同余定义和性质
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
同余
可以理解为： 31除以4的余数是3 可以理解为： 50除以4的余数是18
求123+72的和除以10的余数
方法一：123+72=195
求121+74的和除以3的余数
方法一：121+74=195
求121-74的差除以3的余数
方法一：121-74=47
同余式定义和基本性质
若ab(mod m), cd(mod m), k为正整数 ①可加减性 和（差）的余数等于余数的和（差） 即a±c b±d(mod m), 特别地有a±k b±k(mod m). 同时有a-b 0（mod m） 显然：移项变号同样适用于同余式
【例7】若今天是星期六，从今天 102003天后的那一天是星期（ ）
10 3(mod7)
6
10
2003
3
2003
(mod7)
3 （ 1 mod7） 2003 6 333 5
10
2003
3 3
2003
5
5(mod7)
∴所求那天是星期四。
一次同余式组
• 本节介绍一次同余式组的解法及其应用举 例． • 在公元三世纪前,《孙子算经》里已提出了下 面的同余式组 xb1(mod m1), xb2(mod m2),…, xbk(mod mk) (1) • 这种形式的问题, 并且很好地解决了它.《孙子 算经》里所提出的问题之一如下: • “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之 剩三, 七七数之剩二. 问物几何？” “答日二 15:51:43 十三.”
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余 2，求这个数。 被7除余2的数有：2，9，16，23
被5除余3的数有：3，8，13，18，23 被3除余2的数有：2，5，8，11，14，17 ，20，23
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a（mod m）；②对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡ c（mod m）；④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a-c≡b-d（mod m）；⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），则a×c≡ b×d （mod m）；⑥乘方性：若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）；⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod m×c）；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n （mod 9）或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。
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1.同余的概念及基本性质
第三章 同余§1 同余的概念及其基本性质定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作()\mod a b m ≡.甲 ()mod .a a m ≡（甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.）乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡⇔-证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是，()12,|.a b m q q m a b -=--反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是，()()1221.r r m q q a b -=-+-故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡±证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-戊 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则()1212mod .a a bb m ≡ 证 因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122|,|.m a b m a b --又因()()()1212111212211122,a a bb a b b a bb a a b b a b -=-+-=-+-故()12121212|,mod .m a a bb a a bb m -≡ 定理2 若()()11mod ,mod ,1,2,,,kki i A B m x y m i k αααα≡≡=则()11111111,,,,mod .k k k kkkk k A xx B y y m αααααααααααα≡∑∑特别地，若()mod ,0,1,,i i a b m i n ≡=，则()111010mod .n n n n n n n n a x a x a b x b x b m ----+++≡+++证 因()mod ,1,2,,i i x y m i k ≡=故,1,2,,iii i x y i k αα≡=，从而()1111mod .k k k k x x y y m αααα≡又因()11mod kkA B m αααα≡，故()()111111111111111,,,,mod ,mod .k k kk k k kkkk k k k A xx B y y m A xx B y y m αααααααααααααααααααα≡≡∑∑己 若()()mod ,,1,ka kb m k m ≡=则()mod .a b m ≡证 因()mod ka kb m =，故()|.m ka kb k a b -=-又因(),1k m =，故()|,mod .m a b a b m -≡庚 （ⅰ）若()mod ,0,a b m k ≡>则()mod .ka kb km ≡ （ⅱ）若()mod ,|,|,|,0,a b m d a d b d m d ≡>则mod .a b m d d d ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭证 （ⅰ）因()mod ,0a b m k ≡>，故()()|,|,mod .m a b km k a b ka kb ka kb km --=-≡（ⅱ）因()mod ,a b m ≡故|,.m a b a b mq --=又因|,|,|,0d a d b d m d >111111,,,0,0,0a da b db m dm a b m ===>>>. 于是()111111111,,mod ,mod .a b m da db dm q a b m q a b m d d d ⎛⎫-=-=≡≡ ⎪⎝⎭辛 若()mod ,1,2,,i a b m i k ≡=，则[]()12mod ,,,.k a b m m m ≡证 因()mod ,1,2,,i a b m i k ≡=，故|,1,2,,.i m a b i k -=于是，[][]()1212,,,|,mod ,,,.k k m m m a b a b m m m -≡附记 最小公倍数的一个常用性质是，若12|,|,,|k m a m a m a ，则[]12,,,|.k m m m a证 由带余除法，设[][]1212,,,,0,,,k k a m m m q r r m m m =+≤<，则12|,|,,|k m a m a m a 及12|,|,,|k m a m a m a 得， |,1,2,,.i m r i k =但[]12,,,k m m m 是12,,,k m m m 的最小公倍数，故[]120,,,,|.k r m m m a =壬 若()mod ,|,0,a b m d m d ≡>则()mod .a b d ≡证 因()mod ,a b m ≡故|.m a b -又因|,0d m d >，故()|,mod .d a b a m d -≡ 癸 若()mod a b m ≡，则()(),,.a m b m =证 因()mod a b m ≡，故|.m a b -于是，存在整数t 使得.a b mt -=故.a mt b =+故()(),,.a m b m =例 一个整数0a >被9整除的充分必要条件是n 的各位数字（十进制）的和倍9整除.证 设1101010,010n n n n i a a a a a --=+++≤<.因()101mod9≡，故()()101mod9,10mod9,0,1,,.i i i i a a i n ≡≡=于是，()010mod 9.n nii i i i a a a ===≡∑∑故9|a 的充分必要条件是09|.ni i a =∑作业 P53:2,3,4,5.习题选解2.设正整数1101010,010,n n n n i a a a a a --=+++≤<证明11整除a 的充分必要条件是11整除()01.niii a =-∑证 因为()101mod11≡-，故()()()()101mod11,101mod11,0,1,,.i ii i i i a a i n ≡-≡-=.于是，()()0101mod11.n nii iii i a a a ===≡-∑∑由此可得，11|a 的充分必要条件是()0111.nii i a =-∑3.找出能被37,101整除的判别条件来.解 （ⅰ）因()10001mod37≡，故()()10001mod370.ii ≡≥设11010001000,01000.n n n n i a a a a a --=+++≤<则由()10001mod37i≡得()1000mod37,0,1,,ii i a a i n ≡=，故()01000mod 37.n nii i i i a a a ===≡∑∑由此可得，37|a 的充分必要条件是037.ni i a =∑（ⅱ）因()1001mod101≡-，故()()()1001mod1010.iii ≡-≥ 设110100100,0100,n n n n i a a a a a --=+++≤<则由()()1001mod101ii ≡-得()()1001mod101,0,1,,ii i i a a i n ≡-=，故()01001.n niii i i i a a a ===≡-∑∑由此可得，101|a 的充分必要条件是()01011.niii a =-∑4.证明52641|2 1.+ 证 因()()8163222256,265536154mod 641,2154237166401mod 641,==≡≡=≡≡-故52641|2 1.+5.若a 是任一奇数，则()()221mod 21.nn a n +≡≥证 对n 作数学归纳法.当1n =时，因a 为奇数，故可设121a a =+，则()()2221111112114441a a a a a a -=+-=+=+.而()111a a +是两个连续两个整数的积，一定是2的倍数，从而()122128|1,1mod 2,a a +-≡即1n =时结论正确.假设对()12n n -≥结论正确，即()12121mod 2.n n -+≡下面说明在此假设下，对n 结论正确.因()()()111222221111nn n n a aa a ----=-=-+，而由归纳假设得121n a--是12n +的倍数，又因a 为奇数，故121n a -+也为奇数，于是()()112211n n a a ---+是22n +的倍数，故()221mod 2.nn a +≡。
小学奥数专题-同余问题
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义:若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为:a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作:a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论:（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如:17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除．（2）用式子表示为:如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得:N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数.例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？【例 4】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 5】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【例 6】现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余的概念与性质
同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。
性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。
性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。
性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。
（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。
性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。
性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。
性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。
性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。
同余的基本概念和性质
例3 说明 是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节 同余的基本性质
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)， 其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。 由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明 由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解 因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。 我们有 8n 8 z = 6，
证明 留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余
数的性质 同余性 同余
若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )，
则 ≡ ( 1 ，2 )。
三、同余的运算性质
3.可约性
（1）若 ≡ ( )， , = 1，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( )， , = ，则 ≡ (
)
四、欧拉函数
欧拉函数 ()是定义在正整数上的函数，()表示序列0，1，
2，...， − 1中与互质的整数的个数。
欧拉函数的计算公式：设 = 1 1 2 2 … … ，则
（3）传递性：
Hale Waihona Puke 若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 ≡ ( )
三、同余的运算性质
1.可加性
若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 + ≡ + ( )
推论
若 + ≡ ( )， ∈ ，
则 ≡ − ( )
() = (1
1
− )
1
(1 −
1
1
) … … (1 − )
2
欧拉定理：设是大于1的整数，（，） = 1，则
() ≡ 1( )
五、典型例题分析
【例1】已知今天是星期三，问1012 后的那一天是星期几？
解：10 ≡ 3( 7)；
1012 ≡ 312 ≡ 274 ≡ −1
三、同余的运算性质
2.可乘性
（1）若 ≡ ( )， ∈ ，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )， ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )， ∈ ∗ ，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )， 1 , 2 = 1，
同余的运算法则
在数论中，同余运算是指两个整数在给定的模数下具有相同的余数。
同余运算有一些重要的性质和法则。
假设a、b 和 c 是整数，n 是正整数。
1. 反身性（Reflexive Property）：a ≡ a（mod n）任何整数与自身在模n 下都是同余的。
2. 对称性（Symmetric Property）：如果a ≡ b（mod n），则b ≡ a（mod n）如果两个整数在模n 下是同余的，那么它们可以互换位置。
3. 传递性（Transitive Property）：如果a ≡ b（mod n）且b ≡ c（mod n），则a ≡ c（mod n）如果两个整数在模n 下与同一个整数是同余的，并且它们之间也是同余的，那么它们之间也是同余的。
运算法则：1. 加法法则：如果a ≡ b（mod n）且c ≡ d（mod n），那么a + c ≡ b + d（mod n）在模n 下，同余的整数的和仍然是同余的。
2. 减法法则：如果a ≡ b（mod n）且c ≡ d（mod n），那么a - c ≡ b - d（mod n）在模n 下，同余的整数的差仍然是同余的。
3. 乘法法则：如果a ≡ b（mod n）且c ≡ d（mod n），那么a * c ≡ b * d（mod n）在模n 下，同余的整数的乘积仍然是同余的。
4. 乘方法则：如果a ≡ b（mod n），那么a^k ≡ b^k（mod n）对于任意正整数k在模n 下，同余的整数的乘方仍然是同余的。
这些法则对于解决同余方程、证明数论中的定理以及在密码学中的应用非常有用。
同余运算也被广泛用于构建哈希函数、加密算法和随机数生成器等领域。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
同余的 概念与性质
由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同．
例3. 2 求证：(1) 如果a除以m的余数为r(0≤r<m), 那么 a≡r (modm); (2)如果a ≡r (modm)，0≤r<m，那么a 除以m的 余数为r。
证明 (1) 由题意得可设， a＝mq+r ( 0≤r<m ) ． 由于0≤r<m ，所以r除以m的不完全商为0，余数为r，即 r ＝m· ０+r ( 0≤r<m ) ． 根据同余概念，可得a≡r(modm); (2) 因为a ≡ r(modm)，所以由同余概念可得· a＝mq1+R , r＝mq2+R，( 0≤R<m )， 又因为０≤r<m，所以q2＝0，即R＝r. 因此 得 a＝mq1+r (0≤r<m)．即a被m除，所得的余数为r．
例3. 12 把由1开始的自然数依次写下来，直写到 第201位为止，就是 201位
12345678910111213…
试问这个数除以3的余数等于几?
解 因为1～9写在一起构成九位数，10～99写在一 起为90 X 2＝180位数，所以由1开始的自然数依 次写到99，合计为189位数，由于201－189=12， 因此只需在1写到99后再写上100，101，102，103 四个数．即从１开始的自然数依次写到103就构成 一个201位数(由103个连续的自然数组成）． 因为每三个连续自然数的各位数字之和能被3除， 103≡1(mod3)，所以这个数除以3的余数为1．
从例3．6的证明，还可以得出如下的结论：
如果 a ≡ b (modm)，又d 能整除m以及整除a，b两 个数中的一个，则d 必能整除a，b中的另一个．
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
二、剩余类与剩余系
定理2.2.1 设m为正整数，则全部整数可分成m个 集合,记作[0]，[1]，…，[m－1]，其中[r] (0 ≤ r ≤m－1)是由一切形如 mq + r (q∈Z) 的整数所组 成的，并且具有下列性质： (1)每一整数必包含在而且仅在上述的一个集合中.
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么 当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做 模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
一次同余方程有解的解法 一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
第二章
同余
一、同余的概念及基本性质
1、同余的概念:
定义2. 1
设m为正整数，称为模。若用m去除两 个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （ 1） 读作a 同余于b 模m。 若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a， b 对模m 不同余，记作 a b (mod m).
2015年5月8日9时1分
E
New
弃九法
正整数四则运算(含乘方) 的快速验算方法
若通过计算，a、b的和与积分别是s与p. 而r1、r2、
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
同余
或21+X+Y=36，X-Y+13=22
X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
∴
11 1
50
≡11（mod 7）≡4（mod 7）
即余数为4。
例4：求( 257
解： ( 257
i0
( 1 ) a i (mod
i
7)
n
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
( 1) a i
i
i0
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
例判断 28997*39495=1114523641 5是否正确
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
定义：称k0 ,k1,…km-1叫做模m的剩余类，设 a0,a1…am-1是m个整数，并且其中任何两数都不 在一个剩余类里，则a0,a1…am-1叫做模m的一个 完全剩余系(简称完系)
第三章 同余
§1 同余的概念及其基本性质
在日常生活中，我们常接触到一些周 期为正整数性的问题.例如：问火车下午2 点从金华出发,30小时后到广州,则到广州 是几点?就是24去除30所得的余数6加2,即 晚上8点到广州,这就是同余问题.今天是星 期一,问过了100天后是星期几等……．,现 在同余理论已发展成为初等数论中内容丰
b. 由同余的定义可知: 相等必同余，同余未 必相等，不同余肯定不相等,这是一种很好 的方法，尤其在证明不相等时非常有用。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
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2.1 同余式定义和基本性质
• 由同余的定义, 可得下列性质: （1）自反性: aa (mod m). （2）对称性: 若ab(mod m), 则 ba(mod m). （3）传递性: 若ab(mod m), bc(mod m), 则ac(mod m).
2.1 同余式定义和基本性质
• 同余的性质 若a1b1(mod m), a2b2(mod m), 则: （4） a1 + a2 b1+ b2(mod m). 推论：若a +bc(mod m), 则a c- b(mod m) （5） a1 a2 b1b2(mod m). 推论(Ι) 若ab(mod m)，则akbk(mod m)， 其中k为整数. 推论(Ι Ι)若ab(mod m)，则 an bn(mod m), 其中 n为自然数.
（1）正整数a能被11整除特征是a的奇数位数字和与偶数 位数字和的差能被11整除. （2）正整数a能被11整除特征是a 的末三位数与末三位 数之前的数之差能被11整除.（同理可证7与13也有类 似特征）
自主学习
定理 (弃九法) 若ab=c, 其中a>0, b>0, 并且, p m n i j 则: c ck 10k a ai 10 , b b j 10 ,
2.1 同余式定义和基本性质
• 定义1 给定一正整数m（模）, 若用m去 除两个整数a和b所得余数相同, 则称a 与 b对模m同余, 记作ab(mod m); 若余数 不同, 则称 a 与b对模m不同余, 记作 ab(mod m). 定义2若m|(a-b), 则称a与b对模m同余. 定义3若a= mq+b, 则称a与b对模m同余. 显然，a0(mod m) 等价于 m| a.
2.1 同余式定义和基本性质
（7）若 ac bc(mod m), (m,c)=d, 则 ab(mod m/d). 特别地，当(m,c)=1时，有ab(mod m). （8）若ab(mod m)，则akbk(mod mk)， 其中k为大于零的整数； 若ab(mod m)，d为a,b及 m的任一正公约数, 则 a /d b /d(mod(m/d)) . （9） ab(mod mi), (1≤i≤n), 则ab (mod [m1,m2,…,mn]). （10） 若ab(mod m), 且d|m, 则 ab(modd ).
费马数
当 n 0,1,2,3, 时， Fn 2 2 1 总是素数吗？
n
这个问题是费马在1640年给 梅森的信中宣布的一个猜想。 很容易能证明，前5个费马数都 是素数。到了1732年，数学家 欧拉发现下一个费马数不是素 数，从而否定了费马的猜想。
判断题： 1、若ab(mod m), k为自然数， 则kakb(mod m), kakb(mod km). 反之呢？ 2、若ab(mod m),则a2 b2(mod m). 反之，若a2 b2(mod m)，则ab(mod m)源自专业基础课程初等数论
（二）
Number Theory
第二章 同 余
• 同余是数论中一个基本概念, 它的基本 概念与记号都是伟大的数学家高斯引进 的.它的引人简化了数论中的许多问题. • 本章着重讨论同余的概念及其基本性质， 完全剩余系和简化剩余系，两个重要定 理（欧拉定理和费马小定理）及其应 用．
i 0
j 0
k 0
( a )( b j ) ( Ck )(mod9)
i i 0
m
n
p
.
j 0
k 0
• 可见, 若 ( ai )( b ) ( C )(mod9) j k
m n p i 0 j 0 k 0
,
则可判断乘积ab=c是错误的, 这即是弃九法之 原则：“弃九余不等，计算有问题”.
2.1 同余式定义和基本性质
思考题： 1、整数a是偶数的同余式为( ). 2、整数a是偶数但不能被4整除，则其同余式 为( ). 3、已知a 5(mod6 ) ，则a被3除余( ). 4、已知a 3(mod4 ) ，那么2a+1被4除余( ).
2.1 同余式定义和基本性质
• 例题 例1 有一个大于1的整数，它除300，262，205 所得的余数相同，求这个数。 例2 有兵200余不足300，若1至3报数，最后一 人报数为2，若1至5报数，最后一人报数为2， 若1至7报数，最后一人报数也为2。问这一队 士兵有多少人？ 例3 某天是星期一，从这天后第22012天是星期 几？
2.1 同余式定义和基本性质
例4 分别求3406的个位数字和72012的末两位数字.
例5 证明：641 | 225+1
（欧拉证明了费马数F5不是素数）
例6 （1）求使2n-1能被7整除的一切正整数n； （2）证明：没有正整数n使2n+1能被7整除.
自主学习
特殊数的整除特征 定理 正整数a能被9整除的特征是 a的数字和能 被 9整除. 指出：同理可得到被2（或5）、4（或25）、8 （或125）、3（或9）、11等数整除的特征. 试证：
自主学习
例8 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9) 57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9) • 但是, 8×3=24, 而24≠5(modm 9), 得证. p n i • 注意：使用弃九法时，若 ( a )( b j ) ( Ck )(mod9) i 0 j 0 k 0 也未必肯定原计算是无误的. 例如,：1997×57=113829, 但有人计算结果是 113838，由弃九法可得 24 6(mod 9), 显然, 错误未验证出来.