第二章(习题)

d= 1 h k l + + a1 a2 a3
2 2 2
2
2
2
故
点阵， 对sc点阵， 点阵 所以有
a1 = a2 = a3 = a
d= 1 h2 + k 2 + l 2
[例2] 证明体心立方点阵得倒（易）点阵是面心立方点阵。 例 证明体心立方点阵得倒（ 点阵是面心立方点阵。 反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方。 反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方。 [证明] 选体心立方点阵的初基矢量如图 所示 a
FG = ∑ f j • exp(−iG • r j )
j
(1)
其中
r j 是基元中第j个原子的坐标
r j = x j a1 + y j a 2 + z j a3 , (0 ≤ x j , y j , z j < 1)
a1 , a 2 , a3 是简单立方点阵的初基矢量 ˆ ˆ ˆ a3 = az a1 = ax a 2 = ay
2 3
ˆ y
2π 2π 4π ˆ) = ˆ ˆ b2 = (a3 × a1 ) = (z × 4x y Vc 6 3 3 3
b3 = 2π 2π 3 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ (a1 × a 2 ) = (4 x) × ( x + y ) = 2π z Vc 2 2 6 3
ˆ ˆ 对二维点阵，仅取 x, y 两个方向，于是得
ˆ ˆ ˆ y • (b2 x x + b2 y y ) = 2π
ˆ ˆ ˆ 4 x • (b2 x x + b2 y y ) = 0
(3)
(4)
由式（1）得： 4b1x = 2π , b1x =
2 2
π
2
由式（2）得： 3 b1 x + 3 3 b1 y = 0 即
3 π 3 3 • + b1 y = 0 2 2 2
构成正交系， a1 , a 2 , a3 构成正交系，证明平
d=
1 h k l + + a1 a2 a3
2 2 2
解： 参看右图，根据晶面指数的定义，平面族（ ） 参看右图，根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶 z a1 a2 a3 。 轴 a1 , a 2 , a 3 上的截距分别是 , ,
a1 =
2
ˆ ˆ ˆ ( x + y − z)
a ˆ ˆ ˆ a 2 = (− x + y + z ) 2
a ˆ ˆ ˆ a3 = ( x − y + z ) 2
其中 a 是立方晶胞边长， 正交的单位矢量。 初基晶胞体积
ˆ ˆ ˆ x, y , z
是平行于立方体边的
1 3 Vc = a1 • (a 2 × a3 ) = a 2
[例3] 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC＝ 3，夹角BAC＝ π 3 的平行四边形ABDC重复而成，试求倒易 点阵的初基矢量。 解法之一
y
ˆ ˆ b1 = b1x x + b1 y y
ˆ ˆ b 2 = b2 x x + b2 y y
a
2
C
D
由 b1 • a1 = 2π , b1 • a 2 = 0,
[例6] 体心立方结构和面心立方结构的结构因子 有时为了方便，我 例 们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构 用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子。说明考虑到消 光规律后，这种处理方法得到的X射线反射谱与直接把体心立方、面心 立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的。 （a）体心立方结构 ） 体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，其倒易点阵是 面心立方点阵，立方晶胞边长是 4π a 。相应于这个面心立方点阵的 倒易点阵矢量G所给出的波矢改变 ∆ k = G ，都有劳厄衍射峰出现。但 是，为了方便，人们常把体心立方结构考虑为一个带有两格点的基元的 a 简单立方点阵，基元中两格点的坐标为 r1 = 0, r2 = ( x + y + z ) 。从 ˆ ˆ ˆ 2 这个观点来看，倒易点阵仍然是简单立方点阵，立方晶胞边长 为 2π a 。根据衍射条件，当∆K等于这个简单立方倒易点阵的G时， ∆ 都可能有劳厄衍射的峰值。但是，既把体心立方结构考虑为带有基元的 简单立方点阵，就必须相应地处理基元的几何结构因子，计入结构因子 对散射波振幅的影响。
在简单立方倒易点阵中，去掉那些 l1 + l2 + l3 ＝奇数的点（在这些点， 由于从基元中两个原子来的散射波相互抵消的结果，使散射波的总振 幅为零，于是相应的反射消失），剩下的正好是一个面心立方点阵， 其立方晶胞边长为 4π a ，如下页所示。当波矢改变∆K等于这个面 心立方倒易点阵的G时，才有实际上的劳厄衍射峰出现。 由以上的分析看出，体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点 阵处理，也可以作为带有基元的简单立方点阵处理，所得的X射线反 射谱是完全相同的。
G=0
从简单立方倒易点阵中去掉结构因子为零的点（○）， 剩下的点（●）正好是一个体心立方点阵，其立方晶胞 的边长为 4π a 。
[例5] 金刚石结构的结构因子 金刚石结构的惯用晶胞是立方体，其中包含 例 8个相同的原子。把立方惯用晶胞中的8个原子取作基元，金刚石结构可以 作为带有基元的简单立方点阵处理。试计算基元的几何结构因子，并证明 金刚石结构所允许的反射是所有指数 l1 , l2 , l3 均为奇数，或均为偶数 且 l1 + l2 + l3 = 4n ，这里n是整数。 证明： 证明： 金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方，初基基元包含两个原子，位 。
而原子的形状因子 f1 = f 2 = f 将以上关系式代入式（2）中，就得到体心立方结构的结构因子
FG = f {1 + exp[−iπ (l1 + l2 + l3 )]}
= f [1 + (−1)l1 +l2 +l3 ] 2, l1 + l2 + l3 为偶数 = f × 0, l1 + l2 + l3 为奇数
[例1] 简单正交点阵的面间距 例 面族（ hkl）的面间距为
如果基失 1
a , a 2 , a3
1
2
构成正交系，证明平
d=
h k l + + a1 a2 a3
2
2
[例1] 简单正交点阵的面间距 面族（ 面族（ hkl）的面间距为 ）
如果基失
2π / a
4π / a
G=0
在简单立方倒易点阵中，去掉结构因子为零的点（ ）， 剩下的点（ ）正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长 为 4π a 。
（b）面心立方结构 面心立方结构可以直接用面心立方布喇菲点阵处理，倒易点阵为体心立 方点阵，立方晶胞边长为 4π a 。与其倒易点阵矢量G相应的波矢改变∆K都 ∆ 有衍射峰出现。但是，为了方便，我们有时把面心立方结构用简单立方点阵处 理，相应的基元包含四点：r1 = 0, r2 = a ( x + y ), r3 = a ( y + z ), r4 = a ( z + x) 。 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 这样处理后，相应的倒易点阵是简单立方点阵，立方晶胞边长为 2π a 。 需要注意的是，必须同时计入基元的结构对散射波振幅的影响，计算得到面 心立方结构的结构因子为
3 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ Vc = a1 • a 2 × a3 = 4 x • ( x + y) × z = 6 3 2 2
于是初基晶胞体积 Vc 为 倒易点阵基矢为
b1 =
2π 2π 3 3 3 ˆ ˆ ˆ (a 2 × a3 ) = ( x+ y) × z Vc 2 6 3 2
=
π
2
ˆ x−
π
b 2 • a1 = 0, b 2 • a 2 = 2π
得到下面四个方程式 ˆ ˆ ˆ 4 x • (b1x x + b1 y y ) = 2π
3 3 3 ˆ+ x 2 2
3 3 3 ˆ x+ 2 2
A
π
3
Baidu Nhomakorabea
a
1
B
x
(1)
(2)
ˆ ˆ ˆ y • (b1x x + b1 y y ) = 0
FG = f {1 + exp[−iπ (l2 + l3 )] + exp[−iπ (l1 + l3 )] + exp[−iπ (l1 + l2 )]}
= f [1 + (−1)l2 +l3 + (−1)l1 +l3 + (−1)l1 +l2 ]
4, l1 , l2 , l3 全为奇数， = f × 4, l1 , l2 , l3 全为偶数， 0, l , l , l 部分为奇数，部分为偶数。 1 2 3
根据倒易点阵基矢定义公式计算倒易点阵基矢
2π b1 = a 2 × a3 Vc
ˆ x
2π b2 = a3 × a1 Vc
ˆ y a 2 a − 2
ˆ y a − 2 a 2
2π b3 = a1 × a 2 Vc
ˆ z a a2 ˆ ˆ = ( x + y) 2 2 a 2
ˆ z a a2 ˆ ˆ = ( y + z) 2 2 a − 2
解得 b1 y = −
π
2 3
由式（3）得： 4b2 x = 0, b2 x = 0 代入式（4）得: 3 3 b = 2π , b = 4π 2y 2y
2 3 3
于是得出倒易点阵基矢
b1 =
π
2
ˆ x−
π
2 3
ˆ y, b 2 =
4π ˆ y 3 3
解法之二 选取 a3 为
ˆ z
ˆ 方向得单位矢量，即令 a3 = z
1 3 初基晶胞体积 Vc = a1 • (a 2 × a3 ) = a 4 根据倒易点阵基矢定义公式计算倒易点阵基矢 2π 2π ˆ ˆ ˆ b1 = ( x + y − z) ˆ ˆ ˆ b2 = (− x + y + z ) a a 2π ˆ ˆ ˆ b3 = ( x − y + z) a
显然， b1 , b 2 , b3 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方 点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是 4π a 。
b1 =
π
2
ˆ x−
π
2 3
ˆ y
4π ˆ b2 = y 3 3
[例4] 体心立方结构和面心立方结构的结构因子 有时为了方便，我 例 们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构 用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子。说明考虑到消 光规律后，这种处理方法得到的X射线反射谱与直接把体心立方、面心 立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的。
当指数 l1 , l 2 , l3 部分为奇数或部分为偶数时，结构因子为零，相应的 反射消失。
在简单立方倒易点阵中去掉结构因子为零的点，剩下的正好是一个体心 立方点阵，其立方晶胞边长为 4π a ，如下图所示。这和把面心立方结构直 接用面心立方布喇菲点阵处理所得的结果是完全一样的。
2π a
4π a
于是有
2π ˆ ˆ b1 = ( x + y) a
2π ˆ ˆ b2 = ( y + z) a
b1 , b 2 , b 3 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方 显然 点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 4π a 。
同理 对面心立方点阵写出初基矢量
a ˆ ˆ a1 = ( x + y ) 2 a ˆ ˆ a2 = ( y + z) 2 a ˆ ˆ a3 = ( z + x) 2
G 是简单立方点阵的倒易点阵矢量 2π
G= a
将
ˆ ˆ ˆ (l1 x + l2 y + l3 z )
r j 和 G 的表达式代入式（1）中得到
FG = ∑ f j • exp[−i 2π ( x j l1 + y j l2 + z j l3 )]
j
(2)
体心立方结构作为简单立方点阵处理时，基元包含两个全同的原 子，它们的位置是 r1 = 0 ，即 x1 = y1 = z 1 = 0 a ˆ ˆ ˆ r2 = ( x + y + z ) ，即 x2 = y2 = z 2 = 1 2 2
h k
l
a
l
3
C
该平面（ 该平面（ABC）法线方向的单位矢量是 ）
K
n
dh dk dl ˆ ˆ ˆ ˆ n= x+ y+ z a1 a2 a3
这里d 是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距 。 这里 是原点到平面 的垂直距离， 的垂直距离 x A
a
h
2
B
y
a
k
1
由
ˆ n = 1得到
dh dk dl + + =1 a1 a2 a3
Vc a b1 = a 2 × a3 = − 2π 2 a 2
ˆ x Vc a b 2 = a3 × a1 = 2π 2 a 2
ˆ x Vc a b3 = a1 × a 2 = 2π 2 a − 2
ˆ y a 2 a 2
ˆ z a a2 ˆ ˆ − = ( z + x) 2 2 a 2
b3 = 2π ˆ ˆ ( z + x) a