双曲线方程的“巧设”

双曲线方程的“巧设”

利用待定系数法是求双曲线的标准方程的常见方法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得待定参数.在求解过程中，若能根据题目的特点，巧妙设出相应的双曲线方程，则可达到避繁就简的目的.本文将探讨求的双曲线方程的“巧设”.

一、过两个已知点的双曲线方程的“巧设”

例1求经过点P(－3，27)，(－62，－7)的双曲线的标准方程.

解析：设双曲线的方程为nx 2－my 2＝1(mn ≠0)，则有⎩⎨⎧ 9n －28m ＝172n －49m ＝1，解得⎩⎨⎧ n ＝－175m ＝－125

， 所以双曲线方程为y 225－x 275

＝1. 点评：根据双曲线过两个已经点求双曲线的标准方程，一般采用待定系数法进行求解.

由于双曲线的标准方程有x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2

b 2＝1两种形式，因此在用待定系数法时，如果不知焦点在在x 轴还是在y 轴上，则常常需要先判断出焦点在哪条轴上，或者分别设出这两种标准形式进行求解，这无疑是麻烦的．实质上这类题目可以事先不加以判断，而直接设双曲线方程为nx 2－my 2＝1(mn ≠0)，这个方程实际上包括了上面两种情况.

二、已知渐近线方程的双曲线方程的“巧设”

例2已知双曲线的一条渐近线方程x －2y ＝0且过点P (4，3)，求双曲线的标准方程。 解析：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，

∴可设双曲线方程为x 2－4y 2＝k (k ∈R 且k ≠0).

∵P (4，3)在双曲线上，∴42－4×32＝k ，即k ＝－20.

即y 25－x 220

＝1为所求的双曲线方程. 点评：本题若按照常规解法，需要根据双曲线上的已知点和渐近线的位置关系定双曲线

焦点的位置.而上面解法则是根据双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a

x ，进行逆向思维，即以y ＝±b a

x 为渐近线的双曲线方程设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)，避免了研究双曲线方程类型，简化了解题过程.此类题型还可以拓展：与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0). 三、与椭圆共焦点的双曲线方程的“巧设”

例3已知双曲线与椭圆x 227＋y 236

＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.

解析：设双曲线C 的方程为x 227－λ＋y 2

36－λ

＝1，

将点A(15，4)代入所设方程得(15)227－λ＋42

36－λ

＝1，解得λ1＝32，λ1＝0(舍去). ∴双曲线的方程y 24－x 2

5＝1. 点评：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2

b 2－λ

＝1(b 2＜λ＜a 2).此结论还可以进一步拓展：与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)有公共焦点的双曲线系方程可设为x 2a 2－λ－y 2

b 2＋λ

＝1(－b 2＜λ＜a 2)． 四、等轴双曲线方程的“巧设”

例4已经中心在原点、坐标轴为对称轴的双曲线两准线间的距离为42，且离心率为2，求此双曲线方程.

解析：由于双曲线的离心率为2，由此易知所差双曲线为等轴双曲线.

设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝k(k ≠0)，∵2·a 2c ＝42，∴2·|k|2|k|

⇒|k|(|k|－16)＝0，

∵k ≠0，∴k ＝±16，故所求双曲线方程为x 2－y 2＝±16.

点评：如果已知双曲线为等轴双曲线或经过分析可以判断出双曲线为等轴双曲线，则可以将所求双曲线的标准方程设为x 2－y 2＝k(k≠0).