2019浙江卷数学高考真题-精华版

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2019年浙江高考数学真题及答案(Word版,精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A ．22B ．1C ．2D ．23．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158B ．162C ．182D ．325．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y =log a (x +)，(a >0且a ≠0)的图像可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <010．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则A ．当b =，a 10＞10B ．当b =，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

新高考(精校版)2019年浙江卷数学高考试题文档版(含答案)

2019 年浙江省高考数学试卷一、：本大共10 小，每小 4 分，共 40 分。

在每小出的四个中，只有一是符合目要求的。

1．已知全集 U{ 1 ， 0， l ， 2， 3} ，集合 A {0 ， 1， 2} ， B { 1 ， 0， 1} ， (e U A) B （）A．{ 1}B．{0 ，1}C．{ 1，2， 3}D． { 1，0，1， 3}2．方程x y0 的双曲的离心率是（）A ．2B ． 1C． 2 D ．2 2x 3 y 4⋯03．若数x，y足束条件 3x y 4,0 ， z3x 2 y 的最大是（）x y⋯0A ．1B． 1C．10 D ．124．祖是我国南北朝代的大科学家，他提出的“ 既同，不容异”称祖原理，利用原理可以得到柱体的体公式V柱体sh ，其中s是柱体的底面，h 是柱体的高．若某柱体的三如所示，柱体的体是（）A ． 158B． 162C．182 D ． 3245．若 a 0 ， b 0 ，“a b, 4 ”是“ ab, 4 ”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐系中，函数y1， y 1og a ( x 1) ， ( a0 且 a1) 的象可能是（）a x27． 0a 1 ．随机量X的分布列是X0a1P111333当 a 在(0,1)内增大，（）A． D(X) 增大B． D(X)减小C． D( X ) 先增大后减小D． D ( X ) 先减小后增大8．三棱 V ABC 的底面是正三角形，棱均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．直 PB 与直AC 所成角，直 PB 与平面ABC所成角，二面角 P AC B 的平面角，（）A ．，B ．，C．，D．，x, x0,若函数 y f (x) ax b 恰有 39．a， b R ，函数 f (x) 1 312⋯个零点，（）x(a 1)x ax, x 032A ． a 1 ， b0B ． a1， b0C． a 1 ， b0D． a1， b 010．a， b R ，数列 { a n } 足 a1 a ， a n2b ， n N*，（）1a nA ．当 b 1， a1010B．当 b1， a1010 24C．当 b 2 ， a1010D．当 b 4 ， a1010二、填空：本大共7 小，多空每 6 分，空每 4 分，共 36 分。

2019年高考数学浙江卷(附答案)

2019年高考数学浙江卷(附答案)1.已知全集 $U=\{-1.0.1.2.3\}$，集合 $A=\{0.1.2\}$，$B=\{-1.0.1\}$，则 $(A\cup B)^c$ 等于A。

$\{-1\}$ B。

$\{0.1\}$ C。

$\{-1.2.3\}$ D。

$\{-1.0.1.3\}$2.渐近线方程为 $x\pm y=0$ 的双曲线的离心率是A。

$\sqrt{2}$ B。

$1$ C。

$2$ D。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$3.若实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases} 3x-y-4\leq 0 \\ x+y\geq 0 \end{cases}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是A。

$-1$ B。

$1$ C。

$10$ D。

$12$4.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 $V_{\text{柱体}}=Sh$，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高。

若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm$^3$）是A。

$158$ B。

$162$ C。

$182$ D。

$324$非选择题部分（共110分）一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

请将答案填写在答题纸上。

1.设 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $f^{-1}(x)=$______________。

2.已知函数 $f(x)=x^2-2ax+a^2+1$，$a$ 为常数，若$f(1)=0$，$f(x)$ 的最小值为 $2$，则 $a=$______________。

3.已知 $\triangle ABC$，$\angle A=90^\circ$，$AB=3$，$BC=4$，则 $\sin\angle ACB=$______________。

4.已知函数 $f(x)=\log_2(x+1)-\log_2(x-1)$，则$f\left(\frac{1}{3}\right)=$______________。

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷)试题(解析版)

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5．函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10．已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如二、填空题11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

【数学】2019年高考真题——浙江卷(精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题1．已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B等于() A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析由题意可得∁U A＝{－1,3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．2．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.3．若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1 B．1 C．10 D．12答案 C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，z max＝6＋4＝10.4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158 B．162 C．182 D．324答案 B解析由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V＝×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.5．设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b≥4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a(a＞0，且a≠1)的图象可能是() A. B.C. D.答案 D解析若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝log a是减函数且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝log a是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．7．设0＜a＜1.随机变量X的分布列是()则当a在(0,1)内增大时，()A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D解析由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．8．设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B 的平面角为γ，则()A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β答案 B解析由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB 与平面ABC所成的角小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β＜γ；因为AC⊂平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α＞β.9．设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()A．a＜－1，b＜0 B．a＜－1，b＞0C．a＞－1，b＜0 D．a＞－1，b＞0答案 C解析由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b ＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以＞0，解得a＞－1.所以b＜0.10．设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n＋1＝＋b，n∈N*，则()A．当b＝时，a10＞10B．当b＝时，a10＞10C．当b＝－2时，a10＞10D．当b＝－4时，a10＞10答案 A解析当b＝时，因为a n＋1＝＋，所以a2≥，又a n＋1＝＋≥a n，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10＞≥32＞10.当b＝时，a n＋1－a n＝2，故当a1＝a＝时，a10＝，所以a10＞10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，则a10＝x0＜10，故a10＞10不成立．二、填空题11．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.答案解析z＝＝＝－，所以|z|＝＝.12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.13．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案16 5解析该二项展开式的第k＋1项为T k＋1＝()9－k x k，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.14．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案解析在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD·cos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.15．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．答案解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝，所以k PF＝＝.16．已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是________．答案解析f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，因为存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，所以－≤2a(3t2＋6t＋4)－2≤有解．因为3t2＋6t＋4≥1，所以≤a≤有解，所以a≤max＝，所以a的最大值为.17．已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．答案02解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.三、解答题18．设函数f(x)＝sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝2＋2的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.(2)y＝2＋2＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos.因此，函数的值域是.19.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．方法一(1)证明如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F，又A1E，A1F⊂平面A1EF，A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)解取BC的中点G，连接EG，GF，则EGF A1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGF A1为矩形．连接A1G交EF于O，由(1)得BC⊥平面EGF A1，则平面A1BC⊥平面EGF A1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝.由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，所以cos∠EOG＝＝.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.方法二(1)证明连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如图，以E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz. 不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)．因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.(2)解设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)．由得取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝4，a4＝S3.数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋c n＜2，n∈N*.(1)解设数列{a n}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而a n＝2n－2，n∈N*.所以S n＝n2－n，n∈N*.由S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列得(S n＋1＋b n)2＝(S n＋b n)(S n＋2＋b n)．解得b n＝(－S n S n＋2)．所以b n＝n2＋n，n∈N*.(2)证明c n＝＝＝，n∈N*.我们用数学归纳法证明．①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋c k＜2.那么，当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋c k＋c k＋1＜2＋＜2＋＜2＋＝2＋2(－)＝2.即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋c n＜2对任意n∈N*成立．21.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．22．已知实数a≠0，设函数f(x)＝a ln x＋，x＞0.(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x∈均有f(x)≤，求a的取值范围．注e＝2.718 28…为自然对数的底数．解(1)当a＝－时，f(x)＝－ln x＋，x＞0.f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＞0，得x＞3，令f′(x)＜0，得0＜x＜3，所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，＋∞)．(2)由f(1)≤，得0＜a≤.当0＜a≤时，f(x)≤等价于－－2ln x≥0.令t＝，则t≥2.设g(t)＝t2－2t－2ln x，t≥2，则g(t)＝2－－2ln x.(i)当x∈时，≤2，则g(t)≥g(2)＝8－4－2ln x.记p(x)＝4－2－ln x，x≥，则p′(x)＝－－＝＝.故当x变化时，p′(x)，p(x)的变化情况如下表：所以，p(x)≥p(1)＝0.因此，g(t)≥g(2)＝2p(x)≥0.(ii)当x∈时，g(t)≥g＝.令q(x)＝2ln x＋(x＋1)，x∈，则q′(x)＝＋1＞0，故q(x)在上单调递增，所以q(x)≤q.由(i)得，q＝－p＜－p(1)＝0.所以，q(x)＜0.因此，g(t)≥g＝－＞0. 由(i)(ii)知对任意x∈，t∈[2，＋∞)时，g(t)≥0，即对任意x∈，均有f(x)≤.综上所述，a的取值范围是.。

(精校版)2019年浙江卷数学高考试题文档版(含答案)

2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =ð（）A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（） A ．22B ．1C ．2D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………，则32z x y =+的最大值是（）A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数1xy a=，11()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（）7．设01a <<．随机变量X 的分布列是X 0 a1 P131313则当a 在(0,1)内增大时，（）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩…若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（） A ．1a <-，0b < B ．1a <-，0b > C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则（） A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

【精品2019高考数学浙江真题】2019年浙江卷数学高考试题(附答案)

2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =ð（）A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（） AB ．1 CD ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………，则32z x y =+的最大值是（）A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1xy a =，11()2ay og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（）7．设01a <<．随机变量X 的分布列是A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩…若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（）A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则（） A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2019高考数学浙江卷(附参考答案和详解)

第(题图
/!答案 1
解析如图该柱体是一个五棱柱棱柱的高为 0底面可以
看作由两个直角梯形组合而成其中一个上底为 /下底为
0#高为 (#另一个的上底为 "#下底为
0#高为 (!
则底面面积 4'""+0@(+/"+0@('
2019年高考数学浙江卷
!!本试卷分选择题和非选择题两部分满分 !"# 分考试用时 !$# 分钟 !
参考公式
若事件 +0 互斥则 1+00'1+010!
若事件 +0 相互独立则 1+0'1+10!
若事件 + 在一次试验中发生的概率是9则- 次独立重复
其中 , 表示柱体的底面积K 表示柱体的高! 锥体的体积公式J' ! +,K
其中 , 表示锥体的底面积K 表示锥体的高!
球的表面积公式 ,')A$
球的体积公式J' ) +A+ 其中A 表示球的半径!
第)题图
"!若 ')##()##则 &'0(0)'是 &'(0)'的
Байду номын сангаас-%!#
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)!祖是我国南北朝时代的伟大科学家#他提出的 &幂势既
同#则积不容异'称为祖原理#利用该原理可以得到柱体

《高考真题》2019年浙江省高考数学试卷(解析版)

WORD文档2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：若事件A,B 互斥，则P(A B) P( A) P(B)柱体的体积公式V Sh若事件A,B 相互独立，则P( A B) P( A) P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p , 则nA k次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示柱体的底面积，表示柱体的高Sh锥体的体积公式1V Sh3k k n kP (k) C p (1 p) (k 0,1, 2, , n)n n其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高1台体的体积公式V (S1S1S2 S2 ) h3其中S1 ,S2 分别表示台体的上、下底面积，h表2 球的表面积公式球体积公式S 4 R4V R33 其中R表示球的半径示台体的高选择题部分（共40 分）的一、选择题：本大题共10WORD文档小题，每小题 4 分，共40 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U 1,0,1,2,3 ，集合A 0,1,2 ，B1, 0,1 ，则e U A B （）A. 1B. 0,1C. 1,2,3D. 1,0,1,3【答案】 A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】 C A={ 1,3} ，则C U A B { 1}U【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为x y 0的双曲线的离心率是（）1A. 22B. 1C. 2D. 2【答案】 C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x±y＝0 的双曲线，可得 a b，所以c 2a则该双曲线的离心率为 e c 2a ，故选：C．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.x 3y 4 03.若实数x, y 满足约束条件3x y 4 0，则z 3x 2y的最大值是（）x y 0A. 1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数z=3x+2y 经过平面区域的点(2, 2)时，z=3 x+2y取最大值z ma x 3 2 2 2 10.2【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家. 他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 323【答案】 B【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2 6 4 63 3 6 162 2 2.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5.若a0,b 0，则“a b 4”是“a b 4 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当a>0, b>0时，a b 2 ab ，则当a b 4时，有2 ab a b 4 ，解得ab 4 ，充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab 4 ，但此时a+b =5>4 ，必要性不成立，综上所述，“ a b 4”是“a b 4”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数1 1y , y log x (a 0x aa 2且a 0) 的图象可能是（）4A. B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0 a 1时，函数xy a 过定点(0,1) 且单调递减，则函数y1xa过定点(0,1) 且单调递增，函数1y log x 过定点a21( ,0)2且单调递减， D 选项符合；当 a 1时，函数xy a 过定点(0,1) 且单调递增，则函数y1xa过定点(0,1) 且单调递减，函数1y log x 过定点a21( ,0）且单调递增，各选项均不2符合.综上，选 D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设0 a 1，则随机变量X 的分布列是：5则当 a 在0,1 内增大时（）A. D X 增大B. D X 减小C. D X 先增大后减小D. D X 先减小后增大【答案】 D【解析】【分析】研究方差随 a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.详解】方法1：由分布列得1 aE(X ) ，则32 2 2 21 a 1 1 a 1 1 a 12 1 1D X a a ，则当a 在(0,1) 内增大时，( ) 0 13 3 3 3 3 3 9 2 6D(X)先减小后增大.2 2 2 22 a 1 (a1) 2a 2a 2 2 13 【方法2：则D( X ) E X E( X ) 0 a3 3 9 9 9 24 故选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA上的点（不含端点），记直线PB 与直线9. AC 所成角为，直线PB 与平面ABC 所成角为，二面角P AC B 的平面角为，则（）10.A. , B. ,11.C. , D. ,12.【答案】 B【解析】6【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O，则P在底面投影 D 在线段AO上，过D作DE 垂直AE ，易得PE / /VG ，过P 作P F // AC 交VG 于F，过D 作D H / /AC ，交BG 于H ，则P F E G D H B D BPF , PBD, PED ，则 c o s c o s，即，P B P B P B P B PD PDtan tanED BD，即y ，综上所述，答案为 B.方法2：由最小角定理，记V AB C 的平面角为（显然）由最大角定理，故选 B.方法3：（特殊位置）取V ABC 为正四面体，P 为VA中点，易得3 33 2 2 2cos sin ,sin , sin6 6 3 3，故选 B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.x, x 013.已知a,b R ，函数f (x) 1 13 2x (a 1)x ax, x 03 2 ，若函数y f (x) ax b恰有三个零点，则（）A. a 1,b 0B. a 1,b 0C. a 1,b 0D. a 1,b 07【答案】 C【解析】【分析】当x 0 时，y f()x a x b x a(x1 b ) 最多a 一x 个b零点；当x⋯0 时，1 1 1 13 2 3 2y (f)x a x b x( 1 a)x a x a x b( ，1x利) 用导数a研究函数x 的单调b 性，3 2 3 2根据单调性画函数草图，根据草图可得．b【详解】当x 0 时，y f (x) ax b x ax b (1 a)x b 0，得；y f (x) ax b最x1 a多一个零点；当x⋯0时，1 1 1 13 2 3 2y f (x) ax b x (a1)x ax ax b x (a 1)x b ，3 2 3 22 ( 1)y x a x，当a 1,0，即a, 1时，y ⋯0，y f (x) ax b在[0 ，) 上递增，y f (x) ax b最多一个零点．不合题意；当a 1 0，即a 1时，令y0 得x [ a 1，) ，函数递增，令y0 得x [0 ，a 1) ，函数递减；函数最多有 2 个零点；根据题意函数y f (x) ax b恰有 3 个零点函数y f ( x) ax b在( ,0) 上有一个零点，在[0 ，) 上有2 个零点，如图：b a 0且b 01 13 2(a 1) (a 1)(a 1) b 03 2，1解得b 0，1 a 0，130 b (a 1) , a 1．6故选：C．8【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a, b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.14.设a,b R ，数列a n 中， 2a1 a,a n 1 a n b ，n N , 则（）1 1b ,a 10 B. 当b ,a10 10 A. 当102 4C. 当b 2, a10 10D. 当b 4, a10 10【答案】 A【解析】【分析】对于B，令 2 1x 0，得λ4 121a ，得到当 b，取 12142﹣λ﹣2＝0，得时，a10＜10；对于C，令x2﹣λ﹣4＝0，得 1 17λ＝2 或λ＝﹣1，取a1＝2，得到当b＝﹣2时，a10＜10；对于D，令x2，取1 17a ，得到当b ＝﹣4时，a10 ＜10；对于 A ，121 12a a ，22 21 1 32 2a (a) ，32 2 4a3 1 9 1 17n 14 2 2a (a a ) ＞1，当n≥ 4 时，4a4 2 16 2 16n a n12an＞11 32 2a10，由此推导出a4＞（32）7296，从而a10＞＞10．64【详解】对于B，令 2 1x 0，得λ4 12，9取111a，∴ a 2，，a＜10 ，1n2 2 2 ∴当 b 14时， a 10＜ 10，故 B 错误；对于C ，令 x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝ 2 或 λ＝﹣1，取 a 1＝2，∴ a 2＝2，⋯ ， a n ＝2＜10， ∴当 b ＝﹣2 时， a 10＜10，故 C 错误；对于D ，令 x2﹣λ﹣4＝0，得1 172﹣λ﹣4＝0，得1 172，取117117a，∴ a 2，⋯ ， 1221 17 a＜ 10， n2∴当 b ＝﹣4 时， a 10＜10，故 D 错误；对于A ，11 2aa， 22211 322a(a ) ，32244 2 23 1 91 17a(a a) ＞1，442 16 2 16a n+1﹣a n ＞0，{ a n }递增，anan1a n1 2 an＞ 11 32 2当 n ≥ 4 时，，a 5 a4＞3 2 a4 3 ＞ a 52∴，∴a 10a4＞（ 3 2729 ）6，∴ a ＞＞ 10．故 A 正确． 1064a10 a9＞3 2故选：A ．a的【点睛】遇到此类问讨论，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步题.可能取值，利用“排除法”求解10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分15.复数z11 i（i 为虚数单位），则| z | ________. 2【答案】2【解析】【分析】本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】| z|1 12 |1 i | 2 2.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.16.已知圆C 的圆心坐标是(0, m) ，半径长是r . 若直线2x y 3 0与圆相切于点A( 2, 1) ，则m _____，r ______.【答案】(1). m 2 (2). r 5【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0, m) 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知1 1k AC : y 1 (x 2) ，把(0,)m代入得m 2，此时r | AC | 4 1 5 .AC2 2【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.17.在二项式9( 2 x) 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】(1). 16 2 (2). 5【解析】【分析】11本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9( 2 x) 的通项为r 9 r rT 1 C9 ( 2) x (r 0,1,2 9) r可得常数项为0 9T1 C9 ( 2) 16 2 ，因系数为有理数，r = 1,3,5,7,9，有T , T ,T ,T ,T共5 个项2 4 6 8 10【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.18.在V ABC 中，ABC 90 ，AB 4 ，BC 3，点D 在线段AC 上，若BDC 45 ，则BD ____；cos ABD ________.【答案】(1). 12 25 (2). 7 210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在BDC 、ABD 中应用正弦定理，由cos ABD cos( BDC BAC ) 建立方程，进而得解.【详解】在ABD 中，正弦定理有：AB BDsin ADB sin BAC，而3AB 4, ADB ,42 2AC AB BC 5 ，BC 3 AB 4sin BAC ,cos BACAC 5 AC 5，所以12 2BD .57 2cos ABD cos( BDC BAC ) cos cos BAC sin sin BAC4 4 1012【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.19.已知椭圆2 2x y9 51 的左焦点为 F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______ .【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得PF1 2| O M | 4 ，设P(x, y) 可得 2 2(x2) y 16 ，联立方程2 2x y9 51可解得3 21x x （舍），点P 在椭圆上且在x轴的上方，,2 215求得3 15P , ，所以2 2kPF21512方法2：焦半径公式应用13解析1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得PF1 2| O M | 4 ，即 a ex 4 xp p 3 2求得3 15P , ，所以2 2152 15k .PF12【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.20.已知a R，函数 3f (x) ax x ，若存在t R ，使得2| f (t 2) f (t) | ，则实数a 的最大值是____.3a 【答案】max 4 3【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题. 从研究2f (t 2) f (t) 2a 3t 6t 4 2入手，令2m 3t 6t 4 [1, ) ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得 2 2 2f (t 2) f (t) a{2 (t2) t(t 2) t ]} 2 2 a 3t6t 4 2 ，使得令 2m 3t 6t 4 [1, ) ，则原不等式转化为存在1m 1, |am 1| ，由折线函数，如图3只需1 1a 1 ，即3 32 4a ，即a 的最大值是3 343【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.21.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个i (i 1, 2,3, 4,5,6) 取遍时，14| AB BC CD DA AC BD |的最小值是________；最大值是_______.1 2 3 4 5 6【答案】(1). 0 (2). 2 5【解析】分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC ，BD AD AB ，AB ? AD 0，【1 AB2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD 13 5 6 AB 2456 AD 要使 1 AB 2 BC 3 CD 4 DA 5 AC 6 BD 的最小，只需要1 3 5 62 4 5 6 0，此时只需要取 1 1, 2 1,3 1,4 1,5 1,6 1此时 1 2 3 4 5 6AB BC CD DA AC BD 0min2 2 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD1 3 5 6 AB2 4 5 6 AD2 21 3 5 62 4 5 62 21 3 5 62 4 5 62 2 225 6 5 62 28 45 6 5 6 5 6 5 62 2 28 4 25 6 5 6 5 62 2 2 212 4 25 6 5 6 5 62 2 2 212 4 2 2 205 6 5 6等号成立当且仅当1, 3, 5 6 均非负或者均非正，并且 2 , 4, 5 6 均非负或者均非正。

《高考真题》2019年浙江省高考数学试卷(解析版)

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：若事件A,B 互斥，则P(A B) P( A) P(B)柱体的体积公式V Sh若事件A,B 相互独立，则P( A B) P( A) P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p , 则nA k次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示柱体的底面积，表示柱体的高Sh锥体的体积公式1V Sh3k k n kP (k) C p (1 p) (k 0,1, 2, , n)n n其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高1台体的体积公式V (S1 S1S2 S2 ) h3其中S1 ,S2 分别表示台体的上、下底面积，h表2 球的表面积公式球体积公式S 4 R4V R33 其中R表示球的半径示台体的高选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U 1,0,1,2,3 ，集合A 0,1,2 ，B1, 0,1 ，则e U A B （）A. 1B. 0,1C. 1,2,3D. 1,0,1,3【答案】 A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】 C A={ 1,3} ，则C U A B { 1}U【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为x y 0的双曲线的离心率是（）1A. 22B. 1C. 2D. 2【答案】 C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x±y＝0 的双曲线，可得 a b，所以c 2a则该双曲线的离心率为 e c 2a ，故选：C．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.x 3y 4 03.若实数x, y 满足约束条件3x y 4 0，则z 3x 2y的最大值是（）x y 0A. 1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数z=3x+2y 经过平面区域的点(2, 2)时，z=3 x+2y取最大值z ma x 3 2 2 2 10.2【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家. 他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 323【答案】 B【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2 6 4 63 3 6 162 2 2.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5.若a0,b 0，则“a b 4”是“a b 4 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当a>0, b>0时，a b 2 ab ，则当a b 4时，有2 ab a b 4 ，解得ab 4 ，充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab 4 ，但此时a+b =5>4 ，必要性不成立，综上所述，“ a b 4”是“a b 4”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数1 1y , y log x (a 0x aa 2且a 0) 的图象可能是（）4A. B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0 a 1时，函数xy a 过定点(0,1) 且单调递减，则函数y1xa过定点(0,1) 且单调递增，函数1y log x 过定点a21( ,0)2且单调递减， D 选项符合；当 a 1时，函数xy a 过定点(0,1) 且单调递增，则函数y1xa过定点(0,1) 且单调递减，函数1y log x 过定点a21( ,0）且单调递增，各选项均不2符合.综上，选 D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设0 a 1，则随机变量X 的分布列是：5则当 a 在0,1 内增大时（）A. D X 增大B. D X 减小C. D X 先增大后减小D. D X 先减小后增大【答案】 D【解析】【分析】研究方差随 a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.详解】方法1：由分布列得1 aE(X ) ，则32 2 2 21 a 1 1 a 1 1 a 12 1 1D X a a ，则当a 在(0,1) 内增大时，( ) 0 13 3 3 3 3 3 9 2 6D(X)先减小后增大.22 2 22 a 1 (a1) 2a 2a 2 2 13 【方法2：则D( X ) E X E( X ) 0 a3 3 9 9 9 24 故选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为，直线PB 与平面ABC 所成角为，二面角P AC B 的平面角为，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】 B【解析】6【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O，则P在底面投影 D 在线段AO上，过D作DE 垂直AE ，易得PE / /VG ，过P 作P F // AC 交VG 于F，过D 作D H / /AC ，交BG 于H ，则P F E G D H B D BPF , PBD, PED ，则 c o s c o s，即，P B P B P B P B PD PDtan tanED BD，即y ，综上所述，答案为 B.方法2：由最小角定理，记V AB C 的平面角为（显然）由最大角定理，故选 B.方法3：（特殊位置）取V ABC 为正四面体，P 为VA中点，易得3 33 2 2 2cos sin ,sin , sin6 6 3 3，故选 B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.x, x 09.已知a,b R ，函数 f (x) 1 13 2x (a 1)x ax, x 03 2 ，若函数y f (x) ax b恰有三个零点，则（）A. a 1,b 0B. a 1,b 0C. a 1,b 0D. a 1,b 07【答案】 C【解析】【分析】当x 0 时，y f()x a x b x a(x1 b ) 最多a 一x 个b零点；当x⋯0 时，1 1 1 13 2 3 2y (f)x a x b x( 1 a)x a x a x b( ，1x利) 用导数a研究函数x 的单调b 性，3 2 3 2根据单调性画函数草图，根据草图可得．b【详解】当x 0 时，y f (x) ax b x ax b (1 a)x b 0，得；y f (x) ax b最x1 a多一个零点；当x⋯0时，1 1 1 13 2 3 2y f (x) ax b x (a1)x ax ax b x (a 1)x b ，3 2 3 22 ( 1)y x a x，当a 1,0，即a, 1时，y ⋯0，y f (x) ax b在[0 ，) 上递增，y f (x) ax b最多一个零点．不合题意；当a 1 0，即a 1时，令y0 得x [ a 1，) ，函数递增，令y0 得x [0 ，a 1) ，函数递减；函数最多有 2 个零点；根据题意函数y f (x) ax b恰有 3 个零点函数y f ( x) ax b在( ,0) 上有一个零点，在[0 ，) 上有2 个零点，如图：b a 0且b 01 13 2(a 1) (a 1)(a 1) b 03 2，1解得b 0，1 a 0，130 b (a 1) , a 1．6故选：C．8【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a, b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.10.设a,b R ，数列a n 中， 2a1 a,a n 1 a n b ，n N , 则（）1 1b ,a 10 B. 当b ,a10 10A. 当102 4C. 当b 2, a10 10D. 当b 4, a10 10【答案】 A【解析】【分析】对于B，令 2 1x 0，得λ4 121a ，得到当 b，取 12142﹣λ﹣2＝0，得时，a10＜10；对于C，令x2﹣λ﹣4＝0，得 1 17λ＝2 或λ＝﹣1，取a1＝2，得到当b＝﹣2时，a10＜10；对于D，令x2，取1 17a ，得到当b ＝﹣4时，a10 ＜10；对于 A ，121 12a a ，22 21 1 32 2a (a) ，32 2 4a3 1 9 1 17n 14 2 2a (a a ) ＞1，当n≥ 4 时，4a4 2 16 2 16n a n12an＞11 32 2a10，由此推导出a4＞（32）7296，从而a10＞＞10．64【详解】对于B，令 2 1x 0，得λ4 12，9取111a，∴ a 2，，a＜10 ，1n2 2 2 ∴当 b 14时， a 10＜ 10，故 B 错误；对于C ，令 x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝ 2 或 λ＝﹣1，取 a 1＝2，∴ a 2＝2，⋯ ， a n ＝2＜10， ∴当 b ＝﹣2 时， a 10＜10，故 C 错误；对于D ，令 x2﹣λ﹣4＝0，得1 172﹣λ﹣4＝0，得1 172，取117117a，∴ a 2，⋯ ， 1221 17 a＜ 10， n2∴当 b ＝﹣4 时， a 10＜10，故 D 错误；对于A ，1 1 2aa， 22211 322a(a ) ，32244 2 23 191 17a(a a) ＞1，442 16 2 16a n+1﹣a n ＞0，{ a n }递增，anan1a n1 2 an＞ 11 32 2当 n ≥ 4 时，，a 5 a4＞3 2 a4 3 ＞ a 52∴，∴a 10a4＞（ 3 2729 ）6，∴ a ＞＞ 10．故 A 正确． 1064a10 a9＞32故选：A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展 .利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分11. 复数z11 i（i 为虚数单位），则| z | ________. 2【答案】2【解析】【分析】本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】| z|1 12 |1 i | 2 2.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12. 已知圆C 的圆心坐标是(0, m) ，半径长是r . 若直线2x y 3 0与圆相切于点A( 2, 1) ，则m _____，r ______.【答案】(1). m 2 (2). r 5【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0, m) 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知1 1k AC : y 1 (x 2) ，把(0,)m代入得m 2，此时r | AC | 4 1 5 .AC2 2【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13. 在二项式9( 2 x) 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】(1). 16 2 (2). 5【解析】【分析】11本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9( 2 x) 的通项为r 9 r rT 1 C9 ( 2) x (r 0,1,2 9) r可得常数项为0 9T1 C9 ( 2) 16 2 ，因系数为有理数，r = 1,3,5,7,9，有T , T ,T ,T ,T共5 个项2 4 6 8 10【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14. 在V ABC 中，ABC 90 ，AB 4 ，BC 3，点D 在线段AC 上，若BDC 45 ，则BD ____；cos ABD ________.【答案】(1). 12 25 (2). 7 210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在BDC 、ABD 中应用正弦定理，由cos ABD cos( BDC BAC ) 建立方程，进而得解.【详解】在ABD 中，正弦定理有：AB BDsin ADB sin BAC，而3AB 4, ADB ,42 2AC AB BC 5 ，BC 3 AB 4sin BAC ,cos BACAC 5 AC 5，所以12 2BD .57 2cos ABD cos( BDC BAC ) cos cos BAC sin sin BAC4 4 1012【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15. 已知椭圆2 2x y9 51 的左焦点为 F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______ .【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得PF1 2| O M | 4 ，设P(x, y) 可得 2 2(x2) y 16 ，联立方程2 2x y9 51可解得3 21x x （舍），点P 在椭圆上且在x轴的上方，,2 215求得3 15P , ，所以2 2kPF21512方法2：焦半径公式应用13解析1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得PF1 2| O M | 4 ，即 a ex 4 xp p 3 2求得3 15P , ，所以2 2152 15k .PF12【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16. 已知a R，函数 3f (x) ax x ，若存在t R ，使得2| f (t 2) f (t) | ，则实数a 的最大值是____.3a 【答案】max 4 3【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题. 从研究2f (t 2) f (t) 2a 3t 6t 4 2入手，令2m 3t 6t 4 [1, ) ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得 2 2 2f (t 2) f (t) a{2 (t2) t(t 2) t ]} 2 2 a 3t6t 4 2 ，使得令 2m 3t 6t 4 [1, ) ，则原不等式转化为存在1m 1, |am 1| ，由折线函数，如图3只需1 1a 1 ，即3 32 4a ，即a 的最大值是3 343【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17. 已知正方形ABCD 的边长为1，当每个i (i 1, 2,3, 4,5,6) 取遍时，14| AB BC CD DA AC BD |的最小值是________；最大值是_______.1 2 3 4 5 6【答案】(1). 0 (2). 2 5【解析】分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC ，BD AD AB ，AB ? AD 0，【1 AB2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD 13 5 6 AB 2456 AD 要使 1 AB 2 BC 3 CD 4 DA 5 AC 6 BD 的最小，只需要1 3 5 62 4 5 6 0，此时只需要取 1 1, 2 1,3 1,4 1,5 1,6 1此时 1 2 3 4 5 6AB BC CD DA AC BD 0min2 21 AB2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD 13 5 6 AB 2456 AD2 21 3 5 62 4 5 62 21 3 5 62 4 5 62 22 25 6 5 62 28 45 6 5 6 5 6 5 62 2 28 4 25 6 5 6 5 62 2 2 212 4 25 6 5 6 5 62 2 2 212 4 2 2 205 6 5 6等号成立当且仅当1, 3, 5 6 均非负或者均非正，并且 2 , 4, 5 6 均非负或者均非正。

2019年高考数学浙江卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江省）数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =- 【考点】交集、补集的定义【考查能力】基础知识、基本计算 2.【答案】C【解析】根据渐近线方程为0x y ±＝的双曲线，可得a b =，所以c =，则该双曲线的离心率为ce a==，故选：C.【考点】双曲线的离心率【考查能力】基本计算 3.【答案】C【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【考点】线性规划 4.【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.【考点】空间几何体的三视图及体积【考查能力】基础知识、视图用图，基本计算 5.【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a +b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【考点】充分条件，必要条件【考查能力】逻辑推理能力 6.【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点BH ⊂且单调递减，则函数1xy a =过定点BH ⊂且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点BH ⊂且单调递增，则函数1x y a =过定点BH ⊂且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【考点】函数图象的识别【考查能力】逻辑推理 7.【答案】D【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在BH ⊂内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【考点】随机变量的分布列及期望、方差【考查能力】运算求解 8.【答案】B【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即y β>，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γγ'=）由最大角定理βγγ<'=，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin ααβγ=⇒===B. 【考点】空间中直线与直线、直线与平面所成的角及二面角的大小【考查能力】空间想象，分析问题，解决问题 9.【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a + ，即1a - 时，0y ' ，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即13==时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01ba <-且32011(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选：C ．【考点】函数的零点【考查能力】运算求解 10.【答案】A【解析】对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=，取112a =，∴2111022n a a == ，＜， ∴当14b =时，1010a ＜，故B 错误；对于C ，令220x λ--＝，得2λ＝或1λ＝-，取12a ＝，∴22a ＝，…，210n a ＝＜， ∴当2b ＝-时，1010a ＜，故C 错误；对于D ，令240x λ--＝，得λ=，取1a =2a =…，10n a =， ∴当4b -＝时，1010a ＜，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113(224a a =++≥， 4224319117(14216216a a a =+++≥+=＞，10n n a a +-＞，{}n a 递增，当4n ≥时，1113222n n n n a a a a +=++=＞1， ∴5445109323232a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴610432a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1072964a ＞＞10．故A 正确．故选：A ．【考点】数列的综合应用【考查能力】分析问题与解决问题，运算求解非选择题部分二、填空题 11.【解析】1|||1|z i ===+【考点】复数的运算及复数的模【考查能力】化归与转化，运算求解 12.【答案】2-【解析】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===. 【考点】圆的标准方程及直线与圆的位置关系【考查能力】推理认证，运算求解 13.【答案】5【解析】9)x +的通项为919(0,1,29)r r r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【考点】二项式定理的应用【考查能力】运算求解，分析问题，解决问题14.【解析】在ABD △中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,5AC ==，34sin ,cos 55BCABBAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【考点】正弦定理，两角和的正弦公式，诱导公式【考查能力】划归与转化，运算求解15. 【解析】【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==【考点】圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系【考查能力】逻辑推理，运算求解 16.【答案】43【解析】使得()222(2)()2[(2)({]2)223642}f t f t a t t t t a t t +-=⋅++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在1m ≥，113am -≤，由折线函数，如图只需11133a --≤，即2433a ≤，即a 的最大值是43【考点】函数的最值，绝对值不等式的解法【考查能力】逻辑推理，划归与转化，运算求解 17.【答案】0【解析】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =-，0AB AD =⋅， ()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++要使123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小，只需要561356240λλλλλλλλ-+-=-++=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λλλλλλ==-====此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=()()2212345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++()()2213562456λλλλλλλλ=-+-+-++ ()()2213562456λλλλλλλλ≤++-++++()()22565622λλλλ=+-+++()()()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++()225682λλ=+++12=+1220=+等号成立当且仅当1356,,λλλλ--均非负或者均非正，并且2456,,λλλλ-+均非负或者均非正。

浙江省2019年高考数学试题及答案

浙江省2019年高考数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 AB ．1CD ．23．若实数x，y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z=3x+2y的最大值是A．1-B．1 C．10 D．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162 C．182 D．3245．若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y=log a(x+12)(a>0，且a≠1)的图象可能是7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时，A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >010．设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ．当b =12时，a 10>10B ．当b =14时，a 10>10C ．当b =–2时，a 10>10D ．当b =–4时，a 10>10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2019年高考数学(理)浙江卷试题含答案WORD精校版.docx

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2， B1,0,1，则Cu A B=A ．1B ．0,1C．1,2,3D．1,0,1,32．渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是2B ． 1C．2D． 2A ．2x3y403．若实数 x， y 满足约束条件3x y40 ，则z=3 x+2y的最大值是x y0A ．1B ． 1C． 10 D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体 =Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位： cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A ．158B ．162C．182D． 3245．若 a>0 ，b>0 ，则“ a+b≤ 4”是“ ab≤ 4”的A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y = 1x， y=log a(x+1)(a>0 ，且 a≠1)的图象可能是a27．设 0＜ a＜ 1，则随机变量X 的分布列是则当 a 在（ 0,1）内增大时，A ．D （X）增大B ．D（ X）减小C．D （ X）先增大后减小 D ．D（ X）先减小后增大8．设三棱锥V–ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线 AC 所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B 的平面角为γ，则A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC．β<α，γ<αD ．α<β，γ<βx, x09．已知a,b R ，函数 f (x)1x31(a1)x2ax, x．若函数 y f ( x)ax b 恰有3个零点，032则A ． a<–1， b<0B ．a<–1， b>0C．a>–1， b<0D． a>–1， b>0 10．设 a，b∈R，数列 { a n} 满足 a1 =a， a n+1=a n2+b，b N ，则1时， a101时， a1010D ．当 b=–4A ．当 b= 2>10B ．当 b= 4>10C．当 b=–2 时， a >10时， a10>10二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。

2019年高考数学浙江卷真题及答案详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试·浙江卷数学参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B ð= A ．{}1-B．C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A． B ．1CD ．23．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．32 5．若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠0)的图像可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大 B ．D （X ）减小 C ．D （X ）先增大后减小 D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．a <-1，b <0 B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <010．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则 A ．当b =12，a 10＞10 B ．当b =14，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2019年浙江卷数学高考试题(含答案)

2019年浙江卷数学高考试题(含答案)2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：1.已知全集 $U=\{-1,0,1,2,3\}$，集合 $A=\{0,1,2\}$，$B=\{-1,1\}$，则 $(U-A) \cap B=$（）。

A。

$\{-1\}$。

B。

$\{0,1\}$。

C。

$\{-1,2,3\}$。

D。

$\{-1,1,3\}$2.渐进线方程为 $x^2-y^2=4$ 的双曲线的离心率是（）。

A。

$\sqrt{2}$。

B。

$1$。

C。

$2$。

D。

$\sqrt{2}/2$3.若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}3x-y\leq 4 \\ x+y\geq 1\end{cases}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是（）。

A。

$-1$。

B。

$1$。

C。

$10$。

D。

$12$4.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式$V_{\text{柱体}}=sh$，其中$s$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高。

若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）。

A。

$158$。

B。

$162$。

C。

$182$。

D。

$324$5.若 $a>0,b>0$，则“$a+b^4$ 是 $ab^4$ 的”（）。

A。

充分不必要条件。

B。

必要不充分条件C。

充分必要条件。

D。

既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{11}{a^2x}$，$y=\log_a(x+1)$，$(a>0,a\neq 1)$ 的图象可能是（）。

7.设 $0<a<1$。

随机变量 $X$ 的分布列是begin{array}{c|cc}X & 1 & 2 \\XXXP & a & 1-aend{array}则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时，（）。

A。

$D(X)$ 增大。

2019年高考浙江卷数学真题试题(word版,含答案与解析)

2019年高考数学真题试卷（浙江卷）原卷+解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1.（2019•浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（）A. {-1}B. {0，1}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1，3}【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：，所以={-1}.故答案为：A.【分析】根据集合的补写出即可得到.2.（2019•浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】 C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得，所以离心率e= .故答案为：C.【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到，即可求出离心率e.3.（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（）A. -1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【考点】简单线性规划的应用【解析】【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.4.（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。

若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，其底面积,所以体积V=27 .故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.5.（2019•浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】作出直线y=4-x和函数的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.6.（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=log a(x+ ），（a>0且a≠0）的图像可能是（）A B C D【答案】 D【考点】函数的图象【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；y=log a(x+ ）过（，0）单调递增，没有符合条件的图象；当0<a<1时，y= 的底数大于1，故过（0,1）单调递增；y=log a(x+ ）过（，0）单调递减；故答案为：D.【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.7.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是X 0 a 1P则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：E（X）= ，，根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；故答案为：D.【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.8.（2019•浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。

【精选】2019年浙江高考数学试题及答案解析

2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =（）A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（） A ．2B ．1C ．2D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y =+的最大值是（）A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +”是“4ab ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1xy a =，11()2ay og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（）7．设01a <<．随机变量X 的分布列是X 0 a 1 P131313A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（） A ．1a <-，0b < B ．1a <-，0b > C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则（） A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

新高考(精校版)2019年浙江卷数学高考试题文档版(有答案)【精校】.doc

2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =ð（）A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（） AB ．1 CD ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………，则32z x y =+的最大值是（）A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1xy a =，11()2ay og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（）7．设01a <<．随机变量X 的分布列是A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩…若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（） A ．1a <-，0b < B ．1a <-，0b > C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则（） A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2019年高考浙江高考数学试题及答案(精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：分别表示台体的上、下底面积，h表选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U=-，集合{}0,1,2A=，{}101B=-,,，则（∁U A）∩B＝（）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-2.渐近线方程为0x y±=的双曲线的离心率是（）A. B. 1C. D. 23.若实数,x y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y=+的最大值是（）A. 1- B. 1C 10 D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 325.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（）A. B.C. D.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大8.设三棱锥V ABC-的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<< 9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C.1,0a b >->D. 1,0a b >-< 10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ， ,则（）A. 当101,102b a =>B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =->D. 当104,10b a =->非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________. 12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14.在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.20.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2nn na C nb *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N21.如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S.（1）求p 的值及抛物线的标准方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.22.已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有(),2x f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：分别表示台体的上、下底面积，h 表选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则（∁U A ）∩B ＝（）A. {}1-B.{}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c ==，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C.,βαγα<<D.,αβγβ<<【答案】B 【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C.1,0a b >->D. 1,0a b >-<【答案】D 【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ， ,则（） A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为17122x =±，令17122a =±，则171102n a =<，排除.选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n n n a a a +=+≥≥，则则 12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =-(2). r =【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 14.ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 5 (2). 10【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,AC 5=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =72cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得315,22P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25 【解析】【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。