原问题与对偶问题

1 2
2 3 1 2 3 1 2 3
厂 家
3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
min w (Y 1 Y 2 ) b (Y 1 Y 2 ) A C Y 1 0, Y 2 0
令Y
min w Yb YA C Y无约束
Y 1 Y 2，得对偶问题为：
证毕。
原问题(对偶问题)
目标函数max n个 0 变量 0 无 约 束 目标函数中变量的系数
掌握原问题和其对偶问题解之间的关系
对偶问题的对偶是原问题。
引例
max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 原 s.t. 6 x1 2 x 2 24 问 题 x1 x 2 5 x1, x 2 0 min w 15 y 24 y 5 y s.t 6y y 2 5y 2y y 1 租借 方 y ,y ,y 0
对偶问题 剩余变量
yi 0 (i 1,, m1 )
yi 无约束 (i m1 1,, m)
a
i 1 m
m
ij
yi c j ( j 1,, n1 ) yi c j ( j n1 1,, n)
a
i 1
ij
§ 3 对偶问题的基本性质
弱对偶性； 强对偶性； 最优性; 无界性; 互补松弛性
对偶问题为
5 y1 2 y 2 5 y1 4 y 2 3 s.t. y1 3 y 2 2 8 y1 2 y 2 4 y1 0, y2无约束
min w 8 y1 10 y2
• 例:
m ax z c j x j
j 1 n
原问题松弛变量
对偶问题 剩余变量
x2 0 0 1 0 y5
x3 1 0 0 0 y1
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
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对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表 对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
y1 y2 1 / 4 5 / 4 y3 1 / 2 15 / 2 15 / 2 (c j z j ) x3
min w bi yi
i 1
m
n a ij x j bi ( i 1, , m1 m ) 1 j n a ij x j bi ( i m1 1, , m ) j 1 s .t . x j 0 ( j 1, , n1 n) x j 无 约 束( j n1 1, , n)
(Y Y )
• 2、 非对称形式的对偶
若原问题的约束条件是等式，
则
原问题 对偶问题
max z CX min w Yb AX b YA C Y无约束 X 0
推导:
原问题
max z CX AX b AX b X 0
原问题
对偶问题
max z CX min w Yb s.t AX b s.t YA C X0 Y0
证明 化为标准对称型
max z CX s.t AX b X0 min w Y b 对偶 s.t Y AC Y 0
y2 1 0 0 x4
y3 y 4 y5 0 1/ 4 1/ 4 1 1/ 2 3 / 2 0 7 / 2 3/ 2 x5 x1 x2
原问题的变量
原问题松弛变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
原问题 最优解
原问题 的变量
原问题松弛变量
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
m个 约束条件
对偶问题(原问题)
目标函数min
n个 约 束 条 件
约束条件右端项
m个 0 变量 0 无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
• 例:
max z 5 x1 3x 2 2 x 3 4 x 4 5 x1 x 2 x 3 8 x 4 8 s.t 2 x1 4 x 2 3x 3 2 x 4 10 x1,x 2 0 x 3 ,x 4无约束
§2 原问题与对偶问题
• 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一： 原问题

对偶问题
max s.t.
z CX AX b X0
min w Yb s.t. YA C Y0
情形二：
max z CX A b X A b X 0
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b min w (Y ,Y ) -b
1 2
A (Y 1,Y 2 ) C A Y 1 0 ,Y 2 0
x4 x5 5 / 4 15 / 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 / 2 1/ 4 1/ 2 y2 y3
对偶问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
化为极小问题
x1 x3 15 / 2 0 x1 7 / 2 1 x2 3 / 2 0 （c j z） 0 j y4
原问题 的变量