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高中数学选择填空专练(一)

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高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)

高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)

高中数学 平面向量 选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是 （ ）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3． 以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4． 已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5． 下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ ）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（ ）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（ ）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（ ）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。

高中学考数学练习题

高中学考数学练习题

高中学考数学练习题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，则f(1)的值为：A. 1B. -1C. 3D. -32. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. -1C. 1D. -53. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2 + 1B. y = x^3 - xC. y = x^2 - 2xD. y = x - 1/x4. 函数y = sin(x)在区间[0, π/2]上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 先减后增函数5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5的值为：A. 17B. 14C. 11D. 86. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且c = 5，b = 4，则a的值为：A. 3B. 4C. 5D. 67. 圆心在(2, 3)，半径为5的圆的标准方程为：A. (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25B. (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25C. (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9D. (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 98. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定9. 函数y = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，集合B = {x | x^2 - 3x + 2 = 0}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为_________。

全国高中数学联赛选择填空训练题(3)

全国高中数学联赛选择填空训练题(3)

全国高中数学联赛选择填空训练题（3）一、选择题：（每小题6分，共36分）1.与函数y=f(x-a)+b的图像关于直线y=x对称的图像所对应的函数是( )A.y=f-1(x-a)+bB. y=f-1(x+a)-bC. y=f-1(x-b)+aD. y=f-1(x-b)-a2.半径为1的圆的内接十边形的最短边的最大值是( )A.12(5-1) B.123 C.14(5+1) D.13.小于50000且含有奇数个数字"5"的五位数共有( )A.2952个B.11808个C.16160个D.26568个4.三角形的三条边长均为正整数,其中有一条边长为4,但它不是最短的边,这样不同的三角形共有( )A.6个B.7个C.8个D.9个5.已知a∈(0,1)的常数,|x|+|y|≤1,函数f(x,y)=ax+y的最大值为( )A.aB.1C.a+1D.12(a+1)6.对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n ≠1)的整数n共有( )A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个二、填空题：（每小题9分，共54分）7.对于已知的x,y,把2-x,2x-y,2y-1的最小值记作F(x,y),当0<x,y<1时,F(x,y)的最大值等于___________.8.用E(n)表示可使5k是乘积112233…n n的约数为最大的整数k,则E(150)= ___________9.设函数f(x)=E(x)-2E(x2),其中E(x)表示实数x的整数部分,则f(x)为周期函数,其最小正周期T为___________10.函数f(x)在R上有定义,且满足(1)f(x)是偶函数,且f(0)=2005,(2)g(x)=f(x-1)是奇函数,则f(2005)的值为_______.11.在平面上有一定点P,考虑所有可能的正三角形ABC,其中AP=3,BP=2,则CP的最大长度为__________.12.已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为_________.答案:1.C.2.A.3.B.4.C.5.B.6.B.7.2-1/3.8.2975.9.2.10.0.11.5.12.1949.。

高中数学排列组合专题练习题

高中数学排列组合专题练习题

高中数学排列组合专题练习题一、选择题1、从 5 名男同学和 4 名女同学中选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任 5 种不同的职务，不同的选法共有（）A 5400 种B 18000 种C 7200 种D 14400 种解析：第一步，从 5 名男同学中选出 3 名，有\（C_{5}＾3\）种选法；第二步，从 4 名女同学中选出 2 名，有\（C_{4}＾2\）种选法；第三步，将选出的 5 名同学进行排列，有\（A_{5}＾5\）种排法。

所以不同的选法共有\（C_{5}＾3 × C_{4}＾2 × A_{5}＾5 ＝ 10×6×120 ＝7200\）种，故选 C。

2、有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本。

若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A 24B 48C 72D 96解析：先排语文书有\（A_{2}＾2 ＝ 2\）种排法，再在语文书的间隔（含两端）处插数学书有\（A_{3}＾2 ＝ 6\）种插法，最后将物理书插入 4 个间隔中的一个有 4 种方法。

所以共有\（2×6×4 ＝ 48\）种排法，故选 B。

3、从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162解析：分两类情况讨论：第一类：取出的偶数含 0。

偶数 0 和另外一个偶数的取法有\（C_{2}＾1\）种，奇数的取法有\（C_{3}＾2\）种。

0 在个位时，其他三个数字全排列，有\（A_{3}＾3\）种；0 不在个位时，0 有 2 种位置，其他三个数字全排列，有\（2×A_{2}＾1×A_{2}＾2\）种。

此时共有\（C_{2}＾1×C_{3}＾2×（A_{3}＾3 ＋ 2×A_{2}＾1×A_{2}＾2) ＝ 108\）种。

高中数学《等差数列》专项练习题

高中数学《等差数列》专项练习题

等差数列练习题一、选择题1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）A、89B、-101C、101D、-892、等差数列{a n}中，a15 = 33，a45 = 153，则217是这个数列的（）A、第60项B、第61项C、第62项D、不在这个数列中3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为A、4B、5C、6D、不存在4、等差数列{a n}中，a1 + a7 = 42，a10 - a3 = 21，则前10项的S10等于（）A、720B、257C、255D、不确定5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于（）A、14B、13C、13或1 D、126、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{ C n }，其通项公式为（）A、C n= 4n - 3B、C n= 8n - 1C、C n= 4n - 5D、C n= 8n - 97、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30，若此数列的最后一项比第1项大10，则这个数列共有（）A、6项B、8项C、10项D、12项8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1 = 25，b1 = 75，且a100 + b100 = 100，则数列{a n + b n}的前100项和为（）A、0B、100C、10000D、505000二、填空题9、在等差数列{a n}中，a n = m，a n+m= 0，则a m= ______。

10、在等差数列{a n}中，a4 +a7 + a10 + a13 = 20，则S16 = ______ 。

11、在等差数列{a n}中，a1 + a2 + a3 +a4 = 68，a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30，则从a15到a30的和是______ 。

12、已知等差数列110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为______ 。

2020年最新高考数学--以圆或隐圆为背景的选择填空题(解析版)

2020年最新高考数学--以圆或隐圆为背景的选择填空题(解析版)

专题一 压轴选择填空题第4关 以圆或隐圆为背景的选择填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【典例解剖】类型一 以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1．（2020上海控江中学高三月考）设三角形ABC 是位于平面直角坐标系xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P 满足：222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++，已知动点P 的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】【分析】可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++ 展开整理，得22123123332()2()0x y x x x x y y y y +-++-++=．∴2222123123123123111[()][()][()()]339x x x x y y y y x x x y y y -+++-++=+++++． ∴圆的圆心坐标为1231(()3x x x ++，1231())3y y y ++，为三角形ABC 的重心，故选C ．【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用，圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题． 【举一反三】（2020上海洋泾中学高三月考）已知定圆C ：()2245x y -+=，其圆心为()4,0C ，点A 为圆C 所在平面内一定点，点P 为圆C 上一个动点，若线段PA 的中垂线与直线PC 交于点Q ，则动点Q 的轨迹可能为______．（写出所有正确的序号）（1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）圆；（5）直线；（6）一个点． 【答案】（1）（2）（4）（6） 【解析】（1）若点A 在圆C 外部，=QA QC PC AC ->Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的双曲线；（2）若点A 在圆上，则C Q ，点重合，如图，点Q 点的轨迹为点C ；（3）若点A 在圆内部且不为圆心，则QA QC PC +==AC <Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆；（4）若点A 在圆内部且为圆心，,A C 重合时，Q 为半径PA 的中点，所以点Q 是以C 为半径的圆．综上所述，Q 点的轨迹可能是（1）（2）（4）（6）四种情况 答案为：（1）（2）（4）（6）类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2．（2020上海师大附中期中）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最大值7，故选B ．考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键． 【举一反三】1．（2020上海七宝中学高三月考）已知a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c v 在满足()()340a c b c +-=v v v v，均能使c b k -≤v v 成立，则k 的最小值是_________．【答案】52【解析】【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===，利用()()340a c b c +⋅-=r r r r ，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -vv 的最大值，从而求出k 的最小值．【详解】因为a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v ===， ()33,a c x y ∴+=+r r ，()4,4b c x y -=--r r，又()()340a c b c +⋅-=r r r r ，()()340x x y y ∴-++-=，即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -v v 表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为d =c b ∴-r r 的最大值为52=，要使c b k -≤r r 恒成立，52k ≥，即k 的最小值是52，故答案为52．【名师点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键． 类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3．（2020上海青浦中学月考）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +． 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ． 【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 【举一反三】（2020上海徐汇区一模）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞UD ．(25,9)(11,)--+∞U【答案】D【解析】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4）， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51，解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11． ∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞），故选D ．【精选名校模拟】1．（2020上海七宝中学月考）已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=的取值范围是（ ）A ．B ．[1,2]C ．(0,2]D ．2【答案】B 【解析】【分析】构造直线0x +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM 2sin POM =∠，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线0x +=的距离PM =P 到原点的距离OP =22sin PMPOM OP==∠． 设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =1=，解得k =，POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠剟，12sin 2POM ∴∠剟，故选B ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=2．（2020上海南模中学高三月考）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A ．相离．B ．相切．C ．相交．D ．随m 的变化而变化．【答案】D 【解析】22212121,ABx x k x x x x -==+∴-Q 直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-． 即1212()y x x x x x =+-，所以直线AB的方程为22,y mx m m d =-+-===因为2240,4()0,03m m m m ∆>∴-->∴<<， 所以221999225,(),(,),()()161616256t g t t t t g t g m =>∴=+∈+∞>=令，所以1615d =<=，所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离． 3．（2020上海一模冲刺练）若对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ）A．B ．4C．D ．不确定【答案】D 【解析】【分析】先根据点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为1，确定直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC 即得选项． 【详解】由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=1=，即此直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积11233S =⨯⨯=， 即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=，即选项A ，B ，C 错误，故选D ．4．（2020上海交大附中月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围．【详解】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可为的整数有0，-1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确．由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都．结论②正确．如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误，故选C ．5．（2020上海浦东复旦附中高三月考）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 240x y +-= 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 【答案】45π【解析】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=． 6．（2020上海二中高三期中考试）若定义域均为D 的三个函数f （x ），g （x ），h （x ）满足条件：对任意x ∈D ，点（x ，g （x ）与点（x ，h （x ）都关于点（x ，f （x ）对称，则称h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”．已知g （x ）f （x ）=2x+b ，h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”，且h （x ）≥g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围是_____．【答案】)+∞ 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h （x ）≥g （x ）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x ∈D ，点（x ，g （x ）） 与点（x ，h （x ））都关于点（x ，f （x ））对称，∴g （x ）+h （x ）=2f （x ）， ∵h （x ）≥g （x ）恒成立，∴2f （x ）=g （x ）+h （x ）≥g （x ）+g （x ）=2g （x ），即f （x ）≥g （x ）恒成立， 作出g （x ）和f （x ）的图象，则g （x ）在直线f （x ）的下方或重合， 则直线f （x ）的截距b ＞0，且原点到直线y=2x+b 的距离d≥1，1=≥⇒b ≤，即实数b 的取值范围是+∞），故答案为：)+∞．7．（2020上海育才中学高三月考）已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-．设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________【答案】20． 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得12212332T x y x y x y x y =-+-12212332222OMN OPN OMNP x y x y x y x y S S S ∆∆≤-+-=+=四边形，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出T 的最大值．【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22125x y -++=，圆心坐标为()1,2-122123321221233222OMN OPN T x y x y x y x y x y x y x y x y S S ∆∆∴=-+-≤-+-=+2OMNP S =四边形，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以当四边形OMNP 为正方形时，T =所以2220T ≤⨯=，故答案为：20．8．（2020上海浦东新区高三期末）若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+=像，观察图像得出实数a 的取值范围．【详解】设()()2,()f x a x g x =+=2y ax a =+存在零点等价于()()2,()f x a x g x =+=函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数()g x =a ==，所以()()2,()f x a x g x =+=03a ≤≤，故答案为：．9．（2020永安三中高三期中考试）若曲线y =y x b =+始终有交点，则b 的取值范围是_______．【答案】[-【解析】由题设可知x b +=b x =有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则sin θ=，所以sin cos )4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444πππθ-≤-≤，结合正弦函数的图像可知sin()124πθ-≤-≤，则)[4b πθ=-∈-，应填答案[-． 【名师点睛】解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程x b +=进而分离参数b x ，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos )4b πθθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．10．（2020上海四中高三期中考试）若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________． 【答案】210x y --=【解析】因为(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，所以圆心坐标为()3,0，31201MN k -=-=-，MN 所在直线方程为()121y x -=-，化简为210x y --=，故答案为210x y --=． 11．（2020上海华师大二附中高三月考）设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，则代数式222212341324a a a a a a a a +++++的最小值为______．【解析】【分析】由222212341324a a a a a a a a +++++结构特征，构造向量12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r 的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r ，转化为求2||||a b a b +⋅r r r r的最小值，由14231a a a a -=，可得1||||,sin a b θ=r r cos sin a b θθ⋅=r r ，转化求2cos cos 2sin sin sin θθθθθ++=的最小值，即为(sin ,cos )M θθ与点(0,2)P -连线的斜率最小值，即可得结果．【详解】设12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r，sin θ===1||||||||a b a b ==r r ， 1cos ||||,sin sin a b a b θθθ=⋅=r r r r ，2||||a b a b +⋅r r r r 2cos cos 2sin sin sin θθθθθ+=+= ① 设(sin ,cos )M θθ，（0θπ<<），(0,2)P -，①式表示点(0,2)P -与单位圆（y 轴右侧）的点M 连线斜率，当PM12．（2020上海建平中学高三期中）已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v的最小值是________【答案】【解析】【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值． 【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值．因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr ，表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和，过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即13．（2020上海高三模拟考试）已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈，当方程有实数根时，则实数t 的取值范围________． 【答案】[4,0]- 【解析】【分析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，再结合直线t y x =-与圆的位置关系即可得解．【详解】因为关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈有实数根，得222()0t t xy t x y i +++++=，由复数相等的充要条件可得：2220t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩，消t 得22(1)(1)2x y -++=，则所求点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，直线t y x =-≤，解得40t -≤≤，故答案为[4,0]-．14．（2020上海南模中学高三期中）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴|AB |＝=故答案为：15．（2020上海青浦中学高三月考）已知AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为___________．【答案】32 【解析】 【分析】由题意可得四边形ABCD 的面积n S 的表达式：2n AC BDS ⨯=，由于点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心，且此时四边形面积取到极限值，此时几何图形形状可求得面积的极限 【详解】由题可知，AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由2n AC BDS ⨯=，由点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心()1,2，此时AC 、BD 都是直径，故n S 的极限值为22r ，4r =，n S 的极限值为32，圆内接四边形恰好为正方形 故答案为：32．16．（2020上海建平中学高三月考）在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是______．【答案】(2,- 【解析】【分析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围．【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒，由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以OA θ=u u u r )θ，(BC =u u u r ，2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-u u u r u u u r ，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()124πθ-<-≤，所以2)4πθ-<-≤故答案为：(2,-．17．（2020上海松江区一模）若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________【答案】- 【解析】【分析】先由题意，根据基本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈t a b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果． 【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a b c ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b，因为+===a b ，当且仅当a b =时取等号．所以(=+∈t a b ， 又易知函数3=-y tt在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y tt，因此()()2233==≥=-+--+ca b ta b t即实数c的最小值为-，故答案为：-18．（2020江苏盐城中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,2A，E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=，若圆C上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，则m的取值范围为________．【答案】1⎤-⎦【解析】取EF中点为M，连接AM，则2+=u u u r u u u r u u u u rAE AF AM，又圆()()22:114C x y-+-=上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，所以2=u u u u r u u u rAM mCP，因此22==u u u u r u u u rAM m CP m，即=u u u u rm AM；因为E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=1==CM，设(,)M x y1=，即()()22111x y-+-=即为动点M的轨迹；所以AMu u u u r表示圆()()22111x y-+-=上的点与定点()2,2A之间的距离，因此11-≤≤+u u u urAC AM AC，11≤≤u uu u rAM11≤≤m，故答案为：1⎤⎦．。

高中数学 专题4.1.1 流程图(一)练习(含解析)新人教A版选修12

高中数学 专题4.1.1 流程图(一)练习(含解析)新人教A版选修12

流程图（一）班级：姓名：_____________一、选择题1．根据下边框图，当输入x为6时，输出的y＝( )A．1 B．2C．5 D．10[答案] D2.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A．26 B．24C．20 D．19[答案] D[解析] 路线D→C→B的最大信息量是3；路线D→E→B的最大信息量为4；路线G→F→B的最大信息量为6；路线G→H→B的最大信息量为6.故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.3．两个形状一样的杯子A和B中分别装有红葡萄酒和白葡萄酒．现在利用空杯子C将A和B两个杯子里所装的酒对调，下面画出的流程图正确的是( )[答案] A二、填空题4．某算法的程序框图如图所示，若输出12，则输入的实数x 的值为__________________.[答案] 2[解析] 由程序框图知：该算法是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≤1log 2x ，x >1的函数值，∴由y ＝12，得x ＝ 2. 5．某工程的工序流程图如图所示(工时单位：天)，现已知工程总工时数为10天，则工序c 所需工时为__________________天．[答案] 4[解析] 设工序c 所需工时为x 天，由题意知：工序：①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9天，工序：①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8天，∴工序：①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．∴1＋x ＋4＋1＝10.∴x ＝4.[点评] 在工序流程图中，如果工序分几条进行，则最短工时应为各条工时中最长的．三、解答题6．某地残次木材系列资源开发利用的具体过程是：建立木材加工厂，利用残次木材加工各种小件木制用具(如打气筒手柄)，再把加工后的下脚料粉碎，用于培养袋栽食用菌．试画出此资源开发利用的工序流程图．7．某药厂生产某种产品的过程如下：(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装包装；(2)提取环节经检验，合格，进入下一工序，否则返回前处理；(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品，画出生产该产品的工序流程图．[解析] 工序流程图如图所示：。

高中数学专题同步练习训练大全

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高中数学专题同步练习训练大全高中数学集合练习题一、填空题.(每小题有且只有一个正确答案,5分×10=50分)1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2，7 ，8}是 ( )2 . 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是 ( )A.0B.0 或1C.1D.不能确定3. 设集合A={x|1A.{a|a ≥2｝B.{a|a≤1｝C.{a|a≥1｝.D.{a|a≤2｝.5. 满足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 ( )A.8B.7C.6D.56. 集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2 |， 3a2+4}，A∩B={-1}，则a 的值是( )A.-1B.0 或1C.2D.07. 已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则 ( )A.I=A∪BB.I=( )∪BC.I=A∪( )D.I=( )∪( )8. 设集合M= ，则 ( )A.M =NB. M NC.M ND. N9 . 集合A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为( )A.A BB.A BC.A=BD.A≠B10.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4}，( UA)∩( UB)={1，5}，则下列结论正确的是( )A.3 A且3 BB.3 B且3∈AC.3 A且3∈BD.3∈A且3∈B二.填空题(5分×5=25分)11 .某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.12. 设集合U={(x，y)|y=3x-1}，A={(x，y)| =3}，则 A= .13. 集合M={y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,则M∪N=_ __.14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=_15、已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为三.解答题.10+10+10=3016. 设集合A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值17.设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ，A∩B=B，求实数a 的值.18. 集合A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.(1)若A∩B=A∪B，求a的值;(2)若A∩B，A∩C= ，求a的值.19.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2-4x+m-1 0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A,求m的取值范围.高中数学数列练习题一、选择题:(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.设数列,,2,，……则2是这个数列的 ( )D.第九项 A.第六项 B.第七项 C.第八项2.若a≠b,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 , y3，b都是等差数列，则A.2 3B.3 4x2x1 ( ) y2y1C.1D.4 33. 等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450 ,则前9项和S9= ( )A.1620B.810C.900D.6754.在-1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-55.首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )A.d 888B.d 3C.≤d 3D. d≤3 p= 3336.等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a2na133，则该数列的公差为 ( )A.3B.-3C.-2D.-17.在等差数列{an}中，a100,a110,且a11|a10|，则在Sn中最大的负数为( )A.S17B.S18C.S19D.S208.等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( )A.a11B.a10C.a9D.a89.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95 2f(n)n_(n∈N)且f(1)=2,则f(20)为 ( ) 2 C.105 D.192B.9710.已知无穷等差数列{a n}，前n项和S n 中，S 6 S 8 ,则 ( )A.在数列{a n }中a7 最大;B.在数列{a n }中,a 3 或a 4 最大;C.前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等;D.当n≥8时，a n 0.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.集合Mmm6n,nN_,且m60中所有元素的和等于_________.a1a2a3an，则S13_____ 12、在等差数列{an}中，a3a7a108,a4a1114.记Sn 13、已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a16的值是.Sn5n1a=，f(n)n;Tn3n1bn14.等差数列{an｝、{bn｝、{cn｝与{dn｝的前n项和分别记为Sn、Tn、Pn、Qn.f(n)cn5n2P=，g(n)n.则的最小值= g(n)dn3n2Qn三、解答题：15.(12分)(1)在等差数列{an}中，d1,a78，求an和Sn; 3(2)等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10185.求an;16.(13分)一个首项为正数的等差数列{an}，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大17.(13分)数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0|a1||a2||an|，求Sn。

新人教A版高中数学选择性必修一测试卷

新人教A版高中数学选择性必修一测试卷

○…………………装…………○…………:___________姓名：___________班级：__________√3 B. 32 C. 1 D. √32A. √3(2−√3)3B. √3(3−2√2)3C. 2√2−√33D. 3√3−2√23√2√2 A. √132B. 3√32√3 √3A. 83第2页第Ⅱ卷三、解答题（共5题；共52分）17.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．18.（2020·济宁模拟）如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，AD=PD=2AB=2BC=2，M为PA的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面PAD，异面直线BC与PD所成角为60°，且△PAD是钝角三角形，求二面角B−PC−D的正弦值19.（2020高一下·大庆期末）已知ΔABC中，A(1,1)、B(2,−3)、C(3,5)，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.（1）BC边上的高线的方程；（2）BC边的垂直平分线的方程.第4页………○…………线…………○…答※※题※※………○…………线…………○…答案解析部分一、单选题 1.【答案】 C【考点】球的体积和表面积，点、线、面间的距离计算【解析】【解答】设球O 的半径为R ，则 4πR 2=16π ，解得： R =2 . 设 △ABC 外接圆半径为 r ，边长为 a ， ∵△ABC 是面积为 9√34的等边三角形，∴12a 2×√32=9√34，解得： a =3 ， ∴r =23×√a 2−a 24=23×√9−94=√3 ，∴ 球心 O 到平面 ABC 的距离 d =√R 2−r 2=√4−3=1 . 故答案为：C.【分析】根据球O 的表面积和 △ABC 的面积可求得球O 的半径R 和 △ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离 d =√R 2−r 2 . 2.【答案】 A【考点】棱锥的结构特征【解析】【解答】因为根据题意可知，半径为R 的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，结合图像可知侧棱长为， 而底面的边长为， 则根据正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是即为底面的高斜高的比值即为：O’D:VD 即为， 故选A.【分析】解决该试题的关键是分析折叠图前后的不变量，以及得到的正三棱锥的底面的变长和侧棱长问题。

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则（）A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是（）A. B. C. D.3．已知向量, 若与垂直, 则（）A. -3B. 3C. -8D. 84．已知向量, , 若, 则（）A. B. C. D.5．设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6．在菱形中, 对角线, 为的中点, 则（）A. 8B. 10C. 12D. 147．在△ABC中, 若点D满足, 则（）A. B. C. D.8．在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 489．已知向量若, 则（）A. B. C. D.10．已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11．已知向量, 则A. B. C. D.12．已知向量, 则A. B. C. D.13．的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314．已知向量, 向量, 且, 则实数等于（）A. B. C. D.15．已知平面向量, 且, 则实数的值为（）A. 1B. 4C.D.16．是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是（）A. B. C. D.17．已知菱形的边长为, , 则（）A. B. C. D.18．已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19．已知向量=（1, 3）, =（-2, -6）, | |= , 若（+ ）·=5, 则与的夹角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20．已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121．如图, 平行四边形中, , 则（）A. B. C. D.22．若向量 , , 则 =（ ）A. B. C. D.23．在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.25．已知向量 , , 则A. （5,7）B. （5,9）C. （3,7）D.（3,9） 26．已知向量 , 且 , 则实数 ＝（ ）A. －1B. 2或－1C. 2D. －227．在 中, 若 点 满足 , 则 （ ）A. B. C. D.28．已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.29．在矩形ABCD 中, 则 （ ）A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 （ ）.A. B. C. D.31．若向量 与 共线且方向相同, 则 （ ）A. B. C. D.32．设 是单位向量, 且 则 的最小值是（ ）A. B. C. D.33．如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.34．如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 （ ）ADCB35．已知平面向量的夹角为, （）A. B. C. D.36．已知向量且与共线, 则（）A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB＝2, AC＝1, D为BC的中点, 则＝_____________.38．设, , 若, 则实数的值为（）A. B. C. D.39．空间四边形中, , , 则（）A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=（1, 2）, •=10, | + |=5 , 则| |= .44．如图, 在中, 是中点, , 则．45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。

高 中 数 学必 修 1 精题细作 (选填各50题,解答20题)

高 中 数 学必 修 1 精题细作 (选填各50题,解答20题)

高 中 数 学必 修 1 精题细作 (选填各50题，解答20题)一. 选择题1. 下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数 2. 如图所示，M ，P ，S 是V 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩S )∩(∁S P )D ．(M ∩P )∪(∁V S ) 3.设U ＝{1,2,3,4} ,若B A ⋂＝{2},(UA)∩B ＝{4},(UA)∩(UB)={1},则下列结论正确的是（ ）A.A ∉3且B ∉3 B.A ∈3且B ∉3 C.A ∉3且B ∈3 D.A ∈3且B ∈34. 若集合，，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．或或 5. 若集合，则有（ ）A ．B ．C ．D ．6. 下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集。

A.0个B.1个C.2个D.3个7. 定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A.0B.2C.3D.68. 已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A 等于( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 9. 下列表述中错误的是（ ）A ．若 B.若 C ． D.10. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－4≤0}，则∁U M 等于( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |x <－2或x >2}D ．{x |x ≤－2或x ≥2} 11. 已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式（ ）A ．x bc a c y --=B ．x cb ac y --=C ．x ac b c y --=D ．x ac c b y --=12. 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ ）}1,1{-=A }1|{==mx x B A B A =⋃m 11-11-11-0{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈MN M =MN N =MN M =M N =∅{}1|2-=xy y (){}1|,2-=xy y x 3611,,,,0.5242-5(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,A B A B A =⊆ 则,B A B B A ⊆=，则 )(B A A)(B A ()()()B C A C B A C U U U =13. 已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关 14. 集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈N }的真子集的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．7D ．415. 已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5，6}，映射B A f →:且满足1的象是4，则这样的映射有（ ）A.2个B.4个C.8个D.9个16. 已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )17. 下列集合A 到集合B 的对应f是映射的是 （ ）A 、{}{}1,0,1,1,0,1,A B f=-=-：A 中的数平方；B 、{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方；C 、,,A Z B Q f==：A 中的数取倒数； D 、,,A RB R f+==：A 中的数取绝对值；18. 函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)19. 若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞) 20. 下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式B ．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数21. 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个22. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“同族函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 23. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x和g (x )＝x(x )224. 已知函数23212---=x x x y 的定义域为（ ） A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 25. 设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②26. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．327. 若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( )A ．1B ．15C ．4D ．3028. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]29. 定义两种运算：a ⊕b ＝ab ，a ⊗b ＝a 2＋b 2，则函数f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数也是偶函数30. 若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)30.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－3231.(x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22 32. 下面说法正确的选项 （ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 33. 如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>034. 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)35. 函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )【尝试画出它！】A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称36.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) A ．f (－x )＋f (x )＝0 B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x )C ．f (x )·f (－x )≤0 D.f (x )f (－x )＝－137. 若奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则{x |x ·f (x )<0}等于( ) A ．{x |x >3，或－3<x <0} B ．{x |0<x <3，或x <－3} C ．{x |x >3，或x <－3} D ．{x |0<x <3，或－3<x <0}38. 设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12， x ∈A 2(1－x )， x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A ．(0，14]B ．(14，12]C ．(14，12)D ．[0，38]39. 函数y=是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 40.化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是( ) A ．3b －2a B ．2a －3b C ．b 或2a －3b D ．b 41. lgx+lgy=2lg(x －2y )，则的值的集合是（ ）A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛1，0｝D ．｛2，0｝42.函数的图象是()xx ++-1912yx 2log x xx y +=43.若0<x <1，则2x ，(12)x,0.2x之间的大小关系是( )A ．2x <0.2x <(12)xB ．2x <(12)x <0.2xC ．(12)x <0.2x <2xD ．0.2x<(12)x <2x 44. 已知(a ，b ，c 是常数)的反函数,()A ．a =3，b =5，c =－2B ．a =3，b =－2，c =5C ．a =2，b =3，c =5D ．a =2，b =－5，c =345. 设函数:的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞ 46. 在下列图象中，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与函数y =(ab)x的图象可能是（ ）47. 若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )A B C D48. 下列结论中，正确的个数是( )①当a <0时，()322a ＝a 3；②na n＝|a |(n >0)； ③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3 49. 下列各式成立的是( )cx bax x f ++=)(352)(1-+=-x x x f )10(log )(<<=a x x f a ]2,[a a 3a 42224121A.3m 2＋n 2＝()23m n + B ．(b a)2＝12a 12bC.6－32＝()133- D.34＝13250.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是[]0,1，则548log log 65aa +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题1.集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为____．2.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．3.设集合A ＝{－3,0,1}，B ＝{t 2－t ＋1}．若A ∪B ＝A ，则t ＝________. 4.已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ；若至少有一个元素，则的取值范围5.设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤4}，C ＝{x |－3<x <2}且集合A ∩(B ∪C )＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝______，b ＝______.6.已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是______7.定义非空集合A 的任何真子集的真子集均为A 的孙集，则集合{2 4 6 8 10} 的孙集个数为____ (推广：对于含n 个元素的集合S 的孙集个数为_______)8.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A 等于____ 9.用符号“”或“”填空 （1）______,______,______（2）（是个无理数） （310.请写出符合下列条件的一个函数表达式 .① 函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值3.11.已知函数f （x ）＝221x x ＋，那么f （1）＋f （2）＋f （21）＋f （3）＋f （31）＋f （4）＋f （41）＝________．12.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )，则f (13)＋f (18)＝________.13.知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 14.定义在上的函数对任意的，都有，且当 上}023|{2=+-=x ax x A a a ∈∉0N5N16N1______,_______,______2R Q Q e C Q π-e {}|,,x x a a Q b Q=∈∈(0,)+∞,(0,)x y ∈+∞()()()f x f y f xy +=01x <<时，有，则在上的单调性是 .15.已知f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意x >0，有1()(())1f x f f x x⋅+=，求f (x )． 16.函数y ＝2x ＋1x －3的值域为___________17.已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是_______18. 设a 为实数，若函数y =1x的图象上存在三个不同的点A (1x ,1y )，B （2x ,2y )，C(3x ,3y )满足122331x y x y x y a +=+=+=,则a 的值为_______．19. 已知f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意x >0，有1()(())1f x f f x x⋅+=，求f (x )_____20. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R)，已知当|x |≤1时，|f (x ) |≤1恒成立，则a −3b 的取值范围是_______．21. 若函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a x为奇函数，则实数a ＝________.22. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )，则f (13)＋f (18)＝________.23. 国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．24. 已知10m ＝4,10n＝9，则3210m n-＝________.25. 计算：(1)2log 210＋log 20.04＝________； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝________；(3)lg 23－lg9＋1＝________；(4) 2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝________； (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝________.26. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天． 27. 已知则用表示28. 已知log a (ab )＝1p，则log ab ab＝________.()0f x >()f x (0,)+∞1414log 7,log 5,a b ==,a b 35log 28=29. 函数)2(log 221x y -=的定义域是 ，值域是 .30. 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 31. 设函数= 2(x ≤0)的反函数为y =，则函数y =的定义域为________32. 将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为 .33. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________． 34. 设函数，给出四个命题：①时，有成立；②﹥0时，方程，只有一个实数根； ③的图象关于点（0,c ）对称；④方程，至多有两个实数根.上述四个命题中所有正确的命题序号是 。

高考数学选择、填空题专项汇编题(共40套)[附答案]

高考数学选择、填空题专项汇编题(共40套)[附答案]

三基小题训练三一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 （ ）A ．3B ．7C ．10D ．12 2．函数3221x e y -⋅=π的部分图象大致是（ ）A B C D3．在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中，含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等 差数列的（ ）A ．第13项B ．第18项C ．第11项D ．第20项4．有一块直角三角板ABC ，∠A=30°，∠B=90°，BC 边在桌面上，当三角板所在平面与 桌面成45°角时，AB 边与桌面所成的角等于（ ）A ．46arcsinB ．6π C ．4π D ．410arccos5．若将函数)(x f y =的图象按向量a 平移，使图象上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2）， 则平移后图象的解析式为（ ）A ．2)1(-+=x f yB ．2)1(--=x f yC ．2)1(+-=x f yD ．2)1(++=x f y6．直线0140sin 140cos =+︒+︒y x 的倾斜角为（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3； （30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2. 则样本在区间（10，50]上的频率为（ ）A ．0.5B ．0.7C ．0.25D ．0.058．在抛物线x y 42=上有点M ，它到直线x y =的距离为42，如果点M 的坐标为（n m ,）， 且n mR n m 则,,+∈的值为 （ ）A ．21 B ．1C ．2D ．29．已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是 （ ）A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππC ．]32,2[ππD ．),32[ππ 10．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学， 当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血 型的O 型，则父母血型的所有可能情况有 （ ）A ．12种B ．6种C ．10种D ．9种11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 （ ） A ．16（12－6π)3 B ．18πC ．36πD ．64（6－4π)212．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P （n ）表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P （0）=0，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．P （3）=3B ．P （5）=5C ．P （101）=21D ．P （101）<P(104)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．在等比数列{512,124,}7483-==+a a a a a n 中，且公比q 是整数，则10a 等于 .14．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则目标函数y x z 3+=的取值范围是 .15．已知,1sin 1cot 22=++θθ那么=++)cos 2)(sin 1(θθ . 16．取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体.则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a . 以上结论正确的是 .（要求填上的有正确结论的序号） 答案：一、选择题：1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．C 12．C二、填空题：13．－1或512；14．[8，14]；15．4；16．①②⑤三基小题训练四一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.满足|x －1|+|y －1|≤1的图形面积为A.1B.2C.2D.4 2.不等式|x +log 3x |<|x |+|log 3x |的解集为A.(0，1)B.(1，+∞)C.(0,+∞)D.(－∞,+∞)3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于右焦点到右顶点的距离的2倍，则双曲线的离心率e 的值为A.2B.35C.3D.24.一个等差数列{a n }中，a 1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是A.a 11B.a 10C.a 9D.a 8 5.设函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)满足f (9)=2,则f －1(log 92)等于A.2B.2C.21 D.±26.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ,则三棱锥D —ABC 的体积为A.63a B.123a C.3123a D.3122a 7.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a +b +c =0， a ·b =b ·c =c ·a =－1,则|a |+|b |+|c |等于A.22B.23C.32D.338.将函数y =f (x )sin x 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y =1－2sin 2x 的图象，则f (x )是A.cos xB.2cos xC.sin xD.2sin x9.椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，当m 取最大值时，P 点坐标为 A.（5，0），（－5，0） B.（223,52）（223,25-）C.（23,225）（－23,225） D.（0，－3）（0，3）10.已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）.现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于A.51B.1009 C.1001 D.5311.一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20］，2；（20，30］，3；（30，40］，4；（40，50］，5；（50，60］，4；（60，70），2，则样本在（－∞，50）上的频率为A.201 B.41 C.21 D.10712.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是A .线段B 1CB. 线段BC 1C .BB 1中点与CC 1中点连成的线段D. BC 中点与B 1C 1中点连成的线段二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.已知(p x x -22)6的展开式中，不含x 的项是2720,则p 的值是______.14.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是______.15.在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方案有______种.16.同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是①矩形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的______（写出所有可能图形的序号）.答案：一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.D 10.B 11.D 12.A 二、13.3 14.［0,2π)∪［43π,π) 15.30 16.①③④三基小题训练五一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．在数列1,1,}{211-==+n n n a a a a 中则此数列的前4项之和为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．－22．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （ ）A ．]1,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,1[-D ．),3[]1,(+∞⋃--∞3．对总数为N 的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为41，则N 的值（ ） A ．120B ．200C ．150D ．1004．若函数)(,)0,4()4sin()(x f P x y x f y 则对称的图象关于点的图象和ππ+==的表达式是（ ）A ．)4cos(π+xB ．)4cos(π--xC ．)4cos(π+-xD ．)4cos(π-x5．设n b a )(-的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是（ ） A ．第5项B ．第4、5两项C ．第5、6两项D ．第4、6两项6．已知i , j 为互相垂直的单位向量，b a j i b j i a 与且,,2+=-=的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．)21,2()2,(-⋃--∞C ．),32()32,2(+∞⋃-D ．)21,(-∞7．已知}|{},2|{,,0a x ab x N ba xb x M R U b a <<=+<<==>>集合全集， N M P ab x b x P ,,},|{则≤<=满足的关系是（ ）A ．N M P ⋃=B ．N M P ⋂=C ．)(N C M P U ⋂=D ．N M C P U ⋂=)(8． 从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n 条，其中有k 条有记号，则能估计湖中有鱼（ ）A ．条k nM ⋅B ．条n kM ⋅C ．条kM n ⋅D ．条Mk n ⋅9．函数a x f x x f ==)(|,|)(如果方程有且只有一个实根，那么实数a 应满足（ ） A ．a <0B ．0<a <1C ．a =0D ．a >110．设))(5sin3sin,5cos3(cosR x xxxxM ∈++ππππ为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )=|OM|，当x 变化时，函数 f (x )的最小正周期是 （ ）A ．30πB ．15πC ．30D ．1511．若函数7)(23-++=bx ax x x f 在R 上单调递增，则实数a , b 一定满足的条件是（ ） A ．032<-b aB ．032>-b aC ．032=-b aD ．132<-b a12．已知函数图象C x y a ax a x y C C '=++=++'且图象对称关于直线与,1)1(:2关于点（2，－3）对称，则a的值为 （ ） A ．3B ．－2C ．2D ．－3二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分.请将答案填写在题中的横线上. 13．“面积相等的三角形全等”的否命题是 命题（填“真”或者“假”）14．已知βαβαββα+=++⋅+=则为锐角且,,,0tan )tan (tan 3)1(3tan m m 的值为15．某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡人数分别为年初人口的0.8%和1.2%，则经过2年后，该镇人口数应为 万.（结果精确到0.01）16．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”共有 个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 .一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 123456789101113答案A D AB D BC A CD A C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．真 14．3π15．0.99 16．126, 24789三基小题训练六一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函 数，则下列哪个复合命题是真命题（ ）A ．p 且qB ．p 或qC ．┐p 且qD ．┐p 或q2.给出下列命题：其中正确的判断是（ ）A.①④B.①②C.②③D.①②④3.抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标是（ ）A.（0，4a ） B.(0,a 41) C.(0,－a41) D.(－a41,0) 4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数 转换成十进制形式是（ ）A.217－2B.216－2C.216－1D.215－15.已知f (cos x )=cos3x ,则f (sin30°)的值是（ ）A.1B.23C.0D.－16.已知y =f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )=x +x4,当x ∈［－3,－1］时，记f (x )的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 等于（ ）A.2B.1C.3D.237.某村有旱地与水田若干，现在需要估计平均亩产量，用按5%比例分层抽样的方法抽取了15亩旱地45亩水田进行调查，则这个村的旱地与水田的亩数分别为（ ）A.150，450B.300，900C.600，600D.75，2258.已知两点A （－1，0），B （0，2），点P 是椭圆24)3(22y x +-=1上的动点，则△P AB 面积的最大值为（ ） A.4+332B.4+223 C.2+332 D.2+2239.设向量a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2),则下列为a 与b 共线的充要条件的有（ ）①存在一个实数λ,使得a =λb 或b =λa ;②|a ·b |=|a |·|b |；③2121y yx x =;④(a +b )∥(a －b ). A.1个B.2个C.3个D.4个10.点P 是球O 的直径AB 上的动点，P A =x ，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则y =21f (x )的大致图象是11.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中， 则不同的传球方式共有A.6种B.10种C.8种D.16种12.已知点F 1、F 2分别是双曲线2222by a x -=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A.(1,+∞)B.(1,3)C.(2－1,1+2)D.(1,1+2)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.方程log 2|x |=x 2－2的实根的个数为______.14.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C 60有重大贡献的三位科学家.C 60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C 60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.15.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.16.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)=－f (x )，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x =1对称；③f (x )在［0，1］上是增函数；④f (x )在 ［1，2］上是减函数；⑤f (2)=f (0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).答案：一、1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.A 11.C 12.D二、13.4 14.12 20 15.13 16.①②⑤三基小题训练七一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．准线方程为3=x 的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 62-=B ．x y 122-=C ．x y 62=D ．x y 122=2．函数x y 2sin =是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数3．函数)0(12≤+=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(1≥+-=x x yB ．)1(1-≥+-=x x yC ．)1(1≥-=x x yD ．)1(1≥--=x x y4．已知向量x -+-==2)2,(),1,2(与且平行，则x 等于 （ ）A ．－6B ．6C ．－4D ．45．1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的 （ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件6．已知直线a 、b 与平面α，给出下列四个命题①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α; ②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ; ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b; ④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b. 其中正确的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．函数R x x x y ∈+=,cos sin 的单调递增区间是（ ）A ．)](432,42[Z k k k ∈+-ππππB ．)](42,432[Z k k k ∈+-ππππC ．)](22,22[Z k k k ∈+-ππππ D ．)](8,83[Z k k k ∈+-ππππ 8．设集合M=N M R x x y y N R x y y x I 则},,1|{},,2|{2∈+==∈=是 （ ）A ．φB ．有限集C ．MD ．N9．已知函数)(,||1)1()(2)(x f x x f x f x f 则满足=-的最小值是 （ ）A ．32B ．2C ．322 D ． 2210．若双曲线122=-y x 的左支上一点P （a ，b ）到直线x y =的距离为a 则,2+b 的值为（ ）A ．21-B ．21 C ．－2 D ．211．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元. 设这三种债券的年收益率分别为a , b, c ，则a , b, c 的大小关系是（ ）A ．b a c a <=且B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在题中横线上.）13．某校有初中学生1200人，高中学生900人，老师120人，现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为N 的样本进行调查，如果应从高中学生中抽取60人，那么N .14．在经济学中，定义)()(),()1()(x f x Mf x f x f x Mf 为函数称-+=的边际函数，某企业的一种产品的利润函数Nx x x x x P ∈∈++-=且]25,10[(100030)(23*)，则它的边际函数MP （x ）= .（注：用多项式表示） 15．已知c b a ,,分别为△ABC 的三边，且==+-+C ab c b a tan ,02333222则 .16．已知下列四个函数：①);2(log 21+=x y ②;231+-=x y ③;12x y -=④2)2(3+-=x y .其中图象不经过第一象限的函数有 .（注：把你认为符合条件的函数的序号都填上） 答案： 一、选择题：（每小题5分，共60分）BADCA ABDCA BC 二、填空题：（每小题4分，共16分）13．148； 14．]25,10[(295732∈++-x x x 且)*N x ∈(未标定义域扣1分)； 15．22-； 16．①，④（多填少填均不给分）三基小题训练八一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)1.直线01cos =+-y x α的倾斜角的取值范围是 ( )A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πB.[)π,0C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,02.设方程3lg =+x x 的根为α，[α]表示不超过α的最大整数，则[α]是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43.若“p 且q ”与“p 或q ”均为假命题,则 ( )A.命题“非p ”与“非q ”的真值不同B.命题“非p ”与“非q ”至少有一个是假命题C.命题“非p ”与“q ”的真值相同D.命题“非p ”与“非q ”都是真命题 4.设1！，2！，3！，……，n ！的和为S n ，则S n 的个位数是 ( )A ．1B ．3C ．5D ．75.有下列命题①++＝；②(++)＝⋅+⋅；③若＝(m ,4),则||＝23的充要条件是m ＝7；④若AB 的起点为)1,2(A ,终点为)4,2(-B ,则BA 与x 轴正向所夹角的余弦值是54,其中正确命题的序号是 ( )A.①②B.②③C.②④D.③④· · ·· ·A 1D 1C 1C N M DPR BAQ6.右图中,阴影部分的面积是 ( )A.16B.18C.20D.227.如图，正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是（ ）A.6B.10C.12D.不确定 8.用1，2，3，4这四个数字可排成必须．．含有重复数字的四位数有 ( ) A.265个B.232个C.128个D.24个9.已知定点)1,1(A ，)3,3(B ，动点P 在x 轴正半轴上，若APB ∠取得最大值，则P 点的坐标（ ）A ．)0,2( B.)0,3( C.)0,6( D.这样的点P 不存在10.设a 、b 、x 、y 均为正数,且a 、b 为常数,x 、y 为变量.若1=+y x ,则by ax +的最大值为 ( ) A.2b a + B. 21++b a C. b a + D.2)(2b a + 11.如图所示，在一个盛 水的圆柱形容器内的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速地将小球从水下向水 面以上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数图像大致是（ ）12.4个茶杯荷5包茶叶的价格之和小于22元,而6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24,则2个茶杯和3包茶叶的价格比较 ( )A.2个茶杯贵B.2包茶叶贵C.二者相同D.无法确定二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2021-2022学年湘教版(2019)高中数学选择性必修第一册全册练习作业(解析版)(1)

2021-2022学年湘教版(2019)高中数学选择性必修第一册全册练习作业(解析版)(1)

1.2 等差数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{}n a 中，若25=a ，43=a ，则6=aA. －1B. 0C. 1D. 6 【答案】C【解析】（解法一）因为25a =，43=a ，有2642+=a a a ，得6a =1，故选C ．（解法二）因为25a =，43=a ，所以2224-=-=a a d ，6421a a d ∴=+=，故选C ． 2．在等差数列{}n a 中，若34830a a a ++=，则19a a +=A ．15B ．20C ．25D ．30 【答案】B【解析】由34830a a a ++=，得5330a =，则195220a a a +==，故选B ． 3．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】（解法一）m m m m m S S S S S 232--，， ，即10070 303-m S ，，成等差，1101003=-∴m S ，2103=∴m S ．故选C ．（解法二）特值法：取1=m 则100,3021211=+===a a S a S ，702=∴a ，1103=∴a ， 2103213=++=∴a a a S ．故选C ．4．设{}n a 是等差数列，则下列结论中正确的是A ．若021>+a a ，则032>+a aB ．若031<+a a ，则021<+a aC ．若210a a <<，则312a a a >D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a 【答案】C【解析】反例 A ： 2，-1，-4 B ：2，-1，-4 D:-3，-2，-1 或 02>-d 不成立．C ：210a a << ，3210a a a <<<∴，313122a a a a a >+=∴．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和， 则使n S 达到最大值的n 是A ．21B ．20C ．19D ．18 【答案】B【解析】（解法一） 135105a a a ++=，24699a a a ++=，∴335a =,433a =， ∴432d a a =-=-， ∴139a =，∴2240(20)400n S n n n =-+=--+， ∴当20n =时n S 取最大值20．故选B ．（解法二） 135105a a a ++=，24699a a a ++=，两式相减得：63=-d ，2-=∴d ． 又13533105a a a a ++==，335a ∴=，3(3)241n a a n d n ∴=+-=-+． 令0n a >,得412n <,∴当20n =时n S 取最大值20．故选B ． 6．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且n n n a a b -=+1．若23-=b ，1210=b ，则=8a A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 【答案】B【解析】d b b 7310=- 且23-=b ，1210=b ,2=∴d,82622)3(3-=-+-=-+=∴n n d n b b n ,821-=-∴+n a a n n ,)()(.....)()(7867231218a a a a a a a a a a -+-++-+-+=∴36420)2()4()6(3=++++-+-+-+=．故选B ．二、填空题7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10a ≠，213a a =，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因为213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+．8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且27S S =,6k S S =（6k ≠），则k = ．【答案】3【解析】（解法一）由27S S =,得1176272a d a d ⨯+=+, 所以14a d =-． 因为6k S S =，所以()11165622k k a d ka d -⨯+=+，所以()1241542k k d d kd d --+=-+，整理得，29180k k -+=，解得3k =，或6k =（舍去）． （解法二）因为()2111)222n n n d dS na d n a n -=+=--(， 所以对应的函数()21()22d df x x a x =--的图象是一条抛物线，因为27S S =， 所以()fx 的图象关于27922x +==对称． 又因为6k S S =，所以6922k +=，解得3k =． 9．已知}{n a 为等差数列，n S 表示}{n a 的前n 项和，}{n a 满足4560a a a ++>，100S <， 则n S 取得最大值时n 的取值为：___________． 【答案】5【解析】因为0)(510110<+=a a S ，所以065101<+=+a a a a ，又456530a a a a ++=>， 即05>a ， 所以06<a ，所以当5=n 时，n S 取得最大值．10．已知数列{}n a 的首项为1，其余各项为1或2，且在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个2，即数列{}n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{}n a 的 前n 项和为n S ，则2019S =__________．（用数字作答） 【答案】3993【解析】（解法一）第1k +个1为数列{}n a 的第21(13521)1k k k k ++++++-=++项当44k =时211981k k ++=；当45k =时212071k k ++=； 所以前2019项有45个1和244(20191981)+-个2，所以22019452[44(20191981)]3993S =+⨯+-=．（解法二）把该数列排成如下格式 1，2 1，2，2，2 1，2，2，2，2，2 1，2，2，2，2，2，2，2 …设其前m 行共有m T 项，则)1(2642+=+⋯⋯+++=m m m T m , 令2019)1(≤+m m 则44≤m 又1980454444=⨯=T , 即前44行共有1980项，其中有44个1，1936441980=-个2,所以第2019项为第45行第3919802019=-项（其中有1个1，38个2）, 即前2019项共有45144=+个1，1974381936=+个2, 所以2019451197423993S =⨯+⨯=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，213a a =，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列．【解析】因为数列是等差数列，设公差为d ===(n -=，()n *∈N ，所以12n S a n =，()n *∈N所以当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-， 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-，所以{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N所以()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦，所以{}n a 是等差数列． 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，0≠n a ，11-λ=+n n n S a a ，其中为常数，（I ）证明：λ=-+n n a a 2；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．【解析】（I ）11-λ=+n n n S a a ， 1121-λ=∴+++n n n S a a ，1121++++λ=-∴n n n n n a a a a a ， 又01≠+n a ， λ=-∴+n n a a 2．（II ）由（I ）可知：{}n a 的奇数项和偶数项均为等差数列． 若{}n a 为等差数列，则122++=+n n n a a a ，又λ=-+n n a a 2，λ+=∴++1222n n a a ，即212λ=-++n n a a ． 由11=a ，11-λ=+n n n S a a ，可得:12-λ=a ,13+λ=a ．3122a a a += ，即11)1(2+λ+=-λ，解得4=λ，212=-∴a a ，又2212=λ=-++n n a a ， ∴当4=λ时，{}n a 是以2为公差的等差数列．1．3 等比数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等比数列t ，33+t ，66+t ，…的第四项等于A ．24-B ．0C ．12D ．24 【答案】A【解析】（解法一）23366=++=t t q ， t t 233=+∴，3-=∴t ， ∴第四项为：24233-=⨯-．故选A ．（解法二）依题意：)66()33(2+=+t t t ，091232=++∴t t ，即0)1)(3(32=++t t ，3-=∴t 或1-=t （舍去），所以该等比数列各项依次为：3-，6-，12-，24-． 即第四项为：24233-=⨯-．故选A ．2．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路， 第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目 的地．”那么，此人第4天和第5天共走路程是A ． 24里B ． 36里C ． 48里D ． 60里 【答案】B【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列． 由6378S =，得16611)2378112(a S -==-，解得：1192a =，344511192()192()24123622a a ∴+=⨯+⨯=+=，所以此人第4天和第5天共走了241236+=里．故选B ． 3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知374S =，6634S =，则=8a A ．8 B ．16 C ．32 D ． 64 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q )0(>q ，显然1≠q ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=4631)1(471)1(616313q q a S q q a S ，两式相除可得：91136=--q q ，即911)1)(1(3333=+=-+-q q q q ，2=∴q ，411=∴a ，3224178=⨯=∴a ．故选C ． 4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+A．3+ B．1 C．1+ D．3- 【答案】A【解析】 1321,,22a a a 成等差数列，3122a a a ∴=+，∴2210q q --=，解得1q =± 又0>n a ，0>∴q，1q ∴=+∴2910783a a q a a +==++A ． 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2021S与2021a 的关系是A. 2021202141S a =+ B ．2021202143S a =- C ．2021202121S a =- D ．2021202121S a =+ 【答案】C【解析】设等比数列的公比为)0(>q q ，由423,,a a a -成等差数列，得4322a a a +-=，又11=a ， 322q q q +-=∴， 即022=--q q ，0)1)(2(=+-∴q q ．又0>q ，2=∴q ，202020212=∴a ，122121202120212021-=--=S ，2021202121S a ∴=-．故选C ． 6．正项等比数列{}n a 中，463718+=a a a a ，则31323339log log log log ++++a a a a =A ．4B ．5C ．8D ．9 【答案】D【解析】因为246375218+==a a a a a 且{}n a 各项均为正数， ∴53=a ．所以()3132333931289log log log log log a a a a a a a a ++++=()()()()()423192837465355log log a a a a a a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦99353log log 39a ===． 故选D ． 二、填空题7．等比数列{}n a 的前n 项和22nn S a a =⋅+-，则=a ________．【答案】1【解析】因为11()2211n n n a aS q a a q q=+-=⋅+---，所以20a a +-=，解得1a =． 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若24S =，46S =，则6S = ． 【答案】7【解析】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以24S =，42642S S -=-=，所以641S S -=，所以641167S S =+=+=． 9．已知{}n a 为等比数列，且334,12a S ==，则=q ． 【答案】1=q 或21-=q 【解析】（解法一）当1=q 时，31333a a S ==，显然1=q 符合题意；当1≠q 时，4213==q a a 214qa =∴．又12)1(1)1(21313=++=--=q q a q q a S ， 解得 21-=q ．∴综上可得：1=q 或21-=q ． （解法二）4213==q a a ，214q a =∴．又123113=++=a q a a S ， 可得：84422=+q q q ，即0122=--q q ，0)1)(12(=-+∴q q ，21-=∴q 或1=q ． 10．设等比数列{}n a 满足13+=10a a ，24+=5a a ，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为_________． 【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由1324105a a a a +=+=⎧⎨⎩得，2121(1)10(1)5a q a q q +=+=⎧⎨⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=， 于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}3log n a 的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=． （2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =． 12．已知为数列{}n a 的前项和，11=a ，241+=+n n a S ．（1）设数列{}n b 中，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和．【答案】（1）证明详见解析；（2）22)43(1+-=-n n n S ．【解析】（1）（解法一）241+=+n n a S ， 2,241≥+=∴-n a S n n 两式相减可得：1144-+-=n n n a a a ，)2(2211-+-=-∴n n n n a a a a ，即2,21≥=-n b b n n ， ∴{}n b 是以2为公比的等比数列．（解法二）241+=+n n a S ，2,241≥+=∴-n a S n n 两式相减可得：1144-+-=n n n a a a ，22422244221111111=--=---=--=∴-----+-n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a b b ，2≥n ， ∴{}n b 是以2为公比的等比数列．（2）241212+=+=a a a S 且11=a ，52=∴a ，32121=-=∴a a b ，11232-+⨯=-=∴n n n n a a b ，432211=-∴++n n n n a a ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2是以2121=a 为首项，以43为公差的等差数列， )13(41)1(43212-=-+=∴n n a n n ，22)13(--=∴n n n a ． 当2≥n 时，312)43(---=n n n a ，∴241+=-n n a S 22)43(1+-=-n n ，又111==a S 符合上式，∴数列{}n a 的通项公式及前n 项和22)43(1+-=-n n n S ．n2.1 直线的斜率（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的是A ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等B ．若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等C ．若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角越大的，斜率也越大D ．若两直线的斜率不相等，则它们中斜率越大的，倾斜角也越大 【答案】B【解析】当倾斜角都为2π时，斜率都不存在，所以A 项不正确； 钝角的正切是负值，锐角的正切是正值，不是角越大斜率越大，所以C 、D 都不正确； 因为直线的斜率确定，则倾斜角就确定了，直线的斜率相等，倾斜角一定相等，故选B ． 2．若图中的直线123l l l ，，的斜率分别为123k k k ，，，则A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 【答案】D【解析】直线1l 的倾斜角α是钝角，故10k <．直线2l 与3l 的倾斜角β与γ均为锐角，且<γβ，所以320k k <<，因此132k k k <<．故选D ．3．已知直线过)4 2(，A ，)1(mB ，两点，且倾斜角为 45，则=m A ．0 B ．2C ．3D ．5 【答案】C【解析】因为直线过)4 2(，A ，)1(m B ，两点，所以直线的斜率为m m -=--4214， 又直线的倾斜角为 45，所以直线的斜率为145tan =，即14=-m ，所以3=m ．故选C ．4．已知三点)1 2(-，A ，)3 4(，B ，) 5(kC ，在同一条直线上，则k 的值为 A ．4 B ．5 C ．6D ．7 【答案】B【解析】因为)1 2(-，A ，)3 4(，B ，) 5(k C ，三点共线，所以BC AB k k =，即45324)1(3--=---k ， 解得5=k ．故选B ．5．直线02sin =++⋅y x α的倾斜角的范围是A ．)0[π，B ．]40[π，C ．)43[]40[πππ，， D ．)2[]4 0[πππ，， 【答案】C【解析】因为02sin =++⋅y x α，可化为2sin -⋅-=x y α，所以直线的斜率为αsin -． 设直线的倾斜角为θ，则有]1 1[sin tan ，-∈-=αθ， 又)0[πθ，∈，所以)43[]40[πππθ，， ∈．故选C ． 6．直线l 过点)0,1(P ，且与以)1,2(-A ，)3,0(B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率 的取值范围是A ．]31,3[--B ．]3,31[ C ．),31[]3,(+∞---∞ D ．),3[]31,(+∞-∞ 【答案】A【解析】如图，311201-=---=AP k ，31003-=--=BP k所以]31,3[--∈k ．故选A ． 二、填空题7．直线2-=x y 的倾斜角的大小为_______． 【答案】4π 【解析】由一次函数的图像及直线的斜率公式可知，直线2-=x y 的斜率为1， 设倾斜角为θ，则)0[πθ，∈，由1 tan =θ可得4πθ=．8． 直线l 经过点)1,3(A ，),2(2m B -，R m ∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是______． 【答案】)2,4[ππ【解析】直线l 的斜率1123122≥+=-+=m m k ，即1tan ≥α，又),0[πα∈，所以)2,4[ππα∈． 9．直线l 过点)0,1(P ，且与以)1,2(A ，)3,0(B 为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 【答案】),1[]3,(+∞--∞ 【解析】如图，11201=--=AP k ，31003-=--=BP k ， 所以),1[]3,(+∞--∞∈ k ．10．已知0>ab ，且)0 (，a A ，) 0(b B ，，)2 2(--，C 三点共线，则ab 的最小值为________． 【答案】16【解析】因为)0 (，a A ，) 0(b B ，，)2 2(--，C 三点共线，所以BC AC k k =， 所以)2(0)2()2()2(0----=----b a ，即2222+=+b a ，所以)(2b a ab +-=． 又因为0>ab ，故0<a ，0<b ，所以ab b a b a ab 4)]()[(2)(2≥-+-=+-=． 从而0≤ab (舍去)或4≥ab ，故16≥ab ，当且仅当4-==b a 时取等号， 即ab 的最小值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．a 为何值时，过点(2,3)A a ，(2,1)B -的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？ 【答案】当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为直角.．【解析】当22a =，即1a =时，直线AB 的斜率不存在，直线的倾斜角为直角． 当1a ≠时，132221AB k a a --==--，若直线的倾斜角α是锐角，则2tan 01AB k a α==>-，即10a ->，得1a >； 若直线的倾斜角α是钝角，则2tan 01AB k a α==<-，即10a -<，得1a <． 综上，当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角； 当1a =时，直线的倾斜角为直角．12．在平面直角坐标系内，)32 1(，A ，)3 4(，B ． （1）求直线AB 的倾斜角θ的值；（2）若一束光线通过点A ，经x 轴反射，反射光线通过点B ，求入射光线与x 轴的交点P 的坐标．【答案】（1）65πθ=； （2） )0 3(，【解析】（1）因为)32 1(，A ，)3 4(，B ，所以直线AB 的斜率为3314323-=--=AB k ．又)0[πθ，∈，所以65πθ=． （2）依题意，有BPx APO ∠=∠，即直线AP 与直线BP 的倾斜角互补，所以BP AP k k -=． 设)0 (，a P ，则4301320---=--a a ，解得3=a ，即点P 的坐标为)0 3(，．13．如图，在矩形ABCD 中，2BC AB =，直线AC 的斜率为1，求直线BC 的斜率．【答案】3【解析】由题意，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2BC AB =，所以1tan 2AB ACB BC ∠==． 设直线AC 的倾斜角为θ，则tan 1θ=， 且直线BC 的倾斜角为ACB θ+∠， 所以tan()BC k ACB θ=+∠11tan tan 2311tan tan 112ACB ACB θθ++∠===-∠-⨯．2.2 直线的方程（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线022:=--y x l 的方向向量可以是A ．)2 1(-，B ．)2 1(，C ．)1 2(，-D ．)1 2(， 【答案】D【解析】（解法一）因为022=--y x ，可化为121-=x y ，所以直线l 的斜率为21， 所以直线l 所有的方向向量为)211(，λ，其中λ是不为零的任意实数， 又)1 2(，)21 1(2，=，所以)1 2(，是直线l 的一个方向向量．故选D ． （解法二）由0=++C By Ax 的一个方向向量为) (A B -，， 可知直线022=--y x 的一个方向向量为)1 2(--，， 又)1 2(，)1 2(---=，，所以)1 2(，是直线l 的一个方向向量．故选D ． 2．已知直线0=++c by ax 经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足A ．0>ab ，0<bcB ．0>ab ，0>bcC ．0<ab ，0>bcD ．0<ab ，0<bc 【答案】A【解析】由于直线0=++c by ax 经过第一、二、四象限， 所以直线存在斜率，将方程变形为bc x b a y --=， 如图，易知0<-b a 且0>-bc，故0>ab ，0<bc ．故选A ． 3．已知直线l 的一个法向量为)2 1(-，，且经过点)4 1(，，则直线l 的方程为 A ．092=-+y x B ．012=++y x C ．072=+-y x D ．012=--y x 【答案】C【解析】因为直线l 的法向量为)2 1(-，，可设直线的方程为02=+-C y x ． 又直线l 经过点)4 1(，，所以081=+-C ，即7=C ， 所以直线l 的方程为072=+-y x ．故选C ．4．如图，直线0:1=+-n y mx l 和0:2=+-m y nx l 在同一坐标系中正确的图形可能为A B C D 【答案】B【解析】0:1=+-n y mx l 和0:2=+-m y nx l 可分别化为n mx y +=和m nx y +=． 当00>>n m ，时，直线1l 和2l 的斜率都大于零，纵截距也都大于零，四个选项均不满足； 当0<mn 时，直线1l 和2l ，有一条直线的斜率大于零，纵截距小于零，而另一条直线的斜率小于零，纵截距大于零，选项B 满足；当00<<n m ，时，直线1l 和2l 的斜率都小于零，纵截距也都小于零，四个选项均不满足； 当0=mn 时，直线1l 和2l 至少一条经过原点，四个选项均不满足．故选B ． 5．直线l 经过点)4,3(，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 A ．07=-+y x B ．01=--y xC ．07=-+y x 或01=+-y xD ．07=-+y x 或01=--y x 【答案】C【解析】设直线l 的方程为:1=+b y a x ，因为直线l 过点)4,3(，所以有143=+ba ． 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以b a =，即b a ±=． 当b a =时，有143=+aa ，故7==b a ； 当b a -=时，有143=-aa ，故1,1=-=b a ． 所以直线l 的方程为:177=+yx 或1=+-y x ，即07=-+y x 或01=+-y x ．故选C ． 6．已知直线1l ：422-=-a y ax ，2l ：42222+=+a y a x ，若20<<a 时，直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数=a A ．1- B ．21C ．1D ．2 【答案】B【解析】直线1l 可写成)2(22-=-x a y ，直线2l 可写成)2(222--=-x ay ，所以直线1l ，2l 恒过定点)2 2(，P ，直线1l 的纵截距为a -2，直线2l 的横截距为22+a ，又20<<a ，所以四边形的面积222111152(2)2(2)4()2224S a a a a a =⨯⨯-+⨯⨯+=-+=-+， 故当21=a 时，四边形的面积最小．故选B ． 二、填空题7．若直线过点)1 3(，和点)4 32(，，则该直线的方程为 ． 【答案】023=--y x【解析】（解法一）因为直线过点)1 3(，和点)4 32(，，所以直线的方程为0)1)(332()3)(14(=-----y x ，整理得；023=--y x ．（解法二）因为直线过)1 3(，和点)4 32(，，所以直线的斜率为333214=--=k ，所以直线的方程为)3(31-=-x y ，整理得023=--y x ．8．已知直线0322=-+-m my x ，当m 变化时，直线都通过定点 ．【答案】)3 1(--， 【解析】（解法一）当0≠m 时，0322=-+-m my x ，可化为)1(23+=+x my ， 即))1((2)3(--=--x my ，所以直线过定点)3 1(--，． 又当0=m 时，0322=-+-m my x ，可化为1-=x ，也过点)3 1(--，． 综上所述，当m 变化时，直线0322=-+-m my x 都通过定点)3 1(--，． （解法二）0322=-+-m my x 可化为)1(2)3(+=+x y m ,令03=+y ，得13-=-=x y ，，所以直线过定点)3 1(--，．9．已知直线l 经过点)3,1(--A ，且倾斜角等于直线x y 3=的倾斜角的2倍，则直线l 的方 程为 ． 【答案】01543=++y x【解析】设直线l 倾斜角为α，直线x y 3=的倾斜角为θ，则θα2=． 又因为直线x y 3=的斜率为3，即3tan =θ，所以直线l 的斜率为43tan 1tan 22tan tan 2-=-===θθθαk ． 又直线l 过点)3,1(--A ，所以其方程为：)1(433+-=+x y ，即01543=++y x ． 10．已知过点)2 2(，-P 的直线l 在第二象限与两坐标轴围成一个三角形，当该三角形的面积最小时直线l 的方程为 ． 【答案】04 =+-y x【解析】显然，直线l 的斜率存在且大于零，设直线l 的方程为)2 (2+=-x k y ，0>k ， 令0=x 得，22+=k y ；令0=y 得，)22(+-=kx ； 所以三角形的面积为8224)22)(22(21)22(2221≥++=++=+-+=k kk k k k S ， 当且仅当k k22=，即1=k 时取等．故三角形的面积的最小值为8． 此时直线l 的方程为2 2+=-x y ，即04 =+-y x ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．已知直线l 过点)2 3(，P ．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程；（2）若直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，当OAB ∆的面积为12时求直线l 的方程．【答案】（1）032=-y x 或01=--y x ；（2）01232=-+y x ．【解析】（1）设若直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b 当0=-=b a 时，直线l 过原点，斜率为320302=--， 所以直线l 的方程为x y 32=，即032=-y x ； 当0≠-=b a 时，直线l 的方程为1=+b y a x ．又直线l 过点)2 3(，P ，所以123=+ba ． 因为b a -=，所以123=-aa ，故1=a ，1-=b ． 所以直线l 的方程为1=-y x ，即01=--y x ； 综上，直线l 的方程为032=-y x 或01=--y x ． （2）设直线l 的方程为)3(2-=-x k y ，0<k ， 令0=x 得，k y 32-=；令0=y 得，kx 23-=；因为直线l 与x 轴和y 轴交于正半轴，所以032>-k ，023>-k， 所以OAB ∆的面积12)23)(32(21=--=k k S ，解得32-=k ． 所以直线l 的方程为)3(322--=-x y ，即01232=-+y x ． 12．过点)1 2(，P 作直线l 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点． （1）求的最小值及此时直线l 的方程； （2）求最小值及此时直线l 的方程． 【解析】（1）根据题意可设直线l 的方程为，则， 直线l 过点，， 又(当且仅当，即时取等号)， ，即， 的最小值为8，此时直线l 的方程为；（2）由（1）可知，，则，(当且仅当，即时取等号)． 的最小值为4，此时直线l 的方程为．||||OA OB ⋅||||PA PB ⋅1(0,0)x ya b a b+=>>(,0),(0,)A a Bb (2,1)P 211(0,0)a b a b∴+=>>21a b +≥21a b =4,2a b ==1∴≤8ab ≥||||=OA OB ab ∴⋅240x y +-=211a b +=02ab a ∴=>-2a>||||PA PB ∴⋅4≥=221(2)=(2)a a --3a =||||PA PB ∴⋅30x y +-=2.3 两条直线的位置关系（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为 A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．23- 【答案】A【解析】直线()120x m y ++-=和240mx y ++=平行，可得11224m m +-=≠， 得1m =．故选A ．2．已知0b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线210x b y --=垂直，则ab 的最小值为 A ．1 B ．2 C ．22 D ．23 【答案】B【解析】由已知两直线垂直，得22(1)0b ab +-=，即221ab b =+，又0b >，所以12ab b b=+≥，当且仅当1b =时等号成立，所以ab 的最小值为2．故选B ． 3．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点在第一象限，则直线l 的倾斜角α的取 值范围为A ．(0 )30，B ．(30 )90，C ．(90 )135，D ．(135 )180， 【答案】B【解析】（解法一）已知直线:3l y kx =-过定点(03) P -，， 直线30x y +-=与x 轴，y 轴分别交于(30) A ，，(03) B ，，如图． 又33PA k =，通过数形结合可得， 33k >，即3tan 3α>，故3090α<< ，选B ．（解法二）由330y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点坐标为3333,)1+1+k k k +-（，又交点在第一象限， 所以3301+3301+kk k⎧+>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得33k > ，即3tan 3α>，故3090α<< ，选B ．4．已知0a >，若y a x =与y x a =+的图象有两个交点，则a 的取范围为A ．0a >B ．01a <<C ．1a >D ．1a ≥ 【答案】C【解析】y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，y x a =+表示斜率为1，在y 轴上的截距为a 的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若y a x =与y x a =+的图象有两个交点，且0a >，则根据图形可知1a >．故选C ．5．若(2 3)P ，既是11()A a b ，，22()B a b ，的中点，又是直线111:130l a x b y +-=与直线 222:130l a x b y +-=的交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．23130x y +-=B ．32120x y +-=C ．2350x y -+=D ．320x y -= 【答案】D【解析】将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线23130x y +-=上，故23AB k =-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为32，又AB中点为(2 3)P ，，所以线段AB 的垂直平分线的方程是()3322y x -=-，即320x y -=． 故选D ．6．已知直线1:310l x y --=，2:250l x y +-=，3:30l x ay --=不能围成三角形，则 实数a 的取值不可能为 A ．1 B ．13C ．1-D ．2- 【答案】A【解析】因为直线1l 的斜率为3，直线2l 的斜率为12-，所以直线1l ，2l 一定相交， 由3125x y x y -=⎧⎨+=⎩解得交点坐标为：(1,2)．当0a =时，3l 与横轴垂直，方程为：3x =不经过点(1,2)，所以三条直线能构成三角形；当0a ≠时，3l 的斜率为：1a． 当1l 与3l 的斜率相等即13a =，时，13a =，此时这两直线平行，这三条直线不能三角形； 当2l 与3l 的斜率相等即112a =-时，2a =-，此时这两直线平行，这三条直线不能三角形； 当3l 过12,l l 交点(1,2)即1230a --=时，1a =-，此时三条直线不能构成三角形；故选A ． 二、填空题7．过点()4,2P －与直线370l x y --=：平行的直线方程为： ． 【答案】3140x y -+=【解析】设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-， 因为点()4,2P －在直线上， 所以()3420m ⨯-+－＝，解得14m =，即所求直线方程是3140x y -+=． 8．已知ABC ∆三条边所在的直线方程分别为02:=+-y x l AB ，022:=++y x l AC ，1:=x l BC ，则AC 边上的高所在直线方程为： ．【答案】012=+-y x 【解析】由201x y x -+=⎧⎨=⎩，解得点B 坐标为(1 3)，． 因为直线AC 的斜率为12-，所以AC 边上的高所在直线的斜率为2， 所以AC 边上的高所在直线的方程为)1(23-=-x y ，即012=+-y x ．9．直线:(21)(31)730l x y λλλ+++--=恒过定点，则该定点的坐标为： ． 【答案】(2 1)，【解析】（解法一）将(21)(31)730x y λλλ+++--=化成(237)(3)0x y x y λ+-++-=，要使直线恒过定点，必须237030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点(2 1)，．（解法二）将(21)(31)730x y λλλ+++--=化成21733131y x λλλλ++=-+++，即212(21)13131y x λλλλ++=-++++，即211(2)31y x λλ+-=--+，所以直线l 恒过定点(2 1)，． 10．已知m R ∈，动直线110l x my +-=：过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于A ，B 两点），则PA PB +的最大值为： ．【答案】【解析】由题意可得()()1,0,2,3A B ，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=， 所以直线10x my +-=和直线230mx y m --+=垂直， 则()2222102PA PB PA PB AB++==≥，当且仅当PA PB ==时取等号，所以PA PB +≤PA PB +的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．在ABC ∆中，已知角C 的角平分线所在的直线方程为2y x =，顶点A ，B 的坐标分别是(4 2)-，，(3 1)，，求顶点C 的坐标． 【答案】(2 4)，．【解析】设(4 2)A -，关于直线2y x =的对称点为00( )A x y '，， 则0024AA y k x '-=+，AA '的中点坐标为0042( )22x y -+，，所以0000221424222y x y x -⎧⨯=-⎪+⎪⎨+-⎪=⨯⎪⎩， 解得0042x y =⎧⎨=-⎩，所以(4 2)A '-，，因为点A '在直线BC 上，且(3 1)B ，，所以BC 所在的直线方程为211(3)43y x ---=--，即3100x y +-=． 因为C 为直线BC 与直线2y x =的交点， 所以由31002x y y x +-=⎧⎨=⎩，31003100x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，即(2 4)C ，．12．已知ABC ∆的顶点(5 1)A ，，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程． 【答案】（1）(4 3)C ，； （2）6590x y --=．【解析】（1）由AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，得21=BH k ， 所以2-=AC k ，又(5 1)A ，，所以AC 边所在直线方程为2110x y +-=， 联立直线AC 与直线CM 方程得2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即顶点C 的坐标为(4 3)，．（2）设00( )B x y ，，则AB 的中点M 为0051( )22x y ++，，由M 在直线250x y --=上，得005125022x y ++⨯--=，即00210x y --=， 由点B 在直线250x y --=上，得00250x y --=， 联立0000210250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，所以顶点B 的坐标为(1 3)--，．又(4 3)C ，，所以直线BC 的方程为333(1)14y x --+=+--，即6590x y --=．2.4 点到直线的距离（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点 0)F0=的距离为 ABC ．3D ．m 3 【答案】A【解析】点F0=的距离d ==．故选A ．2．直线1:330l x y +-=与直线2:610l x my ++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 A ．4 BCD【答案】D【解析】直线1:330l x y +-=可化为6260x y +-=，因为1l 与直线2:610l x my ++=平行，所以2=m ，即2:6210l x y ++=， 所以1l 与2l之间的距离为d ==故选D ． 3．已知12=+y x ，则22y x +的最小值为 A ．1 B ．14 C ．15 D ．110【答案】C【解析】22y x +表示)0,0(到12=+y x 上点的距离的平方， 所以22y x +的最小值是（0，0）到012=-+y x 的距离d 的平方，据点到直线的距离公式得d ==22y x +的最小值为15．故选C ． 4．直线1:320l x y --=和直线2:3100l x y +-=的夹角平分线的方程为 A ．240x y +-= B ．260x y --=C ．240x y +-=或260x y --=D ．240x y +-=或260x y --= 【答案】D【解析】设(,)P x y 为角平分线上的任意一点，由该点到两直线的距离相等，即可得：=32310x y x y --=+-，整理得240x y +-=或260x y --=．故选D ．5．知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为 A ．25 B ．26 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示： 设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '， 连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值， 且()()22=32+61=26A B '--． 故选B ．6．已知点P 为直线013:=--y x l 上的动点，当点P 到(4 1)A ，和(0 4)B ，的距离之差最 大时，点P 坐标为A ．(1 2，）B ．4( 33，） C ．(2 5，）D ．(3 8，） 【答案】C【解析】如图，作点B 关于l 的对称点为B '，AB '的延长线交l 于0P ，在l 上任取一点P ，则00PA PB PA PB AB P A P B '''-=-≤=-，则点0P 即为所求．设(0 4)B ，关于直线l 的对称点为00( )B x y '，， 则004BB y k x '-=，BB '的中点坐标为004( )22x y +，， 所以0000431431022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩，解得0033x y =⎧⎨=⎩，所以(3 3)B '，．所以直线AB '的方程为092=-+y x ．由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得0P (2 5，）．故选D ．二、填空题7．若点Q P ，分别为直线01243=-+y x 与0343=++y x 上的动点，则PQ 的最小值 为： ． 【答案】3【解析】依题意知，两直线平行．所以PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离， 即=min PQ 22|123|334--=+．8．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是25m n += ．【答案】3【解析】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行，则1226m n -=≠-， 即4n =-且3m ≠，所以2:2460l x y --=，化为2:230l x y --=，所以1l 与2l 之间的的距离为22(3)251(2)m --=+-，又0m >，所以7m =，所以3m n +=．9．已知点(1 2)A -，，(3 4)B ，．点P 在x 轴上，且PA PB =，则PAB ∆的面积为________． 【答案】152【解析】设AB 的中点坐标为M ，则(13)M ，， 因为241132AB k -==--，所以AB 的中垂线方程为)1(23--=-x y ，即052=-+y x ． 令=0y ，则52x =，即P 点的坐标为5( 0)2，，所以22(13)(24)25AB =--+-=， 点P 到AB 的距离为22535(1)(30)2PM =-+-= 所以113515252222PAB S AB PM ==⨯=△． 10．函数2291041y x x x =+-+_________． 74 【解析】()22222291041354y x x x x x =+-+=+-+设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =+-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和．作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -， 连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值， ()22153474BA =+--=min 74y ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．已知直线l 经过直线052=-+y x 与02=-y x 的交点．（1）若点)0 5(，A 到l 的距离为3，求l 的方程；（2）若直线l '经过原点O ，且与直线l 平行，求l '与l 的距离最大值时直线l '的方程．【答案】（1）2=x 或0534=--y x ；（2）02=+y x ．【解析】（1）（解法一）设经过两已知直线交点的直线方程为0)2(52=-+-+y x y x λ， 即05)21()2(=--++y x λλ3=．即02522=+-λλ，所以0)2)(12(=--λλ，解得21=λ或2-=λ．故l 的方程为2=x 或0534=--y x ． （解法二）由25020x y x y +-=-=⎧⎨⎩，解得交点)1 2(，P ． 当直线l 斜率不存在时，方程为：2=x ，此时点)0 5(，A 到l 的距离为3，故2=x 符合题意； 当直线l 斜率存在时，设其方程为：)2(1-=-x k y ，即021=-+-k y kx ，所以点)0 5(，A 到l 的距离为：31132=++k k ，解得34=k ， 所以直线l 的方程为：)2(341-=-x y ，即0534=--y x ． 综上，直线l 的方程为2=x 或0534=--y x ．（2）当两条平行直线l '，l 与P ，O 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 又101202OP k -==-，所以两条平行直线的斜率为2-， 所以直线l '的方程是x y 2-=，即02=+y x ．12．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=．（1）证明：直线恒过定点；（2）当m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）详见解析；（2）47m =； （3）AOB ∆面积的最小值为4，此时直线的方程240x y ++=．【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最=． 又 423312PQ k +==+， 且()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，故22321m m --=-+，解得47=m ． （3）由（1）可知，直线过定点，且分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点， 设直线方程为()21y k x +=+，0<k ，分别令=0x ，=0y ，可得2(1,0)A k -，()0,2B k -，则1212212(1)(2)2()24222AOB k S k k k k k -=--=--=++≥+=-△， 当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4． 此时直线的方程240x y ++=．2.5 圆的方程（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【解析】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则：( 0)( 0)A a B a -，，，，设(),C x y ，则()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，所以()()21AC BC x a x a y →→⋅=+-+=，整理可得：22210x y a +=+>，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆．故选A ．2．已知点(1,1)a a +-在圆22240x y ay +--=的外部（不含边界），则实数a 的取值范围为A ．1a <B ．01a <<C ．15a >D ．1a > 【答案】D【解析】因为圆22240x y ay +--=，可化为()2224x y a a +-=+， 所以圆心()0,a ，半径24ra ． 因为点(1,1)a a +-在圆22240x y ay +--=的外部，所以点(1,1)a a +-到圆心()0,a 的距离大于半径，>1a >．故选D ． 3．若过点(2 1)，的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为 A ．55 B ．552 C ．553 D ．554 【答案】B【解析】由于圆上的点(2 1)，在第一象限，所以圆心必在第一象限， 因为圆与两坐标轴都相切，所以设圆的半径为a ，则圆心的坐标为()a a ，，故圆的标准方程为222()()x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为(11)，或(5 5)，，圆心到直线230x y --=的距离均为d ==，所以圆心到直线230x y --=．故选B ． 4．若方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆取得最大面积，则直线(1)2y k x =-+的 倾斜角α等于A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】D【解析】方程22220x y kx y k ++++=的标准方程为2223()(1)124k k x y +++=-， 则22314k r =-，当所表示的圆取得最大面积时，0k =，此时1r =， 则直线()12y k x =-+为2y x =-+，所以tan 1α=-，因为[0 180)α∈，，所以135α=︒．故选D ． 5．已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆1C 与圆2C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的 方程为A ．22(2)(2)1x y ++-=B ．22(2)(2)1x y +++=C ．22(2)(2)1x y -++=D ．22(2)(2)1x y -+-=【答案】C【解析】圆1C 的圆心为(11)-，，半径长为1，设圆2C 的圆心为( )a b ，， 由题意得111022a b -+--=且1=1+1b a --，解得22a b ==-，，即圆2C 的圆心为(2 2)-，， 又圆2C 的半径长为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=．故选C ．6．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于 点P ，则||||PA PB +（异于A ，B 两点）的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得(0,0)A ，(1,3)B ，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=和直线230mx y m --+=垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+，因为(0 )2PAB π∠∈，，所以3( )444PAB πππ∠+∈，，所以2sin()(1]42PAB π∠+∈， 所以||||PA PB +(10,25]∈．故选B ．二、填空题7．已知圆C 经过(5 1)A ，，(1 3)B ，两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 ．【答案】22(2)10x y -+=【解析】依题意设圆C 的方程为222()x a y r -+=，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r⎧-+=⎨-+=⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程为：22(2)10x y -+=． 8．若方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径长为____．【答案】(2,4)--； 5．【解析】由题意22a a =+，即1a =-或2a =．当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆． 9．由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为 ．【答案】84π+【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当0x ，0y 时，解析式为22(1)(1)2x y -+-=，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为22的正方形与四个半径为2的半圆组成， 所围成的面积是2122224(2)842ππ⨯+⨯⨯⨯=+． 10．已知点(, )P x y 是圆22:4230C x y x y ++-+=上的动点，则22(1)(2)-++x y 的取值范围为 ．【答案】[8 32]，【解析】圆22:4230C x y x y ++-+=可化为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径2r =， 故22(1)(2)-++x y 表示圆上的点(,)P x y 到点(1,2)Q -的距离的平方，因为22(21)(12)32QC =--++=，所以22QC PQ QC -≤≤+，即2242PQ ≤≤，所以2832PQ ≤≤，所以22(1)(2)-++x y 的取值范围为[8 32]，． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,22)B -，顶点C 在x 轴上．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）圆M 是三角形ABC 的外接圆，求圆M 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）22(1)9x y -+=．【解析】（1）直线AB 的斜率为022220AB k +==---， 由题意可知AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为122BC AB k k =-=． 因此，BC 边所在直线的方程为2222y x +=，即240x y --=； （2）直线BC 的方程为240x y --=，由于点C 在x 轴上，令0y =得，点()4,0C ． 由于ABC ∆是以ABC ∠为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心M 为线段AC 的中点()1,0M ，半径长为132AC ．因此，圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=． 12．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；①锐角△ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W ：2416x y +=，(0,)A t ，(4,0)B ， (0,2)C ，(4,0)D -为曲线W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及△ABC 的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程．【答案】（1）2t =-，22340x y x +--=；（2）2216x y +=；（3）22654x y +=． 【解析】（1）因为(0,)A t 在曲线W ：2416x y +=上，所以令0x =得，2t =-． 由于△ABC 为锐角三角形，外接圆就是△ABC 的最小覆盖圆．设△ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则4201640420E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得304D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．。

高中数学三角函数专项练习(含答案)

高中数学三角函数专项练习(含答案)

高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．如图，在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是______.2．在ABC 中，7AB =，23BC =，1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.6．在直角坐标系中，ABC 的顶点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，C ⎝，且ABC 的重心G 的坐标为⎝，()cos αβ-=__________. 7．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．8．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）9．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 10．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④13．已知点P 是曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知,a b Z ∈，满足)sin 50a b ︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C ．32D ．3316．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．2105B ．2103C ．253D ．2517．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π=，且()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1418．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()sin y A x B ωϕ=++，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）A ．25C ︒B ．26C ︒ C ．27C ︒D ．28C ︒19．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）20．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+B ．(0,33)C ．(22,33)+D ．(22,33]三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A 为31-海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间. 23．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.24．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.25．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 26．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 32)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 28．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.29．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.30．已知两个不共线的向量a ，b 满足a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得||||a ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题12．①③31 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5．165386．237．⎝⎭8．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭910． 3 21,32⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．B 13．A 14．B 15．C 16．A 17．C 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u = 当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）=BC C 船在B 船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北30才能最快追上走私船． 【解析】（1）在ABC 中根据余弦定理计算BC ，再利用正弦定理计算ABC ∠即可得出方位； （2）在BCD △中，利用正弦定理计算BCD ∠，再计算BD 得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知1=AB ，2AC =，120BAC ∠=︒， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos1206BC AB AC AB AC =+-︒=， BC ∴，由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即2sin ABC∠解得：sin ABC ∠=， 45ABC ∴∠=︒，C ∴船在B 船的正西方向．（2）由（1）知=BC 120DBC ∠=︒， 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船，则10BD t =，CD =，在BCD △10sin tBCD∠， 解得：1sin 2BCD ∠=， 30BCD ∴∠=︒，BCD ∴△是等腰三角形，10t ∴=，即t =∴缉私艇沿东偏北30【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．23．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.24．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．25．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值.（2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围.【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin 3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， [0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在[0,]π上有且只有一个零点， 223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 26．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12. 【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间（2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增， 解得：36k x k ππππ-≤≤+， 故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈. （2）∵02x π≤≤， ∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.27．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解.【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =， 从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62k B k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=. ∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】 本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.28．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1.【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π= 当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.29．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =()2202242a c b b a R R R ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解.【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=.所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=， 即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。

人教A版高中数学必修一1.2 集合间的基本关系专练(含解析)

人教A版高中数学必修一1.2 集合间的基本关系专练(含解析)

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合(){}(){}22,1,,A x y x y B x y y x =+===，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．集合{}52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,P x x n n Z ==+∈，{}103,Z S x x m m ==+∈之间的关系是 A ．S P M B ．S P MC ．S PMD ．PM S3．下列写法：（1）0}∈2，3，4}；（2）∅⊆0}；（3）-1，0，1 }=0，-1，1}；（4）0∈∅，其中错误写法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N =R5．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{}1,2Q =，则下列关系中正确的是（ ）A ．P Q =B ．Q P ⊆C ．P Q ⊆D ．P Q R = 6．已知集合{|12}A x x =-<<，{|01}B x x =<<，则A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．A B =D ．A B =∅ 7．集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B，则a 的取值范围是（ ） A ．5a ≥ B ．4a ≥ C ．5a < D ．4a < 8．设集合{|14},M x x a π=<<=，则下列关系正确的是（ ）A ．a M ⊆B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ⊆9．若集合{}2|1,A y y x x R ==+∈，集合{}|50B x R x =∈+>，则集合A 与B 的关系是（ ）A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =10．已知A ＝x|x 2﹣3x+2＝0}，B ＝x|ax ﹣1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ） A ．1，2 B ．1，12 C ．0，1，2 D ．0，1，12二、填空题1．已知集合A=x|x ﹣a=0}，B=x|ax ﹣1=0}，且A∩B=B，则实数a 等于_____．2．符合条件{}{},,a P a b c ≠⊂⊆的集合P 的个数是个_______. 3．集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，用列举法表示集合M =________．4．已知集合{1,2,3}A =，则集合{,}B x yx A y A =-∈∈∣的所有子集的个数是________. 5．集合{}2|340,A x ax x x R =--=∈，若A 只有一个真子集，则实数a 的值为______.三、解答题1．指出下列集合之间的关系：（1）{}1,1A =-，{}21B x N x =∈=；（2）{}1,1A =-，()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1B =----； （3）{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈； （4）{A x x =是等边三角形}，{B x x =是三角形}； （5）}{14A x x =-<<，}{50B x x =-<.2．设{}{}2230,10M x x x N x ax =--==-=，若MN N =，求所有满足条件的a 的集合3．写出集合P 的所有子集，其中.4．已知集合{}21A x y x ==+，{}22B y y x a ==+，（1）求集合A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．5．已知{1,}M t =，2{1}N t t =-+，若M N M ⋃=，求实数t 的取值构成的集合．参考答案一、单选题 1．A解析：解方程组221x y y x ⎧+=⎨=⎩，根据解的个数求出交集，再得出子集个数．详解：解：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2=(2A B ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴A B 的子集个数为224=， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合的交集运算，考查有限集的子集个数，属于基础题． 2． C解析：先算出集合S ，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系. 详解： ∵{|52,},{|53,}M x xkkPx xn n Z Z ，{|103,}Sx xm m Z ，∴{,7,2,3,8,13,18,}M，{,7,2,3,8,13,18,}P， {,7,3,13,23,}S，故S PM ，故选C. 点睛：集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素. 3．B解析：由集合与集合的关系判断（1），由空集的性质判断（2）（4）；由集合的无序性以及集合相等的定义判断（3）. 详解：由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误； 故选：B 4．C 详解：集合{}1,1M =-,{}240{|22}N x x x x =-<=-<<,1,1N -∈,所以M N ⊆.故选C.5．B解析：本题考查的是两个集合之间的关系，题意中集合Q 中的元素较少，可以从集合Q 中的元素进行分析判断，判断集合Q 中的元素是否在P 中，从而得出结果． 详解：解：{|1}P x R x =∈≥1P ∴∈，2P ∈，且P Q ≠Q P ∴⊆故本题正确选项：B 点睛：本题考查了集合之间的运算，求解问题的方法可以用数轴法、列举法等等． 6．A解析：画数轴结合子集的概念即可得到答案. 详解：∵集合{|12}A x x =-<<，{|01}B x x =<<， ∴B A ⊆． 故选A ． 点睛：本题考查集合间的基本关系. 7．A解析：因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=． 8．D解析：由14a <<，即得：,{}a M a M ∈⊆. 详解：因为{|14},M x x a π=<<=，14a <<， 所以,{}a M a M ∈⊆， 故选：D 点睛：本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的分析能力，属于基础题. 9．B解析：先确定集合,A B 中的元素，然后根据子集定义判断． 详解：由题意{}2|1,{|1}[1,)A y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，{}|50{|5}(5,)B x R x x x =∈+>=>-=-+∞，显然集合A 中的元素都属于B ， 所以A B ⊆． 故选：B ． 点睛：本题考查集合的包含关系，根据子集定义判断． 10．D解析：先计算集合A ，然后根据B ⊆A ，按a=0，a≠0进行讨论并加以计算可得结果. 详解：由题可知：集合A ＝1，2}，对于集合B ，当a=0时，B =∅，满足B 是A 的子集，符合题意； 当a≠0时，B ＝x|x ＝1a }，B ⊆A ， 则1a ＝1或1a ＝2，解得a ＝1或12； 综上可知，a 的值为0或1或12， 故选：D 点睛：本题考查集合的包含关系求参数，考查计算与分析能力，属基础题.二、填空题 1．1或﹣1或0解析：∵A∩B=B，∴B A ⊆，{}{|0}A x x a a =-==。

高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.3．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.6．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，32b =7sin BAD ∠=，2cos BAC ∠=，则AD =__________. 8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．9．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） A ．33B ．53C ．34D ．5413．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=14．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭15．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C 10D 2516．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥17．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4518．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ） A ．1B ．72C ．32D ．219．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 24．已知函数22cos 3sin 2f x xx a 的最小值为0.(1)求a 的值及函数()y f x =图象的对称中心；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求m的取值范围及()123tan 2x x x ++的值.25．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.26．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .27．已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a x b x x ==-， 设函数(),0,2f x a b x π⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的值域（Ⅱ）设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．28．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 29．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.30．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值【参考答案】一、填空题1．3π 2．734．2⎝5．16538 6．567．489．742ω<<或91322ω<≤.10．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．D 13．C 14．A 15．C 16．B 17．C 18．B 19．C 20．A 三、解答题21．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x BCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-， 因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 22．（1）3A π=；（2）6λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan 3A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（133sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos sin 0b A a B ⇒-+=， 3cos sin sin 0B A A B ⇒-+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan 3,(0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.23．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.24．(1)1，,2212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈；(2)[)3,4，3-. 【解析】（1）由题得()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求出a 的值即得函数()y f x =图象的对称中心；（2）作出函数()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象，求出123523x x x π++=即得解.【详解】(1)()cos 23sin 212sin 216x x a x a f x π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，由已知可得()2110a ⨯-++=，∴1a =，()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令26x k ππ+=可得()y f x =图象的对称中心为,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，由图可得[)3,4m ∈，所以123x x π+=，2343x x π+=，所以123523x x x π++=， 所以()1235tan 2tan33x x x π++==-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．(1)2a =,2b =-或2a =-,42b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）先求得sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可； （2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进而判断单调性即可 【详解】解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得12a ab a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得21a a b a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 26．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长；【详解】解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC =由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC AB ABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠，即4sin sin 6AC πθ= 所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ== 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.27．（Ⅰ）11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数()f x 的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得()h x 的解析式，要使()()sin 20f x h x x m ++-<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，即不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令()()sin2y f x h x x =++求出函数的最小值，即可得实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()222991sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ()211cos 28f x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 0cos 1x ∴≤≤()1188f x ∴-≤≤ ()f x ∴的值域为11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）函数()21cos cos 8f x x x =-+-的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设()()5sin2cos sin sin24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin ,0,42y x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∴ min 94m y >=- 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题.28．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】 （1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.29．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6- 【解析】【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos)αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z 51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， 所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.30．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．。

高中数学集合和函数基本性质基础专练一含答案

高中数学集合和函数基本性质基础专练一含答案

集合与函数基本性质基础专练一一．选择题（共12小题）1．设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8B．7C．4D．32．设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 3．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3} 4．已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．∅5．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）6．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，B＝{2，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{2，4，5}D．{3，4，5}7．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．48．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C ＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}9．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 10．已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}11．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}12．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+1二．填空题（共11小题）13．已知f（x）＝，若f（a）+f（﹣2）＝0，则a＝______14．已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝______．15．函数y＝的定义域是______．16．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A∩B＝______．17．已知a∈R，函数f（x）＝．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是______．18．已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是______．19．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为______．20．函数y＝的定义域是______．21．函数的定义域为______．22．已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝______．23．若函数f（x）＝x3+a为奇函数，则实数a＝______．三．解答题（共7小题）24．x1、x2∈R，f（0）≠0，且f（2x1）+f（2x2）＝f（x1+x2）•f（x1﹣x2）．（1）求f（0）；（2）求证f（x）为偶函数；（3）若f（π）＝0，求证f（x）为周期函数．25．自选题：已知函数f（x）＝|x﹣8|﹣|x﹣4|．（Ⅰ）作出函数y＝f（x）的图象；（Ⅱ）解不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2．26．设a为实数，函数f（x）＝x2+|x﹣a|+1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．27．设函数，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．28．根据函数单调性的定义，证明函数f（x）＝﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．29．求函数．30．30．画出函数的图象．集合和函数基本性质基础专练一参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：；∴P∩Q＝{2，3，4}；∴P∩Q的非空子集的个数为：个．故选：B．2．解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．3．解：∵∁U A＝{﹣1，3}，∴（∁U A）∩B＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}＝{﹣1}故选：A．4．解：由A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，得A∩B＝{x|x＞﹣1}∩{x|x＜2}＝（﹣1，2）．故选：C．5．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．6．解：由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，6}，得∁U A＝{3，4，5}，B＝{2，4，5}，则（∁U A）∩B＝{3，4，5}∩{2，4，5}＝{4，5}．故选：A．7．解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．8．解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）＝{1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．故选：C．9．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．10．解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．11．解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．故选：C．12．解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝﹣e﹣x+1．故选：D．二．填空题（共11小题）13．解：（1）若a＜0，则：f（a）+f（﹣2）＝2a﹣4＝0；解得a＝2，不满足a＜0，这种情况不存在；（2）若a≥0，则：f（a）+f（﹣2）＝a2﹣4＝0；∴a＝2；综上得，a＝2．故答案为：2．14．解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．15．解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．16．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，∴A∩B＝{3，5}．故答案为：{3，5}．17．解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y ＝x上，由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]．18．解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x＝，开口向上，所以函数的最小值为：f（）＝＝．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．19．解：∵集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．A∩B＝{1}，∴a＝1或a2+3＝1，当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，成立；a2+3＝1无解．综上，a＝1．故答案为：1．20．解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]21．解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．22．解：根据条件得：4＝﹣a+2；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．23．解：∵f（x）是R上的奇函数；∴f（0）＝a＝0．故答案为：0．三．解答题（共7小题）24．解：（1）f（2x1）+f（2x2）＝f（x1+x2）•f（x1﹣x2），可令x1＝x2＝0，可得f（0）+f（0）＝f（0）•f（0），由f（0）≠0，可得f（0）＝2；（2）证明：可令x1＝，x2＝﹣，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）f（x）＝2f（x），可得f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数；（3）证明：可令x1＝+π，x2＝，则f（x+2π）+f（x）＝f（x+π）f（π）＝0，即有f（x+2π）＝﹣f（x），将x换为x+2π，可得f（x+4π）＝﹣f（x+2π）＝f（x），可得f（x）为最小正周期为4π的函数．25．解：（Ⅰ）f（x）＝图象如下：（Ⅱ）不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2，即f（x）＞2，观察知当4＜x＜8时，存在函数值为2的点．由﹣2x+12＝2得x＝5．由函数f（x）图象可知，原不等式的解集为（﹣∞，5）．26．解：（1）当a＝0时，函数f（﹣x）＝（﹣x）2+|﹣x|+1＝f（x）此时，f（x）为偶函数当a≠0时，f（a）＝a2+1，f（﹣a）＝a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a）此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x≤a时，当，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）＝a2+1．若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为，且．②当x≥a时，函数若，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为；若，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）＝a2+1．综上，当时，函数f（x）的最小值为当时，函数f（x）的最小值为a2+1当时，函数f（x）的最小值为．27．解：函数的定义域为（﹣∞，﹣b）∪（﹣b，+∞）．f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数，f（x）在（﹣b，+∞）内也是减函数．证明f（x）在（﹣b，+∞）内是减函数．取x1，x2∈（﹣b，+∞），且x1＜x2，那么＝，∵a﹣b＞0，x2﹣x1＞0，（x1+b）（x2+b）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在（﹣b，+∞）内是减函数．同理可证f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数．28．证明：证法一：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）＝x13﹣x23＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＞0；当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；∴f（x2）﹣f（x1）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）所以，函数f（x）＝﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．证法二：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝x13﹣x23＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．∵x1，x2不同时为零，∴x12+x22＞0．又∵x12+x22＞（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2∴x12+x1x2+x22＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）．所以，函数f（x）＝﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．29．解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．30．解：y ＝的图象为然后把次图象向左平移一个单位可得第1页（共1页）。

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第四部分题型专练
客观题专练(一)
【选题明细表】
一、选择题
1.(2014肇庆一模)若全集U={1,2,3,4,5},集合
M={1,3,5},N={3,4,5},则∁U(M∩N)等于( C )
(A){2} (B){1,2} (C){1,2,4} (D){1,3,4,5}
解析:M∩N={3,5},所以∁U(M∩N)={1,2,4},故选C.
2.(2014大连二模)设复数z满足zi=-3+i(i为虚数单位),则z的虚部是( C )
(A)-3 (B)-3i (C)3 (D)3i
解析:zi=-3+i
∴z===1+3i,
故z的虚部为3,选C.
3.(2014商丘三模)命题p:∀x∈[0,+∞),2x≥1,则 p是( A )
(A)∃x 0∈[0,+∞),<1
(B)∀x∈[0,+∞),2x<1
(C)∃x 0∈[0,+∞),≥1
(D)∀x∈[0,+∞),2x≤1
解析:全称命题的否定为特称命题,故选A.
4.(2014江门模拟)已知a=(1,-2),|b|=2,且a∥b,则b等于( C )
(A)(2,-4) (B)(-2,4)
(C)(2,-4)或(-2,4) (D)(4,-8)
解析:设b=(x,y),则
解得或
故b=(2,-4)或(-2,4),选C.
5.(2014郑州一模)如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为( B )
(A)3(B)9(C)6(D)18
解析:由三视图知原图是一个底面为边长为3的正方形,高为的斜四棱柱,所以V=Sh=3×3×=9,故选B.
6.(2014哈师大附中模拟)若sin (x-)=,则cos (-2x)等于( C )
(A) (B)-(C)(D)-
解析:cos (-2x)=cos (2x-)=cos [2(x-)]=1-2sin2
(x-)=1-2×()2=,故选C.
7.(2014山西四校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a5是方程2x2-3x-2=0的两个根,则S6等于( A )
(A)(B)5 (C)-(D)-5
解析:由韦达定理可知a2+a5=,由等差数列的性质知a2+a5=a1+a6,根据等差数列的求和公式S6==,故选A.
8.(2014吉林三模)某社区医院为了了解社区老年人与儿童每月患感冒的人数y(人)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月患病(感冒)人数与当月平均气温,其数据如下表:
由表中数据算出线性回归方程=x+中的=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为6℃,据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为( C )
(A)38 (B)40 (C)46 (D)58
解析:=(17+13+8+2)=10,
=(24+33+40+55)=38,
把(,)代入线性回归直线方程=-2x+得
38=-2×10+,解得=58,
∴=-2x+58,∴当x=6时,=-2×6+58=46,故选C.
9.(2014长春第四次调研)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心离为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:在Rt△MF1F2中,|F1F2|=2c,则|MF2|=,|MF1|=,由双曲线定义可知|MF 1|-|MF2|=2a,即=2a,化简得=,故选A.
10.(2014河南六市第二次联考)已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N+),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( C )
(A)[,3) (B)(,3)
(C)(2,3) (D)(1,3)
解析:由题意可得
解得2<a<3,故选C.
11.(2014哈尔滨三中二模)△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的范围是( A )
(A)(0,] (B)(0,]
(C)[,π) (D)[,π)
解析:由+≥1得b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得b2+c2-a2≥
bc,同除以2bc得,≥,即cos A≥(0<A<π),所以0<A≤,故选
A.
12.(2014长春第三次调研)已知函数f(x)=x2的图象在点A(x1,f(x1))与点B(x2,f(x2))处的切线互相垂直,并交于点P,则点P的坐标可能是( D )
(A)(-,3) (B)(0,-4)
(C)(2,3) (D)(1,-)
解析:由题意可知,A(x 1,),B(x2,),f'(x)=2x,则过A、B两点的切线斜率k1=2x1,k2=2x2,又切线互相垂直,所以k1k2=-1,即x1x2=-.
两条切线方程分别为l 1:y=2x1x-,l2:y=2x2x-,
联立得(x1-x2)[2x-(x1+x2)]=0,
∵x1≠x2,∴x=,
代入l1的方程,解得y=x1x2=-,故选D.
二、填空题
13.在数字1,2,3,4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是.
解析:在数字1,2,3,4四个数中,任取两个不同的数,共有6种情
况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),其中,满足其和大于积的取法有(1,2),(1,3),(1,4)共三种,故其和大于积的概率为=.
答案:
14.(2013大纲全国卷)若x、y满足约束条件则z=-x+y的最小值为.
解析:作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,
由图可知当目标函数z=-x+y经过点C(1,1)时取得最小值,即
z min=-1+1=0.
答案:0
15.
(2014西安市长安区一模)算法框图如图所示,如果输入x=5,则输出结果为.
解析:法一由程序框图可得,
每次所得的x的值为13,37,109,325,
所以输出的x=325.
法二由程序框图可知,
a n满足a n=3a n-1-2(n≥2),a1=5,
由a n=3a n-1-2,得a n-1=3(a n-1-1),
所以a n-1=4×3n-1,a n=4×3n-1+1.因为x>200时停止循环输出x,所以输出的x=4×35-1+1=4×81+1=325.
答案:325
16.(2014河北师大附中模拟)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为.
解析:
如图所示,球心为O,过A、B、C三点的圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC,
∵CO1=×=,
∴OO1==,
∴高SD=2OO1=,
∵△ABC是边长为1的正三角形,∴S△ABC=,
∴=××=.
答案:。

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