坐标平面内图形的轴对称和平移(提高) 知识讲解

坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）

【学习目标】

1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.

2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.

【要点梳理】

要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征

1.关于坐标轴对称的点的坐标特征

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；

P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．

2.象限的角平分线上点坐标的特征

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．

3.平行于坐标轴的直线上的点

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.

要点二、用坐标表示平移

1.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．

要点诠释：

（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；

（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；

（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加

上(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】

类型一、用坐标表示轴对称

1．在直角坐标系中，已知点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称， （1）试确定点A 、B 的坐标；

（2）如果点B 关于x 轴的对称的点是C ，求△ABC 的面积．

【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a ，b 即可解答本题；

（2）根据点B 关于x 轴的对称的点是C ，得出C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．

【答案与解析】

解：（1）∵点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称，

∴2250

a b a

a b a -=-⎧⎨

++-=⎩，

解得：

1

3

a b =⎧⎨=⎩， ∴点A 、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）；

（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为：（－4，－1），

∴△ABC的面积为：1

2

×BC×AB＝

1

2

×2×8＝8．

【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．

举一反三：

【变式】小华看到了坐标系中点B关于X轴的对称点为C（－3，2），点A关于Y轴对称点为D（－3，4），若将A、B、C、D顺次连接，此图形的面积是多少？

【答案】

解：∵B关于x轴的对称点为C（－3，2），

∴B（－3，－2），

∵点A关于y轴对称点为D（－3，4），

∴A（3，4），

∴△ABD的面积为：1

2

×AD×DB＝

1

2

×6×6＝18．

2.已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；

（2）A、B两点关于x轴对称；

（3）AB∥x轴；

（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．

【思路点拨】

（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．

（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．

（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．

（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．

【答案与解析】

解：（1）A、B两点关于y轴对称，

故有b＝3，a＝4；

（2）A、B两点关于x轴对称；

所以有a＝－4，b＝－3；

（3）AB∥x轴，

即b＝3，a为≠－4的任意实数．

（4）如图，

根据题意，a＋3＝0；

b－4＝0；

所以a＝－3，b＝4．

【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．

类型二、用坐标表示平移

3.如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．

（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；

（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；

（3）请直接写出△A′B′C′的面积为．

【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；

（2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．

【答案与解析】

解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；

（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；

（3）△A′B′C′的面积为6．