】把比例式化成乘积式求出ab 之间的关系即可.【详解】∵52a b a b +=- ∴2()5()a b a b +=- 解得37a b =∴:7:3a b =故选C.【点睛】本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键. 12．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则12AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)111222AP AB ==⨯=；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)111222BP AB ==⨯=，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比为12是解题的关键． 13．B解析：B【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．14．D解析：D【分析】证明△ABE ≌△DCE ，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE ≌△DCE ，△ABG ≌△CBG ，可得∠BCF=∠CDE ，由余角的性质可得结论②；证明△DCE ≌△CBF 可得结论③，证明△CHF ∽△CBF 即可得结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，∴AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）∴∠DEC=∠AEB ，∠BAE=∠CDE ，DE=AE ，故①正确，∵AB=BC ，∠ABG=∠CBG ，BG=BG ，∴△ABG ≌△CBG （SAS ）∴∠BAE=∠BCF ，∴∠BCF=∠CDE ，且∠CDE+∠CED=90°，∴∠BCF+∠CED=90°，∴∠CHE=90°，∴CF ⊥DE ，故②正确，∵∠CDE=∠BCF ，DC=BC ，∠DCE=∠CBF=90°，∴△DCE ≌△CBF （ASA ），∴CE=BF ，∵CE=12BC=12AB ， ∴BF=12AB ， ∴AF=BF ，故③正确，∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC∴∠BCF+∠DECC=90°，∴∠CHE=90°∴∠CHE=∠FBC又∠DEC=∠BFC∴△CHF ∽△CBF ∴CH CE BC CF= ∵BC=2CE ， ∴2BC CE CE CE CH CF CF == ∴22CE CH CF =⋅故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．二、填空题15．或【分析】首先设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似然后分别从当即时△CPQ ∽△CBA 与当即时△CPQ ∽△CAB 去分析求解即可求得答案【详解】设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似∵点P 从点B 以2c解析：125或3211【分析】首先设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似，然后分别从当CP CQ CB CA =，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CBA ，与当CQ CP CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CAB ，去分析求解即可求得答案．【详解】设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似， ∵点P 从点B 以2cm/s 的速度向点C 移动，点Q 以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动， ∴BP ＝2tcm ，CQ ＝tcm ，则CP ＝CB−BP ＝8−2t （cm ），∵∠C 是公共角，∴当CP CQ CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CBA ， 解得：t ＝125； 当CQ CP CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CAB ， 解得：t ＝3211， ∴点P 移动125s 或3211s 时△CPQ 与△ABC 相似． 故答案为：125或3211【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用．16．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED解析：25π【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=∵DO=OB ，∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，()22102=1004r +， ∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；17．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN解析：3【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=1632AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心， ∴AD=BD=1632AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CDB ， ∴23MN CM DB CD ==， 2363=，解得43MN =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 18．48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算然后根据矩形的性质可设则进行求解即可；【详解】设则∵PN ∥BC ∴∴即解得∴拓展：设则∵PN ∥BC ∴∴∴解得∴；故答案是：；48；【点睛解析：80x -484807 【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质可设BQ x =，则2PN x =，80AE x =-，进行求解即可；【详解】设PN xmm =，则PN PQ ED xmm ===，()80AE AD ED x mm =-=-，∵PN ∥BC ，∴APN ABC ， ∴PN AE BC AD =， 即8012080x x -=，解得48x =， ∴48PN mm =，拓展：设PQ xmm =，则2PN xmm =，()80AE AD ED x mm =-=-，∵PN ∥BC ，∴APN ABC ， ∴PN AE BC AD =， ∴28012080x x -=，解得2407x =， ∴48027PN x ==； 故答案是：80x -；48；4807． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键．19．【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形且面积比为2：1所以AB ：A′B=：1推出A′B=从而得到AA′的长【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置∴AC ∥A′C′∴△AB解析：【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB ：：1，推出，从而得到AA′的长．【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，∴AC ∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BD ， ∴21()2A BDABC S A B S AB ''∆∆==， ∴AB ：：1，∵AB=∴，∴AA′=．由平移可得' 'CC AA =∴'6CC =故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC 与阴影部分为相似三角形．20．（63）【分析】根据位似变换的性质可知△ODC ∽△OBA 相似比是根据已知数据可以求出点A 的坐标【详解】解：由题意得△ODC ∽△OBA 相似比是∴又∵∴OD=2CD=1∴OB=6AB=3∴点A 的坐标为：解析：（6，3）【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3，根据已知数据可以求出点A 的坐标．【详解】解：由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3， ∴13OD DC OB AB ==， 又∵(2,0)D ，(2,1)C ∴OD=2，CD=1，∴OB=6，AB=3，∴点A 的坐标为：（6，3），故答案为：（6，3）．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．21．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B 分别计算即可【详解】解：如图在Rt △ABC 中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△解析：16或10+25或403【分析】分三种情形讨论即可，①AB=BE 1，②A B=AE 3，③E 2A=E 2B ，分别计算即可． 【详解】解：如图在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90，BC=3，AC=4 ∴225AB BC AC =+=①当BA=BE 1=5时，CE 1=2， ∴221125AE AC CE =+=∴△ABE 1周长为（5②当AB=AE 3=5时，CE 3=BC=3，BE 3=6，∴△ABE 3周长为16米．③当E 2A=E 2B 时，作E 2H ⊥AB ，则BH=AH=2.5，∵∠B=∠B ，∠ACB=∠BHE 2=90∘，∴△BAC ∽△BE 2H ，∴2BE BH BC AB=∴BE 2=256， ∴△ABE 2周长为25402563⨯+=米． 综上所述扩充后等腰三角形的周长为16或10+25或403米 故答案为：16或10+25或403【点睛】 本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定、三角形周长等知识，正确理解题意是解题的关键，运用了分类讨论的数学思想，注意漏解．22．【分析】连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O 于点H 连接AHHCOP 首先证明∠OAP ∽△HAG 推出由OP=2可得HG=2由OG≤OH+HG 推出OG≤2+2由此即可解决问题；【详解】解：连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O 解析：222+【分析】连接OA ，作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ，连接AH ，HC ，OP ．首先证明∠OAP ∽△HAG ，推出22OP OA HG AH ==，由OP=2，可得HG=22，由OG≤OH+HG ，推出OG≤2+22，由此即可解决问题；【详解】解：连接OA ，作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ，连接AH ，HG ，OP ．∵OA =OH ，∠AOH =90°，∴AH 2OA ，∴AP =PG ，∠APG =90°，∴AG 2AP ，∴2OA AP AH AG == ∵∠OAH =∠PAG =45°，∴∠OAP ∽△HAG ，∴22OP OA HG AH ==．∵OP =2，∴HG =22． ∵OG ≤OH +HG ，∴OG ≤2+22，∴OG 的最大值为2+22．故答案为：2+22．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．23．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或254【分析】分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．【详解】解：①如图，90CPD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，∴AD BD CD ==，∴DCP ABC ∠=∠，∵90CPD BCA ∠=∠=︒， ∴CPD BCA ，∴CP CD BC BA=， ∵6AC =，8BC =，∴10AB =，5AD BD CD ===， ∴5810CP =，解得4CP =；②如图，90CDP ∠=︒，此时CDP BCA ， ∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254CP =．故答案是：4或254． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 24．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（解析：1-或2 【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0 a+b+c=0或k=2， 当0a b c ++=时，a b c +=-，1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．25．【分析】连接BEDE 则BE ⊥AC 由勾股定理可求得BE 再证明△EBF ∽△CBE 列比例式可求得CF 的长即BC 的长由勾股定理求得CE 的长进而可求得AC 的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△解析：12【分析】连接BE ，DE ，则BE ⊥AC ，由勾股定理可求得BE ，再证明△EBF ∽△CBE ，列比例式可求得CF 的长，即BC 的长，由勾股定理求得CE 的长，进而可求得AC 的长，再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△ACB ，则有AD AE AC AB =， 即可求得AD 的长． 【详解】解：连接BE ，∵BC 为半圆O 的直径，∴BE ⊥AC ，即∠AEB=∠BEC=90°，在Rt △ABE 中，AB=8，AE=2，由勾股定理得：=∵EF ⊥BC ，∴∠EFB=∠BEC=90°，又∠EBF=∠EBC ，∴△EBF ∽△CBE ， ∴BE BF BC BE=， ∵BF:FC=5:1， ∴BF=5FC ，BC=6CF ，∴6CF =，解得：，∴在Rt △BEC 中，==∴∵∠DAE=∠CAB ，∠ADE=∠ACB ，∴△ADE ∽△ACB, ∴AD AE AC AB=， 28=，解得：=，故答案为：132+．【点睛】本题考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．26．66【分析】设a=2kb=3kc=3k 代入求出k 值进而求得abc 然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k 代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9解析：6.6【分析】设a=2k ，b=3k ，c=3k ，代入233a b c ++=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可．【详解】解：由233a b c ==可设a=2k ，b=3k ，c=3k ， 代入233a b c ++=得：4k+3k+3k=33，解得：k=3.3，∴a=6.6，b=c=9.9，∴a b c -+=a =6.6，故答案为：6.6．【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．三、解答题27．（1）()121P m n +-，，作图见解析；（2） ()222P m n ，，作图见解析；（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）．【分析】（1）根据平移规律，画出111,,A B O 即可；（2）根据位似图形的性质，画出△22OA B 即可；（3）对应点连线的交点即为位似中心；【详解】解：（1）△111O A B 如图所示，1P （m+2，n-1）；（2）△22OA B 如图所示，2P （2m ，2n ）．（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）；【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．28．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接PQ,AB 交点即为所求；（2）找到F 点关于CD 的对称点F’，连接CD,EF’，交点即为所求．【详解】（1）如图，M 点为所求；（2）如图，N 点为所求．【点睛】此题主要考查网格中作图，解题的关键是熟知熟知网格的特点、对称性、全等三角形与相似三角形的判定方法．29．见解析．【分析】由题意可得△CDF ≌△CBE ，所以可得∠DCF ＝∠BCE ，进一步结合菱形的性质可得∠H ＝∠BCE ，再由∠B ＝∠B 即可得到所证结论成立．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE （SAS ），∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠H ＝∠BCE ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ．【点睛】本题考查菱形的综合应用，综合运用菱形的性质、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定是解题关键 ．30．（1）见解析；（2）BC =；（3）OD =． 【分析】（1）由△AOB ≌△AOC ，推出∠C=∠B ，由OA=OC ，推出∠OAC=∠C=∠B ，由∠ADO=∠ADB ，即可证明△OAD ∽△ABD ；（2）如图2中，当△OCD 是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；（3）如图3中，作OH ⊥AC 于H ，设OD=x ．想办法用x 表示AD 、AB 、CD ，再证明AD 2=AC•CD ，列出方程即可解决问题；【详解】解：（1）在AOB 和AOC △中， OA OA AB AC OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AOB AOC △≌△，C B ∴∠=∠，又∵OA OC =，OAC C B ∴∠=∠=∠，而ADO ADB ∠=∠，OAD ABD ∴∽△△．（2）如图：。

【单元练】江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》经典测试题(含答案解析)

【单元练】江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》经典测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:5D ．2:3:4C 解析：C【分析】根据题意易得ADF AEG ABC ，则有13AD AB =，23AE AB =．进而可求得119ABC S S =，213ABC S S =，359ABC S S =，最后即可求出结果．【详解】∵DF ∥EG ∥BC ，∴ADF AEG ABC ，∵D 、E 是AB 的三等分点， ∴13AD AB =，23AE AB =， ∴119ABC S S =，49AEG ABC S S =．∵21411993AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=，34599ABC AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=． ∴123115::::1:3:5939ABC ABC ABC S S S S S S ==．故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）A ．2cm ，4cm ，6cm ，8cmB ．10cm ，20cm ，30cm ，40cmC ．2.2cm ，3.3cm ，5cm ，8cmD ．20cm ，30cm ，60cm ，40cm D解析：D【分析】 根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【详解】解：A 、2×8≠4×6，故本选项错误；B 、10×40≠20×30，故选项错误；C 、2.2×8≠3.3×5，故选项错误；D 、20×60=30×40，故本选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．3．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1AE BE =，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AG GC的值为（ ）．A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:5D解析：D【分析】 证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AE GC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =，∴AFE △≌△()DFP AAS ，∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，∴3AB CD k ==，5PC k =，∵//AE BC ， ∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A ．∠BAC ＝∠ADCB ．∠B ＝∠ACDC ．AC 2＝AD •BC D ．DC AB AC BC=D 解析：D【分析】 利用相似三角形的判定定理，在AD ∥BC ，得∠DAC ＝∠BCA 的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．【详解】解：A ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠BAC ＝∠ADC 时，则△ABC ∽△DCA ；B ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠B ＝∠ACD 时，则△ABC ∽△DCA ；C ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，由AC 2＝AD •BC 变形为AC AD BC AC =，则△ABC ∽△DCA ； D ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当DC AB AC BC=时，不能判断△ABC ∽△DCA ． 故选择：D ．【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．5．下列判断正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm C解析：C【分析】A ．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B ．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D ．利用黄金分割法可求出BC 有两个值即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B 、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C 、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D 、若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm 或2.3cm ，故此选项错误；故选择：C ．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键． 6．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）A ．18013B ．10C ．12613D ．1A解析：A【分析】连结AM ，AN ，根据圆周角定理可知△ABM 是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC 的长；易证△AMN ∽△ACD ，根据相似三角形的性质即可求出MN 的长．【详解】解：连结AM ，AN ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，∵AB=13，BM=5，∴AM=22=12，AB BM∵CM=9，∴AC=15，∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，∴∠MNA=∠CAD，∵∠AMN=∠ACN，∴∠AMN=∠ACN，∵△NMA∽△ACD，∴AM：MN=CD：AC，∴12：MN=13：15，∴MN=180．13故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．7．如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（）A．5米B．6米C．8米D．10米C解析：C【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．【详解】解：如图，假设没有墙，电线杆AB的影子落在E处，∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5=2：1，∴AB：BE=2：1，∵CD=2，BE=BD+DE，∴BE=3+1=4，∴AB：4=2：1，∴AB=8，即电线杆AB的高为8米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解．8．如图△BCD中，BE⊥CD，AE＝CE=3，BE＝DE=4．BC=5，DA的延长线交BC于F，则AF=（）A．1 B．0.6 C．1.2 D．0.8B解析：B【分析】根据条件和判断Rt△CEB≌Rt△AED，然后得到角相等，证明△BEC∽△BFA，利用比例关系计算．【详解】解：∵AE=3，BE=4∴BA=BE-AE=1∴22AE DE-在Rt△CEB与Rt△AED中AE CE AD CB=⎧⎨=⎩∴Rt△CEB≌Rt△AED∴∠EBC=∠BAF∵∠ADE+∠EAD=90°，∠BAF=∠EAD ∴∠EBC+∠BAF=90°∵∠BEC=∠BFA=90°∴△BEC ∽△BFA ∴AF BA CE BC =即135AF = ∴AF=0.6故选：B【点睛】 本题考查相似和全等的结合，通过全等得到角关系，然后证相似得到比例关系计算边长即可．．9．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2C解析：C【分析】 为了便于计算，可设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y ，利用AG ∥BD ，可得△AGF ∽△BDF ，从而可求出AG ，那么就可求出AE ：EC 的值．【详解】解：如图所示，∵AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1∴设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y∵12//l l ，∴△AGF ∽△BDF ，∴AG BD ＝AF BF ∴3AG y ＝23∴AG ＝2y∴AE ：EC ＝AG ：CD ＝2y ：y ＝2：1故选：C ．【点睛】根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．10．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（ ）A ．7.5B ．4.5C ．8D ．6A解析：A【分析】 先判断△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比求BC 的长．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB ==， ∴5515.3222BC DE ==⨯=． 故选：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的性质．二、填空题11．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理由AB ∥GH 得出由GH ∥CD 得出将两个式子相加即可求出GH 的长【详解】解：即①即②①②得解得故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理熟练运用等式的性质进行解析：65【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH CH AB BC =，由GH ∥CD ，得出3GH BH BC =，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】解：//AB GH ，GH CH AB BC∴=， 即2GH CH BC=①， //GH CD ，GH BH CD BC∴=， 即3GH BH BC=②， ①+②，得23GH GH CH BH BC BC+=+， CH BH BC +=，123GH GH ∴+=， 解得65GH =． 故答案为：65 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中． 12．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD解析：43【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 13．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b的值为_______．6【分析】由等式可用a 表示出b 代入求值即可【详解】解：∵5a=6b （a≠0）∴b=a ∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b 是解题的关键【分析】由等式可用a 表示出b ，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b （a≠0），∴b=56 a ， ∴1651--66a ab a a a ===， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a 表示出b 是解题的关键．14．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A ，在近岸取点D ，B ，使得A ，D ，B 在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得10m BD =，然后又在垂直AB 的直线上取点C ，并量得30m BC =．如果20m DE =，则河宽AD 为_________m ．20【分析】证出ADE 和ABC 相似然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【详解】解：∵AB ⊥DEBC ⊥AB ∴DE ∥BC ∴ADE ∽ABC ∴即解得：AD ＝20m 故答案为：20【点睛】本题考查了相似三解析：20【分析】证出ADE 和ABC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：∵AB ⊥DE ，BC ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴ADE ∽ABC ， ∴AD DE AB BC =， 即201030AD AD =+， 解得：AD ＝20m ．故答案为：20．本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 15．若 14b a b =-，则a b的值为__________．5【分析】根据比例的性质可用b 表示a 代入可得答案【详解】解：由得4b=a-b 得a=5b ∴=5故答案是：5【点睛】本题考查了比例的性质利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键解析：5【分析】根据比例的性质，可用b 表示a ，代入可得答案．【详解】解：由14b a b =-，得4b=a-b ． 得a=5b ， ∴5a b b b==5， 故答案是：5．【点睛】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键． 16．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的解析：252【分析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．【详解】解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），∴5135BD BC 1--==： ∵ABD △的面积是252∴ABC 的面积()352522522=÷=故答案为：252+．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．17．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC为_________尺．575【分析】由题意可得△AFB∽△ADC根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB∽△ADC∴可设BC=x则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】解析：57.5【分析】由题意可得△AFB∽△ADC，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．【详解】解：由题意可知：△AFB∽△ADC，∴AB FB AC DC=，可设BC=x，则有50.455x=+，解之可得：BC=57.5（尺），故答案为57.5．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．18．在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC与ADE相似，则AD=__________．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴解析：163或3【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．19．如图，点A在反比例函数kyx=（k≠0）的图像上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴与点C，若12ACBC=，△AOB的面积为12，则k的值为_______．12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则△ADC ∽△BOC 由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积再根据反比例函数的k 的几何意义得结果【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则△ADC ∽△BOC ∴∵△AOB 的解析：12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积，再根据反比例函数的k 的几何意义得结果．【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，∴12DC AC OC BC ， ∵12AC BC ，△AOB 的面积为12， ∴S △AOC ＝13S △AOB ＝4， ∴S △ACD ＝12S △AOC ＝2， ∴△AOD 的面积＝6， 根据反比例函数k 的几何意义得，12|k|＝6， ∴|k|＝12，∵k ＞0，∴k ＝12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了反比例函数的k 的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．20．已知b c c a a b a b c+++==＝k ，则k =______．参考答案2或-1【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时根据比例的等比性质求得k 的值；②当a+b+c=0时即a+b=-c 求得k 的值【详解】解析：2或-1．【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，求得k 的值；②当a+b+c=0时，即a+b=-c ，求得k 的值．【详解】①当a+b+c≠0时，由等比性质得k=2()a b c a b c++++=2； ②当a+b+c=0时，即a+b=-c(或a+c=-b 或b+c=-a)，得k=c c-=-1． 故答案为2或-1．【点睛】 此题考查比例的等比性质，解题时要注意等比性质的条件．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合），在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN x =，PD y =，已知5103y x =-+，当Q 为BF 中点时，53y =．（1）判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由：（2）求DE ，BF 的长；（3）若30AED ∠=︒①当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个项点时，求所有满足条件的x 的值．解析：（1）DE∥BF，见解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ＜BE；②x=6或x=11 16或x=21 8【分析】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE=10，MN=6，把53y=代入5103y x=-+，解得x=5，即NQ=5，得出QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出结果；（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=43，BE=83，当DP=DF时，求出BQ=645，即可得出BQ＜BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则FQ CFDP CD=，即可求出x=1116；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则PE AEBQ AB=，求出AE=53，AB=133，即可得出x=218，由图可知，PQ不可能过点B．【详解】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，令y=0，得x=6，∴MN=6，把y=53代入5103y x=-+，解得：x=5，即NQ=5，∴QM=6-5=1，∵Q是BF中点，∴FQ=QB，∵BM=2FN，∴FN+5=1+2FN，解得：FN=4，∴BM=8，∴BF=FN+MN+MB=18；（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF=EM，EH∥CD，∴∠MHB=∠C=90°，∵∠A=90°，∠AED=30°∴AD=12DE=5，∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∴∠DFM=∠DEM=120°，∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，∴∠MEB=∠FBE=30°，∴DF=EM=BM=8，∴MH=12BM=4，∴EH=8+4=12，由勾股定理得：HB=2243BM MH-=，∴BE=2283EH HB+=，当DP=DF时，51083x-+=，解得：x=65，∴BQ=14-x=645，∵645＜83，∴BQ＜BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，∴CF=12BF=9，∴CD=9+8=17，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP，∴FQ CFDP CD=，49517103xx+=-+，解得：x=1116；（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ， ∴PE AE BQ AB =， 由勾股定理得：AE=2253DE AD -=，∴AB=8353133+=，∴510(10)53314133x x --+=-，解得：x=218， 由图可知，PQ 不可能过点B ；综上所述，当x=6或x=1116或x=218时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，AB 是ABC 的内接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，12∠=∠，过点C 作CF DC ⊥交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（1）当105DF =，:1:2AE EC =时，求圆O 的半径．（2）在（2）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则:OMB DGF S S =△△______．（直接写出答案）解析：（1）254；（2）544【分析】（1）连接AD ，利用“HL”证明Rt △ADB ≅Rt △ACB ，推出AB ⊥DC ，DE=CE ，再证明BE 为△DCF 的中位线，利用锐角三角函数的定义得到AD 1BD 2=，再利用勾股定理即可求得⊙O 的半径；（2）同理先求得DE=5， DC=10，利用勾股定理可求得CG=152，证明△OBM ~△GCM ，推出56OM MG =，推出OBMGBM 56S S =，设OBM 5S a =，则GBM 6S a =，利用三角形的中线平分此三角形的面积，即可推出DGF 44Sa =，即可求得答案．【详解】（1）连接AD ，∵∠1=∠2，∴AD=AC ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90︒，∴Rt △ADB ≅Rt △ACB(HL)，∴DB=CB ，∠1=∠3，∴AB ⊥DC ，∴DE=CE ，∵CF ⊥DC ，∴BE ∥FC ，∴BE 为△DCF 的中位线， ∴DB=12DF=5 ∵AE ：EC=1：2， ∴AE AD 1tan 3tan 1EC BD 2∠∠====， ∴552∴()222252555522AD BD ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴⊙O 的半径为254； （2）连接BG ，∵CF ⊥DC ，∴∠ACG=90︒，∴DG 为⊙O 的直径，∵DE 1tan 3EB 2∠==， ∴EB=2DE ，∵222DE EB BD +=，即(222455DE DE +=， ∴DE=5，则DC=2DE=10， ∵222DC CG GD +=，即22225102CG ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴CG=152， ∵BO ∥GC ，∴△OBM ~△GCM ， ∴OM OB MG CG=， 则25541562OM OB MG CG ===， ∴OBM GBM 56S S =， 设OBM 5Sa =，则GBM 6S a =， ∴GBO 5611Sa a a =+=， ∵点O 为直径DG 的中点， ∴DBO GBO 11SS a ==， ∴DBG GBO222S S a ==， ∵点B 为线段DF 的中点，DGF DBG 244SS a ==， ∴OBM DGF 554444S a S a ==． 故答案为：544． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形中位线的判定和性质，三角形的中线的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x b =+经过点()2,0A -，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点C(m ，6)，过B 作BD y ⊥轴，交反比例函数()0k y x x=>的图象于点D ，连接AD ，CD ． （1）求b ，k 的值；（2）求△ACD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）4，6；（2）4.5；（3）存在，理由见解析．【分析】（1）把A(－2，0)，代入y ＝2x ＋b 得到b 的值，再把C(m ，6)代入y ＝2x ＋b ，求出m 的值，进而即可得到答案；（2）先求出B 的坐标，再求出点 D 的纵坐标，根据S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，进而即可求解；（3）分两种情况①△AOB ∽△EAB ，②△AOB ∽△ABE ，分别列出比例式，进而即可求解【详解】（1）∵直线y ＝2x ＋b 经过点A(－2，0)，∴－4＋b ＝0，∴b ＝4，∴直线y ＝2x ＋4．把C(m ，6)代入y ＝2x ＋4中，得6＝2m ＋4，解得m ＝1，∴C(1，6)．把C(1，6)代入反比例函数()0k y x x=>中，得k ＝6． （2）令x ＝0，得y ＝2x ＋4＝4，∴B(0，4)．∵BD⊥y轴于B，∴D点的纵坐标为4，把y＝4代入反比例函数y＝6x中，得x＝32，∴D（32，4），∴BD＝32，∴S△ACD＝S△ABD＋S△BCD＝4.5；（3）存在．当∠BAE＝90°时，如图①，∵∠BAE＝∠BOA＝90°，∠ABE＝∠OBA，∴△AOB∽△EAB，∴AB BOEB BA=，∵AB=222425+=,∴BE＝5，∴OE＝1，∴E(0，－1)；当∠ABE＝90°时，如图②，∵∠ABE＝∠AOB＝90°，∠OAB＝∠BAE，∴△AOB∽△ABE，∴AB AOAE BA=∴AE＝2ABAO＝10，∴OE＝AE－AO＝10－2＝8，∴E(8，0)．∴存在点E(除点O外)，使得△ABE与△AOB相似，其坐标为(8，0)或(0，－1)．① ②【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合以及相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及相似三角形的性质，是解题的关键．24．已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．求证：△BEC ∽△BCH ．解析：见解析．【分析】由题意可得△CDF ≌△CBE ，所以可得∠DCF ＝∠BCE ，进一步结合菱形的性质可得∠H ＝∠BCE ，再由∠B ＝∠B 即可得到所证结论成立．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE （SAS ），∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠H ＝∠BCE ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ．【点睛】本题考查菱形的综合应用，综合运用菱形的性质、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定是解题关键 ．25．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点()0,0O ，()1,3A -，()4,0B ，连接OA ，OB ，AB ．（1）若将OAB 向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到111O A B △，点O ，A ，B 的对应点分别为1O ，1A ，1B ，画出111O A B △并写出顶点1A 的坐标；（2）画出22OA B △，使22OA B △与OAB 关于原点对称，点A ，B 的对应点分别为2A ，2B ；（3）以点O 为位似中心，在给定的网格中将OAB 放大2倍得到33OA B ，点A ，B 的对应点分别为3A ，3B ，画出33OA B 并直接写出33A B 的长度．解析：（1）作图见解析，()16,1A ；（2）作图见解析；（3）作图见解析，33A B 的长度为【分析】（1）先根据平移作图画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点1A 的坐标；（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律得出点22,A B 的坐标，再画出点22,A B ，然后顺次连接点22,,O A B 即可得；（3）先根据位似的性质得出33,A B 的坐标，再画出点33,A B ，然后顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，最后利用两点之间的距离公式即可得33A B 的长度．【详解】（1）先画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，如图所示：由点坐标的平移变换规律得：()115,34A +-+，即()16,1A ；（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，()()1,3,4,0A B -，()()221,3,4,0A B ∴--，先画出点22,A B ，再顺次连接点22,,O A B 即可得22OA B △，如图所示：（3）()()1,3,4,0A B -，()()3312,32,42,02A B ⨯-⨯⨯⨯∴，即()()332,6,8,0A B -，33A B ∴==先画出点33,A B ，再顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，如图所示：【点睛】本题考查了平移作图、关于原点对称的点坐标变换规律、位似画图等知识点，熟练掌握各画图方法和点坐标的变换规律是解题关键．26．（1）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，求c 的长度． （2）已知()()2:11:3a a +=-，求a 的值．解析：（1）43；（2）7． 【分析】（1）根据线段比例中项的定义即可得；（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．【详解】（1）由题意得：a c b a=，即2a bc =， 将2,3a b ==代入得：223c =， 解得43c =； （2）由()()2:11:3a a +=-得：()()1123a a +-=⨯，整理得：216a -=，即27a =， 解得7a =【点睛】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键．27．如图，直线EF 与⊙O 相切于点C ，点A 为⊙O 上异于点C 的一动点，⊙O 的半径为4，AB ⊥EF 于点B ，设∠ACF ＝α（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若α＝45°，求证：四边形OCBA为正方形；（2）当AC＝4时，求α的度数．（3）若AC－AB＝1，求AC的长．解析：（1）见解析；（2）α的度数为30°或150°；（3）422AC=+或422-【分析】（1）连接OA，OC，先证明△ABC是等腰直角三角形，然后证明△OAC是等腰直角三角形，可得四边形OCBA是矩形，再根据OA＝OC，即可证明结论；（2）连接OA，OAꞌ，可证明△AꞌCO与△ACO是等边三角形，可得∠AꞌCO＝∠ACO＝60°，根据在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2，即可得出答案；（3）连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD，先证明△DCA∽△CAB，可得DC AC AC AB=，设AC＝a，则AB＝a−1，根据⊙O的半径为4，CD＝8，可得出结论．【详解】（1）如图，连接OA，OC，∵∠ACF＝α＝45°，AB⊥EF∴△ABC是等腰直角三角形∵EF与⊙O相切于C∴∠OCB＝90°∴∠OCA＝45°∵OA＝OC∴△OAC是等腰直角三角形∴∠OCB＝∠CBA＝∠COA＝90°∴四边形OCBA是矩形∵OA＝OC∴矩形OCBA是正方形；（2）如图，当AC＝AꞌC＝4时，AB＝2，连接OA，OAꞌ，则△A ꞌCO 与△ACO 是等边三角形∴∠A ꞌCO ＝∠ACO ＝60°在Rt △ACB 中，AC ＝4，AB ＝2∴∠ACB ＝30°∴∠A ꞌCB ＝150°∴α的度数为30°或150°；（3）如图2，连接CO 并延长，交⊙O 于D ，连接AD∵CD 为⊙O 的直径∴∠DAC ＝90°∴∠D +∠DCA ＝90°∵∠DCA +∠ACB ＝90°∴∠D ＝∠ACB又∵∠DAC ＝∠ABC ＝90°∴△DCA ∽△CAB ∴DC AC AC AB= 设AC ＝a ，则AB ＝a −1∵⊙O 的半径为4∴CD ＝8 ∴81a a a =- 解得：1422a =+2422a =- ∴422AC =+或422-【点睛】本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，正方形的判定，等边三角形的判定和性质等，掌握这些知识点是解题关键．28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO OC =，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．求点P 的坐标．解析：(2,422P -【分析】根据正方形的性质求出BO 和BQ 的长，再由COQ PBQ ，利用对应边成比例列式求出BP 的长，从而算出AP 的长，就可以得到点P 的坐标． 【详解】解：∵正方形OABC 的边长是2，∴2OC BC QO ===， 根据勾股定理，22BO =， ∴22BQ BO OQ =-=，∵//CO BP ，∴COQ PBQ ， ∴CO OQ PB BQ =，即2222PB =-，解得222PB =， ∴2222422AP AB BP =-=-=- ∴(2,422P -．【点睛】本题考查平面直角坐标系和图象，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例列式求线段长．。

江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合经典习题(答案解析)

江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合经典习题(答案解析)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为,AB BC 的中点，则三角形BEF 与多边形EFCDA 的面积之比为（ ）A ．1∶4B ．1∶5C ．1∶7D ．1∶82．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）A ．42B ．2C ．1D ．34．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：45．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DF DE AD = D ．BD BF AE DE = 6．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，3DF FC =． 联结AE AF EF 、、．那么下列结果错误的是( )A ．ABE △与ECF 相似B ．ABE △与AEF 相似C ．ABE △与ADF 相似D ．AEF 与ECF 相似7．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是BD 上的一个动点，过点P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ，连接OE ，OF ，设BP =x ，△OEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A ．512+B ．512-C ．1D ．2 9．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，F ，G ，则下列比例式正确的是（ ）A ．AE EF BE BD = B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC= 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB等于（ ）A ．2B ．22C ．512-D ．211．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．已知四个数2，3，m ，3成比例的线段，那么m 的值是（ ）A ．3B ．233C ．2D ．2313．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1- 14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题15．如图，一次函数y ＝﹣34x +6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，过线段AB 的中点P （4，3）作一条直线与△AOB 交于点Q ，使得所截新三角形与△AOB 相似，则点Q 坐标是_____．16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AC =，12BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且8DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则13PA PB +的最小值为________．17．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．18．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．19．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213D D D B =，且33//DE BC ；…；1113n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________．20．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．21．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．22．如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为______．23．如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料ABC ，它的边120BC mm =，高80AD mm =．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．设PN xmm =，用x 的代数式表示AE =________mm ，由//PN BC ，可得APN ABC ∽△△，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得PN =________mm ．拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时，PN =________mm ．24．若 14b a b =-，则a b的值为__________． 25．如图，一个半径为2的圆P 与x 正半轴相切，过原点O 作圆P 的切线OT ，切点为T ，直线PT 分别交x y ，轴的正半轴于A B 、两点，且P 是线段AB 的三等分点，则圆心P 的坐标为__________．26．已知：如图，ABC 内接于O ，且BC 是O 的直径，AD BC ⊥于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，6AB ＝，8AC ＝．则CD =_________________．AF =_________________．三、解答题27．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，顶点A 、B 都在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，使OA AB ⊥于A ，连结OC ，并延长交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若()1,A n ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求EOD ∠的度数．28．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明；（2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM=，作直线HE ． ①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出点P 的位置，若不存在，请说明理由；②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．29．如图，在ABC ∆中，AD 平分,BAC E ∠是AD 上一点，且BE BD =．（1）求证：ABE ACD ∆~∆；（2）若E 是线段AD 的中点，求BD CD的值．．30．黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；（2）请证明你找到的点是黄金分割点．【参考答案】一、选择题1．C2．B3．C4．B5．C6．C7．C8．A9．D10．A11．D12．B13．B14．B二、填空题15．（03）或（0）或（40）【分析】首先确定AB两点坐标分两种情形：①当PQ∥OB时②当PQ′⊥AB时分别求解即可【详解】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B与y 轴交于点A∴A（06）B（80）16．【分析】在BC上截取CF＝连接PFCPAF通过证明△ACP∽△PCF可得则PA+PB＝PA+PF 当点A点P点F共线时PA+PB的最小值为AF由勾股定理可求解【详解】解：如图：在BC 上截取CF＝连接P17．b【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC⊥AC∴D1E1∥BC∴∵D1是斜边AB的中18．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键19．【分析】由D1E1∥BC可得△AD1E1∽△ABC然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案20．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的21．1:2【分析】由可得DF：FB=1:2又由DE∥BC可得△DFE和△BFC相似确定DE:BC【详解】解：设为1则为2∵∴DF：FB=1:2又∵DE∥BC∴△DFE∽△BFC∴DE:BC=DF:FB=22．14【分析】根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性质可以求得△ABC的面积再根据折叠的性质得到△DEF的面积从而求解【详解】∵EF是△ABC的中位线∴EF∥BCEF=BC∴△AEF∽△ACB∴∵△23．48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算然后根据矩形的性质可设则进行求解即可；【详解】设则∵PN ∥BC ∴∴即解得∴拓展：设则∵PN ∥BC ∴∴∴解得∴；故答案是：；48；【点睛24．5【分析】根据比例的性质可用b 表示a 代入可得答案【详解】解：由得4b=a-b 得a=5b ∴=5故答案是：5【点睛】本题考查了比例的性质利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键25．或【分析】分两种情况①当AP=2BP 时当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可【详解】解：P 是线段AB 的三等分点有两种情况：连接OP 过点P 作PC ⊥y 轴设OD=x 则CP=x①当AP=2BP 时∵PD ∥OB ∴∴AD=26．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC 的长再用等面积法求出AD 长在用勾股定理求出CD 的长然后连接OF 证明利用对应边成比例求出DE 和OE 的长再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长最终得到AF 的长三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEF S k =，则4BAC S k =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果．【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点，∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEF BAC ， ∴221124BEF BAC S EF S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设BEF S k =，则4BAC Sk =， ∴3AEFC BAC BEF S SS k =-=， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴4ACD BAC S S k ==，∴7EFCDA AEFC ACD S S S k =+=， ∴::71:7BEF EFCDA S S k k ==．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．2．B解析：B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为2，210，所以三边之比为1：25A 、三角形的三边分别为210，2，三边之比为253，故本选项错误；B 、三角形的三边分别为2，4，51：25C 、三角形的三边分别为2，3132：313D 、三角形的三边分别为5，13，4，三边之比为5：13：4，故本选项错误． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．3．C解析：C【分析】如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．利用勾股定理求出BC ，再利用相似三角形的性质求出OH ，AH ，DH ，证明△DMH ∽△AOH ，构建关系式即可解决问题．【详解】解：如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴226BC AB AC -=，∵AD DB =，∴OD ⊥AB ，∵∠OAH=∠CAB ，∠AOH=∠ACB=90°，∴△AOH ∽△ACB ，∴OH OA AH BC AC AB== ∴56810OH AH == ∴1525,44OH AH ==， ∵DH=OD-OH=155544-=， ∵DM ⊥AC ，∵∠DMH=∠AOH=90°，∠DHM=∠AHO ，∴△DMH ∽△AOH ，∴DM DH AO AH=，∴542554DM =， ∴DM=1，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 5．C解析：C【分析】先根据已知条件可证得ADE ACB ∽，由此可得AED B ∠=∠，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可．【详解】解：∵AC 3AD =，3AB AE =， ∴AD AE 1AC AB 3==， 又∵A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽， ∴AED B ∠=∠，A 选项：∵A BFD ∠=∠，B B ∠=∠，∴BFD BAC ∽，故选项A 正确；B 选项：∵//DF AC ，∴C BFD ∠=∠，∠=∠A BDF ，∴BFD BCA △∽△，故选项B 正确；C 选项：BD DF DE AD=无法证明FDB △与ADE 相似； D 选项：∵BD BF AE DE=， AED B ∠=∠， ∴BFD EDA △∽△，故选项D 正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 6．C解析：C【分析】根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF 是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．【详解】解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：54AE EF AF ======， ∴222552541616AE EF AF +=+==，∴△AEF 是直角三角形， ∴在RT △ABE 、RT △ECF 、RT △ADF 、RT △AEF 中， ∠B=∠C=∠AEF=∠D ，42,3AB EC AE AD BE CF EF DF ====， ∴RT △ABE 、RT △ECF 、RT △AEF 两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，∴A 、B 、D 正确，C 错误，故选C ．【点睛】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．7．C解析：C【分析】根据题意易得BO =EF 与x 的关系，进而分两种情况，依情况来判断函数图像即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，∴AC BD ==12BO OD BD ===①当P 在OB 上时，即0x ≤≤∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ， ∴EF BP AC OB=， ∴22EF BP x ==， ∵OP x =，∴)2122y x x x =⨯⨯=-+；②当P 在OD x <≤∵EF ∥AC ，∴△DEF ∽△DAC ， ∴EF DP AC OD =，=，∴)2EF x =，∵BP=x ， ∴OP x =∴(()21242y x x x =⋅=-+-， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下，故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质，关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．8．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC=，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC ∴AB BC DA AC= ∴11a a a +=解得，12a +=或152a （舍去） 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．D解析：D【分析】根据相似三角形的判定推出△AEF ∽△ABD ，△AFG ∽△ADC ，△AEG ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．【详解】A 、∵EG ∥BC ，即EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，∴AE EF AB BD=， ∵AB BE ≠，故本选项不符合题意；B 、∵EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，∴EF AF BD AD=， ∵BD ≠DC ，故本选项不符合题意；C 、∵EG ∥BC ，即FG ∥DC ，∴△AFG ∽△ADC ，∴AG FG AC DC =， ∵AG AC AC CG≠，故本选项不符合题意； D 、∵EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴AE AG AB AC=， ∵FG ∥DC ， ∴△AFG ∽△ADC ， ∴AG FG AC DC =， ∴AE FG AB DC=，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能正确的识别图形、灵活运用定理进行推理是解此题的关键．10．A解析：A【分析】 首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12BF AD =，可得出2212AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】∵各种开本的矩形都相似，∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF=， ∴AD•BF=AB•AB ，又∵12BF AD =， ∴2212AD AB =，∴AD AB=， 故选A ．【点睛】本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．11．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ，∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ， ∴2299=64ADE FGH S DE k S GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12．B解析：B【分析】利用比例线段的定义得到23m =：m 即可．【详解】根据题意得23m =：所以3m =，所以m =． 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．13．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得=BF DF 12=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】解：∵点E 是BC 中点，∴BC=2BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，∴AD=2BE ，设BF=a ，∵OF=1，∴BO=DO=a+1，则DF=a+2，∵BC ∥AD∴△BEF ∽△DAF ， 12∴==BF BE DF DA ∴1,22=+a a 解得a=2，经检验a=2是原方程的解∴BF=2，∴BO=DO=3，∴BD=6故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．二、填空题15．（03）或（0）或（40）【分析】首先确定AB 两点坐标分两种情形：①当PQ ∥OB 时②当PQ′⊥AB时分别求解即可【详解】∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B与y 轴交于点A∴A（06）B（80）解析：（0，3）或（74，0）或（4，0）【分析】首先确定A，B两点坐标，分两种情形：①当PQ∥OB时，②当PQ′⊥AB时，分别求解即可．【详解】∵一次函数y＝﹣34x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，∴A（0，6），B（8，0），∴OA＝6，OB＝8，AB＝22OA OB+＝2268+＝10，如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．∵AP＝PB，∴AQ＝OQ，∴Q（0，3）．②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．∵PA＝PB，PQ′⊥AB，∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，解得m＝254，∴OQ′＝8﹣254＝74，∴Q′（74，0）．③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（74，0）或（4，0）．【点睛】本题考查一次函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】在BC上截取CF＝连接PFCPAF通过证明△ACP∽△PCF可得则PA+PB＝PA+PF当点A点P点F共线时PA+PB的最小值为AF由勾股定理可求解【详解】解：如图：在BC 上截取CF ＝连接P 解析：2413 【分析】 在BC 上截取CF ＝43，连接PF ，CP ，AF ．通过证明△ACP ∽△PCF ，可得31=PF BP ，则PA 13+PB ＝PA+PF ，当点A 点P ，点F 共线时．PA+13PB 的最小值为AF ，由勾股定理可求解．【详解】解：如图：在BC 上截取CF ＝43，连接PF ，CP ，AF ．∵DE ＝8，P 是DE 的中点，∴CP ＝12DE ＝4 ∵5AC =，12BC =，∵41132==CP BC ，41334==CF CP ； ∴=CP CF BC CP，且∠FCP ＝∠BCP ∴△PCF ∽△BCP ， ∴13==PF CF BP CP ， ∴PF ＝13BP ， ∵PA+13PB ＝PA+PF ， 当点A 、点P 、点F 共线时，PA+13PB 的最小值为AF ∴AF 22AC CF +16925+2413．故答案为：3． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 17．b 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB 中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC ⊥AC ∴D1E1∥BC ∴∵D1是斜边AB 的中 解析：12b 22(1)ab n + 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在△ACB 中，D 2为其重心可得D 2E 1＝13BE 1，然后从中找出规律即可解答． 【详解】解：∵D 1E 1⊥AC ，BC ⊥AC ，∴D 1E 1∥BC ， ∴1111AE AD CE BD =， ∵D 1是斜边AB 的中点，∴AD 1＝BD 1， ∴11111AE AD CE BD ==， ∵AC ＝b ， ∴AE 1＝E 1C ＝12b ， ∵D 1E 1∥BC ， ∴BD 1E 1与CD 1E 1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D 1E 1＝12BC ，CE 1＝12AC ，S 1＝212S △ABC ； ∴在ACB 中，D 2为其重心，∴D 2E 1＝13BE 1， ∴D 2E 2＝13BC ，CE 2＝13AC ，S 2＝213S △ABC ， ∵D 2E 2：D 1E 1＝2：3，D 1E 1：BC ＝1：2，∴BC ：D 2E 2＝2D 1E 1：23D 1E 1＝3，∴CD 3：CD 2＝D 3E 3：D 2E 2＝CE 3：CE 2＝3：4，∴D 3E 3＝14D 2E 2＝14×13BC ＝14BC ，CE 3＝34CE 2＝14×13AC ＝14AC ，S 3＝214S △ABC …； ∴S n ＝21(1)n +S △ABC ＝21(1)n +×12ab ＝22(1)ab n +． 故答案为：12b ，22(1)ab n +．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．18．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm 故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD ，∴AB EF BC DE= 即：2 1.8=1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键19．【分析】由D1E1∥BC 可得△AD1E1∽△ABC 然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案解析：10121()3- 【分析】由D 1E 1∥BC ，可得△AD 1E 1∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得111D E AD BC AB =，继而求得D 1E 1的长，又由D 1D 2= 113D B ，可得AD 2= 59AB ，继而求得D 2E 2的长，同理可求得D 3E 3的长，于是可得出规律，则可求得答案．【详解】解：∵D 1E 1∥BC ，∴△AD 1E 1∽△ABC ， ∴111D E AD BC AB=， ∵BC=1，AD 113AB =， ∴D 1E 113=， ∵D 1D 2=113D B ， ∴AD 2= 59AB ， 同理可得：22254211()993D E ==-=-， 3331921()273D E ==-， ∴21().3n n n D E =-∴101101D E =10121()3-． 故答案为：10121()3-．【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质．得到规律21().3nn n D E =-是关键． 20．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】//CE AB ，ADB EDC ∴∽，::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，解得： 4.8m AB =．即路灯的高度为4.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．21．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=解析：1:2【分析】由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.【详解】解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，∵2EFB EFD S S ∆∆=，∴DF ：FB=1:2，又∵DE ∥BC ，∴△DFE ∽△BFC ，∴DE:BC=DF:FB=1：2故答案为1:2【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 22．14【分析】根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性质可以求得△ABC 的面积再根据折叠的性质得到△DEF 的面积从而求解【详解】∵EF 是△ABC 的中位线∴EF ∥BCEF=BC ∴△AEF ∽△ACB ∴∵△解析：14【分析】根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得△ABC 的面积，再根据折叠的性质得到△DEF 的面积，从而求解．【详解】∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，EF=12BC ，∴△AEF ∽△ACB ， ∴22AEF ACB 1124S EF S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵△AEF 的面积为7，∴△ABC 的面积=28，由折叠的性质得△DEF 的面积为7，∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14．故答案为：14．【点睛】本题综合考查了折叠问题，三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 23．48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算然后根据矩形的性质可设则进行求解即可；【详解】设则∵PN ∥BC ∴∴即解得∴拓展：设则∵PN ∥BC ∴∴∴解得∴；故答案是：；48；【点睛解析：80x -484807 【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质可设BQ x =，则2PN x =，80AE x =-，进行求解即可；【详解】设PN xmm =，则PN PQ ED xmm ===，()80AE AD ED x mm =-=-，∵PN ∥BC ，∴APN ABC ， ∴PN AE BC AD =， 即8012080x x -=，解得48x =， ∴48PN mm =，拓展：设PQ xmm =，则2PN xmm =，()80AE AD ED x mm =-=-，∵PN ∥BC ，∴APN ABC ， ∴PN AE BC AD =， ∴28012080x x -=，解得2407x =，∴48027PN x ==； 故答案是：80x -；48；4807． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键．24．5【分析】根据比例的性质可用b 表示a 代入可得答案【详解】解：由得4b=a-b 得a=5b ∴=5故答案是：5【点睛】本题考查了比例的性质利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键解析：5【分析】根据比例的性质，可用b 表示a ，代入可得答案．【详解】 解：由14b a b =-，得4b=a-b ． 得a=5b ， ∴5a b b b==5， 故答案是：5．【点睛】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键．25．或【分析】分两种情况①当AP=2BP 时当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可【详解】解：P 是线段AB 的三等分点有两种情况：连接OP 过点P 作PC ⊥y 轴设OD=x 则CP=x①当AP=2BP 时∵PD ∥OB ∴∴AD=解析：或2)【分析】分两种情况①当AP=2BP 时，当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可．【详解】解：P 是线段AB 的三等分点，有两种情况：连接OP ，过点P 作PC ⊥y 轴，设OD=x ，则CP=x ，①当AP=2BP 时，∵PD ∥OB ， ∴=2AP AD PB DO=， ∴AD=2DO ，即AD=2x ，在RT △ADP 中，==， ∵23AP PD AB OB ==，PD=2，∴OB=3， ∵1122BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅， ∴3x=21x +·x ，解得122x =，222x =-(舍去)，∴P(22，2)；②当ＢP=2ＡP 时，∵PD ∥OB ，∴1=2AP AD PB DO =， ∴AD=12DO ，即AD=12x ， 在RT △ADP 中， AP=2222211()2424AD DP x x +=+=+，BP=216x +， ∵13AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=６，∵1122BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅， ∴６x=216x +·x ，解得125x =，225x =-(舍去)，∴P(22，2)；故答案为：P(22，2)或P(22，2)．【点睛】本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例及勾股定理，解题的关键是分情况讨论．26．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出BC 的长再用等面积法求出AD 长在用勾股定理求出CD 的长然后连接OF 证明利用对应边成比例求出DE 和OE 的长再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长最终得到AF 的长 解析：325【分析】根据直径所对的圆周角是直角，求出BC 的长，再用等面积法求出AD 长，在Rt ACD △用勾股定理求出CD 的长，然后连接OF ，证明ADE FOE ，利用对应边成比例求出DE 和OE 的长，再利用两次勾股定理分别求出AE 和EF 的长，最终得到AF 的长．【详解】解：∵BC 是O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∵6AB =，8AC =，∴10BC =， 利用等面积法，求出245AB AC AD BC ⋅==， 在Rt ACD △中，325CD ==， 如图，连接OF ，∵F 是弧BC 的中点，∴OF BC ⊥，∵AD BC ⊥，∴//OF AD ，∴ADE FOE ， ∴AD DE FO OE=， ∵327555DO CD OC =-=-=， ∴设DE x =，75OE x =-， ∴245755x x =-，解得2435x =， ∴2435DE =，57OE =， 在Rt ADE △中，7AE ==在Rt EFO 中，222527EF EO FO =+=， ∴2422527277AF AE EF =+=+=．故答案是：325；2． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．三、解答题27．（1）反比例函数的解析式为12y x+=；（2）22.5° 【分析】 （1）根据同角的余角相等和相似三角形的判定可证得△AOD ∽△BAC ，则有AO OD AD AB AC BC==，进而有AC=2，BC=2n ，则点B 坐标为（2n+1，n ﹣2），由（2n+1）(n ﹣2)=1·n 解出n 值，即可求得k 值进行解答； （2）根据直角三角形的中线等于斜边的一半可证得BE=CE=AE=12AB=OA ，进而∠AEO=2∠ECB=45°，由BC ∥x 轴得∠EOD=∠ECB 即可解答·【详解】解：（1）∵直线AC x ⊥轴，OA AB ⊥，∴∠OAE=90°，∠ADO=90°，∴∠AOD+∠OAD=90°，∠BAC+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠BAC ，又∠ACB=∠ADO=90°，∴△AOD ∽△BAC ，∴AO OD AD AB AC BC==， ∵()1,A n ，∴OD=1，AD=n ，又2AB OA =，∴AC=2OD=2，BC=2AD=2n ，∵∠ACB=∠ADO=90°，∴BC ∥x 轴，∴点B 的坐标为（2n+1，n ﹣2），∵点A 、B 都在反比例函数()0k y x x =>的图象上， ∴（2n+1）(n ﹣2)=1·n ，解得：n 1= 1n 2= 1(负值，舍去)，则A(1，1，则k=1×（1+=1+∴反比例函数的解析式为y =； （2）∵Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 的中点，∴BE=CE=AE=12AB ， 又∵AB=2OA ，∠OAE=90°，∴∠AEO=∠AOE=45°，∠ECB=∠EBC,∵∠AEO=2∠ECB ，∴∠ECB= 12∠AEO=22.5°， ∵BC ∥x 轴，∴∠EOD=∠ECB=22.5°．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的性质、三角形的外角、平行线的性质等知识，是一道与反比例函数有关的几何题，难度适中，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用数形结合思想找寻知识的关联点，进行推理、探究与计算．28．（1）①见解析；②BH CE =，证明见解析；（2）①存在，点P 是边BC 的中点；【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P 为直线HE 与BC 的交点；②通过△BPM ∽△BAP 问题可解；【详解】（1）①如图；②BH CE =证明ABH ACE ∆≅∆即可（2）①存在点P 是边BC 的中点，理由：设直线HE 与边BC 交于点P可由60ACB AEP ︒∠=∠=得点,,,A E C P 共圆，因为90AEC ︒∠=，所以90APC ︒∠=，即P 是BC 的中点．②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，理由：4,2,1AB BP BM ===， BM BP BP AB ∴=， B B ∠∠=，∴△BPM ∽△BAP ，∴∠BMP=∠BPA=90︒ ，2222213BP BP BP ∴=-=-=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．29．（1）见解析；（2）12【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据△ABE ∽△ACD ，可得：AE BE AD CD =，再由等量代换即可求解. 【详解】（1）∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE ，∴∠AEB=180°－∠BED=180°－∠BDE=∠ADC ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ACD ；（2）∵△ABE ∽△ACD ， ∴AE BE AD CD=， ∵E 是线段AD 的中点，1=2AE BE AD CD = ∵BE=BD ， ∴1=2BD CD 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键.30．（1）图见解析；（2）见解析【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，=，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．【详解】（1）如图：点E 即为所求；。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (251)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (251)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案） 已知D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 上的一点，DE ∥BC ，且DBCE :ADE S S 四边形=1：3，那么AD ：DB 等于（ ）A ．14B ．12C ．1D ．3【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件求出△ADE △△ABC ，再根据面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】如图：△S △ADE :S 四边形DBCE =1:3，△S △ADE :S △ABC =1:4，又△DE △BC ，△△ADE △△ABC ，相似比是1:2，△AD :AB =1:2.△AD :DB =1:1=1.故选：C.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.7．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OD OB OC=，由此推得的正确结论是（ ）A ．OA AB OD CD = B ．OA AD OC BC = C ．OB AB OD CD = D ．AB AD CD BC= 【答案】A【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：△△AOB 与△DOC 是对顶角△△AOB=△DOC又△OA OD OB OC=， △△AOB △△DOC ， △OA AB OD CD=． 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为弧AB 中点，点E 、F 分别在弦AC 、AB 上，且45CFE ∠=︒.若设BF x =，AE y =，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D． 【答案】D【解析】【分析】由题意列出y 与x 的函数解析式即可.【详解】△C 为弧AB 中点△△CAF=45°△CFE 45∠=︒ ，△C 为公共角△△CFE △△CAF即CF 2=CE ·CA令圆直径AB=2a ，OF=a-x在△COF 中，CF 2=OC 2+OF 2=a 2+（a-x ）2 CE=222CFCA 22即开口向下的抛物线.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.9．如图所示，在∥ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q ，若以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )A ．3B ．3或43C ．3或34D ．43【答案】B【解析】 AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43，AP AQ AC AB =,246AQ =，AQ =3.故选B.点睛：相似常见图形（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A型”与“X型”图）（2）如图：其中△1=△2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”，如下图：10．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④AC2=AD·AB．其中单独能够判定的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：由图可知△ABC与△ACD中△A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．试题解析：①△B=△ACD，再加上△A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②△ADC=△ACB，再加上△A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中△A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选C．考点：相似三角形的判定．。

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (15)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (15)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）在Rt ABC 中，90,10,6C AB BC ︒∠===．在Rt EDF 中，90,3,4F DF EF ︒∠===，则ABC 和EDF 相似吗？为什么？【答案】~ABC EDF ．理由见解析．【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC 、DE 的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案．【详解】解：相似，理由如下：在Rt ABC △中，90,10,6C AB BC ︒∠===，由勾股定理得8AC =．在Rt EDF 中，90,3,4F DF EF ︒∠===，由勾股定理得5ED =．∴有68102,2,2345BC AC AB DF EF ED ======， ∴BC AC AB DF EF ED ==， ∴~ABC EDF ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．72．如图，ABC 和EFD △的顶点都在正方形网格的格点上，则ABC 与EFD △相似吗？请说明理由．【答案】~ABC EFD .理由见解析【分析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论.【详解】解：相似，理由如下：设网格中小正方形的边长均为1．根据勾股定理，得5,AB AC BC EF DE DF ======∴AB AC BC EF DE DF === ∴~ABC EFD .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.73．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：~DEF ABC ．【答案】证明见解析【分析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明~DEF ABC .【详解】 解：//,~,DE OE AB DE ODE OAB AB OB∴∴=． //,~,EF OE OF BC EF OEF OBC BC OB OC∴∴==． //,~,DF OF AC DF ODF OAC AC OC ∴∴=． ∴DE EF DF AB BC AC==， ∴~DEF ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.74．已知ABC 的三边长分别为5,6,7cm cm cm ，4cm 是DEF 中一边的长度，若想得到~ABC DEF ，你能求出DEF 中另两边的长吗？试说明理由．【答案】能．DEF 中另两边的长是2428,55cm cm 或1014,33cm cm 或2024,77cm cm ．理由见解析． 【分析】设DEF 中另两边的长分别为x cm ，y cm ，分∴DEF 中长度为4cm 的边分别与∴ABC 中三边为对应边三种情况分别讨论，结合三边对应成比例得出x 和y 值.【详解】解：能．理由如下：设DEF 中另两边的长分别为,xcm ycm ． 当DEF 中长度为4cm 的边与ABC 中长度为5cm 的边是对应边时，则有4567x y ==，因此2428,55x y ==；当DEF 中长度为4cm 的边与ABC 中长度为6cm 的边是对应边时，则有4567x y ==，因此1014,33x y ==； 当DEF 中长度为4cm 的边与ABC 中长度为7cm 的边是对应边时，则有4567x y ==，因此2024,77x y ==． 综上所述：DEF 中另两边的长是2428,55cm cm 或1014,33cm cm 或2024,77cm cm ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用．75．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC 为直角三角形；（2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：不写作法与证明）．【答案】(1)证明见解析；（2）相似，（3）作图见解析.【解析】试题分析：（1）利用网格得出AB 2=20，AC 2=5，BC 2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据∴P2P4P5三边与∴ABC三边长度得出答案即可．解：（1）∴AB2=20，AC2=5，BC2=25；∴AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得∴ABC 为直角三角形；（2）∴ABC和∴DEF相似．由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2．====，∴∴ABC∴∴DEF．（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，∴P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，∴===，∴∴ABC∴∴P2P4P5．考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．。

江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合基础练习(专题培优)

江苏省启东中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合基础练习(专题培优)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．在ABC 中，D ，E 分别为,BC AC 上的点，且2AC EC =，连结,AD BE ，交于点F ，设:,:x CD BD y AF FD ==，则（ ）A ．1y x =+B ．1x y x +=C ．413y x =+D ．21x y x -=- 2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，CF =6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 3．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）A ．42B ．2C ．1D ．34．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）A ．()8,4-B ．()10,3-C ．()10,4-D ．()8,3- 5．如图，在菱形ABCD 中，660AB DAB =∠=︒,，A ，E 分别交BC 、BD 于点E 、F ，2CE =，连接CF ，以下结论：①ABF CBF ≌；②点E 到AB 的距离是23③ADF 与EBF △的面积比为3∶2：④ABF 的面积为为1835，其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 6．如图△BCD 中，BE ⊥CD ，AE ＝CE=3，BE ＝DE=4．BC=5，DA 的延长线交BC 于F ，则AF=（ ）A ．1B ．0.6C ．1.2D ．0.87．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，F ，G ，则下列比例式正确的是（ ）A ．AE EF BE BD =B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC= 10．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠ 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ）A 35B 25C 5D 35 12．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =(0,0)k y k x x=>>经过点D ，则k =（ ）A ．2B ．352C ．36D ．30 13．如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）A ．512-B ．512+C ．352 D ．352+ 14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）A ．AD AC AC AB = B ．AD CD CD BD =C ．DE CD CD DG = D ．EG BD EF BG= 二、填空题15．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．16．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别是AB 、AD 上的点，若BE ＝AF ＝1，∠BAD ＝120°，GF EG ＝_____．17．已知b c c a a b k a b c+++===，0a ≠，0b ≠，0c ≠；则k =________． 18．已知::3:2:1x y z =，则x y z x y z +--+的值为________． 19．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b的值为_______． 20．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

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学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:5D ．2:3:4 2．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：4 3．若234a b c ==，则a b b c +-的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．-5 D ．-154．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．135．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =B ．352BC AB -= C ．512AC AB +=D ．0.618AC AB ≈6．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:37．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m ==，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD的值为（ ）A ．1m n -B ．1m m n +-C ．1n m n +-D ．1n m - 8．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ）A ．90B ．180C ．270D ．36009．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm ，光源到屏幕的距离为90cm ，且幻灯片中的图形的高度为7cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）A ．21cmB ．14cmC ．6cmD ．24cm10．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A．512+B．512-C．1 D．211．△ABC与△DBC如图放置，已知，∠ABC＝∠BDC＝90°，∠A＝60°，BD＝CD＝22，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C边恰好经过点D，则平移的距离是（）A．1 B．22﹣2 C．23﹣2 D．26﹣4 12．如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A．6 B．9 C．10 D．2513．已知线段a、b有52a ba b+=-，则:a b为（）A．5:1B．7:2C．7:3D．3:714．下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似二、填空题15．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是_____．16．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．17．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．18．如图，ABC 中，1BC =．若113AD AB =，且11//D E BC ，照这样继续下去，12113D D D B =，且22//D E BC ；23213D D D B =，且33//DE BC ；…；1113n n n D D D B --=，且//n n D E BC 则101101=D E _________．19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．20．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．21．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________22．如图，在ABC 纸片中，13AB AC ==，24BC =，D 是BC 边上任意一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，AE 交BC 于点F ，当DEF 是直角三角形时，则BD 的长为________．23．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________24．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．25．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．26．如图，点A 在反比例函数k y x =（k≠0）的图像上，点B 在x 轴的负半轴上，直线AB 交y 轴与点C ，若12AC BC =，△AOB 的面积为12，则k 的值为_______．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0）、A （﹣1，2）、B （﹣2，﹣1），P （m ，n ）是△OAB 的边AB 上一点．（1）画出将△OAB 向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O 1A 1B 1 ，并写出点P 的对应点P 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出△OAB 的一个位似△OA 2B 2 ，使它与△OAB 的相似比为2：1，并写出点P 的对应点P 2的坐标；（3）判断△O 1A 1B 1与△O 2A 2B 2，能否是关于某一点Q 为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q ，并写出点Q 的坐标．28．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x b =+经过点()2,0A -，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点C(m ，6)，过B 作BD y ⊥轴，交反比例函数()0k y x x=>的图象于点D ，连接AD ，CD ． （1）求b ，k 的值；（2）求△ACD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，ABC ∆中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，动点P 从点B 出发以2cm/s 速度向点C 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ ＝ cm ，CP ＝ cm ；（用含t 的代数式表示）（2）t 为何值时，CPQ ∆与ABC ∆相似．30．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连接DE ，DC （E ，C 两点不重合），当AED DCB ∠=∠时，我们把AE EC称为AD DB 的“类似比”，（1）若12AD DB =，则“类似比”AE EC =___________； （2）若(1)AD k k DB =<时，求“类似比”AE EC的值（用含k 的代数式表示）； （3）直接写出AED ∠和“类似比”AE EC 的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C2．B3．C4．C5．C6．B7．C8．A9．A10．A11．C12．B13．C14．B二、填空题15．【分析】由重心的性质可得AD＝AD由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC的重心∴AD＝AD∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位16．b【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC⊥AC∴D1E1∥BC∴∵D1是斜边AB的中17．25【分析】连接EO可知EO⊥ED延长DE到点F作BF⊥DF根据题意可知△DEO∽△DFB在△EFB中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO可知EO⊥ED18．【分析】由D1E1∥BC可得△AD1E1∽△ABC然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案19．【分析】根据矩形的性质得到AB∥CDAB=CDAD=BC∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CDAB=CD20．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的21．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM：CD=2：3由MN∥AB可得△CMN∽△CDB再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M是△ABC的重心∴AD=BD=CM：CD=2：3∵MN22．或7【分析】是直角三角形时有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°通过找相似三角形然后利用对应边成比例即可得到结果【详解】解：如图当∠EDF=90°时过A作AG⊥BC于G 则DE∥AG∵AG⊥B23．【分析】连接MN过点O作于点E交CD于点F先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN过点O作于点E交CD于点F∵四边形ABC24．【分析】由圆周角定理可知再由可证明最后根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC：CA＝4：3结合三角形面积公式解题即可【详解】为直径又BC：CA＝4：3当点P在弧AB上运动时当PC最大时取得最大值而25．5【分析】首先由勾股定理求出AC再证明得到进而列方程求解即可【详解】26．12【分析】过点A作AD⊥y轴于D则△ADC∽△BOC由线段的比例关系求得△AOC和△ACD的面积再根据反比例函数的k的几何意义得结果【详解】过点A作AD⊥y轴于D则△ADC∽△BOC∴∵△AOB的三、解答题28．29．30．【参考解析】一、选择题1．C解析：C【分析】根据题意易得ADF AEG ABC ，则有13AD AB =，23AE AB =．进而可求得119ABC S S =，213ABC S S =，359ABC S S =，最后即可求出结果．【详解】∵DF ∥EG ∥BC ，∴ADF AEG ABC ，∵D 、E 是AB 的三等分点， ∴13AD AB =，23AE AB =， ∴119ABC S S =，49AEG ABC S S =．∵21411993AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=，34599ABC AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=． ∴123115::::1:3:5939ABC ABC ABC S S S S S S ==．故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 3．C解析：C【分析】 设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可． 【详解】 解：设234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∴a b b c +-=2334k k k k +-=5-k k=﹣5， 故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．4．C解析：C【分析】根据平行线的性质得出∠E=∠B ，∠D=∠C ，根据相似三角形的判定定理得出△EAD ∽△BCA ，根据相似三角形的性质求出即可【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠E=∠B ，∠D=∠C ，∴△EAD ∽△CAB ，∴AC ：AD=BC ：DE ，∵AD =5，AC =10，DE =6，∴10：5=BC ：6．∴BC=12．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD ∽△BAC 是解此题的关键．5．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴2AC BC AB =⋅，∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >， ∴510.6182AC AB AB -=≈，则选项C 错误；选项D 正确； 513522BC AB AC AB AB AB --=-=-=，则选项B 正确. 故选：C ．【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．6．B解析：B【分析】过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得13BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G∵D 是BF 的中点，∴DB DF =∵//FG BC∴DFG DBE ∆∆ ∴1FG DF BE DB== ∴FG BE =又∵//FG BC ∴F CEC G AF A = ∵CF 2AF =∴3AC AF = ∴13BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．7．C解析：C【分析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，易证△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则△BDG ∽△BCE ， ∴DG BD CE BC=， ∵1BD BC n =， ∴1DG BD CE BC n==， ∵1AE AC m =， ∴1m CE AC m-=, ∴DG=11m CE AC n mn-⋅= ∵DG ∥AC ，∴△DGF ∽△AEF ，∴111m AC DF DG m mn AF AE n AC m--===， ∴1AD m n AF n +-=，即1AF n AD m n =+-， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．8．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x ，x ，则9x －x =80，解得：x =10，故较大三角形的面积为：9x =90．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．9．A解析：A【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．【详解】解：如图所示，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴AE DE AC BC=， 设屏幕上的图形高是x cm ，则30790x=， 解得：x=21． 答：屏幕上图形的高度为21cm ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．10．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC=，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC ∴AB BC DA AC= ∴11a a a += 解得，15a +=152a （舍去） 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．C解析：C【分析】过点D 作DJ ⊥BC 于J ，根据勾股定理求出BC ，利用等腰直角三角形的性质求出DJ 、BJ 、JC ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．【详解】解：过点D 作DJ ⊥BC 于J ．∵DB ＝DC ＝2，∠BDC ＝90°，∴BC ()()222222+4，DJ ＝BJ ＝JC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，∴∠ACB ＝30°，∴AC=2AB ，∵AB 2+42=(2AB)2，∴A′B′=AB 43， ∵DJ//A′B′，∴DJ A B ''＝C J C B'''， ∴434C J '， ∴C′J ＝3∴JB′＝4﹣3∴BB′＝2﹣(4﹣3＝3﹣2.故选：C ．【点睛】本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理． 12．B解析：B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15，∴53DE AB EF BC ==，即1553EF =， 解得，EF=9，故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13．C解析：C【分析】把比例式化成乘积式求出ab 之间的关系即可.【详解】 ∵52a b a b +=- ∴2()5()a b a b +=- 解得37a b =∴:7:3a b =故选C.【点睛】本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键. 14．B解析：B【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；C 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．二、填空题15．【分析】由重心的性质可得AD ＝AD 由相似三角形的性质可得△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC 的重心∴AD ＝AD ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位 解析：19【分析】由重心的性质可得A 'D ＝13AD ，由相似三角形的性质可得△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=． 【详解】 解：∵点A′恰好是△ABC 的重心，∴A'D ＝13AD ， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，∴△ABC ∽△A'MN ，∴△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及重心的性质，掌握重心的性质是本题的关键． 16．b 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB 中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC ⊥AC ∴D1E1∥BC ∴∵D1是斜边AB 的中 解析：12b 22(1)ab n + 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在△ACB 中，D 2为其重心可得D 2E 1＝13BE 1，然后从中找出规律即可解答． 【详解】解：∵D 1E 1⊥AC ，BC ⊥AC ，∴D 1E 1∥BC ， ∴1111AE AD CE BD =， ∵D 1是斜边AB 的中点，∴AD 1＝BD 1， ∴11111AE AD CE BD ==， ∵AC ＝b ，∴AE 1＝E 1C ＝12b ， ∵D 1E 1∥BC ，∴BD 1E 1与CD 1E 1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D 1E 1＝12BC ，CE 1＝12AC ，S 1＝212S △ABC ； ∴在ACB 中，D 2为其重心，∴D 2E 1＝13BE 1， ∴D 2E 2＝13BC ，CE 2＝13AC ，S 2＝213S △ABC ， ∵D 2E 2：D 1E 1＝2：3，D 1E 1：BC ＝1：2，∴BC ：D 2E 2＝2D 1E 1：23D 1E 1＝3， ∴CD 3：CD 2＝D 3E 3：D 2E 2＝CE 3：CE 2＝3：4，∴D 3E 3＝14D 2E 2＝14×13BC ＝14BC ，CE 3＝34CE 2＝14×13AC ＝14AC ，S 3＝214S △ABC …； ∴S n ＝21(1)n +S △ABC ＝21(1)n +×12ab ＝22(1)ab n +． 故答案为：12b ，22(1)ab n +．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．17．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED解析：25π【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=102， ∵DO=OB ，∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，()22102=1004r +，∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；18．【分析】由D1E1∥BC 可得△AD1E1∽△ABC 然后由相似三角形的对应边成比例证得继而求得D1E1的长又由D1D2=可得AD2=继而求得D2E2的长同理可求得D3E3的长于是可得出规律则可求得答案解析：10121()3- 【分析】由D 1E 1∥BC ，可得△AD 1E 1∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得111D E AD BC AB =，继而求得D 1E 1的长，又由D 1D 2= 113D B ，可得AD 2= 59AB ，继而求得D 2E 2的长，同理可求得D 3E 3的长，于是可得出规律，则可求得答案．【详解】解：∵D 1E 1∥BC ，∴△AD 1E 1∽△ABC ， ∴111D E AD BC AB=， ∵BC=1，AD 113AB =， ∴D 1E 113=， ∵D 1D 2=113D B ， ∴AD 2= 59AB ， 同理可得：22254211()993D E ==-=-， 3331921()273D E ==-， ∴21().3n n n D E =-∴101101D E =10121()3-． 故答案为：10121()3-．【点睛】 此题考查了相似三角形的判定与性质．得到规律21().3nn n D E =-是关键． 19．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】//CE AB ，ADB EDC ∴∽，::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，解得： 4.8m AB =．即路灯的高度为4.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．21．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN解析：【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心，∴AD=BD=12AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CDB ， ∴23MN CM DB CD ==，23=，解得MN =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 22．或7【分析】是直角三角形时有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°通过找相似三角形然后利用对应边成比例即可得到结果【详解】解：如图当∠EDF=90°时过A 作AG ⊥BC 于G 则DE ∥AG ∵AG ⊥B 解析：263或7． 【分析】 DEF 是直角三角形时，有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°，通过找相似三角形，然后利用对应边成比例即可得到结果．【详解】解：如图，当∠EDF=90°时，过A 作AG ⊥BC 于G ，则DE ∥AG ，∵13AB AC ==，24BC =，AG ⊥BC ， ∴1122BG BC ==， 在直角三角形ABG 中，2213125AG =-=，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，∵DE ∥AG ，∴∠FAG=∠E=∠B ，∴Rt △AFG ∽Rt △BAG ，∴AB BG AF AG =，即13125AF =， ∴6512AF = ∴6591131212EF =-=， 由∠B=∠E ，∠EDF=∠ABG=90°，可知△ABG ∽△FED ，∴AB BG EF DE =，即13129112DE =， ∴7DE =，即7BD =；如图，当∠EFD=90°时，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，由于∠EFD=90°，因此AF ⊥BC ，在直角三角形ABF 中，2213125AF =-=，∴1358EF =-=，∵∠B=∠E ，∠AFB=∠EFD=90°，∴△ABF ∽△DEF ， ∴AB BF DE EF =，即13128DE =， ∴263DE =，即263BD =； 综上，263BD =或7BD =， 故答案为：263或7． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定以及折叠问题，找到相似三角形是解题的关键，要注意分类讨论．23．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23【分析】连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．【详解】解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，AD BC =，∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，∴DM CN =，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴//MN CD ，∴OMN PQO ，相似比是:4:1MN PQ =，∴:4:1OE OF =， ∵152EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQOS =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 24．【分析】由圆周角定理可知再由可证明最后根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC ：CA ＝4：3结合三角形面积公式解题即可【详解】为直径又BC ：CA ＝4：3当点P 在弧AB 上运动时当PC 最大时取得最大值而 解析：503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【详解】 AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】解析：5【分析】首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到AB AE CD CE=，进而列方程求解即可．【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴==，∴设AE x =，则8CE x =-， BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，又//AB CD ，ABD BDC ∴∠=∠，DBC BDC ∴∠=∠，6BC CD ∴==，//AB CD ，∴~ABE CDE ∆∆，AB AE CD CE∴= 1068x x∴=- 解得5x =，5AE ∴=故答案为：5．【点睛】此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．26．12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则△ADC ∽△BOC 由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积再根据反比例函数的k 的几何意义得结果【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D 则△ADC ∽△BOC ∴∵△AOB 的解析：12【分析】过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，由线段的比例关系求得△AOC 和△ACD 的面积，再根据反比例函数的k 的几何意义得结果．【详解】过点A 作AD ⊥y 轴于D ，则△ADC ∽△BOC ，∴12DC AC OC BC ， ∵12AC BC =，△AOB 的面积为12， ∴S △AOC ＝13S △AOB ＝4， ∴S △ACD ＝12S △AOC ＝2， ∴△AOD 的面积＝6， 根据反比例函数k 的几何意义得，12|k|＝6， ∴|k|＝12，∵k ＞0，∴k ＝12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了反比例函数的k 的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．三、解答题27．（1）()121P m n +-，，作图见解析；（2） ()222P m n ，，作图见解析；（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）．【分析】（1）根据平移规律，画出111,,A B O 即可；（2）根据位似图形的性质，画出△22OA B 即可；（3）对应点连线的交点即为位似中心；【详解】解：（1）△111O A B 如图所示，1P （m+2，n-1）；（2）△22OA B 如图所示，2P （2m ，2n ）．（3）能关于某一点Q 为位似中心的位似图形，Q （4，-2）；【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．28．（1）4，6；（2）4.5；（3）存在，理由见解析．【分析】（1）把A(－2，0)，代入y ＝2x ＋b 得到b 的值，再把C(m ，6)代入y ＝2x ＋b ，求出m 的值，进而即可得到答案；（2）先求出B 的坐标，再求出点 D 的纵坐标，根据S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，进而即可求解；（3）分两种情况①△AOB ∽△EAB ，②△AOB ∽△ABE ，分别列出比例式，进而即可求解【详解】（1）∵直线y ＝2x ＋b 经过点A(－2，0)，∴－4＋b ＝0，∴b ＝4，∴直线y ＝2x ＋4．把C(m ，6)代入y ＝2x ＋4中，得6＝2m ＋4，解得m ＝1，∴C(1，6)．把C(1，6)代入反比例函数()0k y x x=>中，得k ＝6． （2）令x ＝0，得y ＝2x ＋4＝4，∴B(0，4)．∵BD ⊥y 轴于B ，∴D 点的纵坐标为4，把y ＝4代入反比例函数y ＝6x 中，得x ＝32， ∴D （32，4）， ∴BD ＝32， ∴S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝4.5； （3）存在．当∠BAE ＝90°时，如图①，∵∠BAE ＝∠BOA ＝90°，∠ABE ＝∠OBA ，∴△AOB ∽△EAB ，∴AB BO EB BA=， ∵AB=222425+=,∴BE ＝5，∴OE ＝1，∴E(0，－1)；当∠ABE ＝90°时，如图②，∵∠ABE ＝∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠BAE ，∴△AOB ∽△ABE ，∴AB AO AE BA= ∴AE ＝2AB AO＝10， ∴OE ＝AE －AO ＝10－2＝8，∴E(8，0)．∴存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，其坐标为(8，0)或(0，－1)．① ②【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合以及相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及相似三角形的性质，是解题的关键．29．（1）t ；（4﹣2t ）；（2）要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或1611秒． 【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例．设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，然后列方程求解．【详解】解：（1）经过t 秒后，CQ ＝t ，CP ＝4﹣2t ，故答案为：t ；（4﹣2t ）．（2）设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，则AC QC BC PC =，即3442t t =-，解得t ＝1.2； ②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，则PC AC QC BC =，即4234t t -=，解得t ＝1611； 由P 点在BC 边上的运动速度为2cm/s ，Q 点在AC 边上的速度为1cm/s ，可求出t 的取值范围应该为0＜t ＜2，验证可知①②两种情况下所求的t 均满足条件．答：要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或1611秒． 【点睛】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证． 30．（1）1；（2）1k k -；（3）3060AED ︒<∠≤︒，0AE EC ≥． 【分析】（1）先根据“类似比”的定义、等边三角形的性质可得ADE BDC ，再根据相似三角形的性质即可得；（2）参照（1）的方法，利用相似三角形的判定与性质即可得； （3）先根据0,0AD AE BD EC≥≥求出k 的取值范围，再根据等边三角形的性质可求出DCB ∠的取值范围，由此即可得．【详解】 （1）ABC 是等边三角形，60,ACB A B AC BC ∴∠=∠=∠=︒=， 由“类似比”的定义得：AED DCB ∠=∠，在ADE 和BDC 中，A B AED BCD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADE BDC ∴，12AE AD BC BD ∴==， 又BC AC AE EC ==+，12AE AE EC ∴=+，即AE EC =， 1AE EC∴=， 故答案为：1；（2）由（1）已证：AE AD k BC BD==， BC AC AE EC ==+，AE k AE EC∴=+， 解得1AE k EC k=-； （3）由题意得：001AD k BD AE k EC k ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=≥⎪-⎩， 解得01k ≤<，01AD BD∴≤<，即0AD BD ≤<， 当0AD =，即点D 与点A 重合时，60DCB ACB ∠=∠=︒，当AD BD =，即点D 是AB 的中点时，1302DCB ACB ∠=∠=︒， 3060DCB ∴︒<∠≤︒，又AED DCB ∠=∠，3060AED ∴︒<∠≤︒，综上，AED ∠的取值范围为3060AED ︒<∠≤︒，“类似比”AE EC 的取值范围为0AE EC ≥． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．。

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