欧式期权定价模型

本文以下分析都分别就看涨期权和看跌期权两种类型作了讨论。
2.2 Black-Scholes方程推导
无风险投资问题：
设股票价格为 ，满足 ，0＜ｂ＜ａ，ｂ为常数。
在ｔ时刻投资 且此人在任何时刻可以用 的钱去进行风险投资，余下的部分进行无风险投资。问题就是寻找一个最佳投资组合 ，使终止时刻收益最大。表示为 。[4]
从而联立方程组 和
由此解得，欧式看涨期权价格 `
欧式看跌期权价格
其中 ， ，
。
期权可分为看涨期权和看跌期权。
看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定买进特定商品，但没有义务必须买进。不过期权卖方是有卖出义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务卖出约定商品。
看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定卖出特定商品，但没有义务必须卖出。不过期权卖方是有买进义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务买入约定商品。
假设：
股票价格是一个伊藤过程；
股票预期收益和波动率都固定不变；
市场是理想市场，无税收，无交易成本；
不存在无风险套利机会；
在期权合约期内无风险利率视作不变。
已知 ，其中S是股票价格，并且是伊藤过程； 是期望收益率，为常数； 是风险波动率，也是常数；B是一个布朗运动。
【推导】设f为期权价格，r为无风险利率。则有
欧式期权定价模型
2.1欧式期权与期权市场
期权是一种快速发展的金融衍生品。欧式期权是期权的一种，指未来某一特定日期期权买方有权利以约定好的价格向期权的卖方购买或者出售一定数量的特定标的物，但买方不负有任何买进或卖出的义务。
刨根问底，期权实质上是将金融资产买卖权利进行定价，在到期日权利人可以决定是否享受权利，而义务方必须履行义务。期权的买方是有买卖权利的一方，卖方是负有买卖义务的一方。
由已知随机微分方程，得
结合上式ห้องสมุดไป่ตู้构造投资组合
是无风险投资组合，
整理得
根据无风险投资，
于是
即
这便是著名的Black-Scholes偏微分方程。
2.3欧式期权定价公式
Black和Scholes的伟大贡献正在于解出此复杂的随机微分方程，从而得出举世瞩目的欧式期权定价公式。
设x为期权的交割价格，期权价格f须满足边界条件 （看涨期权）或 （看跌期权）