二次函数的最值问题(典型例题)
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二次函数的最值问题
【例题精讲】
题面:当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.
【拓展练习】
如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c =
++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .
(1)求此二次函数解析式;
(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :3333
y x =+交BD 于点E ,过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问:在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点,连结DN 、NM 、MK ,求DN NM MK ++和的最小值.
练习一
若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3,求a的值.
【拓展练习】
题面:已知:y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.
练习二
金题精讲
题面:已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24,最小值3,求实数a的值.
【拓展练习】
题面:当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.
讲义参考答案
答案:3--0或2或4
【拓展练习】
答案:(1) 222
y x =
--;(2) (2);(3)8
练习一答案 【例题精讲】
答案:a =
【拓展练习】
答案:(1) k ≤2;(2)①k 值为-1;②y 的最大值为32
,最小值为-3. 详解:(1)当k =1时,函数为一次函数y = -2x +3,其图象与x 轴有一个交点.
当k ≠1时,函数为二次函数,其图象与x 轴有一个或两个交点,
令y =0得(k -1)x 2-2kx +k +2=0.
△=(-2k )2-4(k -1)(k +2)≥0,解得k ≤2.即k ≤2且k ≠1.
综上所述,k 的取值范围是k ≤2.
(2)①∵x 1≠x 2,由(1)知k <2且k ≠1.
由题意得(k -1)x 12+(k +2)=2kx 1(*),
将(*)代入(k -1)x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2中得:2k (x 1+x 2)=4x 1x 2.
又∵x1+x2=
2k
k1
-
,x1x2=
k+2
k1
-
,∴2k•
2k
k1
-
=4•
k+2
k1
-
,
解得:k1= -1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为-1.
②如图,∵k1= -1,y= -2x2+2x+1= -2(x-1
2
)2+
3
2
,且-1≤x≤1,
由图象知:当x= -1时,y最小= -3;当x=1
2
时,y最大=
3
2
.
∴y的最大值为3
2
,最小值为-3.
练习二答案
课后练习详解【例题精讲】
答案:2或-5.
详解:配方y=(x+a)2-1,
函数的对称轴为直线x= -a,
顶点坐标为(-a,-1).
①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时,
函数最小值为-1,不合题意;
②当-a<0即a>0时,
∵当x=3时,y有最大值;当x=0时,y有最小值,∴9+6a+a2 −1=24,a2 −1=3,解得a=2;
③当-a>3即a<-3时,
∵当x=3时,y有最小值;当x=0时,y有最大值,∴a2 −1=24,9+6a+a2 −1=3,
解得a= -5.
∴实数a的值为2或-5.
【拓展练习】
答案:有最大值,为8.
详解:∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值
∴k-1<0,解得k<1.
∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值,当k=1,2时函数没有最大值. ∴当k= -1时,函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.
∴最大值为8.
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)