集合与常用逻辑用语单元检测附答案答案含详解

则有 Δ＝ 4＋4c＜0，解得 c＜－ 1； 若函数 y＝ lg( x2＋2x－ c) 的值域为 R，则 g( x) ＝ x2＋2x－ c 应该能够取到所有的正实数，
因此 Δ＝ 4＋4c≥0，解得 c≥－ 1.
当 p 为真， q 为假时，有 c＜－ 1；
当 p 为假， q 为真时，有 c≥－ 1.
综上，当命题 p， q 有且仅有一个为真时， c 的取值范围为 R. 故选 D.
二、填空题
11．{2,5} 解析： ∵A∪B＝{2,3,4,5} ，?UC＝{1,2,5} ，
∴（A∪ B) ∩（?UC) ＝{2,5} ． 12．必要不充分 解析： p 为： a≥0， q 为 a2≤a，a2≤ a?a( a－1) ≤０?0≤ a≤1，
∴ p q，而 q? p，
∴ p 是 q 的必要不充分条件． 13．[ －4,0] 解析： ∵“存在 x∈ R， x2－ax－a＜0”为假命题，则“对任意的 x2－ax－a≥0”为真命题，∴Δ＝ a2＋ 4a≤0，解得－ 4≤ a≤0.
设全集
I 是实数集，则
M＝{
x|
≤0}
，
N＝
{
x
|
2x
2
＝2
x＋12
}
，求
(?
I
M)
∩
N.
(2) 已知全集 U＝R，集合 A＝{ x|( x＋ 1)( x－1) ＞0} ， B＝ { x| －1≤ x＜0} ，求 A∪（?UB) ． 17．(12 分 ) 已知 p：－ 2≤1－≤ 2， q：x2－2x＋1－m2≤0( m＞0) ．若“非 p”是“非 q”
5．集合 P＝{ a| a＝( －1,1) ＋m(1,2) ， m∈ R} ，Q＝{ b| b＝(1 ，－ 2) ＋ n(2,3) ，n∈R} 是
两个向量集合，则 P∩ Q＝ ( ) ．
A． {(1 ，－ 2)}B ．{( － 13，－ 23)}
C． {(1,2)}D ．{( － 23，－ 13)}
N－ M＝ { x|1 ≤x≤2} ，
∴M△N＝{ x|1 ≤ x≤2，或 x＞3} ．
7．D 解析： ∵M＝＝ { x| －3＜x＜1} ，N＝{ x|| x| ≤1} ＝ { x| －1≤ x≤1} ，∴阴影部分表
示的集合为 M∩（?UN) ＝{ x| －3＜x＜－ 1} ，故选 D.
8．D 解析： 依据各种命题的定义，可以判断 A，B，C全为假，由 b＝0，可以判断 f ( x) ＝ax2＋bx＋c 是偶函数，反之亦成立．
条件． ( 填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要 )
13．若命题“存在 x∈R，x2－ax－ a＜0”为假命题， 则实数 a 的取值范围为 __________．
源自文库
14．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．命题“存在 x∈R，x2－ 3x＋4＞0”的否定是 (
)．
A．存在 x∈R，x2－ 3x＋4＜0B．任意的 x∈R，x2－3x＋4＞0
C．任意的 x∈ R， x2－3x＋4≥0D．任意的 x∈R，x2－ 3x＋4≤０
2
∴a2－ab＋ b2＝ a b ＋≠ 0， 2
∴a＋b＝1，
充分性得证． 综上可知， a＋b＝1 的充要条件是 a3＋ b3＋ab－a2－ b2＝0. 19．解： 由已知得： A＝{ x| －1≤ x≤3} ， B＝{ x| m－2≤ x≤m＋2} ． (1) ∵ A∩B＝ [0,3] ，∴ ∴∴ m＝2，即实数 m的值为 2. (2)? RB＝{ x| x＜m－2，或 x＞m＋2} ． ∵A??RB，∴ m－ 2＞ 3 或 m＋2＜－ 1. ∴m＞5 或 m＜－ 3. ∴实数 m的取值范围是 ( －∞，－ 3) ∪(5 ，＋∞ ) ． 20．解： (1) 逆命题是：若 f ( a) ＋f ( b) ≥ f ( － a) ＋f ( － b) ，则 a＋b≥0，为真命题． 用反证法证明：假设 a＋ b＜ 0， 则 a＜－ b，b＜－ a. ∵f ( x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数， 则 f ( a) ＜f ( － b) ，f ( b) ＜f ( －a) ， ∴f ( a) ＋f ( b) ＜ f ( －a) ＋f ( － b) ，这与题设相矛盾，∴逆命题为真． (2) 逆否命题：若 f ( a) ＋ f ( b) ＜ f ( －a) ＋f ( －b) ，则 a＋ b＜ 0，为真命题． ∵原命题 ?它的逆否命题，
(2) 写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 21．(14 分 ) 已知三个不等式：① |2 x－4| ＜5－ x；②≥ 1；③２x2＋ mx－1＜0. 若同时满足
①和②的 x 值也满足③，求 m的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C 解析： 在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命 题中，互为逆否的命题是
(1) 若 A∩B＝[0,3] ，求实数 m的值；
(2) 若 A??RB，求实数 m的取值范围．
20．(13 分 ) 已知函数 f ( x) 是( －∞，＋∞ ) 上的增函数， a，b∈R，对命题“若 a＋ b≥0，
则 f ( a) ＋ f ( b) ≥ f ( －a) ＋ f ( －b) ”．
(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：① p 真 q 假；②“ p 且 q”为真；
③“ p 或 q”为真；④ p 假 q 真，其中正确结论的序号是 __________．( 请把正确结论的序号
都填上 )
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 75 分)
16．(12 分 )(1)
成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．
2． D 解析： 集合 N＝ {0,2,4} ，
所以 M∩N＝{0,2} ．
3．A 解析： 由 ( a－1)( a－2) ＝ 0，得 a＝1 或 a＝ 2，所以 a＝ 2?( a－1)( a－2) ＝0. 而由
( a－ 1)( a－ 2) ＝0 不一定推出 a＝2，故 a＝ 2 是( a－1)( a－2) ＝0 的充分而不必要条件．
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真； ⑤“若 m＞ 1，则 mx2－2( m＋ 1) x＋m＋3＞0 的解集为 R”的逆命题．
其中真命题是 __________．( 把你认为是正确命题的序号都填在横线上 )
15．已知命题 p：不等式＜ 0 的解集为 { x|0 ＜x＜1} ；命题 q：在△ ABC中，“ A＞B”是
)．
A． (0,1)B ． (0,1]
C． [0,1)D ． [0,1] 10．设命题 p：函数 y＝lg( x2＋ 2x－c) 的定义域为 R，命题 q：函数 y＝lg( x2＋2x－c)
的值域为 R，若命题 p， q 有且仅有一个为真，则 c 的取值范围为 ( ) ．
A． B．( －∞，－ 1)
的充要条件，所以命题 q 是假命题，
∴①正确，②错误，③正确，④错误．
三、解答题 16．解： (1) M＝ { x| x＋ 3＝ 0} ＝{ －3} ，N＝{ x| x2＝x＋12} ＝{ －3,4} ， ∴（?I M) ∩ N＝{4} ． (2) ∵ A＝{ x| x＜－ 1，或 x＞ 1} ， B＝ { x| －1≤ x＜ 0} ， ∴?UB＝{ x| x＜－ 1，或 x≥0} ． ∴A∪（?UB) ＝{ x| x＜－ 1，或 x≥0} ． 17．解： 由 p：－ 2≤1－≤ 2， 解得－ 2≤ x≤10， ∴“非 p”： A＝{ x| x＞10，或 x＜－ 2} ． 由 q：x2－2x＋1－m2≤0， 解得 1－m≤x≤1＋ m( m＞ 0) ． ∴“非 q”： B＝{ x| x＞1＋m或 x＜ 1－ m，m＞0} ， 由“非 p”是“非 q”的充分不必要条件得 A B. ∴解得 0＜ m≤3. ∴满足条件的 m的取值范围为 { m|0 ＜ m≤3} ． 18．证明：必要性：∵ a＋ b＝ 1，即 b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝ a3＋(1 － a) 3＋ a(1 －a) －a2－ (1 －a) 2＝0， 必要性得证． 充分性：∵ a3＋b3＋ ab－a2－ b2＝0， ∴（a＋ b)( a2－ ab＋b2) －( a2－ab＋b2) ＝0， ∴（a2－ab＋b2)( a＋ b－ 1) ＝0. 又 ab≠0，即 a≠０且 b≠0，
的充分而不必要条件，求实数 m的取值范围． 18．(12 分 ) 已知 ab≠0，求证： a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ ab－a2－ b2＝0. 19．(12 分 )(2011 福建四地六校联合考试 ) 已知集合 A＝{ x| x2－ 2x－3≤0， x∈R} ， B＝
{ x| x2－2mx＋m2－4≤0， x∈ R， m∈ R} ．
第一章集合与常用逻辑用语单元检测
(时间： 120 分钟 满分： 150 分)
一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的 )
1．一个命题与它的逆命题、否命题 、逆否命题这四个命题中 ( ) ．
A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
2．已知集合 M＝{0,1,2} ，N＝{ x| x＝2a，a∈M} ，则集合 M∩N等于 ( ) ．
A． {0}B ．{0,1}C ． {1,2}D ．{0,2}
3． (2011 福建高 考，理 2) 若 a∈R，则“ a＝2”是“（a－1)( a－2) ＝0”的 ( ) ．
6．对任意两个集合 M，N，定义： M－N＝{ x| x∈ M且 x?N} ，M△N＝( M－ N) ∪（N－M) ，设
M＝， N＝{ x| y＝} ，则 M△ N＝ ( ) ．
A． { x| x＞3}B． { x|1 ≤ x≤2} C． { x|1 ≤x＜2，或 x＞3}D．{ x|1 ≤x≤2，或 x＞ 3}
C．“ a＝1”是“函数 f ( x) ＝cos2ax－sin 2ax 的最小正周期是 π”的必要不充分条件
D．“ b＝0”是“函数 f ( x) ＝ax2＋bx＋c 是偶函数”的充要条件
9．(2011 陕西高考，文 8) 设集合 M＝{ y| y＝|cos 2x－sin 2x| ，x∈R} ，N＝，则 M∩N为(
x∈R，
14．②③⑤ 解析： 原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同 真同假，故①④错误，②③正确，又因为不等式 mx2－ 2( m＋1) x＋m＋3＞0 的解集为 R，
由??m＞1. 故⑤正确．
15．①③ 解析：解不等式知，命题 p 是真命题，在△ ABC中，“ A＞ B”是“ sin A＞sin B”
9． C 解析： ∵ y＝ |cos2 x－ sin 2 x |
＝|cos2 x| ， x∈ R，
∴y∈[0,1] ，∴ M＝ [0,1] ．
∵＜ 1，∴｜x| ＜1. ∴－ 1＜ x＜ 1.
∴N＝( －1,1) ．∴ M∩N＝[0,1) ．
10．D 解析： 本题考查根据命题 的真假求参数的取值范围． 若函数 y＝ lg( x2＋2x－ c) 的定义域为 R，则不等式 x2＋ 2x－c＞0 对任意 x∈R 恒成立，
7．已知全集 U 为实数集 R，集合 M＝， N＝{ x|| x| ≤1} ，则下图阴影部分表示的集合是
( )．
A． [ － 1,1]B ．( －3,1]
C． ( －∞，－ 3) ∪[ － 1，＋∞ )D． ( －3，－ 1)
8．下列判断正确的是 ( ) ．
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“任意的 x∈ N， x3＞x2”的否定是“存在 x∈ N， x3＜x2”
4．D 解析： 含有存在量词的命题的否定，先把“存在”改为“任意的”，再把结论否
定．
5． B 解析： a＝( m－1,2 m＋1) ， b＝ (2 n＋1， 3n－2) ，令 a＝ b，
得解得
此时 a＝b＝ ( －13，－ 23) ，故选 B.
6． D 解析： ∵ M＝ { x| x＞ 3 或 x＜1} ，N＝{ x| x≤2} ，∴ M－ N＝ { x| x＞ 3} ，
C． [ － 1，＋∞ )D． R
二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 )
11．设集合 U＝{1,2,3,4,5} ，A＝{2,4} ，B＝{3,4,5} ，C＝{3,4} ，则 ( A∪B) ∩（?UC) ＝
__________. 12．(2011 浙江温州模拟 ) 已知条件 p：a＜0，条件 q：a2＞a，则 p 是 q 的__________