高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)

第三节 全微分及其应用

一、全微分

二、全微分在近似计算

中的应用

d d tan x

y

=α

沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量

z x∆

多元函数的全增量

运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.

应用的某一个

线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:

z ∆α

+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.

应该是一个无穷小量α

二元函数全微分的定义

全微分概念的极限形式

函数在区域上的可微性

如果函数)

f在区域Ω中的

(X

每一点均可微, 则称函数在区域Ω

上可微 .

可微

连续可导

连续：0lim 0

0=∆→∆→∆z y x 可微：

+∆=∆x a z +∆y b )o(2

2y x ∆+∆什

么?

可微

连续可导

可微

连续可导

可微

连续可导

逆命题?

可 微

连续可导连 续可 导

连续可导Ok

f

,0(),(≠y x

f

二、全微分在近似计算中的应用

例5 计算

的近似值. 解.

),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,

1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y

y =,

2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.

08.1=

谢谢大家！