(完整版)湖南省2017年普通高中学业水平考试数学试卷Word版含解析

湖南省普通高中学业水平考试试卷
数学
1. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体为
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 圆台
D. 球
【答案】C
【解析】根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定该几何体是圆台，故选C.
2. 已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，则a的值为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】因为元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，所以该元素是3，故选D.
3. 在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为在区间[0,5]内任取一个实数，取到的数有无限多个，且每个数被取到的机会均等，所以是几何概型，由几何概型概率公式知，总区间长度为5，大于3的区间长度为2，故，选B.
点睛：本题主要考查了几何概型的概率问题，属于中档题.解决此类问题，首先要分析试验结
果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.
4. 某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
输入x=1，
y=1﹣1+3=3，
输出y的值为3．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
5. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 锐角三角形
D. 钝角三角形
【答案】A
......
6. sin120 的值为
A. B. －1 C. D. －
【答案】C
【解析】因为，故选C.
7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是
A. 平行
B. 相交
C. 异面但不垂直
D. 异面且垂直
【答案】D
【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选D.
8. 不等式的解集为
A. B.
C. 或
D. 或
【答案】A
【解析】根据二次函数的图象可知，不等式的解是，故选A.
9. 点P不在不等式表示的平面区域内，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为点P不在不等式表示的平面区域内，所以，解得，故选C.
10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是
A. B. C. D.
【答案】A
11. 样本数据－2，0，6，3，6的众数是______．
【答案】6；
【解析】在这组数中，出现频率最高的是6，故众数是6，填6.
12. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，则
______．
【答案】；
【解析】根据正弦定理知，，所以，故填.
13. 已知是函数的零点，则实数的值为______．
【答案】4；
【解析】因为是函数的零点，所以，解得，故填4.
14. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，则的值为______．
【答案】2；
【解析】根据函数图象可知，，所以周期，又，所以，故填2.
15. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为______．
【答案】45 (或)
三、解答题(满分40分)
【解析】由图形知，平面,所以就是直线与平面所成的角，在直角三角形中，因为，所以，故填（或）.
点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题，处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.
16. 已知函数
(1)画出函数的大致图像；
(2)写出函数的最大值和单调递减区间．
【答案】(1) (2) 2，单调递减区间为[2,4].
【解析】试题分析：（1）根据解析式分段画出函数图象；（2）观察函数图象写出最大值及单调减区间.
试题解析：（1）)函数f(x)的大致图象如图所示)；
(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，
其单调递减区间为[2,4].
17. 某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．
(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数；
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．
【答案】(1)从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人；(2)．
【解析】试题分析：（1）根据分层抽样中每层的抽样比相等计算即可；（2）列出所有基本事件，找到恰有一名男同学的事件，根据古典概型公式计算.
试题解析：(1)(人)，(人)，所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人；
（2）设这5名同学中，三名男同学分别为，两名女同学分别为，从中任选两人的所有的基本事件：，共10种.其中恰有一名男同学的事件为，共6种，所以概率.
18. 已知等比数列的公比，且4成等差数列．
(1)求及；
(2)设，求数列的前5项和．
【答案】(1)；(2) 46.
【解析】试题分析：（1）根据等差中项及等比数列的通项公式即可求解；（2）根据分组求和的方法及等差等比的前n项和求解.
试题解析：(1)由已知得，又，所以1，解得，故；
(2)因为，
所以.
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
19. 已知向量a＝，b＝．
(1)当时，求向量2a＋b的坐标；
(2)若a∥b，且，，求的值．
【答案】；(2)．
【解析】试题分析：（1）根据向量坐标的运算计算即可；（2）根据两向量平行的坐标公式计算.
试题解析：(1)因为，所以a＝，于是向量2a＋b＝；(2)因为a∥b，所以，又因为，所以，
所以.
点睛：本题考查了向量平行的坐标运算，以及正弦和差公式及余弦函数的性质，属于中档题.解题时注意向量平行公式的应用，处理时要注意分析，否则容易造成失分，在辅助角公式的使用时，注意特值的特殊性，以及余弦函数图像性质的熟练应用.
20. 已知圆C：．
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于两点，求证：
为定值；
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大．
【答案】(1)圆心C的坐标为(－1，0)，圆的半径长为2；(2)证明见解析； (3)
．
【解析】试题分析：（1）把圆的一般方程化为标准方程即可；（2）设出直线方程，联立圆的方程，根据根与系数的关系化简即可证出；（3）
试题解析：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，则圆心C的坐标为(－1，0)(2分)，圆的半径长为2；
(2)设直线l的方程为y＝kx，联立方程组
消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，则有：
所以为定值.
(3)解法一设直线m的方程为y＝kx＋b，则圆心C到直线m的距离，
所以，
≤，
当且仅当，即时，△CDE的面积最大
从而，解之得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0
解法二由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，
所以≤2，
当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时
设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离
由，得，
由，得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于难题，解决此类问题时，联立方程，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系去处理问题，是常规思路，要求熟练掌握，同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用，可以简化解题.。