电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第5章 平面电磁波

第5章 平面电磁波
5.1基本内容概述
本章讨论均匀平面波在无界空间传播的特性，主要内容为：均匀平面波在无界的理想介质中的传播特性和导电媒质中的传播特性，电磁波的极化，均匀平面波在各向异性媒质中的传播、相速与群速。

5.1.1理想介质中的均匀平面波
1．均匀平面波函数
在正弦稳态的情况下，线性、各向同性的均匀媒质中的无源区域的波动方程为
220k ∇+=E E
对于沿z 轴方向传播的均匀平面波，E 仅是z 坐标的函数。

若取电场E 的方向为x 轴，即x x E =E e ，则波动方程简化为
22
2
d 0d x x E k E z
+= 沿＋z 轴方向传播的正向行波为
()j jkz x m z E e e φ-=E e （5.1）
与之相伴的磁场强度复矢量为
()()z k
z z ωμ
=
⨯H e E 1
j jkz y
m E e e φη
-=e （5.2）
电场强度和磁场强度的瞬时值形式分别为
(,)Re[()]cos()j t x m z t z e E t kz ωωφ==-+E E e （5.3）
(,)Re[()]cos()j t m y E
z t z e t kz ωωφη
==-+H H e （5.4）
2．均匀平面波的传播参数 （1）周期2T π
ω
=
(s)，表示时间相位相差2π的时间间隔。

（2
）相位常数k =（rad/m ），表示波传播单位距离的相位变化。

（3）波长k
π
λ2=
（m ），表示空间相位相差2π的两等相位面之间的距离。

（4）相速p v k
ω
==m/s ），表示等相位面的移动速度。

（5
）波阻抗（本征阻抗）x y E H η=
=Ω），描述均匀平面波的电场和磁场之间的大小及相位关系。

在真空中，3771200
0≈==
=πεμηη（Ω） 3．能量密度与能流密度
在理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度，即
221122
εμ=E H
电磁能量密度可表示为
2222
1122
e m w w w εμεμ=+=+==E H E H （5.5）
瞬时坡印廷矢量为
2
1
z
η
=⨯=S E H e E （5.6）
平均坡印廷矢量为
211Re 22av z η
*
⎡⎤=
⨯=⎣⎦S E H e E （5.7） 4．沿任意方向传播的平面波
对于任意方向n e 传播的均匀平面波，定义波矢量为
n x x y y z z k k k k ==++k e e e e （5.8）
则
00()n jk j --==e r k r E r E e E e （5.9）
()()1
n η
=⨯H r e E r （5.10）
00n =e E （5.11）
5.1.2电磁波的极化
1．极化的概念
波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性, 并用电场强度矢量的端点在空间描绘出的轨迹来描述。

电磁波的极化状态分为：直线极化、圆极化、椭圆极化。

2．极化的三种状态
一般情况下，沿z 方向传播的均匀平面波的电场可表示为
cos()cos()x xm x y ym y E t kz E t kz ωφωφ=-++-+E e e
（1） 直线极化
直线极化的条件：0y x φφ-=或π±； 极化角： arctan(
)arctan()y ym x
xm
E E const E E α==±
=
（2） 圆极化
圆极化的条件：m ym xm E E E ==、2
y x π
φφ-=±；
合成波电场强度的大小：const E E E E m y x ==+=2
2
极化角：arctan()y x
E t E αω==±
当2
y x π
φφ-=
时，为左旋圆极化波；当2
y x π
φφ-=-
时，为左旋圆极化波；
（3）椭圆极化
当x φ、y φ和xm E 、ym E 不满足上述条件时，就构成椭圆极化波。

直线极化和圆极化都可看作椭圆极化的特例。

5.1.3导电媒质中的均匀平面波
导电媒质的典型特征：电导率0σ≠，电磁波在其中传播时，有电磁能量的损耗。

1．导电媒质中的平面波函数
在导电媒质中，电场强度E 满足的亥姆霍兹方程为
220γ∇-=E E
式中：c j jk j γαβ=+==c k =c j
σ
εεω
=-为复介电常数。

对于沿+z 方向传播均匀平面波，若取x x E =E e ，则
z z j z x xm x xm E e E e e γαβ---==E e e （5.12）
与电场相伴的磁场为
001
1
1
z z j z y
y
c
c
c
E e E e e γγφηηη---=⨯
==H e E e e （5.13）
式中：α=P N /m ；
β=rad/m ；
j c c e φηη=
=为导电媒质的本征阻抗，是一复数。

电场和磁场的瞬时值形式
()()0,cos z x z t E e t z αωβ-=-E e （5.14）
01
(,)cos()z y c
z t E e t z αωβφη-=--H e （5.15）
导电媒中均匀平面波的瞬时坡印廷矢量为
()()2201
cos cos az z
c
E e t z t z ωβωβφη-=---S e （5.16） 平均坡印廷矢量为
2201
cos 2az av z
c
E e φη-=S e （5.17）
2．弱导电媒质 满足条件
σ
ωε
<<1的媒质称为弱导电媒质，此时
α≈
（5.18）
β≈ （5.19）
)2c j γηωε
≈
+ （5.20）
p v ωβ=
≈ （5.21）
2πλβ=≈ （5.22）
3．良导体 满足条件
σ
ωε
>>1的媒质称为良导体，此时
αβ≈≈ （5.23）
(
1c j η≈
=+ （5.24）
p v ωβ=
≈ （5.25）
2v f π
λβ
=
=
≈ （5.26） 在良导体中，磁场的相位滞后于电场o 45。

电磁波在良导体中衰减很快，主要存在于良导体表面的一个薄层内，用趋肤深度δ（或
穿透深度）来描述
1
δα
=
≈
（5.27）
5.1.4 群速
群速g v 是包络波上任一恒定相位点的推进速度
d d g v ω
β=
（5.28） 群速与相速之间的关系为
d 1d P
g P P v v v v ωω
=
-
（5.29） 群速与相速一般是不相等的，存在以下三种可能情况：
（1）
d 0d P
v ω=，即相速与频率无关，此时g P v v =，即群速等于相速，称为无色散； （2）d 0d P v
ω<，即相速随着频率升高而减小，此时g P v v <，称为正常色散；
（3）d 0d P v
ω
>，即相速随着频率升高而增加，此时g P v v >，称为反常色散。

5.1.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
1．均匀平面波在磁化等离子体中的传播
设外加恒定磁场为00z B =B e ，则等离子体的介电常数的张量为
1112
2122
33000
0εεεεεε⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（5.30） 其中
21122022
[1]P
c ωεεεωω
==+- （5.31） 21221022()c P
c j ωωεεεωωω=-=- （5.32）
23302[1]P
ωεεω
=- （5.33）
电场E 的波动方程
220()0ωμε∇-∇∇+=E E
E
对于沿外加恒定磁场0B
方向（即z e 方向）传播的均匀平面波，有
1β==
（5.34）
2β== （5.35）
一个为左旋圆极化波，一个为右旋圆极化波。

由于两个圆极化波的相速不相等，合成波的极化面在磁化等离子体内以0B 为轴而不断旋转，这种现象称为法拉第效应。

2. 均匀平面波在磁化铁氧体中的传播
设外加恒定磁场为00z B =B e ，则饱和磁化铁氧体的磁导率张量为
11
12
21
22
33000
μμμμμμ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（5.36） 其中
1122022(1)c m
c ωωμμμωω==+
- （5.37）
1221022m c j ωω
μμμωω
=-=- （5.38）
330μμ= （5.39）
磁场强度H 的波动方程
22()0ωεμ∇-∇∇+=
H H H
对于沿外加恒定磁场0
B 方向（即z e 方向）传播的均匀平面波，有
1β==
（5.40） 2β== （5.41）
5.2 教学基本要求及重点、难点讨论
5.2.1 教学基本要求
掌握波的概念和表示方法，理解均匀平面波的概念以及研究均匀平面波的重要意义；理解和掌握均匀平面波在无界理想介质中的传播特性；理解和掌握均匀平面波在无界有损耗媒质中的传播特性，理解描述传播特性的参数的物理意义。

掌握波的极化的概念以及研究波的极化的重要意义，掌握三种极化方式的条件并能正确判别波的极化状态；
理解群速的概念以及群速与相速的关系；
了解电磁波在各向异性媒质中传播问题的分析方法及其传播特性。

5.2.2 重点、难点讨论
1．均匀平面电磁波
均匀平面波是教学中的一个重点。

研究电磁波的传播，要明确研究些什么，用什么参量来表征波的传播特性，空间媒质对波的传播又有什么样的影响？了解什么是均匀平面波，研究均匀平面波的意义何在？
均匀平面波的波阵面（或等相位面、波前）为平面，且在波阵面上各点的场强都相等。

也就是说，在与波传播方向垂直的无限大平面（即等相位面）内，场的方向、振幅和相位都相同。

它的特性及讨论方法简单，但又能表征电磁波重要的和主要的性质。

均匀平面波是电磁波的一种最简单形式。

实际应用的各种复杂形式的电磁波可以看成是由许多均匀平面波叠加的结果；远离波源的球面波，当所讨论的区域很小，可近似地看成平面波。

分析均匀平面波这一特殊的电磁波形式，既可以使问题大大简化，又不妨碍对电磁波传播特性的认识，因此有着重要意义。

对于均匀平面波，重点是掌握在无界理想介质和有损耗媒质中的传播特性。

均匀平面波在理想介质中传播时，其传播特性可归纳如下：
① 是一个横电磁波（TEM 波），电场E 和磁场H 都在垂直于传播方向的横向平面内，且存在以下关系式
1
n e η
=
⨯H E 或 n η=⨯E H e
② 在传播过程中，电场E 与磁场H 的振幅无衰减，波形不变化。

③ 电场E 与磁场H 同相位，η==E H 是实数。

④ 波的相速
p v =
μ、ε有关，与频率无关，是非色散波。

⑤ 电场能量密度等于磁场能量密度。

分析均匀平面波在导电媒质中的传播时，关键点是媒质的损耗特性。

从分析方法上，引入等效复介电常数，均匀平面波在理想介质中传播情况类比。

但由于媒质的损耗特性，使得均匀平面波在导电媒质中的传播特性与其在理想介质中的传播特性有很大的差异。

均匀平面波在导
电媒质中的传播特性可归纳如下：
① 是一个横电磁波（TEM 波），E 和H 都在垂直于传播方向的横向平面内，有如下关系式
1
n c
η=
⨯H e E 或 ()n c η=⨯E H e
② 在传播过程中有衰减，电场E 与磁场H 的振幅有衰减，波形要发生变化。

③
c E H η==E 和H 不同相位。

④ 波的相速()
p v ω
βω=不仅与媒质参数μ、ε、σ有关，还与频率有关，是色散波。

⑤ 电场能量密度小于磁场能量密度。

2．波矢量
波矢量k 的大小等于波数k ，方向则用波传播方向的单位矢量n e 表示，即n k =k e 。

这是描述电磁波传播特性的一个重要参数，它的大小直接表征电磁波的相位、相速、波长、衰减等参数，它的方向就是电磁波的传播方向。

在理想介质中，波矢量为
n n k ==k e e 是一个实常矢量。

它表明波在传播过程中无衰减，波形无变化。

在有损耗媒质中，波矢量为
1/2)c n c n n n k e k e e e j γωε
====- 是一个复矢量。

它表明波在传播过程中有衰减，波形要发生变化。

3．波阻抗
均匀平面波的电场与磁场的振幅之比称为波阻抗，它是表征电磁波特性的又一个重要参数，其大小和相位直接表征电场和磁场的振幅的相对大小和相位关系。

对于理想介质，波阻抗为
η==E H 是一个仅与媒质参数μ、ε有关的实数，表明电场和磁场同相位。

对于有损耗媒质，波阻抗为
14
1arctan()221()j c e σωε
σηωε-⎤==+⎥⎦
可见，c η是一个不仅与媒质参数εσ、有关，还与频率有关的复数，同时也表明磁场的相
位落后电场的相位。

应该指出，引入波阻抗便于讨论电磁波在分界面上的入射、反射和透射问题，特别是处理对多层媒质的垂直入射问题时，等效波阻抗的概念很有用。

4．波的极化
波的极化是教学中的重点之一，它是描述均匀平面波状态的一个重要特征。

均匀平面波是横电磁波，在一般的情况下，电场强度在等相位面上存在两个相互正交的分量。

由于两个分量的振幅和相位的不同，使得均匀平面波的合成波电场强度的振幅和方向都可能随时间变化。

这种变化规律十分重要，称为电磁波的极化特性。

对于电磁波的极化问题，应明确为什么要研究波的极化？怎样描述波的极化？怎样判别波的极化方式。

平面电磁波的极化是以合成波电场强度在等相位面上随时间变化的运动轨迹来描述，分为线极化、圆极化和椭圆极化三种情况。

按照合成波电场强度的旋转方向与波的传播方
向的关系，圆极化和椭圆极化又分为左旋和右旋两种情况。

当合成波电场强度在等相位面上的旋转方向与波传播方向成右螺旋关系是称为右旋极化波。

反之，则为左旋极化波。

对旋转方向的判断容易出现差错，混淆不清。

一种方便而淮确的判别方法是，将左手或右手的大拇指指向波的传播方向，若左手其余四指的握向与电场强度矢量的旋向吻合，就是左旋极化波，若是右手四指握向与电场强度矢量的旋向一致，便是右旋极化波。

5.3习题解答
5.1 在自由空间中，已知电场3
(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度(,)z t H 。

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
3(,)10cos()V/m 2
y z t t z π
ωβ=--E e
这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90︒-。

与之相伴的磁场为
30
03
1
1(,)(,)10cos()2
10cos()265sin()A/m 1202
z z y x
x z t z t t z t z t z π
ωβηηπ
ωβωβπ=
⨯=
⨯--=---=-⋅-H e E e e e e
5.2 理想介质（参数为0μμ=、0r εεε=、0σ=）中有一均匀平面波沿x 方向传播，
已知其电场瞬时值表达式为
9(,)377cos(105) V/m y x t t x =-E e
试求：（1）该理想介质的相对介电常数；（2）与(,)x t E 相伴的磁场(,)x t H ；（3）该平面
波的平均功率密度。

解 （1）理想介质中的均匀平面波的电场E 应满足波动方程
22
20t
με∂∇-=∂E
E
据此即可求出欲使给定的E 满足方程所需的媒质参数。

方程中
222
92
9425(105)y y y y
y E E t x x ∂∇=∇==--∂E e e e
2218922
37710cos(105)y y y E t x t t
∂∂==-⨯-∂∂E e e 故得
91899425cos(105)[37710cos(105)]0t x t x με--+⨯-=
即
18
18
9425251037710
με-=
=⨯⨯ 故
18
188200
25102510(310) 2.25r εμε--⨯=
=⨯⨯⨯=
其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿＋x 方向传播的均匀平面波，其相速为
9
810
210 m/s 5
p v k
ω
=
=
=⨯ 而
8310 p v =
=
=
=
⨯
故
2
3 2.252r ε⎛⎫
== ⎪⎝⎭
（2）与电场E 相伴的磁场H 可由0j ωμ∇⨯=-E H 求得。

先写出E 的复数形式
-5377e V/m j x y =E e ，故
50
111377e (5)=y j x z
z
E j j j x
j ωμωμωμ-∂=-
∇⨯=-
=--∂H E e e
5597
1e 1.5e A/m 10410
j x j x
z
z π---=⨯⨯e e 则得磁场的瞬时值表达式
9
510z (,)Re e Re 1.5e e j t j x j t x t ω-⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦H H e
9z 1.5cos(105)A/m t x -e
也可以直接从关系式n 1
η
=
⨯H e E 得到H
5550
1
377e 377e = 1.5e A/m j x j x j x x z
z η
---=
⨯=H e e e （3）平均坡印廷矢量为
552
11Re[]Re 377e 1.5e 282.75W/m 22
j x j x av y z x *-⎡⎤=⨯=⨯=⎣⎦S E H e e e 5.3 在空气中，沿y e 方向传播的均匀平面波的频率f=400MHz 。

当y=0.5m 、t=0.2ns 时，
电场强度E 的最大值为250V/m 、表征其方向的单位矢量为0.60.8x z -e e 。

试求出电场E 和磁场H 的瞬时表示式。

解 沿y e 方向传播的均匀平面波的电场强度的一般表达式为
(,)cos()m y t t kz ωφ=-+E E
根据本题所给条件可知，式中各参数为
82810f ωππ==⨯ rad/s
8881083103
k c ω
ππ
⨯====
⨯ rad/m 250(0.60.8)m x z =-E e e V/m
由于y=0.5m 、t=0.2ns 时，E 达到最大值，即
8981
cos(8100.210)32
m m ππφ-⨯⨯⨯-
⨯+=E E 于是得到
448832575
πππ
φ=
-=
故
8888(150200)cos(810)375
x z t y ππ
π=-⨯-
+E e e V/m 80155888()cos(810)34375
y x z t y πππηππ=⨯=-+⨯-+H e E e e A/m
5.4 有一均匀平面波在0μμ=、04εε=、0σ=的媒质中传播，其电场强度
m sin()3
E E t kz π
ω=-+。

若已知平面波的频率150MHz f =，平均功率密度为
20.265W/m μ。

试求：（1）电磁波的波数、相速、波长和波阻抗；（2）0t =、0z =时的电场(0,0)E 值；（3）经过0.1s t μ=后，电场(0,0)E 出现在什么位置？
解 （1）由E 的表达式可看出这是沿+z 方向传播的均匀平面波，其波数为
2215010k f ππ===⨯⨯=
68
1
21501022310ππ⨯⨯⨯⨯=⨯ rad/m
相速为
81.510 m/s p v =
=
=⨯
波长为
2 1 m k
π
λ=
= 波阻抗为
60188.5ηπ=
==Ω≈Ω （2）平均坡印廷矢量为
2
62m 10.26510W/m 2av S E η
-=
=⨯
故得
1622
m (20.26510)
10 V/m E η--=⨯⨯≈
因此
3m (0,0)sin()8.6610 V/m 3
E E π
-==⨯
（3）随着时间t 的增加，波将沿+z 方向传播，当0.1s t μ=时，电场为
210sin(2)3
E ft kz π
π-=-+=
266310sin(2150100.1102)8.66103
z π
ππ---⨯⨯⨯⨯-+=⨯
得
sin(302)8.663
z π
ππ-+=
3023
3
z π
π
ππ-+
=
则
15m z =
5.5 理想介质中的均匀平面波的电场和磁场分别为
710cos (6100.8) V/m x t z ππ=⨯-E e
71
cos(6100.8) V/m 6y
t z πππ
=⨯-H e 试求该介质的相对磁导率r μ和相对介电常数r ε。

解 由给出的E 和H 的表达式可知，它表征沿+z 方向传播的均匀平面波，其相关参数为
角频率 7610 rad/s ωπ=⨯
波数 0.8 rad/m k π= 波阻抗
106016E H
ηππ
=
==Ω
而
0.8rad/m k π===
= （1）
60ηπ=
==Ω （2） 联立解方程（1）和（2），得
2,8r r με==
5.6 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为
(20)
4204
2
1010j z j z
x y e
e
π
ππ-----=+E e e V/m
求：（1）平面波的传播方向和频率；
（2）波的极化方式；
（3）磁场强度H ；
（4）流过沿传播方向单位面积的平均功率。

解 （1）传播方向为z e
由题意知20k π==
9610 rad/s ωπ=
=⨯
9310 Hz 3 GHz 2f π
==⨯=
（2）原点场可表示为
420()10e j z x y j π--=+E e e
是左旋圆极化波。

（3）由 0
1
z η=
⨯H e E
4
2010()e 120j z y x j ππ
--=-=H e e
(20)
7
7202
2.6510e
2.6510e j z j z x y π
ππ------⨯+⨯e e
（4） *111
Re[]2
av =
⨯=S E H (20)42042
1Re{[10e 10e ]2
j z j z x y π
ππ-----+⨯e e (20)
7207
2
[ 2.6510e
2.6510e
]}j z j z
y x π
ππ---⨯-⨯=e e
1122.6510 W/m z -⨯e
即 112
2.6510 W/m av P -=⨯
5.7 在空气中，一均匀平面波的波长为12cm ，当该波进入某无损媒质中传播时，其波长减小为8cm ，且已知在媒质中的E 和H 的振幅分别为50V/m 和0.1A/m 。

求该平面波的频率和媒质的相对磁导率和相对介常数。

解 自由空间中，波的相速8
310m/s p v c ==⨯，故波的频率为
8
92
00310 2.510Hz 1210
p
v c
f λλ-⨯====⨯⨯ 在无损耗媒质中，波的相速为
9282.510810210m/s p v f λ-==⨯⨯⨯=⨯
又
p v =
=
故
29
(
)4
r r p c v με== （1） 无损耗媒质中的波阻抗为
||50500||0.1
m m E H η=
===ΩΕH 又由于
ηη=
= 故
220500()()377
r r μηεη== （2） 联解式（1）和式（2），得
1.99, 1.13r r με==
5.8 在自由空间中，一均匀平面波的相位常数为00.524β=rad m ，当该波进入到理想介质后，其相位常数变为 1.81β=rad m 。

设该理想介质的1r μ=，试求该理想介质的r ε和
波在该理想介质中的传播速度。

解 自由空间的相位常数
0β=故
880.524310 1.57210rad /s ω==⨯⨯=⨯
在理想电介质中，相位常数 1.81rad /s β==，故得到
2
200
1.8111.93r εωμε=
=
电介质中的波速则为
8
8/s 0.8710m /s p v =====⨯
5.9 在自由空间中，一均匀平面波的波长为00.2λ=m ，当该波进入到理想介质后，其波长变为0.09λ=m 。

设该理想介质的1r μ=，试求该理想介质的r ε和波在该理想介质中的传播速度。

解 在自由空间，波的相速8
310m/s p v c ==⨯，故波的频率为
890310 1.510Hz 0.2
p
v f λ⨯===⨯
在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为
981.5100.09 1.3510m/s p v f λ==⨯⨯=⨯
另一方面
p v =
=
=
故
2
828310() 4.941.3510r p c v ε⎛⎫⨯=== ⎪⨯⎝⎭
5.10均匀平面波的磁场强度H 的振幅为π
31
A/m ，在自由空间沿z -e 方向传播，其相位常数30β=rad/m 。

当0t =、0z =时，H 在y -e 方向。

（1）写出E 和H 的表达式； （2）求频率和波长。

解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
1
cos()A/m 3y
t z ωβπ
=-+H e 与之相伴的电场为
01
[()]120[cos()()]340cos()V/m
z y
z x t z t z ηπωβπ
ωβ=⨯-=-+⨯-=
+E H e e e e 由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为
8
99920.21m 310Hz 1.4310Hz
0.21
22 1.4310rad/s 910rad/s
p
v c
f f π
λβ
λλωππ=
=⨯====⨯==⨯⨯=⨯ 则磁场和电场分别为
991
cos(91030)A/m 340cos(91030)V /m
y
x t z t z π=-⨯+=⨯+H e E e
5.11 在空气中，一均匀平面波沿y e 方向传播，其磁场强度的瞬时表达式为
67(,)410cos(10)4
z y t t y π
πβ-=⨯-+H e
（1）求相位常数β和3ms t =时，0z H =的位置； （2）求电场强度的瞬时表达式(,)y t E 。

解 （1
）7
8110rad /m 31030
πβπ==⨯
=⨯ 在3ms t =时，欲使0z H =，则要求
73cos(10310)cos()0304304
y y ππππ
π-⨯⨯-
+=-+= 即
30
4
2
y n π
π
π
π-
+
=
±， 0,1,2,
n
=
故
30
30,4
y n =-
± 0,1,2,n
=
考虑到波长260m π
λβ
=
=，故t =3ms 时，H z =0的位置为
22.5m 2
y n
λ
=-± 0,1,2,
n
=
（2）电场的瞬时表示式为
670()410cos(10)1204y z y t y πηπβπ-⎡⎤
=⨯=⨯-+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦
E H e e e
371.50810cos(10)V/m 304
x t y ππ
π--⨯-
+e
5.12 已知在自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为
8(,)()0.8cos(6102z)A/m x y z t t ππ=+⨯⨯-H e e
（1）求该均匀平面波的频率、波长、相位常数、相速；
（2）求与(,)z t H 相伴的电场强度(,)z t E ； （3）计算瞬时坡印廷矢量。

解 （1）从给定的磁场表达式，可直接得出
频率 8
8610310 Hz 22f ωπππ
⨯===⨯
相位常数 2 rad/m βπ= 波长 221m 2π
π
λβ
π
=
=
= 相速 8
8610310 m/s 2p v ωπβπ
⨯==
=⨯ （2）与(,)z t H 相伴的电场强度
0(,)(,)z z t z t η=⨯E H e 8()0.8120cos(6102z)x y z t πππ=+⨯⨯⨯-=e e e
8()96cos(6102z)x y t πππ-⨯-e e
（3）瞬时坡印廷矢量为
(,)(,)(,)z t z t z t =⨯S E H 28153.6cos (6102z)z t πππ=⨯-e 2W/m
5.13 频率500kHz f =的正弦均匀平面波在理想介质中传播,其电场振幅矢量
42kV/m m x y z =-+E e e e ，磁场振幅矢量6183A/m m x y z =+-H e e e .试求（1）波传播方向的单位矢量；（2）介质的相对介电常数r ε；（3）电场E 和磁场H 的复数表达式。

解 （1）表征电场方向的单位矢量为
42 (42)E x y z E -+===-+e e e E e e e e
表征磁场方向的单位矢量为
618326)H x y z H +-=
==+-e e e H e e e e
由此得到波传播方向的单位矢量为
42)26)n E H x y z x y z =⨯=
-++-=e e e e e e e e e
11826)0.3750.2730.886x y z x y z -++=-++e e e e e e （2
）由m m η====E H 2.5r ε=
（3）电场E 和磁场H 的复数表达式分别为
n n 3e (4)10e jk jk m x y z -⋅-⋅==-+e r e r E E e e e
n n e (6183)e jk jk m x y z -⋅-⋅==+-e r e r H H e e e
式中
250010k π==⨯⨯=
210 rad/m 3
π-=
5.14 已知自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为
631
()10cos[(z)]A/m 22
x
y z t x y ωπ-=++--++H e e e 试求：（1）波的传播方向；（2）波的频率和波长；（3）与H 相伴的电场E ；(4)平均坡印
廷矢量。

解 （1）波的传播方向由波矢量k 来确定。

由给出的H 的表达式可知
0.5x y z k x k y k z x y z ππ⋅=++=-++k r
故
x k π=-，y k π=，0.5z k π=
即
0.5x y z πππ=-++k e e e
3
rad/m 2
k π
==
则波传播方向单位矢量为
1221()1.52333n x y z x y z k ππππ=
=-++=-++k e e e e e e e （2）
224m 323k ππλπ=== 883109Hz 10Hz 44
p v f λ⨯===⨯
(3) 与H 相伴的E 为
n 0()η=⨯=E H e 631()10cos[()]22x y z t x y z ωπ-++--++⨯e e e 221
()377333
x y z -++⨯=e e e
68175937710()cos[10(0.5)]3632
x y z x y z π
π-⨯--+⨯--++e e e V/m
(4) 平均坡印廷矢量
1
Re[]2
av *=
⨯=S E H 6(0.5)1175
Re[37710()e 2363
j x y z x y z π---++⨯--+⨯e e e 6(0.5)3
10()e ]2
j x y z x y z π--++++=e e e
1021
1.710()W/m 2
x y z π-⨯-++e e e
5.15 频率为100MHz 的正弦均匀平面波，沿z e 方向传播。

当t=0时，在自由空间点(4,2,6)P -的电场强度为10070x y =-E e e V/m ，求
（1）t=0时，P 点的E ； （2）t=1ns 时，P 点的E ；
（3）t=2 ns 时，点(3,5,8)Q 的E 。

解 在自由空间中
8310 m/s p v c ==⨯
82210 rad/s f ωππ==⨯
8
8
2102= 2.094 rad/m 3103
p
k v ω
ππ
⨯=
=
=⨯ 由题意可设电场强度的瞬时表达式为
82(10070)cos(210)V/m 3
x y t z π
πφ=-⨯-
+E e e 当t=0、6z =时，应有
2(10070)cos(6)100703
x y x y π
φ--
⨯+=-e e e e 所以
0φ=
故得到：（1）当0t =时，在P 点
2(10070)cos(6)122.1V/m 3
x y π
=--
⨯==E e e
（2）当1ns t =时，在P 点
89(10070)cos(210104)x y ππ-=-⨯⨯-E e e
0.80998.8V/m
==
（3）当2ns t =时，在Q 点
892(10070)cos(2102108)3
x y ππ-=-⨯⨯⨯-
E e e
0.978119.4V/m ==
5.16 频率3GHz f =的均匀平面波垂直入射到有一个大孔的聚苯乙烯（ 2.7r ε=）介质
板上，平面波将分别通过孔洞和介质板达到的右侧界面，如图示。

试求介质板的厚度d 为多少时，才能使通过孔洞和通过介质板的平面波有相同的相位？（注：计算此题时不考虑边缘效应。

也不考虑在界面上的反射）。

解 相位常数与媒质参数及波的频率有关，对于介质板
2f βπ==
对孔洞
02f βπ==可见，波在介质板中传播单位距离引起的相位移要大于空气中的相位移。

按题目要求，介质板的厚度d 应满足下式
02d d ββπ=+
故得
02d πββ=
==-
8
155.5mm = 5.17 试证明：一个椭圆极化波可以分解为两个旋向相反的圆极化波。

解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为
()y
x j j j z x xm y ym E e E e
e φφβ---=+E e e
设两个旋向相反的圆极化波分别为
题5.16图
1122()()j z
x y m j z
x y m j E e
j E e ββ--=+=-E e e E e e
其中1m E 、2m E 均为复数。

令12=E +E E ，即
12()()()y
x j j j z j z j z x y m x y m x xm y ym j E e j E e E e E e
e φφβββ-----++-=+e e e e e e
则有
12x j m m xm E E E e φ-+=
12y
j m m ym E E jE e
φ--=-
由此可解得
11()2y x j j m xm ym E E e jE e φ
φ--=-
21()2
y x j j m xm ym E E e jE e φ
φ--=+
故得到两个旋向相反的圆极化波分别为
1221()()2
1()()2y x y x j j j z x y xm ym j j j z
x y xm ym m j E e jE e e j E e jE e E e φ
φβφ
φβ------=
+-=-+E e e E e e
5.18 已知一右旋圆极化波的波矢量为
()y z =+k e e
且0t =时，坐标原点处的电场为0(0)x E =E e 。

试求此右旋圆极化波的电场、磁场表达式。

解 波矢量的方向即均匀平面波的传播方向，用其单位矢量n e 表示，即
n )y z k ===+k e e e
沿n e 方向传播的均匀平面波的电场和磁场均位于与n e 方向垂直的横向平面内。

设电场的两个分量的方向单位矢量分别为n1e 和n2e ，则应有n n1n2=⨯e e e 。

因此，沿n e 方向传播的右旋圆极化波的电场可表示为
n 0n1n2()()e jk E j -⋅=-e r E r e e
根据题中给出条件：0t =时，坐标原点处的电场为0(0)x E =E e ，故得
n1x =e e
而
n2n n1))y z x y z =⨯=
+⨯=-e e e e e e e e 故
n 0()[)]e jk x y z E -⋅=-
-e r E r e e e
n
n 01
()()()[)]e 2j y z x y z E η
μ-⋅=
⨯=
+⨯-=k r H r e E r e e e e e
n
0(e j x y
z j -⋅+-k r e e e 写成瞬时值形式
n t
0(,)Re[()e ]Re[(e e ]jk j t j x y
z t E ωω-⋅==-=e r E r E r e e e 0[cos()cos()cos()]2222
x y
z E t t t ππωωω-+--+-+e k r e k r e k r
0(,)[cos()cos()cos()]222
x y z t t t t πωωω=
-++---H r e k r e k r e k r 5.19 自由空间的均匀平面波的电场表达式为
(,)(2)10cos(3)V/m x y z zm t E t x y z ω=+++--E r e e e
式中的zm E 为待定量。

试由该表达式确定波的传播方向、角频率ω、极化状态，并求与(,)
t E r 相伴的磁场(,)t H r 。

解 设波的传播方向的单位矢量为n e ，则电场的复数形式可表示为
n ()e jk m -⋅=e r E r E
题目中给定的电场的复数形式为
(3)(,)(2)10e V/m j x y z x y z zm t E --++=++E r e e e
于是有
102010m x y z zm E =++E e e e
n 3k x y z ⋅==-++k r e r
又
x y z k x k y k z ⋅=++k r
可见
3x k =-，1y k =，1z k =
故波矢量
3x y z =-++k e e e
rad/m k ==
波的传播方向的单位矢量n e 为
n 3k -++==e e e k e 波的角频率为
883109.9510rad/s p kv kc ω==⨯=⨯
为了确定zm E ，可利用均匀平面波的电场矢量垂直于波的传播方向这一性质，故有
0m =k E ，即
(3)(102010)0x y z x y z m E -++++=e e e e e e
由此得
3020100zm E -++=
故得到
1zm E =
因此，自由空间任一点r 处的电场为
8(,)10(2)cos(9.95103)V/m x y z t t x y z =++⨯+--E r e e e
上式表明电场的各个分量同相位，故(,)t E r 表示一个直线极化波。

与(,)t E r 相伴的磁场(,)t H r 为
n 0
1
(,)(,)t t η=⨯=H r e E r
813)(2)10cos(9.9510)120x y z x y z t π-++⨯++⨯-⋅=e e e e e e k r 38810(47)cos(9.95103)A/m x y z t x y z -⨯-+-⨯+--e e e
5.20 已知自由空间的均匀平面波的电磁表达式为
(2)
()(2V/m j x by cz x y z -++=++E r e e e
试由此表达式确定波的传播方向、波长、极化状态，并求与()E r 相伴的磁场()H r 。

解 波的传播方向由波矢量为的方向确定。

由
2x y z k x k y k z x by cz ⋅=++=++k r
有
2x k =，y k b =，z k c =
为确定b 和c ，利用0m =k E 得
(2)(2220x y z x y z b c b ++++=++=e e e e e e
故
1b =-，0c =
则波矢量为
2x y =-k e e
波传播方向的单位矢量为
n 22)x y k -=
==-e e k e e e
波长为
2 2.81m k πλ=
== 已知的电场复振幅可写为
(2)m x y z mR mI =++=+E e e e E E
其中
2mR x y x y =+=
+=E e e e e e
mI z =E e 可见，mR E 与mI E 的大小相等，即
mR ==E
mI =E 且
2))R z x y z x y n ⨯=
+⨯=-=e e e e e e e e
(2)05
R z x y z =
+=e e e e e 由于mR E 与mI E 的相位相差90，即0R φ=，90I φ=，故()E
r 表示一个左旋圆极化波。

与()E r 相伴的磁场为
(2)n 011()()2)(2120j x y x y x y z ηπ--=⨯=-⨯+
+=H r e E r e e e e e
(2)1
(2A/m 120j x y x y j j π
---++e e e 5.21 证明电磁波在良导体中传播时，场强每经过一个波长振幅衰减55dB 。

解 在良导体中2π
αβλ
≈=
，故场强的衰减因子为
2z
z
e
e
π
αλ
--≈
场强的振幅经过z =λ的距离后
2()
0.002(0)
m m E e E πλ-==
即衰减到起始值的0.002。

用分贝表示，则为
2()
20lg
20lg 220lg 55dB (0)
m m E e e E πλπ-==-⨯≈-
5.22 有一线极化的均匀平面波在海水(81r ε=、1r μ=、4S/m σ=)中沿+y 方向传播，其磁场强度在y =0处为
10(0,)0.1sin(10/3)A /m x t t ππ=-H e
（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H 的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出(,)y t E 和(,)y t H 的表示式。

解 （1）910
4361016
0.18108190
σπωεπ⨯⨯==≈⨯
可见，在角频率1010ωπ=时，海水为一般有损耗媒质，故
α
=101083.9Np/m
== β
=1010300rad/m
π=≈
0.0280.02841.89
41.561.008j c j e e
ππ
η-=
=
=
=Ω 108100.33310m/s 300p v ωπβπ===⨯
322 6.6710m 300ππλβπ
-===⨯
31
1
11.9210m 83.9
δα-=
=
=⨯
（2）由0.010.1y e α-=，即0.1y e α-=得
311ln 10 2.30327.410m 83.9
y α-==⨯=⨯
（3） 83.910(,)0.1sin(10300)A/m 3
y
x y t e t y π
ππ-=--H e
其复数形式为
83.93003
()0.1A/m j
y j y
x y je
e e
ππ---=-H e
故电场的复数表示式为
(300)
0.02883.932
(3000.028)
83.932
()()41.820.14.182 V/m
j y j y
c y x y j y y z y y e
e e
e e
ππ
ππ
π
π
ππη-++--+-+-=⨯=⨯⨯⨯=E H e e e e
则
83.910
(,)Re[()]
4.182sin(103000.028)V/m
3
j t y
z y t y e e
t y ωπ
πππ-==--
+E E e
5.23 海水的电导率4S/m σ=、相对介电常数81r ε=。

求频率为10kHz 、100kHz 、1MHz 、10MHz 、100MHz 、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

解 先判定海水在各频率下的属性
8
0048.8102281r f f f
σσωεπεεπε⨯===⨯ 可见，当710Hz f ≤时，满足1σ
ωε
>>，海水可视为良导体。

此时
αβ≈≈
，(1c j η≈+f =10kHz 时
0.1260.396Np/m απ===
2215.87m 0.126ππλβπ===
(10.099(1)c j j η=+=+Ω
f =100kHz 时
1.26Np/m απ==
225m 1.26ππλβπ===
(10.314(1)c j j η=+=+Ω
f =1MHz 时
3.96Np/m α==
22 1.587m 3.96ππλβπ===
(10.99(1)c j j η=+=+Ω
f =10MHz 时
12.6Np/m α==
220.5m 12.6ππλβ===
(1 3.14(1)c j j η=+=+Ω
当f =100MHz 以上时，
1ωε>>不再满足，海水属一般有损耗媒质。

此时，
2f
απ=
2f
βπ=
c η=
f =100MHz 时
37.57Np/m α= 42.1rad/m β=
20.149m πλβ==
41.814.05j c e η=
=Ω
f =1GHz 时
69.12Np/m α= 203.58rad/m β=
20.03m πλβ==
20.8036.5j e η=
=Ω
5.24 已知某区域内的电场强度表达式为
(0.10.3)2
(43e
)e V/m j
z j z x y π
--+=+E e e
试讨论电场所表示的均匀平面波的极化特性。

解 由给定的电场表达式可看出，这是在有损耗媒质中沿z +方向传播的均匀平面波。

写出电场强度的两个分量的瞬时表达式
(0.10.3)
0.1(,)Re[e
]Re[4e
]4e cos(0.3)j t
z j z z x x E z t E t z ωω-+-===-
(0.10.3)0.12
(,)Re[e
]Re[3e
e e ]3e cos(0.3)2
j
j t
z j z j t z y y E z t E t z πωωπ
ω--+-===--
为简化讨论，取0z =，得
(0,)4cos x E t t ω= (,)3sin y E z t t ω=
将以上二式平方后再相加，得
2
2(0,)
(0,)1169
y x E t E t += 这是一个标准的椭圆方程，半长轴4a =，半短轴3b =。

因此，题目给定的E 表示一个椭圆极化波。

取以下时间：
0t ω=、
2
π、π 有(0,)4x E t =、0、4- (0,)0y E t =、3、0
由此得出，在0z =的平面上，E 矢量的端点随时间变化的轨迹，如题5.24图所示。

可见，
(0.10.3)2
(43e
)e j
z j z x y π
--+=+E e e 表示一个右旋椭圆极化波。

5.25 在相对介电常数 2.5r ε=、损耗角正切值为210-的非磁性媒质中，频率为3GHz 、
y e 方向极化的均匀平面波沿x e 方向传播。

（1）求波的振幅衰减一半时，传播的距离；
（2）求媒质的本征阻抗、波的波长和相速； （3）设在0x =处的9
(0,)50sin(610)3
y t t π
π=⨯+
E e ，写出(,)x t H 的表达式。

解 （1）由
2
990181022310 2.510363 2.5
r f σσσσωεπεεππ--====⨯⨯⨯⨯⨯（） 得
2
23 2.5100.41710S/m 18
σ--⨯⨯==⨯
而
2101σ
ωε
-=<< 该媒质在f =3GHz 时可视为弱导电媒质，故衰减常数为
0.497Np /m α≈==
由1
2
x
e
α-=
，得波的振幅衰减一半时，传播的距离 11ln 2ln 2 1.395m 0.497
x α===
（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为
t ω=
题5.24图
2
10))238.44(10.005)22
c j j j σηωε-≈+=+=+=
0.2860.0016238.44238.44j j e e π=Ω
而相位常数
92231031.6rad /m f βπππ≈==⨯⨯= 故波长和相速分别为
220.063m 31.6π
π
λβ
π
=
=
=
9
82310 1.8910m /s 31.6p v ωπβπ
⨯⨯===⨯
（3）在x =0处，
9(0,)50sin(610)V /m 3
y t t π
π=⨯+E e
故
0.4979(,)50sin(61031.6)V /m 3
x y x t e t x π
ππ-=⨯-+E e
则
0.49731.60.0016321()()||
1
50238.44
j x c j j x j x j x y x x e e e e e e φπ
π
ππη----=
⨯=
⨯=H e Εe e
0.49731.60.001632
0.21A/m j
j
x j x
j z e
e e e
e
π
πππ
----e
故
0.4979
(,)Re[()]0.21sin(61031.60.0016)A /m
3
j t x
z x t x e e
t x ωπ
πππ-==
⨯-+
-H H e
5.26 已知在100MHz 时，石墨的趋肤深度为0.16mm ，试求： （1）石墨的电导率；
（2）1GHz 的电磁波在石墨中传播多长距离其振幅衰减了30dB ？ 解 （1）由趋肤深度
δ=
得到石墨的电导率
52
1
0.9910 S/m f σπμδ=
=⨯
（2）当9
10Hz f =时
41.9810 Np/m α==⨯
要求
20lg e 30dB z α-=-
故得到
41.5
1.7510 m lg e
z -=
=⨯ 5.27 频率为150MHz 的均匀平面波在损耗媒质中传播，已知 1.4r ε=、1r μ=及
410σ
ωε
-=，问电磁波在该媒质中传播几米后，波的相位改变90？ 解 因410 1 σ
ωε
-=，为低损耗媒质。

故
2f βπ===
6
215010 1.18rad/m ππ⨯⨯=
由相移量
1.182
z z π
βπ==
故得到
0.424m z =。