逆矩阵的定义及性质
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并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明 （
Baidu Nhomakorabea其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
Q = 00.・.0即可.
定义 设幺为方阵，若存在方阵4使得AB = BA=E, 则称A 可逆，并称B为A的逆矩阵.
定理1若矩阵N可逆，则4的逆矩阵唯一.
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
性质(1)若N可逆，则幺-1也可逆并且JT)T=4
(2) 若A可逆，则AT也可逆并且(必尸=以-吁.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
ro luo r 1 0 OJ11 OJ <0 ]
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
又因为都可逆， 所以行最简形矩阵。可逆，
由例1可知U=E. 于是在(*)式两边左乘以RTZV..・P-1得
P「F…PslE =PilP21... P~lPs ... P2P.A
定理3矩阵4可逆可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)
因为N可经初等行变换化为行最简形矩阵U, 故存在初等
矩阵PpP2,...,己使得 U=PS... P2P1A. ------------------(*)
又因为0,0，…，己京都可逆， 所以行最简形 矩阵〃可逆， 由例1可知〃=芯. 于是在(*)式两边左乘以RT马T...P-1得
PfPii…P；1 E = 矽…P?已…旦卩5
定理3矩阵4可逆可以写成一些初等矩阵的乘积.
证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩
阵
故存在初等矩阵U己=,P…s..,.P己2使PlA得.
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等 矩阵.
分析 再看一般的情形：
因为
= E E0.j(-k))EQ,j(k)) = E,
所以EQ。。))可逆，而且印"(*))T =
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等 矩 阵.
证明⑴因为=玖
所以理”)可逆，而且建辺？三匹/公
⑵因为 E(i(k))E(i(k-1)) = E, E(i(krl))E(i(k))=瓦 所以
则/中每一行都是非零行，
” °…？
且非零首元为L
? ! ：•. ?
这些1所在的列的其余元素均为零. £6..：i 又因为.
一共只有刀列，
故 A=E.
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2)若A可逆，则NT也可逆并且以T)—l = (N—1)T.
证明
NM1)T = ("4)T =ET =E ％T=W-
逆矩阵的定义及性质
、向
东南大学数学系
数（一阶方阵）
〃阶方阵
la = al= a, Va
EA =AE = A^ PA
a^0<=>
A满足？ u>
3b s>t< ab = ba = 1 3B s.t. AB = BA = E
ab = ba = .
♦— ac= ca = l J
AB = BA=E ；.
AC=CA=E J
B = BE=BAC=EC = C
b = bl =bac = 1c = c
定义 设幺为方阵，若存在方阵4使得AB = BA=E, 则 称A可逆，并称B为A的逆矩阵.
定理1若矩阵N可逆，则4的逆矩阵唯一.
注 若矩阵N可逆，则N的逆矩阵记为NN
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
可逆，而且卸(幻)1 =印0一1))・|
(3)因为
=E,
=E
所以E(iJ(k))可逆，而且理。(女)尸=E(iJ(-k)). |
例1证明可逆的行最简形矩阵为单位矩阵.
分析先看一个具体的行最简形矩阵：
[o 1 n i]=[o 1 这是不可能的！
lo_o_oJL JJ Lo o L
证明 设A%n阶可逆的行最简形矩阵，
1.•…°1. .
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1J
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:4 :
1 ••…°1 . •
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1
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵. 分析再看一般的情形:
因为顼妣))芯(，(L)) = E, E(i(/ri))E(i(k)) = E,
所以顼妁)可逆，而且印(*))T = E(i(*T))・
(3) 若N可逆,k为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA)1 = ZrM-1.
(4) 若为同阶可逆矩阵，
则46也可逆，并且(AB)1 =步顷t.
定理3矩阵N可逆ON可以写成一些初等矩阵的乘积. 推论矩阵
4可逆0 4可经初等行变换化为单位矩阵.
即存在初等矩阵Pv Pv…,己使得 Ps …P2P1A =瓦
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若&B为同阶可逆矩阵，
则NE也可逆，并且(AB)1 = Br^A \、反序律
注 若&,在…，必都是"阶可逆矩阵， 贝…丸也是可逆矩阵，
i 5V1 -5
JO
「3 1/3 0] 0] <0 1J Lo
L iJLo 1 丿 L
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1 —5
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L
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定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析再看一般的情形：
1.
1.
•
•
.
•1。••…1
：L : •.♦
:*1 :
又因为PI，P2，.."S，A都可逆， 所以
行最简形矩阵。可逆，
由例1可知U=E.
于是在(*)式两边左乘以RTRT... P：得
A = P^P2\..P；\
其中Pf1,區,…,P?是初等矩阵.
推论矩阵乂可逆ON可经初等行变换化为单位矩阵 即存
在初等矩阵P"2，...,Ps使得
R..・ P2P^A = £*, 此时 ^=Pi1P2^..Ps19 " = R...RR.
此时 A=P^P2\..P;\ A1 = PS...P2P1.
定理4设N为ntxn矩阵，则存在rn阶可逆矩阵尸和 ”阶可逆
矩阵。使得N =丑切丸0、丁的标准分解I 其中晩”=脣
1为厶的等价标准形.
Y(m-r)xr ^(m-r)x(n-r) ‘
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E
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3
证明 （
Baidu Nhomakorabea其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
Q = 00.・.0即可.
定义 设幺为方阵，若存在方阵4使得AB = BA=E, 则称A 可逆，并称B为A的逆矩阵.
定理1若矩阵N可逆，则4的逆矩阵唯一.
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
性质(1)若N可逆，则幺-1也可逆并且JT)T=4
(2) 若A可逆，则AT也可逆并且(必尸=以-吁.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
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定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
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又因为都可逆， 所以行最简形矩阵。可逆，
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P「F…PslE =PilP21... P~lPs ... P2P.A
定理3矩阵4可逆可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)
因为N可经初等行变换化为行最简形矩阵U, 故存在初等
矩阵PpP2,...,己使得 U=PS... P2P1A. ------------------(*)
又因为0,0，…，己京都可逆， 所以行最简形 矩阵〃可逆， 由例1可知〃=芯. 于是在(*)式两边左乘以RT马T...P-1得
PfPii…P；1 E = 矽…P?已…旦卩5
定理3矩阵4可逆可以写成一些初等矩阵的乘积.
证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩
阵
故存在初等矩阵U己=,P…s..,.P己2使PlA得.
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等 矩阵.
分析 再看一般的情形：
因为
= E E0.j(-k))EQ,j(k)) = E,
所以EQ。。))可逆，而且印"(*))T =
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等 矩 阵.
证明⑴因为=玖
所以理”)可逆，而且建辺？三匹/公
⑵因为 E(i(k))E(i(k-1)) = E, E(i(krl))E(i(k))=瓦 所以
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故 A=E.
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
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证明
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逆矩阵的定义及性质
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B = BE=BAC=EC = C
b = bl =bac = 1c = c
定义 设幺为方阵，若存在方阵4使得AB = BA=E, 则 称A可逆，并称B为A的逆矩阵.
定理1若矩阵N可逆，则4的逆矩阵唯一.
注 若矩阵N可逆，则N的逆矩阵记为NN
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
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分析先看二阶的情形：
可逆，而且卸(幻)1 =印0一1))・|
(3)因为
=E,
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所以E(iJ(k))可逆，而且理。(女)尸=E(iJ(-k)). |
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[o 1 n i]=[o 1 这是不可能的！
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证明 设A%n阶可逆的行最简形矩阵，
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定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵. 分析再看一般的情形:
因为顼妣))芯(，(L)) = E, E(i(/ri))E(i(k)) = E,
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(3) 若N可逆,k为非零的数，
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(4) 若为同阶可逆矩阵，
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定理3矩阵N可逆ON可以写成一些初等矩阵的乘积. 推论矩阵
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(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
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注 若&,在…，必都是"阶可逆矩阵， 贝…丸也是可逆矩阵，
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定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
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行最简形矩阵。可逆，
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于是在(*)式两边左乘以RTRT... P：得
A = P^P2\..P；\
其中Pf1,區,…,P?是初等矩阵.
推论矩阵乂可逆ON可经初等行变换化为单位矩阵 即存
在初等矩阵P"2，...,Ps使得
R..・ P2P^A = £*, 此时 ^=Pi1P2^..Ps19 " = R...RR.
此时 A=P^P2\..P;\ A1 = PS...P2P1.
定理4设N为ntxn矩阵，则存在rn阶可逆矩阵尸和 ”阶可逆
矩阵。使得N =丑切丸0、丁的标准分解I 其中晩”=脣
1为厶的等价标准形.
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(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E