怎样确定二次函数的解析式

怎样确定二次函数的解析式

作者：赵春祥

来源：《初中生(三年级)》2006年第12期

数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁. 信息社会越来越多地要求人们自觉运用数学思想提出问题和解决问题．近几年的中考数学试题，越来越注重数学思想和数学方法的考查．为了更好地理解和掌握常用的数学思想和数学方法，特用一道抛物线中考题说明．

例 (2006年烟台市中考题)如图，已知抛物线l1：y = x2-4的图像与x有交于A、C两点．

(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；

(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；

(3)探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．

解：(1)设l2的解析式为y = a(x－h)2＋k，

∵l1与x轴的交点A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，－4)，l1与l2关于x轴对称，

∴l2过A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是（0，4），

∴y = ax2＋4.

∴0 = 4a＋4，解得a =－1.

∴l2的解析式为y=－x2＋4．

(2)设B(x1，y1)，

∵点B在l1上，∴B(x1 ，x21－4).

∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，

∴B、D关于O对称.

∴D(－x1，－x21＋4)．

将D(－x1，－x21＋4)的坐标代入l2：y =－x2＋4，左边=右边，

∴点D在l2上．

(3)设平行四边形ABCD的面积为S，则S=2×S△ABC=AC·|y1|= 4|y1|．

①当点B在x轴上方时，y1＞0，S = 4y1，

它是关于y的正比例函数，且S随y的增大而增大，

∴S既无最大值也无最小值．

②当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0，

∴S =－4y1，它是关于y的正比例函数，且S随y1的增大而减小，

∴当y1=－4时，S有最大值16，但没有最小值．

此时B(0，－4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上．

∴AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，此时S的最大值为16．

评点：（1）函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决. 此例的⑴求参数a的过程，就是典型的函数与方程思想．函数与方程思想是初中数学中最基本的却又是最重要的思想之一，在中考考查中占有非常重要的地位．

（2）在解题过程中，解到某一步时(比如此例中(3)的y1)，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的问题中包含了多种可能情形，必须确定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使大问题得到解决，这就是分类讨论的思想．

（3）对于(3)，它以“是否存在”的形式出现，在假设存在的前提下，根据题设条件和结论进行推理，若得到合理的结果，即予肯定；若出现矛盾，可否定假设，得出相应的结论．对于结论不确定的问题，常以适合某种性质的结论“是否存在”的形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象［比如此例(3)中，当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0］．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论

证［比如此例(3)中，当点B在x轴上方时，y1＞0］．“是否存在”结论有两种：一种是可能存在；另一种是不存在，则需要说明理由．作为开放型问题，必须用探索思想去处理它．

一道考题考查了三种数学思想与方法，可见数学思想与方法在中考试卷中的地位．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文