量子力学期末复习2010
量子力学复习提纲
量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
量子力学期末试题及答案
（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续.3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片.4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论.5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒.6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态.8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化.9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒.10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————.2．如果已知初始三维波函数)0,(r →ψ ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p ϕ =——————————————，任意时刻的波函数为),(t r →ψ————————————.3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 0 点波函数ψ————————（连续或不连续），它的导数'ψ————————————（连续或不连续）. 4．如果选用的函数空间基矢为n，则某波函数ψ处于n态的几率用 Dirac 符号表示为——————————，某算符∧A 在 ψ态中的平均值的表示为——————————.5．在量子力学中，波函数ψ 在算符∧Ω操作下具有对称性，含义是——————————————————————————，与 ∧Ω对应的守恒量 ∧F 一定是——————————算符.6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是————————————————————. 三计算题（40分）1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x ≤a ，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数.(10分)2．设一维粒子的初态为)/()0,(0h x ip Exp x =ψ，求),(t x ψ.（10分）3．计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵.（10分）4 .4个玻色子占据3个单态1ϕ ，2ϕ，3ϕ，把所有满足对称性要求的态写出来.（10分）B 卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数.（4分）4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x 的共同本征函数.（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系.（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S. 三、（15分）线性谐振子在0=t时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中ημωα=，求1、在0=t时体系能量的取值几率和平均值.2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项. 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的.2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称.3、全同玻色子的波函数是对称波函数.两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=P x 时的状态才可能使Pˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ˆ和x 的共同本征函数. 5、设Fˆ和G ˆ的对易关系kˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数.以F 、G 和k 依次表示Fˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F FˆFˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系.时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2η≥∆⋅∆E t二、1、由于1ˆ2=A，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符Aˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符Bˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B2、在A 表象中算符Bˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即=---λλδδi i e e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Be ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi B e所以，在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S三、解：1、0=t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：ωη)21(+=n E n )2,1,0(Λ=n ， )()exp(!2)(22x H x n x n nn ααπαϕ-=当1,0=n时有：)exp()(220x x απαϕ-=，)exp()(2)(221x x x ααπαϕ-=于是0=t 时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=，容易验证它是归一化的波函数，于是0=t 时的能量取值几率为：31)0,21(0==ωηE W ，32)0,23(1==ωηE W ，能量取其他值的几率皆为零.能量的平均值为：ωη67323110=+=E E E2、 0>t 时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10t ix t i x t x ωϕωϕψ---=显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平均值与0=t 的结果完全相同.四、解：将矩阵改写成：='+=H H H ˆˆˆ0⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλ23032020300020001能量的零级近似为：1)0(1=E ，2)0(2=E ，3)0(3=E 能量的一级修正为：0)1(1=E ，λ=)1(2E ，λ2)1(3=E 能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14λ-=-'+-'=EEH EEH E ，222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594λλλ-=-=-'+-'=EEH EEH E ，2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39λ=-'+-'=EEH EEH E所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E先求出0ˆH 属于本征值1、2和3的本征函数分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001)0(1ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)0(2ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100)0(3ϕ，利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(ii k ik ki k E E H ϕϕ-'=∑≠，可求出波函数的一级修正为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102)1(1λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=302)1(2λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103)1(3λϕ近似到一级的波函数为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈0211λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈λλϕ3122，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈1303λϕ 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数.以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(q q q s φφφϕ=；（2）)()()(322212)2(q q q s φφφϕ= （3）[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=； （4）=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++一、（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态21310112(,,0)()()()010333x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中，)(x nϕ为该氢原子的第n 个能量本征态.求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t 时的波函数.解 已知氢原子的本征值为42212n e E n μ=-h ，Λ,3,2,1=n （1）将0=t时的波函数写成矩阵形式()()()23113(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ （2） 利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x c x x x x x c cϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ （3）于是，归一化后的波函数为()()()()()()23231113(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪+⎪⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （4）能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E ===（5） 能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e e μμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦h h （6）自旋z 分量的可能取值为,22-h h，相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h （7） 自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=-⎪⎝⎭h h h（8）0>t时的波函数()()()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭h h h （9）二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a .解 对于0<<-E V 的情况，三个区域中的波函数分别为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 0321 （1）其中，ηηE m V E m k 2 ;)(20=+=α （2）利用波函数再0=x处的连接条件知，πδn =，Λ,2,1,0=n .在a x=处，利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== （3） 得到()()()()a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin （4）于是有()αkka -=tan （5）此即能量满足的超越方程.当12E V =-时，由于1tan 000-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ηηηmV mV a mV （6）故4ππ-=n a mV η()Λ,3,2,1=n （7）最后得到势阱的宽度0 41mV n a ηπ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （8）三、（20分） 证明如下关系式（1）任意角动量算符ˆj r 满足 ˆˆˆi j j j ⨯=r r r h .证明 对x 分量有()ˆˆˆˆˆˆˆ=i y z z y xxj j j j j j j ⨯=-r r h同理可知，对y 与z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立.投影算符ˆn pn n =是一个厄米算符，其中，{}n 是任意正交归一的完备本征函数系.证明在任意的两个状态ψ与ϕ之下，投影算符ˆn p的矩阵元为ˆn pn n ψϕψϕ=而投影算符ˆn p的共軛算符ˆnp+的矩阵元为±{*****ˆˆˆn n n p p p n n n n n n ψϕψϕϕψϕψϕψψϕ+⎡⎤===⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦显然，两者的矩阵元是相同的，由ψ与ϕ的任意性可知投影算符ˆn p是厄米算符. 利用()()()*''kkkx x x x ψψδ=-∑证明()()ˆˆx mk x mn kn kxpx p =∑，其中，(){}kx ψ为任意正交归一完备本征函数系. 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()'''**''*'''*'*''*'*''ˆˆd ˆd d ˆd d ˆd d ˆd d ˆx m x n mn mx n mn x m k k n x kmkknxkmkxknkxp x x xpx x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x pψψψδψψδψψψψψψψψψ∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==-=-===⎰⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑四、（20分） 在2L 与z L表象中，在轨道角动量量子数1l=的子空间中，分别计算算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢.解 在2L 与z L 表象下，当轨道角动量量子数1l =时，1,0,1m =-，显然，算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 皆为三维矩阵.由于在自身表象中，故ˆzL是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100ˆ000001z L ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭ （1） 相应的本征解为1011; 0000; 100; 01z z z L L L ψψψ-⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=-= ⎪⎪⎝⎭h h （2）对于算符ˆx L 、ˆy L 而言，需要用到升降算符，即()()1ˆˆˆ21ˆˆˆ2i x y L L L L L L +-+-=+=- （3）而ˆ,1L lm m ±=± （4）当1,1,0,1l m ==-时，显然，算符ˆx L 、ˆy L 的对角元皆为零，并且，ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10x yx yL L L L -=-=-=-= （5）只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,0ˆˆ1,01,11,11,0ˆˆ1,11,01,01,1x x x xy yy yL L L L L L L L -=-===-==-== （6）于是得到算符ˆx L、ˆyL 的矩阵形式如下0100i 0ˆˆ101; i 0i 0100i 0x y L L -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-⎪⎪⎪⎪⎭⎭ （7） yL ˆ满足的本征方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321321 0ii 0i 0i 02c c c c c c λη （8）相应的久期方程为2i 02i 2i 02i =-----λλληηηη （9）将其化为023=-λλη（10）得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ （11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 21321ψψψ （12） ˆx L 满足的本征方程为112233010101 010c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （13）相应的久期方程为0λ-= （14）将其化为023=-λλη （15） 得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ （16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为12311111; 0; 22111ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭ （17） 五、（20分） 由两个质量皆为μ、角频率皆为ω的线谐振子构成的体系，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,xx 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正. 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n n n x m δδα式中，ημωα=. 解 体系的哈密顿算符为W H H ˆˆˆ0+= （1）其中()()212221222210 ˆ21ˆˆ21ˆx x Wx x p p H λμωμ-=+++= （2）已知0ˆH 的解为()()()()2121021,1x x x x n E n n n n ϕϕψωα=+=η （3）其中n fn n n ,,3,2,1,2,1,0,,21ΛΛ==α （4）将前三个能量与波函数具体写出来()()()()()()()()()()()()00001020111011212110202212102220122231112; 2, 3, E x x E x x x x E x x x x x x ωψϕϕωψϕϕψϕϕωψϕϕψϕϕψϕϕ=========h h h （5）对于基态而言，021===n n n ，10=f ，体系无简并.利用公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ （6）可知()0ˆ0010==ψψW E()∑∑≠=-=01000020ˆˆn f nn n nE E W W E αααψψψψ （7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有2232302ˆˆαλψψψψ-==W W （8）于是得到基态能量的二级修正为()32242020020841ωμλαλη-=-=E E E （9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为()()()123332312312222113121211=---E W W W W E W W W WE W （10）其中1122331221133123320W W W W W W W W W =========（11）将上式代入（10）式得到()()121200E E --= （12）整理之，()12E 满足()()()23112240E E λα-+= （13）于是得到第二激发态能量的一级修正为()()()21231222121 ;0 ;αλαλ==-=E E E （14）1. 微观粒子具有 波粒 二象性.2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=hν, p=/h λ . 3．根据波函数的统计解释，dxt x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 .4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示.5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符xp 的对易关系为：[],x p i =h .6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符F ˆ的本征值 .7．定态波函数的形式为： t E i n n ex t x η-=)(),(ϕψ.8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 .9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _.10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2η±.1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[η=]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)(ηη+-=ˆˆ2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率.解：在此状态中，氢原子能量有确定值22222282ηηs s e n e E μμ-=-=)2(=n ，几率为1角动量平方有确定值为2222)1(ηηλλ=+=L)1(=λ，几率为1角动量Z 分量的可能值为2|),(|),(),(),(t r t r t r t r ρρρρψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂h r r rh 0=•∇+∂∂J tρω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μηρi J 22[](1)2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂h h 22[](2)2i V t μ**∂-ψ=-∇+ψ∂h h (1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：][2222****ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμηηηt i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ∂∂***μηη）（t i τμτττd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ***⎰⎰ηη）（τμτττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇-=ψψ***⎰⎰η）（ττωττd J d t r dtdρρ•∇-=⎰⎰),(0=•∇+∂∂J tρω01=Z L η-=2Z L其相应的几率分别为41， 432、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数.解：波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得 L z 的本征函数3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似.解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式.所以能量的 0 级近似为：E 1(0)= 1 E 2(0)= 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH ˆzd L i d φ=-h ππφφψππ2112||2202220=→===⎰⎰c c d c d Λη,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ归一化系数。
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
量子力学期末复习题
K K K 2 S = s1 + s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。 21. 二电子体系中，总自旋
22. 何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？ 33. 何谓反常塞曼效应？对于反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 34．何谓斯塔克效应？
ψ nlm = Rnl (r )Ylm (ϑ , ϕ ) 为 氢 原 子 的 波 函 数 ， nlm 的 取 值 范 围 分 别
。 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量
的关系为__________。
16. 写出态和力学量的表象变换公式___________________________________ , 17. 一 维 谐 振 子 的 归 一 化 波 函 数 式 。 和能级表达
ψ s (q1 , q 2 ) =
当它们为费米子时,ψ A ( q1 , q 2 ) =
； ；
24. 在量子统计中， 由费米子组成的体系服从____统计， 由玻色子组成的体系服从____统计.
三． 基础题 K K K K K K K K 1. s 、L 分别为电子的自旋和轨道角动量，J = s + L 为电子的总角动量。 证明： [ J , s ⋅ L ]=0；
G
___
，几率守恒定律的公式是
4．一粒子的波函数为ψ (r ) = ψ ( x, y, z ) ，则粒子位于 x ~ x + dx 间的几率_________。 5．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。 6．力学量算符应满足的两个性质是 7．厄密算符的本征函数具有 答： 8．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为 ____________ 。 。
量子力学复习及答案(88题)
ψ ( r , = / 2)
K
2
K
2
及
∫
K d 3 r ψ ( r , − = / 2)
物
2
解： ψ (r , = / 2 )
表示电子自旋向上（ s z = = 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
18. 二电子体系中，总自旋 S = s1 + s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。 解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 χ SM S ，则
(1) ⎢ x ,
⎡ ⎣
d ⎤ ⎥=? d x⎦
（2） 2 x 。
（2 ） ⎢
⎡ d ⎤ , x2 ⎥ =? ⎣ dx ⎦
解：(1)-1
2. 一维运动中，哈密顿量 H =
p2 + V ( x) ，求 [x , H ] = ? 2m
解：
=2 d [x , H ] = ， m dx
[ z = − = 2 ）的几率。
a 的对易关系式； a 的关系； 20. 给出一维谐振子升、 降算符 a 、 粒子数算符 N 与 a 、 哈密顿量 H 用 N
3
理 学
2
分别表示什么样的物理意义。
K
院
+
⎛1⎞ ⎛0⎞ = = ⎟ , α = χ1 2 (s z ) = ⎜ ； s z = − , β = χ −1 2 ( s z ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎟。 2 2 ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠
学
⎧V , V ( x) = ⎨ 1 ⎩V2 ,
x<a x>a
物
，
4
解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。
量子力学期末复习
相关的结论须记住！ 解题要注意 步骤！
1、在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如 果粒子的状态由函数 ψ ( x) = Ax(a − x) 描写，A为归一化常数， 求粒子能量取值的几率分布和能量的平均值。 解：粒子能量的本征函数和本征值为
2 nπ sin x, ψ n( ) a x a 0,
(0 ≤ x ≤ a )
ψ 1( 0 ) = 0
能量一级修正为
( x < 0, x > a )
E
(1) 1
= ∫ψ
(0) 1
* H ′ψ
(0) 1
dx
2 a /2 x 2π 2 a x 2 π = ∫ 2λ sin xdx + ∫ 2λ (1 + ) sin xdx a 0 a a a a /2 a a
1 E = ℏω 2
α 2 x2
H n (αx)]dx = − p = 0
• • 由不确定关系得
(∆x)2 = x2 ; (∆p)2 = p2;
(∆p)2 1 2 E= + µω (∆x)2; 2µ 2
2
ℏ2 （∆p) = ; 2 4(∆x)
• • • 将此式对 (∆x)2 求最小值，得 求最小值，
ℏ2 1 E= + µω 2 (∆x) 2 ; 8 µ ( ∆x ) 2 2
1 R 21 ( r )Y11 (θ , ϕ ) ψ = 2 3 R 21 ( r )Y10 (θ , ϕ ) − 2
解： 将波函数改写为： 1 0 1 3 ψ = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) 2 0 2 1
1 3 = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − 2 2 2 2
量子力学期末复习
由于 是任意的波函数
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ [ x, Px ] xPx Px x i
轨道角动量
角动量算符
ˆ rp ˆ L
及其对易关系
ˆ r p ˆ Li ijk j k
ˆ ˆ ˆ Lx , Ly iLz ˆ ˆ ˆ Ly , Lz iLx ˆ ˆ ˆ Lz , Lx iLy
(2) 光量子具有“整体性”。
爱因斯坦光电效应方程：
1 2 eV m um h A 2
0
玻尔原子模型
1913年 玻尔把量子论推广到原子系统：
(1) 定态条件：电子绕核作圆周运动，但不辐射能量
（经典轨道+定态);
(2)当原子从某一能量状态跃迁到另一能 量状态时服
从频率条件h =E2-E1； (3) 角动量量子化条件mv· =nħ r
当 A 0 B 0 ，有 cos ka 0
n kn 2a
（n为奇数）
当 A 0 B 0 ，有 sin ka 0
n kn 2a
上两式可统一写成
（n为偶数）
n kn , 2a
2mE k 2
2
n 1, 2,3,
n 2 2 2 本征能量： En 8ma 2
2 d 2 2m dx 2 ( x) E ( x) 2 2 d ( x) ( x) E ( x) 2m dx 2
-a
U(x)
0
a
无限深势阱
x a x a
(1) (2)
因 (x) 及 E 有限，由（2）
( x) 0 x a
波函数的统计解释：
（r，t）的物理意义在于： 模的平方(波的强度)代表(r, t)点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
量子力学期末复习题
一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或 。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10. i ； ˆx i L ；0。
11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
量子力学期末复习2010
期末考试题型及分值第一章 绪论1.1 经典物理学的困难1.2.1.2 光的波粒二象性1. 普朗克能量子假说：普朗克假定，黑体以h ν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的辐射，而不像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。
能量单位h ν称为能量子，h 是普朗克常量。
2. 爱因斯坦为解释光电效应引入了光量子的概念。
3. 康普顿效应的发现，从实验上证实了光具有粒子性。
4. 光的波粒二象性关系为,hE h p k νωλ==== 。
关系式把光的两重性质——波动性和粒子性联系起来，等式左边的动量和能量是描写粒子的，而等式右边的频率和波长则是波的特性。
等式左边的动量从中可以看出普朗克常量h 在微观现象中占有重要地位。
能量和动量的量子化通过h 这个不为零的常量表示出来。
在宏观现象中，h 和其他物理量相比较可以略去，因而辐射的能量可以连续变化。
因此，凡是h 在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
5. 光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为波粒二象性。
光子是一个全新的概念，为了便于理解其性质，人们用两个经典的概念——波和粒子来描述它，即为波粒二象性。
实际上光子既不是经典波，也不是经典粒子。
1.3 原子结构的波尔理论1. 波尔-索末菲量子化条件：1()2pdq n h =+⎰ 2. 波尔-索末菲的理论虽然取得了一些成就，但也存在着很大的困难。
这个理论应用到简单程度仅次于氢原子的氦原子时，结果与实验不符。
即使对于氢原子，这个理论也只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
波尔理论的这些缺陷，主要是由于把微观粒子（电子、质子等）看做是经典力学中的质点，从而把经典力学的规律用在微观粒子上。
1.4 微粒的波粒二象性1. 在光的波粒二象性的启示下，为克服玻尔理论的局限性，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假设。
他指出19世纪在对光的研究上，重视了光的波动性而忽略了光的微粒性，但对实体的研究上，则可能发生相反的情况，即过分重视实体的粒子性而忽略了实体的波动性。
量子力学复习资料
量⼦⼒学复习资料第⼀章知识点：1. ⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体.2. 处于某⼀温度 T 下的腔壁，单位⾯积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与⿊体的绝对温度 T 有关⽽与⿊体的形状和材料⽆关。
4. 光电效应---光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率⼤于某⼀定值ν0时，才有光电⼦发射出来.若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有电⼦产⽣.光的这⼀频率ν0称为临界频率。
2.光电⼦的能量只是与照射光的频率有关，与光强⽆关，光强只决定电⼦数⽬的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当⼊射光的频率⼤于ν0时，不管光有多么的微弱，只要光⼀照上，⽴即观察到光电⼦（10-9s ）6. 光的波粒⼆象性：普朗克假定a.原⼦的性能和谐振⼦⼀样，以给定的频率ν振荡;b.⿊体只能以 E = h ν为能量单位不连续的发射和吸收能量，⽽不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.7. 总结光⼦能量、动量关系式如下：把光⼦的波动性和粒⼦性联系了起来8.波长增量 Δλ=λ′–λ随散射⾓增⼤⽽增⼤.这⼀现象称为康普顿效应.散射波的波长λ′总是⽐⼊射波波长长（λ′ >λ）且随散射⾓θ增⼤⽽增⼤。
9.波尔假定：1.原⼦具有能量不连续的定态的概念. 2.量⼦跃迁的概念. 10.德布罗意：假定：与⼀定能量 E 和动量 p 的实物粒⼦相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = h ν ? ν= E/h ? P = h/λ ? λ= h/p ? 该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：ψde Broglie 关系：ν= E/h ?ω = 2πν= 2πE/h = E/ λ= h/p ?k = 1/ = 2π /λ = p/n k h k n n h n C h n C E p h E ==========πλπλνων22其中波长。
云南师范大学量子力学期末试题及答案ABC
云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试量子力学试卷学院 _________ 专业 __________ 年级 __________ 学号 __________ 姓名 __________A1、请写出德布罗意关系中粒子的频率公式2、请给出动量表象中坐标算符的表达式 ____________________________________3、请给出不确定度关系的表达式 __________________________________________ 4、请给出力学量平均值随时间的变化公式 __________________________________ 5、在非简并微扰论中，体系的原 Hamilton 量为H?，本征函数族为｛ f ｝n 0，对 应本征值为｛E n 0）｝ n 0。
Hamilton 量在被施加微扰H?之后变为H? H?0 H?，则能 填空题（每题4分, 共 20 分）量本征函数的计算公式为 _______________________________________________ 确到一级近似）。
（准 简答题（共20 分）1•请给出关于波函数随时间发展变化的假定。
（4分）2•请叙述关于全同粒子的假定。
（4 分）3.请叙述关于算符的假定。
（6分）4.请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6 分）判断题，判断下列表述的正误（每小题2分,共20 分）1•在单个电子穿过双缝装置的实验中确实存在规律，但是这个规律只是在电子数量很大的时候才存在。
（）2•波函数的统计诠释其实只是一个假定3. （x）是一维Schrodinger方程的解，则*（x）也是具有相同能量本征值的解4. 一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的 中央处。
（）5. 任何一种角动量J 都遵守形如J J i J 的关系。
（）6. 如果A 是厄米算符，则A （n 是自然数）也是厄米算符。
量子力学期末复习题
一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰ ，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ==== ； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1±。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或 。
9．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为：表示在()r t ψ ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+ 范围内的几率。
10.i ； ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是：()()2224x x p ∆∆≥ 。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15．为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
2010年量子力学复习题讲
量子力学复习 一、选择1．能量为100ev 的自由电子的 De Broglie 波长是 （ A ） A.1.2 Å. B. 1.5 Å. C. 2.1 Å. D. 2.5 ÅV25.12≈λ Å 2.设粒子的波函数为()z y x ,,ψ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为(C) A()dxdydzz y x 2,,ψB()dx z y x 2,,ψC()()dx dydz z y x ⎰⎰2,,ψD()⎰⎰⎰2,,z y x dz dy dx ψ3．设()x 1ψ和()x 2ψ分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们的线性迭加态()()x c x c 2211ψψ+ 的几率分布为 （D ）4．粒子在一维无限深势阱()⎩⎨⎧≥≥∞<<=ax x ax x U ,000中运动，设粒子的状态由()axc x πψsin=描写，其归一化常数C 为 （ B ）A.a1. B. a 2. C.a 21. D.a4. 5．两个粒子的薛定谔方程是 （D ） A.()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i i ,,,,,,2,,212121212221ψψμψ∑=+∇=∂∂B. ()()()()t r r t r r U t r r t r rti i ,,,,,,2,,212121212221 ψψμψ∑=+∇=∂∂ C. ()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i ,,,,,,2,,212121212221ψψμψ∑=+∇-=∂∂ D. ()()()()t r r t r r U t r r t r r t i i i ,,,,,,2,,212121212221 ψψμψ∑=+∇-=∂∂6. 几率流密度矢量的表达式为 (C) A ()**2ψψψψμ∇-∇=JB ()**2ψψψψμ∇-∇=i JC()ψψψψμ∇-∇=**2 i JD()ψψψψμ∇-∇=**2 J7．波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符Fˆ为厄密算符的定义是（ C ） A.⎰⎰=τϕφτφϕd F d F ˆˆ**B. ()⎰⎰=τϕφτφϕd F d F **ˆˆC.()⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ˆˆ**厄密算符的定义D.⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ***ˆˆ8 Fˆ和G ˆ是厄米算符，则 (D) A G Fˆˆ必为厄密算符. B F G G Fˆˆˆˆ-必为厄密算符. C ()F G G Fiˆˆˆˆ+必为厄密算符. D ()F G G Fi ˆˆˆˆ-必为厄密算符. [()⎰⎰=τφϕτφϕd F d F ˆˆ**，将()F G G F i ˆˆˆˆ-作一个算符]9.设体系处于112110212321Y R Y R -=ψ状态, 则该体系的角动量的取值及相应几率分别为(A) A.2,1; B. ,1;C. 2,1;D 22 ,1N=2,l=1,m=0,110 设体系处于112110312321--=Y R Y R ψ 状态, 则该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为(A) A 43,41;,0 -B 43,41;,0 C 23,21;,0-- D 23,21;,0 - n=3,l=1,m=0 n=2,l=1,m=-111.设体系处于112110212321--=Y R Y R ψ 状态, 则该体系的角动量Z 分量的平均值为 （D ）A 41B 41- C 43 D 43- 12.对易关系[]y xp Lˆ,ˆ等于 （Ｃ）A zL i ˆ B z L i ˆ - C z p i ˆ D z p i ˆ -13．算符Fˆ 和G ˆ 的对易关系为[]k i G Fˆˆ,ˆ=,则Fˆ 、G ˆ的测不准关系是（C ） A.()()4ˆˆ222k GF ≥∆∆B. ()()4ˆˆ222k GF ≥∆⋅∆;C .()()4ˆˆ222k G F≥∆⋅∆; D.()()4ˆˆ222k GF≥∆∆14.已知[] i p xx =ˆ,ˆ， 则xˆ 和p ˆ的测不准关系是 (D) A.()()222ˆˆ ≥∆∆p xB. ()()2224ˆˆ ≥∆⋅∆p x ;C.()()222ˆˆ ≥∆⋅∆p x;D.()()4ˆˆ222≥∆⋅∆p x15.算符x L ˆ和y L ˆ的对易关系[]zy x L i L L ˆˆ,ˆ =， 则x L ˆ和yL ˆ的测不准关系 （Ａ）（A 里面的那个平均号要分开）16.幺正变换 （Ａ ）A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.既改变算符的本征值,也改变其本征矢. 17动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是()⎪⎭⎫ ⎝⎛'='x p i x p exp 21πψ,它在动量表象中的表示是 （A ） A()p p '-δ B.()p p '+δ;C.()p δ;D.()p 'δ18. 力学量算符xˆ对应于本征值为x ' 的本征函数在坐标表象中的表示是 (A) A()'x x -δ B ()'x x +δ C ()x δ D ()'x δ19．Stern-Gerlach 实验证实了 （D ） A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.原子的能级是分立的. D.电子具有自旋.20.Sˆ为自旋角动量算符,则[]y xS S ˆ,ˆ等于（ Ｄ）A. i 2.B. i .C. 0 .D.zS i ˆ - 21.σˆ为Pauli 算符，则[]z x σσˆ,ˆ等于 (D) Ay i σ - B y i σ C y i σ2 D y i σ2-22.一电子处于自旋态()()z z s b s a 2/12/1-+=χχχ中,则z s 的平均值为 (C)A 0 B()222b a - C ()()2222baba+-D二、填空题1．Compton 效应证实了 光具有粒子性。
量子力学期末复习
e 1 2 [ n n | n 1 n 1 n | n 1 ]
0
x 1 2 [aˆ aˆ ]
aˆ | n n | n 1
aˆ | n n 1 | n 1
6、表象变换
1
7、近似方法的应用（微扰、变分）
8、电子体系考虑自旋时的态函数、泡利算符
9、含时微扰（跃迁概率）
三、几个重要模型
1、一维无限深势阱（宽为 a、2a；对称、非对称）
2、线性谐振子
3、氢原子
相关的结论须记住！
4、双电子体系（不考虑自旋间的相互作用）
四、常见题型
1、薛定谔方程
2、算符理论
3、表象理论
(0)
(0)
En En 1
En En 1
e 2 2
2 2
由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没
有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn
时再加上沿x方向的较弱的磁场 = ( , , )，从而
= + = ( , , )，求 > 时粒子的自旋态，以
及测得自旋“向上”（ =1）的几率。
解： （1）在 表象中，H的矩阵表示为：
ˆ
ˆ
ˆ
H m B
mˆ mB (ˆ x ex ˆ y ey ˆ z ez )
2
21
能量二级修正：
E n( 2 )
mn
2
1
2
|
e
[
n
n
1
]
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
量子力学期末考试试题整理
量子力学期末考试试题整理一、 填空1. 波尔磁子：2429.274102B e e A m m cμ-==⨯⋅2. 回转磁比率：2zZe e L m cμ=-3. 薛定谔方程表达式：22121(,,)2ni n i iiU r r r t t m ψψψ=∂=-∇+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∑ 4. 算符对易的定义:ˆˆˆˆˆˆ[,]A B ABBA =- 5. 在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换，粒子内部运动状态并无改变，则这种散射称为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变，则称为非弹性散射。
6. 散射粒子的方向与入射粒子的方向间的夹角，称为散射角。
7. 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的例子为全同粒子。
全通粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
8. 全同粒子的不可区分性：在两个波重叠在一起的区域，无法区分那个是第一个粒子的波，哪个是第二个例子的波。
也就是说，无法区分哪一个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，因此，全同离子在量子力学中是不可区分的。
9. 自旋为2奇数倍的粒子称为费米子。
在量子力学中，由费米子组成的体系称为费米—狄拉克统计。
自旋为整数倍的粒子称为波色子。
在量子力学中，由波色子组成的体系称为波色—爱因斯坦统计。
10. 克莱因-戈尔登方程：22222221()0m c ctψψψ∂∇--=∂11. 狄拉克方程：2[]i H i c mc tψψαβψ∂==-⋅∇+∂12. 被填满的负态称为费米海。
如果空穴的能量为0p E +>，质量为0m +>，电荷为0e +>，这种空穴称为正电子。
13. 波函数的量子化称为二次量子化。
14. 概率流守恒定律：0J t ω∂+∇⋅=∂，概率流的定义：**()2i J mψψψψ=-∇-∇15. 光电效应的实验结果表明（1）存在临界频率0ν：当入射光的频率0νν<时，无论光强度多大，都无光电子逸出，只有在0νν≥时，即使光强度较弱，但只要光照到金属面上，几乎在910-s的极短时间内，就能观测到光电子。
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期末考试题型及分值
第一章 绪论
1.1 经典物理学的困难
1.
2.
1.2 光的波粒二象性
1. 普朗克能量子假说：普朗克假定，黑体以h ν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的辐射，而不像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。
能量单位h ν称为能量子，h 是普朗克常量。
2. 爱因斯坦为解释光电效应引入了光量子的概念。
3. 康普顿效应的发现，从实验上证实了光具有粒子性。
4. 光的波粒二象性关系为,h
E h p k νωλ
===
= 。
关系式把光的两重性质——波动性和粒子性联系起来，等式左边的动量和能量是描写粒子的，而等式右边的频率和波长则是波的特性。
等式左边的动量从中可以看出普朗克常量h 在微观现象中占有重要地位。
能量和动量的量子化通过h 这个不为零的常量表示出来。
在宏观现象中，h 和其他物理量相比较可以略去，因而辐射的能量可以连续变化。
因此，凡是h 在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
5. 光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为波粒二象性。
光子是一个全新的概念，为了便于理解其性质，人们用两个经典的概念——波和粒子来描述它，即为波粒二象性。
实际上光子既不是经典波，也不是经典粒子。
1.3 原子结构的波尔理论
1. 波尔-索末菲量子化条件：1
()2
pdq n h =+⎰ 2. 波尔-索末菲的理论虽然取得了一些成就，但也存在着很大的困难。
这个理论应用到简单程度仅次于氢原子的氦原子时，结果与实验不符。
即使对于氢原子，这个理论也只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
波尔理论的这些缺陷，主要是由于把微观粒子（电子、质子等）看做是经典力学中的质点，从而把经典力学的规律用在微观粒子上。
1.4 微粒的波粒二象性
1. 在光的波粒二象性的启示下，为克服玻尔理论的局限性，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假设。
他指出19世纪在对光的研究上，重视了光的波动性而忽略了光的微粒性，但对实体的研究上，则可能发生相反的情况，即过分重视实体的粒子性而忽略了实体的波动性。
2. 德布罗意公式或德布罗意关系为,h
E h p k νωλ
==== 。
3. 戴维孙-革末所做的电子衍射实验说明电子具有波动性，证实了德布罗意假说的正确性。
第二章 波函数和薛定谔方程
1.
2.
微观粒子的
2.1 波函数的统计解释
1.
2. 波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
3.
，概率密度2*(,)(,)(,)(,)r t r t r t r t ω=ψ=ψψ
4. 自由粒子的波函数，三维形式：()32
1(,)(2)
i p r Et r t e
π-ψ=
，一维形式()12
1(,)(2)
x i
p x Et x t e
π-ψ=
2.2 态叠加原理
1. 内容
2.
2.3 薛定谔方程
1.
2. 自由粒子薛定谔（S）方程的建立
3.
4. 对薛定谔方程的理解
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律1.
2.
3.
2.5 定态薛定谔方程
1.
2.
3.
4. 哈密顿算符及其本征方程
5.
6.
2.6 一维无限深方势阱
0, 0 0,x a
U x x a <<⎧=⎨
∞<>⎩ 本征值 222
2
,2n n E n ma π=
为正整数。
本征函数
i n (),,0()0, 0,n n x
n x a x a
x x a πψ<<=<>⎩
为正整数 2.7 线性谐振子
，
，
2.8 势垒贯穿
习题2.1，2.4，2.5，E.2.4
第三章量子力学中的力学量
3.1 表示力学量的算符
1.
2.
3.
4.
3.2动量算符和角动量算符1.
，
2.
3.
4.
3.3 电子在库仑场中的运动
3.4 氢原子
1.
3.5 厄米算符本征函数的正交性1.
2.
3.6算符与力学量的关系1.
2.
3.
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系1.
2.
3.
4.
3.8力学量期望值随时间的变化守恒定律
习题 3.1，3.2，3.5，3.9
第四章态和力学量的表像
4.1 态的矩阵表示
1.
可以证明，=1
2. 力学量Q的
,
可以证明，=1
态的矩阵表示：
归一化条件：
3.
4.
5.
1)波函数的矩阵表示；2）波函数随时间的变化规律；3）力学量的可能值、出现的概率、平均值。
4.2 算符的矩阵表示
1.
2.
3.
4.3 量子力学公式的矩阵表示
1.
2.
3.
4.
4.4 幺正变换
1.，
2.
3.
4.
5.
4.5 狄拉克符号
1.
2.
4.6 线性谐振子与占有数表象
1. 已知
证明
2.
3. 1）已知粒子数算符可以用湮灭算符和产生算符表示为，证明
2）已知线性谐振子的哈密顿算符可以用湮灭算符和产生算符表示为H=，证明H|n>=En|n>，其中En=hw(n+1/2).
练习题：4.5
第五章微扰理论1.
2.
5.1 非简并微扰理论
1.
2.
3.
4.
例题：
10
30
00-2
λ
λ
λ
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，及习题5.3
5.2 简并微扰理论
1.
2.
例题：E.5.6
5.3 氢原子的一级斯塔克效应
效应。
5.4 变分法
1. 变分法原理
，
2. 变分法的优缺点
3. 变分法的解题步骤
5.5 与时间有关的微扰理论
1. 体系在微扰作用下由初态k Φ跃迁到终态m Φ的概率为2
(1)
()k m m
W a t →= 其中(1)01()()mk t
i t m
mk a t H t e dt i ω''''=⎰ ，m k mk E E ω-=
，()mk
H t '' 2. 能量时间的不确定关系：E t ∆∆
3. 偶极跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则：1,0,1l m ∆=±∆=±
练习题：5.3
第七章自旋与全同粒子7.1 电子自旋
1. 施特恩-格拉赫实验证明电子具有自旋。
2.
3.
7.2 电子的自旋算符和自旋函数1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.3 简单塞曼效应
在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是简单塞曼效应，它是在外磁场较强的情况下观察到的。
如果外磁场很弱，电子自旋与轨道相互作用不能略去，则光谱线分裂为偶数条，称为复杂塞曼效应。
7.4 两个角动量的耦合
7.5 光谱的精细结构
7.6 全同粒子的特性
3.
4.
7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理
7.7 两个电子的自旋函数
习题7.1，7.2，7.3，7.5，7.6。