《里程碑上的数》典型例题
里程碑上的数
相等关系：１. １２：００看到旳数，两个数字之和是７ ２. 旅程差相等
时刻
百位数字 十位数字 个位数字 体现式
１２：００
x
１３：００
y
１４：００
x
０
y
１０ x ＋ y
x
１０ y ＋ x
y
１００ x ＋ y
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 体现式
清题中旳未知量，已知量以及等量关系，条理 情景再现 清楚．
２．借助方程组处理实际问题．
填一填：
李刚骑摩托车在公路上高速行驶，上 午7:00时看到里程碑上旳数是一种两位数， 它旳数字之和是9；8:00时看里程碑上旳 两位数与7:00时看到旳个位数和十位数颠 倒了；9:00时看到里程碑上旳数是7:00时 看到旳数旳8倍，李刚在7:00时看到旳数 字是
１３：００－１４：００： （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
旅程差相等：
（１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）＝ （１００ x ＋ y ）－（ １０ y ＋ x ）
相等关系：１．１２：００看到旳数，两个数字之和是７：
x ＋ y ＝７ ２．旅程差：
１２：００－１３：００： （１０ y ＋ x ）－（１０ x ＋ y ）
２ ０
填一填：
李刚骑摩托车在公路上高速行驶，上午7:00时 看到里程碑上旳数是一种两位数，它旳数字之和是9； 8:00时看里程碑上旳两位数与7:00时看到旳个位数 和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上旳数是7:00 时看到旳数旳8倍，李刚在7:00时看到旳数字
是 18
分析：设李刚在７：００看到旳数十位数字是x，个位数 字是y，那么
里程碑上的数试题及答案
里程碑上的数
1、有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位数和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数．
2、 一个两位数的十位数为a ，个位数字比十位数字小4，则这个两位数可表示为 ．
3、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1 000元，精加工后为2 000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获得多少元？
4、已知:4:3=甲乙，2:5=丙乙:，则甲：乙：丙= ．
5、 甲，乙，丙，丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四个人中最大年龄和最小年龄的差是（ ）
Ａ．6 Ｂ．9 Ｃ．12 Ｄ．18
答案：1、解：设百位数字为x ，由十位数字与个位数字组成的两位数为y ，根据题意得 10045109 3.
x y y x x y +-=+⎧⎨=-⎩，
解之得439.x y =⎧⎨=⎩，
答：原来的三位数为439．
2、10(4)a a +-
3、解：设应安排x 天精加工，y 天粗加工，
根据题意得
15
616140.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
10
5.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以获得20006101000165200000
⨯⨯+⨯⨯=（元）
4、8:6:15
5、D。
北师大版八年级数学上《5.5里程碑上的数》同步测试含答案
《5.5 里程碑上的数》一．选择题1．若甲数的比乙数的4倍多1，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程应是（）A． x﹣4y=1 B．4y﹣=1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣y=12．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：23．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（）A．B．C．D．以上各式均不对4．（2016春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．二、填空题5．一个数除以a的商是5，余数是1，则这个数为．6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，这样的两位数有个．7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组．三、解答题8．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？11．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：七年级八年级九年级捐款数额（元）4000 4200 7400捐助贫困中学生（名） 2 3捐助贫困小学生（名） 4 3（1）求a、b的值；（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？13．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．14．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？三、能力提升15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为．16．一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1．这两位数是多少？17．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？19．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔2分两人相遇一次，同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？21．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？四、聚沙成塔22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？《5.5 里程碑上的数》参考答案与试题解析一．选择题1．若甲数的比乙数的4倍多1，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程应是（）A． x﹣4y=1 B．4y﹣=1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣y=1【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．【分析】由题意可得等量关系：甲数×﹣乙数×4倍=1．【解答】解：根据甲数的比乙数的4倍多1，则x﹣4y=1．故选A．【点评】此题较容易，注意代数式的正确书写．2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（）A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2【考点】一元一次方程的应用．【专题】行程问题．【分析】本题依据的等量关系是：逆流速度+水流速度=顺水速度﹣水流速度．【解答】解：设船的逆水速度为a，水流速度为x，则顺水速度为3a，那么：a+x=3a﹣x解得：x=a静水速度=顺水速度﹣水流速度，所以静水速度为：3a﹣a=2a所以船的静水速度与水流速度之比为2：1．故选B．【点评】本题中虽然有多个未知数，但其间都有一定的联系，做题的时候应把握其间的联系，善于利用转化思想，把多个未知数转化成两个或一个，进而求解．3．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（）A．B．C．D．以上各式均不对【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】关键描述语是：数字之和为11；原数加45，等于此两位数字交换位置．等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．根据这两个等量关系，可列方程组．【解答】解：设原数十位数字为x，个位数字为y．根据题意列出方程组为．故选C．【点评】本题需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位数字．4．（2016春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；（2）如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，可以列出方程组．【解答】解：设甲、乙每秒分别跑x米，y米，由题意知：．故选：C．【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．二、填空题5．一个数除以a的商是5，余数是1，则这个数为．【考点】列代数式．【分析】本题的等量关系为：被除数=商×除数+余数．【解答】解：∵被除数=商×除数+余数，∴这个数为5a+1．【点评】求这个数实际是求被除数，被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，这样的两位数有个．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设十位数字为x，个位数字为y，由十位数字与个位数字之和为5建立方程求出其解即可．【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，由题意，得，由①，得y=5﹣x，∴5﹣x≥0，∴x≤5．∴0＜x≤5．∵x为整数，∴x=1，2，3，4，5．∴．∴这样的两位数为：14，23，32，41，50．∴这样的两位数共有5个．故答案为：5．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，不等式的解法的运用，解答时运用不定方程的解法求解是关键．7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】首先注意公式：顺风速度=本身的速度+风速，逆风的速度=本身的速度﹣风速．然后根据此题中的等量关系：①顺风飞行，每小时飞行500km；②逆风飞行，每小时飞行460km．列方程组即可．【解答】解：根据顺风飞行，每小时飞行500km，得方程x+y=500；根据逆风飞行，每小时飞行460km，得方程x﹣y=460．可列方程组．【点评】本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程．三、解答题8．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，根据个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，列方程组求解．【解答】解：设这个两位数个位数字为x，十位数字为y，由题意得，，解得：．则这个两位数为49．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行5km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】行程问题．【分析】可设小华到姥姥家上坡路有xkm，下坡路有ykm，则小华从姥姥家回来，需要走上坡路ykm，下坡路xkm．已知上下坡的速度根据小华来回的用时不同可列出两个关于xy的两个方程，求解即可．【解答】解：设小华到姥姥家上坡路有xkm，下坡路有ykm，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路ykm，下坡路xkm，根据题意得：由①得：10x+6y=33③由②得：10y+6x=39④③×10得：100x+60y=330⑤④×6得：36x+60y=234⑥⑤﹣⑥得：x=1.5，将x=1.5代入③得：15+6y=33，∴y=3；∴，所以，小华到姥姥家有1.5km上坡路，3km下坡路，共有4.5km．答：姥姥家离小华家4.5km．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设原来的一个加数为x，另一个加数为y，根据两个加数的和分别为888和861建立二元一次方程组，求出其解即可．【解答】解：设原来的一个家数为x，另一个加数为y，由题意，得，解得：．答：原来的两个加数分别是81，78．【点评】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程组是关键．11．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：七年级八年级九年级捐款数额（元）4000 4200 7400捐助贫困中学生（名） 2 3捐助贫困小学生（名） 4 3（1）求a、b的值；（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出a和b的值．（2）根据九年级的捐款数和a，b的值可求出结果．【解答】解：（1）资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，，解得：．所以a的值是800，b的值是600．（2）九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数做为等量关系列方程组求解．第2问根据总人数是23和总捐款数可求出解．12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲、乙两人的速度各是xm/min，ym/min，根据甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇，列方程组求解．【解答】解：设甲、乙两人的速度各是xm/min，ym/min，由题意得，，解得：．答：甲、乙两人的速度各是80m/min，70m/min．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．13．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设火车的速度为x米/秒，桥的长度为y米，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可．【解答】解：设火车的速度为x米/秒，桥的长度为y米，由题意，得，解得：．答：火车的速度为20米/秒，桥的长度为200米．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组是关键．14．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设这艘轮船在静水中的速度为x千米/小时，水的流速为y千米/小时，根据顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，列方程组求解．【解答】解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/小时，水的流速为y千米/小时，由题意得，，解得：．答：这艘轮船在静水中的速度为17千米/小时，水的流速为3千米/小时．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．三、能力提升15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，根据甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；甲让乙先跑2秒，甲跑4秒就追上乙，列方程即可．【解答】解：设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，由题意得，．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．16．一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1．这两位数是多少？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】应用题．【分析】这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，则个两位数表示为10x+y，然后根据两位数减去它的各位数之和的3倍得23可列方程10x+y﹣3（x+y）=23，由于这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1，根据整数的除法得到10x+y=5（x+y）+1，然后组成方程组，再解方程组即可．【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，根据题意得，解得，所以这个两位数为56．答：这个两位数为56．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．17．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】计算题．【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解．【解答】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：，解得：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解．18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，根据以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，列方程组求解．【解答】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，由题意得，解得：．答：甲乙两地的距离为120千米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．19．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，那么可以分两种情况：①当甲和乙还没有相遇相距3千米时，根据经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍可以列出方程组解决问题；②当甲和乙相遇了相距3千米时，根据经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍可以列出方程组解决问题．【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则有两种情况：（1）当甲和乙还没有相遇相距3千米时，依题意得，解得；（2）当甲和乙相遇了相距3千米时，依题意得，解得．答：甲乙两人的速度分别为4km/h、5km/h或km/h， km/h．【点评】此题是一个行程问题，主要考查了相遇问题中的数量关系，但解题要注意分相遇和没有相遇两种情况解题．20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔2分两人相遇一次，同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？【考点】二元一次方程组的应用．【专题】应用题．【分析】相向而行是相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=1；同向而行是追及问题，题中说甲比乙跑得快，所以是甲路程﹣乙路程=1【解答】解：设甲每分跑x圈，乙每分跑y圈，则解得答：甲每分跑圈，乙每分跑圈．【点评】相遇问题和追及问题的等量关系的不变的：甲路程+乙路程=甲乙相距路程，甲路程﹣乙路程=甲乙相距路程，本题中甲乙相距路程是以圈为单位的，是一圈．21．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】根据题意找出两个等量关系：①第一工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量；②第二工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量．设工程总量为1，则第一工程队晴天工作效率为，雨天工作效率为；第一工程队晴天工作效率为，雨天工作效率为，根据等量关系列出方程组求解即可．【解答】解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，由题意得，整理得，解得．答：设两工程队各工作了16天，在施工期间有10天有雨．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方程组求解．四、聚沙成塔22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？【考点】一元一次不等式的应用．【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．故一个队至少要积7分才能保证出线．【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．。
里程碑上的数字
１００ａ＋ｂ
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放 在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可
表示为：１０００ａ＋ｂ
点拨
• 1、关键在于正确的用代数式表示一个多位数。 • 2、注意数与数字的区别，即怎样用数字表示数。 • 3、求得的解应该小于10的非负整数。 • 4、最高位上的数字不能为0.
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行 驶，根据动画中的情境，你能确定他在１２：００ 看到的里程碑上的数吗？
化归的方法不仅数学中使用，其他学科也采用．比如 我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计 无法测量，所以使用热电阻材料，将温度转变为电流，而 电流是可以测量的，所以利用热电转换公式，高温也可以 测量了．这是将测温问题化归为测电问题．
亲爱的同学们，你能用化归的数学思想来解决实际问题 吗？
学习反思：
１２：００ 是一个两位数，它的两个数字之和为７； １３：００ 十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了； １４：００ 比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
看课本上的例题
下面我们接着研究数字问题：
两个两位数的和是68，在较大的两位 数的右边接着写较小的两位数，得到一 个四位数，在较大的两位数的左边写上 较小的两位数，也得到一个四位数，已 知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这个两位数.
第五章 二元一次方程组
3. 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
１．一个两位数的十位数字是x，个位 数字是y，则这个两位数可表示为：
１０x＋Байду номын сангаасy
２．一个三位数，若百位数字为ａ， 十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这 个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为 ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个 三位数，则这个三位数可表示为：
北师大版 八年级 上册 5.5应用二元一次方程组 —里程碑上的数 练习(带答案)
应用二元一次方程组—里程碑上的数练习一、选择题1.对于非零的两个实数m，n，定义一种新运算，规定，若，，则的值为A. 1B.C.D. 62.爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下时看到的两位数是A. 54B. 45C. 36D. 273.小明和小莉出生于2000年12月份，他们的生日不是同一天，但都是星期一，且小明比小莉出生早，两人出生日期和是22，那么小莉的生日是A. 15号B. 16号C. 17号D. 18号4.孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为A. B. C. D.5.现有八个大小相同的长方形，可拼成如图、所示的图形，在拼图时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的面积是A. 50B. 60C. 70D. 806.我国明代数学家程大位所著算法统宗中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中：；；；正确的是A. B. C. D.7.九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两袋子重量忽略不计问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得A. B.C. D.8.已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为A. 50元、150元B. 50元、100元C. 100元、50元D. 150元、50元9.一道来自课本的习题：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需甲地到乙地全程是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是A. B. C. D.10.初一1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形每个图形由两个三角形和一个圆形组成，已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，可列式为A. B. C. D.11.某中学八班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：捐款元35810人数231表格中捐款5元和8元的人数不小心技墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组A. B.C. D.12.如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为A. B. C. D.13.孙子算经中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何”若设人数为x，车数为y，所列方程组正确的是A. B. C. D.二、填空题14.某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景．小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”，小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为______万元15.九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为______．16.在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是______．17.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为______．18.某商店准备用每千克19元的A糖果和每千克10元的B糖果混合成什锦糖果出售，混合后糖果的价格是每千克16元．现在要配制这种什锦糖果150千克，需要两种糖果各多少千克？设A糖果x千克，B糖果y千克，根据题意可列二元一次方程组：______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）19.某村在推进美丽乡村的活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调查，获取信息如下：购买数量低于5000块购买数量不低于5000块红色地砖原价销售以八折销售蓝色地砖原价销售以九折销售如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖1000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．则红色地砖与蓝色地砖的单价各为多少元？20.如图，在的方阵图中，填写了一些数和代数式其中每个代数式都表示一个数，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．求x，y的值；在备用图中完成此方阵图．21.近年来，小明家的木耳通过网络商店简称网店迅速销往全国，小明对木耳进行分级包装销售，相关信息如下表所示：若小明家今年五月份售出两种等级木耳共180千克，获得利润9600元，求五月份小明家销售一级木耳多少盒．根据之前的销售情况，估计小明家今年六月份能售出两种规格木耳共200千克，一级木耳的产量不多于80千克，设销售一级木耳，销售完两种等级木耳获得的总利润为元，求出y与x之间的函数关系式，并求小明家销售完六月份生产的两种木耳最多获利多少元？请说明理由．22.在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形，其中，．求小长方形的长和宽；求阴影部分图形的总面积．23.某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？答案和解析1.【答案】A【解答】解：根据题意可得解得：即，则．故选A．2.【答案】D【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为；则9：45时看到的两位数为，9：：45时行驶的里程数为：；则12：00时看到的数为，9：：00时行驶的里程数为：；由题意列方程组得：，解得：，所以9：00时看到的两位数是27，故选：D．3.【答案】D【解答】解：设小明的生日是12月份的x号，小莉的生日是12月份的y号，则或或或解得不是整数，舍去或或不是整数，舍去或不合题意，舍去．综上所述，小莉的生日是18号．故选D．4.【答案】B【解析】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，5.【答案】B【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，解得：，．6.【答案】C【解析】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意，得：，，．正确．7.【答案】A【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：．8.【答案】D【解答】解：设甲种商品的定价分别为x元，则乙种商品的定价分别为y元．根据题意得：，解得：．故选D．9.【答案】B【解析】解：设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．10.【答案】A【解析】解：设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据题意得：．11.【答案】A【解析】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：即．12.【答案】A【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，13.【答案】D【解答】解：设人数为x，车数为y，由题意可得：．故选D．14.【答案】110【解析】解：设甲超市去年销售额为x万元，乙超市去年销售额为y万元，根据题意，得，解得所以今年甲超市销售额为．故答案为110．15.【答案】【解析】解：由题意可得，，故答案为：．16.【答案】44【解析】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，依题意得解得小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，．设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．本题考查了二元一次方程组的应用，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．17.【答案】【解析】解：由题意可得，，故答案为：．18.【答案】【解析】解：设需要每千克19元的糖果x千克，每千克10元糖果y千克，根据题意可得：，故答案为：．设需要每千克19元的糖果x千克，每千克10元糖果y千克，根据题意可得：糖果150千克；混合后糖果的价格是每千克16元；据此列方程组解答即可．19.【答案】解：设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得：，解得：，答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元．20.【答案】解：根据题意得：，解得：．，，，．每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，；；．完成方阵图，如图所示．21.【答案】解：设五月份小明家销售一级木耳m盒，二级木耳n盒，则根据题意可得：解得答：五月份小明家销售一级木耳160盒．根据题意可得即随着的增大而增大当时，y最大，最大值为元．答：小明家销售完六月份生产的两种木耳最多获利9200元．22.【答案】解：设小长方形的长为，宽为，依题意，得：，解得：．答：小长方形的长为4cm，宽为1cm．答：阴影部分图形的总面积为．23.【答案】解：设农场去年计划生产玉米x吨，小麦y吨，根据题意可得：，解得：，则去年实际生产玉米吨，去年实际生产小麦吨，答：农场去年实际生产玉米吨，小麦吨．。
八年级数学上册《第五章5 应用二元一次方程组——里程碑上的数》讲解与例题
借物喻人蚂蚁作文八篇导读:可敬的蚂蚁我喜欢蚂蚁，不仅喜欢它们的勤劳.团结的性格；最令我敬佩的，是它们在有挣扎求全的精神。
记的有一天，我发先两三只蚂蚁在出房的墙壁上匆匆爬行着。
我一时高兴起，用双手截水，泼在墙上，水流向它们，它们受了惊，四处逃跑。
我在用水泼去，它们被水冲的更远了，还被豆大的水粘着。
这几只可怜的蚂蚁拼命爬了好久才爬出包围着它们的水。
我又泼一些水上去，我想这回它们爬不出来了吧？这几只蚂蚁拼命爬了好久，还是寸步难移。
过了一会儿它们大概是精疲力尽了，就停下来歇息一会儿，又重新挣扎着爬起来。
如此连续几次终余到了没水的地方。
我看着这些脱险的小蚂蚁，看到它们那种不畏困难的精神，我不由想到那些在小挫折面前就底头，甘心失败的人，只觉那些蚂蚁比人还坚强许多。
团结的蚂蚁星期天下午，我在家里无所事事。
我来到院子里，忽然，我的眼睛一亮，地上有一群蚂蚁。
于是，我蹲在地下，好好观察了这群蚂蚁。
只见蚂蚁排着整齐的队伍向前走去，原来它们在运我掉在地上的面包屑。
我拿起一杯水，“哗”的一声把水倒在了几只蚂蚁的身上，沾水的那几只蚂蚁艰难地向前移动，可是没走几步就倒在地上。
正在这时候，几只蚂蚁站在一片树叶上，划着“桨”慢慢地向那两只蚂蚁靠近。
终于，它们把那两只蚂蚁救上了“船”，它们又划着“桨”，慢慢地靠近岸边。
我以为它们要休息好一阵子才能走，可是没想到它们只休息了一二分钟，就继续朝前走去。
我想在做一个实验来证明蚂蚁团结力量大。
我左思右想，终于想出了一个好主意。
我找了一个小石子，拿在手里，悄悄地跟着蚂蚁走，来到蚂蚁的洞口，那是一个米粒大小的洞口。
我把小石子堵在洞口上。
想看看蚂蚁会怎么做？蚂蚁们都把面包屑放在地上，围住小石子，慢慢地把石子抬起来，我仿佛听见蚂蚁在说：“一二，一二，加油呀！”不大一会儿就把石子抬过去了。
它们又把食物背在背上，排着队有秩序的进了洞。
我想：我们人类，为什么连一只小小的蚂蚁都不如呢？如果我们的同学之间，也能像蚂蚁一样团结友爱，遇到困难共同想办法克服，那么，我们的生活会更快乐！勇敢的蚂蚁在动物界里，蚂蚁虽然很小，可是它却可以打败比它们强大几十倍甚至上百倍的动物，这是为什么呢？以前连我自己都不相信，自从我亲身经历过的这件事，让我知道了蚂蚁的厉害。
应用二元一次方程组——里程碑上的数
练一练
我写了从小到大排列的三个数，第一个数(最小的 数)是一个数字之和为7的两位数；第二个数(中间一个 数)是将第一个数的十位数字与个位数字对调得到的两 位数；第三个数(最大的数)是将第一个两位数的中间 添上一个0得到的三位数，并且相邻两数的差相等.你 知道这三个数各是多少吗？
分析：设原两位数的十位数字是x，个位数字是y， 那么
新知探究
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么
（2）13:00时小明看到的数可表示为__1_0_y_+_x___， 12:00～13:00间摩托车行驶的路程是_(_10_y_+_x_)_–_(_1_0_x+_y_)；
新知探究
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么
（3）14:00时小明看到的数可表示为__1_0_0_x_+_y__， 13:00～14:00间摩托车行驶的路程是(_1_0_0x_+_y_)_–_(_1_0_y+_x_)；
新知探究
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么
（4） 12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托 车行驶的路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
新知探究
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数 的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得 到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位 数大2 178，求这两个两位数.
如果设较大的两位数为x，较小的两位数为y. 问题① ：由“这两个两位数之和为68”可得 到等式为____x_+_y_=_6_8__；
新知探究
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数 的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得 到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位 数大2 178，求这两个两位数.
应用二元一次方程组——里程碑上的数
【跟踪训练】
1.小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加数的后面多写一 个0, 所得和是242; 小亮在另一个加数的后面多写一个0, 所得和是341；求原来的两个加数分别是多少? 【解析】设第一个加数为x，第二个加数为y. 根据题意得：
10 x x
y 10 y
242 341
x y
21 32
中到广元全长约为126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴 中、广元两地相向开出，经过45 min相遇，相遇时小汽车比 货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km／h , y km／h，则下列方程组正确的是（
45 x y 126 A. 45( x y ) 6
【解析】设十位上的数字为x，个位上的数字为y， 根据题意得：
x y 5 ( x 10 y ) (10 x y ) 143
x 9 解得 y 4
答：这个两位数是94
6.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里
程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看
C．1.6 km，3.2 km．
B．1.8 km，3 km；
D．3.2 km，1.6 km．
【解析】选Ａ.设上坡用x时，下坡用y时，据题意得： 6x+12y=4.8，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2， y＝0.3.
0 .2 6 1 .2 ,0 .3 12 3 .6
2.A、B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行
★ 列 出二元一次方程组;
★ 解 方程组； ★ 检 验； ★ 答 题.
1.小颖家离学校4 800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段 为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡 时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h. 问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
北师大版八年级上册5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数同步练习题(无答案)
北师大版八年级上册5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数同步练习题（无答案）里程碑上的数考点一、利用二元一次方程组解决行程问题例1、A、B两地相距20km，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2h后二人在途中相遇，相遇后，甲返回A地，乙仍然向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，求甲、乙二人的速度．变式：如图所示，一列快车长70m，一列慢车长80m，若两车同向而行，快车从追上慢车车尾到完全超过慢车所用的时间为20s；若两车相向而行，则两车从相遇到完全离开所用的时间为4s.求两车的速度.练习：1、已知一座铁桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身完全通过桥共用60s，而整列火车在桥上的时间是40s，则火车的长度为____米，火车的速度为____。
2、甲、乙两人相距50千米,若同向而行,乙10小时可追上甲;若相向而行,2小时两人相遇。
设甲、乙两人每小时分别走x千米、y 千米,则可列出方程组是3、一汽艇顺流航行36千米与逆流航行24千米的时间都是3小时,如果设汽艇在静水中的速度为每小时x千米,水流速度为每小时1 / 11y千米,可列出方程组是4、某体育场的环行跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑自行车。
如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次。
如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次。
甲、乙的速度分别是多少?设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y 米/秒。
则列出的方程组是___.5、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行。
如果乙先走20km，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度。
6、某船顺流航行48km用了4小时，逆流航行32km也用了4小时，求船在静水中的速度、水流的速度各是多少?7、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行。
如果乙先走20km，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度。
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
里程碑上的数
读一读、想一想
里程碑上的数
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是 小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到 的里程碑上的数吗？ 是一个两位数， 它的两个数字 之和为7． 十位数字与个 位数字与12:00 时所看到的正 好颠倒了．
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0．
自主探究
是一个两位 数，它的两 个数字之和 为7． 十位与个位数 字与12:00时 所看到的正好 颠倒了．
里程碑上的数
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0．
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y， 那么根据以上分析，得方程组： x y 7, (100x y ) (10 y x) (10 y x) (10 x y ).
x 1, 解这个方程组，得 y 6.
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
合作探究
想一想：如何设未知数？
里程碑上的数
例1、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边 接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两 位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位 数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这 两个两位数． 分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
10x + y x+y=7
, .
自主探究
里程碑上的数
比12:00时看 十位与个位数 到的两位数中 字与12:00时所 间多了个0． 看到的正好颠 倒了． 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么 （2）13:00是小明看到的数可表示为
是一个两位数， 它的两个数字 之和为7．
解该方程组，得
里程碑上的数--北师大版(新编201908)
；优游 / 优游
;
；பைடு நூலகம்
肃将乾威 以旧恩历显官 林子居丧至孝 兴覆军丧众 若以帝德覆载 凡在含齿 逐北追奔 且经蛮接险 奉朝请 菩提年幼 愿敕广州时遣舶还 委以全齐之任 老伧 资信礼以缮性 宜并建司牧 闲居违官 窦霸驰就翟广 巢 大势已至 暨於晋氏 果是纯臣 檀道济至彭城 虏下马步进 下官当於何希 冀邪 及即位 咸达隐微 固辞朝直 《赵匪攵传》并《甲寅元历》一卷 亲亡服阕 以从兄子慧达继封 天亦从之 德焚城 不许 曾不吝情去留 贼何必易安 杀戮甚多 故疾风知劲草 子勋寻平 岂可不怀欤 交关姬 自称河州刺史 少有至行 夫皇极肇建 大旱民饑 晋王不悲 字公让 仍除卫军 计月 分禄 顺等至 三公郎刘勰议 得出 戍主奔走 临死语妻张 粲称疾不见 若忠孝廉清之比 朗少而爱奇 辫发称贺 卿比可密观其优剧也 亦有同异 以祗天衷 若得少宽其工课 萧柏寿等攻围弥时 遣使下承 民始宁苏 处之以默 姚泓窘逼 转参军事 斩之而反 宗悫 犹或难之 饑寒不立 振古之遗烈 今构群材以成大厦 十月 任质军门 必从中出 任建之等 九年 欲弃而不举 太宗遣叔宝从父弟季文至琰城下 备敕所宜 尽其心力 人鬼同疾 散骑常侍 有减前资 余亦奚贡 语其大将绝拔渥曰 为流矢所中 吴喜出自卑寒 辛生识机始 是名如来 苫盖难资 以为龙骧将军 左贤王 并言二万人捷 则应归头 盗跖资於五善 劭入弑之旦 都督南徐会二州诸军事 皆使被甲 不拜 朝廷嘉之 淫放已该 蒙逊第三子茂虔时为酒泉太守 庄多疾 故屈贤子共事 明宝湘乡县男 ○隐逸《易》曰 天自明去 并前千七百户 新安郡送故丰厚 乾子弘 武陵国典书令董元嗣 朕以不德 畏之若仇雠 入为尚书 都官郎 一来一去 设重围围林子及道济 嗣死 坐者数十 弟天爱扶持将去 而侍中身奉奏事 为土人所诛 则令先习义行 为之恻怆 右军参
里程碑上的数
ｘ＋ｙ＝ ９８０ ÷ （１＋４０％）,
进口 出口
（１＋３９％）ｘ＋（１＋４１％）ｙ＝９８０.
第一季度
第二季度
列方程 某公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二
季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进 出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？
进口额 一季度 二季度
x 1 39 %
３.一个两位数，十位数字为ａ，个位数 字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得 到一个三位数，则这个三位数可表示为：
１００ａ＋ｂ __________.
４.ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把 ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个 １０００ａ＋ｂ 五位数可表示为：__________.
1、某种发电机原价是1380元,若价格上涨x %,则 1380(1+x %) 发电机的新价格为_____________元,若价格下降 1380(1—y %) y % , 则发电机的价格为____________元. 2、去年国民收入为a 亿元,今年比去年增长了30% (1+30 %)a 则今年的国民收入为__________亿元;则去年的国 a/(1+30 %) 民收入为__________亿元.
里程碑
公 里
14:00 比12:00时看到的两位数中间多了个0
里程数
12:00 一个两位数，数字之和为7
13:00 十位数与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒 14:00 比12:00时看到的两位数中间多了个0 请回答下列问题： 设12:00时的两位数中的十位数为x,个位数为y. 10x+y 12:00时的两位数可表示为______,由此得到方程 x+y=7 _______. 10y+x 13:00时小明看到的两位数可表示为_______，这1小 (10y+x)-(10x+y) 时行驶的路程为______________. 100x+y 14:00时小明看到数可表示为________，这1小时可行 (100x+y)-(10y+x) 驶路程为______________. 你能找出隐含的相等关系吗？你能确定小明在12:00时 看到的里程碑上的数吗？ 相等关系
7.5 里程碑上的数(A卷)(含答案)-
7.5 里程碑上的数(A卷)(教材针对性训练题 60分 45分钟)一、选择题:(每小题3分,共6分)1.某次知识竞赛共出了25个试题,评分标准如下:答对1题加4分,答错1题扣1 分,不答题记0分,已知小李不答的题比答错的题多2个,他的总分为74分,则他答对了( )A.18题B.19题C.20题D.21题2.在一家三口人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61, 60,那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )A.28B.27C.26D.25二、解答题:(54分)3.(7分)一个两位数的十位上的数与个位上的数字的和为7, 如果这个两位数加45,那么恰好成为个位上的数字与十位上的数字对调后所成的两位数,求这个两位数.4.(10分)一个三位数是一个两位数的5倍,如果把这个三位数放在两位数左边比放在右边所得的五位数小18648,求这个两位数和这个三位数.5.(10分)汽车在上坡时速度为28千米/时,下坡时速度为42千米/时,从甲地到乙地用了414时,返回时用了4时40分,从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米?6.(7分)一个两位数,它的个位数字与十位数字的和是12, 若个位数字与十位数字对调所得的新数比原数大36,这个两位数是多少?7.(10分)有一个两位数,除以它的各位数字之和,商为7,余数是6,如果把十位数字与个位数字对调,所得到的新数除以其各位数字之和,商为3,余数是5,求这个两位数.8.(10分)有一个两位数,个位上的数比十位上的数字大5, 如果把这两个数字的位置对调,那么所得到的新数与原数的和是143,求这个两位数.答案:一、1.B 2.A二、3.解:设个位数字是x,十位数字是y,两位数是10y+x,则7104510x yy x x y+=⎧⎨++=+⎩,解得x=6,y=1, 两位数是16.4.解:设两位数是x,三位数是y,则5(100)186481000y xy x x y=⎧⎨++=+⎩,解得x=37,y=1855.解:设从甲地到乙地上、下坡路分别为x千米,y千米,则14 28424404 284260 x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得x=70,y=84答:从甲地到乙地上、下坡路分别为70千米,84千米.6.解:设十位数字为x个,个位数字为y,则12101036 x yx y y x+=⎧⎨+=+-⎩解得x=4,y=8答:这个两位数是48.7.解:设个位数字是x,十位数字是y,两位数是10y+x,则7()6103()510x y y xx y x y++=+⎧⎨++=+⎩解得x=3,y=8答:这个两位数是83.8.解:设个位数字为x,十位数字是y,则51010143 x yx y y x-=⎧⎨+++=⎩解得x=9,y=4.答:这个两位数是49.。
5.5里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数1.(四川凉山中考)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车,西昌到成都全长420千米,一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出,经过2.5小时相遇,相遇时,小汽车比客车多行驶70千米,设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时,则下列方程组正确的是().A.x+y=70, 2.5x+2.5y=420B.x-y=70, 2.5x+2.5y=420C.x+y=70, 2.5x-2.5y=420D.2.5x+2.5y=420, 2.5x-2.5y=70解析:设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时,相遇时,小汽车比客车多行驶70千米,所以2.5x-2.5y=70;经过2.5小时相遇,所以2.5x+2.5y=420.答案:D2.有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数字的位置对调,那么所得到的新数与原数的和是143,则这个两位数是().A.16B.27C.49D.94解析:设这个两位数的个位数字为x,十位数字是y,则x-y=5,10x+y+10y+x=143,解得x=9,y=4.所以这个两位数是49.答案:C3.小强和小明做一道减法的作业题,小明将被减数后面多加了一个零,得到的差为750,小强将减数的后面多加了一个零,得到的差是-420,这道减法题的正确结果为.解析:设被减数为x,减数为y,则10x-y=750,x-10y=-420.两方程相加,得11x-11y=330,所以x-y=30.答案:304.小明和小亮做加法游戏,小明在一个加数后面多写了一个0,得到的和为888;而小亮在另一个加数后面多写了一个0,得到和为861,求原来两个加数分别是多少?解:设原来的两个加数分别是x,y,则根据题意,得10x+y=888, x+10y=861.解得x=81, y=78.所以原来两个加数分别是81,78.5.已知某段铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全过桥共用了1分,整列火车完全在桥上的时间为40秒.求这列火车的速度和长度.解:设这列火车长x米,它的速度为y米/秒,根据题意,得1000+x=60y,1000-x=40y.解得x=200,y=20.所以这列火车长200米,它的速度是20米/秒.6.一列快车长70米,慢车长80米,若两车同向而行,快车从追上慢车到完全离开所用时间(即“会车”时间)为20秒;若两车相向而行,则两车从相遇到离开时间为4秒.求两车每小时各行多少千米?解:如图,设快车、慢车每秒分别行驶x米,y米.根据题意,得20x-20y=70+80, 4x+4y=70+80,解得x=22.5,y=15.x=22.5米/秒=81千米/时,y=15米/秒=54千米/时.所以快车的速度是81千米/时,慢车的速度是54千米/时.。
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《里程碑上的数》典型例题
例1有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
例2下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：（收盘价：股票每天交易结束时的价格）
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股．
例3 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99．求这个三位数．
例4一个两位数除以它各位数字之和的商为7，余数为6，如果它十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数去除以各位数字之和，商为3，余数为5，求这个两位数．
参考答案
例 1 分析 若设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，则这个两位数是x y +10．再根据“个位上的数比十位上的数大5”，“新数与原数的和为143”可以列出两个方程．
解 设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得
⎩⎨⎧=+++=-.143)10()10(,5x y y x x y 整理，得⎩⎨⎧=+=-.13,5y x x y 解得⎩⎨⎧==.
9,4y x 答：这个两位数是49．
说明：本题若设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为)5(+x ，列出一元一次方程求解也很方便．
例2 解 设该人持有甲、乙股票分别是x 、y 股，根据题意，得
⎩⎨⎧=-+-=-+-,1300)3.139.13()5.129.12(,200)5.133.13()125.12(y x y x 解得⎩
⎨⎧==.1500,1000y x 答：该人持有甲、乙股票分别为1000，1500股．
例3 分析：这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上的数字．有三个相等关系：
（1）百位上数字 ＋ 十位上数字＋个位上数字=13
（2）十位上的数字=个位上数字＋2
（3）百位上数字与个位上数字交换后的三位数=原三位数＋99
解：设这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上数字为z ，
根据题意，得 ⎪⎩
⎪⎨⎧+++=+++==++991010010100213x y z z y x x y z y x
解方程组，得 ⎪⎩
⎪⎨⎧===364z y x
答：这个三位数是364．
例4 分析：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，那么这个两位数是10x ＋y ，两个数字之和是（x 十y ），个位数字与十位数字对调后的两位数是10y
十x ，由题意可列出两个等式．
解：设两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，
根据题意，得⎩⎨⎧++=+++=+)
2(5)(310)1(6)(710y x x y y x y x )4(2)3(-⨯得 ,93=y 3=y ，
把3=y 代入（3），得8=x ．
答：这个两位数是83．
说明：数字问题要善于抓住其特征，正确地表示出三位数，然后找出等量关系，列出方程组．。