中国科学院大学有限元试题及答案

1 k l 1 1
2
E 1
整体一致质量矩阵和刚阵
4 2 0 l M 2 6 1 6 0 1 2
2 2 0 E K 2 3 1 l 0 1 1
9
2） 因为节点3固结， u3 0 ； 在
（拉力） 。(完)
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18
练习２：已知 m、EI、a、求支座反力。 写出整体刚度方程即可
解：（１）划分单元，给节点编号 （２）单元分析
1 12 i 2 Y1① 1 a 6i ① M 1 a ① 12 i Y3 3 2 a ① 6i M 3 a
(1)引入边界条件： v1 0,1 0, v2 0, M 3 m, M 2 0, Y3 0 由后三个方程可求得 2、v3、 3 ，然后把 2、v3、 3 代入前三个方程，求得 Y1、M 1、Y2 。
例１：已知：p，l，EA。求： u 2 , v 2
解：方法１：１）划分单元，给节点编号 ２）单元分析 ①单元： 0, cos 1, sin 0
14
3
2
0.5 0.5 0 1 1.5 0.5 0.5 1.5 0 0 1 0 1 0
1 0 0.5 0.5
2
4
0 0 0 1 E0 A 2 k a 0 0 0 1
E0 A 0.01E0 a
，
0 2 0 1 0 0 4 0 1 0
E0 h 1 0.5 2 0 0.5
k mm
1
0.5 0 aE0 h 0.5 1 k 2 0.5 0 0.5 0 1 0 1 0 0
E0 h 1 0 2 0 0 . 5
0.5 1 0 0.5 3 0.5 0 2 0.5
2 12i a2 6i a 12i a2 6i a 6i a v 3 2i 3 6i v2 a 2 4i
2i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6i a v 1 2i 1 6i v3 a 3 4i
sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 I sin cos
K ① T T K ①T K ①
e e 4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 [ F ] [k ]{ }
5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程 [ F e ] [k ]{ e } 结点位移
1
2. （20分）回答问题：
] （1）有限单元的形函数 [ N具有什么特征？
（2）为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足 哪些条件？ （3）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数” 概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连 续吗？ 应力场连续吗？ 答： 1）其中的 N i 在 i 结点处取值为1；在其他结点处取值为零 Ni 0 ； Ni 1 。 2）位移模式必须能反映单元的刚体位移； 位移模式必须能反映单元的常量应变； 位移模式尽可能反映单元之间位移的连续性。
(1)节点分析——对号入座 它不能直接入座
1 12i a2 6i Y1 M 1 a 1 0 Y2 2 M 2 0 Y3 3 12i M 3 a2 6i a 6i a 4i 0 0 6i a 2i 0 0 12i a2 6i a 12i 2 a 6i a 2 0 0 6i a 4i 6i a 2i 3 12i a2 6i a 12i 2 a 6i a 12i 12i 2 2 a a 6i 6i a a 2i 0 0 6i 0 a 2i 2 v3 6i 6i a a 3 4i 4i 6i a
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（3）． 杆中内力：
Fx 2 0 0 F 0 1 E A y2 1 1 K 0 a 0 0 Fx 4 0 1 F y4
N2 2 p
0 u2 0 0 v 2 p v 0 1 E A 2 0 2 0 0 u4 a 0 0 0 1 2p v4 v2 0
2
3）在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形 状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相 同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参 元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的 位移插值形函数相同，参数个数相等。 相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。
3. （10分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格 划分如图，试求： （1）对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带 宽最小； （2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3）给出约束节点自由度的已知位移信息。
a
y
4
1
2
3
2
1
a
x
P
12
题7图
解： （1）．结构整体等效结点力 结点 1 2 3 4
T F （ 1 0 0 1 0 0 0 0） p
a 略写 （2）．长度因子：
单元1：
0.5,
bi y j ym 0, b j 1, bm 1 ci x j xm 1, c j 1, cm 0
5
4. （7分）弹性力学空间轴对称问题的有限元计算列式与平面 问题的有限元计算列式的主要相似之处？
答：
相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同，如他们的 三角形3节点单元位移模式相同； 区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称 问题应力和应变分量是4个； 求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的 单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平 面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。
1 EA 0 a 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 i1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
K①
令
EA i1 a
cos sin T 0 0
1.（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是 如何采用弹性力学问题基本方程？ 答：弹性力学有限元的基本过程是： 1. 假设单元的位移场模式 { f } [ N ]{ e } 2. 代入到几何方程得到 3. 代入到物理方程得到
{ } [ B]{ e }
{ } [ D][ B]{ e }
答： 在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。结构的低阶振 型曲线与低阶多项式比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶 多项式曲线有着显著的差异。因而，有限元法中求出的低阶 频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大 ，甚至无效。
7
6． (20分)图示一维阶梯形杆，已知截面积参数 A ，长度 2 l ， 质量密度 ，弹性模量 E 。仅考虑沿轴向振动，采用2个杆 单元，结点和单元编号见图。 试求： （1）阶梯形杆轴向振动的整体一致质量矩阵和刚度矩阵； （2）引入已知位移，求系统振动的固有频率。
6
5. （8分）结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为
( K 2 M )Φ 0
是结构固有频率， M nn 是质量矩阵， 式中 K nn 是刚度矩阵，
Φ 是振型向量。
试问为什么从上式求出的特征对< i , Φi > ( i 1, 2,,)n 中， 只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。
aE0 h 0.05E0 2
已知：u2 u3 v3 v1 u4 v4 0
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组装单元，有
0.5 u1 0.5 0.05E0 0.5 0.5 0.2 v2
解得：
1 p 1
200 p v2 E0
，
240 p u1 E0
p 作用。杆件沿 y 轴方向，长为 a 1 m ，截面积 A 0.01m 2 ，
E2 E0 。载荷及约束信息如图示，自重不计。试采用图示的
1个三角形常应变元和1个平面杆元求： （1）结构整体的等效结点力列阵； （2）采用划行划列法引入已知结 点位移，计算出结点1和2的 a 位移； （3）杆件中内力。 i j m 单元2： 1 3 2 单元1： 2 4
K M 0 中划去第3行和第3列，系统振动的特
征方程为：
AE 2 2 Al 4 2 K M 0 l 2 3 6 2 6
令
l 2
3E
， 2 则上式展开为
2 2 2
2 6(1 ) 2 (2 ) 2 5 2 16 2 0 3 3
A1 2 A
解： 1 （1）单元的一致质量矩阵和 刚阵
A2 A
u1 1 2
u2 2 3
u3
l
题6图
l
8
2 l 2 1 m 6 1 2
1
m
2

l 2 1
6 1 2
2E 1 1 k l 1 1
1
3
p
10
9
7
y
8 5
1
1
解：
6
9
8
x
6
3
7
5
2
2
4
3
题3 图
4
题3图. 三角形结构网 格
（2） d 4,
M B 2(d 1) 10
（3）u1 u4 0 ； v1 v4 0
4
4
7
15 10
11
3
1
2
6
13 15
题3图
5
9 12 14
答： （2） d=4 , B=2(d+1)=10 (3) u1 u15 v1 v15 0
3 12i 2 Y3② 3 a 6i ② M 3 a ② 12i Y2 2 2 a ② 6i M 2 a 6i a 4i 6i a 2i
3 6i a 4i 6i a 12 i a2 6i a 12 i a2 6i a
E0 h 0.5 0 kii 2 0 1
E0 h 0.5 0.5 kij 2 1 0
E0 h 0 0.5 kim 2 0 0
13
E0 h 1.5 0.5 k jj 2 0 . 5 1 . 5
k jm
10
5 2 16 2 0
2 ；
3E 2 l
解得：
83 6 1 0.1303 5
1 31
E E 0.6252 2 l l 2
E E 83 6 3.0346 2 3.07 2 3 2 2 2 l l 5
11
7. (25分)图示等腰直三角形薄板和一根杆件相铰连。三角板厚度 0, E1 E0 ( E0 已知)，受集中力 h 0.1m ，边长 a 1m ，