2017学年数学必修三：2.3.1-变量之间的相关关系~2.3.2 两个变量的线性相关2
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取值范围应该有意义).
(2)问题2中,从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的 函数关系式吗? 提示:从表格里我们很容易发现施肥量越大 ,小麦的产量就越高. 但是,施肥量并不是影响小麦产量的唯一因素 ,小麦的产量还受 土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多因素影响 ,这时两个变
量之间就不是确定性的函数关系,因此不能得到y和x的函数关
1.两个变量的线性相关 左下角 到_______. 右上角 (1)正相关:点散布的方向:从_______ 左上角 到_______. 右下角 (2)负相关:点散布的方向:从_______ (3)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看在一条直线附
线性相关 关系,这条直线叫做 近,就称这两个变量之间具有_________
【解析】(1)作出散点图如图所示,
(2)由散点图可知,各点并不在一条直线附近,所以两个变量是
非线性相关关系.
类型二
求回归方程
1.(2013·锦州高一检测)已知一组观测值具有线性相关关系,
bx a ,求得 b =0.51, x =61.75, y =38.14, 则回归方 若对于 y
【探究总结】
1.散点图的作用
(1)判断两个变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行的方
法是绘制散点图.
(2)根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关关系,是
不是线性相关关系,是正相关还是负相关,相关关系强还是弱.
2.利用散点图判断变量间的关系的方法 (1)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来 描述变量间的关系,即变量具有函数关系. (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有 相关关系. (3)如果所有的样本点都落在某一条直线附近,变量之间就有线 性相关关系.
三、回归方程
bx a ”思考下面的问题: 请根据回归方程“ y
b 的几何意义分别是什么? 探究1:回归方程中 ,a,
是截距. 提示: b 是回归方程的斜率, a
探究2:对一组具有线性相关关系的样本数
bx a ,可 据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),设其回归方程为 y
(3)当y=20时，20=0.8x-3.4,所以x=29.25.
【规律总结】求回归方程的步骤及注意事项 （1）步骤 第一步，计算平均数 x， y ； 第二步，求和 x i yi， x 2；
3.线性回归直线方程恒过定点 【解析】恒过样本点的中心( x , y ). 答案:( x , y )
.
4.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图 是 .
【解析】图(1)是函数关系,图(2)和图(3)是相关关系,图(4)没
有相关关系.
答案:(2)(3)
=4.4x+838.19,则可估计x与y的增长速度之 5.已知回归方程 y
施肥量x 产量y
20 440
30 460
40 470
50 480
(1)问题1中,从表里数据能得出油量y与时间t之间的函数关系
式吗?
提示:因为是以均匀的速度注入桶里,所以注入的油量y与注入
的时间t成正比例关系,由数据表格知,注入的油量y与注入的时
间t之间的函数关系式为y=2t(t≥0)(实际问题,因此自变量的
4 4
x
i 1
4
2 i
276. x i yi 112,
4
所以 b
x y
i 1 4 i
4
i 1
i
4xy 4x
2
x
i 1
2 i
112 4 8 3 0.8, 276 4 64
所以 a y bx 3 0.8 8 3.4, 所以y 0.8x 3.4.
【自主解答】1.选A.①中学生的学习态度与学习成绩之间不是 因果关系,但具有相关性,是相关关系.②教师的执教水平与学 生的学习成绩之间的关系是相关关系.③④都不具备相关关系. 2.选B.由散点图可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系, 但不是函数关系,更不是一次函数关系,因为所有点不在一条直 线上,而是在一条直线附近.
比约为
.
22
【解析】比值约为1∶4.4= 5 . 答案:5∶22
一、变量间的相关关系 探究1:通过对下列两个问题的探究,认识两变量间的相关关系. 问题1:将汽油以均匀的速度注入桶里,注入的时间t与注入的油 量y的关系如下表: 时间t 油量y 1 2 2 4 3 6 4 8
问题2:小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如 下表:
定参数.
n n x i x yi y x i yi n x y i 1 i1 b n n 2 2 2 xi x xi n x i 1 i 1 a y bx. 截距 斜率 a 是回归方程的_____, 是_____. 其中 b
【拓展延伸】样本中心的含义 点( x , y )是在用最小二乘法计算回归直线方程时出现的一个 特殊点,我们又称为样本中心点.可以验证样本中心点一定在回 归直线上,这一性质在解决回归直线问题时要灵活应用,巧妙代 入,从而简化计算.
类型一
相关关系的判断及散点图 ( )
1.下列关系中,是相关关系的为
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.
【变式训练】 科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况,查看了气象局对 该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm,℃), 并作了统计. 年平均 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 气温
年降 雨量
748
542
507
813
574
701
432
(1)试画出散点图. (2)判断两个变量是否具有线性相关关系.
的值验证即可. 求出 a
2.根据数据,得到坐标,画出图形,再利用最小二乘法得到b和a 的值,从而得到方程.
＝y－bx ＝38.14－0.51×61.75≈6.65. 【自主解答】1.选A. a
2.（1）
（2） x 5 7 9 11 8, y 1 2 3 6 3,
二、散点图和线性相关 根据右图,回答下列问题:
探究1:年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布 有什么特点?如果上述样本的数据形成的点均匀分布于一个圆 内,数据之间还能线性相关吗? 提示:这些点分布在一条直线附近;点均匀分布于一个圆内,这 样的点不具有线性相关关系.
探究2:画散点图时,坐标系中的横、纵坐标的长度单位必须相 同吗? 提示:可以不同,应考虑数据分布的特征. 探究3:成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么 特点? 提示:正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域 , 负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 .
2.3 变量间的相关关系
1.通过实例了解变量之间的相互关系,认识现实生活中变量间
存在的非确定性的相关关系,体会研究此类问题在现实生活中
的重要性.
2.会作散点图,学会用数量来描述现实关系. 3.知道最小二乘法的思想,了解其公式的推导过程. 4.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线 性回归方程系数公式不要求记忆).
以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度?
|或(yi- y =bxi+a.(如图) )2,其中 y 提示:可以用|yi- y i i i
探究3:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直 线是一条还是几条? 提示:对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的 回归方程,依照求回归直线的过程求出,回归直线只有一条. Nhomakorabea
1.下列变量之间的关系是函数关系的是
(
)
A.已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a,c是已知常数,取b为自变量, 因变量是这个函数的判别式Δ =b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.父母的身高和子女的身高
【解析】选A.由函数关系和相关关系的定义可知A中Δ=b2-4ac, 因为a,c是已知常数,b为自变量,所以给定一个b的值,就有唯一 确定的Δ与之对应,所以Δ与b之间是一种确定的关系,是函数 关系.B,C,D中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的,所 以不是函数关系.
【规律总结】 1.散点图在判断相关性中的作用 散点图是由大量数据对应的点的分布构成的,对于性质不明确 的两组数据可先作散点图,直观地分析它们有无相关关系及关 系的密切程度. 2.相关模型的判断方法 两变量具有相关关系但不一定是线性相关 ,所以当画出的点明 显在一条曲线附近时,两变量也具有相关关系,但不是线性相关 的.
程为
(
)
=6.65x+0.51 B. y =42.30x+0.51 D. y
=0.51x+6.65 A. y =0.51x+42.30 C. y
2.变量x,y有如下观测数据
x
5
7
9
11
y
(1)画散点图.
1
2
3
6
(2)求x,y的回归方程.
(3)根据方程,预测y=20时x的值.
【解题指南】1.根据回归方程过定点( x , y ),代入式子,只需
【探究总结】 1.回归方程的意义 回归方程只能估计变量之间的关系,不同于函数关系式,得到的 值不是准确值.通过回归方程,可以清楚地让我们了解变量之间 的相关性.
2.回归方程计算得到的数据存在误差的原因 (1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随 机误差,这种误差可以导致计算结果的偏差. (2)即使截距和斜率没有误差,也不可能百分之百地保证能够和 实际的y的值很接近.
=1.5x-15,则 2.已知线性回归方程为 y
(
)
A. y =1.5 x -15 B.15是回归系数 a C.1.5是回归系数 a D.x=10时y=0
=1.5x-15过点( , y ), 【解析】选A.回归方程 y x
=-15,回归系数 b =1.5. 所以 y =1.5 x -15, a
下列说法:
①根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系. ②根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有一次函数关系. 其中正确的是 A.② ( ) C.①② D.都不正确
B.①
【解题指南】1.根据相关关系的定义判断即可. 2.根据线性相关的定义去判断,注意线性相关关系并不一定是 一次函数关系.
系式.
(3)问题1,2分别体现了变量之间的什么关系?
提示:问题1中的变量间的关系是确定的,是一种函数关系;问题 2中变量间的关系不确定,是一种相关关系. 探究2:如何判断变量之间的关系是函数关系还是相关关系? 提示:函数关系:当自变量一定时,因变量的取值也是确定的.当 自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之 间的关系称为相关关系.
【探究总结】 1.两变量关系的分类 (1)确定性的函数关系,如正方形的边长和面积. (2)变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所具有的确定性, 它们的关系式带有随机性,是一种相关关系. (3)不相关,即两变量之间没有任何关系.
2.相关关系与函数关系的异同点 (1)相同点:均是指两个变量的关系. (2)不同点:函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非 确定的关系,函数关系是自变量与因变量之间的关系,这种关系 是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变 量的关系.
回归直线 _________.
2.回归方程
(1)最小二乘法:求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法. _________________
bx a 是两个具有线性相关关系的变量 (2)回归方程:方程 y
b 是待 的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程 ,a,
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
2.下表是某同学记录的某地方在3月1日～3月12日的体检中的 发烧人数,并给出了散点图.
日期
人数 日期
3.1
100 3.7
3.2
109 3.8
3.3
115 3.9
3.4
118 3.10
3.5
121 3.11
3.6
131 3.12
人数
141
152
158
175
186
203
(2)问题2中,从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的 函数关系式吗? 提示:从表格里我们很容易发现施肥量越大 ,小麦的产量就越高. 但是,施肥量并不是影响小麦产量的唯一因素 ,小麦的产量还受 土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多因素影响 ,这时两个变
量之间就不是确定性的函数关系,因此不能得到y和x的函数关
1.两个变量的线性相关 左下角 到_______. 右上角 (1)正相关:点散布的方向:从_______ 左上角 到_______. 右下角 (2)负相关:点散布的方向:从_______ (3)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看在一条直线附
线性相关 关系,这条直线叫做 近,就称这两个变量之间具有_________
【解析】(1)作出散点图如图所示,
(2)由散点图可知,各点并不在一条直线附近,所以两个变量是
非线性相关关系.
类型二
求回归方程
1.(2013·锦州高一检测)已知一组观测值具有线性相关关系,
bx a ,求得 b =0.51, x =61.75, y =38.14, 则回归方 若对于 y
【探究总结】
1.散点图的作用
(1)判断两个变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行的方
法是绘制散点图.
(2)根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关关系,是
不是线性相关关系,是正相关还是负相关,相关关系强还是弱.
2.利用散点图判断变量间的关系的方法 (1)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来 描述变量间的关系,即变量具有函数关系. (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有 相关关系. (3)如果所有的样本点都落在某一条直线附近,变量之间就有线 性相关关系.
三、回归方程
bx a ”思考下面的问题: 请根据回归方程“ y
b 的几何意义分别是什么? 探究1:回归方程中 ,a,
是截距. 提示: b 是回归方程的斜率, a
探究2:对一组具有线性相关关系的样本数
bx a ,可 据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),设其回归方程为 y
(3)当y=20时，20=0.8x-3.4,所以x=29.25.
【规律总结】求回归方程的步骤及注意事项 （1）步骤 第一步，计算平均数 x， y ； 第二步，求和 x i yi， x 2；
3.线性回归直线方程恒过定点 【解析】恒过样本点的中心( x , y ). 答案:( x , y )
.
4.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图 是 .
【解析】图(1)是函数关系,图(2)和图(3)是相关关系,图(4)没
有相关关系.
答案:(2)(3)
=4.4x+838.19,则可估计x与y的增长速度之 5.已知回归方程 y
施肥量x 产量y
20 440
30 460
40 470
50 480
(1)问题1中,从表里数据能得出油量y与时间t之间的函数关系
式吗?
提示:因为是以均匀的速度注入桶里,所以注入的油量y与注入
的时间t成正比例关系,由数据表格知,注入的油量y与注入的时
间t之间的函数关系式为y=2t(t≥0)(实际问题,因此自变量的
4 4
x
i 1
4
2 i
276. x i yi 112,
4
所以 b
x y
i 1 4 i
4
i 1
i
4xy 4x
2
x
i 1
2 i
112 4 8 3 0.8, 276 4 64
所以 a y bx 3 0.8 8 3.4, 所以y 0.8x 3.4.
【自主解答】1.选A.①中学生的学习态度与学习成绩之间不是 因果关系,但具有相关性,是相关关系.②教师的执教水平与学 生的学习成绩之间的关系是相关关系.③④都不具备相关关系. 2.选B.由散点图可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系, 但不是函数关系,更不是一次函数关系,因为所有点不在一条直 线上,而是在一条直线附近.
比约为
.
22
【解析】比值约为1∶4.4= 5 . 答案:5∶22
一、变量间的相关关系 探究1:通过对下列两个问题的探究,认识两变量间的相关关系. 问题1:将汽油以均匀的速度注入桶里,注入的时间t与注入的油 量y的关系如下表: 时间t 油量y 1 2 2 4 3 6 4 8
问题2:小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如 下表:
定参数.
n n x i x yi y x i yi n x y i 1 i1 b n n 2 2 2 xi x xi n x i 1 i 1 a y bx. 截距 斜率 a 是回归方程的_____, 是_____. 其中 b
【拓展延伸】样本中心的含义 点( x , y )是在用最小二乘法计算回归直线方程时出现的一个 特殊点,我们又称为样本中心点.可以验证样本中心点一定在回 归直线上,这一性质在解决回归直线问题时要灵活应用,巧妙代 入,从而简化计算.
类型一
相关关系的判断及散点图 ( )
1.下列关系中,是相关关系的为
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.
【变式训练】 科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况,查看了气象局对 该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm,℃), 并作了统计. 年平均 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 气温
年降 雨量
748
542
507
813
574
701
432
(1)试画出散点图. (2)判断两个变量是否具有线性相关关系.
的值验证即可. 求出 a
2.根据数据,得到坐标,画出图形,再利用最小二乘法得到b和a 的值,从而得到方程.
＝y－bx ＝38.14－0.51×61.75≈6.65. 【自主解答】1.选A. a
2.（1）
（2） x 5 7 9 11 8, y 1 2 3 6 3,
二、散点图和线性相关 根据右图,回答下列问题:
探究1:年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布 有什么特点?如果上述样本的数据形成的点均匀分布于一个圆 内,数据之间还能线性相关吗? 提示:这些点分布在一条直线附近;点均匀分布于一个圆内,这 样的点不具有线性相关关系.
探究2:画散点图时,坐标系中的横、纵坐标的长度单位必须相 同吗? 提示:可以不同,应考虑数据分布的特征. 探究3:成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么 特点? 提示:正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域 , 负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 .
2.3 变量间的相关关系
1.通过实例了解变量之间的相互关系,认识现实生活中变量间
存在的非确定性的相关关系,体会研究此类问题在现实生活中
的重要性.
2.会作散点图,学会用数量来描述现实关系. 3.知道最小二乘法的思想,了解其公式的推导过程. 4.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线 性回归方程系数公式不要求记忆).
以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度?
|或(yi- y =bxi+a.(如图) )2,其中 y 提示:可以用|yi- y i i i
探究3:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直 线是一条还是几条? 提示:对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的 回归方程,依照求回归直线的过程求出,回归直线只有一条. Nhomakorabea
1.下列变量之间的关系是函数关系的是
(
)
A.已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a,c是已知常数,取b为自变量, 因变量是这个函数的判别式Δ =b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.父母的身高和子女的身高
【解析】选A.由函数关系和相关关系的定义可知A中Δ=b2-4ac, 因为a,c是已知常数,b为自变量,所以给定一个b的值,就有唯一 确定的Δ与之对应,所以Δ与b之间是一种确定的关系,是函数 关系.B,C,D中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的,所 以不是函数关系.
【规律总结】 1.散点图在判断相关性中的作用 散点图是由大量数据对应的点的分布构成的,对于性质不明确 的两组数据可先作散点图,直观地分析它们有无相关关系及关 系的密切程度. 2.相关模型的判断方法 两变量具有相关关系但不一定是线性相关 ,所以当画出的点明 显在一条曲线附近时,两变量也具有相关关系,但不是线性相关 的.
程为
(
)
=6.65x+0.51 B. y =42.30x+0.51 D. y
=0.51x+6.65 A. y =0.51x+42.30 C. y
2.变量x,y有如下观测数据
x
5
7
9
11
y
(1)画散点图.
1
2
3
6
(2)求x,y的回归方程.
(3)根据方程,预测y=20时x的值.
【解题指南】1.根据回归方程过定点( x , y ),代入式子,只需
【探究总结】 1.回归方程的意义 回归方程只能估计变量之间的关系,不同于函数关系式,得到的 值不是准确值.通过回归方程,可以清楚地让我们了解变量之间 的相关性.
2.回归方程计算得到的数据存在误差的原因 (1)回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随 机误差,这种误差可以导致计算结果的偏差. (2)即使截距和斜率没有误差,也不可能百分之百地保证能够和 实际的y的值很接近.
=1.5x-15,则 2.已知线性回归方程为 y
(
)
A. y =1.5 x -15 B.15是回归系数 a C.1.5是回归系数 a D.x=10时y=0
=1.5x-15过点( , y ), 【解析】选A.回归方程 y x
=-15,回归系数 b =1.5. 所以 y =1.5 x -15, a
下列说法:
①根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系. ②根据此散点图,可以判断日期与发烧人数具有一次函数关系. 其中正确的是 A.② ( ) C.①② D.都不正确
B.①
【解题指南】1.根据相关关系的定义判断即可. 2.根据线性相关的定义去判断,注意线性相关关系并不一定是 一次函数关系.
系式.
(3)问题1,2分别体现了变量之间的什么关系?
提示:问题1中的变量间的关系是确定的,是一种函数关系;问题 2中变量间的关系不确定,是一种相关关系. 探究2:如何判断变量之间的关系是函数关系还是相关关系? 提示:函数关系:当自变量一定时,因变量的取值也是确定的.当 自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之 间的关系称为相关关系.
【探究总结】 1.两变量关系的分类 (1)确定性的函数关系,如正方形的边长和面积. (2)变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所具有的确定性, 它们的关系式带有随机性,是一种相关关系. (3)不相关,即两变量之间没有任何关系.
2.相关关系与函数关系的异同点 (1)相同点:均是指两个变量的关系. (2)不同点:函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非 确定的关系,函数关系是自变量与因变量之间的关系,这种关系 是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变 量的关系.
回归直线 _________.
2.回归方程
(1)最小二乘法:求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小 的方法叫做最小二乘法. _________________
bx a 是两个具有线性相关关系的变量 (2)回归方程:方程 y
b 是待 的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程 ,a,
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
2.下表是某同学记录的某地方在3月1日～3月12日的体检中的 发烧人数,并给出了散点图.
日期
人数 日期
3.1
100 3.7
3.2
109 3.8
3.3
115 3.9
3.4
118 3.10
3.5
121 3.11
3.6
131 3.12
人数
141
152
158
175
186
203