概率统计4习题课

1 ( x y ), 0 x 2,0 y 2 f ( x, y ) 8 0, 其他
2 2 0
求EX , EY , XY .
E ( X ) dx
0
1 7 x ( x y)dy 8 6
1 7 E (Y ) dx y ( x y )dy 0 0 8 6 cov(X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
X* X E( X ) D( X )
验证E (X* )=0，D (X* )=1
E ( X *) E[ X E( X ) D( X ) ] 1 D( X ) [ E ( X ) E ( X )] 0
2
X E( X ) D(X*)= E [X*－E (X )*]2= E (X*2)= E D( X )
e x , x 0 f ( x) 0 , x 0
求: (1) Y=2X (2) Y=e－2X的数学期望.
(1) E(Y ) 2 xf ( x)dx 2 xe x dx
0
2 xe

x
2e
x
0

2
2 x x
(2) E(Y ) e
7 x( x y )dxdy 0 0 12 7 E (Y ) yf ( x, y )dxdy 12 E ( XY ) xyf ( x, y)dxdy
1 1
1 1

1 0 0 xy( x y ) dxdy 3
E X C D( X )
2
证明二：D (X ) E(X – C)2
E X C DX
2
E ( X 2CX C ) [ E ( X ) ( EX ) ]
2 2 2 2
( EX ) 2CEX C
2
2
(C E ( X )) 0
解法二 利用16题结论
引入几何分布的随机变量，
P(Y k ) pq k 1 , k 1, 2, 1 a p ,q 由上题的结果知 1 a 1 a
1 q E (Y ) 1 a, D(Y ) 2 a(1 a) p p X Y 1
E ( X ) E (Y 1) E (Y ) 1 a D( X ) D(Y 1) D(Y ) 1(1 a)
2
10 . 11岁男孩身高服从正态分布，期望143.10 厘米，标准差5.67 厘米，
X ~ N (143 .1, 5.67 2 )
求身高的95 %正常值范围.
P(| X 143 .1 | a) 0.95
解得 则 a 11 .11, （ 131.99， 154.21）
12. 设随机变量X的概率密度为
2 2
dx
0
2
2 0
1 7 7 1 x y ( x y )dy 8 6 6 36
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
2 2
dx
0
2
2 0
1 7 11 x ( x y )dy 8 6 36
2
11 D(Y ) 36
1 1 2 E[ X E ( X )] D( X ) 1 D( X ) DX
标准化随机变量
设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且D(X) 0, 则称
X E( X ) X D( X )

为 X 的标准化随机变量.
E ( X ) 0, D( X ) 1
解 设进货数量为 a，则利润为 500 a ( X a )300 , a X 30 L g( X ) 500 X ( a X )100 , 10 X a
300 X 200 a , a X 30 L 600 X 100 a , 10 X a


5. 随机变量 X 的密度函数为 1 , f ( x) 1 x 2 0, 求E ( X ), D( X ) . x 1 其他
EX

xf ( x)dx
2
1 1
x
1 x2
2
dx 0
DX E ( X ) ( EX ) E ( X )


2 x
1 3 x 1 e 3 0 3
f ( x)dx e
0

e dx
14.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
x y, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 其他 0,
求E(X), E(Y), E(X Y).
E ( X ) xf ( x, y )dxdy
48 0.1
49 0.1
50 0.6
51 0.1
52 0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
E ( X 1 ) E ( X 2 ) 50 D( X 1 ) 1 D( X 2 ) 2
甲方法测得精度高.
3.一批零件中有9个合格品3个次品，从 这批零件中任取一个，如果每次取出的 废品不再放回去，求在取得合格品以前 已取出的废品数的期望，方差和标准差.
19 . 设某种商品每周的需求量 X ~ U [10, 30 ] ，而 经销商店进货数量为区间 [10, 30 ] 中的某一整数, 商店每销售一单位商品可获利 500 元；若供大于 求则削价处理，每处理一单位商品亏损100 元； 若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一 单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润期望 值不小于 9280 ，试确定最少进货量.
15.设X，Y相互独立,概率密度分别为
2 x , 0 x 1 f X ( x) 0, 其他 e ( y 5) , y 5 fY ( y ) , 其他 0
求E (XY) 解法一

E ( XY ) E ( X ) E (Y )

xf
X
( x)dx yfY ( y )dy
X P
3
0 3 4
1 9 44
2 9 220
3 1 220
D( X ) 0.567
E ( X ) xk pk 0.301
k 0 3 2 2 2 k 0
D( X ) E ( X ) ( EX ) xk pk 0.301 0.322
2
4.设随机变量X的数学期望为E (X)，方差 为D(X)>0，引入新的随机变量
D( X ) D(Y ) 2[ E( XY ) E( X ) E(Y )]
D( X ) D(Y ) 2 cov(X , Y )
23 .( X , Y )在D上服从均匀分布， 求 cov(X , Y ), XY .
解： 区域 D 的面积为
2 f x， y 0
9.证明：对任意常数C, D (X ) E(X – C)2
E X C E ( X E ( X )) (C E ( X )) 2 2 E ( X E ( X )) (C E ( X ))
2
2
D( X ) (C E ( X ))
2
2
当C = E(X )时，显然等号成立； 当C E(X )时，(C E ( X )) 0
X
i 1
n
i
数学期望的性质
n i 1
1 E( X ) E( n

i 1
n
1 Xi) n

1 E( X i ) n
μ μ
i 1
n
X 1 , , X n 相互独立 1 n 1 n D( X ) D( X i ) D( X i ) 2 n i 1 n i 1 方差的性质 1 n 2 2 2 n i 1 n 2 E ( X ) , D( X ) n
概率统计
概率统计第四章习题课
习题四
1.学生做实验需要动物数量为X , 则
X
1
2
3 0.2
4 0.1
5 0.05
P 0.25 0.4
平均每组需要动物数量为
E ( X ) xk pk 2.3
k 1 5
2. 甲乙两种方法测得结果如下， 比较哪种方法精度高？
X1, X 2 P( X 1 ) P( X 2 )



解法二

E ( XY )


xyf ( x, y)dxdy

xyf

X
( x) fY ( y )dxdy
18.设X1, X2 ,…, Xn是独立同分布的随机变量
E ( X i ) μ , D( X i ) σ 2
1 i=1,2,…, n.记 X n 求E ( X ), D( X ).
k
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 2 p 1 1 p 2 2 2 p p p
7.设 X 的分布律为 1 a k P( X k ) ( ) , k 0,1,2, 1 a 1 a 其中 a 0 为已知常数，求 E ( X ), D( X ) 解法一 P( X k ) pqk , k 0,1,2, 1 a p ,q 1 a 1 a 仿照16题
XY
1 cov(X , Y ) 36 1 11 11 DX DY 36
27. Y aX b, (a 0) XY 1
x 2 | x| x 2 f ( x)dx e dx 2 2

16 设r.v X服从几何分布， P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…， 其中0<p<1,求E(X), D(X) 解：记q=1-p
E ( X ) kpq k 1 p (q k )'
2
1 x f ( x)dx dx 2 1 2 1 x
2 1

x2
6. 随机变量 X 的密度函数为 1 | x| f ( x) e , x 2 求E ( X ), D( X ) . x | x| EX xf ( x)dx e dx 0 2 2 2 2 DX E ( X ) ( EX ) E ( X )
22.(2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov(X , Y )
D( X Y ) E[( X Y ) 2 ] [ E ( X Y )]2 E ( X 2 Y 2 2 XY ) [( EX ) 2 ( EY ) 2 2 EX EY ]
求和与求导
k 1

源自文库

等比级数 求和公式
交换次序
q 1 p( q )' p( )' 1 q k 1 p
k

k 1
E ( X ) k pq
2 2

k 1
p[ k ( k 1)q
k 1

k 1
k 1
kq
k 1

k 1
]
q 1 ) qp( q )+E(X) qp( 1 q p k 1 2 1 2q 1 2 p qp 2 2 3 (1 q) p p p p
E ( L)
30 10
1 g ( x)dx 20
1 a 1 30 10 (600 x 100 a)dx 20 a (300 x 200 a)dx 20 7.5a 2 350 a 5250 9280 .
2 解得 20 a 26. 3 故利润期望值不小于 9280 元的最少进货量为 21 单位.
1 2
1
X 所以， , Y 的联合密度为
x， y D x， y D
D 1
1 cov(X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) . 36 cov(X , Y ) 1 XY 2 D( X ) D(Y )
24.设随机变量（X，Y）具有概率密度