原问题与对偶问题
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子对偶问题是数学和计算机科学中常见的问题类型之一。
它通常通过解决与原问题对偶的问题来寻找解决方案。
下面是一些经典的对偶问题解决原问题的例子。
1. 最大化 vs. 最小化：在某些情况下，将原始问题转化为对偶问题，将最大化问题转化为最小化问题，或者反之亦然，可以更容易地解决问题。
例如，在优化算法中，最小化一个函数可能比最大化更容易处理。
通过对目标函数取负，原问题可以转化为对偶问题，从而得到一个等效的最大化问题。
2. 求和 vs. 求积：有时候，将原始问题转化为对偶问题，从求和问题转化为求积问题，或者反之亦然，可以提供更简单的解决方案。
例如，在组合数学中，对一组数值求和可能较为困难，但是求这些数值的乘积却相对容易。
因此，通过将原问题转化为对偶问题，可以得到更高效的解决方法。
3. 广义情况 vs. 特殊情况：有时，将原问题转化为对偶问题，将一个一般性的问题转化为特殊情况，或者反之亦然，可以简化问题的复杂性。
例如，在图论中，解决一个一般的图上的最短路径问题可能非常耗时，但是如果图是一颗树（特殊情况），则可以通过更简单的算法快速解决。
通过将原问题转化为对偶问题，我们可以充分利用特殊情况的性质来降低问题的难度。
4. 具体问题 vs.抽象问题：有时，将原问题转化为对偶问题，从具体问题转化为抽象问题，或者反之亦然，可以简化问题的解决方案。
例如，在计算机科学中，将具体的实现问题抽象为算法问题，可以集中注意力于算法设计的本质，而不必被实现的细节所干扰。
通过对原问题和对偶问题之间的抽象关系进行转换，我们可以更有效地解决问题。
总之，经典的对偶问题解决原问题的例子展示了将问题转化为其对偶形式可以带来很多优势。
通过改变问题的形式、角度或者性质，我们可以获得更简单、更高效的解决方案。
这些例子不仅在数学和计算机科学中有广泛应用，也揭示了问题求解中的一般思维模式。
原问题和对偶问题最优解的关系
目录1. 原问题和对偶问题的定义2. 最优解的概念和求解方法3. 原问题和对偶问题最优解的关系4. 应用举例5. 结论1. 原问题和对偶问题的定义在数学和优化领域，原问题和对偶问题是一对相关的问题，它们通常是相互关联的，并且在求解过程中起到互补的作用。
原问题是指在优化理论中所要解决的实际问题，通常以最大化或最小化某个目标函数为目标，同时满足一系列约束条件。
上线性规划中，原问题可以表示为：Maximize（或Minimize）：C^T*xSubject to：Ax ≤ b其中C和x分别为目标函数系数和决策变量，A和b则表示约束条件。
而对偶问题则是通过原问题的构造，利用拉格朗日对偶性得到的一个与原问题等价的问题。
对偶问题通常与原问题具有相同的最优解，在某些情况下，对偶问题甚至比原问题更容易求解。
对偶问题的一般形式可以表示为：Minimize：b^T * ySubject to：A^T * y ≥ C其中y为对偶变量，A^T为A的转置。
2. 最优解的概念和求解方法我们需要定义最优解的概念。
在数学和优化领域中，最优解通常指的是在给定条件下能够最大化或最小化一个特定目标函数的解。
上线性规划中，最优解即为能够最大化或最小化目标函数的决策变量取值。
为了求解原问题和对偶问题的最优解，通常可以采用不同的优化算法，如线性规划中的单纯形法、内点法等。
这些算法能够根据问题的特点和约束条件，有效地寻找到最优解。
3. 原问题和对偶问题最优解的关系在优化理论中，原问题和对偶问题之间存在着一种重要的对偶关系。
具体来说，对偶问题的最优解可以与原问题的最优解相互通联，满足一定的关系。
对于原问题的最优解x*和对偶问题的最优解y*，它们之间存在着强对偶性（strong duality）的关系。
强对偶性是指下面的不等式成立：C^T * x* ≤ b^T * y*A^T * y* ≥ C这个关系意味着原问题和对偶问题的最优解是互相约束的，当原问题的最优解达到最大值时，对偶问题的最优解也能达到最小值，反之亦然。
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子摘要：1.引言：对对偶问题的定义和重要性进行介绍2.经典对偶问题解决原问题的例子：线性规划，旅行商问题，背包问题3.对偶问题的解决方法：对偶性和拉格朗日对偶4.结论：对偶问题在解决复杂问题中的重要性和应用前景正文：一、引言对偶问题是运筹学中一种重要的问题类型，它是指在给定一个原始问题的基础上，建立起的一个与原问题密切相关的新问题。
对偶问题的提出，为解决复杂问题提供了一种全新的思路和方法，同时也为理论研究提供了一个重要的工具。
二、经典对偶问题解决原问题的例子1.线性规划：线性规划是一种常见的优化问题，它的主要目标是在满足一定约束条件下，找到一个线性目标函数的最优解。
线性规划问题的对偶问题是线性规划的对偶问题，它可以帮助我们更方便地解决原始问题。
2.旅行商问题：旅行商问题是一种经典的组合优化问题，它的目标是在给定一系列城市和它们之间的距离的情况下，找到一条最短的路径。
旅行商问题的对偶问题是车辆路径问题，它可以帮助我们更方便地解决原始问题。
3.背包问题：背包问题是一种经典的组合优化问题，它的目标是在给定一组物品的重量和价值以及一个背包的容量的情况下，选择物品的子集，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题的对偶问题是背包问题的对偶问题，它可以帮助我们更方便地解决原始问题。
三、对偶问题的解决方法对偶问题的解决方法主要包括对偶性和拉格朗日对偶。
对偶性是指原始问题和对偶问题之间的一种特殊关系，它可以帮助我们通过对偶问题来解决原始问题。
拉格朗日对偶则是一种更加普遍的方法，它可以应用于更多的问题中。
四、结论对偶问题在解决复杂问题中的重要性和应用前景不言而喻。
在未来的研究中，我们期待能够发现更多的对偶问题，并利用它们来解决更多的实际问题。
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题是线性规划中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系。
在线性规划中，我们通常会遇到以下两种问题：
1. 原问题：是指需要我们求解的线性规划问题，通常是一个最
大化或最小化的目标函数，同时满足一些线性等式或不等式约束条件。
2. 对偶问题：是指与原问题相关的一个线性规划问题，它的目
标函数和约束条件与原问题相反，通常也是一个最大化或最小化的目标函数，同时满足一些线性等式或不等式约束条件。
原问题和对偶问题之间的关系可以概括为以下几点：
1. 对于任意一个线性规划问题，都存在一个与之相关的对偶问题。
2. 原问题的最优解和对偶问题的最优解具有一定的对偶关系，
也就是说，如果原问题的最优解为x，对偶问题的最优解为y，那么
x和y之间存在一种对偶关系，即x和y满足一些特定的约束条件。
3. 对于任意一个线性规划问题，其原问题和对偶问题的最优解
是相等的，即原问题的最优解等于对偶问题的最优解。
4. 原问题和对偶问题之间的对偶关系不仅可以帮助我们求解线
性规划问题，还可以帮助我们理解线性规划问题的本质和内在结构。
通过以上几点，我们可以看出，原问题和对偶问题之间的关系非常密切，它们不仅可以相互推导和求解，还可以帮助我们更好地理解和应用线性规划问题。
- 1 -。
运筹学 总结
原问题 其对偶问题为例1原问题 对偶问题min S = x1 + 2x2 + 3x3 max z = 2 y1 + 3y2 s.t. 2x1+3x2 + 5x3 ≥ 2 s.t. 2y1+3y2 ≤ 1 3x1+ x2 + 7x3 ≤ 3 3y1+ y2 ≤ 2 x1，x2 ， x3 ≥ 0 5y1+7y2 ≤ 3 y1≥ 0， y2 ≤0min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 max z = y1-2y2 +3y3 +4y4s.t. x1+ x2 - x3 ≥ 5 s.t. y1+ 2y3 + y4 ≤ 3 2x1 + x3 =4 2y1 +2y2 - 2y4 ≤ -2 x1，x2 ， x3 ≥ 0 -y2+ y3 +3y4 = 1y2 ≤ 0 ，y3, y4 ≥ 0 ，y1 无非负约束⎩⎨⎧≥≤=0..X b AX t s CX MaxZ ⎩⎨⎧≥≥=0..Y C YA t s bYMinW ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,12416482..3221212121x x x x x x t s x x MaxZ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,34224..121683213121321y y y y y y y t s y y yMinW ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,70020103006825065..3502502121212121x x x x x x x x t s x x MinZ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30020662501085..700300250321321321321y y y y y y y y y t s y y yMaxW ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,124253..101521212121y y y y y y t s y yMinW ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,10251543..221212121x x x x x x t s x x MaxZ1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子摘要：1.引言2.对偶问题的定义和性质3.解决对偶问题的方法4.对偶问题解决原问题的例子5.结论正文：【引言】在数学和计算机科学中，对偶问题是一种常见的问题形式。
对偶问题通常与原问题相对应，并且它们的解可以相互转换。
解决对偶问题往往比解决原问题更加容易，因此，研究对偶问题解决原问题的方法具有一定的理论意义和实际价值。
本文将通过一些经典的例子，介绍对偶问题解决原问题的方法。
【对偶问题的定义和性质】对偶问题是指在数学规划中，给定一个原始问题（原问题），通过对原问题进行一定的变换，得到一个新的问题（对偶问题），使得原问题和对偶问题的解在某种意义上具有一致性。
对偶问题的性质包括：对偶性、稳定性、互补性、弱对偶性等。
【解决对偶问题的方法】解决对偶问题的方法有很多，主要包括以下几种：1.拉格朗日对偶法：拉格朗日对偶法是一种基于拉格朗日乘子法的对偶问题解决方法，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为对偶问题，进而求解。
2.内点法：内点法是一种基于预测- 校正策略的原始- 对偶路径跟踪算法，通过在每次迭代中预测对偶变量，然后校正预测值，最终收敛到对偶问题的最优解。
3.第一次约束松弛法：第一次约束松弛法是一种启发式方法，通过在每次迭代中松弛原问题的约束，从而加速对偶问题的求解。
【对偶问题解决原问题的例子】以下通过两个经典的例子，介绍对偶问题解决原问题的方法：例子1：线性规划问题给定原问题：max c^T xs.t.A x ≤ b其中，c 和b 分别为常数向量，A 为系数矩阵，x 为变量向量。
对偶问题：min b^T ys.t.y ≤ A^T x其中，y 为对偶变量。
通过拉格朗日对偶法，可以将原问题转化为对偶问题，进而求解。
例子2：运输问题给定原问题：min cs.t.∑ a_ij x_ij = c其中，a_ij 为运输成本矩阵，x_ij 为运输量。
对偶问题：max b_ijs.t.∑ a_ij y_ij ≤ b_ij其中，b_ij 为对偶变量。
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题解的关系
原问题和对偶问题是线性规划中的两个重要概念。
原问题是寻找一组变量的最优解，使得满足一组约束条件和目标函数最优化。
而对偶问题是将原问题的约束条件和目标函数进行转换，得到一个新的问题，通过求解该问题得到原问题的下界或上界。
原问题和对偶问题解之间有着紧密的联系和关系。
具体来说，如果原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，并且两者的最优解相等。
这被称为“强对偶定理”。
此外，如果原问题
的某个可行解不是最优解，则对偶问题的最优解就是原问题的最优解。
这被称为“弱对偶定理”。
原问题和对偶问题解的关系可以用下面的公式来表示：
原问题的最优解 = 对偶问题的最优解 = 原问题的最优值 = 对
偶问题的最优值
这个公式表明，原问题和对偶问题的最优解是等价的，它们都可以用来解决同一个线性规划问题。
因此，在实际应用中，我们可以选择任何一个问题来求解，但是需要注意的是，有些情况下一个问题的求解比另一个问题更容易，更高效。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择问题。
- 1 -。
原问题与对偶问题解的对应关系
原问题与对偶问题解的对应关系原问题和对偶问题是数学优化中的两个基本概念，它们之间存在密切的对应关系。
这种对应关系不仅体现在解的存在性、最优性和稳定性等方面，还直接影响到问题的可求解性。
下面将从五个方面详细阐述原问题与对偶问题解的对应关系。
一、解的对应性原问题和对偶问题的解具有明确的对应关系。
在某些情况下，原问题的解可以作为对偶问题的解，反之亦然。
这种对应关系基于问题类型、约束条件和目标函数的性质。
了解这种对应关系有助于更好地理解问题的本质，以及如何将原问题转化为对偶问题或将对偶问题转化为原问题。
二、解的存在性解的存在性是原问题和对偶问题共有的特性。
对于一个给定的原问题，如果其满足一定的条件，那么总存在一个对偶问题，使得它们的解具有对应关系。
同样地，对于一个给定的对偶问题，也存在一个原问题，使得它们的解具有对应关系。
因此，解的存在性是原问题与对偶问题之间的基本联系之一。
三、解的最优性原问题和对偶问题的最优解也具有对应关系。
在某些情况下，如果原问题有一个最优解，那么这个最优解可能也是对偶问题的最优解。
同样地，如果对偶问题有一个最优解，那么这个最优解可能也是原问题的最优解。
这种对应关系对于确定问题的最优解以及求解过程中可能出现的变化具有重要的指导意义。
四、解的稳定性解的稳定性是指问题解在参数变化时保持相对稳定的能力。
对于原问题和对偶问题，它们的解的稳定性也存在一定的对应关系。
了解这种对应关系有助于评估问题解的可靠性和精度，以及在参数变化时如何调整算法和求解方法。
五、解的可求解性最后，解的可求解性是原问题和对偶问题的关键属性之一。
在实际应用中，有些问题是可求解的，而有些则可能是不可求解的。
了解原问题和对偶问题的可求解性对应关系有助于确定哪些问题是可以通过算法和软件工具来求解的，哪些问题是目前无法解决的。
这种对应关系还直接影响到求解方法的复杂性和可行性。
运筹学原问题与对偶问题解的关系
运筹学原问题与对偶问题解的关系一、引言运筹学是一门涉及数学、统计学、计算机科学等多个领域的交叉学科，旨在通过建立数学模型和运用优化方法来解决实际问题。
其中，运筹学原问题和对偶问题是运筹学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系。
本文将从以下几个方面介绍运筹学原问题与对偶问题解的关系。
二、什么是运筹学原问题和对偶问题1. 运筹学原问题在运筹学中，我们通常会遇到一些需要优化的问题，例如最大化利润、最小化成本等。
这些问题可以用一个数学模型来描述，并且通常包含一个目标函数和一些限制条件。
这样的问题被称为“原问题”。
2. 运筹学对偶问题与原问题相关联的是“对偶问题”，它是通过利用原问题中的信息来构造出来的另一个优化模型。
对偶模型通常也包含一个目标函数和一些限制条件，但与原模型不同的是，它们使用了不同的变量，并且将目标函数最小化转换为最大化（或者将最小化转换为最大化）。
三、如何构造运筹学对偶模型1. 构造运筹学对偶模型的步骤构造运筹学对偶模型的一般步骤如下：（1）将原问题的限制条件转换为对偶模型中的变量；（2）将原问题中的目标函数转换为对偶模型中的约束条件；（3）最大化对偶模型中的目标函数。
2. 运筹学对偶性定理运筹学对偶性定理是指，在某些情况下，原问题和对偶问题具有相同的最优解。
这个定理可以用来验证构造出来的对偶模型是否正确。
四、运筹学原问题与对偶问题解的关系1. 最优解相等根据运筹学对偶性定理，如果一个原问题和它的对偶问题都是凸优化问题，并且满足一些其他条件，那么它们具有相同的最优解。
这意味着，如果我们能够找到一个原问题和它的对偶问题，并且证明它们都是凸优化问题，那么我们可以使用任何一种方法来求解其中任何一个问题，并且得到相同的最优解。
2. 对称性在某些情况下，原问题和它的对偶问题具有某种形式上的“对称性”。
例如，在线性规划中，原问题和对偶问题中的变量和限制条件都是线性的，且它们具有相同的约束条件。
这种对称性可以用来简化问题的求解。
原问题与对偶问题
x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
（c j z）j 0 0 0 1/ 4 1/ 2
化为极小问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
y1 y2 y3 y4
y5
y2 1/ 4 5 / 4 1 0 1/ 4 1/ 4
m个
0 0
变量
无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
5x1 x2 x3 8x4 8
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0
x3,x 4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 5
（c j z）j 0 0 0 1/ 4 1/ 2
化为极小问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 的变量
原问题松弛变量
x1 x2 x3 x4
x5
x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1
0,
y2无约束
• 例:
n
max z c j x j j1
n
aij x j bi (i 1, , m1 m)
j1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
原问题、对偶问题、一对对偶问题
1.2 对偶问题的形式
1. 对称型对偶问题 2. 非对称型对偶问题 3. 混合型对偶问题
1. 对称型对偶问题
• 定义1
矩阵形式
• 原问题 • 对偶问题
增加内容
对偶规则
1. 给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量 yi(i=1,2,…,m); 2. 使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约 束条件的右端常数； 3. 使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶 问题目标函数的系数； 4. 将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其 对偶问题约束条件的系数矩阵； 5. 改变约束条件不等号的方向，即将“=<”改为 “>=”； 6. 原问题“max”型，对偶问题为“min”型．
例5
例3
用矩阵理论讨论对偶问题
设原问题：
max Z CX AX b X 0 X X X
B N
可用另一形式：
1
XB
max Z CX AX IX S b X , X 0 S
S
XN
XS
B N C C N B
I b 0 0
-1/4 24 1/3 -1/3
0
M-8
0 0 1
48
y1
4/9 -1/9
-1/3 1/3
120 y2
y=(2/9,13/9), Z=184
观察结论:
① 一对对偶问题都有最优解，且目标函数 值相等。
②
最优表中有两个问题的最优解。
对称性
• 定理1（对称性定理） • 对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性
*
C CB CB XB XB Z b B 1b C B B 1b
CB XB I O
CN XN B 1 N C N C B B 1 N
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子摘要：一、对偶问题的定义和背景二、经典对偶问题解决原问题的例子1.例子一：鸡兔同笼问题2.例子二：牛吃草问题3.例子三：夫妻分饼问题三、对偶问题解决原问题的方法与技巧四、对偶问题在实际生活中的应用五、总结正文：对偶问题是指两个问题或两种情况在某些方面相似或相对应，通过对其中一个问题的解决，可以得到解决另一个问题的方法。
在数学、物理、化学等领域中，对偶问题解决原问题的方法被广泛应用。
以下是三个经典的对偶问题解决原问题的例子：1.鸡兔同笼问题假设一个笼子里关着鸡和兔，已知共有20 个头，44 只脚。
问鸡和兔各有多少只？这个问题可以通过设立方程求解。
设鸡有x 只，兔有y 只，则有x + y = 20（头数相加），2x + 4y = 44（脚数相加）。
解这个方程组可以得到x = 14，y = 6。
因此，鸡有14 只，兔有6 只。
2.牛吃草问题一个牧场长满青草，可供10 头牛吃20 天，或者可供15 头牛吃10 天。
问：可供多少头牛吃5 天？解决这个问题，我们可以先求出牧场每天长草的速度。
假设每头牛每天吃1 份草，那么牧场每天长的草够5 头牛吃。
所以，牧场原有的草可以供5 头牛吃5 天。
3.夫妻分饼问题一对夫妻分一块饼，如果丈夫分得x，那么妻子分得的就是1 - x。
已知丈夫分得的饼是妻子的2 倍，求夫妻各分得多少饼？根据题意，可以得到方程x = (1 - x) * 2。
解这个方程可以得到x =2/3，1 - x = 1/3。
所以，丈夫分得2/3块饼，妻子分得1/3块饼。
解决对偶问题的方法与技巧主要包括：观察问题，找到相似点和对应关系；运用数学方法，设立方程求解；在实际应用中，注意分析问题，善于发现问题的关键信息。
对偶问题在实际生活中的应用非常广泛，例如在经济学中，供需关系可以看作是对偶问题；在生物学中，基因与表现型的关系也可以看作是对偶问题。
掌握解决对偶问题的方法，有助于提高分析和解决问题的能力。
对偶问题和原问题的最优目标函数值
“对偶问题和原问题的最优目标函数值”在数学和优化领域是一个非常重要的概念。
在优化问题中，通常会存在一个原始问题和与之对应的对偶问题。
它们之间存在着特定的关系，而它们的最优目标函数值之间也有着特定的联系。
通过深入探讨这个主题，我们可以更好地理解优化问题的本质，并且有助于我们在实际问题中更好地应用和理解这些概念。
1. 对偶问题和原问题的关系让我们来了解一下对偶问题和原问题的关系。
在数学优化中，一个原始问题通常可以被转化为与之对应的一个对偶问题。
这个对偶问题与原问题具有一定的对称性，它是根据原问题的结构和约束条件推导而来的。
通过构建拉格朗日函数，并利用凸优化的相关理论，我们可以得到原始问题和对偶问题之间的关系。
对偶问题的提出是为了更好地理解和解决原问题，同时也为了求得原问题最优解的下界。
2. 最优目标函数值的对偶性对偶问题和原问题的最优目标函数值之间存在着特定的对偶性。
在数学优化理论中，我们可以得到一个非常重要的结论：对偶问题的最优值是原问题最优值的下界。
换言之，对偶问题所得到的最优解在一定程度上可以限制原问题最优解的取值范围。
这个结论可以帮助我们更好地理解和分析优化问题，同时也可以为我们提供找到最优解的方法和途径。
3. 个人观点和理解对于对偶问题和原问题的最优目标函数值，我个人认为它们之间的对偶性是非常有启发意义的。
在实际问题中，我们经常会遇到复杂的优化情况，而对偶性原理可以帮助我们更好地理解问题的本质，同时也为我们提供了一种有效的优化求解思路。
通过对对偶问题和原问题的最优值进行分析，我们可以更好地理解问题的特点和结构，从而为解决实际问题提供有力的理论支持。
总结回顾通过上面的探讨，我们对对偶问题和原问题的最优目标函数值有了更深入的理解。
对偶问题与原问题的关系、最优值的对偶性以及个人观点和理解都为我们提供了更丰富的知识和思考角度。
在实际问题中，我们应该充分利用对偶性原理，从而更好地解决复杂的优化问题。
§原问题与对偶问题
x1,x2 0 x3,x4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 5
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1
0,
y2无约束
• 例:
n
max z c j x j j1
引例
max z 2 x1 x2
厂
原 s.t.
5x2 15
家
问
6 x1 2 x2 24
题
x1 x2 5
x1, x2 0
min w 15 y 24 y 5y 对
1
2
3
s.t
6y y 2 偶
2
3
问
5y 2y y 1 题
租借
1
2
3
方
y,y ,y 0
1
2
3
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
min w Yb
YA C
Y无约束
证毕。
原问题(对偶问题)
对偶问题(原问题)
目标函数max
n个
变量
0 0
无约束
目标函数min
n个
约束条件
目标函数中变量的系数 约束条件右端项
m个
约束条件
m个
0 0
变量
无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4 5x1 x2 x3 8x4 8
AX b AX b
X 0
max z CX
XAA0X
b b
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
原始问题和对偶问题解的关系
原始问题和对偶问题解的关系嘿，朋友们！今天咱来聊聊原始问题和对偶问题解的关系，这可有意思啦！咱就打个比方吧，原始问题就像是你要去一个目的地，你得找条路走过去。
而对偶问题呢，就像是从目的地反过来找你来的路。
它们俩呀，看似不同，其实紧密相连呢！你想想看，你在找去目的地的路时，是不是会考虑各种因素，比如距离短呀，好走呀之类的。
对偶问题也是一样，它从另一个角度来思考这个事儿。
有时候，你可能在原始问题里绞尽脑汁也找不到好办法，嘿，这时候对偶问题说不定就能给你个惊喜呢！就好像你在黑暗中摸索，突然发现了另一盏灯亮起来了，给你指引了新的方向。
它们相互呼应，相互补充，多奇妙呀！你说要是没有对偶问题，那我们岂不是少了很多解决问题的思路和方法？比如说在实际生活中，我们遇到一个难题，就像要翻过一座很难爬的山。
我们从正面努力攀爬，累得气喘吁吁。
但要是我们换个角度，从山的背面去看看，说不定就有更容易的路径呢。
原始问题和对偶问题不就是这样嘛，给我们提供了不同的视角和可能性。
再比如解数学题，有时候用常规方法怎么都解不出来，这时候试着从对偶问题入手，哇，可能一下子就豁然开朗了。
这就像你一直在一个房间里找不到出口，突然发现有一面镜子，通过镜子你看到了另一个角度，然后就找到门啦！原始问题和对偶问题解的关系真的很神奇，它们就像一对好伙伴，互相帮助，共同为我们解决问题出谋划策。
它们让我们明白，看待事情不能只从一个角度出发，要多换换角度，多找找不同的方法。
所以啊，我们可不能小瞧了这对关系，要好好利用它们，让它们为我们的生活和学习带来更多的便利和惊喜呀！我们要学会在遇到问题时，主动去寻找那个对偶的视角，说不定就能柳暗花明又一村呢！这不是很棒吗？难道不是吗？。
对偶问题与原问题解的关系
对偶问题与原问题解的关系
对偶（min型）变量的最优解等于原问题松弛变量检验数的绝对值；对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量的检验数的绝对值；原问题和对偶问题是相互对偶的。
原问题指的是原本的问题，而不是延伸出来的所有问题。
对偶问题是实质相同但从不同角度提出不同提法的一对问题。
如果原问题有最优解 , 对偶问题也有最优解;
如果原问题有无界解 , 对偶问题无可行解;
如果原问题无可行解 , 对偶问题无法判断;。
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对偶问题(原问题)
目标函数min
n个 约 束 条 件
约束条件右端项
m个 0 变量 0 无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5 x1 3x 2 2 x 3 4 x 4 5 x1 x 2 x 3 8 x 4 8 s.t 2 x1 4 x 2 3x 3 2 x 4 10 x1,x 2 0 x 3 ,x 4无约束
§2 原问题与对偶问题
• 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一： 原问题
对偶问题
max s.t.
z CX AX b X0
min w Yb s.t. YA C Y0
情形二：
1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表 对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
y1 y2 1 / 4 5 / 4 y3 1 / 2 15 / 2 15 / 2 (c j z j ) x3
对偶问题为
5 y1 2 y 2 5 y1 4 y 2 3 s.t. y1 3 y 2 2 8 y1 2 y 2 4 y1 0, y2无约束
min w 8 y1 10 y2
• 例:
m ax z c j x j
j 1 n
max z CX A b X A b X 0
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b min w (Y ,Y ) -b
1 2
A (Y 1,Y 2 ) C A Y 1 0 ,Y 2 0
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量
y2 1 0 0 x4
y3 y 4 y5 0 1/ 4 1/ 4 1 1/ 2 3 / 2 0 7 / 2 3/ 2 x5 x1 x2
原问题的变量
原问题松弛变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
min w bi yi
i 1
m
n a ij x j bi ( i 1, , m1 m ) 1 j n a ij x j bi ( i m1 1, , m ) j 1 s .t . x j 0 ( j 1, , n1 n) x j 无 约 束( j n1 1, , n)
对偶问题 剩余变量
(Y Y )
• 2、 非对称形式的对偶
若原问题的约束条件是等式，
则
原问题 对偶问题
max z CX min w Yb AX b YA C Y无约束 X 0
推导:
原问题
max z CX AX b AX b X 0
掌握原问题和其对偶问题解之间的关系
对偶问题的对偶是原问题。
引例
max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 原 s.t. 6 x1 2 x 2 24 问 题 x1 x 2 5 x1, x 2 0 min w 15 y 24 y 5 y s.t 6y y 2 5y 2y y 1 租借 方 y ,y ,y 0
原问题
对偶问题
max z CX min w Yb s.t AX b s.t YA C X0 Y0
证明 化为标准对称型
max z CX s.t AX b X0 min w Y b 对偶 s.t Y AC Y 0
yi 0 (i 1,, m1 )
yi 无约束 (i m1 1,, m)
a
i 1 m
m
ij
yi c j ( j 1,, n1 ) yi c j ( j n1 1,, n)
a
i 1
ij
§ 3 对偶问题的基本性质
弱对偶性； 强对偶性； 最优性; 无界性; 互补松弛性
min w (Y 1 Y 2 ) b (Y 1 Y 2 ) A C Y 1 0, Y 2 0
令Y
min w Yb YA C Y无约束
Y 1 Y 2，得对偶问题为：
证毕。
原问题(对偶问题)
目标函数max n个 0 变量 0 无 约 束 目标函数中变量的系数