数学二轮专题3数列第1讲等差数列和等比数列

S奇 S偶
＝
aan＋n 1.
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(9)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则S2n＋1＝ (2n＋1)·an＋1；SS奇 偶＝n＋n 1.
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1．(2019·湖北武汉模拟)若数列{an}为等差数列，
Sn为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝(
)
A．25
B．27
C．50
D．54
答案 B
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解析 设等差数列{an}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1 ＋4d－3，即a1＋4d＝3，所以a5＝a1＋4d＝3，所以S9＝ 9a5＝27.故选B项．
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2．(2019·福建莆田九校联考)在等差数列{an}中，
若a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 010
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热点题型探究
题型一 等差数列有关问题
1．解决等差数列基本量计算问题的思路
(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一 般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公 式列方程(组)求解．
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(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通
的前6项和S6＝－1×1－12－26＝1－26＝－63. 答案 －63
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命题角度 素养清单
真题示例
2019·全国卷
Ⅰ，14
等比数列 的计算与
证明
逻辑推理 数学运算 数学建模
2019·全国卷
Ⅲ，5 2018·全国卷
Ⅰ，14
2018·全国卷
Ⅲ，17
典例回顾
4.(2018·全国卷 Ⅲ)等比数列{an} 中，a1＝1，a5＝ 4a3. (1)求{an}的通项 公式； (2)记Sn为{an}的 前n项和．若Sm＝ 63，求m.
＋a2 018＝(
)
A．10
B．15
________.
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解析 由Sn＝2an＋1知a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当 n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn－1＝2an－1＋1，所以an＝Sn－
Sn－1＝2an＋1－2an－1－1＝2an－2an－1，即
an an－1
＝2.所以数
列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．所以数列{an}
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解析 (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已
知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－
2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝
1－－2n 3
，由Sm＝63得
(－2)m＝－188，此方程没有正整数解；若an＝2n－1，则 Sn＝2n－1，由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
答案 4
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真题示例
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典例回顾
3.(2018·全国卷
等比数 列的计 算与证
明
2019·全国卷Ⅰ，14 逻辑推理
2019·全国卷Ⅲ，5 数学运算
2018·全国卷Ⅰ，14 数学建模
2018·全国卷Ⅲ，17
Ⅰ)记Sn为数列 {an}的前n项 和，若Sn＝2an ＋1，则S6＝
2018·全国卷Ⅱ，17 数学建模
2017·全国卷Ⅰ，4
2017·全国卷Ⅲ，9
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典例回顾 2.(2019·全国卷Ⅲ) 记Sn为等差数列 {an}的前n项和， a1≠0，a2＝3a1， 则SS150＝________.
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解析 因为a2＝3a1，所以a1＋d＝3a1，即2a1＝d，所 以SS150＝150aa11＋ ＋150×2× 249dd＝12050aa11＝4.
项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na12＋an＝na1
＋
nn－1 2
d，在两个公式中共涉及a1，d，n，an，Sn五个
量，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)
可求出剩余的两个量．
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2．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋ 2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
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第一部分 核心专题突破
专题三 数 列
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第1讲 等差数列和等比数列
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3年考情回顾
命题角度 素养清单 真题示例
典例回顾
等差数列 的计算与
证明
逻辑推理 数学运算 数学建模
2019·全国卷Ⅰ，9 2019·全国卷Ⅲ，
14 2018·全国卷Ⅰ，4 2018·全国卷Ⅱ，
17
1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．已知S4＝0，a5 ＝5，则( A )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
2017·全国卷Ⅰ，4 C．Sn＝2n2－8n
2017·全国卷Ⅲ，9 D．Sn＝12n2－2n
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解析 由题知
S4＝4a1＋d2×4×3＝0， a5＝a1＋4d＝5，
解得
a1＝－3， d＝2，
所以an＝2n－5，Sn＝n2－4n.故选A项．
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命题角度 素养清单
真题示例
2019·全国卷Ⅰ，9
等差数列 的计算与
证明
2019·全国卷Ⅲ，14 逻辑推理
2018·全国卷Ⅰ，4 数学运算
Tn，则abnn＝TS22nn－－11.
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(7)若{an}是等差数列，则 Snn 也是等差数列，其首
项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的12.
(8)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋
a2n)＝n(a2＋a2n－1)＝…＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd，
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(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等
差数列，公差为m2d.
(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)， 遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．
(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，