应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数的图像与性质探究
借助三次函数的图像和导数工具，我们可以轻松地解决三次函数的定义域、值域、对称性、单调性、极值、最值、切线等基本问题。此外，三次函数的内部蕴藏着如下深刻的联系：
【性质1】在三次函数上存在惟一一点，使曲线在该点处的切线与该曲线有惟一的公共点，并且此点即为三次曲线的对称中心.
证明：设 为曲线 上任意一点，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，切线方程为： .
14、已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是．
15、已知函数 ，且 是 的两个极值点， ，则 的取值范围_________.
16、若 ，且 ，则二项式 展开式中常数项为
（16）已知两个不相等的实数 ，满足
，给出一下结论；① 的取值范围为 ；② 的取值范围为 ；③
取值范围为 ；④若 则 的取值范围为
【特别提醒】 仅仅是 为极值的必要非充分条件,一定要检查 的左右两侧导数的符号是否异号,异号才是极值,同号不是极值.
4、求函数 在某个区间上的极值的步骤：
①求导数 ；
②求方程 的根 ；
③检查 在方程 的根 的左右的符号：“左正右负” 在 处取极大值；“左负右正” 在 处取极小值．
【特别提醒】
① 是极值点的充要条件是 点两侧导数异号，而不仅是 ＝0， ＝0是 为极值点的必要而不充分条件．
3、设函数 是 上以5为周期的可导偶函数，则曲线 在 处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5
4、已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5、如果函数 的图像如右图,那么导函数 的图像可能是（）
6、若函数 有三个单调区间，则 的取值范围为
A． B. C、 D.
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
提示：可根据奇函数图像的平移得到。
分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
用导数研究三次函数
用导数研究三次函数一、知识点解析1定义:定义1、形如y =ax3∙bx2∙ CX ∙d(a =0)的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把2 2=4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性2 3 2一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ∙cχ∙d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。
2、对称中心3 2三次函数f (x) = ax bx CX d (^∙-z 0)是关于点对称，且对称中心为点b b(—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
3a 3ay= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题(1)当.∙, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设(2)当厶=b2 _3acX i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。
此时：①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若f(X1) f(X2^0 ,即f(X1)与f(X2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
用导数研究三次函数样本
用导数研究三次函数一、知识点解析1、 定义:定义1、 形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数, 称为”三次函数”。
定义2、 三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ,我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。
2、 三次函数图象与性质的探究:1、 单调性一般地, 当032≤-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数; 当032>-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、 对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称, 且对称中心为点))3(,3(ab f a b --, 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上, 且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。
3、 三次方程根的问题( 1) 当032≤-=∆ac b 时, 由于不等式0)(≥'x f 恒成立, 函数是单调递增的, 因此原方程仅有一个实根。
( 2) 当△=032>-ac b 时, 由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x , 不妨设21x x <, 可知, ))(,(11x f x 为函数的极大值点, ))(,(22x f x 为极小值点, 且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增, 在[]21,x x 上单调递减。
此时:①若0)()(21>⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧, 图象均与x 轴只有一个交点, 因此原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧, 图象与x 轴必有三个交点, 因此原方程有三个不等实根。
三次函数切线斜率
高考中三次函数图象的切线问题浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题.一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线； ab ac k 332->时，有两条不同的切线； ab ac k 332-<时，没有切线； 2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线； ab ac k 332-<时，有两条不同的切线； ab ac k 332->时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当ab x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2ab x a b ac a b f y +-=-- 当ab ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。
2、0<a 时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
三次函数图象性质问题探究
-b+
姨b2-3ac 3a
，
f（＇ x）>0 x<x1 或 x<x2 （f x）在（-∞，x1）和（x2，+∞）
上为增函数.
f（＇ x）>0 x1<x<x2 （f x）在（x1，x2）上为减函数．
之前我们利用三次函数的对称性简化了三次函数
的形式，从而使三次函数单调性的探究变的简单．那么 三次函数单调性的结论对三次函数的其他性质是否也
△x→ 0
△x
=lim［2n-（f x-△x）］-［2n+（f x）］
△x→ 0
△x
=lim （f x）-（f x-△x）
△x→ 0△xFra bibliotek=f（＇ x）.
∴y=f（＇ x）图象关于直线 x=m 对称．
推论 2：y=（f x）是可导函数，若 y=（f x）图象关于直线
x=m 对称，则 y=f（＇ x）图象关于点（m，0）对称．
在 x=x1 处取得极大值，在 x=x2 处取得极小值．
其中
x1=
-b-
姨b2-3ac 3a
，x2=
-b+
姨b2-3ac 3a
．
显而易见，三次函数如果有极值点一定有两个，两
个极值点之间的函数图象是单调的．由极值点函数值的 正负，我们联想到零点存在定理，接下来我们研究三次
函数的零点． 我们依旧考虑刚才研究过的 8 个函数， 其中（1）（2）两个属于单调递增的函数恰有一个零
∴y =ax3-（6ma +b）x2+（12m2a +4mb +c）x -（8m3a +4m2b +
2mc+d-2m），
｛ ｛ b=-6ma-b，
三次函数的图象与性质专题
三次函数的图象与性质三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其例题：已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a>0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．变式1设函数f(x)＝13x 3－a2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0，2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同切线，求实数a 的取值范围．变式2设函数f(x)＝x(x －1)(x －a)(其中a ＞1)有两个不同的极值点x 1，x 2，若不等式f(x 1)＋f(x 2)≤0成立，求实数a 的取值范围．串讲1设f(x)＝13x 3＋x 2＋ax 有两个极值点x 1，x 2，若过两点(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))的直线l 与x 轴的交点在曲线y ＝f(x)上，求实数a 的值．串讲2已知函数f(x)＝13x 3－x 2＋ax ＋b 的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝3x －2.(1)求实数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f(x)＋mx －1是[2，＋∞)上的增函数．①求实数m 的最大值；②当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线y ＝g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(2018·苏州期末)已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋(2－t)x ，f ′(x)为f(x)的导函数，其中t ∈R . (1)当t ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝0有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β.①是否存在实数t ，使得f ′（α）β＝f ′（β）α成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．②若对任意的x ∈[α，β]，不等式f (x )≤16－t 恒成立，求t 的取值范围．(2018·苏锡常镇二模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，a ，b ∈R . (1)若a 2＋b ＝0，①当a ＞0时，求函数f (x )的极值(用a 表示)；②若f (x )有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；(2)函数f (x )图象上点A 处的切线l 1与f (x )的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为l 2，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 2＝4k 1，求a ，b 满足的关系式．答案：(1)①1－5a 327，②存在a ＝－3311；(2)a 2＝3b .解析：(1)①由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 及a 2＋b ＝0，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝a3或x ＝－a .2分由a ＞0知，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫－a ，a3，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，因此，f (x )的极大值为f (－a )＝1＋a 3，f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a327.4分 ②当a ＝0时，b ＝0，此时f (x )＝x 3＋1不存在三个相异零点；当a ＜0时，与①同理可得f (x )的极小值为f (－a )＝1＋a 3，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－5a 327.要使f (x )有三个不同零点，则必须有(1＋a 3)⎝⎛⎭⎫1－527a 3＜0，即a 3＜－1或a 3＞275.6分不妨设f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0，f (x 1)＝x 13＋ax 12－a 2x 1＋1＝0，①，f (x 2)＝x 23＋ax 22－a 2x 2＋1＝0，②，f (x 3)＝x 33＋ax 32－a 2x 3＋1＝0，③，②－①得(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋a (x 2－x 1)(x 2＋x 1)－a 2(x 2－x 1)＝0，因为x 2－x 1＞0，所以x 22＋x 1x 2＋x 12＋a (x 2＋x 1)－a 2＝0，④，同理x 32＋x 3x 2＋x 22＋a (x 3＋x 2)－a 2＝0，⑤，⑤－④得x 2(x 3－x 1)＋(x 3－x 1)(x 3＋x 1)＋a (x 3－x 1)＝0，因为x 3－x 1＞0，所以x 2＋x 3＋x 1＋a ＝0，又x 1＋x 3＝2x 2，所以x 2＝－a3.9分所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即29a 2＋3a ＝－a 2，即a 3＝－2711＜－1，因此，存在这样实数a ＝－3311满足条件.12分(2)设A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，则k 1＝3m 2＋2am ＋b ，k 2＝3n 2＋2an ＋b ，又k 1＝f （m ）－f （n ）m －n ＝（m 3－n 3）＋a （m 3－n 2）＋b （m －m ）m －n ＝m 2＋mn ＋n 2＋a (m ＋n )＋b ，由此可得3m 2＋2am ＋b ＝m 2＋mn ＋n 2＋a (m ＋n )＋b ，化简得n ＝－a －2m ，因此，k 2＝3(－a －2m )2＋2a (－a －2m )＋b ＝12m 2＋8am ＋a 2＋b ，所以，12m 2＋8am ＋b ＋a 2＝4(3m 2＋2am ＋b )，所以a 2＝3b .16分例题1答案：(1)b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)；(2)略；(3)(3，6]．解析：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.∴x ＝－a3时，f ′(x)有极小值， ∵f′(x)的极值点是f(x)的零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 33＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 32＋ b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝0，化简得b ＝29a 2＋3a ，又∵函数f(x)有极值，∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 中Δ＝4a 2－12b ＞0，即a 2＞3b ，即a 2＞23a 2＋9a .a ＞0，解得a ＞3，于是b ＝2a 29＋3a，定义域为(3，＋∞)．(2)证法1：设g(a)＝b 2－3a ＝481a 4－53a ＋9a 2＝181a 2(4a 3－27)(a 3－27)，∵a ＞3，∴g(a)＞0，即b 2＞3a ；证法2：由(1)知ba ＝2a a 9＋3a a，令t ＝a a ，设g(t)＝2t 9＋3t ，则g ′(t)＝29－3t 2＝2t 2－279t 2，当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞ 时，g ′(t)＞0，从而g(t)在⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增，∵a ＞3，∴a a ＞33，∴g(a a)＞g(33)＝3，即b a＞3，即b 2＞3a ；(3)设x 1，x 2为f(x)的两个极值点，令f′(x)＝0得x 1x 2＝b 3，x 1＋x 2＝－2a3，解法1：f(x 1)＋f(x 2)＝x 13＋x 23＋a(x 12＋x 22)＋b(x 1＋x 2)＋2＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋b(x 1＋x 2)＋2＝427a 3－23ab ＋2＝427a 3－23a ⎝ ⎛⎭⎪⎫29a 2＋3a ＋2＝0.记f(x)，f ′(x)所有极值之和为S(a)，f(x 1)＋f(x 2)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝b －a 23，则S(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＋f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝b －a 33＝3a －a 29≥－72，∵S(a)＝－a 29＋3a ，∴S ′(a)＝－2a 9－3a 2＜0对a∈(3，＋∞)恒成立，∴S(a)＝－a 29＋3a 在a∈(3，＋∞)上单调递减，且S(6)＝－72，故3＜a≤6.解法2：首先证明f(x)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3中心对称，f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3＋1－ab 3＋2a 327＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 33＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，所以f(x 1)＋f(x 2)＝0， 下同法一．说明：利用三次函数的对称中心，可使解题有的放矢，事半功倍．变式联想变式1答案：(324，＋∞)．解析：∵f′(x)＝x 2－ax ，设切点为(t ，f(t))，切线方程为y ＝(t 2－at)(x －t)＋13t3－a 2t 2＋1，代入(0，2)化简可得23t 3－a 2t 2＋1＝0，设g(t)＝23t 3－a 2t 2＋1，令g′(t)＝0，有t 1＝0，t 2＝a2＞0.∵过点(0，2)可以作曲线y ＝f(x)的三条切线，∴g(t)＝0有三个不同的根，故⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＜0，解得a ＞324，∴实数a 的取值范围是(324，＋∞)．变式2答案：[2，＋∞)．解法1由f(x 1)＋f(x 2)≤0得x 13＋x 23－(a ＋1)(x 12＋x 22)＋a(x 1＋x 2)≤0，此不等式化为(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]－(a ＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋a(x 1＋x 2)≤0.又f(x)＝x(x －1)(x －a)，所以f′(x)＝3x 2－2(1＋a)x ＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a 2－a ＋1）＞0，x 1＋x 2＝2（1＋a ）3，x 1x 2＝a 3，代入上述不等式并化简得2a 2－5a ＋2≥0，解得a≥2，即实数a 的取值范围为[2，＋∞)．解法2由例题的过程可得出如下结论：函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)是中心对称图形，其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，若f(x)有极值点x 1，x 2，则它的对称中心就是(x 1，f(x 1))和(x 2，f(x 2))的中点，即f （x 1）＋f （x 2）2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a (读者可自行证明)．应用此结论，得到如下解法：f(x 1)＋f(x 2)≤0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3≤0，即a ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13－a ≤0，解得a≥2，即实数a 的取值范围为[2，＋∞)． 串讲激活串讲1答案：0或23或34.解析：∵f′(x)＝x 2＋2x ＋a ，设x 1，x 2为f′(x)＝0的两个根，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ，直线l 的斜率k ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝23(a －1)，直线过(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))．则必过对称中心⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23－a ，则直线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫23－a ＝23(a －1)(x ＋1)．令y ＝0，则x ＝a 2（a －1），又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1），0在曲线上，代入得13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1）3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1）2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2（a －1）＝0，解得a 的值为0或23或34.串讲2答案：(1)a ＝3，b ＝－2；(2)①3；②存在Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13. 解法1(1)由f′(x)＝x 2－2x ＋a 及题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f′（0）＝3，f （0）＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.(2)①∵g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋m x －1，得g′(x)＝x 2－2x ＋3－m （x －1）2，∵g(x)是[2，＋∞)上的增函数，∴g ′(x)≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，即x 2－2x ＋3－m （x －1）2≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，设t ＝(x －1)2∈[1，＋∞)，即t ＋2－m t ≥0对t∈[1，＋∞)恒成立，当m≤0时，t ＋2－m t ≥0对t∈[1，＋∞)恒成立；当m ＞0时，设φ(t)＝t ＋2－mt，t ∈[1，＋∞)，∵φ′(t)＝1＋m t 2＞0，∴函数φ(t)＝t ＋2－mt 在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(t)min＝3－m≥0，即m≤3，又m ＞0，故0＜m≤3，综上，m 的最大值为3.②由①得g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋3x －1，其图象关于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13成中心对称，证明如下：∵g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋3x －1，∴g(2－x)＝13(2－x)3－(2－x)2＋3(2－x)－2＋32－x －1＝－13x 3＋x 2－3x ＋83＋31－x ，∴g(x)＋g(2－x)＝23，此式表明，若点A(x ，y)为函数g(x)在图象上的任意一点，则点B ⎝⎛⎭⎪⎫2－x ，23－y 也一定在函数g(x)的图象上，而线段AB 中点恒为点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，即函数g(x)的图象关于点Q 成中心对称．这也就表明，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，使得过点Q 的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．解法2(1)由f′(x)＝x 2－2x ＋a 及题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f′（0）＝3，f （0）＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，(2)①∵g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋m x －1，得g′(x)＝x 2－2x ＋3－m （x －1）2，∵g(x)在[2，＋∞)上的增函数，∴g ′(x)≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，即x 2－2x ＋3－m （x －1）2≥0对x∈[2，＋∞)恒成立，设t ＝(x －1)2∈[1，＋∞)，即t ＋2－m t ≥0对t∈[1，＋∞)恒成立，∴m ≤t 2＋2t 对t∈[1，＋∞)恒成立，令h(t)＝t 2＋2t ，t ∈[1，＋∞)，可得h(t)min ＝3，故m≤3，即m 的最大值为3.②由①得g(x)＝13x 3－x 2＋3x －2＋3x －1，将函数g(x)的图象向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图象相应的函数解析式为G(x)＝13x 3＋2x ＋3x ，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵G(－x)＝－G(x)，∴G(x)为奇函数，故G(x)的图象关于坐标原点成中心对称，由此即得函数g(x)的图象关于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13成中心对称，这也表明，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，使得过点Q 的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．新题在线答案：(1)增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0，2)；(2)①不存在；②⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2∪(2，11]．解析：(1)当t ＝2时，f ′(x)＝3x 2－6x ，令f′(x)＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；令f′(x)＝3x 2－6x ＜0，得0＜x ＜2，∴f(x)的单调减区间为(0，2)．(2)①由题意知α，β是方程x 2－3x ＋(2－t)＝0的两个实根，∴Δ1＝(－3)2－4(2－t)＞0，得t ＞－14.且α＋β＝3，αβ＝2－t ，α2＋β2＝5＋2t ，由f′（α）β＝f′（β）α成立得，af ′(α)＝βf′(β)，得3(α2＋αβ＋β2)－6(α＋β)＋(2－t)＝0，代入得3(5＋2t ＋2－t)－6×3＋(2－t)＝0，即5＋2t ＝0，解得t ＝－52，因为t ＞－14，∴这样的实数t 不存在．②因为对任意的x∈[α，β]，f(x)≤16－t 恒成立．由α＋β＝3，αβ＝2－t ，α＜β，1°当－14＜t ＜2时，有0＜α＜β，∴对x∈[α，β]，f (x)≤0，∴0≤16－t ，解得t≤16.∴－14＜t ＜2.2°当t ＞2时，有α＜0＜β，f ′(x)＝3x 2－6x ＋(2－t)中Δ＝(－6)2－12(2－t)＝12(t ＋1)＞0.由f′(x)＞0，得x ＜3－3（t ＋1）3或x ＞3＋3（t ＋1）3，此时f(x)存在极大值点x 1∈(α，0)，且x 1＝3－3（t ＋1）3.由题意得f(x 1)＝x 13－3x 12＋(2－t)x 1≤16－t ，将x 1＝3－3（t ＋1）3代入化简得(t ＋1)3（t ＋1）≤72，解得t≤11.∴2＜t≤11.综上，t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2∪(2，11]．。
一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
本文针对的是高考压轴题，一道关于三次函数切线条数的探究，文章字数在
500字左右，不低于三百字，可超出，不高于一千五百字。
三次函数，又名系数多项式函数，是一类广义上常出现的数学函数，它可以完
美地描述各类数据及图形变化，因此在日常工作中经常用到。
同时，把三次函数的切线与一般函数的切线不同一般视为一种特殊情况，也吸引了人们的眼球。
那么，关于三次函数切线条数的探究，该如何来回答呢？首先我们要知道，切
线是三次函数图像的简化版。
把切线条数可以分为三种情况：第一，一次函数和锥形函数有三条切线。
而三次函数，从多次剖分角度看，切线条数至少有三条。
其次，从控制函数角度看，三次函数的切线条数也可以多于三条。
最后，从泰勒级数的点的连接角度看，三次函数的切线条数也可以无限多条，取决于点的连接情况。
综上，把三次函数的切线条数进行总结，可分为三种情况：第一，至少三条切线；第二，控制函数可以多于三条；第三，最多无数条。
这三类情况可以通过相应的实例来加以说明，对三次函数切线条数有一定的了解。
总之，三次函数切线条数的多少，取决于多种情况。
只有在清楚了解三次函数
的特性和表达式的计算关系时，才能够确定三次函数的切线条数。
高中数学三次函数的再探索-对称中心问题
三次函数的再探索-对称中心问题三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。
一．三次函数必定存在对称中心吗？结论：三次函数肯定存在对称中心。
证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。
即证曲线上的任意一点，关于的对称点必在曲线上。
因为对比由（1）有代入(3)有即说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为【例1】求的对称中心解：令为的对称中心为曲线上任意一点，则也在曲线上，即整理得对比有解得所以，的对称中心为二．三次函数对称中心的几何位置问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。
（4）结论是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。
证明：的图象关于对称，则由图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。
图①图②对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是恰为的对称轴。
令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。
综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。
如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。
换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。
【例2】求的极值和对称中心解：令有易求极大值处A，极小值处B而的对称轴，所以对称中心易发现对称中心为A，B的中点三．过三次函数对称中心的切线条数结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。
由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。
应用导数研究三次函数的对称性及切线条数教案
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数湖北省黄冈中学 袁小幼[教学目标]知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3）了解过一点作三次函数图像切线条数的结论.过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类.情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力；（2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美.[教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法.[教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法.[教学方法]探究式教学.[教学手段]多媒体辅助教学.[教学过程]1 三次函数图像的对称性1.1 创设情景，提出问题三次函数3()f x x =是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？观察函数32()321g x x x x =-++的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？1.2 回归通法，探究发现研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出(),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.1.3 追根索源，理解本质为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a--.① 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究2.1 因势利导，引出问题三次函数过对称中心(,())33b b f a a--的切线是如何的？通过实例来探究.32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？2.2 恰当分类，实例探索因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图像上的点（除对称中心）是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数32()321g x x x x =-++为例来探究.先选右边的点(3,0)，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与x 轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答.2.3 归纳总结，得到结论设三次函数图像C 在其对称中心处的切线为l ，M 是三次函数图像所在平面上的一点，则（1）过点M 能且仅能作C 的一条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上下两个区域内（边界除外），或点M 与点N 重合.（2）过点M 能且仅能作C 的两条切线，当且仅当点M 位于C 或l 上（点N 除外）.（3）过点M 能且仅能作C 的三条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左右两个区域内（边界除外）.②根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下：3 小结知识点1 对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.知识点2 切线条数，用图表示.数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化.4 思考（1）对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗？（2）过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对一般函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的证明吗？5 作业设32()f x ax bx cx =++的极小值为2-，其导函数()y f x '=的图像是经过点(1,0),(1,0)-开口向上的抛物线.（1）求()f x 的解析式;（2）若过点(1,)m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.① 管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯.2004（15）.② 贺斌.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论. 数学通讯.2008（3）.。
三次函数图象对称性研究苏州新区第一中学蔡莹问题的提出首先
三次函数图象对称性研究苏州新区第一中学 蔡 莹一、问题的提出首先，我们来看以下两份资料：1、最简单的二次函数2y x =的图象关于y 轴成轴对称图形，而且，一般地，二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠ 经配方可化为 224()24b ac by a x a a -=++ ，其图象也都是轴对称图形，对称轴为2bx a =- 。
2、我们还知道，最简单的三次函数 3y x = 的图象是关于原点 O(0,0) 成中心对称图形的。
这两份材料虽然简单，可是放在一起来看，经类比联想，就大有文章了： 一般地，三次函数图象一定是中心对称图形吗？二、研究探索方案一：一般地，设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象C 为中心对称图形，（一）、对称中心在图象C 上时，可设为00(,())P x f x ，则C 上任意一点11(,())M x f x （1x R ∈）关于00(,())P x f x 的对称点0101(2,2()())M x x f x f x *--都在C 上，也就是说，对任意1x R ∈，恒有01012()()(2)f x f x f x x -=- （1） 由32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，（1） 式化简整理为323211100032232101001000(222)(6)(124)(842)ax bx cx ax bx cx d ax ax b x ax bx c x ax bx cx d ---++++=-++-++++++（2） 比较上式两边各对应项系数可知， 欲使（2）式对1x R ∈均成立，须且只须020032000320006(3)124222842b ax b c ax bx c ax bx cx dax bx cx d -=+⎧⎪=++⎪⎨+++⎪⎪=+++⎩（4） （5） 由（3）式 得03b x a=- （6） 将（6）式分别代入（4）、（5），经化简验证，此时（4）、（5）两式均成立，即03b x a=- 同时满足对称中心的条件（3）、（4）、（5），所以，三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象一定是中心对称图形，对称中心为(,())33b b P f a a--。
高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用
三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根； （3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根； （4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次， 即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1） 当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞−∞为 增函数.（2） 当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ） （1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈； 即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2； （2）D C B A x x x x +=+； （3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值； （2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却 具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题 先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线 例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点， 所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（ ）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误； 又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭． 又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数 （2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>． （1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围． 解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值， 当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−， 因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。
导数在三次函数研究中的应用
导数在三次函数中的应用泉州现代中学 陈永生【摘 要】导数是一个特殊函数，导数的概念、意义与运算；利用导数研究初等函数——图象特征（单调性、最值、函数零点、凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系），导数是分析和解决问题的有效工具。
【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值。
通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当()f x 为三次函数时，通过求导得到的()f x 为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点00(,)P x y 处的切线的斜率0()k f x '=，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
一、用导数求函数某点处的切线与过某点的切线例1、（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程。
（II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程。
分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x 。
（II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2032|0x y x x -='=，则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(020300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(1020300x x x x --=--，即01322030=+-x x ， 解得10=x 或210-=x ；当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ； 当210-=x 时，切点就是)87,21(--P ，切线斜率为45|21='-=x y ，切线为0145=--y x ．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一。
导数专题一：三次函数的图像和性质及应用
导数专题一：三次函数的图像和性质及应用一. 基础知识：(一)引例：1.函数 ()76223+-=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 .2.函数 ()123++=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 . 3.函数 ()2323++-=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 . 4.函数()23+--=x x x f 的单增区间 , 单减区间 , 极值是否存在,如有,极大值是 , 极小值是 .探讨：1.你能根据上述各题的单调性和极值情况画出它们的草图吗?2.能根据上述草图归纳总结三次函数的图像吗？3.能根据上述图像归纳总结三次函数的性质吗？(二)三次函数f(x)=ax ³+bx ²+cx+d(a ≠0)的图象Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 a<0 a>0 '()f x ()f x(三)三次函数的性质1.设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，它的导函数为c bx ax x f ++=23)(2' 且它的判别式)3(434)2(22ac b c a b -=⋅⋅-=∆.,,0)(,02121'x x x x x f <=>∆且的两根分别为设当（1）的单调递增区间是)(,0,0x f a ≤∆> ，无单减区间， 极值（填有或无）(2) 的单调递减区间是)(,0,0x f a ≤∆< ，无单增区间， 极值（填有或无）（3）的单调递增)(,0,0x f a >∆>区间是 ，单减区间是 ，极大值是 ，极小值是 。
（4）的单调递增区间)(,0,0x f a >∆<是 ，单减区间是 ，极大值是 ，极小值是 。
2. 方程()0f x =根的个数设三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，它的导函数为x f (2'且它的判别式)3(434)2(22ac b c a b -=⋅⋅-=∆.,,0)(,02121'x x x x x f <=>∆且的两根分别为设当 (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有 个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有 个实根；(3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有 个不相等的实根；(4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有 个不相等的实根.3.函数的对称性 函数y=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的对称中心是 二.典型例题:例1. (1)已知函数ƒ(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的 图象如右图, 则( )（A ） ()0,∞-∈b （B ） ()1,0∈b （C ）()2,1∈b （D ）()+∞∈,2b,()33b b f a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(3)已知函数ƒ(x)=x 3+ax 2+bx+c,x ∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x ＝±1处的切线斜率均为-1,有以下命题:①f(x)的解析式为ƒ(x)=x 3-4x,x ∈[-2,2]②ƒ(x)的极值点有且仅有一个;③ƒ(x)的最大值与最小值之和等于零.其中正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例2： 已知函数 )(,3)(23R a x ax x x f ∈-+=，且0)1('=f（1）求a 的值及函数的单调区间（2）若[]3,2-∈x ，都有k x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围。
【导数经典技巧与方法】第23讲-导数与三次函数-原卷版
第23讲导数与三次函数知识与方法三次函数在高中数学教材中没有作专门的介绍，然而，关于三次函数的问题在高考、强基和模拟试题中经常出现，它是高考考查的一个十分重要的函数．熟悉三次函数的图象和性质，有助于我们了解此类问题的命题背景，在解决问题中做到游刃有余．本节我们对三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象、性质及应用作一个系统的梳理．1．单调性对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，其导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，判别式Δ＝4(b2−3ac)．(1)若b2−3ac⩽0，则f′(x)⩾0，f(x)在(−∞，＋∞)上为增函数；(2)若b2−3ac＞0，令f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，则此方程有两个不等实根x1，x2，不妨设x1＜x2，则f(x)在(−∞，x1)和(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数．2．图象下图中，x1，x2为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的两个极值点，x0为二阶导数的零点．3．极值由(1)可得以下结论：三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，(1)若b2−3ac⩽0，则f(x)在(−∞，＋∞)上无极值；(2)若b 2−3ac ＞0，则f(x)在(−∞，＋∞)上有两个极值； 且f(x)在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值． 4．零点个数对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)，(1)若b 2−3ac ⩽0，则方程f(x)＝0恰有一个实根，函数f(x)恰有一个零点；(2)若b 2−3ac ＞0，且f (x 1)⋅f (x 2)＞0，则方程f(x)＝0恰有一个实根，函数f(x)恰有一个零点；(3)若b 2−3ac ＞0，且f (x 1)⋅f (x 2)＝0，则方程f(x)＝0有两个不等实根，函数f(x)有两个零点；(4)若b 2−3ac ＞0，且f (x 1)⋅f (x 2)＜0，则方程f(x)＝0有三个不等实根，函数f(x)有三个零点．【点睛】若方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0(a ≠0)的解为x 1，x 2，x 3， 则有ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝a (x −x 1)(x −x 2)(x −x 3) 右边展开，再比较系数可得：{x 1＋x 2＋x 3＝−ba ，x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝ca ，x 1x 2x 3＝−d a ，这个结论叫做三次方程的韦达定理． 5．对称性定理：三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)的图象关于点(−b 3a，f (−b 3a))对称．证法1：点睛意到f(x)可化为：f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝a (x ＋b3a )3＋(c −b 23a )(x ＋b3a )＋f (−b 3a )． 令g(x)＝ax 3＋(c −b 23a )x ，则f(x)＝g (x ＋b3a )＋f (−b3a )，易知g(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x)图象关于点(−b3a ，f (−b3a ))对称．证法2：设y ＝f(x)的图象关于点(m ，n)对称， 取y ＝f(x)图象上任一点A(x ，y)，则A 关于(m ，n)的对称点A ′(2m −x ，2n −y)也在y ＝f(x)图象上， 所以2n −y ＝a(2m −x)3＋b(2m −x)2＋c(2m −x)＋d ，所以y ＝ax 3−(6ma ＋b)x 2＋(12m 2a ＋4mb ＋c)x −(8m 3a ＋4m 2b ＋2mc ＋d −2n) 与y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 比较系数，可得{b ＝−6ma −b ，c ＝12m 2a ＋4mb ＋c ，d ＝−(8m 3a ＋4m 2b ＋2mc ＋d −2n)，解得{m ＝−b3a ，n ＝f (−b3a )， 故f(x)图象关于点(−b 3a，f (−b 3a))对称．【点睛】事实上，f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′′(x)＝6ax ＋2b ，令f ′′(x)＝0⇒x ＝−b 3a．结论说明：任意一个三次函数都有对称中心，且对称中心横坐标就是导函数的对称轴，又是两个极值点的中点，也是二阶导数的零点(拐点就是对称中心)． 6．三次函数解析式(1)一般形式：f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)．(2)已知函数图象的对称中心为(m ，n)，则f(x)＝a(x −m)3＋b(x −m)＋n(a ≠0)． (3)已知函数图象与x 轴的三个交点的横坐标x 1，x 2，x 3，则f(x)＝a (x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)(a ≠0)．(4)已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为x 0，则f(x)＝(x −x 0)(ax 2＋mx ＋n)(a ≠0)．7．切割线性质定理：如图所示，点P 是函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)图象上任意一点(非对称中心)，过P 作切线PT 和割线PAB ，A ，B ，T 均在f(x)的图象上，则x A ，x T ，x B 成等差数列，即x T ＝x A ＋x B2．【证明】设y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)①直线PT：y＝k0x＋m0②直线PAB：y＝kx＋m③联立(1)(2)，得ax3＋bx2＋(c−k0)x＋d−m0＝0④由韦达定理得：2x T＋x P＝−ba联立(1)(3)，可得ax3＋bx2＋(c−k)x＋d−m＝0同理，可得：x A＋x B＋x P＝−b⑤a由(4)(5)得：2x T＋x P＝x A＋x B＋x P，即2x T＝x A＋x B，．故x A，x T，x B成等差数列，且x T＝x A＋x B2推论1：如左下图所示，设P是f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象上任意一点(非对称中心)，过点P作函数f(x)图象的两条切线PT，PA，切点分别为T，P，则x A，x T，x P成等差数列，即x T＝x A＋x P．2推论2：如右上图所示，x1，x2为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的两个极值点，方程f(x)＝f(x1)的两根为x1，x3，Q为f(x)图象的对称中心，则x1，x Q，x2，x3成等差数和x2三等分．列，即区间[x1，x3]被−b3a对于方程f(x)＝f(x2)也有类似的结论，证明过程请读者自行完成．典型例题三次函数图象的对称性【例1】给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f′′(x)是函数y＝f′(x)的导函数，若方程f′′(x)＝0有实数解x＝x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)的图象的对称中心．若函数f(x)＝x3−3x2，则f(12021)＋f(22021)＋f(32021)＋⋯＋f(40402021)＋f(40412021)＝（）A．−8082B．−8080 C.8084 D．8088【例2】已知直线l与曲线y＝x3−6x2＋13x−9相交，交点依次为A，B，C，且|AB|＝|BC|＝√5，则直线l的方程为（）A．y＝−2x＋3B．y＝2x−3C．y＝3x−5D．y＝−3x＋2三次函数切线问题【例3】已知函数f(x)＝2x3−3x．(1)求f(x)在区间[−2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(−1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切?只需写出结论）x3＋ax2−x＋b，其中a，b为常数．【例4】已知函数f(x)＝13，求b的值；(1)当a＝−1时，若函数f(x)在[0，1]上的最小值为13(2)讨论函数f(x)在区间(a，＋∞)上的单调性；(3)若曲线y＝f(x)上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．三次函数的零点问题【例5】已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋bx ＋1，(a ，b ∈R)． (1)若b ＝0，且f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，求a 的值；(2)若a 2＋b ＝0，且f(x)有三个不同的零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．(3)若a ＝1，b ＜0，试讨论是否存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．【例6】设函数f(x)＝(x−a)(x−b)(x−c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{−3，1，3}中，求f(x)的极小值；(3)若a＝0，0＜b⩽1，c＝1，且f(x)的极大值为M，求证：M⩽4．27【例7】已知函数f(x)＝−lnx，g(x)＝x3−ax＋1，a∈R．4(1)当a＝0时，求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调减区间；(2)若函数g(x)存在极值点x0，且g(x1)＝g(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0；(3)用min{m，n}表示m，n中的最小值，记函数ℎ(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，若函数ℎ(x)有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．极值与最值问题x3＋x2＋ax有两个极值点x1，x2，若过两点(x1f(x1))，【例8】已知函数f(x)＝13(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求实数a的值．【例9】已知函数f(x)＝2x3−ax2＋b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为−1且最大值为1?若存在，求出a，b 的所有值；若不存在，说明理由．(p−c)(q−b)＋4bc(b，c∈R是常数)，【例10】在R上定义运算：p⊗q＝−13已知f1(x)＝x2−2c，f2(x)＝x−2b，f(x)＝f1(x)⊗f2(x)．，试确定b，c的值；(1)如果函数f(x)在x＝1处有极值−43(2)求曲线y＝f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点；(3)记g(x)＝|f′(x)|(−1⩽x⩽1)的最大值为M，若M⩾k对任意的b，c恒成立，试求k的取值范围．(参考公式：x3−3bx2＋4b3＝(x＋b)(x−2b)2)强化训练1.．已知函数f(x)＝2x3−ax2＋b．(1)求f(x)的极大值点；(2)当a＝1，b＝0时，若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．x3＋x2＋(m2−1)x(x∈R)，其中m＞0．2．设函数f(x)＝−13(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2．若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范围．3.设函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;(3)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.()32f x x ax bx c =+++()y f x =()()0,0f 4a b ==()f x c 230a b ->()f x4.已知函数. (1)若函数有三个零点分别为,且,求函数的单调区间;(2)若,证明:函数在区间内一定有极值点; (3)在(2)的条件下,若函数,求的取值范围. ()3211(0)32f x ax bx cx a =++>()f x 123,,x x x 123123,9x x x x x ++=-=-()f x ()11,3222f a a c b =->>'()f x ()0,2()f x b a。
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应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
[教学目标]
知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3）
了解过一点作三次函数图像切线条数的结论.
过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证
明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类.
情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力；
（2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美.
[教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法.
[教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法.
[教学方法]探究式教学.
[教学手段]多媒体辅助教学.
[教学过程]
1 三次函数图像的对称性
1.1 创设情景，提出问题
三次函数3()f x x =是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？
观察函数32()321g x x x x =-++的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？
1.2 回归通法，探究发现
研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出(),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
1.3 追根索源，理解本质
为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a
--.i 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究
2.1 因势利导，引出问题
三次函数过对称中心(,())33b b f a a -
-的切线是如何的？通过实例来探究.32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？
2.2 恰当分类，实例探索
因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图
像上的点（除对称中心）是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数32
()321g x x x x =-++为例来探究.先选右边的点(3,0)，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与x 轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答.
2.3 归纳总结，得到结论
设三次函数图像C 在其对称中心处的切线为l ，M 是三次函数图像所在平面上的一点，则
（1）过点M 能且仅能作C 的一条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上下两个区域内（边界除外），或点M 与点N 重合.
（2）过点M 能且仅能作C 的两条切线，当且仅当点M 位于C 或l 上（点N 除外）.
（3）过点M 能且仅能作C 的三条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左右两个区域内（边界除外）.ii
根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下：
3 小结
知识点1 对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
知识点2 切线条数，用图表示.
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化.
4 思考
（1）对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗？
（2）过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对一般函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的证明吗？
5 作业
设32()f x ax bx cx =++的极小值为2-，其导函数()y f x '=的图像是经过点(1,0),(1,0)-开口向上的抛物线.
（1）求()f x 的解析式;
（2）若过点(1,)m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
i管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯.2004（15）.
ii贺斌.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论. 数学通讯.2008（3）.。