48导数在经济中的应用

y 当 x 0 时， x y0 的极限称为 y f (x) 在
x0
x x0 处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。
Ey 记作 Ex |xx0
E ，或 Ex f (x0 )
y
即
Ey Ex
|xx0 =
lim
x0
y0 x
x0
lim y x0 x
x0 y0
f (x0 )
f
x0 (x0 )
对一般的x，若f(x)可导，则有
R
R(Q)
400Q
1
2
Q
2
80000
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时
总利润是多少？
4、函数的相关变化率----函数的弹性
前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变 量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此 是不够的。
比如，商品a每单位价格10元，涨价1元；商品 b每单位价格是1000元，也涨价1元，两种商品价格 的绝对改变量都是1元，但各自与其原价相比，两 者涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了10%， 而商品b涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对改 变量与相对变化率。
定义4.5 设函数 y f (x) 在点 x x0 处可导，
函数的相对改变量 y f (x0 x) f (x0 ) ，与自
y0
f (x0 )
x 变量的相对改变量 x0
y
之比
y0 ) 从 x x0 到 x x0 x 两点间的相对变化
率，或称为两点间的弹性。
平均成本是生产一定量产品，平均每单 位产品的成本。
边际成本是总成本的变化率，即总成本函 数的导数
设 C为总成本, C1 为固定成本, C2 为可变
成本，C 为平均成本，C 为边际成本，Q为产
量，则有
总成本函数 C C(Q) C1 C2 (Q) 平均成本函数 C C(Q) C(Q) C1 C2 (Q)
Q
Q
R R(Q) Q P(Q) P(Q)
总收益与平均收益 的关系为：
R(Q) R(Q) R(Q) R(Q) Q Q
总收益与边际收益的关系为：
R(Q) d R(Q)
Q
R(Q) R(t)dt
dQ
0
例1 设某产品的价格与销售量的关系为 P=10 -Q/5，求销售量为30时的总收益、平均 收益与边际收益。
单位的改变时， y近似改变 f (x0 )个单位。在
应用问题中解释边际函数值的具体意义时我
们略去“近似”二字
例1函数 y x2, y 2x，在点 x 10处的边
际函数值 y(10) 20，它表示当 x 10 时,x 改
变一个单位， y（近似）改变20个单位。
例2 设某产品成本函数C= C(Q) (C为总成
于是可取得最大利润的充分条件是：边际 收益的变化率小于边际成本的变化率。
例2 已知某产品的需求函数为P=10-Q/5， 成本函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利润 L最大？并验证是否符合最大利润原则。
例3 某工厂生产某产品，固定成本为20000 元，每生产一单位产品，成本增加100元。
已知总收益R是年产量Q的函数
改变的真值应为 y |xx0 。但当x改变的 x 1
“单位”很小时，或 x 的“一个单位”x0
与
值相对来比很小时，则有
y |xx0 dy |xx0 f (x)dx |xx0 f (x0 )
x 1
dx 1
dx 1
当x 1时，标志着 x 由 x0 减少一个单位
这说明 f (x)在点x x0 处，当 x 产生一个
下面讨论最大利润原则：
设总利润为L，则 L=L(Q)=R(Q)-C(Q)
L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为：
L(Q) 0 ，即 R(Q) C(Q)
于是可取得最大利润的必要条件是：边际收 益等于边际成本。
L(Q)取得最大值的充分条件为：
L(Q) 0 即 R(Q) C(Q)
4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用----边际分析与弹性分析介绍
一、函数变化率----边际函数 二、成本 三、收益 四、函数的相关变化率----函数的弹性
1、边际函数
设函数 y f (x) 可导，导函数f (x) 也称
为边际函数。
y x
f (x0 x) f (x0 ) x
称为 f (x)在(x0 , x0 x)
边际收益为总收益的变化率。
总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数
设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，R
R为边际收益。则有
需求函数 P=P(Q) 总收益函数 R=R(Q) 平均收益函数 R R(Q) 边际收益函数 R R(Q)
需求与收益的关系有：
R R(Q) Q P(Q)
R R(Q) R(Q) Q P(Q) P(Q)
本，Q为产量），其变化率C C(Q) 称为边
际成本。C(Q0 ) 称为当产量达到 Q0时的边际 成本 。
西方经济学家对它的解释是：当产量 达到 Q0时，生产 Q0前最后一个单位产品 所增添的成本。
2、成本 某产品的总成本是指生产一定数量的产品
所需的全部经济资源投入（劳力、原料、设 备等）的价格或费用总额。它由固定成本与 可变成本组成。
内的平均变化率，它表示在 (x0 , x0 x) 内f (x)
的平均变化速度。
f (x)在点 x x0 处的导数 f (x0 ) 称为 f (x) 在点
x x0 处的变化率，也称为f (x)在点 x x0 处的 边际函数值。它表示 f (x)在点 x x0处的变化速
度。
在点 x x0处，x从 x0改变一个单位，y 相应
QQQ
边际成本函数 C C(Q)
例1 已知某产品的成本函数为
C C(Q) 100 Q2 4
求：当Q=10时的总成本、平均成本及边际 成本。
例2 例1中的商品，当产量Q为多少时， 平均成本最小？
3、收益
总收益是生产者出售一定量产品所得到 的全部收入。
平均收益是生产者出售一定量的产品，平 均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售 价。
y
Ey lim y lim y x y x
Ex
x0 x x
x0 x y
y
是x的函数，称为f(x)的弹性函数。
函数f(x)在点x的弹性
E Ex
f (x)
反映随x的变化
f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强
烈程度或灵敏度。