运筹学与最优化方法第2章

f (x*) 0, 且f (x*) 0
2.3 一维问题求解的方法
利用上述结论我们在数学分析中求局部最优解(极值)的方法 已很熟悉，但问题是在实际工作要找“驻点”的精确值往往是行 不通的。因此在这里要单间介绍数值近似法的主要思想。
设 f (x) 在[a,b]上是凸函数即存在 x*[a, b]使 f (x) 在[a,x*]上 严格递减，在[x*,b]上严格递增（称[a,b]是 f (x) 有单谷区间或称 f (x) 是单谷函数,），即 f (x) 在[a,b]上一定存在全局最优解。
第二章
无约束非线性规划
2.1 解的定义
定义对
MP
问题 min xX
f
(x) ，若存在 x*
X
，使
f
(x*)
f
(x)
x X ，
则称
x*
是
MP
问题
min
xX
f
(x) 的整体最优解或整体最小点。f
(x*)
是
MP
问题
min
xX
f
(x)
的整体最优值或整体最小值。若存在
x*
X
，使
f (x*) f (x) x X ，则称 x* 是 MP 问题 min f (x) 的严格整体最优解 xX
所以
x2 a b x1 (1)
b a b a
x1 b (b a) a (1 )(b a) x2 a (b a)
（2）
若已取定[a
,t2 ] ，下次探索点为 x1, x2 ，则
x2 x2
a a
x2 x1 x2 a
(3)
由（1）式有
x2 x2

a
( x2
a)
( x2 a) ba
min f (x) 的局部最优解或局部极小点。 f (x*) 是 MP 问题 min f (x) 的
xX
xX
局部最优值或局部极小值。如果 f (x*) f (x) x N (x*) X , x x*
则称
x* 是
MP
问题 min xX
f
(x) 的严格局部最优解或严格局部极小点。
f (x*) 是 MP 问题 min f (x) 的严格局部最优值或严格局部极小值。 xX
基本思想：确定一个包含最优值的已知区间，在保证不失去最优 值的条件下逐步缩小区间，当把区间缩得足够小时，即可用 该区间内的任何点做为近似最优点。
黄金分割法（0.618法） 该方法是以不变的区间缩短率(黄金分割数(√5-1)/2=0.618 )
缩小区间长度。其特点是效率低，但适用范围广（不需对函数 有连续等附加条件）且编程方便。
2
所以第 k 探索点的取法为
x1 ak1 0.382(bk1 ak1) x2 ak1 0.618(bk1 ak1)
因此有0.618法计算步骤如下:
(1) 给定区间精度 0,计算:
x1 a 0.382(b a) b 0.618(b a), x2 a 0.618(b a), f2 f (x2 )
局部最优解
f(X)
例题见P11-12
整体最优解
2.2 一维问题有解的条件
设有一维无约束非线性规划
min f (x), x R
(2.2.1)
则由数学分析的知识我们有
(1)若函数f(x)可微，则它在点x*取得局部最优解(极值)的必要条
件是
f (x*) 0，即x * 是驻点
(2)若函数f(x)在点x*处有二阶连续导数，则它在点x*取得局部最 优解(极值)的充分条件是
或严格整体最小点。f (x*) 是 MP 问题 min f (x) 的严格整体最优值或 xX
严格整体最小值。
若存在 x* X 且在 x* 的某邻域 N (x*) {x Rn | || x - x* ||< }（ >0
是 实 数 ）， 使 f (x*) f (x) x N (x*) X ， 则 称 x* 是 MP 问 题
令x0
a或b, x1
x0
f (x0 ) 为第1次探索点,L f ( x0 )
,
xk 1
xk
f (xk ) 为第k次探索点 f ( xk )
则对给定的误差 ,当 f (xk ) 时,
xk 1 xk
1
f ( xk )
所以,当|xk+1-xk|小于给定误差δ时，xk是最优解的近似值。
x2 [ak 1, [ x1 , bk
x2 ]选择对区间[ak1,bk1]向右边缩进为[ak1, x2 ]. 1 ]选择对区间[ak 1, bk 1 ]向右边缩进为[ x1, bk 1 ].
其中 x1, x2 称为探索点。
问题是这种探索点如何取？
假定第 1 次探索点为 x1, x2 ，则对两种区间缩进[a, x2 ]或[x1, b] 比率相同，
设每次区间缩短率为 ， x* [a,b]是 f ( x) 的极小点，缩短后的
区间是：[ak ,bk ] [ak1,bk1] a0 a,b0 b,k 1,2,3,L
则 f (ak1) f (ak ), f (bk1) f (bk )
若若xff1,((xxx212)) [affk((1xx,21b))k,,则则1],xxx**1
(b
a)
2
(b
a)
x1
(
x2
a)
( x2 a) b a
(b
a)
2 (b
a)
若 x1 x1则把（2）代入上式得
x2 x1 a (b a) a (1 )(b a) 2(b a) (b a) 2(b a 2 1 2,即 2 2 1 0 1(舍去)
若 x2 x1 则把（2）代入上式得 x1 a a (1 )(b a) a (1 )(b a) 2(b a) (1 ) 2,即 2 1 0 5 1 0.618
a : x1, x1 : x2 , x2 : a 0.618(b a), f1 : f2 , f2 : f (x2 ) 转第 3 步;
切线法（一维牛顿法） 设函数f(x)在(a,b)内有二阶连续导数
求解思路是：在初始探索点xk 处用泰勒展式作 f(x)的二次近似函 数g(x) ，再用 g(x) 的最小点作新的探索点。即
f1 f (x1) ;
(2) 若 f1 f2 ,转入第 3 步,否则转入第 4 步;
(3) x2 a ,输出 x1 结束,否则令:
b : x2 , x2 : x1, x1 : b 0.618(b a), f2 : f1, f1 : f (x1) ,转第 3 步;
(4) b x1 ,输出 x2 结束,否则令: