函数的解析式PPT演示文稿
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五、待定系数法
例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, ∴ 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1 . 比较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x)=x2-1. 评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各 系数.
★课堂练习
1.已知 f(x) 是一次函数, 且 f[f(x)]=4x-1, 求 f(x) 的解析式. 1 f ( x )= 2 x +1 或 2 x 4x+6 3 x +5 2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. f(x)= 2 16x2+1 x -2x+2 2 3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). f(x)=x -1(x≥1) 2 10x - 1 10-x x f ( x )= 4.已知 2f(x)+f(-x)=10 , 求 f(x). 3 3 5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x). f(x)=2x+ 2 5 f(x)=x2+x+1 7.已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x∈(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x∈(-6, -2) 时 f(x) 的解析式. f(x)=-x2-8x-15 1 , x∈(-∞, 0), x 8.已知函数 f(x)= 2 求 f(x+1) . x , x∈[0, +∞), 1 , x∈(-∞, -1), x +1 f(x+1)= (x+1)2, x∈[-1, +∞). 6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x).
-1 评注: 把 f(x), f( xx ), f( 11 ) 都看作“未知数”, 把已知条 -x 1 ( )=cx, 其 件化为方程组的形式解得 f(x). 又如: 已知 af(x)+bf x 中, |a|≠|b|, 求 f(x). c f(x)= 2 2 (ax- b ). x a -b 四、递推求和法
2+1 1 + 1 =( 1 +1)2-( 1 +1)+1 x x +1 1 =1+ 解: ∵f( )= 2 + x x x2 x x x x =( x+1 )2-( x+1)+1 并且 x+1 ≠1, x x x ∴f(x)=x2-x+1(x≠1). x+1 x2+1 + 1 评注: 若在给出的函数关系式中 x2 与 x x 的关系 不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
七、数学归纳法
例7 已知 f(n+1)=2+ 1 2 f(n)(n∈N+), 且 f(1)=a, 求 f(n). 解: f(1)=a =4-22+20a, f(2)=2+ 1 a =4-21+2-1a, 2 0+2-2a, f(3)=2+ 1 f(2)=3+ 1 a =4 2 4 2 1a -1+2-3a, f(4)=2+ 1 f(3)= 7 + =4 2 2 8 2 f(5)=2+ 1 f(4) =4-2-2+2-4a, 2 故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下: 证明从略. 故 f(n)=4-23-n+21-na. 评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证 明, 适用于自然数集上的函数.
二、换元法
例2 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x).
解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t>0, 有: f(t)=2lnt-3 (t>0). 所以 f(x)=2lnx-3 (x>0). 评注: 通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得 f(x). 又如: 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x). 2+4x+1(-2≤x≤0) f ( x )=2 x 三、解方程组法 -1 例3 已知 f(x)+f( xx )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x). x- 1 解: 记题中式子为①式, 用 x 代替①中的 x, 整理得: 1 2x- 1 1 x 1 f( x )+f( 1-x )= x ②, 再用 1-x 代替①中的 x, 整理得: 2- x f( 11 )+ f ( x )= 1-x ③, 解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得: -x x 3- x 2 - 1 f(x)= . 2x(x-1)
例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a≠0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式. 解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, „, f(n)-f(n-1)=an, 将这(n-2)个式子相加, 得: n- 2 (a=1 时); 3 4 n f(n)-f(2)=a +a +„+a = a3(1-an-2)(1-a)-1 (a≠1 时). ∵ f(2)=8, n+6 (a=1 时); ∴ f(n)= 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a≠1 时). 评注: 这是运用数列中递推公式的思想.
六、迭代法
例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b. ∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.
一、配凑法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x).
五、待定系数法
例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, ∴ 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1 . 比较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x)=x2-1. 评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各 系数.
★课堂练习
1.已知 f(x) 是一次函数, 且 f[f(x)]=4x-1, 求 f(x) 的解析式. 1 f ( x )= 2 x +1 或 2 x 4x+6 3 x +5 2.已知 f(4x+1)= , 求 f(x) 的解析式. f(x)= 2 16x2+1 x -2x+2 2 3.已知 f( x +1)=x+2 x , 求 f(x). f(x)=x -1(x≥1) 2 10x - 1 10-x x f ( x )= 4.已知 2f(x)+f(-x)=10 , 求 f(x). 3 3 5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x). f(x)=2x+ 2 5 f(x)=x2+x+1 7.已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x∈(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x∈(-6, -2) 时 f(x) 的解析式. f(x)=-x2-8x-15 1 , x∈(-∞, 0), x 8.已知函数 f(x)= 2 求 f(x+1) . x , x∈[0, +∞), 1 , x∈(-∞, -1), x +1 f(x+1)= (x+1)2, x∈[-1, +∞). 6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x).
-1 评注: 把 f(x), f( xx ), f( 11 ) 都看作“未知数”, 把已知条 -x 1 ( )=cx, 其 件化为方程组的形式解得 f(x). 又如: 已知 af(x)+bf x 中, |a|≠|b|, 求 f(x). c f(x)= 2 2 (ax- b ). x a -b 四、递推求和法
2+1 1 + 1 =( 1 +1)2-( 1 +1)+1 x x +1 1 =1+ 解: ∵f( )= 2 + x x x2 x x x x =( x+1 )2-( x+1)+1 并且 x+1 ≠1, x x x ∴f(x)=x2-x+1(x≠1). x+1 x2+1 + 1 评注: 若在给出的函数关系式中 x2 与 x x 的关系 不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
七、数学归纳法
例7 已知 f(n+1)=2+ 1 2 f(n)(n∈N+), 且 f(1)=a, 求 f(n). 解: f(1)=a =4-22+20a, f(2)=2+ 1 a =4-21+2-1a, 2 0+2-2a, f(3)=2+ 1 f(2)=3+ 1 a =4 2 4 2 1a -1+2-3a, f(4)=2+ 1 f(3)= 7 + =4 2 2 8 2 f(5)=2+ 1 f(4) =4-2-2+2-4a, 2 故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下: 证明从略. 故 f(n)=4-23-n+21-na. 评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证 明, 适用于自然数集上的函数.
二、换元法
例2 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x).
解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t>0, 有: f(t)=2lnt-3 (t>0). 所以 f(x)=2lnx-3 (x>0). 评注: 通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得 f(x). 又如: 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x). 2+4x+1(-2≤x≤0) f ( x )=2 x 三、解方程组法 -1 例3 已知 f(x)+f( xx )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x). x- 1 解: 记题中式子为①式, 用 x 代替①中的 x, 整理得: 1 2x- 1 1 x 1 f( x )+f( 1-x )= x ②, 再用 1-x 代替①中的 x, 整理得: 2- x f( 11 )+ f ( x )= 1-x ③, 解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得: -x x 3- x 2 - 1 f(x)= . 2x(x-1)
例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a≠0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式. 解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, „, f(n)-f(n-1)=an, 将这(n-2)个式子相加, 得: n- 2 (a=1 时); 3 4 n f(n)-f(2)=a +a +„+a = a3(1-an-2)(1-a)-1 (a≠1 时). ∵ f(2)=8, n+6 (a=1 时); ∴ f(n)= 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a≠1 时). 评注: 这是运用数列中递推公式的思想.
六、迭代法
例6 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x). 解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则: f[f(x)]=a2x+ab+b. ∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b. 由题意知: a3x+a2b+ab+b≡27x+13. 比较系数得: a=3, b=1. 故 f(x)=3x+1. 评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.
一、配凑法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x).