哈密顿算符的运算规则

哈密顿算符的运算规则

厦门大学物理系李明哲

【摘要］本文从哈密顿算符的定义出发，根据哈密顿算符的性质．给｜＿｝｛哈离顿算符完整、统…的运算规划，以克服现有物理教剩书中该算符运算规则升；…‘致的缺点，进而帮助学习者更好地掌握该算符。

【关键词】晗密顿算符运算规则场论

物理学中处理“场”的问题时，熟练掌握哈鬻顿算符非常关键。例如。本科《电动力学》整门谋程在菜种程度上可以说就是利用哈密顿算符的性质处理壹克斯市方程组的。该课程被物理系的本科生视为最难的谋私之。，实质原幽在于对晗密顿算符的运算掌握ａｉ好。所以，在正式学习该课程之前，总是需要先温习这部分知识。

然而，～些常用教科书（例如《电动力学》…）在舟绍哈密顿算符的运算规则时并没有给出宠籀、统一、清晰的规则，导致读肴不耪理解和掌握；而另外一然教科书（例如《经典电动力学》“）则直接将其列为公式，并未给山证明，读者遇到列出的公式之外的运算就无法进行，当然也就无法真正掌握。

本文希望能克服这一不足之处，从哈密顿算符豹定义出发，分析暗密顿算符的两个报本性质，并由此给出一套哈密顿算符的完整、统…的运算规则。

一、哈密顿算符的定义

哈密顿算符定义为：

甲＝磋＋瑶＋礓

∞Ｗ∞

由上图可以看出算符同时具有失罱性和微分性两个根本性质，所以在其运算过程中要同时ｊ主意这两方面的性质。由该定义，场的梯度、教度和旋度可以分别理解为算符Ｖ直接作用、点乘和义乘该场。

二、哈密顿算符的运算规则

根姑前商晗密顿算符的定义和性质的分析，哈密顿算符的运算规则为：

步骤１．根据口的微分性写成几项，在Ｖ的下标标明算符Ｖ作用于哪个函数上。

步骤２．将甲看成…．个矢量，利用失·９０·量和标量的性质重新排列，使得甲叫纠。【即舻＋∥ｌ纠（４１）墨繁慕嚣翌霈善ｖ㈤：嗽７＋四回㈣面。排列时注意汛注意各符号７够』２Ｖ掣；歹＋掣Ｖｊｑ纠荽嚣差耋篁嚣兰嚣置。和，。㈤书曲。刊ｖ。刁㈤Ｘ的位置；ｂ．注意正负号。…惮，一ｔ’…，“，１…～’“ｏ，…叫：≤凳耋耋耋０等萝二墓ｖ西司：ｉ婶ｘ７卜７ｐ函＂）三个运算步骤充分体现了哈密…叫。、

叫。㈩

篓苎篓竺翌０警烹性质·以下举Ｆ×西裔：善形．（Ｖ疆＋ｐ裔再旷ｖ蓐（４５）例示范这三个步骤：

…“”’…、…

步骤１．类似于做微分运算。例如：

Ｖ啦曲＝口，缸¨＋已∞∽（２１）

ｖ∞却，㈤＋ｖ㈤（２．２）

ｖｘ∞＝Ｆ，ｘ∞＋Ｌ×∞ｏ．３）

Ｖ晒＝Ｖ，嘲＋ｖ，黼儡４）

９ｘＢ西＝Ｄｘ｜７硝＋Ｖ。×∞西让５）

步骤２．常用的矢量性质有：

于将看成个矢量，然后还需注意正在

处理的是矢量和标量的点乘（标秘）和叉

乘（矢积）等逛算。它是有别于数乘的。掌

握了．匕述哈密顿算符的运葬规则，对物

理学中场的问题的处理就能够得心应手

了。

于喜＝ｇ，，／ｘｇ＝一ｇｘ，

７Ｅｘ茅）＝；Ｆ×动＝≯Ｆ×动，Ａ管×习：矿疆一萨蕊例如：Ｖ，扣囝十Ｖ，（￡ｆ计＝妒∥≯＋“０∽ｏ１）

甲，翰＋ｏ㈤＝帆∞丸妒，回（３２）

ｏｘ㈤＋巧ｘ∞＝盹办丸毋，×另

０ｘ够ｊ＋巧ｘ㈣＝Ｒ咖，十心，×力（３筇

ＬＶｘ鲫＋可ｌｐ×ｇ）＝ｇＰ，ｘ，Ｊ一，甲ｌｘ酣（３４）÷÷＿—｝｛，■～●—＊÷，．ｈ●＿＿

Ｖ，ｘ扩。ｇ）＋Ｖｊｘ矿。ｇｊ＝培，Ｖ，弦一ｐ，ｊ，）ｇ＋审，ｇ驴一ＶＶ，量（３５）步骤３壤简单，抹玉的下标即可－所参考文献

以，由（２．１）～（２．５）和（３．１）一（３．５）得【１］郭硕鸿．电动力学【Ｍ】．北京：高总结；由以Ｌ哈密顿Ｖ算符的运算等教育出版社．１９９７

规则的三个步骤可以看出，第二二步垠容【２］蘩圣善，束耘经典电动力学【Ｍ】，崭出错。在做这一步运算时茸先要习惯ｔ海：复旦夫学出版社，１９８５※

　万方数据

哈密顿算符的运算规则

作者：李明哲

作者单位：厦门大学物理系

刊名：

成功（教育版）

英文刊名：SUCCESS

年，卷(期)：2007，""(4)

被引用次数：0次

1.郭硕鸿电动力学 1997

2.蔡圣善.朱耘经典电动力学 1985

本文链接：/Periodical_cg200704065.aspx

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