双曲线方程的“巧设”
9.6.1 双曲线的方程及性质
作
A1(0，－a)，A2(0，a)
业
报
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
告
二
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
第9章 第6节 第1课时
第9页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
报
离心率 e＝ac，e∈_(1_，__＋___∞_)_，其中c＝ a2＋b2
告
一
性
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
一
方程 (a>0，b>0)
(a>0，b>0)
课 时
作
业
报 告
图形
二
第9章 第6节 第1课时
第8页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
范围 x≥_a_或x≤_－___a_，y∈R y≤_－__a_或y≥_a_，_x_∈__R__
报
告
对称轴：坐标轴
一
对称性
性
对称中心：原点
课 时
质 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
课
时
1．已知F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲
作 业
报 告
线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
二
[答案] 9
第9章 第6节 第1课时
第24页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
[解析] 如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．
[双基夯实]
链接教材
报 告 一
1．[人A选修2－1·P62·习题B组T1]已知双曲线C：ax22－by22＝
备战高考数学复习考点知识与题型讲解67---双曲线
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第67讲双曲线考向预测核心素养考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点.直观想象、数学运算一、知识梳理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2 a2 .2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C.又由题意可知焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝4，故点M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．(人A 选择性必修第一册P 127习题3.2 T 6改编)经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.答案：x 215－y 215＝13．(人A 选择性必修第一册P 120例1改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(3)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1 e21＋1e22＝1.( )答案：(1)×(2)×(3)√二、易错纠偏1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )A．若C为椭圆，则1<t<3B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2解析：选AD.若t>3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程x23－t ＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程x23－t＋y2t－1＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.2．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：63．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，有ba＝3，则c ＝2a ，此时e ＝2. 若双曲线的焦点在y 轴上， 有a b ＝3，则c ＝233a ，此时e ＝233. 综上，e ＝2或e ＝233. 答案：2或233考点一 双曲线的定义及标准方程(多维探究)复习指导：了解双曲线的定义及几何图形； 会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．角度1 双曲线的定义(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D.x 2－y 28＝1(x ≥1)(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.【答案】 (1)C (2)2 3在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：2双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．角度2 双曲线的标准方程(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 【解析】 方法一：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法二：设双曲线的方程为x 2m －y2n ＝1(mn >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4m －9n ＝1，nm ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x 2－y 2＝3，其标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 C若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)即x 2λ3－y 2λ＝1.又双曲线焦距为2，所以c ＝1.若λ>0，方程化为x 2λ3－y 2λ＝1，所以λ3＋λ＝1，所以λ＝34.此时方程为x 214－y 234＝1；若λ<0，方程化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，所以－λ－λ3＝1，所以λ＝－34.此时方程为y 234－x 214＝1.故所求双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1.答案：x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解． (3)常用设法：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．|跟踪训练|1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( ) A ．双曲线的离心率为54B ．双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5，A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m >0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，所以此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.2．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线的几何性质(多维探究)复习指导：了解双曲线的几何性质．角度1 渐近线和离心率(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A.72B.132C.7D.13(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.(2)双曲线x2m－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.【答案】(1)A (2)4角度2 双曲线性质的综合应用(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )A．1 B.12C.13D.23(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53C.2D.73(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5【解析】 (1)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.(2)设P (x P ，y P )，则双曲线的焦半径|PF 1|＝ex P ＋a ， |PF 2|＝ex P －a ，由|PF 1|＝4|PF 2|可得ex P ＋a ＝4(ex P －a )， 即3ex P ＝5a ，所以x P ＝5a 3e. 由于点P 在双曲线的右支上，则x P ＝5a3e≥a ， 从而e ≤53，即此双曲线的离心率e 的最大值为53.(3)依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ， 因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 【答案】 (1)B (2)B (3)A双曲线的几何性质(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：①求出a ，b ，c 直接求离心率e ，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．|跟踪训练|1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )A ．2 B.4 C ．6D.8解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线为y ＝±ba x ，两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1，得a ＝b .因为双曲线的焦距为42，所以c ＝22，由c 2＝a 2＋b 2可知2a 2＝8，所以a ＝2，所以实轴长2a ＝4.故选B.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由题意，可得F (1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a.由|AB |＝4|OF |可得2b a ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝5.3．(2022·济宁模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点 A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1考点三 直线与双曲线(综合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解】 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k21－12·2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14 ＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.|跟踪训练|已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程； (2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ， 设A (x 1，2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎨⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0.由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)·(－2x 2)＝－3x 1x 2，所以m 2＝3，即m ＝± 3.[A 基础达标]1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．11 B.9 C.5D.3解析：选 B.根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 解析：选D.由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程x 22－y 28＝1.故选D.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积为( )A ．10 3B.8 3C.8 5D.16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8， 所以S △PF 1F 2＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5.4．(2022·长春市质量监测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±x B.y ＝±2x C ．y ＝±3xD.y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D.x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32 B.16 C.84D.4解析：选B.由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，ca ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B. 7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线解析：选ACD.对于A ，若m ＞n ＞0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m＋y 21n＝1，因为m >n >0，所以0<1m ＜1n，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若m ＝n >0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 2＋y 2＝1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝± －mnx，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝1 n ，y＝±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(2021·高考全国卷乙)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝ 5.答案： 59．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±bax，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得ba＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝32，b＝3，即有c＝a2＋b2＝94＋9＝352，即焦距为2c＝3 5.答案：3 510．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0， 所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33[B 综合应用]11．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 2解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误；点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得S△PF1F2＝12×22×1＝2，故D正确．故选ACD.12.如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±a2b2b2－a2，所以2·a2b2b2－a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2＋ 2.答案：2＋ 213．(2022·陕西榆林二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为12，则C的离心率为________．解析：把x＝c代入双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)得y＝b2a，所以B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，又A(－a，0)，直线AB的斜率为12，所以b2aa＋c＝12，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：3214．(2022·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得P i A 1→·P i A 2→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1→·P i A 2→＝0，i ＝1，2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎨⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎨⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎨⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 [C 素养提升]15．(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→·MF 2→＝0，直线MF 2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2.不妨设直线MF 2平行于双曲线的渐近线l ：bx ＋ay ＝0，如图所示， 从而得l 是线段MF 1的垂直平分线，且直线MF 1的方程为y ＝ab(x ＋c )． 设MF 1与l 相交于点N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b（x ＋c ），y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c ，y ＝abc ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .又F 1(－c ，0)，由中点坐标公式，得M ⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c ，2ab c ， 将点M 的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab c 2b2＝1， 化简得c 2＝5a 2，则离心率e ＝ca＝ 5.故选D.16．(2022·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．解析：如图，由双曲线C的方程可知c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，所以c＝3，所以左焦点E(－3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|＝（－3）2＋（66）2＝15，所以当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，所以|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，所以点P的坐标为(－2，26)．答案：(－2，26)17．(2021·上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以点A，B 为焦点的双曲线上．以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标．(2)该团队又在基地O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离发现一点Q满足|QA|－|QB|＝30千米，|QC|－|QD|＝10千米，求|OQ|(精确到1千米)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝10，c ＝20，所以b 2＝c 2－a 2＝300， 所以双曲线的标准方程为x 2100－y 2300＝1. 由题意可得直线OP ：y ＝33x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2100－y 2300＝1，y ＝33x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1522，y ＝562，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1522，562. (2)①由|QA |－|QB |＝30可得点Q 在以A ，B 为焦点，实轴在x 轴上且实轴长为30的双曲线右支上，设双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)，则a 1＝15，c 1＝20，所以b 21＝175，双曲线的方程为x 2225－y 2175＝1；②由|QC |－|QD |＝10可得点Q 在以C ，D 为焦点，实轴在y 轴上且实轴长为10的双曲线上支上，设双曲线方程为y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，则a 2＝5，c 2＝15，所以b 22＝200，双曲线的方程为y 225－x 2200＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2225－y 2175＝1，y 225－x 2200＝1，可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫14 40047， 2 97547，所以经计算器计算得，|OQ|≈19(千米)．。
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
第29章双曲线的性质及应用
第二十九章 双曲线的性质及应用【基础知识】双曲线具有一般圆锥曲线的性质外，还具有下述有趣性质：性质1双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长，当0x a ≥以时，10PF ex a =+，20PF ex a =-；当0x a ≤时，()10PF ex a =-+，()200PF ex a a ex =--=-．性质2以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，其上任一点()00,P x y ，设两焦点为1F ，2F ，2PF 的中点为M ，中心O 为12F F 的中点，则()101122OM PF ex a ==+，但以实轴为直径的圆222x y a +=与以2PF 为直径的圆的半径之和为()()200111222a PF a ex a ex a +=+-=+，即证． 性质3设1F ，2F 是双曲线()222210x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上异于顶点的任意一点，（I ）12PF PF ⋅的最小值为2b ；（Ⅱ）设122F PF θ∠=，则2122sin b PF PF θ⋅=，且1222cot F PF S b θ=⋅△；（Ⅲ）设12PF F α∠=，21PF F β∠=，则当点P 在双曲线右支上时，1tan cot 221e e αβ-⋅=+；当点P 在双曲线左支上时，1cottan221e e αβ-⋅=+．证明（I ）当P 为双曲线顶点时，即取最小值． （Ⅱ）在12PF F △中，由余弦定理，22212122cos24PF PF PF PF c θ+-⋅⋅=，由122PF PF a -=，有222121224PF PF PF PF a +-⋅=，两式相减，化简即得2212221cos2sin b b PF PF θθ⋅==-． 122121sin 2cot 2PF F S PF PF b θθ=⋅⋅=⋅△． （Ⅲ）P 在右支上时，由122PF PF a -=及正弦定理，有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+．由等比定理，有()22sin sin sin c a αββα=+-．故()1tancotsin 22sin sin 1tan cot 22c e a αβαβαββα+⋅+===--⋅，故1tan cot 221e e αβ-⋅=+． P 点在左支上时，同理可证．性质4P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上异于顶点的一点，O 是中心，1F ，2F 为其左、右焦点，令OP d =，则22212PF PF d b a ⋅-=-． 其证明与椭圆性质8的证明类似．性质5直线0Ax By C ++=与双曲线()222210,0x y a b a b-=±>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b - 2C ±且22220A a B b -≠． 其证明与椭圆性质9的证明类似．推论直线0Ax By C ++=与双曲线()()()222210,0x m y n a b a b ---=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b -()2Am Bn C ++．性质6设双曲线的一个焦点为F ，直线l 与过顶点A '，A 的切线相交于M '，M ，则（1）0FM FM '⋅=⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线； （2）0FM FM '⋅<⇔直线l 与双曲线相离；（3）0FM FM '⋅>⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．证明设双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>，(),0F c ，(),0A a '-，(),0A a ，直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka '⋅=---⋅-+()22222c a m k a =-+-2222m b k a =+-．由22221x y a b y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得 ()()2222222220a kb x a kmx a m b -+++=．()2222224a b m b a k ∆=+-．（1）222222220000FM FM m b k a m a k b '⋅=⇔+-=⇔=-=⇔∆= 或0m =，bk a=±⇔直线l 与双曲线相切或l 为双曲线的一渐近线；（2）222200FM FM m a k b '⋅<⇔<-⇔∆<⇔直线l 与双曲线要离；（3）2222222200FM FM m a k b m a k b '⋅>⇔>-⇔>-≠或222200m a k b >-=⇔∆>或l 平行于双曲线的一渐近线⇔直线l 与双曲线相交（或相交于一点）．性质7设P ，Q 是双曲线()222210x y b a a b-=>>上的两点，O 为中心，若OP OQ ⊥，则22221111a b OPOQ+=-．证明设OP 的倾斜角为α，将其参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入双曲线方程，得2222222cos sin a b t b a αα=-，故22222221cos sin b a a b OPαα-=． 同理，22222221sin cos b a a b OQαα-=．两式相加即证． 注类似地可证明如下结论：（Ⅰ）AB ，CD 是过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>焦点F 的弦，若AB CD ⊥，则（i ）当弦AB ，CD的端点均在双曲线的同一支或均在两支上时，有2221111a AB CD a b⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭；（ii ）当弦AB 与CD 的端点一组在双曲线的同一支上，另一组在两支上时，有2221111a AB CD a b-=-． （Ⅱ）AB 是过双曲线()222210x y b a a b-=>>焦点F 的弦，O 为中心，Q 为双曲线上一点，若OQ AB ⊥，则（i ）当A ，B 在双曲线的两支上时，有2222211a AB ab OQ +=-；（ii ）当A ，B 在双曲线的同一支时，有2222211a ABb aOQ -=-． 性质8过双曲线的一个焦点，（I ）且与双曲线交于同支的弦，以通径为最短，对于大于通径长的任何一个长度L ，在同一支上过焦点可作两条不同的弦；（Ⅱ）且与双曲线交于异支的弦，以其实轴长为最短，对于大于实轴长的一个长度L ，过一个焦点可作两条交于异支的弦．证明设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>．由双曲线的对称性，不妨设弦过双曲线的右焦点，弦的端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB L =．当焦点弦为通径时，容易求得22b L a=，且该弦是唯一的．当焦点弦不是通径时，设弦所在直线方程为()y k x c =-，并代入双曲线方程得()2222222222220ba k x a ck x a c k ab -+--=．由此，得22122222a ck x x a k b +=-．（I ）当焦点弦与双曲线交于右支上两点时，易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a a k b ⎛⎫+==+-⋅= ⎪-⎝⎭．于是()()22222b a L k a La b +=-． ①若22b L a <，则220La b -<，①式右边为负数，k 无实数解，即不存在小于通径的同支焦点弦；若22b L a>，则①中k 的两解为k =bk a>，所以交于右支的弦有两条． （Ⅱ）当焦点弦的端点A ，B 在双曲线异支上时， 易知222212222222a c ab k ab L AB x x c a b a k ⎛⎫+==--⋅= ⎪-⎝⎭． 于是()()22222b L a k a La b-=+． ②若2L a <，则②式右边为负，k 无实数解，即不存在小于实数的交于异支的焦点弦；若2L a =，则0k =，即交于异支的焦点弦以实轴为最短；若2L a >，则②中k 的两解为k =，且易知0bk a<<，即交于异支的焦点弦有两条． 注由上述性质，可得如下易于操作的结论： （1）若22min 2,b L a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则这样的焦点弦不存在；（2）若22min 2,b L a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且双曲线非等轴，则弦唯一；（3）若双曲线等轴，且2L a =，则焦点弦有两条，分别为实轴和通径；（4）若a b <（或b a <）且当222b a L a <<（或222b L a a<<）时，焦点弦有两条，它们都交于异支（或同支）上；（5）若222b L a a =>（或222b L a a=>），焦点弦有三条，一条为实轴，另两条交于同支（或一条为通径，另两条于异支）上；（6）若22max 2,b L a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，焦点弦有四条，两条交于同支上，另两条交于异支上．性质9等轴双曲线222x y a -=上点()00,P x y 对弦AB 的张角为直角的充要条件是0AB y k x =-． 性质10设()00,M x y ，双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，对于直线l 的方程00221x x y y a b -=，则（1）当M 在双曲线上时，l 为双曲线的切线；（2）当M 在双曲线外时，l 为双曲线的切点弦直线；（3）当M 在双曲线内时，l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上，这可由第二十五章的性质7推论后的注即得，这里，其实l 为点M 关于双曲线的极线．【典型例题与基本方法】例1过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若实数λ使得AB λ=的直线l 恰有3条，则λ=_____________ （1997年全国高中联赛题）解填4．理由是：首先注意到，过双曲线2212y x -=的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当该弦与x 轴垂直时，取得最小长度224ba =．（事实上，在极坐标系中，可设双曲线的方程为ρ=设()1,A ρθ，()()212,0,0B ρθρρ=π+>>，则24413cos AB θ==-≥，当2θπ=时，等号成立． 其次，满足题设条件的直线恰有三条时，只有两种可能：（i ）与双曲线左、右两支都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条．此时，与双曲线左、右两支都相交的必是x 轴，而其两交点间的距离为22a =．但仅与右支相交的两条的弦长4λ>，这不满足题设条件．（ii ）与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与x 轴垂直（否则，由对称性知仅与右支相交的有两条弦），此时，4AB λ==，且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件．所以4λ=．例21F ，2F 为双曲线221445x y -=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知2PF ，1PF ，12F F 成等差数列（或12122PF PF F F =+），且公差大于0．试求12F PF ∠． 解由题设，知24a =，245b =，则7c =． 又1222PF PF c =+，则12214PF PF -=．而1224PF PF a -==，从而求得110PF =，26PF =．于是由性质3（Ⅱ），知22122260sin 1cos2b b PF PF θθ=⋅==-，即得1cos 2θ=-． 从而120θ=︒，即12120F PF ∠=︒．例31F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，ab ，直线l 与2F 与x 轴的夹角为θ，tan θ=22QP PF =∶．求双曲线方程． （1991年全国高考题）解设()1,0F c -，()2,0F c ，在2Rt OQF △中，由tan θ=可得0,Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．于是1116PF c =，256c PF =，223736OP c =．由性质4，有222255373636c c b a -=-，即223b a =，与已知223a b =联立求得21a =，23b =．故所求双曲线方程为2233x y -=．例4求过点()6,7P ，且与双曲线221916x y -=相切的方程．解运用性质5，联立方程670A B C ++=与222916A B C -=消去C ，可得()()359130A B A B ++=．求得53A B =-或139A B =-，因此求得3C B =或53C B =，即所求切线方程为5303Bx By B -++=与135093Bx By B -++=，即5390x y --=与139150x y --=为所求． 例5设点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支异于顶点的一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，试证：12PF F △的1F ∠的内角平分线上的旁心的轨迹方程为：()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．证明设12PF F α∠=，21PF F β∠=，由性质3（Ⅱ），在12PF F △中，有()1212sin sin sin PF PF F F βααβ==+，即()22sin sin sin a c βααβ=-+，从而亦即tan cot 22c ac aαβ-⋅=+．设1F ∠的内角平分线上的旁心(),Q x y ，则1QF y k x c =+，2QF yk x c=-．由22MF QF ⊥，有12tancot22QF QF k k αβ⋅=⋅，即y y c ax c x c c a-⋅=+-+，故 ()()()()222c a x c a y c a c x c --+=->．例6设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，过点P 的直线与两渐近线1l ：b y x a =，2l ：by x a =-分别交于点1P ，2P ，设入12PP PP λ=．求证：()12214OP P S ab λλ+=△．证明依题意，设111,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,b P x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，则有121x x x λλ+=+，且121211b bx x y y a a y λλλλ-+==++．即121x x x λλ+=+，①且121x x a y b λλ-=+．② 由①2-②2得()222122241x x a x y b λλ-=+． 即()()()()222222222222122222111444x y x x b xa ya b a b b a b λλλλλλ+++⎛⎫=-=⋅-= ⎪⎝⎭．从而2121221b OP OP x x a ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭()()()222222211144b a a b a λλλλ++⎛⎫=+⋅⋅=+ ⎪⎝⎭． 故()()12222121222111sin 2241OP P ba S OP OP POP ab b a λλ⋅+=⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭△ ()214ab λλ+=．【解题思维策略分析】1．注意曲线方程形式的巧设例7过双曲线上任一点P 作倾斜角为α（定值）的直线l 与双曲线两渐近线交于Q ，R ，则P Q P R ⋅为定值．证明双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则渐近线方程为0bx ay ±=．设00P x y （，）是双曲线上的点，则过P 的直线l 的参数方程为00cos ,sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数） 由()()00cos sin 0b x t a y t αα+±+=，可得001sin cos bx ay t a b αα+=-+，002sin cos bx ay t a b αα-=-．于是22122222sin cos a b PQ PR t t a b αα⋅=⋅=-（定值）．例8过双曲线上任一点P 的切线与双曲线两渐近线交于A ，B 两点．求证：点P 是线段AB 的中点，证明设双曲线方程为22221x y a b -=，两渐近线方程为22220x y a b-=．过双曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为11221x x y ya b-=，切线方程与渐近线方程联立消去y ，整理得()22222224211120b x a y x a b x x a b --⋅+=，即22120x x x a -+=．由韦达定理，知AB 的中点的横坐标1x x =，代入切线方程得1y y =，从而AB 的中点坐标为()11,x y 和点P 坐标相同，由此即证． 2．关注以坐标轴为渐近线的等轴双曲线问题例9求双曲线1xy =在第一象限内一支上的一定点(),Q a b 与它在第三象限内一支上的一动点Px y （，）之间的最短距离（以a 的解析式表示）．解当以点Q 为中心，QP 为半径的圆与双曲线()10,0xy x y =<<相切时，QP 达到最小值．此时过点P 的双曲线1xy =（0x <，0y <）的切线与QP 垂直．设切点P 的坐标为()11,x y ，过()11,P x y 的双曲线的切线方程为112y x x y +=（即用112y x x y+代xy ），故11111y b y x a x ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭，且111x y =，1a b ⋅=．于是11111111x a x x a x -⋅=-，即211ax =-，从而131x a -=-，131y a -=-．所以()()22211QP x a y b =-+-223112213333a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故322233min QP a a-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 例10设双曲线1xy =的两支1C ，2C 如图29-1，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．（Ⅰ）求证：P ，Q ，R 不能都在双曲线的同一支上；（Ⅱ）设11P -（，）在2C 上，Q ，R 在1C 上，求顶点Q ，R 的坐标．图29-1（1997年全国高中联赛题）（I ）证法1假设P ，Q ，R 在双曲线1xy =的同一支如1C 上，其坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，331,x x ⎛⎫⎪⎝⎭．设1230x x x <<<，则直线PQ 的斜率1121k x x =-，直线QR 的斜率2231k x x =-，()2121212123tan 011x x x k k PQR k k x x x --∠==<++．因此，PQR ∠是钝角，这与PQR △是正三角形相矛盾，故P ，Q ，R 不能都在双曲线1xy =的同一支上．注由1230x x x <<<，有123y y y >>，于是()()()()()()222222222122313122313PQ QR PR x x x x x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤+-=-+---+-+---=⎣⎦⎣⎦()()()()()()22212231321223132123212322232222220xx x x x x x y y y y y y y x x x x y y y y --++--+=--+--<．即PQR △为钝角三角形．证法2设111,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221,Q x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，331,R x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线1xy =上的三点，易得直线PR 的斜率1131k x x -=，PR 边上的高线方程为()13221y x x x x x -=-． 同理，QR 边上的高线方程为()23111y x x x x x -=-． 联立上述两方程得PQR △的垂心1231231,H x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，它显然在双曲线1xy =上．当P ，Q ，R 在双曲线的同一支如1C 上，则1230x x x -<，而H 在另一支2C 上，即H 在PQR △的外部，即PQR △为钝角三角形，故P ，Q ，R 不能都在双曲线的同一支上．（Ⅱ）设Q ，R 的坐标分别为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，这时QR 边上的高线方程为()1211y x x x +=+，它必过线段QR 的中点，因此QR 的中点的坐标满足上述方程，于是有121212111122x x x x x x ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即()()()121212121120x x x x x x x x -+++=⎡⎤⎣⎦．因10x >，20x >，上式中括号的式子显然大于0，则1210x x -=，即121x x =．于是Q 点的坐标为221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而R 点的坐标为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，这说明Q ，R 关于直线y x =对称． PQ ，PR 所在的直线分别为过P 点与直线y x =交成30︒角的相互对称的两条直线，易见其倾斜角分别为75︒和15︒．不妨设PQ 的倾斜角为75︒，这时它的方程为()1tan 751y x +=︒⋅+，即(()121y x +=++．将其与双曲线方程1xy =联立，解得Q点坐标为(22+，由对称性知R点的坐标为(22+．注由（Ⅰ）的证法2，使我们获得如下结论：三个顶点都在同一等轴双曲线上的三角形的垂心也在此双曲线上．由此也启发我们：在处理某些等轴双曲线问题时，可考虑以坐标轴为渐近线的等轴双曲线来讨论． 例11一直角三角形的三顶点在等轴双曲线上．求证：直角顶点处的切线垂直于斜边．证明如图29-2，设等轴双曲线方程为2xy c =，直角三角形ABC 的三顶点在等轴双曲线上，直角顶点,c A ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其余两顶点1,c B ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,c C ct t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB ，AC ，BC 的斜率分别为11AB k tt =-，21AC k tt =-，121BC k t t =-．图29-2由AB AC ⊥，有21211t t t =-． 过点A 的切线为22x t y ct +=，此切线斜率为21k t =-，于是21211BC k k t t t ⋅==-，故直角顶点处的切线垂直于斜边．3．借用双曲线知识，求解函数等其他问题 例12求函数3y x =+解令3u x =，0,v v u =≥≥，则y u v =+且221188u v -=．视y 为参数，在uOv 坐标系中，作出直线系v u y =-+及双曲线部分()2210188u v v -=>，如图29-3．图29-3当直线过点(),0时，直线在v 轴上的截距y =；当直线与双曲线的左支相切时，由切线公式y kx =y =故函数y 的值域是(),⎡-∞+∞⎣∪． 例13求二元函数()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题） 解因()()221,1f x y x y x y ⎛⎫=-+--- ⎪⎝⎭可看作直线10x y ++=上的点(),1x x --和双曲线1xy =上的点1,y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方式．由作图可知，所求最小值为12． 4．注意知识的综合运用例13设直线l ：y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A 、B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD += ．若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 解由22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理，得 ()2223484480k x kmx m +++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834km x x k+=-+． ()()()222184344480km k m ∆=-+->．① 由22,1,412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理，得 ()22232120k x kmx m ----=．设()33,C x y 、()44,D x y ，则34223km x x k +=-． ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>．② 因为0AC BD += ，所以()()42310x x x x -+-=．此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km km k k -=+-． 于是20km =或2241343k k-=+-．从而由前一式解得0k =或0m =． 当0k =时，由①、②得m ->m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3． 当0m =时，由①、②得k <k 是整数，所以1,0,1k =-． 于是，满足条件的直线有9条．【模拟实战】习题A1．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，两焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，点Q 是双曲线右（或左）支上除顶点外任一点，从焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆（除点(),0a -，(),0a ）．2．求曲线22916144x y +=与22732224x y -=的公切线方程．3．一直线截双曲线()222210,0x y a b a b-=>>于P ，Q 两点，与渐近线交于P '，Q '两点． 求证：PP QQ ''=．4．已知双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，离心率53e =，且与直线8160x +-=相切．求双曲线方程．习题B1．已知双曲线C ：()2222211a x a y a a -=>+（），设该双曲线上支的顶点为A ，且上支与直线y x =-交于P 点，一条以A 为焦点，()0,M m 为顶点，开口方向向下的抛物线通过P 点，且PM 的斜率为k 满足1143k ≤≤．求实数a 的取值范围． 2．已知双曲线222210,0,x y a b a a b-=>>≡()b 上有一定点A ，点P ，Q 为满足PA QA ⊥的异于点A 的任意两点．求证：PQ 过定点．。
双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习
双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。
双曲线知识点
练习 1.求与椭圆49 + 24 = 1有公共交点，且离心率为 e=4的双曲线方程。
x2
y2
5
练习 2.求与椭圆 的双曲线方程。
y2 x2 1 16 8 有共同焦点， 渐近线方程为
x
3y 0
练习 3.点 M（x,y）与定点 F（5,0） ，的距离和它到定直线 l： 的比是常数
5 4
x
b b 的夹角增大 当e (1, )时， (0, ), 且e增大, 也增大 e增大时，渐近线与实轴 a a
e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大。 （4）等轴双曲线的离心率 e=√2 （5）e= a
C
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
C2=a2+b2
在 a、b、c、e 四个参数中，知二可求二。
例 1.求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近 线方程。
例 2.已知双曲线顶点间的距离为 16，离心率 e=4,焦点在 x 轴上，中心在原点， 写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。
5
三.双曲线解题技巧 x2 y2 1.与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 (3, 2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
设直线 l : y kx m(m 0) ，双曲线
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则弦长公式为：则 | AB | 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 若联立消去 x 得 y 的一元二次方程： ay2 by c 0(a 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 | AB | 1 焦点弦长：
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（ ）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（ ）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
双曲线及其标准方程精讲
双曲线及其标准方程精讲【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线.(4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22b x =1(a ＞0,b ＞0)焦点在y 轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3、双曲线中的思想及其学习方法本节主要数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法、定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线、圆联系密切，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容.【重点难点解析】1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，这个常数要大于0且小于｜F 1F 2｜)的点M 的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程22a x -22b y =1；但关于坐标适合方程22a x -22b y =1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明.例1若方程m x -22+3m y 2-=1表示双曲线，则实数m 的取值范围是 ( )A.-3＜m ＜2或m ＞3B.m ＜-3或m ＞3C.-2＜m ＜3D.-3＜m ＜3或m ＞3分析：该方程表示双曲线，则x 2与y 2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m ｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2求与椭圆252x +92y =1共焦点，且过点(32，7)的双曲线的方程.分析1：由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为2216λ-x -22λy =1代入点(32，7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为92x -72y =1.分析2：运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为λ-252x +λ-92y =1，代入点(32，7)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为92x -72y =1.例3△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹.分析：其顶点A 的轨迹方程求得：362y -812x =1(x ≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a) k AB ²k AC =22b a ，则顶点A 的轨迹方程为：22a y -22b x =1(x ≠0).若B(bcot φ，acos φ)、C(-cotφ，-acsc φ).k AB ²k AC =22b a ，则顶点A 的轨迹会是怎样?反之，双曲线22a y -22b x =1(x ≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于22b a ；若改变B 、C 的位置保持B 、C 两点关于原点对称于双曲线上，k AB ²k AC =22b a 是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.【难题巧解点拨】例1一动圆与圆(x+3)2+y 2＝1外切又与圆(x-3)2+y 2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析：如图，设动圆M 与⊙O 1外切于A ，与⊙O 2内切于B ，由位置关系可得数量关系：｜MO 1｜＝｜MA ｜+1｜MO 2｜＝｜MB ｜-3由｜MA ｜＝｜MB ｜可得｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4由定义可知M 点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M 坐标为M(x,y)，圆M 与圆O 1外切于A ，与圆O 2内切于B ，则，MO 1＝｜MA ｜+1①，｜MO 2｜＝｜MB ｜-3②，①-②：｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4由双曲线定义知，M 点轨迹是以O 1(-3，0)O 2(3，0)为焦点2a ＝4的双曲线的右支∴b 2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为：42x -52y ＝1(x ≥2)点评：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO 1｜＝r+r 1,｜MO 2｜＝r-r 2其中r 为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO 1｜>｜MO 2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例2过双曲线92x -162y ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F 的距离，并求弦AB 的长.分析：将直线方程与双曲线方程联立，求出A 、B 两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF ｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB 的方程为y ＝x-5，故消去y ，并整理得7x 2+90x-369＝0 ③ 此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x +＝2790-＝-745. C 点的坐标满足方程②，故y ＝-745-5＝-780∴｜CF ｜＝22)780()7455(++＝2(5+745)＝7280。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
高中双曲线解题方法
高中双曲线解题方法【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是2.椭圆的离心率为3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是4. 已知椭圆的离心率，则的值为【范例导析】例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
2[1].3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)
![2[1].3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)](https://img.taocdn.com/s3/m/8fbf98e5f8c75fbfc77db2aa.png)
∴ 双曲线方程为
总结： 1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y
与
b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
a
2
2
1共渐近线的双曲线系
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 x2 y 2 x2 y2 2、与 2 2 1共焦点的椭圆系方程是 2 2 2 1, a b m m c x2 y2 双曲线系方程是 2 2 1. 2 m c m
F (2 2，，F2 2 2， 0) （ 0） 1
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
F1
0
F2
X
F1
0
B2
. .
A2
图形
. .
F1
y
y
F2 B1
F2(0,c)
A1 A2
O
F2
x
B2
F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
B1 F2(c,0)
A1O F1
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法1. 概述共焦点的椭圆与双曲线方程是数学中一个重要且常见的问题。
通过研究共焦点椭圆与双曲线的方程，可以深入理解数学中椭圆和双曲线的性质，对于解决实际问题具有重要的理论和实际意义。
本文将探讨共焦点的椭圆与双曲线方程的推导及其相关性质。
2. 共焦点椭圆与双曲线的定义共焦点椭圆与双曲线是指在同一平面上，有两个不同的集合（椭圆和双曲线），它们的焦点相同。
椭圆是指平面上到两定点的距离之和等于常数的动点轨迹，而双曲线是指平面上到一对定点的距离之差等于常数的动点轨迹。
共焦点椭圆与双曲线即是这样两种集合的焦点相同，并且这两种集合存在一定关系的情况。
3. 共焦点椭圆与双曲线的方程共焦点椭圆与双曲线的方程可以通过公式推导得到。
对于椭圆而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]对于双曲线而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]当两者具有相同焦点时，在同一坐标系中，椭圆的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)，双曲线的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)。
根据这一特性，可以得到共焦点椭圆与双曲线的方程。
4. 共焦点椭圆与双曲线的性质共焦点椭圆与双曲线有许多重要的性质，这些性质对于理解椭圆和双曲线的特点具有重要意义。
4.1 共焦点椭圆与双曲线的焦点性质：由于共焦点椭圆与双曲线具有相同的焦点，因此它们的焦点性质是相似的。
椭圆的焦点性质是指动点到两焦点的距离之和是常数，而双曲线的焦点性质是指动点到两焦点的距离之差是常数。
在共焦点曲线中，这一性质是相互关联的，体现了它们具有共同的焦点。
4.2 共焦点椭圆与双曲线的几何性质：共焦点椭圆与双曲线在几何性质上也有一些相似之处。
它们都可以通过离心率、焦距和半长轴等参数进行描述，而这些参数与焦点密切相关，从而展现出共焦点曲线的特殊性质。
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。
经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。
下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值（1）利用离心率公式ace =，先求出c a ,，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。
例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c ba b所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
巧用渐进线求双曲线系方程
巧用渐近线求双曲线系方程圆锥曲线与方程是高中数学人教A 版选修2-1第二章内容，是高考的一个热门考点，双曲线是三类曲线中知识点涉及比较多一类曲线，渐近线是双曲线独有的性质，但是我们的同学对渐近线的理解与应用比较肤浅，加之解答过程不规范，缺乏条理性，在这个知识点我们做题耗时太多，得分率较低。
下面就通过一道例题向大家阐述：怎样巧用渐近线求双曲线系方程，怎样规范解答双曲线的问题，提升向同学们的得分率，同时欣赏规范书写带给我们数学美（语言美，布局美）。
问题1求与双曲线191622=-y x 有共同渐近线，并经过点)3,32(-的双曲线的方程。
法1解：由双曲线191622=-y x ，得渐近线方程为x y 43±=， 而点)3,32(-在渐进线方程x y 43-=的左下方， 则所求双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的方程为：12222=-bx a y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=11294322b ab a ，解得4,4922==b a ， 故所求双曲线方程为：149422=-x y 法2解：由双曲线191622=-y x ，得渐近线方程为x y 43±=， （1）若焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为：12222=-by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=19124322b aa b 解得42-=a ，故此时无解。
（2）若焦点在轴y 上，可设双曲线的方程为：12222=-bx a y则⎪⎩⎪⎨⎧=-=11294322b ab a ，解得4,4922==b a ， 故所求双曲线方程为：149422=-x y 法3 解：由所求双曲线与双曲线191622=-y x 有共同渐近线， 可设（得）双曲线的方程为：)0(91622≠=-λλy x 而点)3,32(-在所求双曲线上， 则λ=-991612， 即41-=λ 故所求双曲线方程为：149422=-x y 分析：三种方法都是待定系数法求双曲线的方程，法1，法2涉及两个参量（a,b ）,法3涉及一个参量，显然法3用时少，计算简单，效果好。
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关问题俞㊀纲(云南省昆明市第三中学㊀６５００００)摘㊀要:文章通过举例剖析解决双曲线渐进线相关问题的策略ꎬ代数上运用二次方程的运算技巧ꎬ几何上运用特征三角形㊁角平分线等几何性质.关键词:双曲线渐近线ꎻ代数计算ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－０００７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:俞纲ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀渐进线是双曲线的重要性质ꎬ在历年高考的选择题㊁填空题中多次出现ꎬ而且基础题和难题都有涉及ꎬ如何针对性地选择适当方法来巧妙解决相关问题ꎬ尽量避免复杂的代数计算值得我们研究.１用二次方程解决双曲线渐近线的代数计算㊀㊀渐近线方程与双曲线的位置有关ꎬ由于双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘ可写为(ｙ＋ｂａｘ)(ｙ－ｂａｘ)＝０ꎬ可以看作ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０因式分解所得ꎻｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃａｂｘ恰好可以看作ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝０因式分解所得ꎬ因此双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的两条渐近线方程可等价于二次方程Ａｘ２－Ｂｙ２＝０ꎬ对于与渐近线有关的一些代数计算ꎬ可以借助该二次方程进行方便计算.１.１双曲线方程与渐近线方程的相互转化例１㊀(２０１３年高考江苏卷第３题)双曲线ｘ２１６－ｙ２９＝１的两条渐近线的方程为.分析㊀不用单独求出ａꎬｂ后再代入渐近线方程ꎬ直接由ｘ２１６－ｙ２９＝０因式分解可得渐近线方程为ｙ＝ʃ３４ｘ.㊀例２㊀(２０１５年高考全国Ⅱ卷第１５题)已知双曲线过点(４ꎬ３)ꎬ且渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ则该双曲线的标准方程为.分析㊀虽然不知道双曲线焦点位置ꎬ但不用分类设双曲线方程ꎬ把两渐近线方程可写为(ｙ＋１２ｘ) (ｙ－１２ｘ)＝０ꎬ即ｙ２－ｘ２４＝０ꎬ从而双曲线方程可以设为ｙ２－１４ｘ２＝λꎬ把点Ｍ(４ꎬ３)代入ꎬ解得λ＝－１ꎬ该双曲线的方程为ｘ２４－ｙ２＝１.例３㊀(２０１４年高考北京卷第１１题)设双曲线Ｃ经过点(２ꎬ２)ꎬ且与ｙ２４－ｘ２＝１具有相同渐近线ꎬ７则Ｃ的方程为ꎬ渐近线方程为.分析㊀与ｙ２４－ｘ２＝１共渐近线的双曲线可设为ｙ２４－ｘ２＝λꎬ把点(２ꎬ２)代入得λ＝－３ꎬ则Ｃ的方程为ｘ２３－ｙ２１２＝１.令ｙ２４－ｘ２＝０ꎬ得渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘ.小结㊀上述三题都属于基础中等题ꎬ通过方程的代数特征直接设双曲线渐近线的方程进行研究ꎬ避免了对两种位置的双曲线分别研究的麻烦.当然ꎬ不是所有条件都适合代数方法直接设方程ꎬ归纳言之ꎬ以下三个代数结论可直接运用:双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的渐近线方程可直接由Ａｘ２－Ｂｙ２＝０因式分解得到ꎻ以ｙ＝ｋｘ为一条渐近线的双曲线方程必定可以写为(ｙ＋ｋｘ) (ｙ－ｋｘ)＝λ(λʂ０)ꎬ即ｙ２－ｋ２ｘ２＝λ(λʂ０)的形式ꎻ与双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)有相同渐近线的双曲线方程必定可以写为Ａｘ２－Ｂｙ２＝λ的形式.１.２直线与双曲线的两渐近线相交的问题一条直线与双曲线两渐近线交于两点的问题ꎬ一般需要把该直线分别与两条渐进线方程联立ꎬ通过解两个二元一次方程组ꎬ得到两个交点坐标后再进行相应的表示与计算ꎬ如果把两条渐进线看作一个整体ꎬ借助二次方程来表示它ꎬ则可以借助直线与二次曲线位置关系的研究方法ꎬ运用 设而不求 的思想进行整体计算ꎬ避免直接表示交点坐标ꎬ达到事半功倍的效果.例４㊀过点Ｍ(３ꎬ１)作斜率为２的直线ꎬ与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若Ｍ恰好为ＡＢ的中点ꎬ则双曲线的离心率为.分析㊀此题可以把直线方程写出ꎬ再与两渐近线分别联立得到ＡꎬＢ两点的坐标ꎬ运用中点坐标公式得到等量关系ꎬ但计算相对繁琐ꎬ运用二次方程理论则能简化运算.双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)为其上两点ꎬ由点差法ꎬ得ｘ２１ａ２－ｙ２１ｂ２＝０ꎬｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝０ꎬìîíïïïï即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＝(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２.则２ｘＭ２ｙＭ＝ａ２ｂ２ ｋＡＢ.所以３２＝ａ２ｂ２.从而ｅ＝ｃａ＝１５３例５㊀(２０１４年高考浙江卷第１６题)设直线ｘ－３ｙ＋ｍ＝０(ｍʂ０)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若点Ｐ(ｍꎬ０)满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜ꎬ则该双曲线的离心率是.解析㊀设双曲线两渐近线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线ｌ与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由ｘɪ－１ꎬ１[]ꎬ得(ｘ１－ｍ)２＋ｙ２１＝(ｘ２－ｍ)２＋ｙ２２.整理ꎬ得ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)ｙ２－ｙ１ｘ１－ｘ２.即ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－ｋＡＢ).亦即３ｙ１－ｍ＋３ｙ２－ｍ－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－１３).即１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍ.由ｘ＝３ｙ－ｍꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬìîíïïï联立得(９ｂ２－ａ２)ｙ２－６ｂ２ｍｙ＋ｂ２ｍ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝６ｂ２ｍ９ｂ２－ａ２.代入１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍꎬ得ａ２＝４ｂ２.则ｅ＝５２.小结㊀由于双曲线及渐近线都含有未知字母ꎬ８直线与两条渐近线联立两次分别表示出两交点坐标再计算相对繁琐ꎬ若能借助韦达定理巧用 设而不求 的思想进行整体转化ꎬ则能简化运算.例６㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２４－ｙ２３＝１ꎬ过点Ｐ(２ꎬ１)作直线ｌ交双曲线的两渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝４ꎬ求此时直线的斜率.解析㊀设直线的倾斜角为αꎬ参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓαｙ＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数)ꎬ双曲线的渐进线方程为ｘ２４－ｙ２３＝０ꎬ把直线参数方程代入化简ꎬ得(３ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α)ｔ２＋(１２ｃｏｓα－８ｓｉｎα)ｔ＋８＝０.由韦达定理ꎬ得ｔ１ｔ２＝８７ｃｏｓ２α－４.则｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝８｜７ｃｏｓ２α－４｜＝４.得ｃｏｓ２α＝６７或２７.则ｓｉｎ２α＝１７或５７.从而ｋ＝ʃ６６或ʃ１０２.２用几何性质解决双曲线渐近线的几何问题双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的渐进线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ其几何含义可直观体现在如下两个直角三角形中:如图１ꎬ过焦点Ｆ作渐近线的垂线ＦＭꎬ垂足为点Ｍꎬ过顶点Ａ作实轴垂线ＡＮꎬ交渐近线于点Ｎ.记øＦＯＭ＝θꎬ在ＲｔәＯＦＭ中ꎬ｜ＯＦ｜＝ｃꎬ｜ＭＦ｜＝ｂꎬ｜ＯＭ｜＝ａꎬｔａｎθ＝ｂａꎬｓｉｎθ＝ｂｃꎬｃｏｓθ＝ａｃ.在ＲｔәＯＡＮ中ꎬ｜ＯＡ｜＝ａꎬ｜ＡＮ｜＝ｂꎬ｜ＯＮ｜＝ｃ.借助这两个直角三角形ꎬ可以更直观地理解渐近线斜率的几何意义ꎬ并且可以得到一些常用结论ꎬ如:焦点到渐近线的距离为ｂꎻ以Ｏ为圆心ꎬ实轴长２ａ为直径的圆与渐近线相交ꎬ交点与焦点的连线恰好与渐近线垂直ꎻ以Ｏ为圆心ꎬ焦距长２ｃ为直径的图１圆与渐近线相交ꎬ交点与顶点的连线恰好与实轴垂直ꎻ两渐近线的夹角被坐标轴平分等性质ꎬ运用这些几何性质ꎬ可以灵活解决一些相关的问题.例７㊀(２０１８年高考全国新课标卷第１１题)已知双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２＝１ꎬＯ为坐标原点ꎬＦ为Ｃ的右焦点ꎬ过点Ｆ的直线与两渐近线交于ＭꎬＮ两点ꎬ若әＯＭＮ为直角三角形ꎬ则｜ＭＮ｜＝(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.２３㊀㊀Ｄ.４分析㊀由题意得ꎬＯＭʅＭＮꎬ即直线ＭＮ与渐近线垂直ꎬ从而可以写出直线ＭＮ的方程ꎬ再分别与两渐近线方程联立就得ＭꎬＮ两点坐标ꎬ最后借助两点间距离公式求出｜ＭＮ｜ꎬ但显然求出交点再算距离的代数运算相对复杂ꎬ用几何方法则可简化运算.由题意ꎬＯＭʅＭＦꎬ则根据性质可知｜ＦＭ｜＝ｂ＝１ꎬ｜ＯＭ｜＝ａ＝３.又由øＭＯＮ＝２θ＝π３ꎬ则在ＲｔәＭＯＮ中ꎬ｜ＭＮ｜＝｜ＯＭ｜ ｔａｎπ３＝３ꎬ故选Ｂ.例８㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点关于一条渐近线的对称点恰好在另一条渐近线上ꎬ则双曲线的离心率为.图２分析㊀如图２ꎬ根据题意ꎬ可以求出焦点Ｆ关于９渐进线ｙ＝ｂａｘ的对称点Ｐ的坐标ꎬ再代入另一条渐近线方程ｙ＝－ｂａｘ中ꎬ但求对称点的代数运算相对复杂ꎬ会导致此题 小题大做 .若能运用几何性质ꎬ根据点Ｆ与点Ｐ关于渐近线对称ꎬ则øＰＯＨ＝øＦＯＨꎬ再由两渐近线关于ｘ轴对称ꎬ则øＦＯＨ＝π３ꎬ则ｋ＝３ꎬ即ｂａ＝３ꎬ所以ｅ＝２ꎬ题目实现 秒杀 .例９㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点为Ｆ２ꎬ点ＭꎬＮ在双曲线的同一条渐近线上ꎬＯ为坐标原点.若直线Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ且ＯＦ２ʅＦ２Ｎꎬ｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜ꎬ则双曲线的渐近线方程为.图３分析㊀根据题意ꎬ可以求出ＭꎬＮ两点的坐标ꎬ进而表示出｜Ｆ２Ｍ｜与｜Ｆ２Ｎ｜的长度ꎬ再列式求解ꎬ但计算比较复杂.若用几何方法ꎬ如图３ꎬ根据两渐近线与ｘ轴夹角相同且Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ可得øＦ２ＯＭ＝øＭＦ２Ｏꎬ即әＭＯＦ２为等腰三角形ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＯＦ２于点Ｅꎬ则点Ｅ为ＯＦ２中点且ＮＦ２ʊＭＥꎬ则｜ＮＦ２｜＝２｜ＭＥ｜.从而根据｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜可得到｜ＯＭ｜＝５｜ＭＥ｜ꎬ即ｔａｎøＭＯＥ＝１２ꎬ渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ问题得到巧妙化简.例１０㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过Ｆ作一条渐近线的垂线ꎬ与两渐近线交于点ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀根据题意ꎬ由ＡＦң＝２ＦＢңꎬ可得到ｙ１＝－２ｙ２ꎬ可以由直线与两条渐近线方程联立ꎬ求出两点的纵坐标后再列式求解ꎬ但显然求交点的代数运算相对复杂.用几何方法ꎬ由性质可知ꎬ｜ＦＢ｜＝ｂꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由于ＯＦ是øＢＯＡ的平分线ꎬ根据角平分线性质ꎬ则｜ＦＢ｜｜ＦＡ｜＝｜ＯＢ｜｜ＯＡ｜ꎬ从而在ＲｔәＡＯＢ中ꎬ｜ＡＢ｜＝３ｂꎬ｜ＯＡ｜＝２ａꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由勾股定理可得４ａ２＝９ｂ２＋ａ２ꎬ从而ｅ＝２３３ꎬ问题得到巧妙解答.３根据题目特点选择合适的方法进行求解例１１㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ作斜率为１的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀此题为例１０变式ꎬ我们分别用三种方法求解ꎬ对比运算复杂程度的差异.方法１㊀(直接求交点法)双曲线两渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ直线ＡＢ方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ由ａ>ｂ>０可知ꎬＡꎬＢ位于ｘ轴两侧ꎬ则由ＡＦＢＦ＝２１得ｙＡ＝－２ｙＢ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝ｂｃａ－ｂ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝－ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝－ｂｃａ＋ｂ.根据ｙＡ＝－２ｙＢꎬ得ｂｃａ－ｂ＝２ｂｃａ＋ｂ.从而得到ａ＝３ｂꎬ则ｅ＝１０３.方法２㊀(韦达定理整体化简)设双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ直线与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由题得ｙ１＝－２ｙ２.０１由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０ꎬ{联立得(ｂ２－ａ２)ｙ２－２ｂｃ２ｙ＋ｂ２ｃ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬｙ１ｙ２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２ꎬìîíïïïï根据ｙ１＝－２ｙ２ꎬ得－ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬ－２ｙ２２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２.ìîíïïïï从而得到ａ２＝９ｂ２.则ｅ＝１０３.图４方法３㊀(几何法)如图４ꎬ作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｄꎬ则ＦＢ＝ＦＤꎬøＢＦＯ＝øＤＦＯ＝π４.由此øＡＦＤ＝π２.在ＲｔәＡＦＤ中ꎬＡＦ＝２ＦＤꎬ则ｔａｎøＦＡＤ＝１２.而øＦＯＤ＝π４－øＦＡＤꎬ则ｔａｎøＦＯＤ＝１３.则ｂａ＝１３.从而ｅ＝ｃａ＝１０３.小结㊀第一种方法因为直线的方程比较简单ꎬ所以其与两渐近线联立求交点运算不太复杂ꎻ第二种方法二次方程根与系数关系式法由于韦达定理表示ｙ１㊁ｙ２的不对称式较麻烦ꎬ所以计算没有优势ꎻ用几何法通过转化运算相对较少ꎬ同时在求解过程中我们还可以发现ꎬ点Ｆ的位置没有实质的影响ꎬ由此我们可以得到该问题的一般化描述:已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＭ为ｘ轴上一点ꎬ过点Ｍ作斜率为ｋ的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＭＢＭ＝λꎬ求双曲线Ｃ的离心率ｅ.显然当直线的倾斜角不是特殊角时ꎬ几何方法的运算也将变得复杂ꎬ这时三种方法的复杂程度差别不大ꎬ则方法１的思路更简单直接一些.例１２㊀已知Ｐ为双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２１＝１上一动点ꎬ点Ｐ到双曲线两渐近线的距离分别为ｍꎬｎꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为.分析㊀此题几何法不方便解决ꎬ回归到坐标法进行一般化的研究ꎬ设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的一个动点ꎬ其两条渐近线方程分别为ｙ＝ʃｂａｘꎬ即ｂｘʃａｙ＝０ꎬ则Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到两渐近线的距离分别为ｍ＝｜ｂｘ０－ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬｎ＝｜ｂｘ０＋ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬ可以发现ｍ ｎ＝｜ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０｜ａ２＋ｂ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２ꎬ则ｍ＋ｎȡ２ｍｎ＝２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ当ｍ＝ｎ时取等号ꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ此题答案为３.渐近线作为双曲线的重要性质ꎬ其相关问题蕴含了丰富的数形结合㊁等价转化的思想ꎬ对数学运算也有较高的要求ꎬ这就需要我们一方面要锻炼运算能力ꎬ总结运算技巧ꎻ另一方面要多对比一个问题的代数思路与几何思路的差异ꎬ关注不同方法运算复杂程度的区别ꎬ选择合适的方法来针对性解决相关问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１１。
双曲线方程的“巧设”
双曲线方程的“巧设”利用待定系数法是求双曲线的标准方程的常见方法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得待定参数.在求解过程中，若能根据题目的特点，巧妙设出相应的双曲线方程，则可达到避繁就简的目的.本文将探讨求的双曲线方程的“巧设”.一、过两个已知点的双曲线方程的“巧设”例1求经过点P(－3，27)，(－62，－7)的双曲线的标准方程.解析：设双曲线的方程为nx 2－my 2＝1(mn ≠0)，则有⎩⎨⎧ 9n －28m ＝172n －49m ＝1，解得⎩⎨⎧ n ＝－175m ＝－125， 所以双曲线方程为y 225－x 275＝1. 点评：根据双曲线过两个已经点求双曲线的标准方程，一般采用待定系数法进行求解.由于双曲线的标准方程有x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1两种形式，因此在用待定系数法时，如果不知焦点在在x 轴还是在y 轴上，则常常需要先判断出焦点在哪条轴上，或者分别设出这两种标准形式进行求解，这无疑是麻烦的．实质上这类题目可以事先不加以判断，而直接设双曲线方程为nx 2－my 2＝1(mn ≠0)，这个方程实际上包括了上面两种情况.二、已知渐近线方程的双曲线方程的“巧设”例2已知双曲线的一条渐近线方程x －2y ＝0且过点P (4，3)，求双曲线的标准方程。
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，∴可设双曲线方程为x 2－4y 2＝k (k ∈R 且k ≠0).∵P (4，3)在双曲线上，∴42－4×32＝k ，即k ＝－20.即y 25－x 220＝1为所求的双曲线方程. 点评：本题若按照常规解法，需要根据双曲线上的已知点和渐近线的位置关系定双曲线焦点的位置.而上面解法则是根据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b ax ，进行逆向思维，即以y ＝±b ax 为渐近线的双曲线方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，避免了研究双曲线方程类型，简化了解题过程.此类题型还可以拓展：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 三、与椭圆共焦点的双曲线方程的“巧设”例3已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.解析：设双曲线C 的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1，将点A(15，4)代入所设方程得(15)227－λ＋4236－λ＝1，解得λ1＝32，λ1＝0(舍去). ∴双曲线的方程y 24－x 25＝1. 点评：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2＜λ＜a 2).此结论还可以进一步拓展：与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共焦点的双曲线系方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(－b 2＜λ＜a 2)． 四、等轴双曲线方程的“巧设”例4已经中心在原点、坐标轴为对称轴的双曲线两准线间的距离为42，且离心率为2，求此双曲线方程.解析：由于双曲线的离心率为2，由此易知所差双曲线为等轴双曲线.设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝k(k ≠0)，∵2·a 2c ＝42，∴2·|k|2|k|⇒|k|(|k|－16)＝0，∵k ≠0，∴k ＝±16，故所求双曲线方程为x 2－y 2＝±16.点评：如果已知双曲线为等轴双曲线或经过分析可以判断出双曲线为等轴双曲线，则可以将所求双曲线的标准方程设为x 2－y 2＝k(k≠0).。
双曲线的特殊形式
双曲线的特殊方程一、双曲线旋转方程 设双曲线的标准方程为C ： x 2a 2−y 2b 2=1，(a >0,b >0) ，则双曲线为横向开口， 渐近线方程为 y =±b ax 将双曲线逆时针旋转 θ ，使得渐近线 y =b a x 与 y 轴重合 则 θ 与渐近线 y =b a x 的倾斜角互余，即tanθ=a b�cosθ=b c sinθ=a c旋转后的方程为：(xcosθ+ysinθ)2a 2−(−xsinθ+ycosθ)2b 2=1 (b c x +a c y )2a 2−(−a c x +b c y )2b 2=1 (bx +ay )2a 2c 2−(ax −by )2b 2c 2=1 �b 2a 2c 2−a 2b 2c 2�x 2+�a 2a 2c 2−b 2b 2c 2�y 2+�1a 2+1b 2�2abxy c 2=1 b 4−a 4a 2b 2c 2x 2+�1a 2+1b 2�2abxy c 2=1 (b 2−a 2)(b 2+a 2)a 2b 2c 2x 2+�1a 2+1b 2�2abxy c 2=1 b 2−a 2a 2b 2x 2+b 2+a 2a 2b 22abxy c 2=1 b 2−a 2a 2b 2x 2+2xy ab =1 y =a 2−b 22ab x +ab /2x 当 a >b 时，可以写成 y =kx +p x ，(k >0，p >0) 的形式； 当 a <b 时，可以写成 y =−kx +p x ，(k >0，p >0) 的形式； 当 a =b 时，可以写成 y =p x ，(k >0) 的形式。
双曲线方程可以通过对称变换得到y =±kx −p x结论：形如 y =kx +p x 或 y =p x ，(k ≠0，p ≠0) 的曲线都是双曲线二、双曲线的特殊方程1、已知特殊双曲线方程为：y=p x，(p>0)，半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c 则a=b，ab2=pa=b=�2p，c=√2a=2�p离心率：e=√2渐近线：x=0，y=0焦点坐标： (�2p,�2p)、(−�2p,−�2p)2、已知特殊双曲线方程为：y=kx+p x，(p>0)，半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c�p=ab/2k=a2−b22ab化简得�a2b2=4p2a2−b2=4kpa=�2p(√1+k2+k)，b=�2p(√1+k2−k)，c=�4p√1+k2e=�2(1+k2)−2k�1+k2渐近线为：x=0，y=kx焦点坐标：(�4p√1+k2，k�4p√1+k2 )、(−�4p√1+k2，−k�4p√1+k2 )。
双曲线方程的推导过程
双曲线方程的推导过程
嘿，朋友们！今天咱来聊聊双曲线方程的推导过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，有两个点，就像两颗星星一样，固定在那。
然后呢，有一个动点，就像个调皮的小孩子，在那跑来跑去。
这个动点呀，它到这两个固定点的距离之差是个定值。
你说这神奇不神奇？就好像这个动点被这两个点牵着，但又不完全被控制，有着自己独特的运动轨迹。
那咱怎么来找到这个轨迹的方程呢？这就得好好琢磨琢磨啦。
咱先设这两个固定点之间的距离为 2c，那这个定值呢，咱就设为 2a。
然后就开始一步步推导啦。
通过一些巧妙的计算和变换，你猜怎么着，就能慢慢得出那个双曲线的方程啦！就好像我们在迷宫里找出口，一点点探索，最后终于找到了光明。
你想想看，数学的世界多奇妙呀！这么一个看似简单的设定，就能引出这么复杂又美妙的方程。
这就跟我们生活中的好多事情一样，一开始可能觉得没啥头绪，但只要我们耐心去探索，去思考，总能发现其中的奥秘。
双曲线方程的推导过程可不只是一堆公式和计算，它背后蕴含着深深的智慧和乐趣。
就好像我们解一道难题，过程中可能会遇到各种困难，但当我们最终解出来的时候，那种成就感，哎呀，真的是无法形容！
所以呀，大家可别觉得数学枯燥，其实里面藏着好多好玩的东西等着我们去发现呢！就像双曲线方程的推导，看似复杂，实则充满了惊喜。
总之，双曲线方程的推导过程就是一场奇妙的数学之旅，让我们在其中尽情遨游，感受数学的魅力吧！。
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双曲线方程的“巧设”
利用待定系数法是求双曲线的标准方程的常见方法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得待定参数.在求解过程中，若能根据题目的特点，巧妙设出相应的双曲线方程，则可达到避繁就简的目的.本文将探讨求的双曲线方程的“巧设”.
一、过两个已知点的双曲线方程的“巧设”
例1求经过点P(－3，27)，(－62，－7)的双曲线的标准方程.
解析：设双曲线的方程为nx 2－my 2＝1(mn ≠0)，则有⎩⎨⎧ 9n －28m ＝172n －49m ＝1，解得⎩⎨⎧ n ＝－175m ＝－125
， 所以双曲线方程为y 225－x 275
＝1. 点评：根据双曲线过两个已经点求双曲线的标准方程，一般采用待定系数法进行求解.
由于双曲线的标准方程有x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2
b 2＝1两种形式，因此在用待定系数法时，如果不知焦点在在x 轴还是在y 轴上，则常常需要先判断出焦点在哪条轴上，或者分别设出这两种标准形式进行求解，这无疑是麻烦的．实质上这类题目可以事先不加以判断，而直接设双曲线方程为nx 2－my 2＝1(mn ≠0)，这个方程实际上包括了上面两种情况.
二、已知渐近线方程的双曲线方程的“巧设”
例2已知双曲线的一条渐近线方程x －2y ＝0且过点P (4，3)，求双曲线的标准方程。
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，
∴可设双曲线方程为x 2－4y 2＝k (k ∈R 且k ≠0).
∵P (4，3)在双曲线上，∴42－4×32＝k ，即k ＝－20.
即y 25－x 220
＝1为所求的双曲线方程. 点评：本题若按照常规解法，需要根据双曲线上的已知点和渐近线的位置关系定双曲线
焦点的位置.而上面解法则是根据双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a
x ，进行逆向思维，即以y ＝±b a
x 为渐近线的双曲线方程设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)，避免了研究双曲线方程类型，简化了解题过程.此类题型还可以拓展：与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0). 三、与椭圆共焦点的双曲线方程的“巧设”
例3已知双曲线与椭圆x 227＋y 236
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.
解析：设双曲线C 的方程为x 227－λ＋y 2
36－λ
＝1，
将点A(15，4)代入所设方程得(15)227－λ＋42
36－λ
＝1，解得λ1＝32，λ1＝0(舍去). ∴双曲线的方程y 24－x 2
5＝1. 点评：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2
b 2－λ
＝1(b 2＜λ＜a 2).此结论还可以进一步拓展：与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共焦点的双曲线系方程可设为x 2a 2－λ－y 2
b 2＋λ
＝1(－b 2＜λ＜a 2)． 四、等轴双曲线方程的“巧设”
例4已经中心在原点、坐标轴为对称轴的双曲线两准线间的距离为42，且离心率为2，求此双曲线方程.
解析：由于双曲线的离心率为2，由此易知所差双曲线为等轴双曲线.
设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝k(k ≠0)，∵2·a 2c ＝42，∴2·|k|2|k|
⇒|k|(|k|－16)＝0，
∵k ≠0，∴k ＝±16，故所求双曲线方程为x 2－y 2＝±16.
点评：如果已知双曲线为等轴双曲线或经过分析可以判断出双曲线为等轴双曲线，则可以将所求双曲线的标准方程设为x 2－y 2＝k(k≠0).。