两角和与差的正弦、余弦函数(答案)
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
人教A版高中数学必修一 《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础知识+基本题型)(含解析)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（基础知识+基本题型）知识点一、两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA . 由向量数量积的定义，有)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅OB OA OB OA ，由向量数量积的坐标表示，得βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA . 于是有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 由以上的推导过程可知，βα,是任意角，则)(βα-也应为任意角，即对于任意角βα,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为差角的余弦公式，简记为)(βα-C【提示】（1）适用条件：公式中的βα,都是任意角，可以为常量，也可以为变角（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 【拓展】（1）逆用：)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+（2）角变换后使用：ββαββαββααsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= （3）移项使用：βαβαβαsin sin )cos(cos cos --=；βαβαβαcos cos )cos(sin sin --=（4）特殊化使用导出诱导公式：ααπαπαπsin sin 2sincos 2cos)2cos(=+=-知识点二 两角和的余弦公式 运用)(βα-C 和诱导公式，有)](cos[)cos(βαβα--=+ )sin(sin )cos(cos βαβα-+-= βαβαsin sin cos cos -=，即βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+此公式就是两角和的余弦公式，简记作)(βα+C 提示：（1）公式中的βα,都是任意角（2）两角和与差的余弦公式右边函数名的排列顺序为：余⋅余 正⋅正，左右两边加减运算符号相反 （3）一般情况下，两角和的余弦公式不能按分配律展开，即βαβαcos cos )cos(+≠+ 【拓展】要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()C αβ± （1）顺用公式()C αβ±，如：()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦；()cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦（2）逆用公式()C αβ±，如：()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ+--+- ()()cos cos 2αβαβα=++-=⎡⎤⎣⎦（3）变用公式()C αβ±，如：()cos sin sin cos cos αβαβαβ++=； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ--=知识点三 两角和与差的正弦公式 运用()C αβ-和诱导公式，有()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-+=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.这就是两角和的正弦公式，简记作sin cos cos sin αβαβ+()S αβ+. 在公式()S αβ+中，用β-代替β，可得()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 这就是两角差的正弦公式，简记作()S αβ-. 【提示】（1）公式中的,αβ均为任意角.（2）两角和与差的正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余±余正，左右两边加减运算符号相同. （3）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即()sin sin sin αβαβ±=±.知识点四 两角和与差的正切公式 ()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--， 即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.这就是两角和的正切公式，简记作()T αβ+. 以β-代替上式中β，可得 ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+--+-==⎡⎤⎣⎦--+，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.这就是两角差的正切公式，简记作()T αβ-. （1）适用条件：公式()T αβ±只有在(),,Z 222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠+±≠+∈时才成立，否则不成立，这是由正切函数的定义域决定的.（2）特殊情况：当tan α或tan β或()tan αβ±的值不存在时，不能使用()T αβ±处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如，化简tan 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为tan 2π的值不存在，不能利用公式()T αβ-，所以改用诱导公式来解.sin cos 2tan 2sin cos 2πβπββπββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. （3）公式()T αβ-也可以这样推导： ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ---==-+若cos cos 0αβ≠，则将上式得分子、分母都除以cos cos αβ，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.【拓展】（1）正切公式的逆用： ()()()tan tan tan tan 1tan tan αβααβαβαβα+-=+-=⎡⎤⎣⎦++；tantan 1tan 4tan 1tan 41tan tan 4πααπαπαα++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-（2）正切公式的变形应用：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-； ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-=+；()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+=-知识点五 辅助角公式辅助角公式：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭推导过程：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭令cos ϕϕ==，)sin cos sin cos cos sin a x b x x x ϕϕ++()x ϕ+其中角ϕ所在象限由,a b 的符号确定，角ϕ的值由tan ba ϕ=确定或由cos ϕϕ==共同确定【提示】 （1）关于形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）的式子，引入辅助角可以变形为()sin A x ϕ+的形式，有时也变形为()cos A x ϕ+的形式（2）辅助角公式能将异名三角函数式转化为同名三角函数式，它本身就是一个化简得过程，化简后，可轻松地求出函数的周期、最值、单调区间等考点一 三角函数式的化简 【例1】 化简下列各式 （1）sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦；（3）()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ 解：（1）原式()()sin 158cos15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8tan15cos 158sin15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8︒-︒+︒︒︒︒-︒︒+︒︒==︒︒-︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30︒-︒=︒-︒==+︒︒2=-（2）原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== （3）原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ ()sin sin αβαβ=+-= 化简三角函数式的标准和要求： （1）能求出值得应求出值；（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； （3）使三角函数式的次数尽可能低； （4）使分母中尽量不含三角函数式和根式 考点二 三角函数的求值 【例2.】.（1）求sin105︒的值；（2）已知3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）已知1tan ,tan 20,322ππαβαβπ⎛⎫==-<<<< ⎪⎝⎭，求()tan αβ-及αβ+的值解：（1）()sin105sin 6045︒=︒+︒sin 60cos45cos60sin 45=︒︒+︒︒ （2）因为3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，所以4cos 5θ=-所以413cos cos cos sin sin 666525πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为1tan ,tan 23αβ==-，所以()12tan tan 3tan 721tan tan 13αβαβαβ+--===+- ()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+ 因为0,,22ππαβπ<<<<所以 322ππαβ<+<所以34παβ+=三角函数的求值问题主要包括三类：给角求值、给值求值、给值求角 （1）给角求值的求解策略求解的关键是能将所求角转化为特殊角，并注意公式的选用 （2）给值求值的求解策略已知角,αβ的某种三角函数值，求αβ±的余弦、正弦或正切的方法；先根据平方关系求出,αβ的另一种三角函数值，求解过程中应注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，再根据求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦、余弦、正切公式中，求出和角或差角的正弦、余弦、正切（3）给值求角的方法解答这类题目的步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角所在的范围；③求角 考点三 三角恒等式的证明 【例3】求证：()()sin 2sin 2cos .sin sin αββαβαα+-+=证明：因为sin 0α≠，()()sin 22cos sin αβαβα+-+()()=sin 2cos sin αβααβα++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2cos sin αβααβααβα=+++-+ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin αβα=+-⎡⎤⎣⎦ sin β=，所以()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=.证明三角恒等式常用以下方法：（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边-右边=0. 考点四 辅助角公式的应用【例4】 将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）12cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1sin cos 22424x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式sin sin cos cos 26464x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5sin .212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 通过引入辅助角ϕ，可以将sin cos a x b x +这种形式的三角函数式化为一个角的一种三角函数的形式.这种变形方法可解决sin cos a x b x +的许多问题，如值域、最值、周期、单调区间等.另外，（2）在解法上充分体现了角的变换和整体思想.。
两角和与差的正弦公式与余弦公式
两角和与差的正弦公式与余弦公式角的和与差的正弦公式正弦函数是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
在数学中，角的和与差的正弦公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之差等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
例如，假设角A的正弦值是0.5，角B的余弦值是0.7，我们可以使用两角和的正弦公式计算两个角的和的正弦值：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB= 0.5 * 0.7 + cosA * sinB= 0.35 + cosA * sinB这样，我们可以使用已知的角A和B的正弦和余弦值，计算出两个角的和的正弦值。
角的和与差的余弦公式除了正弦函数之外，余弦函数也是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
与角的和与差的正弦公式类似，我们也可以使用公式来计算两个角的余弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之差等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 s ｉn （α±β)=s ｉn_αcos ＿β±cos_αsin ＿β. cos(α∓β)=ｃos_αc ｏs_β±sin_αsin_β． t ａn(α±β）=错误!．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 s ｉn 2α=2ｓin_αcos_α.cos 2α=cos 2α－ｓｉｎ２α＝2ｃｏs ２α-1=1-２ｓin 2α． ｔa ｎ 2α＝错误!. 3.有关公式的逆用、变形等（1）ta ｎ α±tan β＝t ａn(α±β)（1∓ta ｎ_αt ａn_β). (2)co ｓ2α＝＼f(1＋cos 2α,2),sin 2α=错误!．(３)１+sin 2α＝（si ｎ α+ｃo ｓ α)2,1－ｓin 2α＝(ｓｉｎ α－cos α）2,sin α±co ｓ α＝＼r(2）sin 错误!.4.函数f （α）＝a sin α+ｂｃｏs α(a ，b 为常数),可以化为f （α）＝a 2＋b 2s ｉn(α＋φ),其中t ａn φ＝＼f(b,a ) 一、选择题1.给出如下四个命题ﻩﻩ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立;②存在实数α,β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ﻩ( )A ．①②ﻩB.②③ Ｃ．③④ﻩD.②③④2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是ﻩﻩ( )A ．21+ﻩB ．12-ﻩC ．2ﻩD ． 2 ３．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的ﻩﻩ( ） A.最大值为１,最小值为-1ﻩB ．最大值为１,最小值为21-C ．最大值为２,最小值为－２D ．最大值为2,最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值ﻩﻩ( ） A.21 B ．22 Ｃ.22-D.22±５.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A.6556ﻩB ．-6556ﻩＣ．5665 Ｄ.－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于ﻩﻩ( ） A ．43 B ．83ﻩＣ．81 Ｄ.417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是ﻩﻩ（ ）A.)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与Ｃ.)()(x f x h 与ﻩD.)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 ( ) A.3πB.4πﻩC.π65ﻩＤ．π45 9.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是( ）A.p ＋q ＋1=０ B ．p-q ＋1＝0ﻩC.p+q-1=0 D ．p-q-1＝０ 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ )A.412--a a ﻩB.-412--a a ﻩC.214a a --± D ．412--±a a11.在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为ﻩ（ ）A.1tan tan >+B A ﻩB ．1tan tan <⋅B A Ｃ．1tan tan =⋅B A Ｄ．不能确定 １2. 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是ﻩ（ )Ａ．41Ｂ．23ﻩC.21Ｄ．43二、填空题(每小题4分，共16分,将答案填在横线上)13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14.在△ＡＢC 中，33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.１5．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . １6.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—2１题每题12分，２2题14分） 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18.已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值.１9．求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20.已知α,β∈（0,π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.2１．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2Ｂ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.Ｃ 2．A ３．D 4.D 5.B 6.C ７.C 8.B 9.B １０．D １1．B 12．A二、1３.m 14.3π１５．32-- 16.]214,214[- 三、1７．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====ﻩ3275tan )2tan(+==- αβ． １9．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． ２0．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22.由题设B=6０°,A ＋C=1２0°,设2CA -=α知A=60°+α, Ｃ=６０°－α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A .。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。
因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。
用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。
(2)由三角形面积可得。
再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。
解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。
5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。
2020届高三理数一轮讲义：4.3-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)
α＋c2o＋s 2αc）os·αcosα2－sinα2(0<α<π)＝________.
【训练 1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
A.sin(α＋2β)
B.sin α
C.cos(α＋2β)
D.cos α
(2)化简：22tacnosπ44－α－α2scions22απ4＋＋12α＝________.
考点二 三角函数式的求值
角度 1 给角(值)求值
【例 2－1】 (1)计算：cos 10°－1－3csoins（10－°100°）＝________.
(2)(2018·江苏卷)已知
α，β
为锐角，tan
α＝43，cos(α＋β)＝－
5 5.
①求 cos 2α 的值；
②求 tan(α－β)的值.
角度 2 给值求角 【例 2－2】 (1)(2019·河南六市联考)已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，若 0<β<α<π2， 则 β＝________. (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
【训练 2】 (1)(2019·合肥模拟)tan 70°·cos 10°( 3tan 20°－1)等于( )
A.1
B.2
C.－1
D.－2
(2)已知 α，β 为锐角，cos α＝17，且 sin(α＋β)＝5143，则角 β＝________.
(3)若co2scπ4o＋s 2θθ＝ 3·sin 2θ，则 sin 2θ＝(
＝( )
4 A.3
B.－43
C.－34
3 D.4
13.(一题多解)设 cos α＝－ 55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则 α－β＝________.
(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究"以上内容,完成下列问题。
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究"以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ)(a，b不同时为0）,其中cos θ＝错误!，sin θ＝错误!．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ）(3）对于任意α,β∈R，sin（α＋β）＝sin α＋sin β都不成立．（）(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°。
( ）解：(1）√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°,β＝0°时，sin（α－β）＝sin α－sin β.（3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．(4）√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1)存在α,β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝错误!都成立．( )（3）tan(α＋β）＝错误!等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )解:（1)√。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式【课前回顾】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【课前快练】1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A. 3．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.4．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α5．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75考点一 三角函数公式的直接应用三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【典型例题】1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A ∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋3310考点二 三角函数公式的逆用与变形用1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的2类变式 (1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (2)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 考法(一) 三角函数公式的逆用 1.sin 10°1－3tan 10°＝________. 解析：sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.答案：142．在△ABC 中，若tan A tan B ＝ tan A ＋tan B ＋1, 则cos C ＝________.解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案：223．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考法(二) 三角函数公式的变形用 4．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－15．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换1．迁移要准(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值；看到β，α＋β，α想到凑角β＝(α＋β)－α，代入公式求值．(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式；看到α＋β，β，α－β想到凑角．2．思路要明(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．3．思想要有转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．【典型例题】1．(2018·南充模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝________.解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314， 则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 答案：322．已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.答案：－726【针对训练】1．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 【课后演练】1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3解析：选B 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 3．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429解析：选A 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.4．(2018·衡水调研)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.5．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝45，则tan 2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2479．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－110．(2018·石家庄质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________. 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26. 答案：15－2611．(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选B 由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝442＋(－3)2＝45，sin α＝－342＋(－3)2＝－35，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－⎝⎛⎭⎫－35×22＝7210. 12．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225解析：选B 因为α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425. 13．(2018·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117D ．－1731解析：选D 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 14．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π315．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151616．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 17．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π2<α－β<π2. 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式_1
和的正弦
差的正弦
公
式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
α+ β
和的正切
tan(α+β)=1- α β
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
)
(2)sin α+sin β=sin(α+β).(
)
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(
自主预习
一
二
三
四
二、两角和与差的正弦公式
1.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 以及诱导公式 sin
第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(讲)(解析版)
第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）思维导图知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .题型归纳题型1 公式的直接应用【例1-1】（2020春•六盘水期末）已知sin （π﹣α）=√33，则cos2α＝（ ） A ．2√23B ．−13C ．23D ．13【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算求解． 【解答】解：∵sin （π﹣α）＝sinα=√33， ∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√33)2=13．故选：D ．【例1-2】（（2020春•金牛区校级期末）计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果． 【解答】解：cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝cos18°•cos42°﹣sin18°•sin42°=cos60°=12． 故选：A ．【例1-3】（（2020春•上饶期末）若3sinα−2sin(α+π3)−√7=0，则tanα＝（ ） A ．−2√33B ．2√33C ．−√32D ．√32【分析】由两角和的正弦公式展开整理可得√3cosα＝2sinα−√7，两边平方，由基本关系式sin 2α+cos 2α＝1可得7sin 2α﹣4√7sinα+4＝0，解出sinα，进而求出cosα，再求出结果．【解答】解：由3sinα−2sin(α+π3)−√7=0，化简可得3sinα﹣2⋅12sinα﹣2⋅√32cosα=√7，即2sinα−√3cosα=√7，所以√3cosα＝2sinα−√7，两边平方可得3cos 2α＝4sin 2α﹣4√7sinα+7，整理可得3（1﹣sin 2α）＝4sin 2α﹣4√7sinα+7，即7sin 2α﹣4√7sinα+4＝0，解得sinα=2√7， 所以√3cosα＝27−√7=7，所以cosα=√37， 所以tanα=sinαcosα=27−3√7=−2√33．故选：A ．【跟踪训练1-1】（2020春•河池期末）已知tanα=12，tan （α+β）=13，则tanβ＝（ ） A ．16B ．−17C ．17D ．56【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解． 【解答】解：∵tanα=12，tan （α+β）=13，∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=13−121+12×13=−17．故选：B ．【跟踪训练1-2】（（2020春•南阳期末）sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（ ） A ．0B ．12C ．√32D ．1【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos （15°+45°）=12， 故选：B ．【跟踪训练1-3】（（2020春•宁波期末）sin 2π12=（ ） A ．2−√34B ．2+√34C ．34D ．14【分析】利用二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin 2π12=1−cos π62=1−√322=2−√34．故选：A ．【跟踪训练1-4】（（2020春•南充期末）若cosα=13，则cos2α＝（ ）A ．−79B ．−89C ．79D ．89【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解． 【解答】解：∵cosα=13，∴cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（13）2﹣1=−79．故选：A ．【跟踪训练1-5】（2020春•黄浦区期末）若tan2α=14，则tan （α+π4）+tan （α−π4）＝ ． 【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案． 【解答】解：∵tan2α=14，∴tan （α+π4）+tan （α−π4）=tanα+tan π41−tanπtan π4+tanα−tan π41+tanαtan π4=1+tanα1−tanα+tanα−11+tanα=(1+tanα)2−(1−tanα)21−tan 2α=4tanα1−tan 2α=2tan2α=2×14=12． 故答案为：12．【跟踪训练1-6】（2020春•平谷区期末）2cos 215°﹣1等于 ． 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果． 【解答】解：2cos 215°﹣1＝cos30°=√32，故答案为：√32． 【名师指导】应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．题型2 三角函数公式的逆用与变形用【例2-1】（2020•重庆模拟）（1+tan19°）•（1+tan26°）＝ ． 【分析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论． 【解答】解：因为（1+tan19°）•（1+tan26°） ＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°＝1+tan （19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26° ＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26° ＝2； 故答案为：2．【例2-2】（2020春•开江县校级月考）已知cos(x −π6)=13，则cosx +cos(x −π3)=（ ） A ．√32B ．√3C ．12D ．√33【分析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵已知cos(x −π6)=13，∴cosx +cos(x −π3)=cos[（x −π3）+π3]+cos （x −π3） ＝cos （x −π3）cos π3−sin （x −π3）sin π3+cos （x −π3）=32cos （x −π3）−√32sin （x −π3）=√3cos[π6+（x −π3）]=√3cos （x −π6）=√3×13=√33， 故选：D ．【跟踪训练2-1】（2020•张家口二模）1−tan 2105°1+tan 2105°=（ ）A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【分析】切化弦，易得原式为cos210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：1−tan 2105°1+tan 2105°=cos 2105°−sin 2105°cos 2105°+sin 2105°=cos210°＝﹣cos30°=−√32．故选：D ．【跟踪训练2-2】（2019秋•武汉期末）化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（ ） A ．sin2+cos2B ．sin2﹣cos2C ．cos2﹣sin2D ．﹣sin2﹣cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案． 【解答】解：√=√ √sin 22+2sin2⋅cos2+cos 22=√(sin2+cos2)2 ＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2． 故选：A ． 【名师指导】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (3)倍角公式变形：降幂公式．题型3 角的变换与名的变换【例3-1】（2020春•宁波期末）设α，β∈（0，π），cosβ=−1213，cos α2=2√55，则cosα＝ ，tan （α+β）＝ ．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：cosα＝2cos 2α2−1＝2×（2√55）2﹣1=35，则α∈（0，π2）， 则sinα=45，tanα=43， ∵cosβ=−1213，∴sinβ=513，则tanβ=−512， 则tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43−5121+43×512=48−1536+20=3356，故答案为：35，3356【例3-2】（2020春•城关区校级期末）若tanα＝3，则cos2α+3sin 2α＝ ．【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin 2α+cos 2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解．【解答】解：cos2α+3sin 2α＝cos 2α﹣sin 2α+3sin 2α=cos 2α+2sin 2αsin 2α+cos 2α，两边同除cosα，原式=1+2tan 2αtan 2α+1=1+2×3232+1=1910． 故答案为：1910．【例3-3】（2020春•梧州期末）已知cos （π2+θ）=−√32，则cos2θ＝ ．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果． 【解答】解：∵已知cos （π2+θ）=−√32=−sinθ，∴sinθ=√32，则cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2×34=−12，故答案为：−12．【跟踪训练3-1】（2020春•宁波期末）已知sin2θ=−34，则tanθ+1tanθ=（ ） A ．43B ．−43C ．83D ．−83【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解． 【解答】解：sin2θ=−34，则tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112sin2θ=112×(−34)=−83． 故选：D ．【跟踪训练3-2】（2020春•广州期末）已知cos （α+π3）=13，则sin(π6−α)=（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．±2√23 【分析】由角的转化可得π6−α=π2−（α+π3），进而可得sin （π6−α）＝sin[π2−（α+π3）]＝cos （α+π3）． 【解答】解：因为π6−α=π2−（α+π3），所以sin （π6−α）＝sin[π2−（α+π3）]＝cos （α+π3）=13，故选：A ．【跟踪训练3-3】（2020春•潍坊期末）已知cos(θ−π4)=7√210，则sin2θ＝（ ） A ．−2425B ．−1225C ．1225D ．2425【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值． 【解答】解：由cos(θ−π4)=7√210，则sin2θ＝cos （2θ−π2）＝2cos 2(θ−π4)−1 ＝2×(7√210)2−1=2425， 故选：D ． 【名师指导】1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 3.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
答案 D 由cos +sin α= , 可得 cos α+ sin α+sin α= , 即 sin α+ cos α= , ∴ sin = , 即sin = , ∴sin =-sin =- .
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2-1 已知cos +sin α= ,则sin 的值是 ( ) A.- B. C. D.-
方法技巧 三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角 与未知角),熟悉角的拆分与组合的技巧,半角与倍角的相互转化,如:2α= (α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°, + = , =2× 等. 名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、 诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
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1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
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cos2α=⑩ ,sin2α= ;
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1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( ) A.- B. C.- D.
02
03
已知sin(α-kπ)= (k∈Z),则cos 2α的值为 ( ) A. B.- C. D.-
A
若tan = ,则tan α= .
.
考点突破
典例1 (1)已知sin =cos ,则tan α= ( ) A.-1 B.0 C. D.1 (2)(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈ ,tan α=2,则cos = (3)设sin 2α=-sin α,α∈ ,则tan 2α的值是 .
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．2.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．3.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．4.已知分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，.（1）求A；（2）若，△ABC 的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件及正弦定理，进行边角的统一，可得到，注意到，因此，可将等式继续变形为，从而得到，由利用辅助角公式可变形为，因此，；（2）由（1）及面积为，可得，再根据余弦定理，联立方程即可解得.（1）由正弦定理及可得：，即，又∵，∴ 3分即，∴，； 7分由（1）及，∴，又由余弦定理及： 10分，联立方程，即可得 14分【考点】1.正弦定理与余弦定理解三角形；2.三角恒等变形.5.在中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等比数列【答案】D【解析】因为，所以，且由二倍角公式可得，所以可化为即也就是，根据正弦定理可得，所以成等比数列，选D.【考点】1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.6.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式7.设△ABC的内角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】∴，则由正弦定理可得，即，可得，故，所以三角形为直角三角形，故选A．【考点】1．正弦定理；2．两角和与差的三角函数．8.若,则________.【答案】【解析】∵,∴＝＝＝＝．【考点】1、两角和与差的余弦函数；2、二倍角的余弦．9. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。
两角和差的正余弦正切公式
两角和差的正余弦正切公式首先，我们来介绍两个角的和的正弦、余弦和正切的公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3.两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)接下来，我们来介绍两个角的差的正弦、余弦和正切的公式：1.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3.两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式在解决三角函数相关问题时非常有用。
使用这些公式，我们可以将一个角分解成两个角的和或差，进而计算出复杂角度的三角函数值。
例如，我们可以使用两角和的正弦公式来计算sin75度的值。
由于75度可以表示为30度+45度的和，可以将sin75度表示为sin(30度+45度)。
应用两角和的正弦公式，我们可以得到：sin(30度+45度) = sin30度 cos45度 + cos30度 sin45度根据三角函数的定义，我们知道sin30度 = 1/2，cos30度 =sqrt(3)/2，sin45度 = sqrt(2)/2，cos45度 = sqrt(2)/2、将这些值代入公式，我们可以计算sin75度的值：sin(30度+45度) = (1/2)(sqrt(2)/2) + (sqrt(3)/2)(sqrt(2)/2) = (sqrt(2) + sqrt(6)) / 4类似地，我们还可以通过应用其他公式来计算两角的差，以及正弦、余弦和正切的值。
总结起来，两角和差的正弦、余弦和正切公式为：1. 两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tanA tan B)4. 两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B5. 两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B6. 两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tanA tan B)这些公式在解决实际问题以及求解复杂角度的三角函数值时非常有用。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，则角A和角B的和的正弦值为sin(A+B)。
根据倍角公式，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB2.两角差的正弦公式：设角A和角B的正弦值分别为sinA和sinB，则角A和角B的差的正弦值为sin(A-B)。
根据差角公式，sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB3.两角和的余弦公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，则角A和角B的和的余弦值为cos(A+B)。
根据倍角公式，cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB4.两角差的余弦公式：设角A和角B的余弦值分别为cosA和cosB，则角A和角B的差的余弦值为cos(A-B)。
根据差角公式，cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB5.两角和的正切公式：设角A和角B的正切值分别为tanA和tanB，则角A和角B的和的正切值为tan(A+B)。
根据正切的定义，tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)6.两角差的正切公式:设角A和角B的正切值分别为tanA和tanB，则角A和角B的差的正切值为tan(A-B)。
根据正切的定义，tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这些公式在解决具体问题时，如三角函数的化简、角度的关系等起到了重要的作用。
下面我们通过具体的例子来说明这些公式的应用。
例子：已知sinA=1/2，sinB=√3/2，求sin(A+B)和sin(A-B)的值。
解：根据两角和的正弦公式，sin(A+B) = sinA*cosB+cosA*sinB代入已知的值，sin(A+B) = (1/2)*(√3/2) + (√3/2)*(1/2) =√3/4 + √3/4 = √3/2继续根据两角差的正弦公式，sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB 代入已知的值，sin(A-B) = (1/2)*(√3/2) - (√3/2)*(1/2) =√3/4 - √3/4 = 0所以，sin(A+B) = √3/2，sin(A-B) = 0。
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B4.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B5.两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)6.两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sin A cos A2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A 3.正切的二倍角公式：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)这些公式在三角函数的学习中非常重要，可以用于简化计算，推导其他公式，解三角方程等。
以上是两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的简要描述。
详细阐述这些公式需要更多的字数，下面将对每个公式进行更详细的解释。
1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B这个公式表示角A和角B的和的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦加上角A的余弦乘以角B的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这个公式表示角A和角B的差的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦减去角A的余弦乘以角B的正弦。
3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B这个公式表示角A和角B的和的余弦等于角A的余弦乘以角B的余弦减去角A的正弦乘以角B的正弦。
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课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数一、基本能力达标1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝( )A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋66解析：选A ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π6＝33×32－63×12＝12－66. 2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是 ( )A ．α＝13π12，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4解析：选B ∵cos αcos β＝32－sin αsin β，∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝32，经验证可知选项B 正确．3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0，∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形．4．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝ ( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 解析：选D3cos x －sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x －cos π3sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－65，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－35.5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．±2425解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π2，又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝2425.6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45°＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－227．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵b ＝2cos 65°，c ＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°，∴b ＞a ＞c .答案：b ＞a ＞c8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ① －cos γ＝cos α＋cos β， ②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：－129．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1.又∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)． 解：∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴π2＜π4＋α＜π，3π4＜3π4＋β＜π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.二、综合能力提升1．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝ ( )A ．－55 B.55 C ．－255 D.255解析：选D ∵A ＝π4，∴cos A ＝sin A ＝22，又cos B ＝1010，0＜B ＜π，∴sin B ＝31010，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A ．－17 B.17 C ．－7 D ．7解析：选C 由sin(α＋β)＝14得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①由sin(α－β)＝13得sin αcos β－cos αsin β＝13，②由①②得sin αcos β＝724，cos αsin β＝－124，以上两式相除得tan αtan β＝－7.3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形 D ．等边三角形 解析：选C ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )．∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0.∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .4．若cos αcos β＝32－sin αsin β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α－β的值是 ( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3解析：选A 由题意知cos(α－β)＝32，又0<α<π2，－π<－β<－π2，所以－π<α－β<0，故α－β＝－π6.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案：－16．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β＝________.解析：由条件知：⎩⎪⎨⎪⎧cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， ①cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45. ②①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0. 答案：07．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，求cos(α－β)的值．解：∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． ∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＋sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β ＝2－2cos (α－β)＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0，∴0<α－β<π2.所以sin α＝ 1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝ 1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。