工程力学第八章：弯曲

第八章 弯曲 §8-1 平面弯曲的概念一、弯曲变形与平面弯曲 见P 1158-1，8-2，8-3，8-4弯曲变形的受力特点：在力偶或垂直于轴线的横向力作用下。

弯曲变形的变形特点：轴线由直线变成了曲线。

平面变曲：弯曲平面与外力平面重合（最基本的弯曲，常见） 二、计算简图与梁的种类1．载荷的简化：集中力P （KN ）；集中力偶m （N.m ）；分布载荷q （N/cm ）2．约束的基本形式：（1）固定端，不能移动和转动。

（2）固定铰支座，可以转动，但不能移动。

（3）活动铰支座，可转动，可沿平行于支座移动。

3．静定梁及其典型表式 （1）简支梁 （2）外伸梁 （3）悬臂梁§8-2 梁的内力——剪力和弯矩求梁的内力的基本方法——截面法具体解题步骤：（1）设截面m-n 将梁切开，取其一段为研究对象进行受力分析 （2）截面上的剪力，其数值等于该截面 一侧所有横向外力的代数和，即：剪力∑==ni i P Q 1（N.kN ）（3）截面上的弯矩，其数值等于该截面 一侧所有外力对截面形心之矩的找数和，即：弯矩∑==ni i M M 1（N.m ，kN.m ）（4）符号规定：剪力：左上右下，Q 为正，反之为负 弯矩：下凸为正（宽口向上为正） 解题技巧：（1）横截面上的Q 、M 方向假定为正（2）如有支座，先以整体为研究对象，求支座反力。

（3）截面法截开后，取外力较少的一端为研究对称。

P 117 例题8-1§8-3 剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程1．定义——用函数的形式表示沿梁轴线各横截面上的剪力和变矩的变化规律，即：Q=Q （x ）M=M （x ）2．作用清楚 显示梁轴线各截面上的剪力和弯矩的大小和变化规律，弯矩和剪力最大的截面对等截面梁的强度而言，是最危险截面。

二、剪力图和弯矩图——用横坐标，x 平行梁的轴线，表示截面的位置纵坐标按比例表示相应截面上的剪力或弯矩，通常正值在上，负值在下。

P 119 例8-2 P 120 例8-3 P 121 例8-5三、荷载、剪力、弯矩之间的关系Q dx dMq dx dQ == 即：q dxdQ dx M d ==22利用该关系可直接绘制剪力图，弯矩图 见P 123表8-1（理解记忆）总结：（1）写剪力方程和弯矩方程时应分段，分段的原则是：在同一段内，剪力和弯矩有同一函数表达式。

（2）在写剪力和弯矩方程时，坐标轴力原点和指向可任意选取。

（3）在剪力图和弯矩图中一般不画坐标轴，因此，外荷载作用图，剪力图和弯矩图应上下对齐。

补充例题1写出在图剪力，弯矩方程，并绘出剪力图和变矩图 解：AC 段 Q （x ）=-qa-qx 1（0<x 1≤a ） ()21121qx qax x M --=（0<x 1≤a ）BC 段()qa qa qa x Q 2-=--=()()⎪⎭⎫⎝⎛----=22232x a qa x q qa x M22227q a x qa +-=补充例题2写出剪力和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图解：由平衡条件：qa y qa y M M B A A B 434700==⇒=∑=∑ AC 段 Q(x 1)=-qx 1（0<x 1<a ） M(x 1)=21qx 2（0<x 1≤a ）AD 段 Q （x 2）=-qa+47qa=43qa （0<x 2≤a ） M （x 2）=-qa （2a +x 2）+47qax 2=21qa 2+43qax 2（0≤x 2<a ）习题课 P 150作业8-2 （a ）Q=-PM=-Px（0<x<a ）Q=-PM=-P （a+x ）+Pa=-px（0<x<a ）（b ）求支坐反力kN y F q y y A A 45010==-⨯-=∑m kN M y q M M A B .5.127032110-==⋅+⨯⨯-=∑Q （x ）=y A =45kNM(x)=y A ·x+M=45x-127.5 （0<x<2） Q(x)=A-q ·x=45-15x（0<x<1）M(x)=y A -q ·x ×2x+y A (2+x)=37.5-7.5x 2+4.5x （0<x<1）该梁中间具有中间佼，可双C 处折开，分为两个梁来考虑，先求ABCD 点处的支反力。

列平衡方程235042522000=⨯⋅+⋅+⋅-=⋅⋅-⋅+⋅⋅=++⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑a a q a y a y a a q a y a y aq y y y M M y B A C A D B A DA ===⇒DB A y y y()()()()()a x a a x a a x a x q y y y y y x Q B ABA A 5332203<<<<<<⎪⎩⎪⎨⎧--++=()()()()()()()()a x a a x a a x a x a x q a x y x y a x y x y x y x M B A B A A 53322023322<<<<<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯---+⋅-+⋅⋅= 《材料力学题解》梁枢平，邓训，薛根生主编 P 1081P 1092、3§8-4 梁的正应力及正应力强度条件引言，在学过剪力Q 和弯矩M 之后，必须进一步学习截面上的正应力和剪应力分布情况，才能解决梁的强度问题。

()⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧又有弯矩既有剪力横力弯曲剪力弯曲只有弯矩而剪力为零纯弯曲弯曲的分类:一、纯弯曲的时梁的正应力如右图 ab=cda ′b ′<c ′d ′中性轴——受弯杆件一侧合压，一侧受拉，中间层不变，中性层与横截面的交线称为中性轴本节学习方法：由实验观察入手，然后综合考虑几何，物理、静力学三方面，推导出正应力计算公式。

（一）几何方面ρ——梁抗曲线的曲率半径dxdQ =ρ1线应变()py d dQdQ y =-+=∑θρρρ 说明：横截面上任一点处的纵向线应变随该点在截面上的位置而变化的规律，即Σ与y 成正比。

（二）物理方面由拉压胡克定律：ρσyEE =∑=说明：弯曲时横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y 成正比，中性轴上各点的正应力为零，距中性轴越远的点，啦 、压、应力越大。

（三）静力学方面=∑=∑Z M y⎰⎰⎰=⋅⋅=dAy EdA y dA AAA2ρσσ令：⎰dA y A2=I Z （惯性矩）∴ZEI M=ρ1∴ZI y M ⋅=σ说明：正应力σ与弯矩M 成正比，与惯性矩I Z 成正比，中心轴上各点的正应力为零，在中心轴上、下两侧，一侧受拉，另一侧受压。

二、惯性矩及其平行移轴公式I Z ——截面对Z 轴的惯性矩，m 4，mm 4（惯性矩是对轴而言，同一截面地不同轴有不同的惯性矩）。

惯性矩可以平移：I Z =I ZC +a 2·AI y =I yC +b 2·A常见图形的形心和惯性矩如下：三、横力弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 ∵ZI yM ⋅=σ 当y=y maxσ=σmaxM=M max ∴Z Z ZW M y I M I y Mmaxmaxmax maxmaxmax ===σ 强度条件：[]σσ≤=Z W M maxmax 总结：拉压中：EA Nll =∆扭转中：pT GI lM =φ弯曲中：ZEI M=ρ1P 129例8-7；P 130例8-8；P 131例8-9§8-5 梁的剪应力及强度校核要求：一般了解主要内容：（1）等直梁的最大剪应力τmax 在中性轴上各点处。

（2）τmax =K平均τ.K AQ= 两倍提高接近平均值提高环形圆形字梁矩形%33%50234123⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====k k k I k强度条件：τmax ≤[τ]§8-6 梁的变形及刚度校核梁的正常工作，必须满足：强度要求；刚度要求；稳定性要求。

一、梁截面的挠度和转角梁弯曲变形的衡量指标： （1）挠度挠度——梁轴线上任一点（即梁某一横截面形心）在y 方向的竖直位移（y ）（f ）。

（2）转角转角——梁弯曲的其横截面绕各中性轴转动，转过的角度 截面的转角（Q ）。

如上图所示。

符号规定：挠度：（1）向上为正（2）向下为负 转角：（1）逆时针为正；（2）顺时针为负转角和挠度的关系：'f dxdy tgQ ==当Q 很小时，tgQ=0 ∴f ′(x)=Q二、梁的挠曲线方程结论：()EIx M dx y d =22横曲线的近似微分方程 正负号规定：上凹 M （x ）为正 22d xd y 为正 上凹 M （x ）为负 为负三、积分法求梁的变形∵()EIx M dx dy =2 积一次分：() c dx x M EIdx dy +=⎰1转角方程再积一次分：[]⎰⎰++=D Cx dx Mdx EIy 1挠度方程C ．D ——积分常数，利用边界条件来确定。

（1）简支梁 f A =0 f B =0 （2）悬臂梁 f A =0 Q A =0（3）考虑整个挠曲线的光滑及连续性例P 135，例8-11（精讲） 例8-12（略讲） 结论：计算太麻烦 四、叠加法求梁的变形 见P 138～P 140 表8-3原理，分别计算梁在每个载荷单独作用下的变形，然后将所得变形代数相加，即得到总变形。

见P 137例8-13（精讲） P 141例8-14（精讲） 五、梁的刚度校核[]Q Q f f ≤≤max max ][或：⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l f l f max 单位跨长的挠度 在土建工程中：100012501～=⎥⎦⎤⎢⎣⎡l f在机械制造中：10000150001～=⎥⎦⎤⎢⎣⎡l f对于传动轴：[Q]=0.005～0.001rad吊连梁：75014001～=l f 架空管道的许用值5001=l f滑动轴承：Q=0.01rad§8-7 提高梁抗弯能力的措施及工程实例一、提高梁弯曲强度的措施 弯曲正应力强度条件：[]σσ≤=ZQ M max max1．合理安排梁的支承及合理布局载荷，以降低弯矩的最大值。

（1） 简支梁与外伸梁的区别见P 142图8-30。

（2）荷载大小不变，作用方式改变后，弯矩大小不一样见左图。

2．梁用合理的截面形状，以提高截面模量W Z 值，见下页图，相同的W Z ，取不同形状，得截面面积不同（用材料不同→投资量不同）其中，以图形最不合理，工字钢最合理。

3．采用σmax =[σ]的等强度梁，可充分发挥材料作用。

见P 143图8-344-2 圆形、矩形和工字形截面的W Z /A 值二、提高梁弯曲刚度的措施EIl y n ⋅=系数截荷max1．增大梁的抗弯刚度EI 如：在截面面积不变的情况下，采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处。