从n个数中选k个不重复的随机数
简单随机抽样教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
9.1.1简单随机抽样一、内容和内容解析内容：简单随机抽样的概念以及如何实施简单随机抽样．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第九章第1节第1课时的内容．本节内容是统计的初步内容——简单随机抽样，是其他抽样方法的基础，也是估计总体结果的前提，同时也是初中频率知识的延伸．数理统计学包括两类问题，一类是如何从总体中抽取样本，另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出一种推断．可见，抽样方法是数理统计学中的重要内容．简单随机抽样作为一种简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位．因此它对于学习后面的其它较复杂的抽样方法奠定了基础，同时它强化对概率性质的理解，加深了对概率公式的运用．因此它起到了承上启下的作用，在教材中占有重要地位．二、目标和目标解析目标：（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤．（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本．（3）通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性．目标解析：（1）简单随机抽样是一种简单且基本的抽样方法，是很多抽样方法的基础，在抽样理论中占有重要低位.．（2）抽签法和随机数表法是实现简单随机抽样的两种方法，两种抽样都可以归纳为编号，抽取，成样三个步骤，明确两种方法的优劣，选择合适的方法进行抽取．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．简单随机抽样的教学中，利用利用抽样方法解决实际问题是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：普查与抽查、简单随机抽样、总体平均数与样本平均数．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：用样本估计总体或多或少会存在误差，从对总体估计的角度看，误差小的样本是“好”样本，误差大的样本是“坏”样本．如何获得一个好样本是学生理解的一个难点。
高考数学一轮复习专题训练—随机抽样
随机抽样考纲要求1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样． (2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn (否则，先剔除一些个体)；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，……，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3．一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．答案nm N解析 每个个体被抽到的概率是n N ，设这个部门抽取了x 个员工，则x m ＝n N ，∴x ＝nmN.4．(2020·上饶一模)总体由编号为00,01,02，…，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表如下： 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A ．3 B ．16 C ．38 D ．20答案 D解析 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,49,32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.5．(2021·郑州调研)某校有高中生1 500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生(高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人)按1,2,3，…， 1 500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18答案 C解析 采用系统抽样法从1 500人中抽取50人，所以将1 500人平均分成50组，每组30人，并且在第一组抽取的号码为23，所以第n 组抽取的号码为a n ＝23＋(n －1)×30＝30n －7，而高二学生的编号为496到985，所以496≤30n －7≤985，又n ∈N *，所以17≤n ≤33，则共有17人，故选C.6．(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 答案 分层抽样解析 因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.考点一 简单随机抽样及其应用1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B ．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D ．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案 D解析 A ，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D.2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( ) A.110，110 B ．310，15C.15，310 D ．310，310答案 A解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A.3．(2021·南昌一模)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07 C．02 D．01答案 D解析从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.感悟升华 1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．考点二系统抽样及其应用【例1】(1)(2021·太原调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为()A．15 B．18 C．21 D．22(2)(2019·全国Ⅰ卷)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生(3)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．答案 (1)C (2)C (3)2 10解析 (1)由已知得间隔数为k ＝244＝6，则抽取的最大编号为3＋(4－1)×6＝21.(2)根据题意，系统抽样是等距抽样， 所以抽样间隔为1 000100＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C. (3)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.感悟升华 1.如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn ，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN .2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．【训练1】 (1)(2021·衡水调研)衡水中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． (2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 (1)45 (2)4解析 (1)分组间隔为648＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人．成绩在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人． 考点三 分层抽样及其应用角度1 求某层入样的个体数【例2】 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有 20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4 8007 2006 4001 600为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( ) A ．25,25,25,25 B ．48,72,64,16 C ．20,40,30,10 D ．24,36,32,8答案 D解析 法一 因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×1200＝24,7 200×1200＝36，6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.法二 最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.角度2 求总体或样本容量【例3】 (1)(2021·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A ．12B ．18C ．24D ．36(2)(2020·西安调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 (1)D (2)1 800解析 (1)根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36.(2)由题设，抽样比为804 800＝160.设甲设备生产的产品为x 件，则x60＝50，∴x ＝3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.感悟升华 1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．2．已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．【训练2】 (1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A ．240,18B ．200,20C ．240,20D ．200,18(2)(2021·合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________． 答案 (1)A (2)6解析 (1)样本容量n ＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.(2)抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，则抽取的植物油类种数是10×15＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×15＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.A 级 基础巩固一、选择题1．(2020·兰州二模)某学校为响应“平安出行”号召，拟从2 019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( ) A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为502 019答案 D解析 先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率相等，且为p ＝502 019，故选D. 2．(2021·永州模拟)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,10,18,26,34答案 B解析 抽样间隔为505＝10，只有选项B 符合题意．3．(2020·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( ) A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 答案 B4．在一个容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3 答案 D解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D. 5. (2021·襄阳联考)如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男、女生各500名(所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为( )A ．16B ．32C ．24D ．8答案 C解析 由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1∶3，，所以抽取的男生人数为24.故选C.6．某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取( )A ．40人B ．200人C ．20人D ．10人答案 C解析 由图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽取200×40400＝20(人)．7．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A ．50 B ．40 C ．25 D ．20答案 C解析 由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.8．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双答案 C解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的13，即为1 200双皮靴． 二、填空题9．某单位在岗职工共620人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取62名工人进行调查，若采用系统抽样方法将全体工人编号等距分成62段，再用简单随机抽样法得到第1段的起始编号为4，则第40段应抽取的个体编号为________． 答案 394解析 将620人的编号分成62段，每段10个编号，按系统抽样，所抽取工人编号成等差数列，因此第40段的编号为4＋(40－1)×10＝394.10．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).答案 068解析 由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.11．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件． 答案 800解析 设样本容量为x ，则x3 000×1 300＝130，∴x ＝300.∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)． 设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80. ∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)．12．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________． 答案 3解析 系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.B 级 能力提升13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A ．104人 B ．108人C ．112人D ．120人答案 B解析 由题意知，抽样比为 3008 100＋7 488＋6 912＝175，所以北乡遣175×8 100＝108(人)．14．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.15．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，则n ＝________. 答案 18解析 总体容量为6＋12＋18＝36，当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.16．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组(k≥2)中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则k的值为________，在第8组中抽取的号码是________．答案876解析由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.。
如何产生1-100之间的100个不重复的随机数
如何产⽣1-100之间的100个不重复的随机数如何产⽣1-100之间的100个不重复的随机数如果这是你是第⼀次看到这个题⽬，也许你的想法有很多。
1：⾸先从原始数组中随机选择⼀个数字，然后将该数字从数组中剔除，再随记选，再剔除，重复99次，就解决了。
我们知道从数组中剔除⼀个元素的复杂度为O（N)，那么随机选取n个数字，它的复杂度就是O(N2)了。
2：⽤hash作为中间过滤层，因为在数组中，我们采⽤随机数的话，也许随机数在多次随机中可能会有重复，所以需要⽤hash来判断⼀下，如果在hash中重复，则继续产⽣随机数，直到不重复为⽌，当然这个复杂度就不好说了，得要看随机数随机不随机了，好的话,O(N)搞定，不⾛运的话⽆上限~3：就像标题说的⼀样，很多问题我们都能在现实⽣活中找到写照，毕竟很多东西是来源于现实，⼜抽象于现实，⽐如这个题⽬在现实⽣活中， 可以对应到的就是“洗扑克牌”，在算法中也叫“洗牌原理”，我们知道洗扑克牌的⽅式就是随机的交换扑克牌的位置，⼜叫做"切牌",当你切了很多次后，我们的扑克牌就可以认为是⾜够乱了，复杂度也就变成了O(N)，⽤代码实现就是这样的。
<1> 先有序的⽣成52张牌，然后有序的放到数组中。
<2>从1-52中随机的产⽣⼀个数，然后将当前次数的位置跟随机数的位置进⾏交换，重复52次，我们的牌就可以认为⾜够乱了。
4：代码实现<1> ⾸先定义牌的数据结构，定义⼀个“花⾊”和“数字”1 /// <summary>2 ///具体扑克牌3 /// </summary>4 public class Card5 {6 public char suit;78 public string num;9 }<2>有序的⽣成52张牌1 /// <summary>2 ///开牌3 /// </summary>4 public void NewCard()5 {6 for (int i = 1; i <= card.Length; i++)7 {8 var suit = ((i - 1) / 13) + 3;9 var num = i % 13;1011 string temp;1213 switch (num)14 {15 case 1: temp = "A"; break;16 case 11: temp = "J"; break;17 case 12: temp = "Q"; break;18 case 0: temp = "K"; break;19 default: temp = num.ToString(); break;20 }2122 card[i - 1] = new Card()23 {24 suit = (char)suit,25 num = temp26 };27 }28 }<3> 然后就是切牌了，刚才也说了思路，就是拿随机数的位置与当前i的位置进⾏交换，不过⼀说到交换就想起了“冒泡排序”，可能被毒害太 深了(┬＿┬)，不知道你感觉到了没。
简单随机抽样-高中数学知识点讲解
简单随机抽样1．简单随机抽样【知识点的认识】1．定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．特点：（1）有限性：总体个体数有限；（2）逐个性：每次只抽取一个个体；（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，则每个个体푛被抽取的概率等于푁）3．适用范围：总体中个数较少．4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．【常用方法】1．抽签法（抓阄法）一般地，从个体总数为N 的总体中抽取一个容量为k 的样本，步骤为：（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为 1﹣N）；（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；（4）抽签：每次从箱中取出 1 个号签，连续抽取k 次；（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．2．随机数表法．○随机数表：由 0﹣9 十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．实现步骤：（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．（1）考查简单随机抽样的特点例：用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的总体中依次抽取一个容量为 5 的样本，则个体m 被抽到的概率为（）1111A.100B.20C.99D.50分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为 5，可以看成是抽 5 次，从而可求得概率．1解答：一个总体含有 100 个个体，某个个体被抽到的概率为，100∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，1则指定的某个个体被抽到的概率为100× 5 =1．20故选：B．点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）A．在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的2/ 4B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验．分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C 不是简单随机抽样，D 是简单随机抽样．解答：A、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D．点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作例：利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000，001，002，…，499 的产品进行抽样检验，抽取一个容量为 10 的样本，若选定从第 12 行第 5 列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第 11 行至第 15 行），根据下图，读出的第 3 个数是（）A.841B.114C.014D.146分析：从随机数表 12 行第 5 列数开始向右读，最先读到的 1 个的编号是 389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．解答：最先读到的 1 个的编号是 389，向右读下一个数是 775，775 它大于 499，故舍去，再下一个数是 841，舍去，再下一个数是 607，舍去，再下一个数是 449，再下一个数是 983．舍去，再下一个数是 114．读出的第 3 个数是 114．故选B．点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．。
10.3.2随机模拟课件(共16张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
选做某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率．
解：利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如1245，6473,0321……共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为n/100.
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设 出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少 有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计 事件A发生的概率.
解：(法一随机数法)根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验. 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了. 重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.
3、随机模拟的步骤是什么？
点拨精讲20min
又如，一个袋中装有2个红球和3个白球,这些球除颜色不同外没有其他差别. 对于从袋中摸出一个球的试验,我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1、2表示红球，用3、4、5表示白球. 这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
(江苏专用)2020版高考数学复习第十章算法、统计与概率10.2抽样方法教案
§10.2 抽样方法考情考向分析 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填空题为主，属于中低档题．1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N 的总体中逐个不放回地取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出． 3．分层抽样(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． (2)分层抽样的应用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．概念方法微思考三种抽样方法有什么共同点和联系？提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √)(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( ×)(3)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √)(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( ×)(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ×)题组二教材改编2．[P52习题T1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．答案分层抽样法解析从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．3．[P52习题T4]某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_____名学生．答案15解析从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为310，所以应从高二年级抽取学生人数为50×310＝15.4．[P52习题T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．答案16解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16.题组三易错自纠5．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则________．答案p1＝p2＝p3解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 1800解析 分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．题型一 简单随机抽样1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是________．(填序号) ①这次抽样中可能采用的是简单随机抽样； ②这次抽样一定没有采用系统抽样；③这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率； ④这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率． 答案 ①解析 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，①正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，②错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，③和④均错误．2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.答案 01解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.3．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．答案514解析 由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514. 思维升华应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．题型二 系统抽样例1(1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________． 答案 12解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”) 答案 不能解析 若55被抽到，则55＝5＋20n ，n ＝2.5，n 不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________． 答案 28解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240(人)，又在[481,720]中抽取8人， 所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定． 跟踪训练1将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________． 答案 25,17,8解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.题型三 分层抽样命题点1 求总体或样本容量例2(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________. 答案 13解析 ∵360＝n120＋80＋60，∴n ＝13.(2)(2018·江苏省南京金陵中学模拟)某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为________． 答案 120解析 因为共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人， 所以女学生占的比例为10002400＝512，女学生中抽取的人数为50人， 所以n ×512＝50，所以n ＝120.命题点2 求某层入样的个体数例3(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.答案 180解析 由题意，得抽样比为3201600＝15， ∴该样本中的老年教师的人数为900×15＝180.(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人． 答案 108解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×81008100＋7488＋6912＝300×810022500＝108.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．跟踪训练2 (1)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝________. 答案 1040解析 分层抽样是按比例抽样的，所以81×12001000＋1200＋n＝30，解得n ＝1040.(2)(2018·如东模拟)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 答案 30解析 参与调查的总人数为150，由8∶n ＝40∶150， 得n ＝30.1．(2018·盐城调研)某单位有老年人20人，中年人120人，青年人100人，现用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n 的样本，已知从青年人中抽取的人数为10，则n ＝________. 答案 24解析 由分层抽样可得10n＝10020＋120＋100＝1024，故n ＝24.2．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是________． 答案 系统抽样解析 符合系统抽样的特点．3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是________． 答案110，110解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________． 答案 695解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k ＝N n ＝100050＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.5．某工厂的一、二、三车间在某月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为________．答案 1200解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的13，所以二车间生产的产品数为3600×13＝1200.6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为________． 答案 10解析 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 7．某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为________． 答案 180解析 设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001600＝y320，得y ＝180.8．某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是_____． 答案 157解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157.9．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．10．某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________． 答案 36解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案 37 20解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.12．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________． 答案 76解析 由题意知，m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.13．某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况，决定对该市参加2018年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是________． 答案 3解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为328＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.14．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.答案 16解析 由题意，知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.15．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．答案 78解析 设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别为6x,2x,3x ，由题意可得3x －2x ＝13，x ＝13，∴持“喜欢”态度的有6x ＝78(人)．16．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n . 解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ；分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.。
java随机抽取指定范围内不重复的n个数
java随机抽取指定范围内不重复的n个数⼀、JAVA中⽣成随机数的⽅式1、在j2se中使⽤Math.random()令系统随机选取⼀个0~1之间的double类型⼩数，将其乘以⼀个数，⽐如25，就能得到⼀个0~25范围内的随机数，这个在j2me中没有；int randomNumber = (int) Math.round(Math.random()*(max-min)+min);2、在System类中有⼀个currentTimeMillis()⽅法，这个⽅法返回从1970年1⽉1号0点0分0秒到⽬前的⼀个long型的毫秒数，可作为⼀个随机数，还可以将其对某些数取模，就能限制随机数的范围；此⽅式在循环中同时产⽣多个随机数时，会是相同的值，有⼀定的局限性！long randomNum = System.currentTimeMillis();int randomNumber = (int) randomNum%(max-min)+min;3、使⽤java.util.Random类来产⽣⼀个随机数发⽣器，这个也是我们在j2me的程序⾥经常⽤的⼀个取随机数的⽅法。
它有两种形式的构造函数，分别是Random()和Random(long seed)。
Random()使⽤当前时间即System.currentTimeMillis()作为发⽣器的种⼦，Random(long seed)使⽤指定的seed作为发⽣器的种⼦。
随机数发⽣器(Random)对象产⽣以后，通过调⽤不同的method：nextInt()、nextLong()、nextFloat()、nextDouble()等获得不同类型随机数。
如果两个Random对象使⽤相同的种⼦（⽐如都是25），并且以相同的顺序调⽤相同的函数，那它们返回值完全相同。
Random random = new Random();int randomNumber = random.nextInt(max)%(max-min+1) + min;⼆、随机给定范围内N个不重复的数1、⽅法⼀：最简单最易理解的两重循环去重/*** 随机指定范围内N个不重复的数* 最简单最基本的⽅法* @param min 指定范围最⼩值* @param max 指定范围最⼤值* @param n 随机数个数*/public static int[] randomCommon(int min, int max, int n){if (n > (max - min + 1) || max < min) {return null;}int[] result = new int[n];int count = 0;while(count < n) {int num = (int) (Math.random() * (max - min)) + min;boolean flag = true;for (int j = 0; j < n; j++) {if(num == result[j]){flag = false;break;}}if(flag){result[count] = num;count++;}}return result;}2、⽅法⼆：利⽤HashSet的特征，只能存放不同的值/*** 随机指定范围内N个不重复的数* 利⽤HashSet的特征，只能存放不同的值* @param min 指定范围最⼩值* @param max 指定范围最⼤值* @param n 随机数个数* @param HashSet<Integer> set 随机数结果集*/public static void randomSet(int min, int max, int n, HashSet<Integer> set) {if (n > (max - min + 1) || max < min) {return;}for (int i = 0; i < n; i++) {// 调⽤Math.random()⽅法int num = (int) (Math.random() * (max - min)) + min;set.add(num);// 将不同的数存⼊HashSet中}int setSize = set.size();// 如果存⼊的数⼩于指定⽣成的个数，则调⽤递归再⽣成剩余个数的随机数，如此循环，直到达到指定⼤⼩ if (setSize < n) {randomSet(min, max, n - setSize, set);// 递归}}3、⽅法三：排除已随机到的数/*** 随机指定范围内N个不重复的数* 在初始化的⽆重复待选数组中随机产⽣⼀个数放⼊结果中，* 将待选数组被随机到的数，⽤待选数组(len-1)下标对应的数替换* 然后从len-2⾥随机产⽣下⼀个随机数，如此类推* @param max 指定范围最⼤值* @param min 指定范围最⼩值* @param n 随机数个数* @return int[] 随机数结果集*/public static int[] randomArray(int min,int max,int n){int len = max-min+1;if(max < min || n > len){return null;}//初始化给定范围的待选数组int[] source = new int[len];for (int i = min; i < min+len; i++){source[i-min] = i;}int[] result = new int[n];Random rd = new Random();int index = 0;for (int i = 0; i < result.length; i++) {//待选数组0到(len-2)随机⼀个下标index = Math.abs(rd.nextInt() % len--);//将随机到的数放⼊结果集result[i] = source[index];//将待选数组中被随机到的数，⽤待选数组(len-1)下标对应的数替换source[index] = source[len];}return result;}调⽤实例：public static void main(String[] args) {int[] reult1 = randomCommon(20,50,10);for (int i : reult1) {System.out.println(i);}int[] reult2 = randomArray(20,50,10);for (int i : reult2) {System.out.println(i);}HashSet<Integer> set = new HashSet<Integer>();randomSet(20,50,10,set);for (int j : set) {System.out.println(j);}}三、⽰例代码package test;import java.util.HashSet;import java.util.Random;public class Snippet {/*** 随机指定范围内N个不重复的数* 在初始化的⽆重复待选数组中随机产⽣⼀个数放⼊结果中，* 将待选数组被随机到的数，⽤待选数组(len-1)下标对应的数替换 * 然后从len-2⾥随机产⽣下⼀个随机数，如此类推* @param max 指定范围最⼤值* @param min 指定范围最⼩值* @param n 随机数个数* @return int[] 随机数结果集*/public static int[] randomArray(int min,int max,int n){int len = max-min+1;if(max < min || n > len){return null;}//初始化给定范围的待选数组int[] source = new int[len];for (int i = min; i < min+len; i++){source[i-min] = i;}int[] result = new int[n];Random rd = new Random();int index = 0;for (int i = 0; i < result.length; i++) {//待选数组0到(len-2)随机⼀个下标int s=rd.nextInt()%len;// System.out.print(s-- +",");index = Math.abs(rd.nextInt()%len--);// System.out.println(index);//将随机到的数放⼊结果集result[i] = source[index];//将待选数组中被随机到的数，⽤待选数组(len-1)下标对应的数替换source[index] = source[len];}return result;}public static void main(String[] args) {// int[] reult1 = randomCommon(20,50,10);// for (int i : reult1) {// System.out.println(i);// }int[] reult2 = randomArray(0,4,5);for (int i : reult2) {System.out.print(i);}// HashSet<Integer> set = new HashSet<Integer>();// randomSet(20,50,10,set);// for (int j : set) {// System.out.println(j);// }}}以上就是本⽂的全部内容，希望对⼤家学习java程序设计有所帮助。
python随机模块random的22种函数（小结）
python随机模块random的22种函数（⼩结）前⾔ 随机数可以⽤于数学，游戏，安全等领域中，还经常被嵌⼊到算法中，⽤以提⾼算法效率，并提⾼程序的安全性。
平时数据分析各种分布的数据构造也会⽤到。
random模块，⽤于⽣成伪随机数，之所以称之为伪随机数，是因为真正意义上的随机数（或者随机事件）在某次产⽣过程中是按照实验过程中表现的分布概率随机产⽣的，其结果是不可预测的，是不可见的。
⽽计算机中的随机函数是按照⼀定算法模拟产⽣的，对于正常随机⽽⾔，会出现某个事情出现多次的情况。
但是伪随机在事情触发前设定好，就是这个⼗个事件各发⽣⼀次，只不过顺序不同⽽已。
现在MP3的随机列表就是⽤的伪随机，把要播放的歌曲打乱顺序，⽣成⼀个随机列表⽽已，每个歌曲都播放⼀次。
真实随机的话，会有出现某⾸歌多放次的情况，歌曲基数越多，重放的概率越⼤。
注意：random()是不能直接访问的，需要导⼊ random 模块，然后通过 random 静态对象调⽤该⽅法。
import randomlist(dir(random))['BPF', 'LOG4','NV_MAGICCONST','RECIP_BPF','Random','SG_MAGICCONST','SystemRandom','TWOPI','betavariate','choice','choices','expovariate','gammavariate','gauss','getrandbits','getstate','lognormvariate','normalvariate','paretovariate','randint','random','randrange','sample','seed','setstate','shuffle','triangular','uniform','vonmisesvariate','weibullvariate']#加载所需要的包import randomimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsrandom.random()描述：random.random() ⽤于⽣成⼀个0到1的随机符点数: 0 <= n < 1.0语法：random.random()#⽣成⼀个随机数random.random()0.7186311708109537#⽣成⼀个4位⼩数的随机列表[round(random.random(),4) for i in range(10)][0.1693, 0.4698, 0.5849, 0.6859, 0.2818, 0.216, 0.1976, 0.3171, 0.2522, 0.8012]#⽣成⼀串随机数for i in range(10):print(random.random())0.43860556392473480.43944378539770780.2318629636828330.64831689635533420.121065812558118550.70438749865313550.387295196584986230.64922561571703930.4634250509335640.2298431522075462random.choice()描述：从⾮空序列seq中随机选取⼀个元素。
JAVA随机数之多种方法从给定范围内随机N个不重复数
JAVA随机数之多种方法从给定范围内随机N个不重复数在Java中生成随机数有多种方法，例如使用Math类的random(方法，使用Random类，以及使用ThreadLocalRandom类。
下面将介绍不同方法从给定范围内随机生成N个不重复数的实现。
方法一：使用Math类的random(方法Math类的random(方法返回一个浮点数，在范围[0.0, 1.0)之间。
我们可以通过将其乘以范围的长度，并强制转换为整数来获得在给定范围内的随机整数。
```javaint min = 1; // 最小值int max = 100; // 最大值int N = 10; // 需要生成的随机数个数Set<Integer> set = new HashSet<>(;while(set.size( < N)int randomNum = min + (int)(Math.random( * (max - min));set.add(randomNum);for (int num : set)System.out.println(num);```方法二：使用Random类Random类是Java提供的一个伪随机数生成器。
我们可以使用nextInt(方法从给定范围内生成一个随机整数。
```javaint min = 1;int max = 100;int N = 10;Random rand = new Random(;Set<Integer> set = new HashSet<>(;while(set.size( < N)int randomNum = rand.nextInt(max - min + 1) + min;set.add(randomNum);for (int num : set)System.out.println(num);```方法三：使用ThreadLocalRandom类ThreadLocalRandom类是Java 7中引入的一个新类，它提供了线程本地的随机数生成器。
VB生成不重复的随机数
VB生成不重复的随机数我的建议是：第一步、先做一个数组，存上这35个数（可以不是连续的数，也可以是人名、字符串什么的）；第二步、随机生成一个1-35之间的数，输出；第三步：把这个数和数组的第一个单元交换；第四步、从数组的第2-35之间随机抽取第二个数，输出；第五步、把这随机抽取的第二个数和数组的第二个单元内容呼唤；第六步、随机抽取第三个数，输出。
重复到从第35-35个数之间随机抽取一个数，这时直接输出最后一个就行了。
程序如下（VB6）：工程里默认的窗体上，画一个Comm and1，粘贴程序：opti on ex plici tpr ivate vArr ay(1to 35) ascurre ncy '定义数组个数pr ivate subcomma nd1_c lick() testendsubpriva te su b Ini tArra y() di m i a s lon g '给数组赋值 fo r i=1 to 35varra y(i)=i next ien d subpriv ate s ub Te st()dim i Start as l ong di m iPo s aslongd im vT emp a s cur rencydim s Retur n asstrin g Ini tArra y rand omize time r '设置随机因子，使其每次运行程序的随机数都不一样iStar t=1 do iPo s=int(rnd*(ubou nd(vA rray)-iSta rt+1))+iSt art '产生iSt art到35（35取自vArr ay 的上标）之间的整数 sR eturn=sRet urn & vArr ay(iP os) & vbcr lf '输出'交换单元内容 vT emp=v Array(iSta rt)vArra y(iSt art)=vArra y(iPo s)v Array(iPos)=vTe mpiStar t=iSt art+1 '下次随机生成时，少生成一个 if iSta rt>=u bound(vArr ay) t hen '最后一个了，直接输出sRetu rn=sR eturn & vA rray(uboun d(vAr ray))ExitDoe nd if ifiStar t>7 t hen e xit d o '如果需要生成几个数，就把7改成几，大于数组元素的个数，将输出速度的元素个数(这个例子是35）L oop ms gboxsRetu rn 'm sgbox输出结果endsub'=============================================================== ==============================='方法二Priva te Su b Com mand1_Clic k()D im a(35) A s Int egerFor i = 0To 35way1: Rand omizea(i)= Int(Rnd() * 36) +1 If i > 1Then Fo r p = 0 To i -1I f a(p) = a(i) T hen '‘与前面的对比，如果有重复，重新随机GoToway1 End If Nex t p En d IfP rinta(i); '打印Next i Pri nt "" '打印EndSub'=========================================================================================='方法三如果楼主是要产生0-9等10个不重复的随机数的话，在随机数范围和个数相等的情况下，楼上的方法都无异于散弹打鸟。
常见的随机抽样方法介绍
抽样方法介绍朱一军福建省产品质量检验研究院一、随机方法选择及随机数产生按照GB/T10111-2008《随机数的产生及其在产品质量抽样检验中的应用程序》的要求，并根据受检单位的产品堆放形式、基数（批量）大小，确定抽样方法通常包括简单随机抽样、分层随机抽样、系统抽样、整群抽样、全数抽样五种方法）。
随机数一般可使用随机数表、骰子或扑克牌中任选一种方式产生。
（一）简单随机抽样（抽签法、随机样数表法）常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；优点：操作简便易行缺点：总体过大不易实行1.定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（nWN）,如果每次抽取式总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
2.简单随机抽样方法（1）抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
（抽签法简单易行，适用于总体中的个数不多时。
当总体中的个体数较多时，将总体“搅拌均匀”就比较困难，用抽签法产生的样本代表性差的可能性很大）（2）随机数法随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。
（二）分层抽样（StratifiedRandomSampling）主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。
共同点：每个个体被抽到的概率都相等N/M。
定义一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样（stratifiedsampling）。
（三）系统抽样当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事。
这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。
CRandom()函数详解
C#Random()函数详解随机数的利用很普遍，可用它随机显示图片，用它避免无聊的人在论坛灌水还能够用来加密信息等等。
本文讨论如安在一段数字区间内随机生成假设干个互不相同的随机数，比如在从1到20间随机生成6个互不相同的整数，并通过此文介绍Visual c#中随机数的用法。
.net.Frameword中提供了一个专门产生随机数的类System.Random，此类默认情况下已被导入，编程过程中可以直接使用。
我们知道，计算机并不能产生完全随机的数字，它生成的数字被称为伪随机数，它是以相同的概率从一组有限的数字中选取的，所选的数字并不具有完全的随机性，但就实用而言，其随机程度已经足够了。
咱们能够用以下两种方式初始化一个随机数发生器；函数是如此用,比如100至999的随机数Random ran=new Random();int RandKey=ran.Next(100,999);不过这样会有重复,可以给Random一个系统时间做为参数，以此产生随机数，就不会重复了第一种方式不指定随机种子，系统自动选取当前时前作随机种子：Random ra=new Random();第二种方法是指定一个int型的参数作为随机种子：int iSeed=6;Random ra=new Random(iSeed);下面我们要用到Random.Next()方法产生随机数。
ra.Next();它返回一个大于或等于零而小于2,147,483,647的数，这并不满足我们的需要，下面我们介绍它的重载函数和其它一些方法。
public virtual int Next(int);用法：ra.next(20)返回一个小于所指定最大值(此处为20)的正随机数。
public virtual int Next(int minValue, int maxValue);用法：ra.next(1,20)返回一个指定范围内(此处为1-20之间)的随机数，我们在下面的实例中会用到此函数。
高中数学必修3：第2章统计 2.1 随机抽样(含高考真题演练)
6. 简单随机抽样的结果( ) A.完全由抽样方式所决定 B.完全由随机性来决定 C.完全由人为因素所决定 D.完全由计算方法所决定 解析：简单随机抽样的结果完全由随机性来决定. 答案：B
7. 为了了解某县中考学生数学成绩的情况,从中抽取20本密封
试卷,每本30份试卷,这个问题中的样本容量是( )
最常用的简单随机抽样方法有两种：
抽签法 随机数法
随机数表法
抽签法
（1）对总体的N个个体进行编号 （2）把N个号码写在同样的号签上 （3）将号签放在一个容器中，搅拌均匀 （4）每次从中抽取一个号签，连续抽取n次 （5）得到一个容量为n的样本 步骤：编号→制签→搅匀→抽签→定样.
例1 某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动， 请用抽签法进行抽选，并写出过程．
简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加间隔获取样本。
例1 某中学有高一学生322名，为了了解学生的身体状况，要 抽取一个容量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？
第一步，随机剔除2名学生，把余下的320名学生编号为1，2 ，3，…320. 第二步，把总体分成40个部分，每个部分有8个个体.
例1 某中学有高一学生322名，为了了解学生的身体状况，要 抽取一个容量为40的样本，用系统抽样法如何抽样？
系统抽样的特点：
(1) 总体容量较大 (2) 属于不放回抽样 (3) 每个个体被抽到的可能性相同（公平性）
系统抽样的步骤
（1）对总体的N个个体进行编号； （2）确定分段间隔k，对编号进行分段，当N/n是整数时， 取k＝N/n；当N/n不是整数时，从总体中随机剔除一些个体， 使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，并将剩下的总体重 新编号、分段； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l； （4）将编号为l+k, l+2k, …, l+(n－1)k的个体抽出。
第九章 统计(知识点梳理及例题解析)
第九章统计9.1 随机抽样1. 全面调查与抽样调查（ 1 ）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ .（ 2 ）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ .（ 3 ）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ .（ 4 ）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ .（ 5 ）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ .（ 6 ）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据 .2. 简单随机抽样（ 1 ）有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有 N （ N 为正整数）个个体，从中逐个抽取 n （1 ≤ n < N ）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 .（ 2 ）不放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 .（ 3 ）简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样 .（ 4 ）简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 .（ 5 ）简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法 .■名师点拨（ 1 ）从总体中，逐个不放回地随机抽取 n 个个体作为样本，一次性批量随机抽取 n 个个体作为样本，两种方法是等价的 .（ 2 ）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性 .3. 总体平均数与样本平均数（ 1 ）总体平均数① 一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y N ，则称＝＝ Y i 为总体均值，又称总体平均数 .② 如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k （k ≤ N ）个，不妨记为 Y 1 ， Y2 ，… ， Y k ，其中 Y i 出现的频数 f i （ i ＝ 1 ， 2 ，… ， k ），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝ f i Y i Ｗ .（ 2 ）样本平均数如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为 y 1 ， y 2 ，… ， yn ，则称＝＝ y i 为样本均值，又称样本平均数 . 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 .4. 分层随机抽样（ 1 ）分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ .（ 2 ）比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配 .5. 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数（ 1 ）在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 M 和 N ，抽取的样本量分别为 m 和 n . 我们用 X 1 ， X 2 ，… ， X M 表示第 1 层各个个体的变量值，用 x 1 ， x 2 ，… ， x m 表示第 1 层样本的各个个体的变量值；用 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y N 表示第 2 层各个个体的变量值，用 y 1 ， y 2 ，… ，y n 表示第 2 层样本的各个个体的变量值，则：① 第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝ X i ，＝＝ x i .② 第 2 层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Y i ，＝＝ y i .③ 总体平均数和样本平均数分别为＝，＝Ｗ .（ 2 ）由于用第 1 层的样本平均数可以估计第 1 层的总体平均数，用第 2 层的样本平均数可以估计第 2 层的总体平均数 . 因此我们可以用＝＋估计总体平均数 .（ 3 ）在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝ . 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数 .6. 获取数据的途径获取数据的基本途径有：（ 1 ）通过调查获取数据；（ 2 ）通过试验获取数据；（ 3 ）通过观察获取数据；（ 4 ）通过查询获取数据典型应用 1总体、样本等概念辨析题为了调查参加运动会的 1 000 名运动员的平均年龄，从中抽取了 100 名运动员进行调查，下面说法正确的是（）A.1 000 名运动员是总体B. 每个运动员是个体C. 抽取的 100 名运动员是样本D. 样本量是 100【解析】根据调查的目的可知，总体是这 1 000 名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的 100 名运动员的年龄，样本量为 100. 故答案为D.【答案】 D此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位 .典型应用 2简单随机抽样的概念下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（ 1 ）从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本；（ 2 ）仓库中有 1 万支奥运火炬，从中一次抽取 100 支火炬进行质量检查；（ 3 ）某连队从 200 名党员官兵中，挑选出 50 名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作 .【解】（ 1 ）不是简单随机抽样 . 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的 . （ 2 ）不是简单随机抽样 . 虽然“ 一次性抽取” 和“ 逐个抽取” 不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“ 逐个抽取” . （ 3 ）不是简单随机抽样 . 因为这 50 名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“ 等可能抽样” 的要求 .要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点 .典型应用 3抽签法及随机数法的应用某班有 50 名学生，要从中随机地抽出 6 人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程 .【解】（ 1 ）利用抽签法步骤如下：第一步：将这 50 名学生编号，编号为 01 ， 02 ， 03 ，… ， 50.第二步：将 50 个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签 .第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀 .第四步：从容器中逐一抽取 6 个号签，并记录上面的号码 .对应上面 6 个号码的学生就是参加该项活动的学生 .（ 2 ）利用随机数法步骤如下：第一步：将这 50 名学生编号，编号为 1 ， 2 ， 3 ，… ， 50.第二步：用随机数工具产生 1 ～ 50 范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本 .第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数 .对应上面 6 个号码的学生就是参加该项活动的学生 .（ 1 ）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：① 编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号 . （例如该题中 50 名同学，可以直接利用学号）② 号签要求大小、形状完全相同 .③ 号签要搅拌均匀 .④ 抽取号签时要逐一、不放回抽取 .（ 2 ）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数 .典型应用 4分层随机抽样中的有关计算（ 1 ）某单位共有老、中、青年职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工的人数为Ｗ .（ 2 ）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“ 泥塑” 与“ 剪纸” 两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800 人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑 a b c剪纸x y z其中 x ∶ y ∶ z ＝ 5 ∶ 3 ∶ 2 ，且“ 泥塑” 社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个 50 人的样本进行调查，则从高二年级“ 剪纸” 社团的学生中应抽取人 .【解析】（ 1 ）设该单位老年职工人数为 x ，由题意得 3 x ＝ 430 － 160 ，解得 x ＝ 90. 则样本中的老年职工人数为 90 × ＝ 18.（ 2 ）法一：因为“ 泥塑” 社团的人数占总人数的，故“ 剪纸” 社团的人数占总人数的，所以“ 剪纸” 社团的人数为 800 × ＝ 320 ；因为“ 剪纸” 社团中高二年级人数比例为＝＝，所以“ 剪纸” 社团中高二年级人数为 320 × ＝ 96.由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“ 剪纸” 社团中抽取的人数为 96 × ＝ 6.法二：因为“ 泥塑” 社团的人数占总人数的，故“ 剪纸” 社团的人数占总人数的，所以抽取的 50 人的样本中，“ 剪纸” 社团中的人数为 50 × ＝ 20.又“ 剪纸” 社团中高二年级人数比例为＝＝，所以从高二年级“ 剪纸” 社团中抽取的人数为 20 × ＝ 6.【答案】（ 1 ） 18 （ 2 ） 6分层随机抽样中有关计算的方法（ 1 ）抽样比＝＝ .（ 2 ）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比 .对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解 .典型应用 5样本平均数的求法（ 1 ）甲在本次飞镖游戏中的成绩为 8 ， 6 ， 7 ， 7 ， 8 ， 10 ， 9 ， 8 ，7 ， 8. 求甲在本次游戏中的平均成绩 .（ 2 ）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为 10 的样本，并算得样本的平均数为 5 ；乙同学抽取了一个容量为 8 的样本，并算得样本的平均数为 6. 已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为 18 的样本，求合在一起后的样本均值 .【解】（ 1 ）甲在本次游戏中的平均成绩为＝ 7.8. （ 2 ）合在一起后的样本均值为＝＝ .在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为 m ，平均值为 x ；第二层的样本量为n ，平均值为 y ，则样本的平均值为 .9 . 2 用样本估计总体1 ．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义2 ．百分位数(1) 定义：一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于或等于这个值，且至少有 ( 100 － p ) % 的数据大于或等于这个值．(2) 计算步骤：计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤：第 1 步，按从小到大排列原始数据．第 2 步，计算 i ＝ n × p % ．第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j ，则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第 ( i ＋ 1) 项数据的平均数．典型应用 1频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制角度一频率分布表、频率分布直方图的绘制为考查某校高二男生的体重，随机抽取 44 名高二男生，实测体重数据( 单位： kg ) 如下：57 ， 61 ， 57 ， 57 ， 58 ， 57 ， 61 ， 54 ， 68 ， 51 ， 49 ， 64 ， 50 ， 48 ，65 ， 52 ， 56 ， 46 ， 54 ， 49 ， 51 ， 47 ， 55 ， 55 ， 54 ， 42 ， 51 ， 56 ，55 ， 51 ， 54 ， 51 ， 60 ， 62 ， 43 ， 55 ， 56 ， 61 ， 52 ， 69 ， 64 ， 46 ，54 ， 48将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．【解】以 4 为组距，列表如下：分组频率累计频数频率[41.5 ， 45.5 ) 2 0.045 5[45.5 ， 49.5 ) 7 0.159 1[49.5 ， 53.5 ) 8 0.18 1 8[53.5 ， 57.5 ) 16 0.363 6[57.5 ， 61.5 ) 5 0.113 6[61.5 ， 65.5 ) 4 0.090 9[65.5 ， 69.5 ) 2 0.045 5频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．(1) 在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：① 若为整数，则＝组数；② 若不为整数，则的整数部分＋ 1 ＝组数．(2) 组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过 100 ，按照数据的多少常分为 5 ～ 12 组，一般样本量越大，所分组数越多．角度二频率分布直方图的应用为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图 ( 如图所示 ) ，图中从左到右各小长方形面积之比为 2 ∶ 4 ∶ 17 ∶ 15 ∶ 9 ∶ 3 ，第二小组的频数为 12.(1) 第二小组的频率是多少？样本量是多少？(2) 若次数在 110 以上 ( 含 110 次 ) 为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？(3) 样本中不达标的学生人数是多少？(4) 第三组的频数是多少？【解】 (1) 频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝ 0.08.又因为第二小组的频率＝，所以样本容量＝＝＝ 150.(2) 由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 × 100% ＝ 88 %.(3) 由 (1)(2) 知达标率为 88 % ，样本量为 150 ，不达标的学生频率为 1 － 0.88＝ 0.12.所以样本中不达标的学生人数为 150 × 0.12 ＝ 18( 人 ) ．(4) 第三小组的频率为＝ 0.34.又因为样本量为 150 ，所以第三组的频数为 150 × 0.34 ＝ 51.频率分布直方图的应用中的计算问题(1) 小长方形的面积＝组距 × ＝频率；(2) 各小长方形的面积之和等于 1 ；(3) ＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量 × 频率＝频数．典型应用 2条形统计图为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“ 百家讲坛” 的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查 ( 每人只选一项内容 ) ，整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题：(1) 求抽取的学生数；(2) 若该校有 3 000 名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；(3) 估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．【解】 (1) 从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有 20 人，女生有 10 人；喜欢收听《故宫博物院》的男生有 30 人，女生有 15 人；喜欢收听于丹析《论语》的男生有 30 人，女生有 38 人；喜欢收听易中天《品三国》的男生有 64 人，女生有 42 人；喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有 6 人，女生有 45 人．所以抽取的学生数为 20 ＋ 10 ＋ 30 ＋ 15 ＋ 30 ＋ 38 ＋ 64 ＋ 42 ＋ 6 ＋ 45 ＝300( 人 ) ．(2) 喜欢收听易中天《品三国》的男生有 64 人，女生有 42 人，共有 106 人，占所抽取总人数的比例为，由于该校有 3 000 名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有× 3 000 ＝ 1 060( 人 ) ．(3) 该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为× 100% ＝ 15 %.(1) 绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．(2) 在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．典型应用 3折线统计图小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息，回答以下问题：(1) 护士每隔几小时给小明测量一次体温？( 2) 近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？(3) 从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？(4) 如果连续 36 小时体温不超过 37.2 摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？【解】 (1) 根据横轴表示的意义，可知护士每隔 6 小时给小明测量一次体温．(2) 从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是 39.5 摄氏度，最低体温是 36.8 摄氏度．(3) 从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．(4)9 月 8 日 18 时小明的体温是 37 摄氏度．其后的体温未超过 37.2 摄氏度，自 9 月 8 日 18 时起计算，连续 36 小时后对应的时间为 9 月 10 日凌晨 6 时．因此小明最快可以在 9 月 10 凌晨 6 时出院．(1) 绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．(2) 在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．典型应用 4扇形统计图下图是 A ， B 两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：(1) 从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？(2) 已知 A 学校收到的剪纸作品比 B 学校的多 20 件，收到的书法作品比 B 学校的少 100 件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？【解】 (1) 不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．(2) 设 A 学校收到艺术作品的总数为 x 件， B 学校收到艺术作品的总数为 y 件，则解得即 A 学校收到艺术作品的总数为 500 件，B 学校收到艺术作品的总数为 600 件．(1) 绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．(2) 扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．典型应用 5百分位数的计算现有甲、乙两组数据如下表所示．序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112131415161718192甲组1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 11121313乙组0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 11414141415试求甲、乙两组数的 25 % 分位数与 75 % 分位数．【解】因为数据个数为 20 ，而且 20 × 25 % ＝ 5 ， 20 × 75% ＝ 15.因此，甲组数的 25 % 分位数为＝＝ 2.5 ；甲组数的 75 % 分位数为＝＝ 9.5.乙组数的 25 % 分位数为＝＝ 1 ，乙组的 75 % 分位数为＝＝ 12.求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．9 ． 3 统计案例公司员工的肥胖情况调查分析1 ．平均数和中位数的特点(1) 样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．(2) 中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．(3) 与中位数相比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感．2 ．中位数、平均数与频率分布直方图的关系一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的 ( 图(1)) ，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“ 拖尾” ( 图(2)) ，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“ 拖尾” ( 图 (3)) ，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“ 长尾巴” 那边．3 ．众数的特点众数只利用了出现次数最多的那个值的信息．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感．■名师点拨一般地，对数值型数据 ( 如用水量、身高、收入、产量等 ) 集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据 ( 如校服规格、性别、产品质量等级等 ) 集中趋势的描述，可以用众数．4 ．总体方差与总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y N ，总体平均数为，则称 S 2 ＝ __ ( Y i － ) 2 为总体方差， S ＝为总体标准差．与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式．如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有k ( k ≤ N ) 个，不妨记为 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y k ，其中 Y i 出现的频数为 f i ( i ＝ 1 ， 2 ，… ， k ) ，则总体方差为 S 2 ＝ f i ( Y i － ) 2 ．5 ．样本方差与样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为 y 1 ， y 2 ，… y n ，样本平均数为，则称 s 2 ＝ ( y i － ) 2 为样本方差， s ＝为样本标准差．■名师点拨(1) 若 x 1 ， x 2 ， x 3 ，… ， x n 的平均数为，方差为 s 2 那么 ax 1 ＋ b ，ax 2 ＋ b ， ax 3 ＋ b ，… ， ax n ＋ b 的平均数为′ ＝ a ＋ b ；方差s ′ 2 ＝a 2 s 2 .(2) 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．典型应用 1众数、中位数、平均数的计算及应用某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资 ( 元 )22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700人数 1 6 5 10 1 23合计22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000(1) 指出这个表格中的众数、中位数、平均数；(2) 这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？【解】 (1) 由表格可知，众数为 2 000 元．把 23 个数据按从小到大 ( 或从大到小 ) 的顺序排列，排在中间的数应是第 12 个数，其值为 2 200 ，故中位数为 2 200 元．平均数为 (22 000 ＋ 15 000 ＋ 11 000 ＋ 20 000 ＋ 1 000)÷23 ＝ 69 000÷23 ＝ 3 000( 元 ) ．(2) 虽然平均数为 3 000 元 / 月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．(1) 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．(2) 众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．典型应用 2利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1) 这 50 名学生成绩的众数与中位数；(2) 这 50 名学生的平均成绩．【解】 (1) 由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为 75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．因为 0.004 × 10 ＋ 0.006 × 10 ＋ 0.02 × 10＝ 0.04 ＋ 0.06 ＋ 0.2 ＝ 0.3 ，所以前三个小矩形面积的和为 0.3. 而第四个小矩形面积为 0.03 × 10 ＝ 0.3 ， 0.3 ＋0.3 ＞ 0.5 ，所以中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为 x ，高为 0.03 ，所以令 0.03 x ＝ 0.2 ，得x ≈ 6.7 ，故中位数应约为 70 ＋ 6.7 ＝ 76.7.(2) 样本平均值应是频率分布直方图的“ 重心” ，即所有数据的平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．所以平均成绩为 45 × (0.004 × 10) ＋ 55 × (0.006 × 10) ＋ 65 × (0.02 × 10) ＋ 75 × (0.03 × 10) ＋ 85 × (0.024 × 10) ＋ 95 × (0.016 × 10) ＝ 76.2.频率分布直方图的数字特征(1) 众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标；(2) 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；(3) 平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和．典型应用 3标准差、方差的计算及应用甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取 6件测量数据为：甲： 99 100 98 100 100 103乙： 99 100 102 99 100 100(1) 分别计算两组数据的平均数及方差；(2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【解】 (1) 甲＝ × (99 ＋ 100 ＋ 98 ＋ 100 ＋ 100 ＋ 103) ＝ 100 ，乙＝ × (99 ＋ 100 ＋ 102 ＋ 99 ＋ 100 ＋ 100) ＝ 100 ，s ＝ × [(99 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ＋ (98 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ＋(100 － 100) 2 ＋ (103 － 100) 2 ] ＝，s ＝ × [(99 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ＋ (102 － 100) 2 ＋ (99 － 100) 2 ＋(100 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ] ＝ 1.(2) 由 (1) 知甲＝乙，比较它们的方差，因为 s ＞ s ，故乙机床加工零件的质量更稳定．用样本的标准差、方差估计总体的方法(1) 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差 ( 方差 ) 分析稳定情况．(2) 标准差、方差的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．(3) 因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．。
从n个元素中取k个元素的方法数
从n个元素中取k个元素的方法数
从n个元素中取k个元素是一个常见的问题，它的解决方法有很多种。
首先，我们可以使用排列组合的方法来解决这个问题。
排列组合是一种组合数学的方法，
它可以用来计算从n个元素中取k个元素的方法数。
具体的计算方法是：从n个元素中
取k个元素的方法数等于n的阶乘除以k的阶乘乘以(n-k)的阶乘。
其次，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。
动态规划是一种数学优化方法，它
可以用来计算从n个元素中取k个元素的方法数。
具体的计算方法是：从n个元素中取k
个元素的方法数等于从n-1个元素中取k个元素的方法数加上从n-1个元素中取k-1个元
素的方法数。
最后，我们可以使用递归的方法来解决这个问题。
递归是一种编程技术，它可以用来计算
从n个元素中取k个元素的方法数。
具体的计算方法是：从n个元素中取k个元素的方
法数等于从n-1个元素中取k个元素的方法数加上从n-1个元素中取k-1个元素的方法数。
总之，从n个元素中取k个元素的方法数有很多种解决方法，比如排列组合、动态规划和
递归等。
这些方法都可以用来计算从n个元素中取k个元素的方法数，但是它们的计算方法不同，因此在实际应用中，我们可以根据实际情况选择合适的方法来解决这个问题。
从1到1000中随机取出900个不重复的随机数
从1到1000中随机取出900个不重复的随机数思路⽤⼤⼩为1000的数组保存1-1000的整数，int nums[1000] = {1,2,3,...1000}。
使⽤Random.nextInt()获取[0,999]下标值，即index = Random.nextInt(1000)，交换坐标为0和index的值在使⽤Random.nextInt()获取[0,999]下标值，即index = Random.nextInt(1000)，交换坐标为1和index的值...在使⽤Random.nextInt()获取[0,999]下标值，即index = Random.nextInt(1000)，交换坐标为899和index的值最后[0-899]保存的即为900个1-900import java.util.Random;public class RandomNums {/*** 从整数min~max中获取n个随机整数* @param min 随机整数最⼩值* @param max 随机整数最⼤值* @param n 随机数个数* @return随机产⽣的n个整数*/public void getRandomNums(int min, int max, int n){int length = max - min + 1;if(max < min || n > length)return;//将范围min~max范围的整数放到数组中int nums[] = new int[length];for(int i = min; i <= max; i++){nums[i - min] = i;}//forRandom random = new Random();for(int i = 0; i < n;i++){int index = random.nextInt(max); //随机产⽣⼀个数组下标exchange(nums, i, index); //0~n-1存放n个随机数}//forfor(int i = 0; i < n; i++)System.out.println(nums[i]);}/*** 交换数组中两个元素的值* @param nums* @param i* @param j*/public void exchange(int nums[], int i, int j){int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;}public static void main(String args[]){RandomNums randomNums = new RandomNums();randomNums.getRandomNums(1, 1000, 900);}}。
随机数算法之从N个数中取M个数
随机数算法之从N个数中取M个数
算法描述如下：从M个数中选出N个数来(0<N<=M)，要求N个数之间不能有重复。
分两种情况：
1.n>>m时
repeat
Randomize; //初始化随机数
a:=Random(n-1)+1; //如果n=50，0 <=Random(50-1) <=49
b:=Random(n-1)+1;
c:=Random(n-1)+1;
until (a <> b) and (b <> c) and (a <> C)
2 m接近n时，随机抽取⼀个，如果重复了，重新抽取⼀次。
缺陷是需要对⽐。
进⼀步做法：每次随机取出⼀个数，之后将该数放置到集合的末尾去，这样下次取随机数的时候，只从1到⽬标集合个数-1个中随机抽取，如此循环，这样就避免了判断在结果集合中判断是否存在相冲突的数的过程。
另外⼀种不使⽤数组⽽使⽤可变集合的办法，这种算法的做法是使⽤了之后马上从源集合中清除掉（数组是没有办法这么做的），因⽽也是可以做到⽣成不重复的随机数的。
从n个数中随机选取m个
从n个数中随机选取m个咋⼀看，这是个很简单的问题，但是如果n是个不确定的数呢？⽐如服务器每天会收到数以亿计的请求，但是⽬前服务器端不希望保存所有的请求，只想随机保存这些请求中的m个。
试设计⼀种算法，能够使服务器实时保存m个请求，并使这些请求是从所有请求中的⼤致等概率被选中的结果。
注意：不到⼀天的结束，是不能提前知道当天所有请求数n是多少的。
下⾯我们分两种情况讨论（1）n已知，（2）n未知。
1 n已知可以将问题简化为：从集合A(a_1, a_2, … ,a_n),中随机选取m（0≤m≤n）个元素，使得每个数被选取的概率相等。
可以很简单的计算每个数被选取的概率是m/n。
如果集合A⾥⾯的元素本来就具有随机性，每个元素在各个位置上出现的概率相等，并且只在A上选取⼀次数据，那么直接返回A的前⾯m个元素就可以了，或者可以采取每隔k个元素取⼀个等类似的⽅法。
这样的算法局限很⼤，对集合A的要求很⾼。
假设集合A中的元素在各个位置上不具有随机性，⽐如已经按某种⽅式排序了，那么我们可以遍历集合A中的每⼀个元素a_i,根据⼀定的概率选取a_i,这个概率是多少呢，设m’为还需要从A中选取的元素个数， n’为元素a_i及其右边的元素个数，也即n’=(n-i+1)。
那么选取元素a_i的概率为 m’/n’。
这个证明较复杂，下⾯简单验证⼀下前两个元素被选中的概率：（设p(a_i=1)表⽰a_i被选中的概率，p(a_i=0)表⽰a_i没有被选中的概率）（1）很显然p(a_1=1)=m/n（2）p(a_2=1)= p(a_2=1,a_1=1)+p(a_2=1,a_1=0)= p(a_1=1)*p(a_2=1│a_1=1)+ p(a_1=0)* p(a_2=1│a_1=0)= m/n * (m-1)/(n-1) + (n-m)/n*m/(n-1)= m/n实际编程中选取某个元素时，可以⽣成⼀个[0,1]之间的随机数k, 若k<=m'/n'则选取这个元素，否则抛弃。
n选k组合算法
n选k组合算法。
"n选k组合"算法是一种常用的算法，它可以计算出由n个元素中取出k个元素的所有可能的组合。
在计算机科学中，n选k组合的计算是一个非常常见的问题，它可以用来解决许多实际问题。
比如，一个超市有五种不同类别的商品，一次可以买三种，此时可以用n选k算法来计算出所有可能的组合。
另一个例子是，电脑游戏中有五种不同的英雄，每次只能选择三个，此时也可以用n选k 算法来计算出所有可能的组合。
n选k算法的一般步骤如下：
设定n个元素中选择k个元素，将这k个元素构成一个数组，这个数组称为解空间。
然后，从解空间中任取一个元素放入到结果数组中，然后从解空间中移除这个元素，这个过程称为约束。
接着，将剩余的元素放入到结果数组中，并且移除这些元素，直到结果数组中的元素个数达到k个。
将这k个元素放入结果数组中，这就是一个可行的解，将这个解放入结果集中，然后重复上述过程，直到解空间中没有可用的元素，得到所有可能的组合。
n选k算法是一个十分有用的算法，它可以计算出由n个元素中取出k个元素的所有可能的组合，并且可以用于解决许多实际问题。
多个自然数随机相加和的概率
多个自然数随机相加和的概率随机相加和是指将多个自然数相加得到的结果。
当我们从自然数中随机选择一些数进行相加时，我们可能会产生不同的和。
这个和可能是一个小的数，也可能是一个非常大的数。
那么，多个自然数随机相加和的概率是多少呢？让我们来看一个简单的例子。
假设我们从1到6的自然数中随机选择两个数相加，我们可以列出所有可能的和及其出现的次数：和出现次数2 13 24 35 46 57 68 59 410 311 212 1从上表中我们可以看出，和为7的情况出现的次数最多，为6次。
而和为2或者12的情况只出现了1次。
通过观察这个例子，我们可以得出一个结论：和为7的情况出现的概率最大。
那么，根据这个结论，我们可以推广到更多的自然数相加的情况。
当我们从自然数中随机选择更多的数进行相加时，和为7的情况出现的概率会越来越大。
这是因为和为7的情况有更多的组合方式，比如1+6、2+5、3+4等等。
而和为2或者12的情况只有一种组合方式，即1+1或者6+6。
为了更好地理解这个问题，让我们来进行一些数学推导。
假设我们从1到n的自然数中随机选择k个数进行相加。
那么一共可能有多少种组合方式呢？根据组合数学的知识，我们知道这个问题可以表示为C(n,k)。
而和为x的情况出现的次数，则可以表示为和为x的组合数的个数。
但是，对于大的n和k，计算C(n,k)是非常困难的。
所以，我们可以通过模拟的方法来估算多个自然数随机相加和的概率。
我们可以编写一个程序，使用随机数生成器来模拟从自然数中随机选择数进行相加，然后统计每个和出现的次数，最后计算每个和出现的概率。
通过多次运行程序，我们可以得到多个相加和的概率。
我们会发现，和为7的概率确实是最大的。
而和为2或者12的概率非常小。
这符合我们之前的思考和观察结果。
多个自然数随机相加和的概率与和的大小有关。
较小的和出现的概率较小，较大的和出现的概率较大。
这是因为较大的和有更多的组合方式，而较小的和只有很少的组合方式。