集合与常用逻辑用语单元检测附答案答案含详解
(常考题)人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞2．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则A B =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞3．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥4．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④5．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =是“点P 到直线l ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．非零向量,a b 满足4,2b a ==且a 与b 夹角为θ，则“23b a -=”是“3πθ=”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案9．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为 A ．对任意x ∈R ,都有20x < B ．不存在x ∈R ,都有20x < C ．存在0x ∉R ,使得200x <D ．存在0x ∈R ,使得200x <10．函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,2a ∈11．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．已知条件:21p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.14．对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，则S T +=________（用列举法表示）15．下列命题为真命题的序号是__________. ①“若1sin ,2α≠则6πα≠”是真命题.②“若22,am bm <则a b <”的逆命题是真命题.③,a b ∈R ，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件. ④“1a =”是“直线0x ay -=与直线+0x ay =互相垂直”的充要条件.16．已知{}210A x x =-=，{}20B x mx =-=，且A B A ⋃=，求实数m 组成的集合为______． 17．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为_____________.18．己知全集U =R ，集合，，则___________19．已知{|12},[0,4]M x m x m N =-≤≤=，且M N M ⋂=,则实数m 的取值范围_____________； 20．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ．三、解答题21．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈-时，()f x 、()g x 的值域分别为A 、B ，设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．22．设命题0:p x R ∃∈，2020x -=；命题:q 函数22sin y x =在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先增后减． （1）判断p ，q 的真假，并说明理由； （2）判断p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝的真假．23．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 24．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 25．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=． （1）若A 是空集，求实数a 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值． 26．已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<， 当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意， 当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意， 综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．A解析：A 【分析】解不等式确定集合,A B 后再由交集定义计算． 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)A B x x =<<=．故选：A ． 【点睛】本题考查求集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，属于基本题．3．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x <->或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.4．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．5．B解析：B 【分析】“点P 到直线l ”解得：m =±. 【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈⎣当0m <时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =是“点P 到直线l ”的充分不必要条件.【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.6．B解析：B 【分析】先将//a b 等价化简为cos 0θ=或1tan 2θ=，再判断解题即可. 【详解】//a b ⇔(sin 2,cos )//(cos ,1)θθθ⇔2sin 2cos θθ=⇔cos 0θ=或1tan 2θ=，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断p 是q 的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.7．C解析：C 【分析】由题意，若23b a -=，根据向量的数量积和模的计算公式，可得1cos 2θ=，得到3πθ=，；反之也可求得23b a -=，即可得到答案.【详解】由题意，非零向量,a b 满足4,2b a ==且a 与b 夹角为θ，若23b a -=，即2222()2164242cos 12b a b a b a a b θ-=-=+-⋅=+-⨯⨯=，解得1cos 2θ=，又因为[]0,θπ∈，可得3πθ=，即充分性是成立的；若3πθ=，由2222()2164242cos123b a b a b a a b π-=-=+-⋅=+-⨯⨯=，可得23b a -=，即必要性是成立的，所以“23b a -=”是“3πθ=”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记向量的数量积的运算，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8．D【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】 解：命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ． 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．9．D解析：D 【解析】命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得200x <,选D.10．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确； 对于B ，当3x π=时，3sin 2x =成立， 所以“3x π=”是“3sin 2x =”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据得出由是的充分不必要条件得出根据包含关系得出的范围【详解】由题设得或设或由得设因为是的充分不必要条件所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围属于中档题解析：(],2-∞-【分析】根据p ⌝，q ⌝得出,p q ，由q 是p 的充分不必要条件，得出Q P ，根据包含关系得出a 的范围. 【详解】由题设:21p x ⌝-<<，得:1p x ≥或2x -≤，设{|1P x x =≥或}2x ≤- 由:q x a ⌝>，得:q xa ，设{}|Q x x a =≤因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此2a ≤-. 故答案为：(],2-∞- 【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.14．【分析】根据集合的新定义分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况【详解】由题：对于任意非空集合定义若各取一个元素形成有序数对所有可能情况为所有情况两个数之和构成的集合为：故答案为：【点睛】此 解析：{}4,2,1,0,1,2---【分析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况. 【详解】由题：对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈， 若{}2,0,1S T ==-，各取一个元素,a A b B ∈∈形成有序数对(),a b ，所有可能情况为()()()()()()()()()2,2,2,0,2,1,0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1------，所有情况两个数之和构成的集合为：{}4,2,1,0,1,2--- 故答案为：{}4,2,1,0,1,2--- 【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.15．①③【分析】对于①判断其逆否命题的真假；对于②写出其逆命题再判断真假；对于③利用单位圆判定；对于④根据充要条件的定义以及两直线垂直的条件可判断；【详解】对于①若则的逆否命题为若则显然为真即原命题为真解析：①③ 【分析】对于①判断其逆否命题的真假；对于②写出其逆命题再判断真假；对于③利用单位圆判定；对于④根据充要条件的定义以及两直线垂直的条件可判断； 【详解】对于①，若1sin ,2α≠则6πα≠的逆否命题为若6πα=，则1sin 2α=，显然为真，即原命题为真，故①正确；对于②，若22,am bm <则a b <的逆命题为若a b <，则22am bm <，当0m =时显然为假，即②错误；对于③，如图在单位圆221x y +=上或圆外任取一点(),P a b ，满足“221a b +≥”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“1a b +≥”，在单位圆内任取一点(),M a b ，满足“1a b +≥”，但不满足，“221a b +≥”，即“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件，故③正确；对于④“直线0x ay -=与直线+0x ay =互相垂直”210a ⇔-=，即1a =±， 故“实数1a =”是“直线0x ay -=与直线+0x ay =互相垂直”的充分不必要条件， 故④为假命题； 故答案为：①③. 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，充要条件，不等式的性质和两条直线的位置关系等，属于中档题.16．0【分析】根据题意解方程可得结合分析可得进而对分3种情况讨论：：①②③分别求出的值综合可得答案【详解】根据题意若则有对分3种情况讨论：①即方程无解分析可得②即方程的解为即解可得③即方程的解为即解可得解析：{2-，0，2} 【分析】根据题意，解方程21x =可得结合A ，分析AB A =，可得B A ⊆，进而对B 分3种情况讨论：：①、B =∅，②、{1}B =，③、{1}B =-，分别求出m 的值，综合可得答案． 【详解】根据题意，2{|1}{1A x x ===-，1}，若AB A =，则有B A ⊆，对B 分3种情况讨论：①、B =∅，即方程2mx =无解，分析可得0m =， ②、{1}B =，即方程2mx =的解为1x =，即12m ⨯=，解可得2m =， ③、{1}B =-，即方程2mx =的解为1x =-，即(1)2m ⨯-=，解可得2m =-， 综合可得：实数m 的值组成的集合为{2-，0，2}； 故答案为：{2-，0，2}． 【点睛】本题考查集合间的包含关系的运用，注意集合B 可能为空集．17．1【解析】若是真命题则大于或等于函数在的最大值因为函数在上为增函数所以函数在上的最大值为1所以即实数的最小值为1所以答案应填:1考点：1命题；2正切函数的性质解析：1 【解析】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1， 所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1.所以答案应填:1.考点：1、命题；2、正切函数的性质.18．【解析】试题分析：本题首先求出集合AB 再求它们的运算这两个集合都是不等式的解集故解得因此考点：集合的运算解析：【解析】试题分析：本题首先求出集合A ，B ，再求它们的运算，这两个集合都是不等式的解集，故解得{|31}A x x x =-或，{|02}B x x =<≤，因此()(0,1]U A B ⋂=.考点：集合的运算. 19．【分析】先根据条件确定集合包含关系再分类讨论得结果【详解】当时满足条件此时当时综上实数m 的取值范围为【点睛】本题考查集合包含关系考查基本分析求解能力属基础题解析：()[],11,2-∞-⋃【分析】先根据条件确定集合包含关系，再分类讨论得结果.【详解】M N M M N ⋂=∴⊂当M φ=时，满足条件，此时12,1m m m -><-当M φ≠时， 10,2412m m m -≥≤∴≤≤综上，实数m 的取值范围为(,1)[1,2]-∞-⋃【点睛】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力，属基础题.20．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断解析：1＜a ＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当时，恒成立，即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为，要使得，需要满足，化简求解得1＜a ＜4． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．三、解答题21．（1）0；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）解方程2(1)1m -=检验即得解； （2）求出[0,4]A =，1[,4]2B k k =--，解不等式组10244k k ⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩即得解. 【详解】（1）依题意得：∵()y f x =为幂函数，∴2(1)1m -=，∴0m =或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，舍去，当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，可取，所以0m =.（2）由（1）得2()f x x =，当[1,2]x ∈-时，()[0,4]f x ∈，即[0,4]A =， 当[1,2]x ∈-时，1()[,4]2g x k k ∈--，即1[,4]2B k k =--， ∵命题p 是q 成立的必要条件，∴B A ⊆，∴10244k k ⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴102k ≤≤， ∴k 的取值范围是1[0,]2．【点睛】本题主要幂函数的定义和单调性，考查函数的值域的求法，考查指数函数的单调性和必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）p 为真，q 为假，理由见解析；（2）p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【分析】（1）由22x =有解知命题p 为真命题，22sin 1cos 2y x x ==-，在(,)62ππ-上先减后增．即命题q 为假命题；（2）由p 为真q 为假，结合复合命题的真假可得.【详解】（1）易知02x R ∃=±，故p 为真．∵22sin 1cos2y x x ==-，且23x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,， ∴1cos2y x =-在,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上先减后增，故q 为假． （2）∵p 真q 假， ∴p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真．【点睛】本题考查了三角函数的单调性及复合命题的真假，属中档题．23．（1）{}3|m m ≤（2）254 （3）{}|24m m m <>或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，再求A 的非空真子集个数；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，只需12,215,m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m ≤≤. 综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，∴集合A 的非空真子集个数为822254-=.（3）∵x ∈R ，且{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，又不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，∴当B =∅，即121m m +>-，得2m <时，符合题意；当B ≠∅，即121m m +≤-，得2m ≥时，2,15,m m ≥⎧⎨+>⎩或2,212,m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上，所求m 的取值范围是{}|24m m m <>或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x << 因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 25．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =或98a =【分析】（1）A 是空集，即2320ax x -+=无解，计算得到答案.（2）考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】 （1）∵A 是空集，∴()20380a a ≠⎧⎪⎨--<⎪⎩，即98a >，∴实数a 的取值范围9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵A 中只有一个元素，∴0a =或()20380a a ≠⎧⎪⎨--=⎪⎩即：0a =或98a =. 【点睛】本题考查了根据空集和集合中元素个数求参数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.26．（1）[]1,0-（2）(),0-∞【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+， 当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知集合()(){}225A x x x =+-<，(){}2log 1,B x x a a N =->∈，若A B =∅，则a 的可能取值组成的集合为（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．*N4．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④5．“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“3sin 2x =”的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 10．在下列三个结论中，正确的有（ ） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③11．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．设集合{132}A x x x =-<-，集合1{1}B x x=<，则A B =________. 14．已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________.15．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．16．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示在全集中的补集，那么对于集合，下列所有正确说法的序号是 ．（1）（2）()1()U A A f x f x =- （3）()()()A B A B f x f x f x ⋃=+（4）()()()A B A B f x f x f x ⋂=⋅ 18．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ．19．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.若各数互不相等的正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是4，则()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是______.20．对任意的x ∈R ，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是__________.三、解答题21．已知命题p ：01x ≤≤；q ：()120a x a a -≤≤>. （1）若1a =，写出命题“若p 则q ”的逆否命题，并判断真假； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．设m R ∈，命题2:043p x x <-<，命题:(1)(3)0q x m x m -+--<. （1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}5C x a x a =-<<. （1）求AB ，()R A B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋃，求a 的取值范围.24．已知集合{}{}222|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤. （1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.25．已知函数()()()322-f x x x =-+A ，()()()lg 12(1)g x x a a x a ⎡⎤=---<⎣⎦的定义域为B .（1）求A .（2）记2222222040/2/22300B A AB v v a m s m s S --===-⨯ :q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．26．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式2320x x -+≤的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断． 【详解】2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是(,2)-∞的真子集，因此应是必要不充分条件． 故选：C ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2．B解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.3．D解析：D 【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集的结果确定参数a 的取值范围． 【详解】()(){}{}22533A x x x x x =+-<=-<<， (){}{}2log 1,2,B x x a a N x x a a N =->∈=>+∈，因为AB =∅，所以23a +≥，1a ≥．又a N ∈，∴*a N ∈．故选：D ． 【点睛】本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结论．4．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．5．C解析：C 【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题. 【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数， ∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =，∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题.6．C解析：C 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->， 所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立， 所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.7．B解析：B 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及直线与平面平行的定义即可判定. 【详解】因为满足“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”这样条件的直线可以和平面相交， 所以推不出“这条直线与平面α平行”，当直线满足与平面α平行时，可以推出这条直线与平面α内无数条直线异面， 所以“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.9．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确；对于B ，当3x π=时， sin 2x =成立，所以“3x π=”是“sin 2x =”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.10．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】先解不等式再根据交集的定义求解即可【详解】由题因为则解得；又因为则即解得或则或即故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式分式不等式的解法考查交集考查运算能力解析：()4,013⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，【分析】先解不等式,再根据交集的定义求解即可 【详解】由题,因为132x x -<-,则23132x x x -<-<-,解得43x <； 又因为11x<,则10xx -<,即()10x x -<,解得0x <或1x >, 则{|0A B x x ⋂=<或413x <<},即()4,013⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭， 故答案为：()4,013⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查绝对值不等式、分式不等式的解法,考查交集,考查运算能力14．【分析】是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件再化简两命题对应的取值范围进一步判断即可【详解】是的充分不必要条件是的充分不必要条件命题中：命题中：由是的充分不必要条件可知应满足解得故答案为：【 解析：[1,6]-【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可 【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]- 【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题15．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B解析：4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．16．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方 解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440axx a 方程恒有两个解，且1210x x a=-<，两根一正一负，满足条件 当0a <时，2210,4401axx a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a+=->，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.17．（1）（2）（4）【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B 分类讨论：①当则此时②当且即此时③当且即时此时综合有故（1）正确；（2）故（2）正确；故（3）不正确；故（4）正确；考点：集合的交并补运算解析：（1）（2）（4） 【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B ，分类讨论： ①当，则，此时，②当，且，即,此时，③当，且，即时，，，此时，综合有，故（1）正确；（2），故（2）正确；1,()()()0,()A B A B U x A B f x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩，故（3）不正确；，故（4）正确； 考点：集合的交并补运算18．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断解析：1＜a ＜4 【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当时，恒成立，即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为，要使得，需要满足，化简求解得1＜a ＜4．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．19．17【分析】用减去4即得【详解】由题意知正数数组的逆序数与的逆序数和为所以的逆序数为故答案为：17【点睛】本题考查新定义问题考查排列组合的应用解题关键是理解认识到数组与中逆序数的和为解析：17 【分析】 用27C 减去4即得． 【详解】由题意知正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”与()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”和为27C ，所以()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”为27417C -=．故答案为：17. 【点睛】本题考查新定义问题，考查排列组合的应用．解题关键是理解认识到数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅与()11,,,n n i i i -⋅⋅⋅中逆序数的和为2n C ．20．【分析】求出导数可得出从而可求解出实数的取值范围【详解】由于函数在上不存在极值点则即解得因此函数不存在极值点的充要条件是故答案为：【点睛】本题考查利用函数极值点求参数解题时理解函数的极值点与导数零点 解析：021a ≤≤【分析】求出导数()2327f x x ax a '=++，可得出0∆≤，从而可求解出实数a 的取值范围.【详解】()327f x x ax ax =++，()2327f x x ax a '∴=++，由于函数()y f x =在R 上不存在极值点，则24840a a ∆=-≤，即2210a a -≤， 解得021a ≤≤.因此，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是021a ≤≤.故答案为：021a ≤≤. 【点睛】本题考查利用函数极值点求参数，解题时理解函数的极值点与导数零点之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，真命题；（2）112a ≤≤. 【分析】（1）直接写出命题“若p 则q ”逆否命题并判断真假即可； （2）由题意得{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>，即1021a a -≤⎧⎨≥⎩解不等式组可得答案. 【详解】（1）若1a =，则q ：02x ≤≤，命题“若p 则q ”为“若01x ≤≤，则02x ≤≤”， 命题“若p 则q ”的逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，是真命题； （2）若p 是q 的充分不必要条件，{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>则1021a a -≤⎧⎨≥⎩，解得112a ≤≤，实数a 的取值范围为112a ≤≤.【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含. 22．（1）{}|24x x <<；（2）{}|13m m ≤≤ 【分析】（1）解不等式2043x x <-<即可求解；（2）设命题p 成立对应集合A ，命题q 成立对应集合B ，由题意可得A 是B 的真子集，利用数轴即可求解. 【详解】（1）若p 为真命题，则2043x x <-<，即240x ->且243x x -<， 由240x ->得2x >或2x <-， 由243x x -<可得14x -<<， 所以解集为：{}|24x x <<， 故实数x 的取值范围为{}|24x x <<，（2）由（1）知：p 为真命题，则24x <<，设{}|24A x x =<<，由(1)(3)0x m x m -+--<可得13m x m -<<+，设{}|13B x m x m =-<<+， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以1234m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得： 13m ≤≤，经检验当1m =和3m =时满足A 是B 的真子集，所以实数m 的取值范围是{}|13m m ≤≤ 【点睛】结论点睛：从集合的观点判断命题的充分条件和必要条件的规则（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 23．（1）{}210x x <<，{|23x x <<或}710x ≤<；（2）(-∞，3]．. 【分析】（1）直接利用集合并集、补集、交集的运算法则求解即可；（2）由题意分类讨论C φ=、C φ≠，根据包含关系列不等式，从而可求实数a 的取值范围． 【详解】（1）因为集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<< 所以{}210A B x x ⋃=<<， ∵{3RA x x =<或}7x ≥，∴(){|23RA B x x ⋂=<<或}710x ≤<；（2）由（1）知{}210A B x x ⋃=<<，①当C =∅时，满足()C A B ⊆⊂，此时5a a -≥，得52a ≤； ②当C ≠∅时，要()C A B ⊆⋃，则55210a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，解得532a <≤；由①②得，3a ≤，综上所述，所求实数a 的取值范围为(-∞，3]． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算，同时考查利用包含关系求参数，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．24．（1）3m =（2）6m >或3m <- 【分析】（1）先化简集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，根据[]1,4A B ⋂=求解.（2）由（1）得到{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，再利用子集的定义由R A C B ⊆求解. 【详解】（1）因为集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，又因为[]1,4A B ⋂=， 所以21m -=， 所以3m =.（2）{|2R C B x x m =<-或}2x m >+， 因为R A C B ⊆，所以42m <-或21m +<-， 解得6m >或3m <-. 【点睛】本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1） {|11}A x x x =≥≤-或 (2)][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次根式有意义条件,可解不等式得定义域A.（2）根据对数函数真数大于0,解不等式得集合B.根据p 是q 的的必要不充分条件,即可得关于a 的不等式,进而求得a 的取值范围. 【详解】（1）要使()f x 有意义，则()()3x 22x 0-+-≥ 化简整理得()()x 1x 10+-≥ 解得x 1x 1≥≤-或∴ A {x |x 1x 1}=≥≤-或（2）要使()g x 有意义，则()()x a 12a x ]0---> 即()()x a 1x 2a ]0---< 又a 1<a 12a ∴+>B {x |2a x a 1}∴=<<+p 是q 的必要不充分条件 B ∴是A 的真子集2a 1a 11∴≥+≤-或解得1a 1a 22≤<≤-或 a ∴的取值范围为][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数定义域的求法,充分必要条件的应用,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.26．12a <<【分析】根据题意得出集合B 是集合A 的真子集，解绝对值不等式以及一元二次不等式得出集合,A B ，根据包含关系得出实数a 的取值范围.【详解】解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+，所以{}11A x a x a =-+<<+ 解不等式2320x x -+≤，得12x ≤≤ 所以{}12B x x =≤≤因为集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a -+<⎧⎨+>⎩即12a << 【点睛】本题主要考查了根据必要不充分条件求参数的值，属于中档题.。
第一章集合与常用逻辑用语+单元检测-2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修第一册
2022年第一章集合与常用逻辑用语单元测试评卷人得分一、单选题1．已知集合，则（）A．{2，4} B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{1，2，3，4，6，8}2．已知集合，，全集，则集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．集合，则（）A．B．C．D．4．设集合，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（）A．[－2，2] B．[0，2]C．[0，＋∞）D．{（－1，1），（1，1）}5．已知集合，，则（）A．B．C．D．6．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．“且”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设集合，，且，则（）A．1 B．C．2 D．评卷人得分二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）下列四个命题中正确的是（）A．B．由实数x，－x，，，所组成的集合最多含2个元素C．集合中只有一个元素D．集合是有限集10．已知集合，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）下列命题中，真命题是（）A．若且，则至少有一个大于1B．C．的充要条件是D．命题“”的否定形式是“”12．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（）A．1 B．C．3 D．评卷人得分三、填空题13．（2021·上海市洋泾中学高一阶段练习）己知集合，若，则实数a的值为____________．14．（2021·上海市洋泾中学高一阶段练习）已知全集且，，，且，则的值为_____________．15．（2021·上海市青浦区第一中学高一阶段练习）已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是___________.16．（2021·上海市洋泾中学高一阶段练习）若集合，则，则实数a的值为_________．评卷人得分四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）已知全集，集合，，．(1)求；(2)求．18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围：(3)若，求实数的取值范围.19．（2021·上海市青浦区第一中学高一阶段练习）已知.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.20．（2022·全国·高一课时练习）已知为实数，，．(1)当时，求的取值集合；(2)当 时，求的取值集合.21．不等式的解集为集合，不等式的解集为集合．(1)求集合；(2)设条件，条件，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．22．在①；②““是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.参考答案1．D 2．C 3．B 4．B 5．B6．A【详解】依题意，可得，即，显然是的充分不必要条件.故选：A7．B【详解】解：由且，则且，所以，即充分性成立；由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；故“且”是“”的充分不必要条件；故选：B8．C【详解】解，即，当即时，，此时，不合题意；故，即，则，由于，，所以，解得，故选：C 9．BCD 10．AB11．AD【详解】对于A中，若实数都小于等于1，那么可以推出，所以A正确；对于B中，当时，，所以B错误；对于C中，当时，满足，但不成立，所以C错误；对于D中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“”的否定形式是“”，所以D是正确的.故选：AD.12．AB【详解】解：二次函数的对称轴为，①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，且时，即满足题意；②若时，如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，则时，，解得，此时，，综上，，故选：AB．13．【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得．故答案为：14．66【详解】解：因为全集，，所以3，9，12，15中有两个属于，因为中的方程中，两根之积，所以，所以，又，所以，因为中的方程中，两根之和，所以，则，所以．故答案为：.15．【详解】由题意，所以.故答案为：16．【详解】由题意，集合，因为，可得方程组无解，即直线与平行，可得，解得.故答案为：.17．【解析】（1），解得或，所以,,解得，所以．所以．（2）由（1）知．将化为，即，所以,解得，所以,所以．18．【解析】（1）由题意知，，因为，所以, ,即实数的取值范围为；（2）由（1）知，，,即实数的取值范围是；（3）由题意知或，，或，或，即实数的取值范围是.19．【解析】（1）若所以.（2）由，所以，故，所以实数的取值范围是.20．【解析】（1）因为，所以当时，，当时，．又，所以，此时，满足．所以当时，的取值集合为．（2）当时，， 不成立；当时，，， 成立；当且时，，，由 ，得，所以．综上，的取值集合为．21．【解析】（1）不等式可化为，即，∴．（2）由题意得，∵是成立的充分不必要条件，∴是的真子集，∴，∴实数的取值范围是．22．【解析】（1）当时，集合，，所以；（2）若选择①，则，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是；若选择②，““是“”的充分不必要条件，则 ，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是．。
第一章集合与常用逻辑用语单元检测附答案答案含详解
第一章集合与常用逻辑用语单元检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中()．A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N等于()．A．{0}B．{0,1}C．{1,2}D．{0,2}3．(2011福建高考，理2)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．命题“存在x∈R，x2－3x＋4＞0”的否定是()．A．存在x∈R，x2－3x＋4＜0B．任意的x∈R，x2－3x＋4＞0C．任意的x∈R，x2－3x＋4≥0D．任意的x∈R，x2－3x＋4≤05．集合P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q ＝()．A．{(1，－2)}B．{(－13，－23)}C．{(1,2)}D．{(－23，－13)}6．对任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈M且x?N}，M△N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝，N＝{x|y ＝}，则M△N＝()．A．{x|x＞3}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1≤x＜2，或x＞3}D．{x|1≤x≤2，或x＞3}7．已知全集U为实数集R，集合M＝，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()．A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)8．下列判断正确的是()．A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“任意的x∈N，x3＞x2”的否定是“存在x∈N，x3＜x2”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件9．(2011陕西高考，文8)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M∩N为()．A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]10．设命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R，命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R，若命题p，q有且仅有一个为真，则c的取值范围为()．A．B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．R二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?U C)＝__________.12．(2011浙江温州模拟)已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则p是q的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)13．若命题“存在x∈R，x2－ax－a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为__________．14．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R”的逆命题．其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)15．已知命题p ：不等式＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)(1)设全集I 是实数集，则M ＝{x |≤0}，N ＝212{|22}x x x ＋＝，求(?I M )∩N .(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |(x ＋1)(x －1)＞0}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，求A ∪(?U B )．17．(12分)已知p ：－2≤1－≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．(12分)(2011福建四地六校联合考试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．20．(13分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．21．(14分)已知三个不等式：①|2x －4|＜5－x ；②≥1；③2x 2＋mx －1＜0.若同时满足①和②的x 值也满足③，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数． 2．D 解析：集合N ＝{0,2,4}，所以M ∩N ＝{0,2}．3．A 解析：由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2?(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．5．B 解析：a ＝(m －1,2m ＋1)，b ＝(2n ＋1，3n －2)，令a ＝b ， 得解得此时a ＝b ＝(－13，－23)，故选B.6．D 解析：∵M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，N ＝{x |x ≤2}，∴M －N ＝{x |x ＞3}，N －M ＝{x |1≤x ≤2}，∴M △N ＝{x |1≤x ≤2，或x ＞3}．7．D 解析：∵M ＝＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩(?U N )＝{x |－3＜x ＜－1}，故选D.8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A ，B ，C 全为假，由b ＝0，可以判断f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，反之亦成立．9．C 解析：∵y ＝22|cos sin |x x －＝|cos2x |，x ∈R ，∴y ∈[0,1]，∴M ＝[0,1]．∵＜1，∴|x |＜1.∴－1＜x ＜1.∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．10．D 解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c ＞0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c ＜0，解得c ＜－1；若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.当p 为真，q 为假时，有c ＜－1；当p 为假，q 为真时，有c ≥－1.综上，当命题p ，q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D.二、填空题11．{2,5} 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，?U C ＝{1,2,5}，∴(A ∪B )∩(?U C )＝{2,5}．12．必要不充分 解析：p 为：a ≥0，q 为a 2≤a ，a 2≤a ?a (a －1)≤0?0≤a ≤1，∴p q ，而q ?p ， ∴p 是q 的必要不充分条件．13．[－4,0] 解析：∵“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则“对任意的x ∈R ，x 2－ax －a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a ≤0.14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，由??m ＞1.故⑤正确．15．①③ 解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．三、解答题16．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}，∴(?I M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，∴?U B ＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．∴A ∪(?U B )＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．17．解：由p ：－2≤1－≤2，解得－2≤x ≤10，∴“非p”：A＝{x|x＞10，或x＜－2}．由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴“非q”：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，由“非p”是“非q”的充分不必要条件得A B.∴解得0＜m≤3.∴满足条件的m的取值范围为{m|0＜m≤3}．18．证明：必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝0，必要性得证．充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝22ba⎛⎫-⎪⎝⎭＋≠0，∴a＋b＝1，充分性得证．综上可知，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.19．解：由已知得：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴∴m＝2，即实数m的值为2.(2)?R B＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．∵A??R B，∴m－2＞3或m＋2＜－1.∴m＞5或m＜－3.∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．∵原命题?它的逆否命题，∴证明原命题为真命题即可．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴逆否命题为真．21．解：设不等式|2x－4|＜5－x，≥1，2x2＋mx－1＜0的解集分别为A，B，C，则由|2x－4|＜5－x得，当x≥2时，不等式化为2x－4＜5－x，得x＜3，所以有2≤x＜3.当x＜2时，不等式化为4－2x＜5－x，得x＞－1，所以有－1＜x＜2，故A＝(－1,3)．≥1?－1≥0?≥0?≤0?0≤x＜1或2＜x≤4，即B＝[0,1)∪(2,4]．若同时满足①②的x值也满足③，则有A∩B?C.设f(x)＝2x2＋mx－1，则由于A∩B＝[0,1)∪(2,3)，故结合二次函数的图像，得??m≤－.。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“21x >”是“2x >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ）A ．23x >B ．2xC ．2x ≥D ．3x >5．m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则A B =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞7．已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．“3,a =b =”是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分不必要条件10．设a 、b 是实数，则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．以下四个命题中错误．．的是（ ） A ．若样本1x 、2x 、、5x 的平均数是2，方差是2，则数据12x 、22x 、、52x 的平均数是4，方差是4B ．ln 0x <是1x <的充分不必要条件C ．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率D ．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”和事件“向上点数不小于4”是对立事件二、填空题13．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___． 14．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．15．已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 16．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RAB =__________．17．设全集U Z =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,3,4,5B =，则下图中阴影部分表示的集合是_____.18．已知集合{}{}21,,A m B m ==，若B A ⊆，则实数m 的值是__________．19．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.若各数互不相等的正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是4，则()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”是______.20．非空集合*S N ⊆，且满足条件“x S ∈，则()10x S -∈”，则集合S 的所有元素之和的总和为______.三、解答题21．已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y ∈S (x 、y 可以相同)，有x +y ∈S 且x -y ∈S .（1）集合S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由； （2）证明：若3∈S 且5∈S ，则S =Z .22．已知命题p ：01x ≤≤；q ：()120a x a a -≤≤>. （1）若1a =，写出命题“若p 则q ”的逆否命题，并判断真假； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.23．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？ （2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由． （3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．24．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩. （1）若2a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.25．已知集合{}22520A x x x =-+≤，函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为B ．（1）若13a =，求()R A B ； （2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．26．已知全集U =R ，集合{}{}2|2150,|51A x x x B x x =-++≤=-<，求A B ,()U A B ⋂.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac+-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立；必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立， 综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件， 故选：C . 【点睛】方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.2．C解析：C 【分析】求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断． 【详解】2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是(,2)-∞的真子集，因此应是必要不充分条件． 故选：C ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．3．B解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.4．D解析：D 【分析】根据题意，找到24x >解集的一个真子集即可求解. 【详解】由24x >解得2x >或2x <-，所以24x >成立的一个充分非必要条件是(2)(2,)-∞-+∞的真子集，因为3+∞（，） (2)(2,)-∞-+∞，所以24x >成立的一个充分非必要条件是3x >， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，真子集的概念，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当//m α时，过直线m 作平面β，使得l αβ=，则//m l ，n α⊥，l α⊂，n l ∴⊥，m n ∴⊥，即//m m n α⇒⊥；当m n ⊥时，由于n α⊥，则m α⊂或//m α，所以，//m n m α⊥⇒/.综上所述，//m α是m n ⊥的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】解不等式确定集合,A B 后再由交集定义计算． 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)A B x x =<<=．故选：A ． 【点睛】本题考查求集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，属于基本题．7．D解析：D 【详解】若2παβ==则tan ,tan αβ不存在，若tan tan αβ=，可得k απβ=+，故选D8．B解析：B 【分析】分类讨论a 的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可. 【详解】（1）当0a =时，方程变为210x +=，有一负根12x =-，满足题意；（2）当0a <时，440∆=->a ，方程的两根满足1210x x a=<，此时有且仅有一个负根，满足题意；（3）当0a >时，由方程的根与系数关系可得2010aa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件440a ∆=-≥，01a ∴<≤.综上可得，1a ≤.因此，“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.9．D解析：D 【分析】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化为22221(0,0)y x a b b a -=>>,可得2234a b =,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【详解】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化22221(0,0)y x a b b a -=>>则根据离心率的定义可知本题中应有222a b c e b c +===,则可解得2234a b =,因为3,a=b =可以推出2234a b =;反之2234a b =成立不能得出3,a=b =.故选:D . 【点睛】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.10．A解析：A 【分析】由2b aa b +≥可推导出0ab >，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由2b a a b +≥可得()22222022a b b a a b ab a b ab ab-+-+-==≥，()20a b -≥，则0ab >，则“0a >，0b >”⇒“0ab >”，但“0ab >”⇒“0a >，0b >”. 所以，“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】利用平均数和方差公式可判断A 选项的正误；解不等式ln 0x <，利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；根据频率直方图的概念可判断C 选项的正误；根据对立事件的概念可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，样本1x 、2x 、、5x 的平均数为1234525x x x x x x ++++==，方差为()()()()()222221234522222225x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==， 数据12x 、22x 、、52x 的平均数是1234522222245x x x x x x x ++++'===，方差为()()()()()2222212345224242424245x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦'=()()()()()2222212345242222244285x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦===⨯=，A 选项错误；对于B 选项，解不等式ln 0x <，得01x <<，{}01x x << {}1x x <，所以，ln 0x <是1x <的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，由频率分布直方图的概念可知，样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，C 选项正确；对于D 选项，抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”即为：向上的点数为1或2或3，事件“向上点数不小于4”即为：向上的点数为4或5或6， 这两个事件互为对立事件，D 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查命题正误的判断，涉及平均数、方差的计算、充分不必要条件的判断、频率直方图和对立事件概念的理解，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】转化为在上有解不等式右边构造函数利用单调性求出最大值即可得解【详解】存在x ∈﹣11成立即在上有解设易得y ＝f(x)在﹣11为减函数所以即即即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：将问题转化为在上解析：9(,)2-+∞【分析】转化为213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大值即可得解. 【详解】存在x ∈[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞． 【点睛】关键点点睛：将问题转化为213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解进行求解是解题关键. 14．【解析】因为所以或则图中阴影部分所表示的集合为应填答案 解析：[]5,1-【解析】因为[]5,2A =-，()1,4B =，所以{|1U C B x x =≤或4}x ≥，则图中阴影部分所表示的集合为(){|51}U C B A x x ⋂=-≤≤，应填答案[]5,1-．15．【分析】求出命题的否定由原命题为假命题得命题的否定为真命题参变分离得到构造函数求在所给区间上的最小值【详解】解：由题意可知是真命题对恒成立令令则；令则；即在上单调递减上单调递增；故答案为：【点睛】本 解析：(,2)-∞【分析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x <+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值.【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题 1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立， 令()1g x x x=+()211g x x '∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<； 即()1g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增； ()()min 11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.16．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题 解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<， 所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.17．【分析】先判断阴影部分表示的集合为再计算得到答案【详解】集阴影部分表示的集合为：故答案为【点睛】本题考查了韦恩图的识别将图像转化为集合的运算是解题的关键 解析：{}2,4【分析】先判断阴影部分表示的集合为U B C A ⋂，再计算得到答案. 【详解】集U Z =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,3,4,5B = 阴影部分表示的集合为：{}2,4U B C A ⋂= 故答案为{}2,4【点睛】本题考查了韦恩图的识别，将图像转化为集合的运算是解题的关键.18．【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系再结合元素互异性得结果详解：因为所以点睛：注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时要注意检验集合中元素的互异性否则很可能会因为不满足互异性而导致解题 解析：0【解析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.详解：因为B A ⊆，所以22110.m m m m m m m=≠⎧⎧∴=⎨⎨≠=⎩⎩或 点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.19．17【分析】用减去4即得【详解】由题意知正数数组的逆序数与的逆序数和为所以的逆序数为故答案为：17【点睛】本题考查新定义问题考查排列组合的应用解题关键是理解认识到数组与中逆序数的和为解析：17 【分析】 用27C 减去4即得． 【详解】由题意知正数数组()1234567,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”与()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”和为27C ，所以()7654321,,,,,,a a a a a a a 的“逆序数”为27417C -=．故答案为：17. 【点睛】本题考查新定义问题，考查排列组合的应用．解题关键是理解认识到数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅与()11,,,n n i i i -⋅⋅⋅中逆序数的和为2n C ．20．720【分析】欲求中所有元素和的总和需要知道中的元素和分别是多少；中的元素都可以通过题中已知条件：则求出【详解】解：依题意得为正整数集且及均为正整数即可可取的任意正整数1和9要么必须同时出现要么都不解析：720. 【分析】欲求S 中所有元素和的总和，需要知道S 中的元素和分别是多少；S 中的元素都可以通过题中已知条件：x S ∈，则(10)x S -∈求出． 【详解】解：依题意得S 为正整数集， x S ∈，且10x S -∈x 及10x -均为正整数即可x 可取19→的任意正整数，1和9要么必须同时出现，要么都不出现；同理：2和8、3和7、4和6依此类推5……单独考虑，共5组． 那么：只选1组是45，即(19)(28)545++++⋯⋯+= 依此类推： 选2组是180， 选3组是270， 选4组是180， 选5组是45，共计4518027018045720++++=． 故答案为：720． 【点睛】首先要明确*N 所代表的数集，然后根据已知条件将所有的可能考虑全面即可，属于中档题．三、解答题21．（1）{}0；（2）证明见解析. 【分析】（1）若a S ∈，分析0a ≠和0a =可得答案；（2）集合S 的元素都是整数，利用已知得到非空集合S 是所有整数构成的集合.然后再由5S ∈，3S ∈， 532S -=∈得到{}|2,x x k k Z =∈ S ，且{}|21,x x k k Z =+∈ S可得答案. 【详解】（1）能，理由如下：若a S ∈，且0a ≠，由题意知a 的所有整数倍的数都是S 中的元素，所以S 是无限集；若a S ∈，且0a =，则{}0S =，,x y S x y S +∈-∈符合题意，且{}0S =是有限集，所以集合S 能为有限集，即{}0S =. （2）证明：因为非空集合S 的元素都是整数，且()(),x y Z x y Z +∈-∈, 由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，所以321S -=∈， 所以112S +=∈，123S +=∈，134S +=∈，，110S -=∈，011S -=-∈，112S --=-∈，213S--=-∈，所以非空集合S 是所有整数构成的集合.由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，因为,x y S x y S +∈-∈， 所以224,220S S +=∈-=∈，246,242S S +=∈-=-∈，268,264S S +=∈-=-∈，，所以2的所有整数倍的数都是S 中的元素， 即{}|2,x x k k Z =∈ S ，且321S -=∈，所以21,x k k Z =+∈也是集合S 中的元素， 即{}|21,x x k k Z =+∈ S ，{}|2,x x k k Z =∈{}|21,x x k k Z Z =+∈=，综上所述，S Z =. 【点睛】本题考查对集合性质的理解，关键点是理解,x y S x y S +∈-∈，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.22．（1）逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，真命题；（2）112a ≤≤. 【分析】（1）直接写出命题“若p 则q ”逆否命题并判断真假即可； （2）由题意得{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>，即1021a a -≤⎧⎨≥⎩解不等式组可得答案. 【详解】（1）若1a =，则q ：02x ≤≤，命题“若p 则q ”为“若01x ≤≤，则02x ≤≤”， 命题“若p 则q ”的逆否命题为“若0x <或2x >，则0x <或1x >”，是真命题； （2）若p 是q 的充分不必要条件，{}|01x x ≤≤(){}|120x a x a a -≤≤>则1021a a -≤⎧⎨≥⎩，解得112a ≤≤，实数a 的取值范围为112a ≤≤. 【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含. 23．（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素；（2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x-∈，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素. 【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--．12A ∈，12112A ∴=∈-．A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x-≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合． （3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m-⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性. 24．（1）(]2,3；（2）[)20,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）解一元二次不等式和不等式组分别求得,p q ，由p q ∧为真可知,p q 均为真，由此可得取值范围；（2）解一元二次不等式可求得p ，进而得到p ⌝，根据推出关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当2a =时，由28120x x -+<得：26x <<，{}:26p x x ∴<<；由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得：23x <≤，{}:23q x x ∴<≤.p q ∧为真，,p q ∴均为真，∴实数x 的取值范围为(]2,3.（2）由22430x ax a -+<得：3a x a <<，{:p x x a ∴⌝≤或}3x a ≥， 由（1）知：{}:23q x x <≤p ⌝是q 的必要不充分条件，pq ∴⌝且q p ⇒⌝032a a >⎧∴⎨≤⎩或03a a >⎧⎨≥⎩，解得：203a <≤或3a ≥，∴实数a 的取值范围为[)20,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据含逻辑联结词的命题的真假性、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够根据含逻辑联结词得到原命题的真假性、根据必要不充分条件的定义得到推出关系.25．（1）()R32A B ⎡⎤⋂=-⎣⎦；（2）()4,-+∞.【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ， 再由13a =,利用一元二次不等式的解法求得对数函数的定义域B ，然后利用集合的基本运算求解.（2）根据A B ⋂≠∅，则在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x ，使不等式2220ax x -+>成立，即关于x 的不等式222a x x >-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，然后令222u x x =-，求得其最小值即可. 【详解】（1）{}212520,22A x x x ⎡⎤=-+≤=⎢⎥⎣⎦．当13a =时，212203x x -+>，解得3x >3x <所以((),33B =-∞⋃+∞，所以R3B ⎡=⎣．所以()R32A B ⎡⎤⋂=⎣⎦．（2）若A B ⋂≠∅，则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值，使不等式2220ax x -+>成立，即关于x 的不等式222a x x >-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 又222u x x=-，则只需min a u >即可． 又2222111222y x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭． 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，14,2u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以min 4u =-，所以4a >-，即a 的取值范围为()4,-+∞． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算及其应用以及一元二次不等式的解法和对数函数的定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 26．{|3A B x x ⋃=≤-或}4x >，(){}|45UA B x x ⋂=<<【分析】可以求出集合,A B ，然后进行交集、并集和补集的运算即可.【详解】22150x x -++≤，即()()2215530x x x x --=-+≥，解得3x ≤-或5x ≥.所以{|3A x x =≤-或}5x ≥，{}|35UA x x =-<<.5115146x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以{}|46B x x =<<.所以{|3A B x x ⋃=≤-或}4x >，(){}|45UA B x x ⋂=<<.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，属于中档题.。
人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》单元练习题卷含答案解析(30)
第一章《集合与常用逻辑用语》单元练习题（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知函数 f (x )=x 2+bx +c ，则“∃x 0∈R ，使 f (x 0)<0”是“c <0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2. 集合 S ={0,1,2,3,4,5}，A 是 S 的一个子集．当 x ∈A 时，若有 x −1∉A 且 x +1∉A ，则称 x 为集合 A 的一个“孤立元素”，那么 S 中无孤立元素的四元子集的个数是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．73. 设 x ∈R ，则“1<x <2”是“∣x −2∣<1”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知集合 A ={x∣ x <a }，B ={x∣ x <2}，且 A ∪(∁RB )=R ，则 a 满足 ( ) A ． a ≥2 B ． a >2 C ． a <2 D ． a ≤25. 函数 y =(13)√x−1的值域是 ( )A ． (−∞,0)B ． (0,1]C ． [1,+∞)D ． (−∞,1]6. 如图 U 为全集，M ，N ，S 是 U 的子集，则图中的阴影部分所示的集合是 ( )A ． (∁U M ∩∁U N )∩SB ． (∁U (M ∩N ))∩SC ． (∁U N ∩S )∪MD ． (∁U N ∪S )∪N7. 已知 x ∈[12,2]，函数 f (x )=x 2+px +q 与 g (x )=3x 2+32x 在同一点处取得相同的最小值，那么 f (x ) 在 [12,2] 上的最大值是 ( ) A ．134B ． 4C ． 8D ． 548.已知p：“0<a<1，b>1”，q：“f(x)=a x−b（a>0，且a≠1）的图象不经过第一象限”，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.已知实数a，b，c满足c<b<a，那么“ac<0”是“ab>ac”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10.设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )A．∁I S1∩(S2∪S3)=∅B．S1⊆(∁I S2∩∁I S3)C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆(∁I S2∪∁I S3)二、填空题（共6题）11.设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2+2x−8>0，且q是p的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．12.已知A={x∣ x<2或x>5}，B={x∣ a<x<3a}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是．13.若集合{x∣ x∈Z且∣∣x−7∣∣<m}中只有一个元素，则实数m的取值范围是．514.已知集合M={1,m+2,m2+4}，如果5∈M，那么实数m的取值集合为．15.已知集合A={(x,y)∣ ∣ x∣ +∣ y∣ ≤1}，集合B={(x,y)∣ x2+y2≤a2,a>0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．16.已知p：x<−2或x>10，q：x<1+a或x>1−a．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6题）17.已知集合A={x∣−5<x<2}，B={x∣∣x<−5或x>1}，C={x∣m−1<x<m+1}．(1) 求A∪B，A∩(∁R B)；(2) 若B∩C≠∅，求实数m的取值范围．18.设全集U=R，集合A={x∣ 2x2−x<0}，B={x∈R∣ ax−1>0}．(1) 当a=1时，求A∪B，∁U A．(2) 若B⊆∁U A，求a的取值范围．19.已知命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，命题q：实数x满足2<x<4．(1) 若a=1，且p与q均为真命题，求实数x的取值范围．(2) 若a>0，且q为p的充分不必要条件，求实数a的取值范围，20.设集合A={x∣ x2−x−6<0}，B={x∣ 0<x−m<9}．(1) 若A∪B=B，求实数m的取值范围．(2) 若A∩B=∅，求实数m的取值范围．21.已知数集A={a1,a2,⋯,a n}(1≤a1<a2<⋯a n,n≥2)具有性质P；对任意的i,j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a ja i两数中至少有一个属于A．(1) 分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；(2) 证明：a1=1，且a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1=a n；(3) 证明：当n=5时，a5a4=a4a3=a3a2=a2a1．22.已知P={x∣ −2≤x≤10}，非空集合S={x∣ 1−m≤x≤1+m}．(1) 若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．(2) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】f(x)=x2+bx+c，开口向上，要满足“∃x0∈R，使f(x0)<0”成立，只需保证Δ>0，此时，b2−4c>0，即c<b24，而“c<b24”是“c<0”的必要不充分条件．【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】C【解析】由题意可知，一个集合中由相邻数字构成的元素都不是“孤立元素”，例如1，2在S中无“孤立元素”的四元子集可分为两类：第一类是子集中的四个元素为相邻的四个数字，有{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}三个；第二类是子集中的四个元素为两组，每一组的两个元素为相邻的两个数字，有{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,4,5}三个共有6个．【知识点】包含关系、子集与真子集3. 【答案】A【解析】不等式∣x−2∣<1的解集为{x∣1<x<3}，由1<x<2可以推出1<x<3反之不成立，所以“1<x<2”是“∣x−2∣<1”的充分而不必要条件．故选A．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】∁RB={x∣ x≥2}，则由A∪(∁RB)=R，得a≥2．【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】B【知识点】函数的值域的概念与求法6. 【答案】A【知识点】集合基本运算的Venn图示7. 【答案】B【知识点】函数的最大（小）值8. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件9. 【答案】A【解析】因为实数 a ，b ，c 满足 c <b <a ， 若“ac <0”，则 a >0，“ab >ac ”成立； 若“ab >ac ”，则 a >0，但“ac <0”不一定成立． 故“ac <0”是“ab >ac ”成立的充分不必要条件． 【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】C【解析】因为 S 1∪S 2∪S 3=I ， 所以 ∁I (S 1∪S 2∪S 3)=∅． 因为 ∁I S 1∩∁I S 2=∁I (S 1∪S 2)，所以 ∁I S 1∩∁I S 2∩∁I S 3=[∁I (S 1∪S 2)]∩∁I S 3=∁I (S 1∪S 2∪S 3)=∅． 【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−∞,−4]【知识点】充分条件与必要条件12. 【答案】 (53,2)【解析】因为 A ={x∣ x <2或x >5}，B ={x∣ a <x <3a }，且 A ∪B =R ， 所以 {a <2,3a >5,解得 53<a <2，即 a ∈(53,2)．【知识点】交、并、补集运算13. 【答案】 (25,35]【解析】由 ∣∣x −75∣∣<m 得：75−m <x <75+m 且 m >0， 因为 y =∣∣x −75∣∣ 图象关于 x =75对称， 所以当整数解为 x =1 时，{0≤75−m <1,75+m ≤2, 解得：25<m ≤35，当整数解为 x =2 时，{75−m ≥1,2<75+m ≤3,无解． 综上所述：m ∈(25,35]．【知识点】元素和集合的关系14. 【答案】{1,3}【解析】因为5∈{1,m+2,m2+4}，所以m+2=5或m2+4=5，即m=3或m=±1．当m=3时，M={1,5,13}，符合题意；当m=1时，M={1,3,5}，符合题意；当m=−1时，M={1,1,5}，不满足集合中元素的互异性，舍去．所以m的取值集合为{1,3}．【知识点】元素和集合的关系15. 【答案】[1,+∞)；(0,√22]【解析】根据题意，集合A={(x,y)∣ ∣ x∣ +∣ y∣ ≤1}，其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，集合B={(x,y)∣ x2+y2≤a2,a>0}，其几何意义为圆x2+y2=a2的圆周及其内部区域，而圆x2+y2=a2的圆心为(0,0)，半径r=a，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则正方形ABCD在圆x2+y2=a2的内部，必有a≥1，此时a的取值范围为[1,+∞)；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则圆x2+y2=a2在正方形ABCD的内部，必有a≤√22，此时a的取值范围为(0,√22]．【知识点】充分条件与必要条件16. 【答案】{a∣ a≤−9}【解析】因为q：x<1+a或x>1−a，所以a≤0．因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以{1+a≤−2,1−a≥10,a≤0,解得a≤−9．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为A={x∣−5<x<2}，B={x∣∣x<−5或x>1}，所以A∪B={x∣x≠−5}．又∁R B={x∣−5≤x≤1}，所以A∩(∁R B)={x∣−5<x≤1}．(2) 若B∩C≠∅，则需m−1<−5或m+1>1，解得m<−4或m>0．所以实数m的取值范围为(−∞,−4)∪(0,+∞)．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】(1) a=1时，B={x∈R∣ x−1>0}={x∈R∣ x>1}，因为A={x∣ 2x2−x<0}={x∣ x(2x−1)<0}={x∣ 0<x<12}，所以A∪B={x∣ 0<x<12或x>1}，∁U A={x∣ x≤0或x≥12}．(2) 由（1）知∁U A={x∣ x≤0或x≥12}，① a=0时，B=∅，则B⊆∁U A；② a>0时，B={x∈R∣ ax−1>0}={x∈R∣ x>1a}，若B⊆∁U A，则1a ≥12即0<a≤2；③ a<0时，B={x∈R∣ ax−1>0}={x∈R∣ x<1a}，若B⊆∁U A，则1a<0即a<0，综上所述，a的取值范围是(−∞,2]．【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】(1) 若a=1，则命题p:(x−1)(x−3)<0，解得：1<x<3，因为p与q为真命题，且q:2<x<4，所以2<x<3，故x范围为(2,3)．(2) 若a>0，则a<3a，则命题p为a<x<3a，因为q⇒p，p⇒q，所以{a≤2,3a≥4,且等号不能同时成立，解得：43≤a ≤2，经验证合题， 所以 a 的范围是 [43,2]．【知识点】复合命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件20. 【答案】(1) A ={x∣ x 2−x −6<0}={x∣ −2<x <3}，B ={x∣ m <x <m +9}， 若 A ∪B =B ，则 A ⊆B ，得 {m ≤−2,m +9≥3,即 −6≤m ≤−2．(2) 若 A ∩B =∅，得 m +9≤−2 或 m ≥3，即 m ≤−11 或 m ≥3． 【知识点】交、并、补集运算21. 【答案】(1) {1,3,4} 不具有；{1,2,3,6} 具有． (2) 因为 A ={a 1,a 2,⋯a n } 具有性质 P ， 所以 a n a n 与a n a n中至少有一个属于 A ，由于 1≤a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a n a n >a n ， 故 a n a n ∉A ，从而 1=a n a n∈A ，所以 a 1=1．因为 1=a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a k a n >a n ，故 a k a n ∉A (k =2,3,⋯,n )，由 A 具有性质 P 可知 an a k∈A (k =1,2,3,⋯,n )，又因为 a n a n<a n a n−1<⋯<a n a 2<a n a 1，所以a n a n =1，a na n−1=a 2，⋯a n a 2=a n−1，a n a 1=a n ，从而 an a n=a nan−1+⋯+an a 2+an a 1=a 1+a 2+⋯+a n−1+a n ，所以 a 1+a 2+⋯+ana 1−1+a 2−1+⋯+a n−1=a n ． (3) 由（2）知，当 n =5 时，有 a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即 a 5=a 2a 4=a 32，因为 1=a 1<a 2<⋯<a 5， 所以 a 3a 4>a 2a 4=a 5，所以a3a4∉A，由A具有性质P可知a4a3∈A，由a2a4=a32，得a3a2=a4a3∈A，且1<a3a2=a2，所以a4a3=a3a2=a2，所以a5a4=a4a3=a3a2=a2a1=a2．【知识点】元素和集合的关系22. 【答案】(1) 若x∈P是x∈S的必要条件，则x∈S是x∈P的充分条件；所以S⊆P，即{1−m≤1+m, 1−m≥−2,1+m≤10,解得0≤m≤3，所以m的取值范围是[0,3]．(2) x∈P是x∈S的充分条件时，P⊆S，所以{1−m≤1+m, 1−m≤−2,1+m≥10,解得m≥9，由（1）知，x∈P是x∈S的必要条件时，0≤m≤3，由此知x∈P是x∈S的充要条件时，m的值不存在．【知识点】包含关系、子集与真子集、充分条件与必要条件。
第一章 集合与常用逻辑用语 单元测验(含答案)
第一章 集合与常用逻辑用语 单元测验时间：100分钟 分值：100分一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、已知全集R U =，集合}{Z x x x A ∈≤=,1，{}022=-=x x x B ，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. {}1-B. {}2C.{}2,1 D. {}2,02、设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->，则A B = （ ）A.33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭3、下列四个集合中，是空集的是( )A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+-4、已知集合{}Z s t s t A ∈+=,22，且x ∈A ，y ∈A ，则下列结论正确的是（ ） A ．A y x ∈+ B ．A y x ∈- C ．A xy ∈ D ．A yx∈ 5、设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅6、用()C A 表示非空集合A 中的元素的个数，定义()()A B C A C B *=-，若{}1,1A =-，()(){}22320B x ax x x ax =+++=，若1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S . 则()C S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．57、已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( ) A ．1 B ．1- C ．0，1 D ．1-，0，18、已知集合{}2|1,M y y x x R ==-∈，集合2{|3}N x y x ==-，则MN =（ ）A ．{(2,1),(2,1)}-B ．{2,2,1}-C ．[1,3]-D ．∅9、已知集合}{10,3,2,1 =M ，A 是M 的子集，且A 中各元素和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个10、设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z =，且,,a b c T ∀∈，有,,,abc T x y z V ∈∀∈有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是（ ）A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11、若{}A x x a =>，{}6B x x =>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.12、50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 。
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(有答案解析)
一、选择题1．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞2．已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞5．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．07．若命题“∃x 0∈R ，x ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)8．已知p ：02x ≤≤，q ：2230x x --≥，则p 是q ⌝的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充分必要条件9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}11．已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知,a b →→为非零不共线向量，设条件:()M b a b →→→⊥-，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a x b a b →→→→-≥-恒成立，则M 是N 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为__________．14．若“条件α：24x ≤≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是________.15．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．17．已知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，记()(){}()(){},f A n f n A f B m f m B =∈=∈， 则()()f A f B ⋂=_________.18．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______． 19．设命题21:01x p x -<-，命题2:2110q x a x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+ （1）当3a =时，求A B ，()R A B ⋃；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．22．已知集合103x A xx +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，{}2(1)20B x x m x m =--+-≤∣．（1）若[,][1,4]A a b ⋃=-，求实数a ，b 满足的条件； （2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．23．已知集合{}30A x x a =->，{}260B x x x =-->． （Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ；（Ⅱ）若()RA B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．24．已知集合{}2|5140A x x x =--≤，{}|14B x x =-≤.（1）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围； （2）若{}|61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.25．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=． （1）若A 是空集，求实数a 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值． 26．已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】 因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<，当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<， 当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意， 当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意， 综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．D解析：D 【分析】从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【点睛】方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解； （2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解； （3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.3．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.5．B解析：B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．6．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.7．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到关于a 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<，则2(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-， 所以实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞，故选C.【点睛】本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．C解析：C 【分析】设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，根据集合之间的包含关系，即可求解.【详解】因为q ：2230x x --≥， 所以q ⌝：2230x x --<，设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，则(1,3)N =-， 所以M N ,所以p 是q ⌝的充分不必要条件， 故选：C 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，集合的真子集，考查了推理能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.11．C解析：C 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】条件M ：()b a b →→→⊥-20a b b ⇔⋅-=，条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220.x b a bx a b b -⋅+⋅-≥进而判断出结论．【详解】条件M ：0b a a b ⊥⇔⋅=．条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220x b a bx a b b -⋅+⋅-≥．因为20b ≠，()2224()420a b b a b b ∴=⋅-⋅-≤， 22()0a b b →→→∴⋅-≤，即20a b b →→→⋅-=，可知：由M 推出N ，反之也成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】集合A 中所有元素被选取了次可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果【详解】集合中所有元素被选取了次∴集合中所有3个元素的子集的元素和为故答案为【点睛】本题考查了集合的子集正整数平方和解析：(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++【分析】 集合A 中所有元素被选取了21n C -次，可得集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()222122123n n C -+++⋯+即可得结果.【详解】 集合{}22221,2,3,,A n =中所有元素被选取了21n C -次，∴集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()()()()()22222112121 12326n n n n n n C n ---+++++⋯+=⨯()()()()2112112n n n n n --++=， 故答案为(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++．【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．14．【分析】利用充分必要条件的定义问题转化为集合的包含关系根据不等式之间的关系即可得到结论【详解】设p 对应的集合为q 对应的集合为若p 是q 的充分条件则解得:实数m 的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查充 解析：(],4-∞-【分析】利用充分、必要条件的定义，问题转化为集合的包含关系，根据不等式之间的关系即可得到结论. 【详解】设p 对应的集合为A=[2,4),q 对应的集合为B=[3m-1,-m], 若p 是q 的充分条件, 则A B ⊆,313124m m m m -≥-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩, 1414m m m ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪≤-⎪⎩, 解得:4m ≤-.实数m 的取值范围为(,4]-∞-，故答案为(,4]-∞-. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及转化思想的应用，属于中档题.15．充分不必要【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案【详解】在等比数列中则由得即；反之由得即或当时等比数列中则是的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查等比数列的性质考解析：充分不必要 【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】在等比数列{}n a 中，10a >，则由12a a <，得11a a q <，即1q >，∴243115a a q a q a =<=；反之，由243115a a q a q a =<=，得21q >，即1q >或1q <-，当1q <-时，112a a q a >=．∴等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查等比数列的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．16．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B解析：4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．17．【分析】由题意求得所再根据集合的交集的运算即可求解【详解】由题意知集合所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算其中解答中正确求解集合是解答的关键着重考查了推理与运算能力属于基础题 解析：{}7,9,11【分析】由题意求得所(){}3,5,7,9,11f A =，(){}7,9,11,13,15f B =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，所以()(){}{}3,5,7,9,11f A n f n A =∈=，()(){}{}7,9,11,13,15f B m f m B =∈=， 所以()(){}7,9,11f A f B ⋂=. 故答案为：{}7,9,11. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 19．【详解】试题分析：由题意得解得所以由解得即要使得是的充分不必要条件则解得所以实数的取值范围是考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用分式不等式 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】 试题分析：由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由2:2110q x a x a a ，解得1a x a ≤≤+，即1q a x a ≤≤+:，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解．【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解,p q 的解集，再由p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤． 因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{|11A B x x =-或45}x ；(){}|15R AB x x =-；（2） (,1)-∞. 【分析】（1）3a =时求出集合A ，B ，再根据集合的运算性质计算A B 和()R A B ⋃； （2）根据AB =∅，讨论A =∅和A ≠∅时a 的取值范围，从而得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）当3a =时，{|22}{|15}A x a x a x x =-+=-， 2{|540}{|1B x x x x x =-+=或4}x ，{|11A B x x =-或45}x ；又{|14}R B x x =<<，(){}|15R A B x x =-；（2）A B =∅，当22a a ->+，即0a <时，A =∅，满足题意；当0a 时，应满足2124a a ->⎧⎨+<⎩，此时得01a <； 综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞．【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题． 22．（1）4b =，13a -≤<;（2）15m ≤<.【分析】（1）直接利用并集结果可得4b =，13a -≤<;（2）根据A B A ⋃=可得B A ⊆，再对集合B 的解集情况进行分类讨论，即可得答案；【详解】解：（1）10{13}3x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭∣∣；[,][1,4]A a b ⋃=-， ∴4b =，13a -≤<;（2）{}2(1)20{|(1)((2))0}B x x m x m x x x m =--+-≤=---≤∣,A B A ⋃= B A ∴⊆∴分情况讨论①21m -<，即3m <时2121m m -≥-⎧⎨-<⎩得13m ≤<； ②若21m -=，即3m =，B 中只有一个元素1符合题意；③若21m ->，即3m >时2321m m -<⎧⎨->⎩得35m <<，∴35m << ∴综上15m ≤<．【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况. 23．（Ⅰ）{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞.【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解；（Ⅱ）求出A 与B R ，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围． 【详解】由30x a ->得3a x >，所以3a A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 由260x x -->，得()()230x x +->，解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >．（Ⅰ）当3a =时，{}1A x x =>， 所以{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >（Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >， 所以{}23B x x =-≤≤R ．又因为()R A B ⋂≠∅，所以33a <，解得9a <． 所以实数a 的取值范围是(),9-∞．【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．24．（1）3m ≤；（2）m 1≥. 【分析】（1）先求出A B ，再根据包含关系可得关于m 的不等式组，从而求实数m 的取值范围，注意对C 是否为空集分类讨论； （2）先求出AB ，再根据()A B D =∅得到关于m 的不等式，从而求实数m 的取值范围.【详解】（1）{}|27A x x =-≤≤，{}|35B x x =-≤≤，{}|25A B x x =-≤≤，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，∴23m ≤≤，综上3m ≤.（2）{}|37A B x x ⋃=-≤≤，∴617m +≥，∴m 1≥.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.25．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =或98a =【分析】（1）A 是空集，即2320ax x -+=无解，计算得到答案.（2）考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】（1）∵A 是空集，∴()20380a a ≠⎧⎪⎨--<⎪⎩，即98a >，∴实数a 的取值范围9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵A 中只有一个元素，∴0a =或()20380a a ≠⎧⎪⎨--=⎪⎩即：0a =或98a =. 【点睛】本题考查了根据空集和集合中元素个数求参数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.26．（1）()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞；（2）(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合A 和B ；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，解不等式组，进而得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）集合{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭， 因1a ≤，则32a a ≤+，所以集合()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a =---≤=<或}2x a >+.即集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞.（2）由（1）知，集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以131a a ≤⎧⎨≥⎩或120a a ≤⎧⎨+≤⎩，解得113a ≤≤或2a ≤-， 故实数a 的取值范围为(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.。
集合与常用逻辑用语单元综合检测(试卷)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.6第一单元：集合与常用逻辑用语单元综合检测一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合M 满足{}1,2,3U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4MÎD ．5M∉【答案】C【分析】由条件求出集合M ，进而求解.【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3U M =ð，所以{}4,5M =.故选：C.2．设Z,x A ∈是奇数集，B 是偶数集，则“2x A x B ∀∈∈，”的否定是（）A ．2x A xB ∀∈∉，B ．2x A x B ∀∉∉，C ．2x A x B ∃∉∈，D ．2x A x B ∃∈∉，【答案】D【分析】根据全称命题的否定，即可判断出答案.【详解】由题意知命题“2x A x B ∀∈∈，”为全称命题，其否定为特称命题，即2x A x B ∃∈∉，，故选：D3．已知集合{}33A x x =-≤<，{}1B x x =≥，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}3x x ≥-B ．{}1x x ≥C ．{}13x x ≤<D ．{}31x x -≤<【答案】D【分析】根据集合交集，补集运算解决即可.【详解】由题知，集合{}33A x x =-≤<，{}1B x x =≥，所以{}R 1B x x =<ð，所以(){}R 31A B x x ⋂=-≤<ð，故选：D4．已知p ：存在一个平面多边形的内角和是540°，则（）A ．p 为真命题，且p 的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°B ．p 为真命题，且p 的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°C ．p 为假命题，且p 的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°D ．p 为假命题，且p 的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°【答案】A【分析】举例说明判断命题p 的真假，再利用存在量词命题的否定方法判断p 的否定作答.【详解】平面五边形的内角和为(52)180540-⨯= ，因此命题p 是真命题，CD 错误；又命题p 是存在量词命题，其否定为全称量词命题，因此p 的否定是：所有平面多边形的内角和都不是540°，B 错误，A 正确.故选：A5．已知集合{}|23M x x =-<≤，{}N x x m =≥，若M N M ⋂=，则m 的取值范围是（）A ．[]2,3-B ．(]2,3-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-【答案】D【分析】根据交集的知识求得m 的取值范围.【详解】依题意，集合{}|23M x x =-<≤，{}N x x m =≥，由于M N M ⋂=，所以2m ≤-，所以m 的取值范围是(],2-∞-.故选：D6．已知集合{A x y ==，{}B x x a =≥，若A B ⊆，则a 的取值范围为（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】A【分析】先根据定义域求出{}2A x x =≥，由A B ⊆得到a 的取值范围.【详解】由题意得20x -≥，解得2x ≥，故{}2A x x =≥，因为A B ⊆，所以2a ≤.故选：A 7．设命题p ：14m ≥，命题q ：一元二次方程20x x m ++=有实数解．则p ⌝是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求命题q 为真时m 的范围，结合条件的定义进行求解.【详解】因为命题1:4p m ≥，命题:q 一元二次方程20x x m ++=有实数解．等价于140m -≥，即14m ≤；因此可知，则p ⌝：14m <是1:4q m ≤的充分不必要条件.故选：A.8．设集合A 、B 、C 均为非空集合，下列命题中为真命题的是（）A ．若AB BC ⋂=⋂，则A C =B ．若A B B C ⋃=⋃，则A C =C ．若A B B C ⋃=⋂，则C B ⊆D ．若A B B C = ，则C B⊆【答案】D【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC ，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.【详解】对于A ，A B B C ⋂=⋂，当{}{}{}1,2,1,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则A 错误；对于B,A B B C ⋃=⋃，当{}{}{}1,2,3,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则B 错误；对于C ，A B B C ⋃=⋂，当{}{}{}1,1,2,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则C 错误；对于D ，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，又B B C ⊆ ，所以B B C = ，则C B ⊆，则D 正确.故选：D二、多选题9．若集合{}1,1,3,5M =-，集合{}3,1,5N =-，则正确的是（）A ．{}1,5M N =B ．(){}Z 1,3M N ⋂=-ðC ．,x N x M ∀∉∉D ．,x N x M∃∈∈【答案】AD【分析】利用集合的交并补运算和对元素是否属于集合的判断即可得到答案.【详解】因为集合{}1,1,3,5M =-，集合{}3,1,5N =-，对A ，{}1,5,M N ⋂=A 正确；对B ，(){}Z 3,M N ⋂=-ðB 不正确；对C ，1N -∉，但1,M -∈C 不正确；对D ，1N ∈，且1,M ∈D 正确.故选：AD.10．在下列所示电路图中，下列说法正确的是（）A ．如图①所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的充分不必要条件B ．如图②所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件C ．如图③所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的充要条件D ．如图④所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件【答案】ABC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】对于选项A ，由图①可得，开关1L 闭合，灯泡M 亮；而灯泡M 亮时，开关1L 不一定闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的充分不必要条件，选项A 正确.对于选项B ，由图②可得，开关1L 闭合，灯泡M 不一定亮；而灯泡M 亮时，开关1L 必须闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件，选项B 正确.对于选项C ，由图③可得，开关1L 闭合，灯泡M 亮；而灯泡M 亮时，开关1L 必须闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的充要条件，选项C 正确.对于选项D ，由图④可得，开关1L 闭合，灯泡M 不一定亮；而灯泡M 亮时，开关1L 不一定闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的既不充分也不必要条件，选项D 错误.故选：ABC.11．取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1,[3.9]3,[1.5]2==-=-，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（）A ．,[2]2[]x R x x ∀∈=B ．,[2]2[]x R x x ∃∈=C ．,,[][],x y R x y ∀∈=则1x y -<D ．,,[][][]x y R x y x y ∀∈+≤+【答案】BC【分析】根据取整函数的定义，ABD 举列判断，C 根据定义给予证明．【详解】 1.5x =时，[2][3]3x ==，但2[]2[1.5]212x ==⨯=，A 错；2x =时，[2][4]42[2]2[]x x ====，B 正确；设[][]x y k Z ==∈，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，∴1x y -<，C 正确；0.5,0.6x y ==，则[][]0x y +=，但[][1.1]1x y +==[][]x y >+，D 错．故选：BC ．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假判断，考查新定义函数取整函数，对于全称命题与存在命题的真假判断，要根据量词进行判断是进行证明还是可举例判断．12．给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，以下结论正确的是（）A ．集合{}0A ＝为闭集合；B ．集合{}42024A =--,，，，为闭集合；C ．集合{}3|A n n k k =∈Z ＝，为闭集合；D ．若集合12A A 、为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．【答案】AC,分别判断a b A +∈,且a b A -∈是否满足即可得到结论.【详解】对于A ：按照闭集合的定义，000,000,0.A +=-=∈故A 正确;对于B ：当4,2a b =-=-时,()()426a b A +=-+-=-∉.故{}42024A =--,，，，不是闭集合.故B 错误;对于C ：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故{}3|A n n k k =∈Z ＝，是闭集合.故C 正确;对于D ：假设{}1|3,Z A n n k k ==∈,{}2|5,Z A n n k k ==∈.不妨取123,5A A ∈∈,但是,12358A A +=∉⋃,则12A A ⋃不是闭集合.故D 错误.故选：AC三、填空题13．已知{}{}{}()3,4,7,(5,26),U U A B A B B A === 痧，{}*()()|10,N ,6U U A B x x x x =<∈≠ 痧，则()U A B ⋃=ð__________.【答案】{}1,8,9【分析】由题意可画出Venn 图，即可求得答案.【详解】由题意,{}*()()|10,N ,6{1,2,3,4,5,7,8,9}U U A B x x x x =<∈≠= 痧,故画Venn 图如图:即得{}()1,8,9U A B = ð，故答案为：{}1,8,914．向某50名学生调查对A ，B 两事件的态度，其中有30人赞成A ，其余20人不赞成A ；有33人赞成B ，其余17人不赞成B ；且对A ，B 都不赞成的学生人数比对A ，B 都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A ，B 都赞成的学生人数为__________．【答案】21Venn 图列出方程求解作答.【详解】记赞成A 的学生组成集合A ，赞成B 的学生组成集合B ，50名学生组成全集U ，则集合A 有30个元素，集合B 有33个元素.设对A ，B 都赞成的学生人数为x ，则集合()U A B ð的元素个数为13x+，如图，由Venn 图可知，(30)(33)1503x x x x ⎛⎫-+-+++= ⎪⎝⎭，即21403x -=，解得21x =，所以对A ，B 都赞成的学生有21人.故答案为：21.15．已知集合(){}21320A x m x x =-+-=恰有两个非空真子集，则m 的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m 的值）【答案】2（答案不唯一）【分析】先根据题意得集合A 中所含元素个数，再通过二次方程0∆>得答案.【详解】集合(){}21320A x m x x =-+-=恰有两个非空真子集,则集合A 中含有2个元素，即方程()21320m x x -+-=由2个不等实根，()10Δ9810m m -≠⎧∴⎨=+->⎩，解得18m >-且1m ≠.故答案为：2（答案不唯一）.16．下面六个关系式：①{}a ∅⊆；②{}a a ⊆；③{}{}a a ⊆；④{}{,}a a b ∈；⑤{,,}a a b c ∈；⑥{,}a b ∅∈，其中正确的是__．【答案】①③⑤【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系判断即可.【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；由元素与集合的关系可知，{},{,,}a a a a b c ∈∈，故②错误，⑤正确；由集合与集合的关系可知，{}{},{}{,},{,}a a a a b a b ⊆⊆∅⊆，故③正确，④⑥错误；故答案为：①③⑤四、解答题17．已知全集{}N 16U x x =∈≤≤，集合{}2680A x x x =-+=，{}3,4,5,6B =.(1)求A B ⋃，A B ⋂；(2)求()U A B I ð，并写出它的所有子集.【答案】(1){2,3,4,5,6}A B = ，{4}A B ⋂=；(2)(){3,5,6}U A B ⋂=ð，对应所有子集见解析.【分析】（1）解一元二次方程求集合A ，应用集合的交、并运算求A B ⋃、A B ⋂；（2）应用交补运算可得(){3,5,6}U A B ⋂=ð，进而写出所有子集.【详解】（1）由题设{1,2,3,4,5,6}U =，{2,4}A =，{}3,4,5,6B =，所以{2,3,4,5,6}A B = ，{4}A B ⋂=.（2）由（1）知：{1,3,5,6}U A =ð，则(){3,5,6}U A B ⋂=ð，对应子集有∅，{3},{5},{6},{3,5},{3,6},{5,6},{3,5,6}.18．已知全集U =R ，集合{}221,20|}|3{A x x B x x x =-≤<=--<．(1)求A B ⋃；(2)如图阴影部分所表示的集合M 可以是（把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合M ；．①()U B A ⋂ð②()U B A ⋃ð③()U A B ∩ð④()U A B ⋃ð【答案】(1){|23}x x -≤<(2)③;{|21}x x -≤≤-【分析】（1）根据集合的并集运算求解；（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合M 为()U A B ∩ð，再根据集合的交集与补集求解即可.【详解】（1）因为{}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<，2{}1|,A x x =-≤<所以{|3}2,A B x x ⋃=-≤<（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合M 为③：()U A B ∩ð，{|1U B x x =≤-ð或3}x ≥，所以(){|}21U A B x x =-≤≤-∩ð.19．已知集合{}123A x a x a =-≤≤+,{}24B x x =-≤≤,全集U =R ．(1)当2a =时,求()()U U A B ⋂痧;(2)若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．【答案】(1){2x x <-或7}x >(2)4a <-或112a -≤≤【分析】(1)将2a =代入,求出集合,U UA B 痧,再根据集合的交集运算即可;(2)x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件即A 是B 的真子集,分A =∅,A ≠∅两种情况讨论即可.【详解】（1）解:由题知,当2a =时,{}17A x x =≤≤,所以{1U A x x =<ð或7}x >,因为{}24B x x =-≤≤,所以{2U B x x =<-ð或4}x >,所以()(){2U U A B x x ⋂=<-痧或7}x >;（2）由题知x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件,故A 是B 的真子集,①当A =∅时,123a a ->+,解得4a <-,②当A ≠∅时,即12234123a a a a -≥-⎧⎪+<⎨⎪-≤+⎩或12234123a a a a ->-⎧⎪+≤⎨⎪-≤+⎩,解得:112a -≤<或112a -<≤,综上:4a <-或112a -≤≤.20．设集合{}(){}22220,|41410A x x x B x x a x a =+==+++-=∣.(1)若A B B ⋃=，求a 的值；(2)若A B B = ，求a 的取值范围.【答案】(1)12a =-(2)51,82⎛⎫⎧⎫-∞-⋃-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭【分析】（1）结合A B B ⋃=以及根与系数关系来求得a 的值；（2）根据A B B = ，结合判别式进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）()2220x x x x +=+=，解得10x =或22x =-，所以{}0,2A =-.对于一元二次方程()2241410x a x a +++-=，至多有2个不相等的实数根，由于A B B ⋃=，故{}0,2B A ==-，由根与系数关系得()2204120410a a ⎧-+=-+⎨-⨯=-=⎩，解得12a =-（2）对于一元二次方程()2241410x a x a +++-=，()()221614413220a a a ∆=+--=+，当Δ0<，即58a <-时，B =∅，满足A B B = .当Δ0=，即58a =-时，()2222393414102164x a x a x x x ⎛⎫+++-=++=+= ⎪⎝⎭，解得34x =-，则34B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，A B B ≠I ，不符合题意.当0∆>，即58a >-时，一元二次方程()2241410x a x a +++-=有两个不相等的实数根，由于A B B = ，所以{}0,2B A ==-，由（1）得12a =-.综上所述，a 的取值范围是51,82⎛⎫⎧⎫-∞-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.21．在①A B A = ，②()R A B A = ð，③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--<．(1)当2a =时，求A B ⋃；(2)若___________，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}27A B x x ⋃=-<<(2)见解析【分析】（1）可得出{}24B x x =-<<，2a =时，得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）若选条件①，可得出A B ⊆，然后讨论A 是否为空集：A =∅时，得出123a a -≥+；A ≠∅时，得出12312234a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，然后解出a 的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出a 的取值范围．【详解】（1）2a =时，{}17A x x =<<，{}24B x x =-<<，∴{}27A B x x ⋃=-<<；（2）若选择①A B A = ，则A B ⊆，A =∅时，123a a -≥+，解得4a ≤-；A ≠∅时，412234a a a >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得：112a -≤≤；综上知，实数a 的取值范围是(]1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦；若选择②()R A B A = ð，则R A B ⊆ð的子集，][()R ,24,B =-∞-+∞ð，A =∅时，123a a -≥+，解得4a ≤-；A ≠∅时，4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩，解得：542a -<≤-或5a ≥综上所述，a 的取值范围是：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎝⎦ ；若选择③A B ⋂=∅，则：A =∅时，123a a -≥+，解得4a ≤-；A ≠∅时，4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或者414a a >-⎧⎨-≥⎩解得：542a -<≤-或5a ≥综上知，实数a 的取值范围是：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．22．已知集合{}310A x x =-≤≤，{}2132B x m x m =+≤≤-，且B ≠∅．(1)若命题p ：“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q ：“x A ∃∈，x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】(1)34m ≤≤(2)392m ≤≤【分析】（1）由命题p ：“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，可知B A ⊆，根据子集的含义解决问题；（2）命题q ：“x A ∃∈，x B ∈”是真命题，所以A B ⋂≠∅，通过关系解决.（1）由命题p ：“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，可知B A ⊆，又B ≠∅，所以21322133210m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得34m ≤≤．（2）因为B ≠∅，所以2132m m +≤-，得3m ≥．因为命题q ：“x A ∃∈，x B ∈”是真命题，所以A B ⋂≠∅，所以32110m -≤+≤，或33210m -≤-≤，得922m -≤≤．综上，392m ≤≤．。
第一章集合与常用逻辑用语单元检测附答案
第一章集合与常用逻辑用语单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )．A ．真命题与假命题的个数相同B ．真命题的个数一定是奇数C ．真命题的个数一定是偶数D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N 等于( )．A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,2}3．(2011福建高考，理2)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．命题“存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0”的否定是( )．A ．存在x ∈R ，x 2－3x ＋4＜0B ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4＞0C ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≥0D ．任意的x ∈R ，x 2－3x ＋4≤05．集合P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )．A ．{(1，－2)}B ．{(－13，－23)}C ．{(1,2)}D ．{(－23，－13)}6．对任意两个集合M ，N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M △N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －31－x <0，N ＝{x |y ＝2－x }，则M △N ＝( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1≤x ＜2，或x ＞3}D ．{x |1≤x ≤2，或x ＞3}7．已知全集U 为实数集R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0，N ＝{x ||x |≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )．A ．[－1,1]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)8．下列判断正确的是( )．A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“任意的x ∈N ，x 3＞x 2”的否定是“存在x ∈N ，x 3＜x 2”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件9．(2011陕西高考，文8)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎪⎪⎪⎪x i <1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )． A ．(0,1) B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]10．设命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，若命题p ，q 有且仅有一个为真，则c 的取值范围为( )．A ．B ．(－∞，－1)C ．[－1，＋∞)D ．R二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(∁U C )＝__________.12．(2011浙江温州模拟)已知条件p ：a ＜0，条件q ：a 2＞a ，则p 是q 的__________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)13．若命题“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为__________．14．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是__________．(把你认为是正确命题的序号都填在横线上)15．已知命题p ：不等式x x －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)(1)设全集I 是实数集，则M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝212{|22}x x x ＋＝，求(∁I M )∩N .(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |(x ＋1)(x －1)＞0}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，求A ∪(∁U B )．17．(12分)已知p ：－2≤1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若“非p ”是“非q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．(12分)(2011福建四地六校联合考试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．20．(13分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．21．(14分)已知三个不等式：①|2x －4|＜5－x ；②x ＋2x 2－3x ＋2≥1；③2x 2＋mx －1＜0.若同时满足①和②的x 值也满足③，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数． 2．D 解析：集合N ＝{0,2,4}，所以M ∩N ＝{0,2}．3．A 解析：由(a －1)(a －2)＝0，得a ＝1或a ＝2，所以a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0.而由(a －1)(a －2)＝0不一定推出a ＝2，故a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分而不必要条件．4．D 解析：含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否定．5．B 解析：a ＝(m －1,2m ＋1)，b ＝(2n ＋1，3n －2)，令a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2n ＋1，2m ＋1＝3n －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)，故选B.6．D 解析：∵M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，N ＝{x |x ≤2}，∴M －N ＝{x |x ＞3}，N －M ＝{x |1≤x ≤2}，∴M △N ＝{x |1≤x ≤2，或x ＞3}．7．D 解析：∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋3x －1<0＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝{x |－3＜x ＜－1}，故选D.8．D 解析：依据各种命题的定义，可以判断A ，B ，C 全为假，由b ＝0，可以判断f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，反之亦成立． 9．C 解析：∵y ＝22|cos sin |x x －＝|cos 2x |，x ∈R ，∴y ∈[0,1]，∴M ＝[0,1]．∵⎪⎪⎪⎪x i ＜1，∴|x |＜1.∴－1＜x ＜1.∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．10．D 解析：本题考查根据命题的真假求参数的取值范围．若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c ＞0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c ＜0，解得c ＜－1；若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.当p 为真，q 为假时，有c ＜－1；当p 为假，q 为真时，有c ≥－1.综上，当命题p ，q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D.二、填空题11．{2,5} 解析：∵A ∪B ＝{2,3,4,5}，∁U C ＝{1,2,5}，∴(A ∪B )∩(∁U C )＝{2,5}．12．必要不充分 解析：p 为：a ≥0，q 为a 2≤a ，a 2≤a ⇔a (a －1)≤0⇔0≤a ≤1， ∴p q ，而q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．13．[－4,0] 解析：∵“存在x ∈R ，x 2－ax －a ＜0”为假命题，则“对任意的x ∈R ，x 2－ax －a ≥0”为真命题，∴Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a ≤0.14．②③⑤ 解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >1⇒m ＞1.故⑤正确． 15．①③ 解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sinB ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．三、解答题16．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁I M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，B ＝{x |－1≤x ＜0}，∴∁U B ＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．∴A ∪(∁U B )＝{x |x ＜－1，或x ≥0}．17．解：由p ：－2≤1－x －13≤2， 解得－2≤x ≤10，∴“非p ”：A ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴“非q ”：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由“非p ”是“非q ”的充分不必要条件得A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0＜m ≤3.∴满足条件的m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．18．证明：必要性：∵a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝0，必要性得证．充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝22b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3b 24≠0， ∴a ＋b ＝1，充分性得证．综上可知，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.19．解：由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．解：(1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，为真命题． 用反证法证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．(2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0，为真命题． ∵原命题⇔它的逆否命题，∴证明原命题为真命题即可．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴逆否命题为真．21．解：设不等式|2x －4|＜5－x ，x ＋2x 2－3x ＋2≥1， 2x 2＋mx －1＜0的解集分别为A ，B ，C ，则由|2x －4|＜5－x 得，当x ≥2时，不等式化为2x －4＜5－x ，得x ＜3，所以有2≤x ＜3. 当x ＜2时，不等式化为4－2x ＜5－x ，得x ＞－1，所以有－1＜x ＜2，故A ＝(－1,3)．x ＋2x 2－3x ＋2≥1⇔x ＋2x 2－3x ＋2－1≥0⇔－x 2＋4x x 2－3x ＋2≥0⇔x (x －4)(x －1)(x －2)≤0⇔0≤x ＜1或2＜x ≤4， 即B ＝[0,1)∪(2,4]．若同时满足①②的x 值也满足③，则有A ∩B ⊆C .设f (x )＝2x 2＋mx －1，则由于A ∩B ＝[0,1)∪(2,3)，故结合二次函数的图像，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，18＋3m －1≤0⇒m ≤－173.。
人教A版数学必修一第一章集合与常用逻辑用语 单元测试(含答案)
人教A版数学必修一第一章一、单选题1．设集合A={x|x2―4x+3≤0}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．集合A={x∈N|―1<x<3}的真子集的个数为（ ）A．3B．4C．7D．83．下列式子中，不正确的是( )A．3∈{x|x≤4}B．{―3}∩R={―3}C．{0}∪∅=∅D．{―1}⊆{x|x<0} 4．已知集合M={1，4，2x}，N={1，x2}，若N⊆M，则实数x=（ ）A．-2或2B．0或2C．-2或0D．-2或0或25．下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（ ）A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．2a＞2b6．在平面直角坐标系xOy中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M P，N p．所有点M P构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x(Ω)；所有点N P构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y(Ω)．给出以下命题：①x(Ω)的最大值为2：②x(Ω)+y(Ω)的取值范围是[2，22]；③x(Ω)―y(Ω)恒等于0．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③7．已知M={(x，y)|y―3x―2=3}，N={(x，y)|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（ ）A．-6或-2B．-6C．2或-6D．-28．设集合A={x|(x+2)(x―3)⩽0}，B={a}，若A∪B=A，则a的最大值为（ ）A．－2B．2C．3D．4二、多选题9．已知命题p：关于x的不等式2x―1≥0，命题q：a<x<a+1，若p是q的必要非充分条件，则实数a 的取值可以为（ ）A．a≥0B．a≥1C．a≥2D．a≥310．已知集合M={x∣x=kπ4+π4,k∈Z}，集合N={x∣x=kπ8―π4,k∈Z}，则（ ）A．M∩N≠ϕB．M⊆N C．N⊆M D．M∪N=M11．已知正实数m，n满足9n2―24n+17―4m2+1=2m+3n―4，若方程1m +1n=t有解，则实数t的值可以为（ ）A．5+264B．2+32C．1D．11412．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）A．M={x∈Q|x<2}，N={x∈Q|x≥2}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素D．M有一个最大元素，N有一个最小元素三、填空题13．已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|<1}，则A∩B＝ .14．设集合M={x|a1x2+b1x+c1=0}，N={x|a2x2+b2x+c2=0}，则方程a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2=0的解集用集合M、N可表示为 .15．若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{ a i1，a i2，… a in}（m∈N*）为M的第k个子集，其中k= 2i1―1+ 2i2―1+…+ 2i n―1，则M的第25个子集是 16．记关于x的方程a x2―2ax+1=0在区间(0，3]上的解集为A，若A有2个不同的子集，则实数a的取值范围为 .四、解答题17．已知集合M={x|―2<x<4}，N={x|x+a―1>0}．（1）若M∪N={x|x>―2}，求实数a的取值范围；（2）若x∈N的充分不必要条件是x∈M，求实数a的取值范围．18．已知命题p：∀x∈R，|x|+x≥0；q：关于x的方程x2+mx+1=0有实数根．（1）写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假；（2）若命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．19．设全集为R，集合A={x|x2―7x―8>0}，B={x|a+1<x<2a―3}.（1）若a=6，求A∩∁R B；（2）在①A∪B=A；②A∩B=B；③(∁R A)∩B=∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.20．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．（Ⅰ）当m＝－3时，求( ∁R A)∩B；（Ⅱ）当A∩B＝B时，求实数m的取值范围．21．已知集合A={―1,1}，B={x|x2―2ax+b=0}，若B≠∅，且A∪B=A求实数a,b的值。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若a 、b 是两个单位向量，其夹角是θ，则“32ππθ<<”是“1a b ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．"tan 1"α=是""4πα=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}{}2|13,|4,P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥ 则()R P Q ⋃=A ．[2,3]B ．（ -2,3 ]C ．[1,2）D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞8．“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,2a ∈10．“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为22”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“3sin 2x =”的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 12．不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为（ ） A ．–11a ≤≤B ．–11a ≤<C ．–11a <<D ．11a -<≤二、填空题13．命题“2000,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 .14．已知互异复数120z z ≠，集合{}{}221212,,z z z z =，则12z z +=__________．15．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 16．已知数集{}{},,,1,2,3,4a b c d =，且有下列说法：①1a =；②2>c ；③4d ≠，则满足(),,,a b c d 的数值有________组. 17．定义全集的子集的特征函数为，这里表示在全集中的补集，那么对于集合，下列所有正确说法的序号是 ．（1）（2）()1()U A A f x f x =- （3）()()()A B A B f x f x f x ⋃=+ （4）()()()A B A B f x f x f x ⋂=⋅18．已知命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>是真命题，则实数m 的取值范围为__________ 19．函数，若恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是 ． 20．集合{}*110,,S x x x N n N=≤≤∈∈共有120个三元子集()1,2,...,120iA i =，若将i A 的三个元素之和记为()1,2,...,120i a i =，则12120...a a a +++=______.三、解答题21．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+． （1）当3a =时，求A 和()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．22．设全集U =R ，已知集合{|25},{|28},{|121}A x x B x x C x a x a =-≤≤=<<=+<<-．（1）求(),UA B A B ⋃⋂；（2）若AC C =，求a 的取值范围．23．知2:8150p x x -+≤，(): q xx a a -+-≤>222100.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．已知2:7100p x x -+≤，22:430q x mx m -+≤，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()f x =A ，()()()lg 12(1)g x x a a x a ⎡⎤=---<⎣⎦的定义域为B .（1）求A .（2）记2222222040/2/22300B A AB v v a m s m s S --===-⨯ :q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．26．已知集合{}2650A x x x =+->，集合()(){}110B x x a x a =-+-->，其中0a >.（1）若2a =，求()RAB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈.若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac+-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立；必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立， 综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件， 故选：C . 【点睛】方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.2．D解析：D 【分析】根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ⨯+⨯-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期2T πω=，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.3．A解析：A 【分析】求出1a b ->时θ的范围，然后由充分必要条件的定义判断． 【详解】由题意222()222cos a b a b a a b b θ-=-=-⋅+=-，22cos 1θ->，则1cos 2θ<，∴,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 因此32ππθ<<时，满足,3πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，但,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时不一定满足32ππθ<<．应为充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，实际上可以根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．4．B解析：B 【解析】 由"tan 1"α=，得，而""4πα=得"tan 1"α=，所以"tan 1"α=是""4πα=的必要非充分条件. 故选B5．B解析：B 【详解】 试题分析：12log (2)0x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.6．D解析：D 【详解】 若2παβ==则tan ,tan αβ不存在，若tan tan αβ=，可得k απβ=+，故选D7．B解析：B【解析】有由题意可得：{}|22R C Q x x =-<< ， 则()RP Q ⋃= ( -2,3 ] .本题选择B 选项.8．A解析：A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的方程即可判定. 【详解】因为当3k >时，30k ->，30k +>，方程22133x y k k -=-+表示双曲线；当方程22133x y k k -=-+表示双曲线时，(3)(3)0k k -+>，即3k >或3k <-，不能推出3k >，所以“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，双曲线的标准方程，属于中档题.9．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.10．A解析：A 【分析】椭圆2214x y m +=离心率为2，可得：4m >2=04m <<时，=，解得m 即可判断出结论． 【详解】椭圆2214x y m +=离心率为2，可得：4m >2=，8m ∴=；04m <<=，2m ∴=总之8m =或2．∴“8m =”是“椭圆2214x y m +=离心率为2”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确；对于B ，当3x π=时， sin 2x =成立，所以“3x π=”是“sin 2x =”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.12．D解析：D【分析】求解一元二次不等式可得220x x --<的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解即可. 【详解】由不等式220x x --<，得12x -<<，∵不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，∴()2,1a a +⫋()12-，， 则221112a a a a ⎧<+⎪≥-⎨⎪+≤⎩且1a ≥-与212a +≤的等号不同时成立，解得11a -<≤， ∴a 的取值范围为11a -<≤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意可得命题:为真命题所以解得考点：命题的真假解析：a -≤≤【解析】试题分析：由题意可得命题:x R ∀∈,22390x ax -+≥为真命题. 所以()234290a ∆=--⨯⨯≤,解得a -≤≤ 考点：命题的真假.14．【分析】根据集合相等可得或可解出【详解】①或②由①得（舍）由②两边相减得故答案为【点睛】本题主要考查了集合相等集合中元素的互异性复数的运算属于中档题 解析：1-【分析】根据集合相等可得211222z z z z ⎧=⎨=⎩或212221z z z z ⎧=⎨=⎩，可解出12z z +. 【详解】{}{}221212,,z z z z =，211222z z z z ⎧=∴⎨=⎩①或212221z z z z ⎧=⎨=⎩②. 120z z ≠，∴由①得121z z ==（舍），由②两边相减得，221212z z z z -=-121z z ⇒+=-，故答案为121z z +=-. 【点睛】本题主要考查了集合相等，集合中元素的互异性，复数的运算，属于中档题.15．【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式若 解析：()1,2-【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B 的结果.【详解】因为12x -<，所以13x ，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2AB =-.故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.16．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分 解析：3【分析】列举出符合条件的数组(),,,a b c d 即可. 【详解】1a =，2>c ，4d ≠，则c 的取值可以是3或4.①3c =时，4b =，2d =，即数组为()1,4,3,2；②4c =时，则2b =，3d =或3b =，2d =，即数组为()1,2,4,3和()1,3,4,2. 因此，符合题中条件的数组(),,,a b c d 有3组，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.17．（1）（2）（4）【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B 分类讨论：①当则此时②当且即此时③当且即时此时综合有故（1）正确；（2）故（2）正确；故（3）不正确；故（4）正确；考点：集合的交并补运算解析：（1）（2）（4） 【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B ，分类讨论： ①当，则，此时，②当，且，即,此时，③当，且，即时，，，此时，综合有，故（1）正确；（2），故（2）正确；1,()()()0,()A B A B U x A B f x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩，故（3）不正确；，故（4）正确； 考点：集合的交并补运算18．【解析】【分析】因为命题：是真命题可得即可求得答案【详解】命题：是真命题解得则实数的取值范围为故答案为【点睛】这是一道关于命题的真假判断与应用的题目关键是根据已知命题为真命题构造关于的不等式是解题的 解析：[2,2]-【解析】 【分析】因为命题q ：210x R x mx ∀∈++>，，是真命题，可得240m =-<即可求得答案【详解】命题q ：210x R x mx ∀∈++>，，是真命题240m ∴=-<，解得22m -<<则实数m 的取值范围为()22-， 故答案为()22-，【点睛】这是一道关于命题的真假判断与应用的题目，关键是根据已知命题为真命题，构造关于m 的不等式是解题的关键19．1＜＜4【详解】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立即当时恒成立即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为要使得需要满足化简求解得1＜＜4考点：必要条件充分条件与充要条件的判断 解析：1＜a ＜4【详解】 试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当时，恒成立，即恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为，要使得，需要满足，化简求解得1＜a ＜4．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 20．1980【分析】根据题意将所有元素在子集中的个数算出然后再求和即可【详解】因为集合所以含元素1的子集有同理含2345678910的子集也各有所以故答案为：1980【点睛】本题主要考查集合的新定义以及解析：1980【分析】根据题意，将所有元素在子集中的个数算出，然后再求和即可.【详解】 因为集合{}{}*110,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10S x x x N n N=≤≤∈∈=， 所以含元素1的子集有29C ,同理含2，3，4，5，6，7，8，9，10的子集也各有29C ，所以2121209...(123...10)a a a C +++=++++⨯，()1011098198022+⨯=⨯=. 故答案为：1980【点睛】 本题主要考查集合的新定义以及组合问题，还考查了分析推理的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37R A B x x ⋃=-≤≤；（2）2a <-或6a >.【分析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ； (2)由题意知B A ，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >， 则{}|34R A x x =-≤≤，所以(){}{}{}|34|17|37R A B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ， 当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩， 解得：32a -≤<-或6a >；综上所得：2a <-或6a >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含． 22．（1）[2,8),[2,2]--；（2）23a <≤.【分析】（1）求出{|2U B x x =≤或8}x ，即得解；（2）对a 分2a ≤、2a >两种情况讨论，列不等式组得解.【详解】（1）[2,8)A B ⋃=-；{|2U B x x =≤或8}x ， 所以()[2,2]U A B ⋂=-.（2）当121a a +≥-即2a ≤时，C =∅，满足A C C =；当121a a +<-即2a >时，因为AC C =， 所以C A ⊆,所以212,215a a a >⎧⎪+≥-∴⎨⎪-≤⎩23a <≤. 【点睛】易错点睛：本题容易漏掉一种情况，即C =∅情况，出现错解.解答集合的关系运算的问题，千万不要忘记了，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，否则容易出现错解.23．（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）[)4,+∞.【分析】（Ⅰ）解不等式28150x x -+≤即得；（Ⅱ）再求出不等式()222 x x a a -+-≤>100的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论．【详解】（Ⅰ）若p 为真命题，解不等式28150x x -+≤得35x ≤≤，实数x 的取值范围是[]3,5.（Ⅱ）解不等式()222 x x a a -+-≤>100得11a x a -≤≤+， p 为q 成立的充分不必要条件，[]3,5∴是[]1,1a a -+的真子集.1315a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时取到，得4a ≥. ∴实数a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）[]4,5；（2）5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用p q ∧为真，求解x 的取值范围． （2）依题意可得p q ⇒，q p ≠>，所以p q ，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由27100x x -+≤，解得25x ≤≤，所以:25p x ≤≤又22430x mx m -+≤，因为0m >，解得3m x m ≤≤，所以:3q m x m ≤≤．当4m =时，:412q x ≤≤，又p q ∧为真，p ，q 都为真，所以45x ≤≤．即[]4,5x ∈（2）由p 是q 的充分不必要条件，即p q ⇒，q p ≠>，所以p q 所以235m m ≤⎧⎨≥⎩解得523m ≤≤，即5,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．25．（1） {|11}A x x x =≥≤-或 (2)][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次根式有意义条件,可解不等式得定义域A.（2）根据对数函数真数大于0,解不等式得集合B.根据p 是q 的的必要不充分条件,即可得关于a 的不等式,进而求得a 的取值范围.【详解】（1）要使()f x 有意义，则()()3x 22x 0-+-≥化简整理得()()x 1x 10+-≥解得x 1x 1≥≤-或 ∴ A {x |x 1x 1}=≥≤-或（2）要使()g x 有意义，则()()x a 12a x ]0--->即()()x a 1x 2a ]0---<又a 1<a 12a ∴+>B {x |2a x a 1}∴=<<+ p 是q 的必要不充分条件B ∴是A 的真子集2a 1a 11∴≥+≤-或 解得1a 1a 22≤<≤-或 a ∴的取值范围为][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,充分必要条件的应用,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.26．（1）{}13x x -<≤；（2）(0，2].【分析】分别求解一元二次不等式化简A 与B ．（1）把2a =代入集合B ，再由交、并、补集的混合运算得答案；（2）由p ⌝是q 的充分不必要条件，得R A B ，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．【详解】 2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<，{|(1)(1)0}{|1B x x a x a x x a =-+-->=<-或1}x a >+．（1）若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{|13}R B x x =-，(){|16}{|13}{|13}R A B x x x x x x ∴⋂=-<<⋂-=-<；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，A R 1{|x x =≤-或6}x ≥则R A B ．∴01116a a a >⎧⎪--⎨⎪+⎩且不等式组中两等号不同时成立，解得02a <．a ∴的取值范围是(0，2]．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．。
高一数学《集合与常用逻辑用语》检测卷与答案
高一数学《集合与常用逻辑用语》检测卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．中国著名的数学家C．高一年级视力比较好的同学D．某学校2022～2023学年度第一学期全体高一学生2．（5分）命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥023．（5分）“≥4”是“≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列结论中正确的个数是（）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题；③命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1=0”；④命题“∀∈Z,∈N”是真命题；A．0B．1C．2D．35．（5分）已知集合=1<<，=2<<6，若⊆，则的取值范围是（）A．≥6B．>6C．≤6D．<66．（5分）设全集=−3,−2,−1,0,1,2,3，集合=−2,−1,0,1,=−1,1,3，则−3,2=（）A．∁U∩B．∁U∪C．∁U∩D．∁U∪7．（5分）已知集合=1,2，=3,4，定义集合：∗=s∈s∈，则集合∗的非空子集的个数是（）个．A．16B．15C．14D．138．（5分）已知集合=1,2,3，=>，∩∁=，则实数的取值范围是（）A．≥1B．≤1C．≥3D．≤3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A．∀∈，2+2+1≥0B．∃∈，2为偶数C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数10．（5分）下列说法正确的是（）A．由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合U=2−1与集合U=2−1是同一个集合D．集合U2+5+6=0与集合−2,−3是同一个集合11．（5分）若“<或>+2”是“−4<<1”的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A．−8B．−5C．−3D．112．（5分）已知全集=，集合=1,2,3,=+s∈，则下列结论正确的是（）A．集合中有6个元素B．∪=1,2,3,4,5,6C．∁∩=4,5,6D．∩的真子集个数是3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知G>3，G>5，则是的．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空）14．（5分）若1∈0,s2−2+1，则=．15．（5分）设命题G∀∈2,2，+2≥，若¬是假命题，则实数的取值范围是. 16．（5分）已知集合=2−5+6=0，=−1<<5,∈，则满足⊆B的集合的个数为.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(2)所有奇数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，抛物线=2上的点组成的集合；(4)=s+=5,∈N+,∈N+；18．（12分）已知命题：“∀−1≤≤1，不等式42−−<0成立”是真命题．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）若G−4<−<4是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19．（12分）已知集合=B2−3+2=0,∈s∈(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若⊆0,+∞，求a的取值范围20．（12分）已知命题G∀∈，2+2−3>0，命题G∃∈，2−2B++2<0.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.21．已知集合=4≤<8，=2≤≤10，=<2.(1)求∪，∁R∩；(2)若∩≠∅，求的取值范围.22．（12分）在①∪=；②“∈（是非空集合）”是“∈”的充分不必要条件；③∩=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合=−1≤≤2+1,∈R,=−1≤≤3．(1)当=2时，求∪和∩∁；(2)若________，求实数的取值范围．高一数学《集合与常用逻辑用语》检测卷答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．中国著名的数学家C．高一年级视力比较好的同学D．某学校2022～2023学年度第一学期全体高一学生【解题思路】根据集合元素的确定性可得正确的选项.【解答过程】对于A，非常接近无法确定实数，根据元素的确定性可知A错误.对于B，著名无法确定数学家，根据元素的确定性可知B错误.对于C，视力比较好无法确定学生，根据元素的确定性可知C错误.对于D，根据元素的确定性可知D正确，故选：D.2．（5分）命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【解题思路】由命题否定的定义即可得解.【解答过程】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是∃0∈0,1，03≥02.故选：C.3．（5分）“≥4”是“≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用集合的包含关系可得正确的选项.【解答过程】由≥4，解得≤−4或≥4，因为U≥4为{U≤−4或≥4}的真子集，则“≥4”是“≥4”的充分不必要条件．故选：A.4．（5分）下列结论中正确的个数是（）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题；③命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1=0”；④命题“∀∈Z,∈N”是真命题；A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断依据即可求解.【解答过程】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确；对②，“∀”为任意，即为全称量词，所以命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题，故②正确；对③，命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1≠0”；故③错误；对④，∵∀∈Z,≥0,∴∈N，故该命题为真命题，故④正确，所以正确的有3个.故选：D.5．（5分）已知集合=1<<，=2<<6，若⊆，则的取值范围是（）A．≥6B．>6C．≤6D．<6【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.【解答过程】集合=1<<，=2<<6，由⊆，得≥6，所以的取值范围是≥6.故选：A.6．（5分）设全集=−3,−2,−1,0,1,2,3，集合=−2,−1,0,1,=−1,1,3，则−3,2=（）A．∁U∩B．∁U∪C．∁U∩D．∁U∪【解题思路】根据集合的交并补运算逐项判断即可.【解答过程】对A,由∁U∩=−3,2,3∩−1,1,3=3，选项A错误；对B,,∁U∪=−3,2,3∪−1,1,3=−3,−1,1,2,3，选项B错误；对C,∁U∩=∁U−1,1=−3,−2,0,2,3，选项C错误；对D,因为∪=−2,−1,0,1,3，所以∁U∪=−3,2，所以选项D正确.故选：D.7．（5分）已知集合=1,2，=3,4，定义集合：∗=s∈s∈，则集合∗的非空子集的个数是（）个．A．16B．15C．14D．13【解题思路】先确定集合∗有四个元素，则可得其非空子集的个数.【解答过程】根据题意，∗=s∈s∈=1,3，1,4，2,3，2,4，则集合∗的非空子集的个数是24−1=15.故选：B.8．（5分）已知集合=1,2,3，=>，∩∁=，则实数的取值范围是（）A．≥1B．≤1C．≥3D．≤3【解题思路】先由∩∁=得出⊆∁R，再根据自己概念即可得解.【解答过程】由已知∩∁R=，所以⊆∁R，又∁R=≤，所以≥3，故选:C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A．∀∈，2+2+1≥0B．∃∈，2为偶数C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【解题思路】判断命题是否为全称量词命题，关键在于有无“∀，所有的，全部的，任意的”这些量词连接，判断命题真假需要具体分析，说明全称量词命题为真需要推理，为假时只需举个反例推翻；说明存在量词命题为真只需举个例子，为假时需要推理.【解答过程】对于A项，因∀∈，2+2+1=(+1)2≥0恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确；对于B项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C正确；对于D项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选：AC.10．（5分）下列说法正确的是（）A．由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1B．∅与0是同一个集合C．集合U=2−1与集合U=2−1是同一个集合D．集合U2+5+6=0与集合−2,−3是同一个集合【解题思路】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.【解答过程】对于A，根据集合元素的无序性可得1,2,3、3,2,1表示同一集合，元素有1,2,3，故A正确.对于B，0不是空集，故B错误.对于C，U=2−1=R，而U=2−1=U≥−1，故两个集合不是同一个集合，故C错误.对于D，U2+5+6=0=−2,−3，故D正确.故选：AD.11．（5分）若“<或>+2”是“−4<<1”的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A．−8B．−5C．−3D．1【解题思路】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案.【解答过程】若“<或>+2”是“−4<<1”的必要不充分条件，则≥1或+2≤−4，解得≤−6或≥1，所以AD选项符合，BC选项不符合.故选：AD.12．（5分）已知全集=，集合=1,2,3,=+s∈，则下列结论正确的是（）A．集合中有6个元素B．∪=1,2,3,4,5,6C．∁∩=4,5,6D．∩的真子集个数是3【解题思路】计算出集合后，结合集合性质逐个选项计算即可得.【解答过程】由=+s∈，且=1,2,3，故=2,3,4,5,6，故集合中有5个元素，A错误；∪=1,2,3,4,5,6，B正确；∁∩=4,5,6，C正确；∩=2,3，真子集个数是22−1=3个，D正确.故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知G>3，G>5，则是的必要不充分条件．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空）【解题思路】由必要不充分条件的定义即可得解.【解答过程】由题意G>3，G>5，所以是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件.14．（5分）若1∈0,s2−2+1，则=2．【解题思路】分类讨论结合互异性即可得出答案.【解答过程】因为1∈0,s2−2+1，所以=1或2−2+1=1，若=1，2−2+1=0，不满足互异性；若2−2+1=1⇒=0或2，又≠0，所以=2，故答案为：2.15．（5分）设命题G∀∈2,2，+2≥，若¬是假命题，则实数−∞【解题思路】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出≤+，∈2,2，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出+在∈2,2上的最小值，即可得出答案.【解答过程】∵¬是假命题，∴是真命题，∵G∀∈2,2，+2≥，∴≤+，∈2,2，当>0时，+2≥⋅=22，当且仅当=2时，即=2时，等号成立，∵∈2,2，可取到=2，∴min=22，∴≤22，故答案为：−∞,22.16．（5分）已知集合=2−5+6=0，=−1<<5,∈，则满足⊆B的集合的个数为7.【解题思路】化简集合s，结合求集合的子集的结论求结果.【解答过程】集合=b2−5+6=0=2,3，=−1<<5,∈=0,1,2,3,4，∴满足⊆B的集合中必有元素2，3，所以求满足⊆B的集合的个数即求0,1,4集合的真子集个数，所以满足⊆B的集合的个数为23−1=7个.故答案为：7.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(2)所有奇数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，抛物线=2上的点组成的集合；(4)=s+=5,∈N+,∈N+；【解题思路】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解.（2）由奇数的概念以及描述法即可求解.（3）由描述法即可求解.（4）用列举法即可求解.【解答过程】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合=2,3,5,7,11,13,17.（2）所有奇数组成的集合==2+1,∈Z.（3）平面直角坐标系中，抛物线=2上的点组成的集合=s=2.（4）=s+=5,∈N+,∈N+=1,4,2,3,3,2,4,1. 18．（12分）已知命题：“∀−1≤≤1，不等式42−−<0成立”是真命题．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）若G−4<−<4是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解题思路】（1）进行参变分离，进而通过求函数的最值解得答案；（2）根据充分不必要条件的定义即可得到答案.【解答过程】（1）由题意>42−−1≤≤1恒成立，设=42−=4−116,因为−1≤≤1，所以op B=−1=5，所以>5.（2）因为G−4<<+4是的充分不必要条件，所以−4≥5⇒≥9.19．（12分）已知集合=B2−3+2=0,∈s∈11(1)若A 中只有一个元素，求a 的值(2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围(3)若⊆0,+∞，求a 的取值范围【解题思路】（1）分=0和≠0两种情况，结合二次方程的判别式分析求解；（2）分A 中有一个元素或=∅两种情况，结合二次方程的判别式分析求解；（3）分类讨论A 是否为空集以及是否为0，结合二次方程的Δ判别式和韦达定理分析求解.【解答过程】（1）若=0时，=U −3+2=当≠0时，可知方程B 2−3+2=0为一元二次方程，则Δ=9−8=0，解得=98；综上所述：=0或=98.（2）若A 中至多有一个元素，即A 中有一个元素或=∅，若A 中有一个，由（1）可知：=0或=98；若=∅，则≠0Δ=9−8<0，解得>98；综上所述：a 的取值范围为0∪+∞.（3）因为⊆0,+∞，则有：若=∅，由（2）可知：>98；若≠∅，则有：若=0时，由（1）可知=⊆0,+∞，符合题意；当≠0时，则Δ=9−8≥03>02>0，解得0<≤98；综上所述：a 的取值范围为0,+∞.20．（12分）已知命题G ∀∈，2+2−3>0，命题G ∃∈，2−2B ++2<0.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p ，q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【解题思路】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为2>3−2对∈R 恒成立，即可求的取值范围；（2）求命题q 为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集.12【解答过程】（1）若命题p 为真命题，则2>3−2对∈R 恒成立，因此3−2<0，解得>32.因此，实数m 的取值范围是>（2）若命题q 为真命题，则Δ=(−2p 2−4(+2)>0，即2−−2>0，解得<−1或m >2.因此，实数m 的取值范围是{<−1或>2}；若命题p ，q 至少有一个为真命题，可得>∪{<−1或>2}={<−1或>32}.所以实数的取值范围{<−1或>32}.21．已知集合=4≤<8，=2≤≤10，=<2.(1)求∪，∁R ∩；(2)若∩≠∅，求的取值范围.【解题思路】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据∩≠∅列不等式，从而求得的取值范围.【解答过程】（1）依题意，集合=4≤<8，=2≤≤10，所以∪=2≤≤10，∁R =U <4或≥8，所以∁R ∩=U2≤<4或8≤≤10.（2）由于=<2，若∩≠∅，则2>4,∴>2.22．（12分）在①∪=；②“∈（是非空集合）”是“∈”的充分不必要条件；③∩=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合=−1≤≤2+1,∈R ,=−1≤≤3．(1)当=2时，求∪和∩∁；(2)若________，求实数的取值范围．【解题思路】（1）先求出集合∪，再求出∁，进而可得集合∩∁；（2）分情况处理，若选择①，考虑⊆的情形即可，要分=∅和≠∅两种情况分析；若选择②，考虑⊆≠∅且≠的情形即可；若选择③，考虑∩=∅的情形即可，要分=∅和≠∅两种情况分析.【解答过程】（1）当=2时，集合=1≤≤5,=−1≤≤3，所以∪=−1≤≤5，又因为∁=<−1或>3，所以∩∁=3<≤5.13（2）若选择①，∪=，则⊆，当=∅时，−1>2+1，解得：<−2，当≠∅时，又⊆，=−1≤≤3，所以−1≤2+1−1≥−12+1≤3，得0≤≤1，所以实数a 的取值范围是−∞,−2∪0,1．若选择②，“∈“是“∈”的充分不必要条件，则⊆≠∅且≠，因为=−1≤≤3，−1≤2+1−1≥−12+1<3或−1≤2+1−1>−12+1≤3，解得：0≤≤1，由于−1=−12+1=3无解，=不成立，所以实数a 的取值范围是0,1．（不检验≠扣1分）若选择③，∩=∅，当=∅时，−1>2+1，解得：<−2，当=∅时，又∩=∅，则−1≤2+1−1>3或2+1<−1，解得：−2≤<−1或>4，所以实数a 的取值范围是−∞,−1∪4,+∞．。
徐州市必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件6．“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．非零向量,a b 满足4,2b a ==且a 与b 夹角为θ，则“23b a -=”是“3πθ=”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．“3,a =23b =”是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为72（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分不必要条件10．“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知命题P ：∃0x R ∈，20010x x -+≥；命题Q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是（ ） A ．P Q ∧B ．P Q ⌝∧ C ．P Q ⌝∧D ．P Q ⌝⌝∧12．已知函数()31f x x ax =--，则()f x 在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,3a ∈二、填空题13．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________. 14．有下列四个命题：①“若a 2+b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0” ②若事件A 与事件B 互斥，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）； ③在△ABC 中，“A ＜B ”是“sin A ＜sin B ”成立的充要条件；④若α、β是两个相交平面，直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 平行的直线． 上述命题中，其中真命题的序号是_____．15．已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________.16．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________. 17．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；18．定义全集的子集的特征函数为，这里表示在全集中的补集，那么对于集合，下列所有正确说法的序号是 ．（1）（2）()1()U A A f x f x =- （3）()()()A B A B f x f x f x ⋃=+（4）()()()A B A B f x f x f x ⋂=⋅ 19．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线221ax by +=为椭圆”的充分不必要条件是“0,0a b >>”；②若双曲线的离心率2e =，且与椭圆221148y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y =；③抛物线22x y =-的准线方程为18x； ④长为6的线段AB 的端点,A B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)M x y 满足2AM MB =，则动点M 的轨迹方程为221416x y +=．其中正确命题的序号为_________．20．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______.三、解答题21．已知集合()(){}10A x x a x a =-++≤，{3B x x =≤或}6x ≥. （1）当4a =时，求AB ；（2）当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围. 22．已知命题:p x R ∀∈，()()221140a x a x -+-+>，:q x R ∃∈，()22110x a x -++<（1）若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，求实数t 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a .23．已知全集U={x ∈N|1≤x≤6}，集合A={x |x 2-6x +8=0}，集合B={3，4，5，6}． （1）求A∩B ，A ∪B ；（2）写出集合（∁U A ）∩B 的所有子集．24．已知集合(](),13,A =-∞+∞，[],2B m m =+.（1）若2m =，求()R C A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围. 25．已知条件{}2:230,p x A x x x x R ∈=--≤∈，条件{}22:240,q x B x x mx m x R ∈=-+-≤∈.（1）若[]0,3AB =，求实数m 的值；（2）若p ⌝是q 的必要条件，求实数m 的取值范围. 26．已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A. 2．B解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.3．A解析：A根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A . 【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.4．B解析：B 【分析】先将//a b 等价化简为cos 0θ=或1tan 2θ=，再判断解题即可. 【详解】//a b ⇔(sin 2,cos )//(cos ,1)θθθ⇔2sin 2cos θθ=⇔cos 0θ=或1tan 2θ=，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断p 是q 的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.5．B解析：B 【分析】根据逆否命题的概念，准确改写，可判定A 正确的；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B 不正确；根据复合命题的真假判定方法，可判定C 是正确的；根据充要条件的判定方法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+≤”，所以B 不正确；对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的；对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确. 综上可得，命题错误为选项B.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到四种命题的改写，全称命题与存在性命题的关系，以及复合命题的真假判定和充分条件、必要条件的判定等知识的综合应用，属于基础题.6．A解析：A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的方程即可判定. 【详解】因为当3k >时，30k ->，30k +>，方程22133x y k k -=-+表示双曲线；当方程22133x y k k -=-+表示双曲线时，(3)(3)0k k -+>，即3k >或3k <-，不能推出3k >，所以“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，双曲线的标准方程，属于中档题.7．C解析：C 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->， 所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立， 所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.8．C解析：C 【分析】由题意，若23b a -=，根据向量的数量积和模的计算公式，可得1cos 2θ=，得到3πθ=，；反之也可求得23b a -=，即可得到答案.【详解】由题意，非零向量,a b 满足4,2b a ==且a 与b 夹角为θ， 若23b a -=，即2222()2164242cos 12b a b a b a a b θ-=-=+-⋅=+-⨯⨯=，解得1cos 2θ=，又因为[]0,θπ∈，可得3πθ=，即充分性是成立的；若3πθ=，由2222()2164242cos123b a b a b a a b π-=-=+-⋅=+-⨯⨯=，可得23b a -=，即必要性是成立的，所以“23b a -=”是“3πθ=”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记向量的数量积的运算，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．D解析：D 【分析】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化为22221(0,0)y x a b b a -=>>,可得2234a b =,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【详解】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化22221(0,0)y x a b b a -=>>则根据离心率的定义可知本题中应有222a b c e b c +===,则可解得2234a b =,因为3,a =b =可以推出2234a b =;反之2234a b =成立不能得出3,a =b =. 故选:D . 【点睛】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.10．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及直线与平面平行的定义即可判定. 【详解】因为满足“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”这样条件的直线可以和平面相交， 所以推不出“这条直线与平面α平行”，当直线满足与平面α平行时，可以推出这条直线与平面α内无数条直线异面， 所以“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.11．B解析：B 【分析】判断命题P 为真命题，命题Q 为假命题，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】取00x =，则200110x x -+=≥，故命题P 为真命题；取2a =-，1b =，满足a b <，但是11a b<，故命题Q 为假命题. 故P Q ∧为假命题，P Q ⌝∧为真命题，P Q ⌝∧为假命题，P Q ⌝⌝∧为假命题.故选：B. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.12．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，()23[,3)f x x a a a =-∈--‘，当0a ≤时，'()0f x ≥，当3a ≥时，'()0f x ≤，所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥，故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为(0,3)，A 、B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.二、填空题13．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假解析：【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 【详解】 因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan 3x ∈,所以m >故答案为:)+∞.【点睛】本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.14．②③【分析】写出原命题的逆否命题可判断①；通过与互斥判断（A ）（B ）的正误；由三角形中的边角关系正弦定理及充分必要条件判定方法判断③；由直线为两平面的交线时结论成立可判断④【详解】对于①则全为0的逆解析：②③． 【分析】写出原命题的逆否命题，可判断①；通过A 与B 互斥，判断()P A B P =（A ）P +（B ）的正误；由三角形中的边角关系、正弦定理及充分必要条件判定方法判断③；由直线m 为两平面的交线时，结论成立，可判断④． 【详解】对于①，“220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则220a b +≠”，故①错误；对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；对于③，在ABC ∆中，sin sin a b A B A B <⇔<⇔<，∴命题“在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <成立的充要条件，故③正确；对于④，若直线m α⊂，当直线m 为两平面的交线时，在平面β内，一定存在与直线m 平行的直线，故④不正确； 故答案为：②③ 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，涉及互斥事件与对立事件，四种命题的逆否关系，以及概率的性质．充分必要条件的判定方法，考查空间线线和线面、面面的位置关系，属于中档题．15．【分析】是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件再化简两命题对应的取值范围进一步判断即可【详解】是的充分不必要条件是的充分不必要条件命题中：命题中：由是的充分不必要条件可知应满足解得故答案为：【 解析：[1,6]-【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可 【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]- 【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题16．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值 解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1， 集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩ ，解得：10a -<≤ ；当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩，集合是空集； 综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.17．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方 解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案. 【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440axx a 方程恒有两个解，且1210x x a=-<，两根一正一负，满足条件 当0a <时，2210,4401axx a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a+=->，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥- 故答案为：[)1,a ∈-+∞ 【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.18．（1）（2）（4）【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B 分类讨论：①当则此时②当且即此时③当且即时此时综合有故（1）正确；（2）故（2）正确；故（3）不正确；故（4）正确；考点：集合的交并补运算解析：（1）（2）（4） 【详解】试题分析：（1）∵A ⊆B ，分类讨论： ①当，则，此时，②当，且，即,此时，③当，且，即时，，，此时，综合有，故（1）正确；（2），故（2）正确；1,()()()0,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩，故（3）不正确；，故（4）正确； 考点：集合的交并补运算19．③④【分析】对于①求出曲线为椭圆的充要条件判断与关系即得①的正误；对于②根据已知条件求出双曲线的方程从而求出渐近线方程即得②的正误；对于③把抛物线的方程化为标准式求出准线方程即得③的正误；对于④设根解析：③④ 【分析】对于①， 求出“曲线221ax by +=为椭圆”的充要条件，判断与“0,0a b >>”关系，即得①的正误；对于②，根据已知条件求出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，即得②的正误；对于③，把抛物线的方程化为标准式，求出准线方程，即得③的正误；对于④，设,0,0,A a B b ，根据2AM MB =，可得()33,0,0,2A xB y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入6AB =，求出动点M 的轨迹方程，即得④的正误. 【详解】对于①， “曲线221ax by +=为椭圆”的充要条件是“0,0a b >>且a b ”.所以“曲线221ax by +=为椭圆”的必要不充分条件是“0,0a b >>”，故①错误；对于②，椭圆221148y x +=的焦点为(0,6，又双曲线的离心率2226692,6,2,22e c a b c a a ==∴=∴=∴=-=，所以双曲线的方程为2222139y x -=，所以双曲线的渐近线方程为3y x =，故②错误； 对于③，抛物线22x y =-的方程化为标准式212y x =-，准线方程为18x ，故③正确；对于④，设,0,0,A a B b ，()()()322,,2,,322a xx a x AM MB x a y x b y y b y b y =⎧-=-⎧⎪=∴-=--∴∴⎨⎨=-=⎩⎪⎩，()33,0,0,,6,62A x B y AB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即221416x y +=，即动点M 的轨迹方程为221416x y +=.故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查充分必要条件、圆锥曲线的性质和求轨迹方程的方法，属于中档题.20．【分析】令则对称轴为分对称轴在区间之间区间左边和区间右边三种情况讨论可得【详解】解：令则对称轴为要使不等式恒成立即当时解得；当时解得；当时解得；综上可得：故答案为：【点睛】本题考查的知识点是命题的真 解析：(,4]-∞【分析】令()24f x x ax =-+，则对称轴为2ax =，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三种情况讨论可得. 【详解】解：令()24f x x ax =-+，则对称轴为2a x =， 要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立，即[1,3]x ∀∈，()240f x x ax =-+≥ 当12a x =≤时()21140f a =-+≥解得2a ≤； 当132ax <=<时240222a a a f a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得24a <≤；当32ax =≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅； 综上可得：(,4]a ∈-∞故答案为：(,4]-∞ 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题.三、解答题21．（1）{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥；（2）(]0,3.【分析】（1）当4a =时，解出集合A ，计算A B ；（2）由集合法判断充要条件，转化为A B ⊆，进行计算.【详解】解：（1）当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ， 得54x -≤≤，故{}54A x x =-≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥， 所以{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}1A x a x a =--≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥， 要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥， 综合可得a 的取值范围为(]0,3. 【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．22．（1）1,15⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2) 3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【分析】（1）当命题,p q 为真时，求得a 的取值范围，“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件即[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，计算求解即可；（2）p q ∧为假，p q ∨为真，即即,p q 一真一假,分情况讨论即可得出结果.【详解】（1）命题p 为真时，1a =或()()2221014140a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-⨯<⎪⎩，解得：1a =或1a >或1715a <-，综上：p 为真，a 的取值范围为[)17,1,15⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；命题q 为真时，()2=2140a ∆+->，解得a 的取值范围为31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，则[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， ①2321t t -->-时，15t <-，符合题意. ②2321172115t t t --≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，即15115t t ⎧≥-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，11515t -≤<-. ③2321231t t t --≤-⎧⎨--≥⎩时，151t t ⎧≥-⎪⎨⎪<-⎩，无解. 综上：t 的取值范围为：1,15⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，即,p q 一真一假：①p 真q 假：171153122a a a ⎧<-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或，即317215a -<<-②p 假q 真：171153122a a a ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，即112a ≤<.综上：实数a 的取值范围：3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【点睛】方法点睛：根据命题的真假求參数的取值范围的方法 （1）求出当命题,p q 为真命题时所含參数的取值范围； （2）判断命题,p q 的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解參数的取值范围. 23．（1）{}2,3,4,5,6；（2）见解析. 【分析】化简集合U 和A ，（1）根据交集和并集的概念得到A∩B 与A ∪B ；（2）根据集合的交集补集的概念求出（∁U A ）∩B ，再写出它的所有子集． 【详解】全集U={x ∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}， 集合A={x|x 2-6x+8=0}={x|x=2或x=4}={2，4}， 集合B={3，4，5，6}； （1）A∩B={4}，A ∪B={2，3，4，5，6}； （2）∁U A={1，3，5，6}，∴（∁U A ）∩B={3，5，6}，它的所有子集是∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}共8个． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 24．（1）[2,3]（2）(,1](3,)-∞-⋃+∞ 【分析】（1）根据集合的交集、补集运算即可求解； （2）由题意知B A ,结合数轴建立不等式求解即可. 【详解】（1）2m =时，[]2,4B =，(1,3]R C A =， ∴()[2,3]R C A B ⋂=（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件， 所以B A ， 故21m +≤或3m >， 解得1m ≤-或3m >故m 的取值范围为(,1](3,)-∞-⋃+∞ 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，集合的真子集，必要不充分条件，属于中档题. 25．（1）2m =；（2）()(),35,-∞-+∞.【分析】（1）求出集合A 、B ，根据交集运算结果得出关于m 的等式和不等式，即可求出实数m 的值； （2）求出A R，由p ⌝是q 的必要条件，可得出RB A ⊆，可得出关于实数m 的不等式，即可求得实数m 的取值范围.【详解】 （1）{}[]2230,1,3A x x x x R =--≤∈=-，{}()(){}[]222402202,2B x x mx m x x m x m m m ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=-+⋅--≤=-+⎣⎦⎣⎦，又[]0,3A B ⋂=，则2023m m -=⎧⎨+≥⎩，解得2m =；（2）()(),13,RA =-∞-⋃+∞，且p ⌝是q 的必要条件，则RB A ⊆，所以，21m +<-或23m ->，解得3m <-或5m >.因此，实数m 的取值范围是()(),35,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题考查了利用交集的结果求参数，同时也考查了利用必要条件求参数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（1）[]1,0-（2）(),0-∞ 【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围； （2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ， 22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+， 当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立， 所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <.所以实数a 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.。
必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．()0π,sin tan x x x ∃∈=，B ．ABC 中，sin sin cos cos A B A B +=+是2C π=的充要条件C ．在一次跳伞训练中，甲，乙两位同学各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示p q ∧ D ．∀∈θR ，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数3．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞4．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,28．“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 12．设,(0,1)a b ∈，:P “a b <”，:q “log log a b a b b a <”，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___． 14．已知命题：“∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．15．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．16．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.17．若命题“(0,)x ∀∈+∞，不等式4a x x<+恒成立”为真，则实数a 的取值范围是__________． 18．命题“000,1x x R ex ∃∈>+”的否定是______________________.19．集合{}*110,,S x x x N n N=≤≤∈∈共有120个三元子集()1,2,...,120iA i =，若将i A 的三个元素之和记为()1,2,...,120i a i =，则12120...a a a +++=______.20．设{}1,2,3,M n =，则M 的所有子集的最小元素之和为__________三、解答题21．如果():30p x x -<是:23q x m -<的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.22．已知命题:p 实数t 满足22540t at a -+<，:q 实数t 满足曲线22126x y tt+=--为双曲线.（1）若1a =，且p ⌝为假，求实数t 的取值范围；（2）若0a >，且q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 23．已知命题20:{100x p x +≥-≤，命题:11,0q m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数的取值范围．24．设U =R ，{}11A x x =+>，(){}2130B x x m x m =+++<．（1）求集合A ；（2）若B φ=，求实数m 的取值范围： （3）若A B =R ，求实数m 的取值范围．25．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<．（1）若12a =，求A B ； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．26．设全集是实数集R ，集合{}13A x x =-<<，{}22B x m x m =-<<+． （1）若AB =∅，求实数m 的取值范围；（2）若2B ∈，求A B ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ⨯+⨯-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期2T πω=，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.2．B解析：B 【分析】分析()0π,sin tan x x x ∀∈≠，即得A 错误；利用充要条件的定义判断B 正确；利用复合命题的定义判断C 错误；通过特殊值验证D 错误即可. 【详解】选项A 中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,tan 0x x ><，即sin tan x x ≠；2x π=时，sin 1x =，tan x 无意义；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()sin tan sin sin cos x h x x x x x =-=-，则()32211cos cos 0cos cos xh x x x x-'=-=>，故()tan sin h x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()()tan sin 00h x x x h =->=，即sin tan x x <；综上可知，()0π,sin tan x x x ∀∈≠，，故A 错误；选项B 中，ABC 中，若sin sin cos cos A B A B +=+，则sin cos cos sin A A B B -=-，44A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin 44A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又33,,,444444A B ππππππ⎛⎫⎛⎫-∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故44A B ππ-=-或44A B πππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2A B π+=或A B π-=，ABC 中A B π-≠，故2A B π+=，即2C π=；反过来，若2C π=，则2A B π+=，结合诱导公式可知，sin sin cos 2A B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin sin cos cos A B A B +=+；综上，sin sin cos cos A B A B +=+是2C π=的充要条件，故B 正确；选项C 中，依题意，命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”， q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，故复合命题()()p q ⌝∨⌝ 是“至少有一位学员没有降落在指定范围”，故C 错误； 选项D 中，存在2πθ=时，函数()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，满足()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：（1）证明或判断全称命题为真命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈成立；证明或判断它是假命题时，只需要找到一个反例，说明其不成立即可.（2）证明或判断特称命题为真命题时，只需要找到一个情况，说明其成立即可；证明或判断它是假命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈⌝成立.3．C解析：C 【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题. 当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x-≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立， 所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.4．A解析：A 【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5．A解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A. 6．B解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种．所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.7．A解析：A 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．8．C解析：C 【分析】先将根据函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数求参数0a =，判断前后两个条件相互等价，即可解题. 【详解】解：∵函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数， ∴(0)0f =即2sin0cos 00a +=，解得：0a =， ∴ 0a =⇔函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数，∴“0a =”是“函数2()sin cos f x x a x =+为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断p 是q 的什么条件，是中档题.9．A解析：A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的方程即可判定. 【详解】因为当3k >时，30k ->，30k +>，方程22133x y k k -=-+表示双曲线；当方程22133x y k k -=-+表示双曲线时，(3)(3)0k k -+>，即3k >或3k <-，不能推出3k >，所以“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，双曲线的标准方程，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++， 设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =； 若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解， 由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.12．C解析：C 【分析】利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案. 【详解】充分性：01a b <<<⇒22lg lg 0(lg )(lg )a b a b <<⇒>.所以22lg lg (lg )(lg )lg lg b aa b b a ab a b<⇒< 即：log log a b a b b a <，充分性满足.必要性：因为,(0,1)a b ∈，所以log 0a b >，log 0b a >. 又因为log log a b a b b a <，所以log log a b b ba a <，即2(log )ab b a<. 当a b =时，11<，不等式不成立. 当a b >时，01b a<<，log 1a b >，不等式2(log )a bb a <不成立当a b <时，1b a >，0log 1a b <<，不等式2(log )a bb a<成立. 必要性满足.综上：p 是q 的充要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查充要条件，同时考查了对数的比较大小，属于中档题.二、填空题13．【分析】转化为在上有解不等式右边构造函数利用单调性求出最大值即可得解【详解】存在x ∈﹣11成立即在上有解设易得y ＝f(x)在﹣11为减函数所以即即即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：将问题转化为在上解析：9(,)2-+∞【分析】转化为213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大值即可得解. 【详解】存在x ∈[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞． 【点睛】关键点点睛：将问题转化为213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解进行求解是解题关键. 14．a≥－8【分析】等价于∃x ∈{x|1≤x≤2}求出函数在的最小值即得解【详解】由题得∃x ∈{x|1≤x≤2}x2＋2x ＋a≥0所以∃x ∈{x|1≤x≤2}因为函数在的最小值为此时所以故答案为：【点睛解析：a ≥－8【分析】等价于∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，2(1)1a x ≥-++,求出函数2(1)1y x =-++在[1,2]的最小值即得解. 【详解】由题得∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，x 2＋2x ＋a ≥0，所以∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，222(1)1a x x x ≥--=-++,因为函数2(1)1y x =-++在[1,2]的最小值为8-，此时2x =. 所以8a ≥-. 故答案为：8a ≥- 【点睛】本题主要考查特称命题，考查一元二次不等式的能成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B解析：4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．16．或【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包含关系重解析：0或1 【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.17．【解析】由基本不等式可知故 解析：a 4<【解析】由基本不等式可知44x x +≥=，故4a <. 18．【解析】因为命题的否定是所以命题的否定是解析：,1x x R e x ∀∈≤+【解析】因为命题“,p x ∃”的否定是“,p x ∀⌝” 所以命题“000,1x x R ex ∃∈>+”的否定是,1x x R e x ∀∈≤+19．1980【分析】根据题意将所有元素在子集中的个数算出然后再求和即可【详解】因为集合所以含元素1的子集有同理含2345678910的子集也各有所以故答案为：1980【点睛】本题主要考查集合的新定义以及解析：1980 【分析】根据题意，将所有元素在子集中的个数算出，然后再求和即可. 【详解】因为集合{}{}*110,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10S x x x N n N=≤≤∈∈=，所以含元素1的子集有29C ,同理含2，3，4，5，6，7，8，9，10的子集也各有29C ，所以2121209...(123...10)a a a C +++=++++⨯，()1011098198022+⨯=⨯=. 故答案为：1980 【点睛】 本题主要考查集合的新定义以及组合问题，还考查了分析推理的能力，属于中档题.20．【分析】先确定元素再确定该元素为最小时对应子集个数最后利用错位相减法求和【详解】若1为最小元素则对应子集个数为个；若2为最小元素则对应子集个数为个；…若n 为最小元素则对应子集个数为个；所以的所有子集 解析：122n n +--【分析】先确定元素，再确定该元素为最小时对应子集个数，最后利用错位相减法求和. 【详解】若1为最小元素，则对应子集个数为12n -个； 若2为最小元素，则对应子集个数为22n -个； …...若n 为最小元素，则对应子集个数为02个；所以M 的所有子集的最小元素之和为2301223222n n n n ---+⨯+⨯++⨯设1230222322n n n n S ---+⨯+=⨯++⨯1212232222n n n n S --+⨯+⨯++⨯=相减得231112(12)222222212nn n n n n n n n S ---+-++++-==-=--+-故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查错位相减法求和以及子集个数，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．3m ≥【分析】通过解不等式化简命题，再由充分不必要条件列不等式组解得即可. 【详解】由不等式()30x x -<，得03x <<，由不等式23x m -<，得32mx +<， ∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴332m+≥，即3m ≥. 故实数m 的取值范围为3m ≥. 【点睛】本题考查解不等式，充分必要条件的定义，属于基础题. 22．（1）()1,4；（2）322a ≤≤ . 【分析】（1）可知p 为真，解出不等式即可；（2）由题可知命题p 等价于{}|4A t a t a =<<，命题q 等价于{}|26B t t =<<，由q 是p 的充分不必要条件可得集合B 是集合A 的真子集，由此列出不等式即可求解. 【详解】解：（1）p ⌝为假，∴p 为真，21,540a t t =∴-+<， 解得()1,4t ∈；（2）:p 由22540t at a -+<得()(4)0t a t a --<:q 由实数t 满足曲线22126x y t t+=--为双曲线.得(2)(6)0t t --<解之26t <<由0a >且()(4)0t a t a --<得，4a t a << 设{}|4A t a t a =<<，{}|26B t t =<<，因为q 是p 的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，故有0246a a a >⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，得322a ≤≤.【点睛】本题考查利用集合的关系判断命题的充分不必要条件，其中涉及一元二次不等式和对双曲线方程的理解，属于基础题.23．{}|9m m ≥【分析】化简命题p ：－2≤x ≤10，若￢p 是￢q 的必要不充分条件等价于q 是p 的必要不充分条件，从而可列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意得p ：－2≤x ≤10. ∵￢p 是￢q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． ∴p ⇒q ，qp .∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩∴39m m ≥⎧⎨≥⎩∴m ≥9. 所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，逆否命题，属于中档题.24．（1）{0A x x =>或}2x <-；（2）55m -≤≤+3）2m <-. 【分析】（1）解绝对值不等式，即可求得集合A ；（2）根据题意及二次函数的性质，可得0∆≤，计算整理，即可得结果；（3）设1x ，2x 为()2130x m x m +++=的两个根，且12x x <，根据题意可得12x <-，20x >，结合二次函数的图像与性质，即可得答案.【详解】（1）因为11x +>，得11x +>或11x +<-， 解得0x >或2x <-，所以{0A x x =>或}2x <-； （2）由题意得：()221121010m m m m ∆=+-=-+≤，解得55m -≤≤+（3）由题意得：()221121010m m m m ∆=+-=-+>，解得5m <-5m >+设1x ，2x 为()2130x m x m +++=的两个根，且12x x <，由题意得12x <-，20x >．所以()4213030m m m ⎧-++<⎨<⎩，解得2m <-．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、二次函数图像与性质、集合的运算，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题.25．（1）{}01A B x x ⋂=<<；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B ；（2）分A =∅和A ≠∅两种情况讨论，结合条件A B =∅可得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】 （1）当12a =时，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<<，因此，{}01A B x x ⋂=<<；（2）A B =∅.①当A =∅时，即121a a -≥+，2∴≤-a ； ②当A ≠∅时，则12111a a a -<+⎧⎨-≥⎩或121210a a a -<+⎧⎨+≤⎩，解得122a -<≤-或2a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用交集运算结果求参数，考查运算求解能力，属于中等题.26．（1）5m ≥或3m ≤- （2）当01m <≤时，()1,2AB m =-+；当14m <<时，()2,3A B m =-【分析】 （1）若AB =∅，则23m -≥或21m +≤-，解得实数m 的取值范围；（2）若2B ∈则()0,4m ∈，结合交集定义，分类讨论可得A B .【详解】 解：（1）若AB =∅，则23m -≥或21m +≤-，即5m ≥或3m ≤-.所以m 的取值范围为5m ≥或3m ≤-. （2）∵2B ∈，则22m -<且22m +>， ∴04m <<. 当01m <≤时，()1,2A B m =-+; 当14m <<时，()2,3A B m =-.【点睛】本题考查集合的交集运算，元素与元素的关系，分类讨论思想，属于中档题.。
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(答案解析)
一、选择题1．以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．()0π,sin tan x x x ∃∈=，B ．ABC 中，sin sin cos cos A B A B +=+是2C π=的充要条件C ．在一次跳伞训练中，甲，乙两位同学各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示p q ∧ D ．∀∈θR ，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数2．已知{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，那么“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（ ）． A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >4．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y ＝3x -}，则（C U M ）∪N 等于（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3}D ．R5．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （i ）{}1,2,3,4,5AB =，A B =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．106．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}7．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“35m =”是“点P 到直线l 的距离的最小值是10”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．若命题“∃x 0∈R ，x ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设a 、b 是实数，则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________. 14．命题“数列的前n 项和()2*3n S n n n N=+∈”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n ） 15．已知命题31:01x p A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.若命题q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是____；16．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 17．已知集合{}1A x x =>，{}22B x x x =<，则AB =__________．18．若命题“[]01,1x ∃∈-，033x a ≤”为真命题，则实数a 的取值范围为______. 19．设{}1,2,3,M n =，则M 的所有子集的最小元素之和为__________20．非空集合*S N ⊆，且满足条件“x S ∈，则()10x S -∈”，则集合S 的所有元素之和的总和为______.三、解答题21．已知集合{}220A x x x =--<，()(){}30,B x x a x a a R =--<∈.（1）当1a =时，求集合A 和A B ；（2）若()R B C A ⊆，求实数a 的取值范围. 22．已知{}2680A x x x =-+≤，201B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}260C x x mx =-+<，且“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件.（1）求AB ；（2）求实数m 的取值范围.23．已知集合{}2650A x x x =+->，集合()(){}110B x x a x a =-+-->，其中0a >.（1）若2a =，求()RAB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈.若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.24．已知集合121284xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭.（1）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围； （2）若{}|61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.25．已知命题}{:210p x x -<<，命题{:1q x x a ≤-或}1x a ≥+，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．已知集合A ＝{x |y ＝ln （﹣x 2﹣x +12）}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1，m ∈R }． （1）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析()0π,sin tan x x x ∀∈≠，即得A 错误；利用充要条件的定义判断B 正确；利用复合命题的定义判断C 错误；通过特殊值验证D 错误即可. 【详解】 选项A 中，,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,tan 0x x ><，即sin tan x x ≠；2x π=时，sin 1x =，tan x 无意义；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()sin tan sin sin cos x h x x x x x =-=-，则()32211cos cos 0cos cos xh x x x x-'=-=>，故()tan sin h x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()()tan sin 00h x x x h =->=，即sin tan x x <；综上可知，()0π,sin tan x x x ∀∈≠，，故A 错误；选项B 中，ABC 中，若sin sin cos cos A B A B +=+，则sin cos cos sin A A B B -=-，44A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin 44A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又33,,,444444A B ππππππ⎛⎫⎛⎫-∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故44A B ππ-=-或44A B πππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2A B π+=或A B π-=，ABC 中A B π-≠，故2A B π+=，即2C π=；反过来，若2C π=，则2A B π+=，结合诱导公式可知，sin sin cos 2A B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin sin cos cos A B A B +=+；综上，sin sin cos cos A B A B +=+是2C π=的充要条件，故B 正确；选项C 中，依题意，命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”， q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，故复合命题()()p q ⌝∨⌝ 是“至少有一位学员没有降落在指定范围”，故C 错误； 选项D 中，存在2πθ=时，函数()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，满足()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：（1）证明或判断全称命题为真命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈成立；证明或判断它是假命题时，只需要找到一个反例，说明其不成立即可.（2）证明或判断特称命题为真命题时，只需要找到一个情况，说明其成立即可；证明或判断它是假命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈⌝成立.2．B解析：B 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，充分性：当10a >，0q <时，111n n nn S a S a q ++-==，无法判断其正负，显然数列{}n S 为不一定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{}n S 为递增数列时，10n n n S S a --=>，可得10a >，必要性成立. 故“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.3．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意； 对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y>得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．4．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.5．B解析：B 【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉， 故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉， 故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =； ③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ， 故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉， 故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种． 所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1AB C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.7．B解析：B 【分析】“点P 到直线l ”解得：m =±. 【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈⎣当0m <时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =是“点P 到直线l ”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.8．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到关于a 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<，则2(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-， 所以实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞，故选C.【点睛】本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.9．B解析：B 【分析】先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增， 取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件. 【点睛】充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.10．A解析：A 【分析】由2b aa b +≥可推导出0ab >，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由2b a a b +≥可得()22222022a b b a a b ab a b ab ab-+-+-==≥，()20a b -≥，则0ab >，则“0a >，0b >”⇒“0ab >”，但“0ab >”⇒“0a >，0b >”. 所以，“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.11．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确；对于B ，当3x π=时， sin x =成立，所以“3x π=”是“sin 2x =”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假解析：【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 【详解】 因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan 3x ∈,所以m >故答案为:)+∞.【点睛】本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.14．数列为等差数列且【分析】根据题意设该数列为由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且反之验证可得成立综合即可得答案【详解】根据题意设该数列为若数列的前项和则当时当时当时符合故有数列为等差数列且反之当解析：数列为等差数列且14a =，6d =． 【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，由数列的前n 项和公式分析可得数列为等差数列且14a =，6d =，反之验证可得23n S n n =+成立，综合即可得答案．【详解】根据题意，设该数列为{}n a ，若数列的前n 项和23n S n n =+，则当1n =时，114a S ==，当2n 时，162n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，14a =符合62n a n =-， 故有数列为等差数列且14a =，6d =，反之当数列为等差数列且14a =，6d =时，62n a n =-，21()232n n a a S n n +⨯==+； 故数列的前n 项和23(*)n S n n n N =+∈”成立的充要条件是数列为等差数列且14a =，6d =，故答案为：数列为等差数列且14a =，6d =． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．15．【分析】求得命题又由命题是的必要不充分条件所以是的真子集得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意命题命题又由命题是的必要不充分条件所以是的真子集设则满足解得经验证当适合题意所以的取值范围是【点睛】 解析：(],2-∞【分析】求得命题1:{|1}3p A x x =≤<，又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，得出不等式组1()03(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，命题311:0{|1}13x p A x x x x ⎧⎫-=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，设()23f x x mx =--+，则满足2111()()30333(1)130f m f m ⎧=--+>⎪⎨⎪=--+≥⎩，解得2m ≤， 经验证当2m =适合题意，所以m 的取值范围是(],2-∞．【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A ，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围； 【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 17．【解析】由得：则故答案为解析：()1,2【解析】 由{}22B x x x =<得：{}02B x x =<<，则()1,2A B ⋂=，故答案为()1,2. 18．【分析】由题意结合指数函数的单调性可得的最大值可得的范围【详解】命题为真命题可得的最大值由可得故答案为：【点睛】本题考查不等式能成立问题考查转化与化归思想属于中等题型解析：(],1-∞【分析】由题意结合指数函数的单调性，可得0a x ≤的最大值，可得a 的范围.【详解】命题“[]01,1x ∃∈-，033x a ≤”为真命题，可得0a x ≤的最大值，由[]01,1x ∈-，可得1a ≤，故答案为：(],1-∞【点睛】本题考查不等式能成立问题，考查转化与化归思想，属于中等题型 19．【分析】先确定元素再确定该元素为最小时对应子集个数最后利用错位相减法求和【详解】若1为最小元素则对应子集个数为个；若2为最小元素则对应子集个数为个；…若n 为最小元素则对应子集个数为个；所以的所有子集 解析：122n n +--【分析】先确定元素，再确定该元素为最小时对应子集个数，最后利用错位相减法求和.【详解】若1为最小元素，则对应子集个数为12n -个；若2为最小元素，则对应子集个数为22n -个；…...若n 为最小元素，则对应子集个数为02个；所以M 的所有子集的最小元素之和为2301223222n n n n ---+⨯+⨯++⨯ 设1230222322n n n n S ---+⨯+=⨯++⨯1212232222n n n n S --+⨯+⨯++⨯= 相减得231112(12)222222212n n n n n n n n n S ---+-++++-==-=--+- 故答案为：122n n +--【点睛】本题考查错位相减法求和以及子集个数，考查综合分析求解能力，属中档题.20．720【分析】欲求中所有元素和的总和需要知道中的元素和分别是多少；中的元素都可以通过题中已知条件：则求出【详解】解：依题意得为正整数集且及均为正整数即可可取的任意正整数1和9要么必须同时出现要么都不 解析：720.【分析】欲求S 中所有元素和的总和，需要知道S 中的元素和分别是多少；S 中的元素都可以通过题中已知条件：x S ∈，则(10)x S -∈求出．【详解】解：依题意得S 为正整数集，x S ∈，且10x S -∈ x 及10x -均为正整数即可 x 可取19→的任意正整数，1和9要么必须同时出现，要么都不出现；同理：2和8、3和7、4和6依此类推5……单独考虑，共5组．那么：只选1组是45，即(19)(28)545++++⋯⋯+=依此类推：选2组是180，选3组是270，选4组是180，选5组是45，共计4518027018045720++++=．故答案为：720．【点睛】首先要明确*N 所代表的数集，然后根据已知条件将所有的可能考虑全面即可，属于中档题．三、解答题21．（1）{}12A x x =-<<，{}13A B x x ⋃=-<<；（2）0a =或1a ≤-或2a ≥.【分析】（1）先求出集合A ，B ，再根据并集的定义即可求出；（2）先求出A R ，再根据题意讨论a 的范围即可求出. 【详解】（1）由不等式220x x --<解得12x -<<， {}12A x x ∴=-<<，当1a =时，()(){}{}13013B x x x x x =--<=<<， {}13A B x x ∴⋃=-<<；（2）{}12A x x =-<<，{1R A x x ∴=≤-或}2x ≥，当0a =时，{}20B x x =<=∅，满足题意；当0a >时，{}3B x a x a =<<，要使()R B A ⊆，则2a ≥；当0a <时，{}3B x a x a =<<，要使()R B A ⊆，则1a ≤-；综上，0a =或1a ≤-或2a ≥.【点睛】 本题考查集合的并集、补集运算，考查根据集合的包含关系求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.22．（1）[]2,4A B ⋂=；（2）11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【分析】（1）解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ； （2）根据题意可得知A B C ，可知，不等式260x mx -+<在区间[]2,4上恒成立，可得出关于实数m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）{}[]26802,4A x x x =-+≤=，()201,1B x x ⎧⎫=≥=+∞⎨⎬-⎩⎭，[]2,4A B ∴=； （2）因为“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件，A B ∴ C ， 设()26f x x mx =-+，由题意可知，不等式()0f x <在区间[]2,4上恒成立， 则()()2102042240f m f m ⎧=-<⎪⎨=-<⎪⎩，解得112m >. 因此，实数m 的取值范围是11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.23．（1）{}13x x -<≤；（2）(0，2].【分析】分别求解一元二次不等式化简A 与B ．（1）把2a =代入集合B ，再由交、并、补集的混合运算得答案；（2）由p ⌝是q 的充分不必要条件，得R A B ，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．【详解】 2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<，{|(1)(1)0}{|1B x x a x a x x a =-+-->=<-或1}x a >+．（1）若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{|13}R B x x =-，(){|16}{|13}{|13}R A B x x x x x x ∴⋂=-<<⋂-=-<；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，A R 1{|x x =≤-或6}x ≥则R A B ．∴01116a a a >⎧⎪--⎨⎪+⎩且不等式组中两等号不同时成立，解得02a <．a ∴的取值范围是(0，2]．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．24．（1）3m ≤；（2）m 1≥.【分析】（1）化简集合A ，B ，求出A B ，分类讨论C =∅和C ≠∅情况，求解，再取并集即可得出结果.（2）求出A B ，结合数轴列不等式，即可得出结果. 【详解】（1）{}|27A x x =-≤≤，{}|35B y y =-≤≤，{}|25AB x x =-≤≤，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，∴23m ≤≤；综上3m ≤.（2）{}|37A B x x ⋃=-≤≤，∴617m +≥，∴1m ≥.【点睛】本题考查了指数不等式和对数不等式，集合的运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.25．03a <≤【分析】根据题意，求出p ⌝表示的集合，利用p ⌝是q 的充分不必要条件得到集合间的包含关系，进而得到关于a 的不等式组，解不等式即可.【详解】由题意知，:2p x ⌝≤-或10x ≥，因为p ⌝是q 的充分不必要条件， 所以{2x x ≤-或}10x ≥ {1x x a ≤-或}1x a ≥+，所以121100311a a a a a -≥-⎧⎪+≤⇒<≤⎨⎪+>-⎩，所以实数a 的取值范围为03a <≤.【点睛】本题考查利用充分不必要条件和集合间的包含关系求参数的取值范围；考查逻辑推理能力和运算求解能力；根据题意，正确得出集合间的包含关系是求解本题的关键；属于中档题. 26．（1）{x |3≤x ＜5}；（2）（﹣∞，1]【分析】（1）先化简集合A ，再求得∁R A ，由m ＝2，得B ＝{x |1＜x ＜5}，然后求（∁R A ）∩B.（2）由A ∩B ＝B ，得到B ⊆A ，再分B ＝∅时，由m ﹣1≥2m +1求解，当B ≠∅时，有12114213m m m m -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜求解，最后取并集.【详解】（1）集合A ＝{x |y ＝ln （﹣x 2﹣x +12）}＝{x |﹣x 2﹣x +12＞0}＝{x |﹣4＜x ＜3}， 所以∁R A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，当m ＝2时，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1，m ∈R }＝{x |1＜x ＜5}，所以（∁R A ）∩B ＝{x |3≤x ＜5}.（2）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 当B ＝∅时，m ﹣1≥2m +1，解得m ≤﹣2；当B ≠∅时，有12114213m m m m -+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩＜，解得﹣2＜m ≤1，综上：实数m 的取值范围是（﹣∞，1].【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，那么“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若命题P :1x ≠或2y ≠，命题Q :3x y +≠，则P 是Q 的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必有5．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．判断下列命题①命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题；②命题“若21x =，则1x =.”的否命题为“若21x =，则1x ≠.”；③若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是假命题；④命题“x R ∀∈，22x x ≥."的否定是“0x R ∃∈，0202x x <.” 中正确的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为 A ．对任意x ∈R ,都有20x < B ．不存在x ∈R ,都有20x < C ．存在0x ∉R ,使得200x < D ．存在0x ∈R ,使得200x < 11．“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．(],2-∞ C ．()0,2D ．(),2-∞二、填空题13．集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为__________．14．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．15．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 16．命题“数列的前n 项和()2*3n S n n n N=+∈”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n ） 17．已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ⋃⋃=，若1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ⋂=⋃=∉，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有_________种.18．集合{}|20M x N x =∈-≤≤的子集个数为__________． 19．若集合{}1,3,A x =，{}21,B x =，且{}1,3,A B x ⋃=，则x =___________．20．己知全集U =R ，集合，，则___________三、解答题21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？ （2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由．（3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．22．已知全集U =R ，非空集合2{|0}3x A x x -=<-，2{|()(2)0}B x x a x a =---<． （1）当12a =时，求()U A B ；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．23．已知集合2102x a A xx a ⎧⎫--⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，集合{}|32B x x =-<． （Ⅰ）当2a =时，求A B ；（Ⅱ）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 24．已知命题:342,:()(2)0p x q x a x a ->---<． （1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（2）若q 是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．25．已知函数4321x x A x -+⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}321B x m x m =-≤≤+. （1）当2m =时，求A 和()RA B ⋂；（2）若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.26．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac+-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立；必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立， 综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件，故选：C . 【点睛】方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.2．D解析：D 【分析】根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ⨯+⨯-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期2T πω=，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.3．B解析：B 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，充分性：当10a >，0q <时，111n n nn S a S a q ++-==，无法判断其正负，显然数列{}n S 为不一定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{}n S 为递增数列时，10n n n S S a --=>，可得10a >，必要性成立. 故“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.4．B解析：B 【分析】通过举反例，判断出P 成立推不出Q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当0x =，3y =时，Q 不成立，即P Q ⇒不成立，即充分性不成立； 判断必要性时，写出原命题：3x y +≠时，则1x ≠或2y ≠， 由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：若1x =且2y =，则有3x y +=，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；所以P 是Q 的必要而不充分条件， 故选:B 【点睛】关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．5．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于101nq q ->-，所以 2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-，所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.7．B解析：B 【分析】分类讨论a 的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可. 【详解】（1）当0a =时，方程变为210x +=，有一负根12x =-，满足题意；（2）当0a <时，440∆=->a ，方程的两根满足1210x x a=<，此时有且仅有一个负根，满足题意；（3）当0a >时，由方程的根与系数关系可得2010aa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件440a ∆=-≥，01a ∴<≤.综上可得，1a ≤.因此，“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．B【分析】先将//a b 等价化简为cos 0θ=或1tan 2θ=，再判断解题即可. 【详解】//a b ⇔(sin 2,cos )//(cos ,1)θθθ⇔2sin 2cos θθ=⇔cos 0θ=或1tan 2θ=，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示、判断p 是q 的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.9．C解析：C 【分析】①写出原命题的逆命题，并判断真假性. ②根据否命题的知识判断真假性.③根据含有逻辑联结词命题真假性来判断命题的真假性. ④根据全称命题的否定的知识判断真假性. 【详解】①原命题的逆命题为：若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-.当方程20x x m +-=有实根则11404m m ∆=+≥⇒≥-.所以逆命题为真命题.所以①正确. ②原命题的否命题为：若21x ≠，则1x ≠.所以②错误.③由于p q ∧为假命题，所以,p q 中至少有一个是假命题，可能是一真一假，所以p q ∨可能为真命题.所以③错误. ④原命题的否定是0x R ∃∈，0202x x <.所以④正确.综上所述，正确的序号为①④.故选：C 【点睛】本小题主要考查四种命题，考查含有逻辑连接词命题，考查全称命题的否定，属于中档题.10．D解析：D 【解析】命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得200x <,选D.11．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及直线与平面平行的定义即可判定. 【详解】因为满足“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”这样条件的直线可以和平面相交， 所以推不出“这条直线与平面α平行”，当直线满足与平面α平行时，可以推出这条直线与平面α内无数条直线异面， 所以“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.12．D解析：D 【分析】设(1,2)x ∈时，2485()1x x f x x -+=-的值域A ，2()1mx m g x x -+=-的值域B ，只要A B ⊆即可满足题意．【详解】设2485()1x x f x x -+=-（(1,2)x ∈），24(1)11()4(1)11x f x x x x -+==-+--， 设1t x =-，则1()4f x y t t ==+，则(0,1)x ∈，由勾形函数性质知当102t <<时，y 递减，当112t <<时，y 递增， min 1144122y =⨯+=，[4,)y ∈+∞，即()f x 值域为[4,)+∞， 2()1mx m g x x -+=-（(1,2)x ∈），设1x t -=，(0,1)t ∈，则2()g x y m t==+，(0,1)t ∈时，2y m t=+是减函数，(2,)y m ∈++∞，即()(2,)g x m ∈++∞， 对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则24m +<，2m <．故选：D ． 【点睛】本题考查含有存在题词与全称题词的命题恒成立问题，解题关键是把问题转化为集合之间的包含关系．二、填空题13．【分析】集合A 中所有元素被选取了次可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果【详解】集合中所有元素被选取了次∴集合中所有3个元素的子集的元素和为故答案为【点睛】本题考查了集合的子集正整数平方和 解析：(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++【分析】集合A 中所有元素被选取了21n C -次，可得集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()222122123n n C -+++⋯+即可得结果.【详解】 集合{}22221,2,3,,A n =中所有元素被选取了21n C -次，∴集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()()()()()2222211212112326n n n n n n C n ---+++++⋯+=⨯()()()()2112112n n n n n --++=，故答案为(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++．【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．14．【解析】因为所以或则图中阴影部分所表示的集合为应填答案 解析：[]5,1-【解析】因为[]5,2A =-，()1,4B =，所以{|1U C B x x =≤或4}x ≥，则图中阴影部分所表示的集合为(){|51}U C B A x x ⋂=-≤≤，应填答案[]5,1-．15．【分析】对分类讨论计算可得【详解】解：因为命题使得不等式是真命题当时恒成立满足条件；当时则解得综上可得即故答案为：【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围属于中档题 解析：[]0,4【分析】对m 分类讨论，计算可得. 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题 当0m =时，10≥恒成立，满足条件；当0m ≠时，则2040m m m >⎧⎨-≤⎩解得04m <≤综上可得04m ≤≤即[]0,4m ∈ 故答案为：[]0,4 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，属于中档题.16．数列为等差数列且【分析】根据题意设该数列为由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且反之验证可得成立综合即可得答案【详解】根据题意设该数列为若数列的前项和则当时当时当时符合故有数列为等差数列且反之当解析：数列为等差数列且14a =，6d =． 【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，由数列的前n 项和公式分析可得数列为等差数列且14a =，6d =，反之验证可得23n S n n =+成立，综合即可得答案．【详解】根据题意，设该数列为{}n a ，若数列的前n 项和23n S n n =+，则当1n =时，114a S ==，当2n 时，162n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，14a =符合62n a n =-， 故有数列为等差数列且14a =，6d =，反之当数列为等差数列且14a =，6d =时，62n a n =-，21()232n n a a S n n +⨯==+； 故数列的前n 项和23(*)n S n n n N =+∈”成立的充要条件是数列为等差数列且14a =，6d =，故答案为：数列为等差数列且14a =，6d =． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．17．【分析】通过确定XYZ 的子集利用乘法公式即可得到答案【详解】根据题意可知由于可知Z 共有种可能而有4种可能故共有种可能所以答案为128【点睛】本题主要考查子集相关概念乘法分步原理意在考查学生的分析能力 解析：128【分析】通过确定X,Y ,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案. 【详解】根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ⊆⊆⊆，，由于{6}Z ⊆，可知Z 共有 52=32种可能，而(){4},5X Y ⊆⋃有4种可能，故共有432=128⨯种可能，所以答案为128.【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.18．2【解析】因为集合所以集合子集有两个：空集与故答案为解析：2【解析】因为集合{}{}|200M x N x =∈-≤≤=，所以集合M 子集有两个：空集与{}0，故答案为2.19．0或【解析】由题意得解析：0或3±【解析】由题意得2223,1,3,103x x x x x x x 或或==≠≠≠⇒=±20．【解析】试题分析：本题首先求出集合AB 再求它们的运算这两个集合都是不等式的解集故解得因此考点：集合的运算 解析：【解析】试题分析：本题首先求出集合A ，B ，再求它们的运算，这两个集合都是不等式的解集，故解得{|31}A x x x =-或，{|02}B x x =<≤，因此()(0,1]U A B ⋂=.考点：集合的运算. 三、解答题21．（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素；（2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x -∈，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x -（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素.【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x-≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x -（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23，所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【点睛】 关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性. 22．（1）934xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；（2）(,1][1,2]-∞-⋃． 【分析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,A B ,再求补集和交集即可；（2）先判断22a a +>得2{|2}B x a x a =<<+，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.【详解】（1）∵12a =时，2{|0}{|23}3x A x x x x -=<=<<-， 1119{|()(2)0}{|}2424B x x x x x =---<=<<， 全集U =R ，∴1{|2UC B x x =≤或9}4x ≥．∴9(){|3}4U C B A x x ⋂=≤<． （2）∵命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，q 是p 的必要条件，∴A B ⊆． ∵221772()0244a a a +-=-+≥>，∴22a a +>， ∵23{|}A x x =<<，2{|2}B x a x a =<<+，∴2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤≤，故实数a 的取值范围(,1][1,2]-∞-⋃． 【点睛】本题主要考查了集合的运算及求参问题，涉及必要条件的转化，属于基础题.23．（Ⅰ）{|45}A B x x ⋂=<<；（Ⅱ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（Ⅰ）当2a =时，求出集合A ，集合B ，由此能求出A B ． （Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，从而A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，集合215|0{|0}{|45}24x a x A x x x x x a x ⎧⎫---=<=<=<<⎨⎬--⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．{|45}A B x x ∴=<<．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，A B ∴⊆，当221a a <+时，1a ≠，集合221|0{|21}2x a A x x a x a x a ⎧⎫--=<=<<+⎨⎬-⎩⎭， 集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．∴22115a a ⎧⎨+⎩，且1a ≠，解得122a ．且1a ≠， 当1a =时，A =∅，成立． 综上，实数a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查充分条件、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．24．（1）()2,3；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）首先根据题意分别解得p 真和q 真时x 的范围，再根据p q ∧为真命题解不等式组即可.（2）首先解出p ⌝和q ，再根据q 是p ⌝的必要不充分条件解不等式组即可. 【详解】（1）p 真：342x ->或342x -<-，即p 真：2x >或23x <. :(1)(3)0q x x --<，q 真：13x <<.因为p q ∧为真命题，所以p ，q 都为真命题. 所以22313x x x ⎧><⎪⎨⎪<<⎩或，解得23x <<.（2）由（1）知2:23p x ⌝≤≤，:2q a x a <<+. 因为q 是p ⌝的必要不充分条件， 所以2203322a a a ⎧<⎪⇒<<⎨⎪+>⎩，a 的取值范围是2(0,)3. 【点睛】本题第一问考查逻辑连接词，第二问考查充分不必要条件，属于中档题.25．（1）()()34-∞-+∞,,，[]1,4-；（2）2m <-或7m >.【分析】(1)由指数函数的单调性可得403x x ->+，解分式方程即可得集合A ，从而可求出()R A B ⋂. (2)由题意知BA ，分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）∵4321x x -+>，∴40322x x -+>，∴403x x ->+，解得3x <-或4x >， ∴()(),34,A =-∞-⋃+∞，又2m =，[]1,5B =-，[]3,4R A =- ∴()[]1,4R A B ⋂=-.（2）∵x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，∴BA ， （1）当B =∅时，则321m m ->+，即4m <-.（2）当B ≠∅时，32134m m m -≤+⎧⎨->⎩或321213m m m -≤+⎧⎨+<-⎩∴7m >或42m -≤<- 综上所述，2m <-或7m >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 26．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x << 因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（ ）． A ．lg lg x y >B ．22xy >C ．11x y>D ．22x y >3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D ．R5．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b b a ->+-”的( )（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合{}1A x x =>-，{}2B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,-+∞B ．(),2-∞C ．1,2D ．R7．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =是“点P 到直线l ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件9．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．(],2-∞ C ．()0,2D ．(),2-∞12．不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为（ ） A ．–11a ≤≤B ．–11a ≤<C ．–11a <<D ．11a -<≤二、填空题13．给出下列命题：①函数()π4cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若命题:p “2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--<”；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2,()1E D ξξ==，则(1)p ξ==14；④函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）.14．命题“数列的前n 项和()2*3n S n n n N=+∈”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n ）15．设全集U Z =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,3,4,5B =，则下图中阴影部分表示的集合是_____.16．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 17．已知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，记()(){}()(){},f A n f n A f B m f m B =∈=∈， 则()()f A f B ⋂=_________.18．已知数集{}{},,,1,2,3,4a b c d =，且有下列说法：①1a =；②2>c ；③4d ≠，则满足(),,,a b c d 的数值有________组.19．已知集合{}ln(21)A x y x ==-，{}2230B x x x =--≤，则A B __________．20．下列有关命题的说法正确的是__________________.①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0 ②x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件 ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则非p ：∀x ∈R ， 均有x 2＋x ＋1≥0三、解答题21．已知命题:p x R ∀∈，()()221140a x a x -+-+>，:q x R ∃∈，()22110x a x -++<（1）若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，求实数t 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a .22．设命题p ：12≤x ≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若q 是p 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围.23．已知函数4321x x A x -+⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}321B x m x m =-≤≤+.（1）当2m =时，求A 和()RA B ⋂；（2）若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 24．已知集合A 是函数2lg 20()8y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:,:p x A q x B ∈∈．（1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．25．已知命题:p 实数t 满足22540t at a -+<，:q 实数t 满足曲线22126x yt t+=--为双曲线.（1）若1a =，且p ⌝为假，求实数t 的取值范围；（2）若0a >，且q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 26．已知集合{}2|5140A x x x =--≤，{}|14B x x =-≤.（1）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围； （2）若{}|61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断． 【详解】2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是(,2)-∞的真子集，因此应是必要不充分条件． 故选：C ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．2．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意； 对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．3．A解析：A 【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.4．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.5．C解析：C 【分析】构造函数()ln f x x x =+，据a ，b 的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可． 【详解】设()ln f x x x =+，显然()f x 在(0,)+∞上单调递增，a b >，所以()()f a f b >ln ln a a b b ∴+>+，即ln ln a b b a ->+-，故充分性成立， 因为ln ln a b b a ->+-ln ln a a b b ∴+>+，所以()()f a f b >，a b ∴>，故必要性成立，故“a b >”是“ln ln a b b a ->+-”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了构造函数法的应用，是基础题．6．C解析：C 【分析】由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】{|12}=(1,2)=-<<-A B x x故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.7．B解析：B 【分析】“点P 到直线l ”解得：m =±. 【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈⎣当0m <时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =是“点P 到直线l ”的充分不必要条件.【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围.8．C解析：C 【分析】根据等比数列的通项公式和单调性的判定方法，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，可得11n n a a q -=，若10,1a q >>，可得11111()(1)0n n n n n a a a q q a q q --+-=-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列，故充分性是成立的； 反之：若等比数列{}n a 为递增数列，即111(1)0n n n a a a qq -+-=->，若10a >，则1(1)0n q q -->，可得1q >，故必要性是成立的，所以“1q >”是“{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及数列的单调性的判定方法及应用，其中解答中熟记数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.9．C解析：C 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->， 所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立， 所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及直线与平面平行的定义即可判定.因为满足“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”这样条件的直线可以和平面相交， 所以推不出“这条直线与平面α平行”，当直线满足与平面α平行时，可以推出这条直线与平面α内无数条直线异面， 所以“一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，直线与平面的位置关系，属于中档题.11．D解析：D 【分析】设(1,2)x ∈时，2485()1x x f x x -+=-的值域A ，2()1mx m g x x -+=-的值域B ，只要A B ⊆即可满足题意．【详解】设2485()1x x f x x -+=-（(1,2)x ∈），24(1)11()4(1)11x f x x x x -+==-+--， 设1t x =-，则1()4f x y t t ==+，则(0,1)x ∈，由勾形函数性质知当102t <<时，y 递减，当112t <<时，y 递增， min 1144122y =⨯+=，[4,)y ∈+∞，即()f x 值域为[4,)+∞， 2()1mx m g x x -+=-（(1,2)x ∈），设1x t -=，(0,1)t ∈，则2()g x y m t==+，(0,1)t ∈时，2y m t=+是减函数，(2,)y m ∈++∞，即()(2,)g x m ∈++∞， 对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则24m +<，2m <．故选：D ． 【点睛】本题考查含有存在题词与全称题词的命题恒成立问题，解题关键是把问题转化为集合之间的包含关系．12．D解析：D 【分析】求解一元二次不等式可得220x x --<的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解即可. 【详解】由不等式220x x --<，得12x -<<，∵不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，∴()2,1a a +⫋()12-，， 则221112a a a a ⎧<+⎪≥-⎨⎪+≤⎩且1a ≥-与212a +≤的等号不同时成立，解得11a -<≤， ∴a 的取值范围为11a -<≤，故选：D ． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.二、填空题13．①③【分析】求出判断①利用存在量词命题否定形式判断②二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④【详解】解：①函数的一个对称中心为故①正确；②若命题：则命题的否定为：；所以②不正确；③设随机变解析：①③ 【分析】 求出5()012f π-=判断①，利用存在量词命题否定形式判断②，二项分布的期望与方差判断③；三角函数图象变换判断④． 【详解】 解：①5()4cos()0122f ππ-=-=， ∴函数()4cos(2)3f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π-，故①正确；②若命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”；所以②不正确；③设随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，()1D ξ=，可得2np =，(1)1np p -=，可得12p =，4n =则43111(1)12412p C ξ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭；所以③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()4y x π=+，不是sin(2)4y x π=+的图象，所以④不正确；故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，命题的否定，期望与方差的求法，属于中档题．14．数列为等差数列且【分析】根据题意设该数列为由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且反之验证可得成立综合即可得答案【详解】根据题意设该数列为若数列的前项和则当时当时当时符合故有数列为等差数列且反之当解析：数列为等差数列且14a =，6d =． 【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，由数列的前n 项和公式分析可得数列为等差数列且14a =，6d =，反之验证可得23n S n n =+成立，综合即可得答案．【详解】根据题意，设该数列为{}n a ，若数列的前n 项和23n S n n =+，则当1n =时，114a S ==，当2n 时，162n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，14a =符合62n a n =-， 故有数列为等差数列且14a =，6d =，反之当数列为等差数列且14a =，6d =时，62n a n =-，21()232n n a a S n n +⨯==+； 故数列的前n 项和23(*)n S n n n N =+∈”成立的充要条件是数列为等差数列且14a =，6d =，故答案为：数列为等差数列且14a =，6d =． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．15．【分析】先判断阴影部分表示的集合为再计算得到答案【详解】集阴影部分表示的集合为：故答案为【点睛】本题考查了韦恩图的识别将图像转化为集合的运算是解题的关键 解析：{}2,4【分析】先判断阴影部分表示的集合为U B C A ⋂，再计算得到答案. 【详解】集U Z =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,3,4,5B = 阴影部分表示的集合为：{}2,4U B C A ⋂=故答案为{}2,4【点睛】本题考查了韦恩图的识别，将图像转化为集合的运算是解题的关键.16．【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式若 解析：()1,2-【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B 的结果.【详解】 因为12x -<，所以13x，所以()1,3A =-； 又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-.故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.17．【分析】由题意求得所再根据集合的交集的运算即可求解【详解】由题意知集合所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算其中解答中正确求解集合是解答的关键着重考查了推理与运算能力属于基础题 解析：{}7,9,11【分析】由题意求得所(){}3,5,7,9,11f A =，(){}7,9,11,13,15f B =，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，知()()21f n n n N *=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，所以()(){}{}3,5,7,9,11f A n f n A =∈=，()(){}{}7,9,11,13,15f B m f m B =∈=， 所以()(){}7,9,11f A f B ⋂=.故答案为：{}7,9,11.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分 解析：3【分析】列举出符合条件的数组(),,,a b c d 即可.【详解】1a =，2>c ，4d ≠，则c 的取值可以是3或4.①3c =时，4b =，2d =，即数组为()1,4,3,2；②4c =时，则2b =，3d =或3b =，2d =，即数组为()1,2,4,3和()1,3,4,2. 因此，符合题中条件的数组(),,,a b c d 有3组，故答案为：3.【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.19．(或用区间表示为【解析】分析：先根据真数大于零得集合A 再解一元二次不等式得集合B 最后根据交集定义求结果详解：因为所以因为所以因此点睛：求集合的交并补时一般先化简集合再由交并补的定义求解在进行集合的运 解析：13|22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭(或用区间表示为13(,]22. 【解析】分析：先根据真数大于零得集合A,再解一元二次不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果.详解：因为210x ->，所以12x >因为2230x x --≤，所以312x -≤≤因此13(,]22A B ⋂=. 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 20．①②④【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①命题若则的逆否命题是：若则正确；②若则成立即充分性成立；若则或此时不一定成立即必要性不成立故是的充分不必要条件正确；③若为假命题则至少有解析：①②④【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，正确；②若1x =，则2321320x x -+=-+=成立，即充分性成立；若2320x x -+=，则1x =或2x =，此时1x =不一定成立，即必要性不成立，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，正确；③若p q ∧为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，不正确④对于命题:p x R ∃∈使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++，正确． 故答案为：①②④【点睛】此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题．三、解答题21．（1）1,15⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；(2) 3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【分析】（1）当命题,p q 为真时，求得a 的取值范围，“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件即[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，计算求解即可； （2）p q ∧为假，p q ∨为真，即即,p q 一真一假,分情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）命题p 为真时，1a =或()()2221014140a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-⨯<⎪⎩，解得：1a =或1a >或1715a <-，综上：p 为真，a 的取值范围为[)17,1,15⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭； 命题q 为真时，()2=2140a ∆+->，解得a 的取值范围为31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，则[][)1723,21,1,15t t ⎛⎫---⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， ①2321t t -->-时，15t <-，符合题意.②2321172115t t t --≤-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，即15115t t ⎧≥-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，11515t -≤<-. ③2321231t t t --≤-⎧⎨--≥⎩时，151t t ⎧≥-⎪⎨⎪<-⎩，无解. 综上：t 的取值范围为：1,15⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，即,p q 一真一假：①p 真q 假：171153122a a a ⎧<-≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或，即317215a -<<- ②p 假q 真：171153122a a a ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或，即112a ≤<. 综上：实数a 的取值范围：3171,,12152⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【点睛】方法点睛：根据命题的真假求參数的取值范围的方法（1）求出当命题,p q 为真命题时所含參数的取值范围；（2）判断命题,p q 的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解參数的取值范围. 22．[0，1]2【分析】求出q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．【详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++得1a x a +，若q 是p 的必要不充分条件， 则1[2，1][a ，1]a +， 即1211a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，得120a a ⎧⎪⎨⎪⎩，得102a ， 即实数a 的取值范围是[0，1]2，【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键，属于容易题．23．（1）()()34-∞-+∞,,，[]1,4-；（2）2m <-或7m >. 【分析】(1)由指数函数的单调性可得403x x ->+，解分式方程即可得集合A ，从而可求出()R A B ⋂. (2)由题意知B A ，分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）∵4321x x -+>，∴40322x x -+>，∴403x x ->+，解得3x <-或4x >， ∴()(),34,A =-∞-⋃+∞，又2m =，[]1,5B =-，[]3,4R A =- ∴()[]1,4R A B ⋂=-.（2）∵x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，∴B A ， （1）当B =∅时，则321m m ->+，即4m <-.（2）当B ≠∅时，32134m m m -≤+⎧⎨->⎩或321213m m m -≤+⎧⎨+<-⎩∴7m >或42m -≤<- 综上所述，2m <-或7m >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）9a ≥（2）03a <≤【解析】分析：（1）分别求函数2lg 20()8y x x =+-的定义域和不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，从而确定集合A,B ，由A B φ⋂=，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；（2）求出p ⌝对应的x 的取值范围，由p ⌝是q 的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的取值范围.详解：（1）由题意得{}{}|210,|11A x x B x x a x a =-<<=≥+≤-或． 若A B ⋂=∅，则必须满足110120a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得9a ≥．∴a 的取值范围为9a ≥．（2）易得:102p x x ⌝≥≤-或．∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{}|102x x x ≥≤-或是{}|11B x x a x a =≥+≤-或的真子集，则101210a a a ≥+⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得03a <≤，∴a 的取值范围是03a <≤．点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.25．（1）()1,4；（2）322a ≤≤ . 【分析】（1）可知p 为真，解出不等式即可；（2）由题可知命题p 等价于{}|4A t a t a =<<，命题q 等价于{}|26B t t =<<，由q 是p 的充分不必要条件可得集合B 是集合A 的真子集，由此列出不等式即可求解.【详解】解：（1）p ⌝为假，∴p 为真， 21,540a t t =∴-+<， 解得()1,4t ∈；（2）:p 由22540t at a -+<得()(4)0t a t a --<:q 由实数t 满足曲线22126x y t t+=--为双曲线.得(2)(6)0t t --<解之26t << 由0a >且()(4)0t a t a --<得，4a t a <<设{}|4A t a t a =<<，{}|26B t t =<<，因为q 是p 的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，故有0246a a a >⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，得322a ≤≤. 【点睛】本题考查利用集合的关系判断命题的充分不必要条件，其中涉及一元二次不等式和对双曲线方程的理解，属于基础题.26．（1）3m ≤；（2）m 1≥.【分析】（1）先求出A B ，再根据包含关系可得关于m 的不等式组，从而求实数m 的取值范围，注意对C 是否为空集分类讨论； （2）先求出A B ，再根据()A B D =∅得到关于m 的不等式，从而求实数m 的取值范围.【详解】（1）{}|27A x x =-≤≤，{}|35B x x =-≤≤，{}|25AB x x =-≤≤，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，∴23m ≤≤，综上3m ≤.（2）{}|37A B x x ⋃=-≤≤，∴617m +≥，∴m 1≥.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.。
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)．
A． (0,1)B ． (0,1]
C． [0,1)D ． [0,1] 10．设命题 p：函数 y＝lg( x2＋ 2x－c) 的定义域为 R，命题 q：函数 y＝lg( x2＋2x－c)
的值域为 R，若命题 p， q 有且仅有一个为真，则 c 的取值范围为 ( ) ．
A． B．( －∞，－ 1)
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真； ⑤“若 m＞ 1，则 mx2－2( m＋ 1) x＋m＋3＞0 的解集为 R”的逆命题．
其中真命题是 __________．( 把你认为是正确命题的序号都填在横线上 )
15．已知命题 p：不等式＜ 0 的解集为 { x|0 ＜x＜1} ；命题 q：在△ ABC中，“ A＞B”是
N－ M＝ { x|1 ≤x≤2} ，
∴M△N＝{ x|1 ≤ x≤2，或 x＞3} ．
7．D 解析： ∵M＝＝ { x| －3＜x＜1} ，N＝{ x|| x| ≤1} ＝ { x| －1≤ x≤1} ，∴阴影部分表
示的集合为 M∩（?UN) ＝{ x| －3＜x＜－ 1} ，故选 D.
8．D 解析： 依据各种命题的定义，可以判断 A，B，C全为假，由 b＝0，可以判断 f ( x) ＝ax2＋bx＋c 是偶函数，反之亦成立．
的充要条件，所以命题 q 是假命题，
∴①正确，②错误，③正确，④错误．
三、解答题 16．解： (1) M＝ { x| x＋ 3＝ 0} ＝{ －3} ，N＝{ x| x2＝x＋12} ＝{ －3,4} ， ∴（?I M) ∩ N＝{4} ． (2) ∵ A＝{ x| x＜－ 1，或 x＞ 1} ， B＝ { x| －1≤ x＜ 0} ， ∴?UB＝{ x| x＜－ 1，或 x≥0} ． ∴A∪（?UB) ＝{ x| x＜－ 1，或 x≥0} ． 17．解： 由 p：－ 2≤1－≤ 2， 解得－ 2≤ x≤10， ∴“非 p”： A＝{ x| x＞10，或 x＜－ 2} ． 由 q：x2－2x＋1－m2≤0， 解得 1－m≤x≤1＋ m( m＞ 0) ． ∴“非 q”： B＝{ x| x＞1＋m或 x＜ 1－ m，m＞0} ， 由“非 p”是“非 q”的充分不必要条件得 A B. ∴解得 0＜ m≤3. ∴满足条件的 m的取值范围为 { m|0 ＜ m≤3} ． 18．证明：必要性：∵ a＋ b＝ 1，即 b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝ a3＋(1 － a) 3＋ a(1 －a) －a2－ (1 －a) 2＝0， 必要性得证． 充分性：∵ a3＋b3＋ ab－a2－ b2＝0， ∴（a＋ b)( a2－ ab＋b2) －( a2－ab＋b2) ＝0， ∴（a2－ab＋b2)( a＋ b－ 1) ＝0. 又 ab≠0，即 a≠０且 b≠0，
9． C 解析： ∵ y＝ |cos2 x－ sin 2 x |
＝|cos2 x| ， x∈ R，
∴y∈[0,1] ，∴ M＝ [0,1] ．
∵＜ 1，∴｜x| ＜1. ∴－ 1＜ x＜ 1.
∴N＝( －1,1) ．∴ M∩N＝[0,1) ．
10．D 解析： 本题考查根据命题 的真假求参数的取值范围． 若函数 y＝ lg( x2＋2x－ c) 的定义域为 R，则不等式 x2＋ 2x－c＞0 对任意 x∈R 恒成立，
的充分而不必要条件，求实数 m的取值范围． 18．(12 分 ) 已知 ab≠0，求证： a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ ab－a2－ b2＝0. 19．(12 分 )(2011 福建四地六校联合考试 ) 已知集合 A＝{ x| x2－ 2x－3≤0， x∈R} ， B＝
{ x| x2－2mx＋m2－4≤0， x∈ R， m∈ R} ．
7．已知全集 U 为实数集 R，集合 M＝， N＝{ x|| x| ≤1} ，则下图阴影部分表示的集合是
( )．
A． [ － 1,1]B ．( －3,1]
C． ( －∞，－ 3) ∪[ － 1，＋∞ )D． ( －3，－ 1)
8．下列判断正确的是 ( ) ．
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“任意的 x∈ N， x3＞x2”的否定是“存在 x∈ N， x3＜x2”
4．D 解析： 含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否
定．
5． B 解析： a＝( m－1,2 m＋1) ， b＝ (2 n＋1， 3n－2) ，令 a＝ b，
得解得
此时 a＝b＝ ( －1x| x＞ 3 或 x＜1} ，N＝{ x| x≤2} ，∴ M－ N＝ { x| x＞ 3} ，
成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．
2． D 解析： 集合 N＝ {0,2,4} ，
所以 M∩N＝{0,2} ．
3．A 解析： 由 ( a－1)( a－2) ＝ 0，得 a＝1 或 a＝ 2，所以 a＝ 2?( a－1)( a－2) ＝0. 而由
( a－ 1)( a－ 2) ＝0 不一定推出 a＝2，故 a＝ 2 是( a－1)( a－2) ＝0 的充分而不必要条件．
设全集
I 是实数集，则
M＝{
x|
≤0}
，
N＝
{
x
|
2x
2
＝2
x＋12
}
，求
(?
I
M)
∩
N.
(2) 已知全集 U＝R，集合 A＝{ x|( x＋ 1)( x－1) ＞0} ， B＝ { x| －1≤ x＜0} ，求 A∪（?UB) ． 17．(12 分 ) 已知 p：－ 2≤1－≤ 2， q：x2－2x＋1－m2≤0( m＞0) ．若“非 p”是“非 q”
则有 Δ＝ 4＋4c＜0，解得 c＜－ 1； 若函数 y＝ lg( x2＋2x－ c) 的值域为 R，则 g( x) ＝ x2＋2x－ c 应该能够取到所有的正实数，
因此 Δ＝ 4＋4c≥0，解得 c≥－ 1.
当 p 为真， q 为假时，有 c＜－ 1；
当 p 为假， q 为真时，有 c≥－ 1.
综上，当命题 p， q 有且仅有一个为真时， c 的取值范围为 R. 故选 D.
第一章集合与常用逻辑用语单元检测
(时间： 120 分钟 满分： 150 分)
一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的 )
1．一个命题与它的逆命题、否命题 、逆否命题这四个命题中 ( ) ．
A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是奇数
6．对任意两个集合 M，N，定义： M－N＝{ x| x∈ M且 x?N} ，M△N＝( M－ N) ∪（N－M) ，设
M＝， N＝{ x| y＝} ，则 M△ N＝ ( ) ．
A． { x| x＞3}B． { x|1 ≤ x≤2} C． { x|1 ≤x＜2，或 x＞3}D．{ x|1 ≤x≤2，或 x＞ 3}
x∈R，
14．②③⑤ 解析： 原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同 真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式 mx2－ 2( m＋1) x＋m＋3＞0 的解集为 R，
由??m＞1. 故⑤正确．
15．①③ 解析：解不等式知，命题 p 是真命题，在△ ABC中，“ A＞ B”是“ sin A＞sin B”
条件． ( 填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要 )
13．若命题“存在 x∈R，x2－ax－ a＜0”为假命题， 则实数 a 的取值范围为 __________．
14．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
(1) 若 A∩B＝[0,3] ，求实数 m的值；
(2) 若 A??RB，求实数 m的取值范围．
20．(13 分 ) 已知函数 f ( x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数， a，b∈R，对命题“若 a＋ b≥0，
则 f ( a) ＋ f ( b) ≥ f ( －a) ＋ f ( －b) ”．
(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
2
∴a2－ab＋ b2＝ a b ＋≠ 0， 2
∴a＋b＝1，
充分性得证． 综上可知， a＋b＝1 的充要条件是 a3＋ b3＋ab－a2－ b2＝0. 19．解： 由已知得： A＝{ x| －1≤ x≤3} ， B＝{ x| m－2≤ x≤m＋2} ． (1) ∵ A∩B＝ [0,3] ，∴ ∴∴ m＝2，即实数 m的值为 2. (2)? RB＝{ x| x＜m－2，或 x＞m＋2} ． ∵A??RB，∴ m－ 2＞ 3 或 m＋2＜－ 1. ∴m＞5 或 m＜－ 3. ∴实数 m的取值范围是 ( －∞，－ 3) ∪(5 ，＋∞ ) ． 20．解： (1) 逆命题是：若 f ( a) ＋f ( b) ≥ f ( － a) ＋f ( － b) ，则 a＋b≥0，为真命题． 用反证法证明：假设 a＋ b＜ 0， 则 a＜－ b，b＜－ a. ∵f ( x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数， 则 f ( a) ＜f ( － b) ，f ( b) ＜f ( －a) ， ∴f ( a) ＋f ( b) ＜ f ( －a) ＋f ( － b) ，这与题设相矛盾，∴逆命题为真． (2) 逆否命题：若 f ( a) ＋ f ( b) ＜ f ( －a) ＋f ( －b) ，则 a＋ b＜ 0，为真命题． ∵原命题 ?它的逆否命题，
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．命题“存在 x∈R，x2－ 3x＋4＞0”的否定是 (
)．
A．存在 x∈R，x2－ 3x＋4＜0B．任意的 x∈R，x2－3x＋4＞0
C．任意的 x∈ R， x2－3x＋4≥0D．任意的 x∈R，x2－ 3x＋4≤０