2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)

【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题
的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将 a1, a2 , a3, a4 转化成 a1 和 d，解 方程得到 a1 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值，再利用等比数列的通项公式，将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q，解出 b1 和 q 的值，得到 b6 的值，再代
a1
n
n
1
2
1
n(n 1) 2
所以
1 an
2( 1 n
n
1
), 1
Sn
2(1
n
1
) 1
2n n 1
,
S10
20 11
考点：数列通项，裂项求和
9、(2015 全国新课标Ⅰ卷文)数列an 中 a1 2, an1 2an , Sn 为an 的前 n 项和，若 Sn 126 ，则
n
.
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【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
二、填空题：
1.（2015
安徽文）已知数列 {an } 中，
a1
1，
an
an1
1 2
（n
2
），则数列 {an } 的前
9
项和等
于
.
2.（2015 安徽理）已知数列{an}是递增的等比数列， a1 a4 9, a2a3 8 ，则数列{an} 的前 n 项和
4．（2015 广东理）在等 差数列an 中，若 a3 a4 a5 a6 a7 25 ，则 a2 a8 =
【答案】10 ．
【解析】因为an 是等差数列，所以 a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 ，
a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即 a5 5 ， a2 a8 2a5 10 ，故应填入10 ．
（
）
A.2
B.1
1 C.
D. 1
2
8
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得 a3a5
a42
4 a4
1 a4
2 ,所以 q3
a4 a1
8
q
2
,故
a2
a1q
1 2
,选 C.
考点：等比数列.
7. (2015 浙江理)已知{an} 是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn ，若 a3 ， a4 ， a8 成等比数
数列
基本量 q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
8.
(2015 江苏)数列{an}满足 a1
1，且 an1 an
n 1（ n N * ），则数列{ 1 }的前 10 项和为 an
【答案】 20 11
【解析】
试题分析：由题意得：
an
(an
an1 )
(an1
an2 )
(a2
a1 )
（Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．
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【答案】（1） M {6,12,24}，（2）证明见解析，（3）8
【解析】
①试题分析：（Ⅰ）由
a 1
6
，可知
a 2
12,a 3
24,a 4
12,则 M
{6,12,24}；（Ⅱ）
因为集合 M
存在一个元素是 3
的倍数，所以不妨设
a k
定为偶数，由 a n
的定义可知，第三个数及后面的数必定是
4
的倍数，由定义可知，a n
1
和
2a n
除
以 9 的余数一样，分an 中有 3 的倍数和 an 中没有 3 的倍数两种情况，研究集合 M 中的元素个数，
最后得出结论集合 M 的元素个数的最大值为 8.
试题解析：（Ⅰ）由已知
an1
2an 2an
，an ≤18 ， 36 ，an 18
【解析】
试题分析：由韦达定理得 a b p ，a b q ，则 a 0,b 0 ，当 a,b, 2 适当排序后成等比数列时，
2 必为等比中项，故 a b q 4 ，b 4 ．当适当排序后成等差数列时，2 必不是等差中项，当 a a
是等差中项时，2a 4 2 ，解得 a 1 ，b 4 ；当 4 是等差中项时，8 a 2 ，解得 a 4 ，b 1，
等于 .
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3．（2015 福建文）若 a, b 是函数 f x x2 px q p 0,q 0 的两个不同的零点，且 a,b, 2
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于________．
【答案】9
考点：等差中项和等比中项．
5．(2015 全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛an｝满足 a1=3， a1 a3 a5 =21，则 a3 a5 a7 (
)
A．21
B．42
C．63
D．84
【答案】B
比数列通项公式和性质．
考点：等
6．(2015
全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{an} 满足
a1
1 4
, a3a5
4 a4
1
,则 a2
【答案】C
考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法
2．（2015 福建理）若 a, b 是函数 f x x2 px q p 0,q 0 的两个不同的零点，且 a,b, 2
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
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所以 b 1，所以答案应填：1．
考点：等比中项．
6. (2015 浙江文)已知an 是等差数列，公差 d 不为零．若 a2 ，a3 ，a7 成等比数列，且 2a1 a2 1 ，
则 a1
，d
．
【答案】 2 , 1 3
【解析】
试题分析：由题可得， (a1 2d )2 (a1 d )(a1 6d ) ，故有 3a1 2d 0 ，又因为 2a1 a2 1 ，即
的倍数.第二步集合 M
存在一个元素是
3
的倍数，所以不妨设
a k
是 3 的倍数，由已知
an1
2an 2an
，an ≤18 ， 36 ，an 18
，用数学归纳法证明对任意
n
k ， an 是 3 的倍数；第三步由于 M
中
的元素都不超过 36， M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必
可知： a 1
6,a 2
12,a 3
24,a 4
12,
M {6,12,24}
（Ⅱ）因为集合 M
存在一个元素是 3
的倍数，所以不妨设
a k
是
3
的倍数，由已知
an1
2an 2an
，an 36
≤18 ， ，an 18
，可用用数学归纳法证明对任意
n
k
，
a n
是
3
的倍数，当 k
1 时，
则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 k
1
Sn
Sn
1 (n 1) n ，所以 Sn
1 n
．
考点：等差数列和递推关系．
11. (2015 陕西文、理)中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项
为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 21010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的首项为 5 ，
北京理）已知数列 an 满足：a1 N* ，a1 ≤ 36 ，且 an1
2an 2an
，an ≤18 ， 36 ，an 18
n 1，2，… ．
记集合 M an | nN* ．
（Ⅰ）若 a1 6 ，写出集合 M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
10．(2015 全国新课标Ⅱ卷理)设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， an1 SnSn1 ，则
Sn ________．
【答案】 1 n
【解析】
试题分析：由已知得 an1
Sn1 Sn
Sn1
Sn
，两边同时除以
Sn1
Sn
，得
1 Sn1
1 Sn
1，故数列
1
是以 1为首项， 1为公差的等差数列，则
2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （数列）
一、选择题：
1.（2015 北京理） 设 an 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）
A．若 a1 a2 0 ，则 a2 a3 0
B．若 a1 a3 0 ，则 a1 a2 0
C．若 0 a1 a2 ，则 a2 a1a3
D．若 a1 0 ，则 a2 a1 a2 a3 0
1
时，因为
a k
2a k
1
或
2a k
1
36
，所以
2a k
1
是
3
的倍数，于是
a k
1
是
3
的倍数，类似可得，ak
2
,......a 1
入到上一问等差数列的通项公式中，解出 n 的值，即项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列an 的公差为 d.
因为 a4 a3 2 ，所以 d 2 . 又因为 a1 a2 10 ，所以 2a1 d 10 ，故 a1 4 . 所以 an 4 2(n 1) 2n 2 (n 1, 2,) .