三角函数高考题及练习题含答案

三角函数高考题及练习题（含答案）

1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．

2.高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．

3.三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

1.函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．

答案：π奇

解析：y＝－cos＝－sin2x.

2.函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________．

答案：3

解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．

3.函数y＝2sin(3x＋φ)，的一条对称轴为x＝，则φ＝________．

答案：

解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.

4.若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________．

答案：

解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，所以＝，解得ω＝.

题型二三角函数定义及应用问题

例1设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

(1)若点P的坐标是，求f(θ)的值；

(2)若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．

解：(1)根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出f(θ)＝2)．

(2)在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.

(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：

(1)tan(α＋β)的值；

(2)α＋2β的值．

解：由题意得cosα＝，cosβ＝，α、β∈，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，

因此tanα＝7，tanβ＝.

(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.

又α＋2β∈，所以α＋2β＝.

题型二三角函数的图象与解析式问题

例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．

(1)求f(0)的值；

(2)若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．

解：(1)由题图可知A＝，

∵＝－＝，∴ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，

∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，

∴f(0)＝sin＝.

(2)φ＝，f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，即f(x)的取值范围为[0，]．

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，

f(x)max＝2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.

题型三三角函数的性质与图象的移动问题

例3把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x＝对称．

(1)求m的最小值；

(2)证明：当x∈时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；

(3)设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．

(1)解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x＋2＝cos＋2.

因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2＋＝kπ，即m＝π(k∈Z)．

因为m>0，所以m的最小值为.

(2)证明：因为x∈，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在上是减函数．所以当x1、x2∈，且x1f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.

(3)解：令f(x)＝1，所以cos＝－.

因为x∈(0，π)，所以2x＋∈.

所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.

因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝

已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.

(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a

解：(1)因为ω>0，根据题意有

0<ω≤.

(2)f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2＋1＝2sin＋1，g(x)＝0sin＝－x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z,即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.