SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要

SARS(严重急性呼吸道综合症，，俗称非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播的规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。

本题中给出了一个早期指数模型，它在短期内有一定的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。

由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数r，用来表示发病率。在假设所研究地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合地区SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合世界上优于早期模型。同时，我们也通过Matlab语言对北京疫情的计算和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。

应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效地减少累计患病人数；“严格隔离能有效缩短疫情持续时间。

本文亦分析了海外旅游人数受SARS的影响情况，并用Matlab语言对2003年以前的每个月份旅游人数与月份进行数据拟合，进而估算出正常情况下2003年的旅游人数。在SARS的影响下，求出每个月份人数的减少率，拟合出月份与减少率的曲线图，从图中可以看出旅游人数在9月份开始恢复。

最后，给当地报刊写了一篇短文，说明传染病模型的研究任重道远和建立传染病模型的重要性。

一．问题的重述

SARS 的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。为此我们需要做以下工作：

(1)对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性。

(2)建立我们自己的模型，说明优于早期模型的原因；特别要说明怎样建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播所造成的影响。

(3)收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二．早期模型的分析和评价

1．对早期模型的简述

早期模型采用公式：N(t)=t 0(1)N K (其中0N 为初始时刻的病例数，k 为 平均每病人每天可传染的人数，t 为病例数目的增长时间)在L(平均每个病人可以直接感染他人的时间)天之内对疫情数据相对比较完整准确的地区进行数据拟合，进而运用相应的软件作出患病人数与时间的关系曲线。进而利用SARS 传播的数学模型对北京疫情进行分析并预测其疫情的走势。

K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后的10天范围内k 值逐步被调整到比较小的值，然后保持不变。并考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数规律，增长速度会放慢，采用半循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。

2．对早期模型的评价

实用性 ：通过建立这一模型可以定量的研究SARS 出发期的疾病传播规率

依据参数k 、t 可以实现各地区的相关估计，预测SARS 的发病高峰时间，发病趋势等。这些措施对SARS 等疾病的防控具有重大的知道意义。

局限性：该模型在传染病病发初期具有一定的合理性，可以预防 疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足。模型的参数L ，k 的设定缺乏依据，具有一定的主观性。K 值以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但却加大了与实际的偏差。模型中也混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念，而且借助其他地区的数据进行预测，后期预测结果不够准确，存在较大的偏差。由于SARS 的发病情况与诸多因素有关，而实际上SARS 的传播发展也需要一个较长的周期，所以，用短期的模型来描述长期的病发过程是不够科学合理的。

三．建立自己的优化模型

1．建立更优模型的困难所在

要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力地方向。

(1)缺乏详尽的、反应SARS 疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值。本文的模型计算与分析研究，主要依据关于北京市的SARS 疫情通告的数据。这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求。

(2)需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果。

(3)需要研究SARS 在不同自然条件和社会条件下的差异，总结SARS 传播与控制的典型地域性模式。

2．模型建立的过程

(1)模型建立中的假设与说明：假设所研究的人口为理想状态下的人群，对该病普遍易感，每个发病病人单位时间内传染的易感者人数与为被感染的人数成正比，隔离或预防意识增强可在一定程度上影响病人单位时间内传染易感者人数的比率。不考虑气温、气压等自然因素对SARS 发病的影响。假设预测地区足够大，发病人数足够多。在整个过程中不考虑由人口流动因素所造成的影响，也不考虑人口的自然出生和死亡 。

(2)符号说明：N: 某地累计发病人数

0t : 计算病例的初始时间

0N : 0t 时的累计发病人数

r: 发病率

K: 预防效果指数

max N : 理论预计累计发病最多人数