第09章阶跃响应冲激响应卷积积分
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阶跃响应冲击响应与卷积积分法
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
冲激响应和阶跃响应
贯穿于本课程的始终。
X
一．冲激响应
第 3
页
1．定义
系统在单位冲激信号 (t)作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
看响应 h(t) ，h(t)不同，说明其系统特性不同，
冲激响应可以衡量系统的特性。
X
第 12
页
由两端平衡解得 a 1，b 1，
c 1，d 9
h(0 ) h(0 ) b h(0 ) 1
dh(0 ) dh(0 ) c dh(0 ) 1
dt
dt
dt
e e 将初始条件代入h(t) A1 2t A2 5t u(t)
d 2i(t) dt 2
7
di(t) dt
10 i(t )
d 2e(t) dt 2
6
de(t) dt
4e(t)
X
第
10
求系统的冲激响应h(t)
页
其满足上方程：
d
2h(t dt 2
)
7
dh(t dt
)
10h(t
)
"
(t
)
6
'
(t
)
4
(t
)
h(0 )
30
30
e e u(t) 2 2t 1 u(t) 1 5t 1 u(t)
3
15
e e 2 2t 1 5t 2 u(t)
X
一．冲激响应
第 3
页
1．定义
系统在单位冲激信号 (t)作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
看响应 h(t) ，h(t)不同，说明其系统特性不同，
冲激响应可以衡量系统的特性。
X
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页
由两端平衡解得 a 1，b 1，
c 1，d 9
h(0 ) h(0 ) b h(0 ) 1
dh(0 ) dh(0 ) c dh(0 ) 1
dt
dt
dt
e e 将初始条件代入h(t) A1 2t A2 5t u(t)
d 2i(t) dt 2
7
di(t) dt
10 i(t )
d 2e(t) dt 2
6
de(t) dt
4e(t)
X
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求系统的冲激响应h(t)
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其满足上方程：
d
2h(t dt 2
)
7
dh(t dt
)
10h(t
)
"
(t
)
6
'
(t
)
4
(t
)
h(0 )
30
30
e e u(t) 2 2t 1 u(t) 1 5t 1 u(t)
3
15
e e 2 2t 1 5t 2 u(t)
一阶电路的冲激响应和卷积积分
t RC
( t )] e
t
t RC
t 1 RC (t ) e (t ) RC
1 RC (t ) e (t ) RC uC R 阶跃响应
0 冲激响应
iC
1
t 0 t
1 C
0
uC
iC
(1)
t
t
1 RC
二. 分二个时间段来考虑冲激响应
is R
iC C
+ uC -
uC(0-)=0
1. t 在 00 0
0+间
duc uc C (t ) dt R
uc 不可能是冲激函数
duc 0 uc 0 dt 0 dt 0 ( t )dt C dt R
C[uc (0 ) uc (0 )] 1
0 0
=0
电容中的冲激电流使电容电压发生跳变
diL Ri L L (t ) dt
0 0
0 di L Ri dt L iL (0 ) 0 0 L 0 dt dt 0 (t )dt 0 1 0 LdiL 1 iL (0 ) L 定性分析： uL ( t )
uLdt 1
当 k
激励 e( t ) lim
k
k
k 0
e( k ) p(t k )
脉冲
(t )
冲 激
响应 r (t ) lim e(k )hp (t k )
积分
k 0
脉冲响应
h(t )
冲激响应
当 k , d , k
(t )
h(t) 零状态
一. 由单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃 (t) 单位冲激 (t) 单位阶跃响应 s( t ) 单位冲激响应 h(t)
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
第 13 页
§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
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§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
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2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
2-3 冲激响应和阶跃响应09
求解
特征方程 RC 1 0
vC (t ) Ae
t RC
1 特征根 RC
(t )
t 0时的解
下面的问题是确定系数A：
直接解法：奇异函数项相平衡原理
已知方程
d vC ( t ) RC vC ( t ) ( t ) dt
冲激响应 求导
代入原方程
vC (t ) Ae (t ) 1 t d vC (t ) A RC A (t ) e (t ) dt RC 注意！
将e(t)→(t)，
r ( t) → h ( t)
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3h( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
求特征根
2 4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
t 3 t
( n1) ( n2 ) 1 h (0 ) , h (0 ) h(0 ) h(0 ) h (0 ) 0 an
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。
定初始条件
an 0
0
方程两端在
0
0
积分
0 n 1 0 0 n ˆ ˆ ˆ t d t a0 0 h(t ) d t 0 (t ) d t h t d t an1 0 h
2)将通解利用推到结论h
(n-1)
(0+ )=1/a n ,
, (n-2)
h(0+ )= h (0+ )= h
(0 + )=0带入求待定系数;
n 1, a n 1, h
冲激响应和阶跃响应
1
R2C
电容器的电流在 t =0 时有一冲激，这就是电容电压突变的原因
3．n 阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t ) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t ) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
R
iC (t)
(t)
C
vC (t)
解答
列系统微分方程：
RC
d
vC (t dt
)
vC
(t
)
(t
)
t 0, t 0
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
0
冲激 t在 t 时0 转为系统的储能（由
体vC现(0）， )
t >0 时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统
的冲激响应。
求解 特征方程
RC 1 0
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
t
t
u(t) (t)d t g(t) h(t) d t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
0
三．齐次解法求冲激响应（补充） 令方程左端系数为 1，右端只有一项 (t)时，冲激响应为
dn d
hˆ(t tn
将h(t), h(t), h(t)代入原方程
A1 A2 (t) 3A1 A2 (t) 0u(t) (t) 2 (t)
根据系数平衡，得
h(t) 1 et e3t u(t) 2
4卷积积分的性质2冲激响应和阶跃响应.pdf
信号与系统 电子教案
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
第2-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
第2-3页
■
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信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
课件：第09章阶跃响应冲激响应卷积积分
R + iL uL L -
iL (0
)
1 L
L
R
iL
1
e
t
L
uL
iLR
R L
t
e
冲激响应为
iL
1 e
L
t
(t)
uL
(t)
R L
e
t
(t)
1 iL L
0
uL δ(t )
t
0
R
t
L
例3 已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。
解（1） t 在 0- ~ 0+间
)]
iC
CU(t)
iCdt q CU
0
t
特例
US
S
i
+
t = 0时合S
uC
–
C
则
i= CUS(t)
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
uC
(0
)
uC
(0
)
1 C
0
i( )d
0
= US
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0)
iC1 e2t (t ) mA
10k
+ 10ε(t 0.5)
-
iC
10k
100F
uC(0-)=0 由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2(t 0.5) (t 0.5) mA
iC e2t (t ) e 2(t0.5) (t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e2t (t ) e2(t 0.5) (t 0.5) mA iC e2t [ (t ) (t 0.5)] [e2t e2(t0.5) ] (t 0.5)
简明电路分析基础_09冲击函数在动态电路分析中的应用
G
iL(t)
L C (t)
Rபைடு நூலகம்
G C
iL(t) L
(t)
u(0–) = 0，u(0+) = 1/C t > 0，冲击电流已经作用完，此时的电路相当于由 RLC 构成的 零输入电路。电流 iL(t) 的响应可以用KCL联系的微分方程表示 d2 iL(t) diL(t) LC + GL dt + iL(t) = isc(t) t>0 dt2
组合成联立方程并求解得 u1(0+) + u2(0+) = Us C1u1(0+) = C2u2(0+)
显然：一旦电容电流的有限性条件不成立，电容电压也会发生 突变。电感的情况类似。
电路分析基础——第二部分：9-3
根据电容的VAR：
3/6
（6-7） （6-7）
u(t) = u(0) + 1 C
∫
∫
p□(t)
(t) 1 A
A(t) 1
(t–t0)
1 Δ
–Δ 2
0
Δ 2
t
0
t
0
t
0
t0
t
电路分析基础——第二部分：9-1
2/2
(t) 的其他工程逼近： (t) 除了矩形窄脉冲 p□(t)以外，还可以 有许多其他形式，如下面所示。关键是所包围的面积为 1。
pΔ(t) 1 Δ (t) 1 –Δ pde(t) 1 2Δ e–|t|/Δ 2Δ
冲激函数在动态电路分 析中的应用
4 冲激响应 5 由阶跃响应求冲激响应
1 冲激函数
2 冲激函数的性质
3 电容电压和电感电流的跃变 6 线性非时变电路对任意输入 的响应——卷积积分
iL(t)
L C (t)
Rபைடு நூலகம்
G C
iL(t) L
(t)
u(0–) = 0，u(0+) = 1/C t > 0，冲击电流已经作用完，此时的电路相当于由 RLC 构成的 零输入电路。电流 iL(t) 的响应可以用KCL联系的微分方程表示 d2 iL(t) diL(t) LC + GL dt + iL(t) = isc(t) t>0 dt2
组合成联立方程并求解得 u1(0+) + u2(0+) = Us C1u1(0+) = C2u2(0+)
显然：一旦电容电流的有限性条件不成立，电容电压也会发生 突变。电感的情况类似。
电路分析基础——第二部分：9-3
根据电容的VAR：
3/6
（6-7） （6-7）
u(t) = u(0) + 1 C
∫
∫
p□(t)
(t) 1 A
A(t) 1
(t–t0)
1 Δ
–Δ 2
0
Δ 2
t
0
t
0
t
0
t0
t
电路分析基础——第二部分：9-1
2/2
(t) 的其他工程逼近： (t) 除了矩形窄脉冲 p□(t)以外，还可以 有许多其他形式，如下面所示。关键是所包围的面积为 1。
pΔ(t) 1 Δ (t) 1 –Δ pde(t) 1 2Δ e–|t|/Δ 2Δ
冲激函数在动态电路分 析中的应用
4 冲激响应 5 由阶跃响应求冲激响应
1 冲激函数
2 冲激函数的性质
3 电容电压和电感电流的跃变 6 线性非时变电路对任意输入 的响应——卷积积分
冲激响应与阶跃响应
(2)h(t)解答的形式
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次 解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
n it h (t) A u (t) ie i1 ②与n， m相对大小有关
( t )
H
h ( t )
(t )
(1) 0 t
冲激响应示意图
h(t )
(t )
LTI系统
h(t ) 0 t
2．卷积积分
任意信号e(t)可表示为冲激序列之和
e t t d e
若把它作用于冲激响应 为 h (t) 的 LTIS, 则响应为
H e t d r ( t ) H e t
H
r ( t )
u ( t)
H
g ( t)
u ( t) 1 0 t u ( t) L T I系 统
g (t)
g ( t)
0
t
图2-11 阶跃响应示意图
脉 冲 信 号 源
u(t)
被 测 试 系 统
g(t)
g(t)
示 波 器
u(t)
阶跃响应的测试
返回本节
对于用线性常系数微分方程描述的系统
若系统的输入 e ，其响应为 。系统方程的右 r t g t t u t ut 端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。
用奇异函数项相平衡法求待定系数
t 3 t h ( t ) A e A e ( t ) 1 2 u
t 3 t t 3 t h ( t ) A e A e ( t ) A e 3 A e u ( t ) 1 2 1 2 1 2
李裕能_第九章一阶电路和二阶电路习题及解答
第九章一阶电路和二阶电路本章意图本章主要介绍动态电路的时域分析法。
主要内容有动态电路及其方程，动态电路的换路定则及初始条件的计算，一阶电路的时间常数，一阶电路的零输入响应，一阶电路的零状态响应，一阶电路的全响应，一阶电路的阶跃响应，一阶电路的冲激响应，二阶电路的零输入响应，二阶电路的零状态响应及阶跃响应，二阶电路的冲激响应和卷积积分。
第一节内容提要一、动态电路电路有两种工作状态——稳态和动态。
描述直流稳态电路的方程是代数方程；用相量法分析交流电路时，描述交流稳态电路的方程也是代数方程。
描述动态电路的方程则是微分方程。
描述一阶电路的方程是一阶微分方程，描述二阶电路的方程是二阶微分方程。
二、动态电路的初始条件1 . 换路当电路中的开关被断开或闭合，使电路的接线方式或元件参数发生变化，我们称此过程为换路。
2 . 换路定则在一般情况下，在换路前后瞬间，电容电流i C为有限值，故有u C(0+) = u C(0 - )在一般情况下，在换路前后瞬间，电感电压u L为有限值，故有i L(0+) = i L(0 - )3 . 如何计算电路的初始条件对于一个动态电路，其独立的初始条件是u C( 0+ )和i L( 0+ )，其余的是非独立初始条件。
如果要计算电路的初始条件，可以由换路前的电路计算出u C( 0 - )和i L( 0 - )，然后令其相等即可求得u C( 0+ )和i L( 0+ )。
最后由换路后的等效电路就可以求出所需要的非独立初始条件。
三、一阶电路的响应1 . 一阶电路的时间常数在换路之后电路中，令独立电源为零，将电路化简成为一个等效电阻与储能元件的并连电路。
对于RC、RL电路的时间常数分别为：τ= RC、τ=L / R。
2 . 一阶电路的零输入响应在换路之后电路中无独立电源，由换路之前储能元件储存的能量在电路中产生响应，称为零输入响应。
3 . 一阶电路的零状态响应在换路之前储能元件没有储存能量，由换路之后电路中独立电源的能量在电路中产生响应，称为零状态响应。
2-2冲激响应和阶跃响应
d 3t 3t [ Ae ( t )] 3 Ae ( t ) 2y(0t )) y(0 ) ( 、 dt 3t 3t 3t Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 2 ( t )
A ( t ) 2 ( t )
b0 (t ) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
h(t ) (3e
2t
6e ) (t ) (t )
3t
2.2.2
阶跃响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单 位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17 所示。
y x (0 ) y(0 ) yx (0 ) y(0 )
零状态响应：令初始状态为零，即
y(0 ) y(0 ) 0
零状态响应 = 齐次解+特解
由系数匹配法定
y(0 )、y(0 )
§２.2 冲激响应和阶跃响应
主要内容： 一、冲激响应的概念及求解 二、阶跃响应的概念及求解 重点：
冲激响应与阶跃响应
根据系数平衡，得
3AA11
A2 A2
h(t)1et e3t u(t)
1
A1
2A2
1
2 1
2
2
小结
再一次明确冲激响应的定义 •零状态； •单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t ，看响应 h(t )。h(t ) 不同说明其系
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d e d 激(t响)t 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
求特征根
2 4 3 0 1 1 ,2 3带u(t)
若把它作用于为 冲 h(t激 )的L响 TI应 S则, 响应为
r(t)H etH etd
卷积积分
eHtd
ehtd
这就是卷积积分，它表示系统的零状态响应。
r z t s e t h t e t h t
3．n阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
冲激响应与阶跃 响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t作) 用下产生的零状态响应，称 为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h (t)
H
(t)
h(t)
(1)
(t) LTI系统 h(t)
0
t
0
t
冲激响应示意图
ห้องสมุดไป่ตู้
2．卷积积分
任意信号e(t)可表示为冲激序列之和
第三讲冲激响应和阶跃响应
13
如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应 分 h (t ) (t 1) ha (t ) 别为： a ， hb (t ) u(t ) u(t 3)
7
例 1
方法二：用间接求解法
已知系统的微分方程为 r (t ) 3r (t ) 2r (t ) e(t ) 4e(t ) 5e(t ) 试求其冲激响应h(t)。 解：先求出方程的特征根：1 1, 2 2 t 2 t h ( t ) ( C e C e )u (t ) 设t单独作用时的冲激响应： 0 1 2 其初始值为：h0 (0 此例说明了用间接法的步骤： 代入上式有： ) 0, h0 (0 ) 1 C1 C2 0,• C1 2C2 1 C1 1, ho C 1 确定单输入 t 的冲激响应 (t) ； 解得： 2 • 利用线性时不变特性求 h0 (t ) (et e2t )u (t ) h(t)。
例 3
电路如图所示，电容C原已充电到3V，现通过强度为 8(t) 的冲激电流, 则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量 为______ B 。 8(t) (A) 7V (B) 4V 2F uC (C) 3V (D) -4V
1 0+ uC （0+） 8 (t )dt uC (0 ) C 0 8 0 跃变量为： uC (0 )-uC (0 ) (t )dt 4V 2 0
由于：
(0 ) h0 h0 (0 ) h0
( n 2)
(0 ) h0
( n 1)
(0 ) 0
h0
( n 1)
(0 ) h0 故得初始值：h0 (0 ) h0
如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应 分 h (t ) (t 1) ha (t ) 别为： a ， hb (t ) u(t ) u(t 3)
7
例 1
方法二：用间接求解法
已知系统的微分方程为 r (t ) 3r (t ) 2r (t ) e(t ) 4e(t ) 5e(t ) 试求其冲激响应h(t)。 解：先求出方程的特征根：1 1, 2 2 t 2 t h ( t ) ( C e C e )u (t ) 设t单独作用时的冲激响应： 0 1 2 其初始值为：h0 (0 此例说明了用间接法的步骤： 代入上式有： ) 0, h0 (0 ) 1 C1 C2 0,• C1 2C2 1 C1 1, ho C 1 确定单输入 t 的冲激响应 (t) ； 解得： 2 • 利用线性时不变特性求 h0 (t ) (et e2t )u (t ) h(t)。
例 3
电路如图所示，电容C原已充电到3V，现通过强度为 8(t) 的冲激电流, 则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量 为______ B 。 8(t) (A) 7V (B) 4V 2F uC (C) 3V (D) -4V
1 0+ uC （0+） 8 (t )dt uC (0 ) C 0 8 0 跃变量为： uC (0 )-uC (0 ) (t )dt 4V 2 0
由于：
(0 ) h0 h0 (0 ) h0
( n 2)
(0 ) h0
( n 1)
(0 ) 0
h0
( n 1)
(0 ) h0 故得初始值：h0 (0 ) h0
冲激响应和阶跃响应
dn ry((tt))
dn1 ry(t )
d ry(t)
d t n an1 d t n1 a1 d t a0ry((tt))
d mef((tt))
d m1ef(t(t))
def((tt))
bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0ef((tt))
看成f(t)
当f (t) (t)时，冲激响应设为h0(t)
)
bm
h( m
1 0
1)
(t
)
b1h0(t ) b0h0 (t )
X
第
总结
12 页
冲激响应的定义
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t，看响应 h(t)，h(t)不同，说明其
系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
第 3 页
2.两者关系
由线性时不变系统的微积分性质知：
(t) h(t)
t
t
(t) ( )d g(t) h( )d
h(t) g(t)
X
第
二、冲激响应
4
页
对于线性时不变系统,可用转移算子表示为
ry((tt) H( p)ef(t(t))
当ef((tt)) (t)时，
h(t) H( p) (t)
p 1 p 2
p n
h(t ) k1 (t) p 1
两边同乘以e 1t，得
h(t) 1h(t ) k1 (t )
e1t h(t ) 1e1t h(t ) k1e1t (t )
e1t h(t ) k1e 1t (t )
e1t h(t )
t 0
冲激响应和阶跃响应
d2 r(t) d r(t)
d e(t)
dt2
4 dt
3r(t)
dt
2e(t)
两个加法器 子系统交换
d2rt
drt
et
2
dt 2
dt
r t
4
d
dt
3
d2rt
drt
et
2 dt 2
dt
r t
4
d
dt
3
d2rˆt
drˆt
et dt 2
dt
4 3
rˆt
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
t
t
u(t) (t)d t g(t) h(t) d t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
0
三．齐次解法求冲激响应（补充） 令方程左端系数为 1，右端只有一项 (t)时，冲激响应为
dn d
hˆ(t tn
的线hˆ性t 组合
例 2-5-3
已知系统 解答
d2 r(t) dt2
4
d r(t) dt
3r (t )
d e(t) dt
2e，(求t )h(t)
。
hˆ(t ) A1et A2e3t u(t )
hˆ0 1 hˆ0 0
将边界条件代入 hˆt 式
AA11A32A2
0
1 Leabharlann A11 2A2
2 rt
d dt
h (n1) (0 ) 1, h(0 ) h(0 ) h(0 ) h (n2) (0 ) 0
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
求冲激响应的几种方法
阶跃响应与冲激响应
解 特征函数为 对冲激响应，强迫函数为
fT (t) e2t (t) e3t (t) (e2t e3t ) (t) f (t) '(t)
则冲激响应为 h(t) fT (t) f(t) (e2t e3t ) (t) '(t) (3e3t 2e2t )(t)
对阶跃响应，强迫函数为 f (t) (t)
激励
f(t)
LTI系统
零状态
响应
yzs (t)
yzs (t) h(t) f (t)
LTI系统对任意信号的零状态响应 ，可以由输入信号与系 统冲激响应的卷积得到。
LTI系统零状态响应
例 3 已 知 某 LTI 系 统 的 起 始 状 态 为 零 ， 当 输 入 为 f (t) (t) 时 ， 输 出 为 y(t) 2e2t (t) (t) 。当输入为 f (t) 3et (t) ，求对应的输出 y(t) 。
信号与系统
第9讲 冲激响应和阶跃响应
冲激响应与阶跃响应的重要性
冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。
冲激信号和阶跃信号是两种典型的基本信号，由这两种 信号引起的零状态响应是线性系统分析中的典型问题。
由于任意信号都可以分解为冲激信号和阶跃信号的组合， 可借助冲激响应和阶跃响应，通过卷积积分求系统对任 意信号的零状态响应。
则阶跃响应为
s(t) fT (t) f(t) (e2t e3t ) (t) (t) (e2t e3t )(t)
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
例2 系统如图所示，讨论以下4种 情况下的冲激响应与阶跃响应
(1)R 4 L 1H C 1 F 3
(2)R 2 L 1H C 1F
(3)R 1 L 1H C 1F
特征根为
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duC iC C dt
uC
当
，q不变
当 0， q不变。
U
0
CU
uC U(t)
iC
t U 0
uC t
0
CU
t
iC
[ ( t ) ( t )]
iC CU(t) iC
CU(t) 0 t
iC dt q CU
特例 US
i
S
+
t = 0时合S C 则 i= CUS(t)
第9章 阶跃响应、冲激响应 和卷积积分的应用
本章重点 9.1 阶跃函数和冲激函数 9.2 阶跃响应 9.3 冲激响应 9.4 电路在任意激励作用下的零状态 响应——卷积积分 9.5 电容电压和电感电流的跃变
本章重点
阶跃函数和冲激函数
阶跃响应和冲激响应 卷积积分 电容电压和电感电流的跃变
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9.1
阶跃函数和冲激函数
(t)
一、单位阶跃函数（unit step function） 1. 定义
0 (t ) 1
def
(t 0) (t 0)
1 0 t
用 ( t )可描述开关的动作。 R + uC – R
US
S
C
US(t)
def
+ uC –
C
开关在t =0 时闭合
t
0
0
0 /2
1
面积不变
令 lim p( t ) ( t )
2. 单位冲激函数的定义
符号
(t)
0 (t ) 0
(t 0) (t 0)
0
t
0
(t )dt 1
0
k(t)
k(t)
δ(t )dt 1
脉冲强度为k的冲激函数
(t )
零状态
(t )
h(t)
0
t
(t ) 0 (t 0) (t )dt 1
分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。
方法一 ： 分两个时间段来考虑
（1） t 在 0- ～ 0+；（2） t > 0+。
例1
已知：uC (0 ) 0。 求： iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和 iC (t)。
uS/V 10 0
0.5
t/s
uS [10 (t ) 10 (t 0.5)] V
10k
由叠加定理有 10k i C1 + 10k 10 ( t )V uC(0-)=0
10 ( t 0.5)V 100F -
+
10k uC(0-)=0
i C2 100F
10k + 10 ( t ) 10k i C1 100F 等效
三、 (t) 和(t)的关系
(t)
(1) 0 (t) 1 0 t t
0 (t 0) = (t) (t )dt 1 (t 0)
t
d ( t ) (t ) dt
返回目录
9.2
阶跃响应
阶跃响应（step response）：阶跃函数激励下电路中产生的 零状态响应。 单位阶跃响应（unit step response）：单位阶跃函数激励下 电路中产生的零状态响应。 阶跃响应的求解：阶跃激励在某一特定时刻（例如作用于 零初始储能的电路，相当于从这一时刻开始，有一直
uC [1 Aet sin(t )] (t ) ( p1,2 j )
uC (0 ) 由起始值 duC dt t 0 可确定二个待定系数。
返回目录
9.3
冲激响应
冲激响应（impulse response）：电路在冲激激励作用 下的的零状态响应。
duC uC C (t ) dt R
C[uC (0 ) uC (0 )] 1
1 1 uC (0 ) uC (0 ) C C
0
0
0 u 0 duC C C dt dt ( t )dt 0 0 dt R
=0
=1
uC不是冲激，仅是有限的跳变。 （2） t > 0+ RC放电 iC C
uC
–
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
0 1 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d = US C 0
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 ) (t t0 )dt 1
e 2 t mA (0 t 0.5 s) i(t ) - 2( t - 0.5) mA ( t 0.5 s) - 0.632e
0.5
t/s
-0.632
二、二阶电路的阶跃响应
以RLC串联电路为例讨论。 L i R + (t ) C + uC 已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0 以uC为变量微分方程为
R t uL (t ) e ( t ) L
iL L
L R
1 iL e L
t
t
R uL i L R e L
1 L
iL
uL
δ( t )
0
t
0
R L
t
例3
已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。 R uS
e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] (e 1 1)e 2( t 0.5) ( t 0.5)
e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] 0.632e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
波形 1 0.368 0 i/mA 分段表示为
例1 1 0
f(t)
(0 t t 0 ) 1 f (t ) 0 (t 0 , t t0 )
t
t0
试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
解 所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。 1 f(t) ( t) t0 t
f (t ) (t ) (t t0 )
d 2 uC duC LC RC uC (t ) dt dt 二阶常系数非齐次微分方程。
上述微分方程等价于：
d 2 uC duC LC RC uC 1 (t 0) dt dt
特征根为 p1,2
R R 2 1 2 ( ) 2 0 2L 2L LC
流电压源（或电流源）作用于该电路。求解该电路相
当于求直流激励作用下的零状态响应。
一、一阶电路的阶跃响应 以下图RC电路为例。t>0时，可用三要素法得到其解。 R i C
t RC
ε( t )
uC (0-)=0
+ uC –
1 0
uC
t
uC (t ) (1 e
1 i (t ) e R
t RC
) (t )
1 R
i
t
t RC
(t )
0
注意
ie
t RC
(t ) 和 i e
(t 0)的区别。
R
(t -t0 )
C
t- t0 RC
+ uC –
若激励在 t = t0 时加入， 则响应从 t = t0开始。 f(t ) (t)
f (t )
1 iC e R
按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不 同形式，uC解答可表示为 过阻尼情况
uC (1 A1e p1t A2e p2t ) (t ) (p1 p2 )
临界阻尼情况
uC (1 A1e t A2te t ) (t ) ( p1 p2 )
欠阻尼情况
5k
5 ( t )
+
i C2 100F
-
uC(0-)=0 uC(0-)=0 RC 100 106 5 103 0.5s
iC1 e2t (t ) mA
10k + 10ε( t 0.5) 10k iC 100F
uC(0-)=0
由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2( t 0.5) (t 0.5) mA
iC e 2 t ( t ) e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e 2 t ( t ) e 2( t 0.5) ( t 0.5) mA
iC e 2 t [ ( t ) ( t 0.5)] [e 2 t e 2( t 0.5) ] ( t 0.5)
=0
Ldi 1
0
0
=1
1 1 L L
i L (0 ) i L (0 )
定性分析
uL (t )
Δ uLd 1
0
0
Δ 1 i L (0 ) i L (0 ) L L
（2） t > 0+ RL放电 R
+ uL 1 iL ( 0 ) L 冲激响应为 1 t iL e ( t ) L
二、单位冲激函数（unit pulse function）
1. 单位脉冲函数
2/
1/
p(t)
1 p( t ) 0
def
(0 t ) (t 0 , t )
p( t )