六年级奥数第15讲-抓“不变量”解题(学)

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六年级奥数第15讲-抓“不变量”解题(学)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第15讲——抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想教学目标解决现实生活中的问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。

小军原来有多少元钱？例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。

问又转入多少名女生？课后反击1、育才小学六（1）班原有女生26人，其中女生人数占全班人数的13/29，现又转出若干名女生，这时，女生人数占全班的3/7。

小学六年级奥数思维训练抓“不变量”解题

小学六年级奥数思维训练抓“不变量”解题
一、尝试练习
1、
319的分子、分母加上同一个数并约分后得57
，那么加上的数是多少？
2、将
75的分子与分母同时减去同一个数，新的分数约分后是32，减去的数是多少？
二、训练营地
1、将
4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

2、将
5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23
，求减去的数是多少？
3、将一个分数的分母加上1得31，分母加上5得51。

原来的分数是多少？
4、将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

完整六年级奥数抓不变量解题

六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。

”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。

534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。

由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。

35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

六年级奥数解题方法-抓不变量

六年级奥数解题方法-抓不变量
奥数学习有利于训练孩子的思维能力，让孩子在解题的过程中能够从不同的角度进行思考。

下面是小编整理的小学五年级奥数题及解析，大家可以看下。

数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。

这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。

例一今年小明8岁，小强14岁。

几年后小明和小强岁数的和是40岁?
从年龄上不变来找解题的“突破口”
小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(岁)
是在几年之后呢?17-8=9(年)
例二王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。

王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。

两个数的积究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。

抓住：一个因数(乙数)没有变，乙是91和175的公约数
91÷7=13……王进看错了的甲数
175÷7=25……张明看错了的甲数。

15×7=105。

抓不变量解决问题 ppt课件

抓不变量解答分数应用题
抓不变量解决问题
复习
1、某班男女生人数比为2：3，男生人数是
女生人数的（ 2 ），女生人数是男生人数
3
的（ 3 ），男生人数是全班人数的（ 2 ）。
2
5
抓不变量解决问题
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
16、3：4的前项加上6，要使比值不变，
后项应加上（
）。
抓不变量解决问题
20、在一道减法算式中，被减数与减数
的比为8：5，差比减数少24，这道减法
算式是（
）。
抓不变量解决问题
全班共有58人，男生人数的2/5等于女生人数的3/8，男女生各有多少人？
抓不变量解决问题
校图书室有故事书、科技书、文艺书三种，其中故事书是总数的2/5，科技书与故事书的比为7:8，已知故事书比文艺书多144本，故事书有多少本？
甲、乙两袋球的比是2：5，现往甲袋中放入10个球，这时甲、乙两袋球的比是3：7，乙袋中有多少个球？
张庄小学六年级学生中女生占 7 ，后来又转来了15名女生，这样女1生2 占六年级总人数的 3 ，六年
5
级原来有多少名学生？
部分量不变
抓不变量解决问题
试一试试一试
甲、乙两袋球的比是3：4，从甲袋拿出50个放入乙袋，这时甲袋中的球是乙袋的 1 ，原来甲、乙两袋中各有多少个球2？
抓不变量解决问题
3、甲、乙两车间人数比是3：5，若从乙车间调10人到甲车间，现在甲、乙车间的人数比是2：3，两车间共有多少人？不变量是（）
4、甲、乙两车间人数比是3：5，若乙车间调进10人，现在甲、乙车间的人数比是4：7，乙车间原有多少人？不变量是（）

六年级上册数学试题奥数系列_第15讲：浓度问题_全国通用(含解析)

第15讲浓度问题知识网络我们知道，将糖溶于水就得到了糖水。

我们把糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。

如果水的质量不变，那么糖加的越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的浓度（又叫含糖量）。

类似的，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精浓度。

这一比值一般我们将它写成百分数。

溶质、溶剂、溶液和浓度具有如下的基本关系式：溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量浓度=溶质质量÷溶液质量溶液质量=溶质质量÷浓度溶质质量=溶液质量×浓度重点·难点浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。

解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节的重点。

学法指导浓度问题包括以下几种基本题型：（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。

面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。

（2）溶质的增加引起浓度变化面以过种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。

（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。

面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。

总之，解答浓度问题，要注意题目中条件与问题的关系，找出所隐含的不变量，问题就迎刃而解了。

经典例题[例1]现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？思路剖析要解决这个问题，我们首先想到的是向溶液中加适量食盐，这样溶质增加，浓度变大。

其实，反过来想，我们可以减少溶剂质量即将盐水溶液中的水蒸发掉一部分，同样可以达到将盐水的浓度改变为20%的目的。

若采用加盐的方法：由于加盐前后，溶液中所含水的量没有改变，我们利用溶液等于溶剂的量除以溶剂在溶液中的百分比即可计算出加盐溶液的质量。

加盐后与加盐前溶液质量的差值就是所加入的盐的质量。

六年级奥数第15讲-抓“不变量”解题(教)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第15讲——抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想解决现实教学目标生活中的问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名)。

P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。

2019-2020年小学数学奥数六年级《抓不变量解答分数应用题》教案设计

抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。

如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。

又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。

把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。

那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。

小升初数学——抓不变量解题

小升初数学——抓不变量解题知识导航:在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。

其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。

为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。

那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。

抓不变量问题主要分以下三种情况。

一.抓住“和不变”在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。

和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。

例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6 倍，从第一桶取出12 千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。

则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1+6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1+4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。

原来第一桶：210×6/7=180（千克）二. 抓住“差不变”有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。

例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48 人，六年二班有学生56 人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？分析：两个班的人数都发生了变化。

谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。

即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。

因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。

六年级思维训练奥数抓不变量解题

第十二讲抓“不变量”解题【典型例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79。

求所加的这个数。

【分析】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数,所以分数的分母与分子的差不变,仍是18,所以,原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,且分子是分母的79,由此可求出新分数的分子和分母。

”分母:(61-43)÷（1—79）=81 分子:81×79 =6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2。

因为分数的分母与分子差不变,所以将79的分子、分母同时扩大到原来的18÷2=9(倍)。

①79 的分子、分母应扩大到原来的:(61-43)÷(9-7)=9(倍)②约分后所得的79在约分前是:79 = 7×99×9= 4361 ③所加的数是:81-61=20”答:所加的这个数是20。

【随堂练习1】（1）分数 97181 的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是 25。

求减去的这个数。

（2）分数 113 的分子、分母同加上一个数后得 35。

求同加的这个数。

【典型例题2】将一个分数的分母减去2得 45。

如果将它的分母加上1,则得 23，求这个分数。

【分析】解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2得 45”可知,分母比分子的 54倍还多2。

由“分母加1得 23”可知,分母比分子的 32倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子:(2+1)÷（32—54）=12 分母:12×32—1=17 解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。

23= 46= 1218； 45= 1215②原分数的分母是:18—1=17或15+2=17 答:这个分数为 1217。

【随堂练习2】1、将一个分数的分母加上2得 79，分母加上3得 34。

第十五讲浓度问题(一) 练习

课后练习：一、基本题1、（1、2数学#小学奥数#六年级奥数#秋季奥数#浓度问题）有含糖6％的糖水900克，其中糖有多少克？水有多少克？【详解】糖：900×6％＝54（克）水：900－54＝846（克）答：其中糖有54克，水有846克。

【技巧】溶质重量＝溶液重量×浓度，溶剂重量＝溶液重量－溶质重量＝溶液重量×（1－浓度）2、（2、3数学#小学奥数#六年级奥数#秋季奥数#浓度问题#求浓度）在浓度为35％的盐水10千克中加入4千克水，这时浓度是多少？【分析】10千克浓度为35％的盐水中，含盐10×35％＝3.5（千克）。

加水4千克后，溶液的重量变成14千克，溶质还是3.5千克，此时溶液的浓度是3.5÷14＝25％。

【详解】10×35％÷（10＋4）＝25％答：这时浓度是25％。

【技巧】只往溶液中加水或蒸发水时，溶液中溶质的重量是不变的。

根据不变的溶质以及稀释或蒸发后溶液的重量，就可以求出浓度。

基本公式：溶液的浓度＝溶质的重量÷溶液的重量。

3、（2、3数学#小学奥数#六年级奥数#秋季奥数#浓度问题#求溶剂）100克浓度为55％的酒精溶液中，需加入多少克的水，才能成为浓度是40％的酒精的溶液。

【分析】本题关键是要抓住不变量来做。

根据题意可知，把酒精溶液加水稀释后，溶液中纯酒精的含量是不变的。

100克浓度为55％的酒精溶液中纯酒精的重量是100×55％＝55（克）。

加水后，溶质还是55克，溶度是40％，根据“溶质重量÷溶液浓度＝溶液重量”可知加水后的溶液的重量是55÷40％＝137.5（克），所以应加水137.5－100＝37.5（克）。

【详解】100×55％＝55（克） 55÷40％＝137.5（克） 137.5－100＝37.5（克）答：需要加水37.5克的水。

【技巧】解题时注意当溶液中溶剂增加时，溶液也随之增加，其中不变的是溶质，可依据不变量溶质及不同的浓度求得后来的溶液重量，前后溶液重量之差就是加入的溶剂的重量。

第十五讲浓度问题(一) 例题

浓度问题（一）浓度的概念糖水甜的程度是由什么决定的呢？答案是：糖水甜的程度是由糖与水的比值决定的，这个比值就叫甜水的浓度。

其中糖叫做溶质，水叫做溶剂，糖水叫溶液。

想一想：盐水中各部分又叫什么呢？浓度＝溶液重量溶质重量×100％由此可得：溶质重量＝溶液重量×浓度溶液重量＝溶质+溶剂重量溶剂重量＝溶液重量－溶质重量＝溶液重量×（1－浓度）稀释与蒸发：在盐水中再加入水，得到新的盐水，显然新盐水中所含盐的重量并没有变（这是我们列方程的一个重要的等量关系），但由于水多了，所以溶液重量比原来多了后加水的重量，浓度也变小了。

这种变化叫稀释。

把盐水加热，一部分水变成蒸气跑掉了，虽然盐，重量没变，但溶液重量减少了，浓度也就变大了，这种变化叫蒸发。

当然，要使溶液浓度变化，一般用蒸发水份的方法是不实用的，可采取增加溶质的方法。

例1：浓度为25％的盐水120克，稀释成浓度为10％的盐水，需要加多少克的水？【分析】本题关键是要抓住不变量来做。

根据题意可知，把盐水加水稀释后，盐水中盐的重量是不变的。

根据第一个条件，可以求出盐水中盐的重量是120×25％＝30（克）。

加水后，溶质还是30克，溶度是10％，根据“溶液的重量＝溶质的重量÷溶液的浓度”可以求出加水后的溶液的重量，是30÷10％＝300（克），所以应加水300－120＝180（克）。

【详解】120×25％＝30（克） 30÷10％＝300（克） 300－120＝180（克）答：需要加水100克。

【技巧】解题时注意当溶液中溶剂增加时，溶液也随之增加，其中不变的是溶质，可依据不变量溶质及不同的浓度求得后来的溶液重量，前两种溶液重量之差就是加入的溶剂的重量。

其基本数量关系式有：溶质的重量÷浓度＝溶液重量。

练一练：有300千克浓度为10％的盐水,加入了一定的水以后,盐水的浓度变为了8％。

六年级奥数--抓“不变量”解题

六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1：1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

六年级奥数第15讲-抓“不变量”解题(学)