高等数学第八章第3节全微分及其应用(中央财经大学)

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全微分及其应用

根据一元函数微分学中增量与微分的关系,
进一步
f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) = f x ( x, y )Δx + o(Δx)
f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ) = f y ( x , y ) Δ y + o ( Δ y )
这里f(x+△x, y)-f(x, y)与f(x, y+△y)-f(x, y)分别称为函数z=f(x, y) 在点(x, y)处对x与对y 的偏增量， fx(x, y) △x 与 fy(x, y) △y 分别称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处对x与对y的偏微分。称
2 2
y yz 例2. 计算函数 u = x + sin + e 的全微分。 2 ∂u 1 y ∂u ∂u 解: = cos , =1, y eyz = ∂y 2 2 ∂z ∂x
1 y cos dy + ze yz d y + y e y z d z d u = 1⋅ d x + 2 2
y ⎛1 yz ⎞ = dx + ⎜ cos + ze ⎟ dy 2 ⎝2 ⎠
Δ z = A Δx + B Δy + o( ρ ) , ρ = (Δx) 2 + (Δy ) 2
其中A , B 不依赖于Δx , Δy , 仅与 x , y 有关, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， △x+B△y称为函数 f(x, y)在点 (x, y)的全微分, A 记作
z −1
∂z ⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ = z ⋅ ⎜ xy + ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ y⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ ∂y

《全微分及其应用》课件

统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于许多领域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有更多的研究和应用方向值得深入探索。
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关，具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设计、控制系统等。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义以及相关概念，并为后续内容打下基础。
ห้องสมุดไป่ตู้质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的几何意义。

《高数全微分》课件

全微分的概念
全微分是多变量函数的变化率，通过定义、计算方法和与偏微分的区别，理解全微分的概念。
练习题选讲
1
练习题1
通过一个实际的计算例子来帮助学生巩固微分和导数的应用。
2
练习题2
挑选一道复杂且具有挑战性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
3
练习题3
提供一道综合性的练习题，结合了微分、导数和全微分的内容，以检验学生的综合能力。
讲解内容
什么是微分
微分是基础概念，具有多种定义方式。通过物理解释和常见定义使学生理解微分的概念和意义。
导数的定义
导数是描述函数变化率的工具，包括导数的概念、计算方法以及其在函数极值中的应用。
微分的定义
微分作为导数的无穷小变化量，给出了函数在某一点上的局部变化情况和计算方法。
总结回顾
1 本节知识点回顾 2 知识点扩展
概述了微分、导数和全微分的概念和定义，强调了它们在数学中的重要性。
引导学生进一步学习微分和导数的应用领域，如物理学和经济学等。
3 下节课预告
展示下节课将会涉及的主题和学习目标，激发学生的兴趣和期待。
《高数全微分》PPT课件
高数全微分 PPT课件
知识点概述
什么是微分
微分是一个数学概念，用于描述函数值的变化率。它是微积分的基础。
微分的定义
微分是函数值的无穷小变化。它描述了函数在某一点上的局部变化。
导数的定义
导数是函数在某一点上的变化率，可以解释为函数在该点的切线斜率。
全微分的概念
全微分是多变量函数在某一点上的变化率，它包括所有变量的微分。

高等数学8-3全微分讲解

dz z dx z dy . x y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全微分为
du

u x
dx

u y
dy

u z
dz
.
设
zf(x,
y),
则
dz

z x
dx
如果函数zfxy的偏导数xz??yz??在点xy连续?叠加原理按着习惯xy分别记作dxdy并分别称为自变量的微分这样函数zfxy的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义二*、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
的近似值.
解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
x2 y1

e2
,
z y
x2 y1

2e2
,
dze2dx2e2dy.

§8.3 全微分及其应用

可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
令 y 0, 得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
Ax o ( x )
4
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点可微.
7
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ห้องสมุดไป่ตู้ 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
d(1z)函d数f 可微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
3
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证因函数在点(x, y) 可微, 故
2
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D83多元函数全微分-精选文档26页

19.09.2019
函数可微
偏导数连续
阜师院数科院
机动目录上页下页返回结束
3. 微分应用 • 近似计算 fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
• 估计误差
fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y
绝对误差 δzfx (x ,y )δx fy (x ,y )δy
定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
dzzxzy x y
证: 由全增量公式得到对 x 的偏增量
令y0,
xx
x A xo( x)
z lim xz A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
xy (x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
19.09.2019
阜师院数科院
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定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x,y)连续 ,则函数在该点可微分.
x y
证： z f ( x x , y y ) f ( x , y )
解: 已知
则
V 2rhr r2h
r2,0h10 , 0
r 0 .0,5 h 1
V 2 2 1 0 0 0 . 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了
19.09.2019
阜师院数科院
3) 当 (x,y)(0,0)时 ,
fx(x,y)
sin

8全微分及其应用-PPT精选文档

复习一元函数微分
微分的几何意义
f ( x0 ) lim
y x 0 x
微分是函数的局部线性化
.
f (x)
N
(x)
tan
x dy = f(x 0)
y
=tan x
在图上是哪条线段？
y
y d y ( x )
当 x 很小时
dy
f ( x0 )
即
d y f ( x ) dx
函数可导函数连续
一、全微分的定义
设二元函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义. 当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 x 和y 时，函数的全增量为
z f ( x x , y y ) f ( x , y ). 0 0 0 0
令 x B ,y A ，则 S 可以表示为 0 0
S A x B y o ( ).
将增量S 分离出和的线性部分 A , x B y x y 再加上一项比高阶的无穷小 o() .

定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量
例1
解
2 2 计算函数 z x y y 的全微分 .
z z x2 2y, 因为 2 xy , y x
2 所以 d z 2 xy d x ( x 2 y ) d y .
例2 解
xy 计算函数 z e 在点 ( 2 ,1 ) 处的全微 .
z z xy xy xe , ye , y x z z 2 2 e , 2 e . ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 ) x y

【2019年整理】8-3全微分及其应用24839

河海大学理学院《高等数学》
x2 y2
在
0,
( x, y) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)
不连续，而 f 在点(0,0) 可微.
河海大学理学院《高等数学》
证因为
xy sin 1
xy 1 (x2 y2 ) 0
x2 y2
2
所以 lim xy sin ( x , y )(0,0)
1
x2 y2 0 f (0,0),
fx(x, y)
1
x2 y
1
y sin
cos
,
x2 y2 ( x2 y2 )3
x2 y2
所以偏导数存在.
河海大学理学院《高等数学》
当点P( x, y)沿直线y x 趋于(0,0) 时,
lim
( x, y)(0,0)
fx (x,
y)
y x
lim x sin 1 1 cos
x0
2x 2 2
1 2
x
,不存在.
所以 f x ( x, y)在(0,0) 不连续.
同理可证 f y ( x, y)在(0,0) 不连续.
河海大学理学院《高等数学》
f f (x,y) f (0,0)
x y sin
1
(x)2 (y)2
o( (x)2 (y)2 )
可见,A＝0 , B＝0, 即 df (0,0) 0.
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x,
y
)
、
f
y
(
x,
y
)在点(
x0
,
y0

8-3全微分60210

同理
f ( x, y y) f ( x, y) f y( x, y)y 2y,
且当x 0,y 0时， 2 0,
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则
z f x( x, y)x 1x f y( x, y)y 2y
fx( x, y)x f y( x, y)y 1x 2y
lim
( x, y )(0,0) y x
f x( x,
y)

lxim0
x sin
1 2|x| 2
x3 2 | x |3 cos
不存在 . 所以 fx( x, y)在(0,0)不连续.
1 2|
x
|

同理可证 f y( x, y)在(0,0)不连续.
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A z , x
机动目录上页下页返回结束
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
若函数 u f ( x, y, z) 在点 ( x, y, z) 可微，则
全微分也具备两个特点：（1）它是x , y 的线性函数；
（2）当 0 时，dz 与z之差是比更高阶
的无穷小。说明：
习惯上，自变量 x, y 的增量 x,y 常写作dx,dy ，并分别称为自变量 x, y 的微分，所以dz 也常记为： dz Adx Bdy
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二元函数对 x 和对y 的偏增量
二元函数对x 和对y 的偏微分
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全微分的定义

高等数学第八章第三讲多元函数的全微分

第八章
小结
１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数连续、可导、可微的关系．
作业： 28; 29; 30.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
(0 1 1)
f x ( x, y )x 1x （依偏导数的连续性）
其中 1 为x , y 的函数,
且当x 0, y 0 时， 1 0 .
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
同理
f ( x , y y ) f ( x , y )
第八章
定理２（充分条件）如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z 导数、在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) x y
可微分．
证考虑函数在点(x, y) 处的全增量. 有
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) [ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
需要注意的是, 偏导数连续只是可微的充分而非必要条件.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
第八章
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理

8.3-1全微分定义

微积分
谢谢
THANK YOU
二元函数
x 对和对y的偏微
增量
分
微积分
经济数学
全增量的概念
内有如定果义函，数并？设=P(f(xx,y)+在A点xP(,xy,y)的+某A邻F域)
畐这邻域内的任意一点，则称这两点的函数
值之差
+ Ap) f(x + P Ax, 为函数在点对应于自变量增量
一 f (x^y)
AF的
全增量，记为
艮卩 Az=f(x+y+Av)—f(x^ T)・
微积分
经济数学
全微分的定义
(A以其 x(点称的x,Ax表中畐(全,8p,x示4函如微y)有,为数果分j)2y关8z函,，A的)不，数z记+全可依p=z则为增微赖d称=zdA量=分f于==(函Azp，xAAA数,A,)x^Ay/z/xx7)即+/在(A,+-B(点xA=x颂=BAyA(,.而fyxxjf+f仅(+)((,x)xx与,o2,j在y(B+y)p))点可)颂+在,
全微分定义
3 第八章多元函数微分
学第节全微分及其应用
主讲韩华
= 复习设函数y
f (x)在某区间内有定
+ A 义, x0及x0
x在这区间内，如果
A = + A y
f (x 0
x) 一 f (x
= -A + A 0) A
x
o( x) 成立(其
A 中A是与 x无关的常数)，则称函数 y =
-A A f记y (作=x)df在y (点xx=x)0x或在0可d点f 微(xx00，)相,并即应且d于y称自x=Ax变0 =量A增x-为Ax量.函数x的微分,

人大微积分课件8-3全微分

全微分的几何解释
局部线性逼近
全微分提供了函数在某点处的局部线性逼近，即在该点附近，函数值可以用切平面上的值来近似。
误差估计
全微分可以用来估计函数值与切平面值之间的误差，即 $|f(x, y) [f(x_0, y_0) + A(x - x_0) + B(y y_0)]| leq Msqrt{(x - x_0)^2 + (y y_0)^2}$，其中 $M$ 为某常数。
应用于微分方程
全微分是微分方程的基础，通过求解微分方程可以研究各种自然现象和社会现象的变化规律，如物理、化学、经济等领域的问题。
对全微分的进一步理解和探讨
与偏微分的联系与区别
全微分与偏微分都是研究函数变化率的工具，但偏微分仅研究函数沿坐标轴方向的变化率，而全微分则研究函数在任意方向的变化率。
提高解决实际问题的能力
学习微积分的最终目的是为了解决实际问题。在未来的学习中，需要注重提高解决实际问题的能力，通过大量的练习和实践来掌握微积分的应用技巧和方法，培养自己的数学素养和创新能力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
微分与增量的关系
全微分 $df$ 是函数增量 $Delta f$ 的线性主部，当 $Delta x, Delta y to 0$ 时，$Delta f approx df$。
近似计算与误差估计
利用全微分进行近似计算
当函数在某点的偏导数已知时，可以通过全微分公式近似计算函数在该点附近的值。
误差估计
在实际问题中，由于测量或计算误差的存在，我们需要对结果进行误差估计。全微分可以用来估计误差的传播和影响。
03 全微分的几何意义
切平面与切线

全微分

u y
( 2 , 2 ,1)
yz ( x ) ( 2, 2,1) y 将 x，z 看成常数
x ln x uzy x , w y
u z
z y
z 1w z 4 ln 2 ( 2 , 2 ,1)
( 2 , 2 ,1)
yz ( x ) ( 2, 2,1) z 将 x，y 看成常数 z 2
称为函数在点 X0 处的全微分。
其中，
z f ( X 0 X ) f ( X 0 )
f ( x0 x , y0 y) f ( x0 , y0 )
常数 a，b 与 X 无关，仅与 X0 有关。
x y
2 2
|| X ||

全微分概念的描述可表示为极限形式
2 2
连续： lim z 0
x 0 y 0
可微 ? 连续可导
在多元函数中，可微
连续
可微的必要条件
函数 f (X ) 在点 X0 处可微，则必在点 X0 处连续。
可微与可导的关系 (可微的必要条件)
定理 z af ( ,by) 在点 P(x ,2 y)y 2 ) 可微：若 z x x y o( x 处
则函数 f ( X ) 在点 X0 处可微。
证
要证明函数 f ( X ) 在点 X0 处可微，
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) z x y x y
即要证
o( x y )
2 2
利用微分中值定理
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) f x(1 , y )(x x0 ) f y ( x0 , 2 )( y y0 )
o( x y )

8-3全微分24860

则称z 函 f(x数 ,y)在(点 x0,y0)可，微而
AxBy称f为 (x,y)在(点 x0,y0)的全微。分
记 d z ，作 d 即 z A x B y . y (x0x,y0y)

上例， dS x0yy0x.
(x0, y0)
o
x
全微分的意义: dz是用来近z似的.
解：设函 f(x,y 数 )xy. fx(x,y)yyx 1,fy(x,y)xyln x, 取 x 0 1 ,y 0 2 , x 0 .0 , y 4 0 .0 . 2
f(1,2)1, fx(1,2)2, fy(1,2)0, 由公式得
( 1 .0)2 .0 4 2 1 2 0 .0 0 4 0 .01 2 .0.8
(x0,y0y) (x0 x,y0y) [ f ( x 0 x ,y 0 y ) f ( x 0 ,y 0 y )]
(x0, y0)
o
x
[f(x 0 ,y 0 y )f(x 0 ,y 0 )],
fx (x 0 ,y 0 y ) x 1 x fy(x0,y0) y2 y,
y0
y0x
关于x,y的线性函比数x,y高阶的无穷小当x、y很小时， Sx0yy0x. 由此引入二元可微函数的概念.
一、全微分的定义
设函z数 f(x,y)在点 (x0,y0)的某邻域内有如果 z f(x0x,y0y)f(x0,y0)可表示
z A x B y o ()其 . ( 中 x ) 2 ( y ) 2
二、可微的条件
可微
连续 z A x B y o ().
当 (x,y) (0,0)， z0.

《高等数学之全微分》课件

全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关，只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例

高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用

§8.3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim 0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim 00, 从而x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=.第 3 页共 5 页二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂, 212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224Tl g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224Tl g π=的全增量的绝对值|Δg |. 1|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为||||||T Tg l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l Tg l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤|||| )21(4322T l Tl T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. ∈ β∏⎪∑ 0, ⎤ ,X⎬πz =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差 ||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆第 5 页共 5 页 ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z y z x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为y x z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.。