欧式期权定价模型
欧式实物期权定价模型及其应用_扈文秀
定理 ( （$203 ） "% /314
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"% 8 （K58 ） 设 &2JK#$;&2J’H L5 !" "K58 <， % & % 7 98， "%& 其密度函数为 ’ （JK） 。
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3!:，也可知许许多多偶然的因素共同
作用的结果必然符合正态分布。 那 么 这 里 的 两 个 参 数 !， " 和区间 可以根据以往的大量历史数据来预测 当期的这两个参数， 还可以预测以后的 参数取值。然而， 实物期权及其标底资 实际上这就是信息经济学所谓的不完 全信息状态。 而实物期权方法认为 = 不完 全信息产生了期权价值， 而且不确定性 在项目评价工 越高 ! 期权的价值就越大。 作中常用的定量估计方法是主观估计 法。主观估计法是专家根据长期积累的 各方面经验及当时搜集的信息所做出 的估计。为了减少偏差， 可以采用德尔 方法将众多专家的意见独立 菲 （>7?@AB ）
以欧式实物期权的执行价格的特性为切 入点， 考虑信息效应对执行价格的影响， 建立了欧式实物期权的定价模型，并用 实际案例说明了此模型的运用。通过对 传统的实物期权定价模型进行修正， 使 得实物期权定价方法更加符合投资决策 实践， 以便合理评价投资机会的价值。 诚然，此模型运用效果还有待在实 践中进一步检验，这也是实物期权定价 方法研究所共同面临的问题。希望后续 学者对此模型的假设条件进一步放松和 对模型进行修正。
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（JK） （" ） 。 ( 产的不可交易性使这些数据无法获得。 ’
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BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型介绍BLACK-SCHOLES模型是金融学中一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。
它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，1973年诺贝尔经济学奖授予了这个发现。
BLACK-SCHOLES模型是金融工程领域的重要里程碑，它为衍生证券的定价提供了一个强大而准确的工具。
原理与假设BLACK-SCHOLES模型的核心思想是基于偏微分方程构建的，通过对期权价格进行分析，得出隐含在期权价格中的一些参数，如股价、时间、利率等。
该模型建立在以下假设的基础上：1. 市场是完全有效的，不存在任何交易成本和税收，并且投资者可以自由买卖证券。
2. 市场不存在任何风险溢价，即投资者对风险是中立的。
3. 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格变动符合随机游走的过程。
模型的计算公式BLACK-SCHOLES模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
模型的核心公式如下：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中：- C表示期权的价格（call option）；- S_0表示标的资产的当前价格；- N表示标准正态分布的累积分布函数；- d1 = (ln(S_0/X) + (r + σ^2/2) * t) / (σ * sqrt(t))；- d2 = d1 - σ * sqrt(t)；- X表示期权的执行价格；- r表示无风险利率；- t表示期权的剩余时间（年）；- σ表示标的资产的波动率。
C代表认购期权的价格，而对于认沽期权，则用相应的公式进行计算。
模型的优缺点BLACK-SCHOLES模型是一个非常重要的工具，它在金融市场的衍生品定价中被广泛使用。
然而，该模型也存在一些局限性。
优点：1. 计算简单：BLACK-SCHOLES模型提供了一个相对简单的数学公式，可以通过计算机程序迅速计算出期权的合理价格。
一般均衡欧式期权定价模型
第17卷第5期 2008年10月系统管理学报Journal o f Systems &M anagementVol.17No.5 Oct.2008文章编号:1005-2542(2008)05-0525-06一般均衡欧式期权定价模型朱微亮, 刘海龙(上海交通大学安泰经济与管理学院,上海200052)摘要 建立既包含企业生产,又包含投资者消费的一般均衡资产定价方程,得到经济系统中的随机折现因子以及股票收益率所服从的动态方程。
在此基础上,采用二阶近似方法对欧式期权进行定价。
结果表明,欧式期权价格与企业的经营能力、所处的行业特征密切相关,推广了Black &Sholes 的期权定价公式。
关键词:经营能力;行业特征;二阶近似;一般均衡;欧式期权价格中图分类号:F 830.91 文献标识码:AA General Equilibrium Model of European Option PricingZH U Wei -l iang , L I U H ai -long(Antai Colleg e of Eco no mics&Manag em ent,Shanghai Jiaotong U niv ersity,Shanghai 200052,China) Abstract T he article studies o ption prices from the view points of performance and industrial character fo r w ho have a close relation to stock pr ices and enter prise.T hrough constructing a general equilibrium pr icing model,w e loo k for the stochastic discount factor and price the Euro pean optio n by second or der approx ima -tion.T he r esults extend the application fields of B -S fo rmula by show ing that European option prices have a clo se relation to enterprise investments and industry enterprises stand,and the call option prices are de -creasing function of risk -fr ee inter est rate and increasing function of per for mance or industrial develop -m ent.Key words:performance;industrial characteristics;seco nd or der appr oxim ation;general equilibrium;european o ption price收稿日期:2007-03-21 修订日期:2008-04-17基金项目:国家自然科学基金资助项目(70471025)作者简介:朱微亮(1976-),男,博士生。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
欧式看涨期权定价公式的例题
欧式看涨期权定价公式的例题
欧式看涨期权定价公式是一种流行的定价期权的模型，它可以用来测量期权价格。
它基于一个具有正态分布的假设。
此模型的基本理论是，人们可以估计期权的价格，也就是期权的现值乘以正态分布的密度函数，用特定的参数表示。
欧式看涨期权定价公式的核心组成部分是期权价值（Call Value）和期权波动率（Volatility），这是期权定价的两个主要因素。
其他因素还包括期权所针对的标的资产套利率以及标的资产到期日的价格。
欧式看涨期权定价公式常用于期权定价，财务预测以及其他相关市场行为中。
对于期权定价，它可以用来计算期权价格，从而决定如何安排期权交易。
此外，它还可以估算市场风险。
在许多金融市场中，它可以用来衡量财务风险的能力。
欧式看涨期权定价公式非常实用，可以有效地计算期权定价和衡量财务风险。
它也被广泛应用于金融、经济和会计方面，用来估计期权的价格和估算投资潜力。
此外，它也被广泛使用，以帮助投资者做出有效的投资决策。
总之，欧式看涨期权定价公式是一种实用的期权定价模型，它可以帮助投资者合理分配资源和减少风险。
它也可以帮助投资者做出明智的投资决策，从而获取更高的回报。
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
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11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
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13.4 几何布朗运动与对数正态分布
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wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
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《金融衍生品》课件_第十三、二十章 欧式期权定价
0 , 1 , … , −1 .在
1 , 2 , … , 的时间点上，利率上限的购买方能够获得
如下现金流：
∆ (ത − −1 ，0)
(12.65)
其中，∆ = − −1 ，−1 为利率重置日的市场
ത
利率 （如Shibor利率），−1 和的复利频率与重置
三、利率期权：利率上限/利率下限/互换期权
• 利率互换可以规避浮动利率负债的利率上升风
险。当有浮动利率负债时，担心利率上升，可
以签订一个支付固定利率、收取浮动利率的互
日频率一致。
某一次支付称为利率下 限单元，一个利率上限
由N个利率下限单元构成。
2、利率上限/利率下限的定价
由于 的支付在−1 时刻就已知了（−1 在
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
布莱克-舒尔斯期权定价模型布莱克-舒尔斯期权定价模型是一种用于计算欧式期权的理论定价模型。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克和麦伦·舒尔斯提出，并且在同年被罗伯特·默顿-米勒进一步完善和发展。
布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本原理是通过建立股票和债券的投资组合，获得一个无风险的合成证券，该合成证券与欧式期权具有相同的收益率。
该模型的关键假设包括资产价格满足几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本和无道德风险等。
根据这些假设，布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本公式可以表示为：C = S*N(d1) - X*e^(-rt)*N(d2)，其中C表示期权的价格，S是标的资产（如股票）的当前价格，X是期权的行权价格，r是无风险利率，t是期权的剩余期限，e是自然常数（约等于2.71828），N(d1)和N(d2)分别表示标准正态分布的累积分布函数。
在该公式中，d1=(ln(S/X) + (r+σ^2/2)t) / (σ*√t)，d2=d1-σ*√t。
其中σ是标的资产的波动率，它衡量标的资产的波动程度。
布莱克-舒尔斯期权定价模型的优点是可以较为准确地计算欧式期权的理论定价，并且可以用于不同类型的期权，如看涨期权、看跌期权等。
它在金融市场中得到了广泛的应用，并为投资者和金融机构提供了重要的参考依据。
然而，布莱克-舒尔斯期权定价模型也存在一些限制。
首先，该模型基于一系列假设，不一定适用于所有市场和资产。
其次，该模型仅适用于欧式期权，而不适用于美式期权等其他类型的期权。
最后，该模型假设市场无摩擦和无道德风险，这在实际市场中并不总是成立。
综上所述，布莱克-舒尔斯期权定价模型为计算欧式期权的理论价格提供了一个重要的工具，但在实际应用中需要对假设进行谨慎评估，并结合其他方法进行综合分析和决策。
布莱克-舒尔斯期权定价模型是金融领域中非常重要且广泛应用的一种定价模型。
它的提出对于金融市场的发展和期权的交易产生了巨大的影响。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
期权定价理论
期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。
它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。
这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。
期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。
布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。
布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。
通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。
这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。
这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。
需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。
市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。
此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。
总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。
布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。
然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。
期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。
期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
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为何证券价格能够用几何布朗运动表 达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信 息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去 旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
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结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过 程。
2024/9/22
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参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是 横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是 和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
2024/9/22
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
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Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价 格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化 也是一种相应旳随机过程。
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S 定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C —期权初始合理价格L —期权交割价格S —所交易金融资产现价T —期权有效期r —连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N()—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
关于欧式缺口期权定价模型的研究
第24卷第4期2006年12月徐州师范大学学报(自然科学版)J.of Xuzhou Normal Univ.(Natural Science Edition )Vol.24,No.4Dec.,2006收稿日期:2006207208作者简介:张艳(1977-),女,安徽萧县人,讲师,硕士,主要从事金融数学的研究.关于欧式缺口期权定价模型的研究张 艳1,孙 彤2(1.中国矿业大学理学院,江苏徐州 221008;2.复旦大学经济学院,上海 200433)摘要:讨论缺口期权的定价模型,利用风险中性估值原理给出欧式缺口期权的定价公式,并说明了欧式缺口看涨和看跌期权之间不存在平价关系.关键词:风险中性估值;缺口期权;期权定价中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:100726573(2006)0420044204在20世纪70年代中期,美国金融市场上出现了一种新的金融工具———期权.30多年来,作为一种防范金融风险或投机的有效手段,期权理论得到迅猛发展.按其赋予的权利不同,期权可分为买权,即看涨期权(call options );卖权,即看跌期权(p ut options ).按其执行时间不同,可分欧式期权和美式期权.除了标准欧式和美式看涨看跌期权外,还有很多不同的复杂的新型期权,缺口期权就是其中的一种.本文将探讨欧式缺口期权的定价问题.仅以股票作为缺口期权的标的资产进行研究,至于以股指、外汇、期货等为标的的期权可直接推广.1 预备知识假设我们所研究的市场满足条件:无税收和交易费用,所有证券都是高度可分的,对卖空没有限制,随时可以按无风险利率贷入或贷出资金,股票在期权的有效期内不支付红利,市场不存在套利机会,交易时间内的股价S 是随机微分方程[1,2]d S t =μS t d t +σS t d Z t(1)的解,其中μ是股价的期望收益率,σ是股票价格的波动率,{Z t }t ≥0是带流概率空间(Ω,F ,{F t }t ≥0,P )上的标准布朗运动(standard Brownian motion ).对ln S t 应用Ito 公式[2]可得dln S t =μ-σ22d t +σd Z t ,(2)ln S T ～N ln S +μ-σ22(T -t ),σ2(T -t ).(3) 设r 为无风险利率,根据风险中性定价原理,可用无风险利率r 代入(3)式中的μ,即ln S T ～N ln S +r -σ22(T -t ),σ2(T -t ),(4)于是欧式衍生证券的价格等于其在到期日损益的数学期望按无风险利率r 折现的现值[3,4],即V (S ,t )=e -r (T-t )E[V (S T ,T )],(5)其中T 为欧式衍生证券的到期日,S T 是股票在T 时刻的价格,V (S T ,T )为欧式衍生证券在到期日的损益.2 欧式缺口期权(gap option )的定价公式缺口期权与标准期权的区别在于:在到期日计算期权价值时,前者不是用标的资产价格S T 与执行价格X 进行比较,而是与另一个常数G (以下称G 为缺口)作比较.以看涨期权为例,对于标准期权,其到期日的价值为c T =max (S T -X ,0),对于欧式缺口看涨期权,其到期日的价值为c GT =max (S T -G,0),S T >X ,0,S T ≤X ,(6)其中G 为缺口,可见c GT 也是一随机变量.利用风险中性估值原理,期权当前价格c G 应是(6)式在风险中性条件概率下的数学期望以无风险利率进行贴现的结果,即c G =e -r (T-t )E[c GT ].(7) 定理1 欧式缺口看涨期权在t 时刻的价格为c G (S ,t )=S N (d 1)-G e-r (T-t )N (d 2),X ≥G,S N (d ′1)-G e -r (T-t )N (d ′2),X <G,(8)其中N (・)为标准正态分布的累计概率分布函数,d 1=lnS X+r +σ22(T -t )σT -t,d 2=d 1-σT -t ,d ′1=lnSG+r +σ22(T -t )σT -t,d ′2=d ′1-σT -t.证 当X ≥G 时,(7)式可以写成以下形式c G =e-r (T-t )E[S T -G |S T >X ]. 先求期望值,令Y =ln S T ,则Y ～N ln S +r -σ22(T -t ),σ2(T -t ),(9)即Y 的概率密度函数为f (y )=12πσT -t expy -ln S +r -σ22(T -t )22σ2(T -t ).(10)利用随机变量函数的数学期望及正态分布概率的计算公式[5],有 E[S T -G |S T >X ]=E[e Y -G |e Y -X >0]=∫e y-X >0(e y -G )f (y )d y=∫+∞ln X(e y -G )f (y )d y =I 1-I 2, I 1=∫+∞ln X e yf (y )d y =∫+∞ln Xe y2πσT -texpy -ln S +r -σ22(T -t )22σ2(T -t )d y=S e r (T -t )∫+∞ln X12πσT -t-y -ln S +r +σ22(T -t )22σ2(T -t )d y.令z =y -ln S +r +σ22(T -t )σT -t,于是I 1=S er (T-t )∫+∞-d 112πe -z 22d z =Se r(T-t )(1-N (-d 1))=S e r (T-t )N (d 1),I 2=∫e y -X >0Gf (y )d y =G∫e y -X >0f (y )d y =GP (Y >ln X ),由(9)得I 2=GP (Y >ln X )=G (1-P (Y ≤ln X ))=G (1-N (-d 2))=GN (d 2).所以,当X ≥G 时,欧式缺口看涨期权的价格为c G =e-r (T-t )(I 1-I 2)=S N (d 1)-G e -r (T-t )N (d 2).(11)类似地,当X <G 时,有c G =e-r (T-t )E[max (S T -G,0|S T >X )]=e-r (T-t )E[S T -G |S T >G].(12)该模型和标准欧式看涨期权的定价问题完全一致,只是把Black 2Scholes 公式中的敲定价X 换为现在54第4期张 艳等:关于欧式缺口期权定价模型的研究的缺口参数G.当X<G时,基于不支付红利的欧式缺口看涨期权的定价公式为c G=S N(d′1)-G e-r(T-t)N(d′2).(13) 对欧式缺口看跌期权,其到期日的价值为p GT=max(G-S T,0),S T<X,0,S T≥X.(14)类似前面的分析可得到下面的定价公式.定理2 欧式缺口看跌期权的定价公式p G(S,t)=-S N(-d′1)+G e-r(T-t)N(-d′2),X≥G,-S N(-d1)+G e-r(T-t)N(-d2),X<G.(15)其中d i,d′i(i=1,2)和定理1中的相同.由(8)和(15)式可得如下结论:结论1 无论缺口G和敲定价X大小关系如何,看涨和看跌期权的价格不具有平价关系.事实上,当X≥G时,假定欧式缺口期权有类似于标准期权的平价公式,则c G+G e-r(T-t)=p G+S,代入相应的定价公式得S(N(d1)+N(-d′1))+G e-r(T-t)=G e-r(T-t)(N(d2)+N(-d′2))+S,该式成立的充要条件为N(d1)+N(-d′1)=1, N(d2)+N(-d′2)=1,即d1=d′1,d2=d′2,此与欧式缺口期权的定价公式矛盾.同理,当X<G时,平价公式也不成立.3 举例例 有一个基于无红利支付股票的期权,股票价格为30＄,执行价格为29＄,无风险年利率为5%,年波动率为25%,有效期为4个月.若i)缺口G=28＄,ii)缺口G=30＄时,求:1)若为欧式看涨期权,计算其价格;2)若为欧式看跌期权,计算其价格;3)若为欧式缺口看涨期权,计算其价格;4)若为欧式缺口看跌期权,计算其价格.解 已知S=30,X=29,r=0.05,σ=025,T-t=13,代入d1,d2的表达式计算得d1=0.4225,d2 =d1-σT-t=0.2782,e-r(T-t)=0.9835X e-r(T-t)=28.52,所以,1)欧式看涨期权价格为:c=S N(d1)-X e-r(T-t)N(d2)=2.4778.2)欧式看跌期权价格为:p=X e-r(T-t)N(-d2)-S N(-d1)=0.9985.i)缺口G=28时,满足X≥G,代入d′1,d′2的表达式计算得:d′1=0.7349,d′2=d′1-σT-t=0.5906.3)欧式缺口看涨期权价格为:c G=S N(d1)-G e-r(T-t)N(d2)=3.1855>c,4)欧式缺口看跌期权价格为:p G=G e-r(T-t)N(-d′2)-S N(-d′1)=0.6633<p.ii)当缺口G=30时,X<G,计算得:d′1=0.1877,d′2=d′1-σT-t=0.0434.3)欧式缺口看涨期权价格为:c G=S N(d′1)-G e-r(T-t)N(d′2)=1.9179<c.4)欧式缺口看跌期权价格为:p G=G e-r(T-t)N(-d2)-S N(-d1)=1.4968>p.通过上例,可得以下结论:结论2 当缺口G>X时,欧式缺口看涨期权价格低于标准欧式看涨期权,欧式缺口看跌期权价格高于标准欧式看跌期权;当缺口G<X时,欧式缺口看涨期权价格高于标准欧式看涨期权,欧式缺口看跌期权价格低于标准欧式看跌期权;当G=X时,欧式缺口期权便退化为标准欧式期权.这和直观结果完全吻合.64 徐州师范大学学报(自然科学版)第24卷4 推广至连续红利情况考虑基于支付连续红利股票的欧式缺口期权,假设在风险中性世界中,d S t =(r -q )S t d t +σS t d Z t ,其中q 为红利率,类似以上推导可得欧式缺口期权的定价公式c G (S ,t )=S e -q (T-t )N (d 1)-G e-r (T-t )N (d 2),X ≥G,S e-q (T-t )N (d ′1)-G e-r (T-t )N (d ′2),X <G;(16)p G (S ,t )=-S e -q (T-t )N (-d ′1)+G e -r (T-t )N (-d ′2),X ≥G,-S e-q (T-t )N (-d 1)+G e-r (T-t )N (-d 2),X <G,(17)其中d 1=lnS X+r -q +σ22(T -t )σT -t, d 2=d 1-σT -t ,d ′1=lnS G+r -q +σ22(T -t )σT -t, d ′2=d ′1-σT -t.其它结论与无红利情况完全类似.5 进一步推广可以证明,类似于推广的Black 2Scholes 定价公式,有以下结论:1)如果r 为t 的已知函数,可用1T -t∫Ttr (θ)d θ(即期权剩余有效期内平均瞬态无风险利率)代替r ,公式同样成立.2)如果σ为t 的已知函数,同样可用1T -t∫Tt 12σ2(θ)d θ来替代σ,公式同样成立.3)如果q 为t 的已知函数,同样可用1T -t ∫T tq 1(θ)d θ(即期权剩余有效期内平均瞬态红利率)代替q ,公式同样成立.参考文献:[1] 汪荣鑫.随机过程[M ].西安:西安交通大学出版社,1987:224-227.[2] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M ].北京:高等教育出版社,2004:56-70.[3] Hull J C.Options ,f utures ,and other derivatives[M ].4版.北京:清华大学出版社,2001:237-242.[4] Chang Der 2Chen ,Chang Eric C ,Fan Haitao.Mathematical analysis of pricing of lookback performance options[J ].Applicable Analysis ,2003,82(10):937.[5] 周圣武.概率论与数理统计[M ].北京:煤炭工业出版社,2004:103-113.Study on European G ap Option Pricing ModelZ H A N G Yan 1,S U N Ton g2(1.School of Science ,China University of Mining &Technology ,Xuzhou ,Jiangsu ,221008,China ;2.School of Economics ,Fudan University ,Shanghai ,200433,China )Abstract :The p ricing models of gap options are st udied ,and t he p ricing formulas of t he European gap options under risk 2neut ral valuation are given.It is shown t hat t here is no p ut 2call parity ralation between gap call option and p ut optio n.K ey w ords :risk 2neutral valuation ;gap option ;option pricing74第4期张 艳等:关于欧式缺口期权定价模型的研究。
欧式期权定价模型
结合上式，构造投资组合
是无风险投资组合，
整理得
根据无风险投资，
于是
即
这便是著名的Black-Scholes偏微分方程。
2.3欧式期权定价公式
Black和Scholes的伟大贡献正在于解出此复杂的随机微分方程，从而得出举世瞩目的欧式期权定价公式。
设x为期权的交割价格，期权价格f须满足边界条件 （看涨期权）或 （看跌期权）
本文以下分析都分别就看涨期权和看跌期权两种类型作了讨论。
2.2 Black-Scholes方程推导
无风险投资问题：
设股票价格为 ，满足 ，0＜ｂ＜ａ，ｂ为常数。
在ｔ时刻投资 且此人在任何时刻可以用 的钱去进行风险投资，余下的部分进行无风险投资。问题就是寻找一个最佳投资组合 ，使终止时刻收益最大。表示为 。[4]
假设：
股票价格是一个伊藤过程；
股票预期收益和波动率都固定不变；
市场是理想市场，无税收，无交易成本；
不存在无是股票价格，并且是伊藤过程； 是期望收益率，为常数； 是风险波动率，也是常数；B是一个布朗运动。
【推导】设f为期权价格，r为无风险利率。则有
期权可分为看涨期权和看跌期权。
看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定买进特定商品，但没有义务必须买进。不过期权卖方是有卖出义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务卖出约定商品。
看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定卖出特定商品，但没有义务必须卖出。不过期权卖方是有买进义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务买入约定商品。
从而联立方程组 和
由此解得，欧式看涨期权价格 `
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
• 1. 计算错误； • 2. 期权市场价格偏离均衡； • 3. 使用的参数错误；
• 4. Black-Scholes期权定价模型建立在众多假定
的基础上，假设与市场实际情况有较大偏差。
d1
ln( S
/
X)
(r 2 T t
/ 2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
(T-t)为期权的剩余期限，r为无风险利率，X为期权的行权价 格， σ为标的资产价格波动率，S为标的资产价格。
(二)无收益欧式看跌期权的价格
• 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（1） 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
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股票价格是一个伊藤过程；
股票预期收益和波动率都固定不变；
市场是理想市场，无税收，无交易成本；
不存在无风险套利机会；
在期权合约期内无风险利率视作不变。
已知 ，其中S是股票价格，并且是伊藤过程； 是期望收益率，为常数； 是风险波动率，也是常数；B是一个布朗运动。
【推导】设f为期权价格，r为无风险利率。则有
期权可分为看涨期权和看跌期权。
看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定买进特定商品，但没有义务必须买进。不过期权卖方是有卖出义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务卖出约定商品。
看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付期权金后，可以再期权到期日按约定卖出特定商品，但没有义务必须卖出。不过期权卖方是有买进义务的，即期权买入者决定享受权利之时，期权卖方有义务买入约定商品。
由已知随机微分方程，得
结合上式，构造投资组合
是无风险投资组合，
整理得
根据无风险投资，
于是
即
这便是著名的Black-Scholes偏微分方程。
2.3欧式期权定价公式
Black和Scholes的伟大贡献正在于解出此复杂的随机微分方程，从而得出举世瞩目的欧式期权定价公式。
设x为期权的交割价格，期权价格f须满足边界条件 （看涨期权）或 （看跌期权）
本文以下分析都分别就看涨期权和看跌期权两种类型作了讨论。
2.2 Black-Scholes方程推导
无风险投资问题：
设股票价格为 ，满足 ，0＜ｂ＜ａ，ｂ为常数。
在ｔ时刻投资 且此人在任何时刻可以用 的钱去进行风险投资，余下的部分进行无风险投资。问题就是寻找一个最佳投资组合 ，使终止时刻收益最大。表示为 。[4]
从而联立方程组 和
由此解得，欧式看涨期权价格 `
欧式看跌期权价格
其中 ， ，
。
欧式期权定价模型
2.1欧式期权与期权市场
期权是一种快速发展的金融衍生品。欧式期权是期权的一种，指未来某一特定日期期权买方有权利以约定好的价格向期权的卖方购买或者出售一定数量的特定标的物，但买方不负有任何买进或卖出的义务。
刨根问底，期权实Biblioteka 上是将金融资产买卖权利进行定价，在到期日权利人可以决定是否享受权利，而义务方必须履行义务。期权的买方是有买卖权利的一方，卖方是负有买卖义务的一方。