怎样确定二次函数的解析式
怎样确定二次函数的解析式
确定二次函数的解析式一、一般方法（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．二、利用抛物线与x轴交点间的距离求二次函数的解析式例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫⎝⎛-25,0A和)6,1(--B两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．三、其它已知条件，灵活运用不同方法求解1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，求此抛物线解析式2、.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
3、.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。
4、已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2 （重要提示：三角形的高要加绝对值）（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法河北 高顺利二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．解： 253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ， 图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3， 依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ． 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数．（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同．（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数．例6 已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称．x x y x x x a y y ax a 5632+-=x x y x y x解：可转化为，据对称式可知 ①图象关于轴对称的图象的解析式为， 即：． ②图象关于轴对称的图象的解析式为：，即：；③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45 ，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ． 点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|5632+-=x x y 2)1(32+-=x y x 2)1(32---=x y 5632-+-=x x y y 2)1(32++=x y 5632++=x x y x 2)1(32+--=x y 1632++-=x x y∵∠PAO =45∴ |PM | = |AM| = |y | =－y ∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数的解析式
二次函数的解析式二次函数的解析式是一个用来表示二次函数的数学公式。
二次函数是一种具有二次项的函数，通常表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的解析式是一个多项式，含有x的各次方和常数项。
它可以通过不同方法得到，如配方法、公式法、图像法等。
一、配方法通过将二次函数展开成平方完成的形式，即将二次项与线性项配对，来得到解析式。
假设有二次函数f(x) = ax² + bx + c，通过配方法可以将其转化为完全平方的形式，即f(x) = a(x + p)² + q，其中p、q是实数。
要使用配方法，首先要考虑二次项的系数a。
如果a=1或-a=1，则可以通过找到一个常数p使得线性项系数等于2*p*常数项系数来实现配对。
例如，当a=1时，二次函数可以表示为f(x) = x² + bx + c，我们可以令p = b/2，得到f(x) = (x + b/2)² - (b/2)² + c。
当a≠1时，我们可以通过将二次函数中的a因式提取出来，再利用配对方法得到解析式。
二、公式法二次函数的解析式还可以通过应用求根公式来得到。
求根公式是指利用二次函数的系数计算出它的两个解的公式。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ±√(b² - 4ac))/(2a) 来求解。
以解析式的形式表达，可以分为两种情况：1. 当二次函数有两个不相等的实数解时，解析式可以表示为f(x) =a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁和x₂是函数的两个实数解。
2. 当二次函数有一个实数解时，解析式可以表示为f(x) = a(x - x₁)²，其中x₁是函数的实数解。
三、图像法我们也可以通过观察二次函数的图像来得到解析式。
图像法可以通过观察二次函数的顶点、开口方向以及与x轴的交点等信息来确定解析式。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数解析式的方法
二次函数解析式的方法
二次函数是高中数学中的一个重要概念。
它是一种二次方程，通常用y=ax+bx+c的形式表示。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
求解二次函数的解析式可以使用以下方法：
1. 完全平方公式：将二次函数的一般式y=ax+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标。
这个转化可以使用完全平方公式完成，即将x+bx部分平方，得到(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a，再乘以a后，得到y=a(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a。
2. 配方法：当二次函数的a不为1时，可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体来说，对于y=ax+bx+c，我们可以先将a提出来，得到y=a(x+ bx/a+c/a)，然后将x+ bx/a部分配方，即将它写成(x+b/2a)- (b-4ac)/4a的形式。
这样，原来的二次函数就可以表示为y=a(x+b/2a)- (b-4ac)/4a+c。
3. 公式法：对于已知二次函数的解析式y=ax+bx+c，我们可以使用求根公式来求解它的两个解。
根据二次方程的求根公式，
y=ax+bx+c的解析式可以表示为x=(-b±√(b-4ac))/2a。
以上三种方法都可以求解二次函数的解析式，具体使用哪种方法取决于具体情况。
在解决实际问题时，可以根据需要选择合适的方法，以便更准确地求解问题。
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二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图像的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图像的对称轴． 温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图像与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式． 温馨提示：已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠温馨提示：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化【例1】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【巩固】已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式． 已知抛物线经过三点A （0，2），B （1，0），C （-2，3），求二次函数的解析式。
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
常见的四种方法求二次函数解析式包括配方法、因式分解法、求根公式法和完成平方法。
1.配方法：配方法适用于二次函数的系数不为1时，即a≠1的情况。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+3)^2-4b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=（x+3)^2-42.因式分解法：因式分解法适用于二次函数可以被因式分解的情况，即可以找到两个一次因式的乘积形式。
步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。
例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+1)(x+5)。
b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)。
3.求根公式法：求根公式法适用于二次函数的解存在有理根的情况。
步骤：a) 根据二次函数的系数a、b、c，计算出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac。
b)根据判别式Δ的数值，判断方程的解的情况：-如果Δ>0，则有两个不相等的实根；-如果Δ=0，则有两个相等的实根（重根）；-如果Δ<0，则没有实根，但可能有两个虚根。
c)根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出实根或复根。
4.完成平方法：完成平方法适用于二次函数的系数为1时，即a=1的情况。
步骤：a)将二次函数进行配方，将其转化成完全平方的形式。
例如：y=x^2+6x+___，需要找到一个数来补全。
根据(b/2)^2的性质，可以将6/2=3得到的平方数补全，即y=x^2+6x+9b)化简得到二次函数的解析式。
例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+9=(x+3)^2通过以上四种方法，可以根据具体的二次函数形式，选择适合的方式来求得二次函数的解析式。
二次函数解析式三种方法
二次函数解析式三种方法嘿，大家知道吗，求二次函数解析式有三种超棒的方法呢！先来说说一般式吧。
一般式是y=ax²+bx+c，当我们知道函数图像上的三个点时，就可以用这个方法啦。
步骤就是把这三个点的坐标代入一般式中，得到一个三元一次方程组，然后解这个方程组就能求出 a、b、c 的值啦。
哎呀呀，这多简单呀，不过可得仔细点，别把坐标代错了哟！这种方法的稳定性那可是杠杠的，只要我们认真计算，就很少会出错呢。
它适用于各种情况，尤其是那些能轻松找到三个点的题目，优势明显呀。
就好比说，我们要建一座房子，这一般式就是那坚固的地基，能让我们的函数稳稳地立起来。
再讲讲顶点式。
顶点式是 y=a(x-h)²+k，要是我们知道了顶点坐标和另外一个点，那就用这个方法最合适啦。
先把顶点坐标代进去确定 h 和 k，然后再把另一个点代进去求出 a 的值。
哇塞，是不是感觉很神奇呀！这个过程就像搭积木一样，一块一块稳稳地堆起来。
它的安全性很高哦，只要我们抓住了顶点这个关键，就不容易出错啦。
它常常在那些强调顶点重要性的题目中大展身手，就像一个武林高手，在关键时刻使出绝招。
还有交点式呢。
交点式是 y=a(x-x₁)(x-x₂)，当我们知道函数与 x 轴的交点坐标时，就选它啦。
把交点坐标代进去求出 a 的值就行啦。
这就像是找到了宝藏的钥匙，一下子就打开了函数的大门。
它的过程也很稳定呀，只要我们确定了交点，就像有了方向标。
在处理与 x 轴交点相关的问题时，那简直就是如鱼得水。
来看看实际案例吧。
比如有个二次函数图像经过点(1,2)、(3,4)、(5,6)，那我们就可以用一般式来求解呀，把这三个点代进去，认真计算，就能求出解析式啦。
再比如知道顶点坐标是(2,3)和另一个点(4,5)，那用顶点式就能快速搞定。
所以呀，这三种方法各有各的好，我们要根据具体情况灵活选择，那就能轻松求出二次函数解析式啦！它们就像我们的得力助手，帮助我们在数学的海洋中畅游无阻！。
确定二次函数解析式的常用方法
确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法：一、已知三点坐标，通常选择一般式：y=ax2+bx+c：例1、已知二次函数的图象经过三点（1，1），（-1，7），（2，4），求其解析式。
解：设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得：a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为：y=2x2-3x+2。
二、已知顶点和另一点，通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k。
例2、已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴交点为（0，-5），求此抛物线的解析式。
解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)。
∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。
把(0,-5)代入上式得：-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即：y=-2x2-4x-5，（最后要化为一般式）三、已知抛物线与x轴的两个交点A（x1,0）,B(x2,0) 和另一条件时，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。
例3、已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛物线的解析式。
解：∵点B（1，0），C（5，0）是抛物线与X轴的交点。
∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。
把点A（0，3）坐标代入上式得：3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5（x-1 ）（x-5）即：y=3/5 x2-18/5 x+3，（最后要化为一般式）由此可以看出，求二次函数的解析式要根据题目不同条件，灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型，这样才能提高解题效率，另外所求的解析式最后要化为一般式。
二次函数几种解析式求法
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？
解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。
又∵P（0，3.6）在图像上，
当x=OC=0.8时，
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。 2、求二次函数解析式的 常用思想： 转化思想 : 解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后 结果最好化为一般式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上， ∴ 即：
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？ 分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时， 过C点作CD⊥AB交抛物线于D点， 若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
二次函数的几种解析及求法
一、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式
第06讲二次函数解析式的确定(5种解题方法)(原卷版)
第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴直线x = h ，最值为当x = h 时，y 最值=k 来求出相应的系数. 3.交点式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2+ k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变． 5.对称变换型根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它考点精讲考点考向的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．解法三：交点式1.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣42.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；4.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．4.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移√2个单位，求平移后的解析式．解法五：对称变换型1.已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．2.已知二次函数y=12x2﹣3x+1（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．3.已知抛物线C1:y=59(x+2)2−5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．4.将抛物线C1：y=18（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．一、单选题1．（2021·上海杨浦·九年级三模）将抛物线2y x 向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．2(2)y x =-D ．2(2)y x =+2．（2021·上海九年级专题练习）将二次函数2y x 的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．2(1)y x =-D ．2(1)y x =+3．（2021·上海）抛物线2(5)1y x =+-先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．21884y x x =++B ．224y x x =++C ．21876y x x =++D ．222y x x =+-4．（2021·上海静安·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位5．（2021·上海）如果将抛物线y ＝x 2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+2B ．y ＝（x+1）2+2C ．y ＝x 2+1D ．y ＝x 2+36．（2010·上海浦东新·七年级竞赛）如表所示，则x 与y 的关系式为（ ） x 1 2 345y 3 7 13 21 31 A ．y=4x1B ．y=x 2+x+1C ．y=（x 2+x+1）（x1）D ．非以上结论巩固提升7．（2021·上海九年级专题练习）如果A(2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( ) A ．2y x = B ．2y x=-C ．2y x =-D ．2y x二、填空题8．（2011·上海浦东新区·中考模拟）请写出一个图像的对称轴为y 轴，且经过点(2，－4)的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是____________9．（2021·上海九年级专题练习）用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了如下的表格：x… 0 1 2 3 4 … 2y ax bx c =++…3- 013-…那么当5x =时，该二次函数y 的值为___________．10．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．11．（2020·上海市静安区实验中学）若函数2(1)y m x =+过点(1，4)，则m=_______．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的顶点为()1,3-，且与y 轴交于点()0,1，则抛物线的解析式为______.13．（2021·上海九年级专题练习）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）14．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．15．（2021·上海青浦·九年级二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________．16．（2021·上海崇明·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝_____．三、解答题17．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =+-≠经过点()()2,0,1,0A B -和点()3,D n -，与y 轴交于点C ，（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求ODE 的面积； （3）如果点P 在y 轴上，PCD 与ABC 相似，求点P 的坐标．18．（2021·上海宝山区·九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy 内，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限内，且∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，OB ＝4.，二次函数y ＝﹣x 2＋bx 的图象经过点A ，顶点为点C ． （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l 与OB 相交于点D ，与x 轴相交于点E ，求DEDC的值； （3）设P 是这个二次函数图象的对称轴l 上一点，如果△POA 的面积与△OCE 的面积相等，求点P 的坐标．19．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．20．（2017·上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ． （1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．21．（2021·上海普陀区·）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．22．（2021·上海青浦·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝52时，求OE的长．23．（2021·上海中考真题）已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB x①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．。
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。
1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。
2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。
解方程组，得到a、b、c的值。
3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。
1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。
2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。
3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。
1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。
消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。
求二次函数解析式的几种方法
求二次函数解析式的几种方法二次函数是数学中重要的函数之一，其一般形式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a，b，c为常数，a≠0。
求二次函数解析式的方法有很多，下面将详细介绍其中几种常用的方法。
1.直接法：直接利用已知的函数图像上的点进行求解。
设过点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)的二次函数解析式为f(x)，将点坐标代入方程，即得到3个方程组成的线性方程组，解得a，b，c的值，进而得到二次函数解析式。
2.配方法：如果二次函数的系数a不为1，可利用配方法将其化为标准形式f(x)=a(x-h)^2+k。
配方法的步骤如下：1) 将二次函数右侧展开，得到f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k；2) 合并同类项，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；3) 将二次项与一次项拆开，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；4) 将二次项与一次项的平方项合并，得到f(x) = a(x - h)^2 +(ah^2 + k)；5) 由于平方项的系数为a，根据二次函数的性质，可以确定顶点坐标为(h, ah^2 + k)；6)最后，根据顶点坐标和a的值，可以求得二次函数解析式。
3.试探法：当二次函数的系数a为1时，可以利用试探法求解。
试探法的步骤如下：1)根据二次函数的特性，确定顶点坐标为(h,k)，其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的顶点纵坐标；2)将顶点坐标代入二次函数的解析式，得到f(x)=(x-h)^2+k；3)根据顶点坐标求得的解析式，绘制函数图像，判断是否与已知的函数图像相同。
4.求导法：对于给定二次函数的函数表达式，可以通过求导的方法来求解。
求导法的步骤如下：1) 对二次函数f(x)求导，得到f'(x) = 2ax + b；2)由于二次函数的导数为一次函数，即直线，因此可以根据已知的函数的导数与原函数的关系来确定函数的解析式；3)通过观察导数的图像，可以得到解析式的系数a和b的值。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是数学中的基本函数之一，广泛应用于物理学、经济学、工程学等学科中。
解析式是指能够明确表达函数关系的数学表达式。
下面将介绍三种常用的方法来确定二次函数的解析式。
第一种方法是使用差值法。
差值法是通过给定的点来确定二次函数的解析式。
假设已知二次函数过三个不同的点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，那么可以将这三个点带入二次函数的解析式中，得到如下的方程组：$$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\ax_3^2+bx_3+c=y_3 \\\end{cases}$$解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。
第二种方法是使用顶点法。
顶点法是通过二次函数的顶点坐标来确定解析式。
二次函数的顶点坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来求得。
将这个顶点坐标代入二次函数的解析式中，可以得到一个等于顶点对应的函数值的方程。
结合另外一个给定点的坐标，可以得到一个方程组。
解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。
第三种方法是使用因式分解法。
因式分解法是将二次函数的解析式进行因式分解，从而得到函数的解析式。
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以将其写成$y=a(x-p)(x-q)$的形式，其中$p$和$q$是实数。
展开右边的乘积，可以得到如下的方程：$$ax^2+bx+c=a(x^2-(p+q)x+pq)$$通过比较系数，可以得到以下等式：$$\begin{cases}p+q=-\frac{b}{a} \\pq=\frac{c}{a}\end{cases}$$解这个方程组可以得到$p$和$q$的值，从而确定二次函数的解析式。
以上就是三种常用的方法来确定二次函数解析式的介绍。
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怎样确定二次函数的解析式
作者：赵春祥
来源：《初中生(三年级)》2006年第12期
数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁. 信息社会越来越多地要求人们自觉运用数学思想提出问题和解决问题．近几年的中考数学试题，越来越注重数学思想和数学方法的考查．为了更好地理解和掌握常用的数学思想和数学方法，特用一道抛物线中考题说明．
例 (2006年烟台市中考题)如图，已知抛物线l1：y = x2-4的图像与x有交于A、C两点．
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；
(3)探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．
解：(1)设l2的解析式为y = a(x－h)2＋k，
∵l1与x轴的交点A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，－4)，l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是（0，4），
∴y = ax2＋4.
∴0 = 4a＋4，解得a =－1.
∴l2的解析式为y=－x2＋4．
(2)设B(x1，y1)，
∵点B在l1上，∴B(x1 ，x21－4).
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，
∴B、D关于O对称.
∴D(－x1，－x21＋4)．
将D(－x1，－x21＋4)的坐标代入l2：y =－x2＋4，左边=右边，
∴点D在l2上．
(3)设平行四边形ABCD的面积为S，则S=2×S△ABC=AC·|y1|= 4|y1|．
①当点B在x轴上方时，y1＞0，S = 4y1，
它是关于y的正比例函数，且S随y的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值．
②当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0，
∴S =－4y1，它是关于y的正比例函数，且S随y1的增大而减小，
∴当y1=－4时，S有最大值16，但没有最小值．
此时B(0，－4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上．
∴AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，此时S的最大值为16．
评点：（1）函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决. 此例的⑴求参数a的过程，就是典型的函数与方程思想．函数与方程思想是初中数学中最基本的却又是最重要的思想之一，在中考考查中占有非常重要的地位．
（2）在解题过程中，解到某一步时(比如此例中(3)的y1)，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的问题中包含了多种可能情形，必须确定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使大问题得到解决，这就是分类讨论的思想．
（3）对于(3)，它以“是否存在”的形式出现，在假设存在的前提下，根据题设条件和结论进行推理，若得到合理的结果，即予肯定；若出现矛盾，可否定假设，得出相应的结论．对于结论不确定的问题，常以适合某种性质的结论“是否存在”的形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象［比如此例(3)中，当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0］．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论
证［比如此例(3)中，当点B在x轴上方时，y1＞0］．“是否存在”结论有两种：一种是可能存在；另一种是不存在，则需要说明理由．作为开放型问题，必须用探索思想去处理它．
一道考题考查了三种数学思想与方法，可见数学思想与方法在中考试卷中的地位．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。