二次函数的最值问题(典型例题)

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二次函数的最值问题

【例题精讲】

题面:当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.

【拓展练习】

如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c =

++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .

(1)求此二次函数解析式;

(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :3333

y x =+交BD 于点E ,过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问:在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点,连结DN 、NM 、MK ,求DN NM MK ++和的最小值.

练习一

若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3,求a的值.

【拓展练习】

题面:已知:y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.

(1)求k的取值范围;

(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2.

①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.

练习二

金题精讲

题面:已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24,最小值3,求实数a的值.

【拓展练习】

题面:当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.

讲义参考答案

答案:3--0或2或4

【拓展练习】

答案:(1) 222

y x =

--;(2) (2);(3)8

练习一答案 【例题精讲】

答案:a =

【拓展练习】

答案:(1) k ≤2;(2)①k 值为-1;②y 的最大值为32

,最小值为-3. 详解:(1)当k =1时,函数为一次函数y = -2x +3,其图象与x 轴有一个交点.

当k ≠1时,函数为二次函数,其图象与x 轴有一个或两个交点,

令y =0得(k -1)x 2-2kx +k +2=0.

△=(-2k )2-4(k -1)(k +2)≥0,解得k ≤2.即k ≤2且k ≠1.

综上所述,k 的取值范围是k ≤2.

(2)①∵x 1≠x 2,由(1)知k <2且k ≠1.

由题意得(k -1)x 12+(k +2)=2kx 1(*),

将(*)代入(k -1)x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2中得:2k (x 1+x 2)=4x 1x 2.

又∵x1+x2=

2k

k1

-

,x1x2=

k+2

k1

-

,∴2k•

2k

k1

-

=4•

k+2

k1

-

解得:k1= -1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为-1.

②如图,∵k1= -1,y= -2x2+2x+1= -2(x-1

2

)2+

3

2

,且-1≤x≤1,

由图象知:当x= -1时,y最小= -3;当x=1

2

时,y最大=

3

2

.

∴y的最大值为3

2

,最小值为-3.

练习二答案

课后练习详解【例题精讲】

答案:2或-5.

详解:配方y=(x+a)2-1,

函数的对称轴为直线x= -a,

顶点坐标为(-a,-1).

①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时,

函数最小值为-1,不合题意;

②当-a<0即a>0时,

∵当x=3时,y有最大值;当x=0时,y有最小值,∴9+6a+a2 −1=24,a2 −1=3,解得a=2;

③当-a>3即a<-3时,

∵当x=3时,y有最小值;当x=0时,y有最大值,∴a2 −1=24,9+6a+a2 −1=3,

解得a= -5.

∴实数a的值为2或-5.

【拓展练习】

答案:有最大值,为8.

详解:∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值

∴k-1<0,解得k<1.

∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值,当k=1,2时函数没有最大值. ∴当k= -1时,函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.

∴最大值为8.

(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)

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