平方差逆用(2)李献娥

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逆用平方差公式

=（3.66+2.66）（3.66－2.66） =6.32×1 =6.32
当堂检测
（1）9（x–y）2–（x+y）2
（2）2x3–8x
（3）x2 (m n) y2 (n m)
（4） a5 a 温解馨提（示1）：原1、式平=方4（差2公x-式y运)(用x-的2y条)件：（1）二成项平式方(2（的)原形2）式式两=项2x的(x符+2号)(相x反-2（) 3）每项都能化 2、公(式3)中原的式a=和（b可x+以y)是(x单-项y)式(m，-n也)可以是多项
式
3、各(项4)都原有式公=因a(式a2，+1一)(般a+先1提)(公a-因1)式。
拓展延伸
1、已知n是整数，证明：(2n 1)2 1
能被8整除。
证明：∵（2n+1)2-1=(2n+1+1)(2n+1-1) =(2n+2) ×2n =4n(n+1)
又∵n为整数 ∴n或n+1,必有一个是偶数 ∴(2n+1)2-1能被8整除
预习检测
（1）（x+3）（x–3） = x2-9
；
（2）（4x+y）（4x–y）= 16x2-y2
；
（3）（1+2xBiblioteka （1–2x）= 1-4x2；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= 9m2-4n2
．
（1）9m2–4n2= (3m+2n)(3m-2n) ；
（2）16x2–y2= (4x+y)(4x-y) ；
2、计算
(1
1 22
)(1
1 32
)(1
1 42

七年级数学下册12.1平方差公式“四抓”帮你学好平方差公式素材青岛版(new)

“四抓”帮你学好平方差公式平方差公式（a+b）（a－b)=a2－b2是乘法运算中的一个重要公式，同学们一定要熟练掌握好它,要想学好、用好平方差公式，学习中应抓住以下四点．一、抓住公式的结构特点公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项是完全相同，另一项互为相反数;右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方．为了帮助大家记忆,可以编成如下“口诀”：求同存异平方差,全靠符号分两家；同平方，异平方,再把同方减异方．二、抓住公式中字母的广泛性公式中字母a、b具有广泛性，它们可以是具体的数,也可以是单项式或多项式．抓住了字母的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式．三、抓住几种常用的变换将所给式子进行适当变换,是灵活使用公式的前提，常用的变换有以下几种:1．位置变换:如计算(2b+3a) （3a－2b）= (3a +2b） (3a－2b） = (3a)2－(2b)2=9a2－4b2．2．系数变换：如计算(2x+4y）（3x－6y)=2 （x+2y）·3 (x－2y）=6（x2－4y2）= 6x2－24y2．3．符号变换:如计算（－2a－3b）（2a－3b)=－(2a+3b）（2a－3b）=－(4a2－9b2)=－4a2+9b2．4．指数变换:如计算(a+b）2（a－b)2=［（a+b) (a—b)]2=(a2－b2)2= a4－2a2b2+b4．5．分组变换：如计算（3－a +2b+c) (3+a－2b+c)=[ （3+c)－(a－2b）］ [ （3+c）+(a －2b）]= (3+c) 2－（a－2b)2=9+6c+c2－a2+4ab－4b2．6．拆项变换:如计算20062－2008×200420062－（2006+2）( 2006－2）=20062－（ 20062－22) =20062－20062+22 =4．四、抓住公式的正逆应用学习平方差公式时,我们不但要掌握其正向应用，还要适当地逆向公式，有时正逆联手使用可以达到变繁为简，变难为易的效果．如计算（a+b)2（a－b)2－(2a+b）2（2a－b)2=[（a+b) （a－b)］2－［(2a+b）（2a－b)］2=(a2－b2）2－(4a2－b2)2=（a2－b2－4a2+b2） (a2－b2+4a2－b2）=－3a2（5a2－2b2）=－15a4+6a2b2．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

七年级数学下册 11.3 公式法平方差导学案(无答案)(新版)冀教版

预习导航：（预习课本P148-1149,完成下列问题。）
1．公式法分解因式在此公式是指什么公式？
2．什么条件下可以用平方差公式进行因式分解？
一、创设情境、引入课题
1、让学生一起来探索新的问题：x -1怎么样进行因式分解？
2、如何将多项式x -1和9x -4分解因式？
二、一起探究，解决问题
你能像分解x -1和9x -4一样将下面的多项式分解因式吗？
⑴p -16=;⑵y -4=;
⑶x - =;⑷a -b =.
实际上，把平方差公式
(a+b)(a-b)=a -b
逆过来，就得到
a -b =(a+b)(a-b)。
那么，一个整式只要表示成两个整式的平方差的形式，就可以用平方差公式分解因式，这种分解因式的方法叫做。
例1把下列各式分解因式：
⑴3 6－a ；⑵4x - 9y .
解：
例2把下列各式分解因式：
⑴a -16a；⑵2ab ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2ab.
解：
例3：1)（3m-1）2-9 2)(x+y)2-(2x+y)2
三、随堂练习
1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（）
A．－x2－4y2 B．9x2+4y2
C．－x2+4y2D．x2+（－2y）2
2.分解因式：25－(m+2p)2=
3．分解因式：2ax2－2ay2=
公式法-平方差
学习过程
知识目标：经历用平方差公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义。
能力目标：会用平方差公式法对多项式进行因式分解。
情感目标：体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。
重点
逆用平方差公式和完全平方公式分解因式；

湘教版数学七年级下册_平方差公式的运用技巧

平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解：原式=(－3a)2－(2b)2=9a2－4b2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2.二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算：(a+2)2－(a－2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009.2.提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；3.分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028.4.指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mnnm aa=把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除.5. 结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.6. 逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.1. 拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992，(2)(a+3)(a－1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a2+2a+1－4= a2+2a－3.2 .添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004. （2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x－y)2(x+y)2(x2+y2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x－y)(x+y)(x2+y2)] 2=[(x2－y2)(x2+y2)] 2=(x4－y4)2=x8－2x4y4+y8.4.结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a－b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a－b)[(a+b)+2]=(a－b)(a+b)+2(a－b)=a2－b2+2a－2b.。

平方差公式的顺用、逆用与活用

平方差公式的顺用、逆用与活用平方差公式是初中义务教育阶段的重点内容，平方差公式学得好坏直接影响着后续的完全平方公式等的教学。

万事开头难，学好平方差公式，将为后面的公式学习打下坚实的基础。

在新课程理念下，如何实施好平方差公式的教学呢？一、深入学习新课程理念“数学教学应该面向全体学生，提高学生的数学素养”是数学课程改革的核心理念。

教师要教好数学，就要扎实每个学生的基础，提高数学的趣味性，通过创设问题情景，启发学生思维，让学生积极参与到数学活动中来，进而实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。

我们只有认真学习新课程理念，才能改变我们教师落后的教学现状；只有认真实施新课程标准，才能使学生真正成为学习的主人。

二、深挖教材，备好讲学稿教师可利用网络资源，查阅相关资料，吃透教材，根据学生实际，确定好教学目标、重难点、关键点，确定好教法、学法，立足教材，设计出切合实际的讲学稿，并根据讲学稿制作出配套的课件，使教学活动真正做到教学和一、教学相长，为有效实施高效课堂打好基础。

三、努力细化好教学过程教学过程的基本规律是：间接经验与直接经验相结合，教师主导作用与学生主体作用相统一，掌握知识和发展智力相统一，传授知识与思想品德教育相统一。

过程决定结果，细节决定成败，因此，我们教师要围绕教学的每一个环节，抓住重点，认真落实教学计划，努力激发学生的学习热情，使课堂真正成为学生学习的主战场、主阵地。

（一）复习旧知，提出问题让学生回顾整式乘法中多项式与多项式的乘法。

1.文字表述多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2.符号表示（m+a）（n+b）=mn+mb+an+ab。

3.思考问题以上二项式乘以二项式，结果是四项式，那么有没有可能结果是两项呢？（二）探究规律，发现新知学生通过教师引导，小组合作交流，探究得出平方差公式，再通过教师启发点拨，亲自验证公式并总结公式的结构特征。

七年级数学下册 12.1 平方差公式“四抓”帮你学好平方差公式素材 (新版)青岛版

“四抓”帮你学好平方差公式平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是乘法运算中的一个重要公式，同学们一定要熟练掌握好它，要想学好、用好平方差公式，学习中应抓住以下四点．一、抓住公式的结构特点公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项是完全相同，另一项互为相反数；右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方．为了帮助大家记忆，可以编成如下“口诀”：求同存异平方差，全靠符号分两家；同平方，异平方，再把同方减异方．二、抓住公式中字母的广泛性公式中字母a、b具有广泛性，它们可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．抓住了字母的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．三、抓住几种常用的变换将所给式子进行适当变换，是灵活使用公式的前提，常用的变换有以下几种：1．位置变换：如计算(2b+3a) (3a－2b)= (3a +2b) (3a－2b) = (3a)2－(2b)2=9a2－4b2．2．系数变换：如计算(2x+4y) (3x－6y)=2 (x+2y)·3 (x－2y)=6(x2－4y2)= 6x2－24y2．3．符号变换：如计算(－2a－3b) (2a－3b)=－(2a+3b) (2a－3b)=－(4a2－9b2)=－4a2+9b2．4．指数变换：如计算(a+b)2(a－b)2=[(a+b) (a-b)]2=(a2－b2)2= a4－2a2b2+b4．5．分组变换：如计算(3－a +2b+c) (3+a－2b+c)=[ (3+c)－(a－2b)] [ (3+c)+(a－2b)]= (3+c) 2－(a－2b)2=9+6c+c2－a2+4ab－4b2．6．拆项变换：如计算20062－2008×200420062－(2006+2)( 2006－2) =20062－( 20062－22) =20062－20062+22 =4．四、抓住公式的正逆应用学习平方差公式时，我们不但要掌握其正向应用，还要适当地逆向公式，有时正逆联手使用可以达到变繁为简，变难为易的效果．如计算(a+b)2(a－b)2－(2a+b)2(2a－b)2=[(a+b) (a－b)]2－[(2a+b) (2a－b)]2=(a2－b2)2－(4a2－b2)2=(a2－b2－4a2+b2) (a2－b2+4a2－b2)=－3a2 (5a2－2b2)=－15a4+6a2b2．。

平方差公式的逆用

平方差公式的逆用嘿，咱们来聊聊平方差公式的逆用！在数学的奇妙世界里，平方差公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。

而这平方差公式的逆用啊，更是妙不可言！先来说说平方差公式，它是(a + b)(a - b) = a² - b²。

那逆用是啥呢？就是把 a² - b²变成 (a + b)(a - b) 。

这就好比你有一堆打乱的拼图，正着拼能看出个图案，反着拼也能有新发现。

给大家举个例子，比如计算 99² - 1 。

要是直接算，那可有点费劲。

但咱用平方差公式的逆用，就轻松多啦！99² - 1 可以写成 (99 + 1)(99 - 1) ，也就是 100×98 ，答案一下子就出来了，是 9800 。

还记得我之前教过的一个学生小明，这孩子一开始对平方差公式的逆用那是一头雾水。

有一次做作业，遇到一道题：101² - 99²。

他在那苦思冥想了半天，草稿纸都快写满了，还是没算出来。

我走过去一看，就问他：“小明，你想想平方差公式的逆用呀。

”他一脸迷茫地看着我。

我就耐心地给他讲：“你看，这 101² - 99²不就可以写成 (101 + 99)(101 - 99) 嘛。

”他听了之后，恍然大悟，一拍脑门说：“哎呀，老师，我怎么没想到！”从那以后，小明对平方差公式的逆用算是开窍了，做题的速度和准确率都提高了不少。

其实啊，平方差公式的逆用在很多地方都能派上用场。

比如说化简式子，分解因式，解决实际问题等等。

再比如说，在几何图形中，有时候要求一个不规则图形的面积，咱们就可以通过巧妙地运用平方差公式的逆用，把图形进行分割或者组合，从而找到解题的关键。

还有在生活中，也能找到平方差公式逆用的影子。

就像你去买东西，商家做促销，一件商品原价是 a 元，现在打 b 折出售，那你能很快算出优惠了多少钱，这其中说不定就用到了平方差公式的逆用呢。

湘教版七下数学-抓特征用公式

抓特征用公式刘秀娥一、紧扣特征，对号入座例 1 计算：（- 2m - 5）（2m - 5）．分析：本题的两个因式中 - 5完全相同，而 – 2m 与2m 互为相反数，故可用平方差公式计算．- 5是公式（a + b ）（a - b ）= a 2 – b 2中的a ，2m 则是公式中的b ．解：（- 2m - 5）（2m - 5）=（- 5 – 2m ）（- 5 + 2m ）=（- 5）2-（2m ）2= 25 – 4m 2 ．例2 计算：（-2x + 5y ）2.分析：若运用公式（a + b ）2 = a 2 + 2ab + b 2，则-2x 是公式中的a ，5y 是公式中的b ；若运用公式（a - b ）2 = a 2 - 2ab + b 2，则原式变形为（5y - 2x ）2，5y 是公式中的a ，2x 是公式中的b .解法1：（-2x + 5y ）2=（-2x ）2 + 2·（-2x ）·5y +（5y ）2= 4x 2 - 20xy + 25y 2 .解法2请同学们自己完成！二、剖析特征，巧妙变形例 3 计算：（a + b + c ）（a - b - c ）.分析：两个因式中的a 相同，而b ，c 的符号相反，故可巧妙变形，先用平方差公式，再用完全平方公式，简捷求解.解：（a + b + c ）（a - b - c ）= [a +（b + c ）][a -（b + c ）]= a 2 -（b + c ）2= a 2 – b 2 - 2bc – c 2 .三、调整顺序，连续使用例4 计算：（a -21）2（a 2 +41）2（a +21）2 . 分析：本题若先利用完全平方公式展开再相乘，理论上可行，实际运算过程相当复杂. 但若调整（a -21）、（a 2 +41）、（a +21）三者的顺序，逆用“积的乘方运算性质”，再利用平方差公式、完全平方公式进行连续计算，则巧妙简捷. 解：（a -21）2（a 2 +41）2（a +21）2= [（a -21）（a +21）（a 2 +41）]2 = [（a 2 -41）（a 2 +41）] 2 =（a 4 -161）2 =（a 4 ）2 - 2a 4×161+（161）2 = a 8- 81a 4 +2561 .。

《逆用完全平方和（或差）公式进行因式分解》教学反思

《逆用完全平方和(或差)公式进行因式分解》教学反思《逆用完全平方和(或差)公式进行因式分解》教学反思公式法进行因式分解，除了逆用平方差公式之外，还有两个相对来说较难的公式逆用即完全平方和（或差）公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。

逆用完全平方公式进行因式分解关键同样是搞清完全平方公式的结构特点：等号左边是一个二项式的平方，等号右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中那两项乘积的2倍。

或等号右边记作：首平方，尾平方，2倍之积中间放。

有了前边学习完全平方公式为基础，逆用完全平方公式进行因式分解只需要“颠倒使用”即可：等号右边作为“条件”，左边作为“结果”，但对学生来说，还是相当困难的。

逆用完全平方公式进行因式分解的步骤可分三步：1、写成“首平方，尾平方，2倍之积中间放”的形式2、按公式写出“两项和的平方”的形式，即因式分解3、两项和中能合并同类项的合并。

例题及练习的'呈现次序尽量本着先易后难、先单一后综合的螺旋上升原则。

1、a、b代表单独单项式，如：（1）m2-6m+9（2）4a2-4ab+b22、a、b代表多项式，如：（1）（a+2b）2-8a（a+2b）+16a2（2）4（x+y）2+25-20（x+y）在此要有“整体思想”的意识，注意：相同部分作为一个整体然后再套用公式。

3、先提取公因式，再用完全平方和(或差)公式如：（1）ay2-2a2y+a3（2）16xy2-9x2y-y24、先转化一步，再用完全平方和(或差)公式，如：（1）-m2+2mn-n2（2）3a2+6a+27尽管课前进行了充分的准备工作，但是学生作业中仍暴露出许多问题，如部分学生直接感到无从下手。

逆用平方差公式

逆用平方差公式以逆用平方差公式为标题，我们来探讨一下这个有趣的数学公式。

平方差公式在数学中是非常常见的一个公式，它的正常用法是用来计算两个数的平方之差。

但是，在逆用平方差公式中，我们将反过来思考，通过已知一个数的平方和与差，来推导出这两个数的值。

让我们来回顾一下平方差公式的正常用法。

平方差公式的表达式为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

这个公式告诉我们，两个数的平方和等于它们的和与差的乘积。

例如，我们已知一个数的平方和为25，差为3，我们可以通过平方差公式来计算出这两个数的值。

现在，我们来看看如何逆用平方差公式。

假设我们已知一个数的平方和为25，差为3，我们要推导出这两个数的值。

假设这两个数分别为x和y。

根据平方差公式，我们可以得到以下两个等式：1. x^2 + y^2 = 252. x - y = 3现在我们要从这两个等式中解出x和y的值。

首先，我们可以从第二个等式中解出x的值。

将第二个等式变形为x = y + 3，并代入第一个等式中，得到(y + 3)^2 + y^2 = 25。

展开计算这个方程式，得到y^2 + 6y + 9 + y^2 = 25。

合并同类项，得到2y^2 + 6y - 16 = 0。

接下来，我们可以使用一元二次方程的求根公式来解这个方程。

方程的一元二次方程形式为ax^2 + bx + c = 0，对比一下我们的方程，可以得到a = 2，b = 6，c = -16。

带入求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，我们可以得到y的两个解。

计算得到y = -4或y = 2。

将y的两个解分别代入x = y + 3，我们可以得到对应的x的两个解。

当y = -4时，x = -1；当y = 2时，x = 5。

所以，根据逆用平方差公式，我们可以得到两个数分别为-1和-4，或者5和2。

逆用平方差公式在解决实际问题时也有很多应用。

例如，在几何学中，我们可以利用逆用平方差公式来计算两个点的坐标，已知它们的距离和中点的坐标。

平方差公式的逆向应用

平方差公式的逆向应用
黄细把
【期刊名称】《初中生数学学习：初一版》
【年(卷),期】2004(000)003
【摘要】把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2倒过来写得a2-b2=(a+b)(a-b).【总页数】3页(P31-33)
【作者】黄细把
【作者单位】江西省上高县627信箱学校
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.平方差公式应用 [J], 袁占海
2.平方差公式的逆向运用 [J], 吴健
3.平方差公式在初中数论问题中的应用 [J], 邓超
4.浅谈平方差公式和应用比例的推广 [J], 花星远;
5.探究——发现在解决教学重点、难点中的应用——以“平方差公式”课堂教学实录（二）为例 [J], 杨东兴
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巧变妙用平方差

巧变妙用平方差
李厚明
【期刊名称】《时代数学学习：8年级》
【年(卷),期】2006(000)001
【摘要】乘法公式中的平方差公式（n＋b）（a-b）=a2-b2是进行化简的重要工具，在学习时，我们不仅要熟知公式本身，还要了解其变式。

了解这些变式可以帮助我们更快地解题、更好地理解平方差公式，下面举例加以分析。

【总页数】3页(P15-17)
【作者】李厚明
【作者单位】江苏省海安县韩洋中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.平方差公式的妙用举例 [J], 刘礼红
2.斜率结构的巧变妙用 [J], 蒋湘华
3.平方差公式的妙用 [J], 李爱芸;
4.巧将“空白”变实惠——例谈阅读教学中文本留白的妙用 [J], 陈广东;
5.平方差公式的妙用 [J], 胡怀志
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务川仡佬族苗族自治县第二中学七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法教材说明素材新版冀教版5

公式法第一课时学生经历用平方差公式分解因式的探索过程，学会用平方差公式分解因式，体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。

1．弄清平方差公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

平方差公式：=.这里可以表示数、单项式、多项式.①左侧为两项；②两项都是平方项；③两项的符号相反.2．学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解二项式时，关键的步骤是把看作，把9看作，再把看作a，把3看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：也就得到分解的方法：即3．掌握好运用公式团式分解，首先要学会幂的运算性质的逆方向的应用．由于乘法公式中多处出现（或）和（或），所以被分解的多项式中，必须有可以化归为一个式子的平方成立方的项．这时，就要逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：，①．②例如，前例中，把看作的过程，依据的是：只有弄清这些变形的细节，了解每步变形的依据，才是真正理解了分解变形的逻辑，掌握了分解的方法．第二课时类比第一课时，学生经历用完全平方公式分解因式的探索过程，学会用完全平方公式分解因式，再次体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。

1．弄清完全平方公式的形式和特点，熟练地掌握公式.完全平方公式:这里可以表示数、单项式、多项式.公式的特点是:①左侧为三项:②首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；③中间项是首末两项的底数的积的2倍。

2．继续学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解时，关键的步骤是把看作，把看作，从而中间“项”就可以看作；再把看作a，把看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：于是就可以依公式直接写出分解的结果也就是有3．怎样处理分数系数的多项式的因式分解？一般地说，多项式的因式分解是在系数是整数的多项式中进行的，但有时，对系数中含有分数（或小数）的多项式也可以进行这样的变形．这时，将有多种处理方法，分解结果也可能有不同的形式．例如，把下列多项式分解因式：（1）（2）解：（1）提出分数，使括号内的多项式是整数系数，再作分解，有（2）解法一：由于，提出分数，使括号内的多项式是整数系数的多项式，再作分解，有解法二：直接运用公式得可以看到，当多项式含有分数系数时，可以把一个适当分数提到括号外，使括号内是整数系数的多项式，然后作分解；如果可能，也可以直接作分解的变形，在第（1）小题中，事实上，有这两种解法的结果是相同的．由分析可知，当把分数提到括号里面时，只需把原多项式各项的系数分别乘以（即的倒数），就是括号内多项式相应各项的系数．一般地，为了使系数是分数的多项式的分解有唯一的结果，我们不妨规定，首先提一个适当的分数于括号外，使得括号内化为整系数的多项式，再作进一步的分解．例如，把多项式分解因式：解：章末复习一、复习导入1.课题导入：同学们，我们学完整式的加减这章后，你的印象如何？掌握得怎么样？还有哪些不够清楚？下面我们一起来进行本章的复习和小结.2.三维目标：（1）知识与技能①使学生对本章内容的认识更全面、更系统化.②进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能(主要是计算)的掌握.（2）过程与方法通过总结、计算训练，培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力.（3）情感态度认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.学习重、难点：重点：本章学过的有关概念及运算法则.难点：整式的加减运算及化简求值.二、分层复习1．复习指导:(1)复习内容:教材第74页到第76页复习题2之前的内容.(2)复习时间:8分钟.(3)复习要求:对照小结归纳的内容边回忆边看书边交流总结.(4)复习参考提纲:②表示数或字母的积的式子叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式次数.③几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，不含字母的项叫做常数项.④所含字母相同，而且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项的法则是合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.⑤去括号的法则是如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.⑥整式加减计算的一般步骤是如果有括号的先去括号，再合并同类项.⑦求整式的值的一般步骤是：先将式子化简，再代入数值进行计算.⑧相互交流一下学习本章知识的过程中应注意哪些问题？易错易混易漏点有哪些？2.自主复习：学生根据复习指导进行复习.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：教师巡视课堂了解学生的自学进程及自学中存在的问题.②差异指导：对个别学生在小结复习的方法上或知识梳理整合方式上进行指导，帮助查找知识整理中的遗漏和忽视点.(2)生助生：引导学生相互交流帮助查找复习中掌握不足的地方，解决一些学习疑难问题.4．强化复习：(1)知识结构网络图.(2)知识点及其相互联系.(3)运算法则及解题步骤要求.1．复习指导：(1)复习内容：典例分析.(2)复习时间：8分钟.(3)复习方法：按例题的分析引导，积极思考，并尝试动手解答.(4)复习提纲：例1：已知3(x＋1)2+2|y－1|=0，求多项式(x2+4xy-2y2)-(x2+y)-2(y2+xy)-12(x-8y2)的值.分析：(1)求值题一般都要先把相应的式子化简，然后再代值计算；(2)本例并未直接告诉字母的值是多少，能求出它们吗？根据什么来求？例2：某市居民使用自来水按如下标准收费：若每户月用水不超过12 m3，按a元/m3收费；若超过12 m3，但不超过20 m3，则超过部分按1.5a元/m3收费；若超过20 m3，超过部分按2a元/m3收费，根据表中户月用水量n的取值，把相应的收费金额填入下表中.分析：充分理解题意，按要求列出相应代数式，然后再化简.2.自主复习：参考复习指导进行复习.3．互助复习：（1）师助生：①明了学情：教师深入课堂了解学生的学习进度，遇到的困难和出现的问题(去括号、合并同类项、求值格式、列式等方面)②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内相互纠错，改正答案.4．强化复习：（1）展示各小组学习成果.（2）练习：①计算：(4x2-5xy)-(13y2+2x2)+2（3xy-14y2-112y2）解：原式=4x2-5xy-13y2-2x2+6xy-12y2-16y2=4x2-2x2-5xy+6xy-13y2-12y2-16y2=2x2+xy-y2②先化简，再求值：2(x3-2y2)-(x-2y)-(x-3y2+2x3)，其中x=-3，y=-2. 解：原式=2x3-4y2-x+2y-x+3y2-2x3=-2x-y2+2y当x=-3,y=-2时，原式=-2×（-3）-（-2）2+2×（-2）=-2.③某超市出售一种商品，其原价为a元，现有三种调价方案：一是先提价20%，再降价20%；二是先降价20%，再提价20%；三是先提价15%，再降价15%，用这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复为原价？解：方案一：a×（1+20%）×（1-20%）=0.96a方案二：a×（1-20%）×（1+20%）=0.96a方案三：a×（1+15%）×（1-15%）=0.9775a方案一与方案二调价结果一样，方案三调价结果比方案一、方案二高，最后都没有恢复原价.三、评价1．学生的自我评价：谈谈自己在本节课学习中的成果和不足.2．教师对学生的评价：(1)表现性评价：教师对本节课学习中学生的积极表现及存在的问题进行归纳总结.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3．教师的自我评价(教学反思)：（1）本节课是全章的复习课.首先是复习本章的主要概念和法则，一上课，就进行课堂提问：“关于单项式，你都知道什么？”，“关于多项式，你又知道什么？”.通过学生的回答，充分地调动学生积极性，使学生主动参与到课堂中来.而且这样的问题具有一定的开放性，可使学生的思维发散，把他们所知道的有关内容都说出来.通过对一个问题的多个侧面地回答，可进一步加深学生对基础知识的理解与重视，又可培养他们主动分析问题的习惯.（2）对于应该强调的问题，如果只是泛泛而谈，效果不大.因此，在复习了本章的主要知识后，指导学生练习，通过具体的题目，强调有关的问题，将给学生留下更深的印象，学习效果会更好.一、基础巩固1.（10分）对于式子-7πx2yz，下列说法正确的是（D）A.它的系数为-7B.它的次数为3C.它的次数为5D.它的系数为-7π2.（20分）多项式-3x2-6xy+1的各项分别为（B）A.-3x 2,6xy,1B.-3x 2,-6xy,1 C.-3x 2,-6xy,-1 D.3x 2,6xy,1 3.（20分）计算： (1)(4x 2y-5xy 2)-(3x 2y-4xy 2)解：原式=4x 2y-5xy 2-3x 2y+4xy 2=x 2y-xy 2(2)（5a 2+2a-1）-4(3-8a+2a 2)解：原式=5a 2+2a-1-12+32a-8a 2=-3a 2+34a-13 (3)5a 2-［a 2+(5a 2-2a 2)-2(a 2-3a)］解：原式=5a 2-(a 2+5a 2-2a 2-2a 2+6a) =5a 2-a 2-5a 2+2a 2+2a 2-6a =3a 2-6a(4)15+3(1-a)-(1-a-a 2)+(1-a+a 2-a 3) 解：原式=15+3-3a-1+a+a 2+1-a+a 2-a 3=18-3a+2a 2-a34.（20分）先化简，再求值. 5x 2+4-3x 2-5x-2x 2-5+6x ，其中x=-3 解：原式=(5-3-2)x 2+(-5+6)x-1=x-1. 当x=-3时，原式=-3-1=-4.二、综合应用5.（10分）（1）体校里男生人数占学生总数的60%，女生人数是a,学生总数是多少？（2）体校里男生人数是x,女生人数是y,教练人数和学生人数的比是1∶10,教练人数是多少？解：（1）学生总数是52a. （2）教练人数是10x y6.（10分）一种商品每件成本为a 元，原来按成本增加22%定出价格，每件售价多少元？现在由于库存积压减价，按原价的85%出售，现售价多少元？每件还能盈利多少元？解：售价为a ×（1+22%）=1.22a(元) 现售价为1.22a ×85%=1.037a(元) 每件还能盈利：1.037a-a=0.037a(元)三、拓展延伸7.（10分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简b-a+a+b-c-b-c+a+c解：由题意b<c<0<a原式=-(b-a)-(a+b)+c+(b-c)+(a+c)=-b+a-a-b+c+b-c+a+c=a+c-b多项式乘以多项式一、选择题计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是( )A．4a2＋9b2 B．4a2－9b2 C．4a2＋12ab＋9b2 D．4a2－12ab＋9b2若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为( )A．a＋b B．－a－b C．a－bD．b－a计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是( )A．(2x－3y)2 B．(2x＋3y)2 C．8x3－27y3 D．8x3＋27y3 (x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则( )A．p＝q B．p＝±q C．p＝－qD．无法确定若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是( )A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是( )A．2(a2＋2) B．2(a2－2) C．2a3 D．2a6方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是( )A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5D．x＝40若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为( )A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于( )A．36 B．15 C．19 D．21(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是( )A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 二、填空题(3x－1)(4x＋5)＝_________．(－4x －y)(－5x ＋2y)＝__________．(x ＋3)(x ＋4)－(x －1)(x －2)＝__________．(y －1)(y －2)(y －3)＝__________．(x3＋3x2＋4x －1)(x2－2x ＋3)的展开式中，x4的系数是__________．若(x ＋a)(x ＋2)＝x2－5x ＋b ，则a ＝__________，b ＝__________．若a2＋a ＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．当k ＝__________时，多项式x －1与2－kx 的乘积不含一次项．若(x2＋ax ＋8)(x2－3x ＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a ＝_____，b ＝_______．如果三角形的底边为(3a ＋2b)，高为(9a2－6ab ＋4b2)，则面积＝__________．三、解答题1、计算下列各式(1)(2x ＋3y)(3x －2y) (2)(x ＋2)(x ＋3)－(x ＋6)(x －1)(3)(3x2＋2x ＋1)(2x2＋3x －1) (4)(3x ＋2y)(2x ＋3y)－(x －3y)(3x ＋4y)2、求(a ＋b)2－(a －b)2－4ab 的值，其中a ＝2009，b ＝2010．3、求值：2(2x －1)(2x ＋1)－5x(－x ＋3y)＋4x(－4x2－52y)，其中x ＝－1，y ＝2．4、解方程组⎩⎨⎧(x －1)(2y ＋1)＝2(x ＋1)(y －1)x(2＋y)－6＝y(x －4)四、探究创新乐园1、若(x2＋ax －b)(2x2－3x ＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a ，b ．2、根据(x ＋a)(x ＋b)＝x2＋(a ＋b)x ＋ab ，直接计算下列题(1)(x －4)(x －9) (2)(xy －8a)(xy ＋2a).五、数学生活实践一块长acm ，宽bcm 的玻璃，长、宽各裁掉1 cm 后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少？六、思考题：请你来计算：若1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋…＋x2012的值．参考答案一、1～10 BBCCA DACDC．二、填空题:1. 12x2+11x－5；2 20x2-3xy-2 y22.10x+10.4. y3-6y2＋11y－6.5.1.6.-7;-147.29.8.-29.3;1.10.331(278) 2a b+.三、解答题1.（1）6x2+5xy-9y2（2）12（3）6x４＋13x3＋5x2＋x－1 （4）3x2+18xy+18 y22.0.3.77.4.11 xy=⎧⎨=⎩四、探究创新乐园1.54,2 a b==-2.（1）x2-13x+36. （2）x2 y2-6axy-16a2五、数学生活实践21()ab a b cm--+.。