毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
运动带电粒子的磁场载流子毕奥萨伐尔定律
磁通量(通过一定面积的磁力线数目，单位韦伯Wb)
S
B
匀强磁场
S
n
B
m BS
m B S BS cos
非匀强磁场
S
ds
S
n
B
ds
B
n
n
m
m B d S BdS cos
S S
B d S BdS cos
S S
通过某一曲面的总的磁通量，就是穿出与穿入的代数和。
(S ) (s)
注意：1）磁感应通量的单位：1韦伯＝1特斯拉×1米2 ，1Wb=1T×m2 2）磁感应强度的大小B可看成是通过单位面积的磁通量，即磁通密度。
3）如电力线的疏密度反映了电场强度的大小一样，磁感应线的疏密度也
反映了磁感应强度B的大小。即磁感应线密集的地方磁感应强度B大，磁感 应线稀疏的地方磁感应强度B小。
1.圆形积分回路
0 I 0 I B dl dl dl 0 I 2 r 2 r 2 r l 2 r
l
I
r
B dl I
0 l
B
l 与I 成右手螺旋关系
2.任意积分回路
L
B dl B cos dl
L
0 I cos dl 2 r L 0 I rd L 2r 0 I d 0 I L 2
§11-3 磁高斯定理、安培环路定理
一、磁高斯定理 (Gauss theorem)
1、磁感应线：像电场电力线一样，在磁场中也引入磁感应线
的概念，形象描绘磁场的分布。磁感应线上任意一点的切线方向 与该点的磁场方向一致，且穿过垂直于B的单位面积上的磁感应 线数，与B的大小相等。
《大学物理》第八章 毕萨定律S
”
. 例Id载ly任流意2长一r直解点导：P根线的取据，磁任毕其其感意—电在应电萨流P强流点定强度元产理度BI生d为l的I?，磁试场d计为B 算方：导向线为旁Idl r
ol
ro
P
dB
各电流元产生的
o Idlsin 4dB 方r向2 垂直纸面向里。
I
1
B dB
B
ab
dr
其中B adbr、0cd与B板 d面r 等 距B离 d。0r
bc
cd
da
B
c
Bab Bcd 2Bab
而 o Ii o j ab
B
1 2
o
j
. . . . 与P点到平板的距离无关。
dl
dl
aB
b
B
1 2
o
j
与P点到平板的距离无关。
)
0m 2x3
r
B
xP
2)
在圆心处（x=0）：
B
0 I
2R
（磁偶极子的场）
如考虑一段“圆弧形”载流线在圆心的磁场贡
献：
B 0I 2R 2
圆弧对圆心 所张的角
例 一直螺线管轴线上的磁场 B ?
已知：导线通有电流I，单位长度
B
2
oI R2
(
x2
R2
)
3 2
I
若令L 积分B回 d路r LL的L 绕B向dl 相反：0 若积分回L 路不包围电流I ： B
I
dr
0
L
B
r
I
L
L
几点注意事项：
毕奥萨伐尔定律与安培环路定理的关系
毕奥萨伐尔定律与安培环路定理的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
长直线
长
内
直
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
B 0I 2r
B0
第八章
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
练习：求同轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
B • dl 0
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感应强度
B
在闭合曲线
上的环流，等于该闭合曲线所包围的电流的代
数和与真 空中的磁导率的乘积。即
B • dl 0 Ii
说明：
I4
I1 I2 I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
B • dl 0 Ii
.. . . .
R1 R2
.. . .
..r...............
q
v
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
静电场 E dl 0
l
磁 场 B dl ?
1、圆形积分回路
B
dl
0I 2r
dl
0I
2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
I
r
B
B
0I
2r
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
I
毕奥萨伐尔定律安培环路定律磁通连续原理
朱英伟
教案邮箱： 2015142536
第三章 恒定磁场
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
实验测得电流回路 l’ 对电流回路 l 的作用力F
F 0
Idl (I 'dl ' eR )
4π l l'
R2
式中， 为真空中的磁导率 0
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
比较静电场与恒定磁场的知识结构和分析方法。
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位(m) 分界面衔接条件 磁矢位（A）
数值法
边值问题
解析法
有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法
电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算
§3.0 磁力和磁场 磁感应强度
m IS
B
0m 2 x3
3.2 安培环路定律
考虑磁场矢量线积分的特性。 3.2.1 真空安培环路定律
首先计算简单实例——无限长直导线的磁场环量， 然后推广——认为任意情形下磁场的环量都满足特例的结果 这一结果称为安培环路定理。
3.2.2 媒质的磁化及一般形式安培定律
引入磁场强度 H ，得到一般形式的安培环路定律。
B Bxex
由毕奥萨伐尔定律导出安培环路定理
由毕奥萨伐尔定律导出安培环路定理好呀，咱们今天就来聊聊毕奥萨伐尔定律和安培环路定理，这可是一对好搭档，像老夫老妻一样，彼此相辅相成。
你可能会想，这俩定律有什么特别之处，能让人如此兴奋呢？别急，慢慢来，咱们一步步揭开它们的神秘面纱。
毕奥萨伐尔定律。
这名字听着就挺复杂，不过其实说白了，就是讲磁场和电流的关系。
想象一下，你在海边，看到水波荡漾。
电流就像那海浪，一波接一波，而磁场就是那些水波掀起的涟漪。
电流越强，涟漪就越大，形成的磁场也就越强。
是不是有点儿形象？你要是拿个电流计，把电流一开，磁场就像调皮的孩子一样，立马跑出来，四处捣乱。
这时候，你就能感受到电流产生的磁场影响了。
安培环路定理又是什么呢？听起来好像很严肃，其实它告诉我们，磁场和电流之间的关系更是深得不得了。
安培可真是个聪明的人，他意识到，磁场的形成不是随意的，而是有规律可循的。
就像你去一家餐馆，服务员会告诉你菜单上的菜如何搭配，磁场也是有自己的“菜单”的。
通过安培的定理，我们可以知道，围绕电流流动的路径，磁场会形成一个闭合的环路，就像是舞会上人们手拉手围成的圆圈。
电流在中间转悠，磁场就在旁边欢快地跳舞。
咱们就要把这俩定律捏合在一起，看看它们怎么亲密无间地合作。
想象一下你手里拿着一个导线，电流在里面欢快地游来游去。
根据毕奥萨伐尔定律，你知道这个电流会在周围制造出一个磁场，而这个磁场的强度和方向，取决于电流的强度和位置。
你绕着这个导线走一圈，就能用安培环路定理来测量这个磁场。
听起来像个科学实验，是吧？其实这就是物理学的魅力，越是深入，越是让人惊叹。
哦，还有一点要提的是，毕奥萨伐尔定律其实是从微观层面出发的，它告诉我们每一小段电流都会产生一个微小的磁场，而安培环路定理则把这些小磁场结合在一起，形成了一个整体的磁场。
就像是拼积木，每一块都有它的位置，最终组合成一座宏伟的建筑。
每当你看到这些小块搭起来，心里是不是也会产生一丝成就感呢？有趣的是，咱们在生活中也能见到这些原理的身影。
安培环路定理推导毕奥萨伐尔定律
安培环路定理是电磁学中非常重要的原理之一，它描述了磁场的环路积分与通过该环路的电流之间的关系。
而毕奥萨伐尔定律则是安培环路定理的应用，它指出了磁场的旋度与电流密度之间的关系。
本文将围绕这两个定律展开，从安培环路定理的推导开始，逐步深入探讨毕奥萨伐尔定律的相关内容。
1. 安培环路定理的推导安培环路定理是从麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律和高斯定理推导而来的。
首先我们回顾一下这两个定律的表达式：- 法拉第电磁感应定律：$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}=-\frac{\partial}{\partialt}\int_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$- 高斯定理：$\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$其中，$\Sigma$ 为任意闭合曲面，$\partial \Sigma$ 为该闭合曲面的边界，$\mathbf{E}$ 为电场强度，$\mathbf{B}$ 为磁感应强度，$\mathbf{F}$ 为任意矢量场，$\mathbf{S}$ 为曲面的法向量，$\boldsymbol{\ell}$ 为曲线的切向量，$V$ 为任意闭合曲面围成的体积。
通过对法拉第电磁感应定律取环路积分，我们可以得到：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$再根据斯托克斯定理，上式可以转化为：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\nabla \times \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$其中，$\mathbf{A}$ 为矢量势。
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
B, r
BH
r H
0
H
单向电流励磁
B Br
Hc 0
Hc
H
正反电流励磁和退磁
3.2 磁通连续性原理
为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。
➢ 磁力线有以下特点: (1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无 穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2) 磁力线与载流电路互相铰链(即每条磁力线都 围绕着载流导线)。 (3) 任两条磁力线都不相交。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1
I dz
L2 ( 2 z 2 )3 2
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
安培力定律公式可改写为：
F
Id l ( μ0
l
4π
l
I
d
l R2
eR
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是电磁学中重要的定理和法则，它们在描述电路中电流和磁场的关系上起着关键作用。
下面将分别对这两个定理进行介绍和解析。
一、安培环路定理安培环路定理又称安培定律，是电磁学中重要的定理之一，它描述了磁场中闭合曲线上的磁场强度与该曲线所围成的电流的关系。
安培环路定理可以总结为以下几点：1. 磁场环路定理的表述在闭合曲线上的磁场强度的矢量和等于该曲线所围成的电流的矢量和乘以一个常数μ0，即ΣH·dl=μ0ΣI。
2. 安培环路定理的数学表达式安培环路定理的数学表达式为∮H·dl=μ0∑I，其中∮H·dl表示磁场强度矢量沿着曲线的积分，μ0为真空磁导率，∑I表示曲线所围成电流的代数和。
3. 安培环路定理的应用安培环路定理可以用于计算闭合曲线中的磁场强度，是电磁学中重要的工具之一。
通过安培环路定理，可以求解复杂电路中的磁场分布，为电磁学的研究和应用提供了重要的方法。
二、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律是电磁学中描述通过导体中电流产生的磁场的定律，它对于电路和电磁场的分析具有重要意义。
以下是毕奥萨伐尔定律的主要内容：1. 毕奥萨伐尔定律的表述毕奥萨伐尔定律指出，通过导体中电流产生的磁场的强度与导体上任意点到电流元素的距离成正比，在大小和方向上满足右手定则。
2. 毕奥萨伐尔定律的数学表达式毕奥萨伐尔定律的数学表达式为B=μ0/4π∫(Idl×r)/r^3，其中B表示磁场强度，μ0为真空磁导率，Idl表示电流元素，r为导体上任意点到电流元素的距离。
3. 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律可用于计算导体中的磁场分布，也可以应用于分析电路中的电流产生的磁场对周围环境的影响。
在电磁学的理论研究和工程实践中，毕奥萨伐尔定律都具有重要的应用价值。
总结安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是描述电流和磁场之间关系的重要定理，在电磁学的理论研究和工程应用中起着关键作用。
通过学习和理解这两个定律，可以更好地理解电磁学的基本原理，为电路和电磁场的分析提供重要的方法和工具。
安培环路定理2
q q q I T 2 2
0 q B 2R 4R
0 I
0 dq
4 R
q
所有电荷元产生磁场方向一致
B dB
0 dq
4 R
0 q
4R
例2、 均匀带电圆盘 已知：q、R、 圆盘绕轴线匀速旋转。 求圆心处的 B 及圆盘的磁矩 解：如图取半径为r,宽为dr的环带。 dq dq 元电流 dI dq T 2 2 q dq ds 2rdr 其中 R 2
dr
B r
R
q
dI rdr
dB
0 dI
2r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2r
rdr
B dB
0dI
2r
0
R
0
2r
dr
rdr
0R
2
0q 2R
B r
R
线圈磁矩 如图取微元
m ISn
2
dm SdI r rdr
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
B 0 nI
五.运动电荷的磁场
0 Idl er dB 2 4 r
P 电荷密度
dQ n svdt q I nsqv dt dt 0 (nsqv )dl er dB 4 r2
电流元内总电荷数
例一： 如图载流长直导线的电流为 I 试求通过矩 , 解 先求 B ，对变磁场 形面积的磁通量. 给出 dΦ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
B // S
I
l
d1 d2
毕沙定律安培环路定理
P1dBr
2 R
dI
2
1
1 2
0nI
sin
××××××
d
l
×××××
I
B
1 2
0nI
cos2
cos1
方向：
B
B
右手螺旋
O
x
讨论
B
1 2
0nI
(cos
2
cos1
)
．．．．．．．．．．．
（1）无限长螺线管
1 π, 2 0 B 0nI
.A1
1
2
B
×××××××××××
（2）半无限长螺线管端点中心处，例 A1 点
dq 2π r dr
Q π R2
dI dq 2π r dr
T 2π
dI r dr
(2) 该电流元在场点 P 处旳磁场
dB
0r 2dI
3
0r 2
r dr
3
2 r2 x2 2
2
r
2
x
2
2
(3) 分析另一环状电流元在场点 P 处旳dB 旳方向，与 dB 方向相同。
(4) 统一变量，计算成果。
0 Ix
2π b
d
dx 2x
2
Bx
dBx
0 Id
2π b
bb22
d
dx 2x
2
0I
πb
arctan b 2d
By dBy
0 I
2π b
bb22
d
xdx 2 x2
0
P
dB dB
可由电流分布具有对称性得到。
B
Bx
0I
πb
arctan b 2d
电磁学公式大全
电磁学公式大全电磁学是物理学的一个重要分支，研究电荷和电流所产生的电场和磁场以及它们之间的相互作用。
在电磁学中，有许多重要的公式，它们描述了电场、磁场、电荷、电流等物理量之间的关系。
这些公式在电磁学的理论研究和工程应用中起着至关重要的作用。
下面我们将列举一些重要的电磁学公式，以便于大家学习和参考。
1. 库仑定律。
库仑定律描述了两个电荷之间的电力作用，它的数学表达式为：F = k |q1 q2| / r^2。
其中，F为两个电荷之间的电力，k为库仑常数，q1和q2分别为两个电荷的大小，r为两个电荷之间的距离。
2. 电场强度公式。
电场强度描述了电场对单位正电荷的作用力，它的数学表达式为：E =F / q。
其中，E为电场强度，F为电场对单位正电荷的作用力，q为单位正电荷的大小。
3. 高斯定律。
高斯定律描述了电场的产生和分布，它的数学表达式为：∮E·dA = Q / ε0。
其中，∮E·dA表示电场强度在闭合曲面上的通量，Q为闭合曲面内的电荷总量，ε0为真空介电常数。
4. 毕奥-萨伐尔定律。
毕奥-萨伐尔定律描述了电流元产生的磁场，它的数学表达式为：dB = (μ0 / 4π) (I dl × r) / r^3。
其中，dB为磁场强度的变化，μ0为真空磁导率，I为电流元的大小，dl为电流元的长度，r为电流元到观察点的位矢。
5. 洛伦兹力公式。
洛伦兹力描述了电荷在电场和磁场中受到的合力，它的数学表达式为：F = q (E + v × B)。
其中，F为洛伦兹力，q为电荷的大小，E为电场强度，v为电荷的速度，B为磁感应强度。
6. 安培环路定理。
安培环路定理描述了磁场的产生和分布，它的数学表达式为：∮B·dl = μ0 I。
其中，∮B·dl表示磁感应强度在闭合回路上的环路积分，μ0为真空磁导率，I为闭合回路内的电流总量。
以上是一些电磁学中的重要公式，它们在电磁场的理论研究和工程应用中具有重要的意义。
稳恒磁场中的安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律比较
稳恒磁场中的安培环路定理与毕奥-萨伐尔定律比较简介稳恒磁场是物理学中的重要概念，描述了一个恒定且均匀的磁场空间。
在磁场中，安培环路定理和毕奥-萨伐尔定律是两个关键的物理定律，用于描述磁场中磁场线圈的环路积分。
本文将比较这两个定律的异同点，探讨它们在不同场景中的适用性和优势。
安培环路定理安培环路定理是电磁学中的基本定律之一，它描述了通过闭合路径的磁场线圈的磁场总强度。
根据安培环路定理，通过一条封闭路径的磁场总强度等于路径上的环路积分。
数学表达式如下：$$\\oint \\vec{B} \\cdot d\\vec{l} = \\mu_0i_{\\text{enc}}$$在这里，$\\vec{B}$ 是磁场密度的矢量，$d\\vec{l}$ 是路径的微元位移，$\\mu_0$ 是真空的磁导率，$i_{\\text{enc}}$ 是当前通过路径围绕的电流。
毕奥-萨伐尔定律毕奥-萨伐尔定律描述了通过任意闭合曲面的磁场总通量，通过这个曲面的磁感应强度等于曲面上的通量。
数学表达式如下：$$\\Phi_B = \\oint \\vec{B} \\cdot d\\vec{A} = 0$$在这里，$\\Phi_B$ 是磁通量，$\\vec{B}$ 是磁场密度的矢量，$d\\vec{A}$ 是曲面元。
比较1.适用性：–安培环路定理更加适用于描述磁场中的环路磁场分布，特别适合计算磁场线圈产生的磁场。
–毕奥-萨伐尔定律更适用于描述磁场中的磁通量，特别适合分析磁场的分布和变化。
2.物理意义：–安培环路定理揭示了磁场中环路的特性，强调了路径积分和电流的关系。
–毕奥-萨伐尔定律关注磁通量的总量，强调了磁场的整体性质。
3.数学表达：–安培环路定理通过路径的积分表述磁场参数与电流之间的关系。
–毕奥-萨伐尔定律通过曲面上的通量表述磁场的整体情况。
4.应用：–安培环路定理在电路设计、电磁感应、发电机等方面有着广泛应用。
–毕奥-萨伐尔定律在磁场分析、磁铁设计、磁共振成像等领域具有重要意义。
10.3-4a 毕奥萨伐尔定律及安培环路定理
R B o
I
Bo
0 I
2R
11
归纳：（1）载流圆环轴线上
B 2 x R
2
Idl
0 IR2
2 3/ 2
I
R
o
Idl
r
dB dB
（2）载流圆环环心处 Bo 2R （3）半圆圆心处：
B
0 I
dBx x P dBx ' x dB ' dB '
L
B dl 0 I
22
安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿任 意闭合曲线的线积分（也称 B的环流），等于穿过该
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界 的任意曲面的电流强度）的代数和的 0倍。即：
B dl 0 I i
0 I
4R
（4）圆的一部分（弧长l）中心处： B
练习： I I
0 I
2 R 2R
l
12
例5：求半径为 R ，总长度 L ，单位长度上的匝数为 n 的螺线管在其轴线上一点的磁场？（ P. 16 图10-19 ）
. . .. . . . . .. . . . . ..
r
A1
B
p
A2
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙⊙⊙
x
x
B
2x R
2Leabharlann 0 IR2 2 3/2
则电流元的磁场：
dB
2x r
2
0r dI
2
2 3/2
第8章 磁场的源
I4
电流I 的正负号规定： 当积分回路L与电流 构成右手关系时取正；0 ( I 2 I1 I 3 )
L
二、定理的验证 以无限长载流导线为例： （1）环路围绕电流 o I B(r ) 2 r
L I d
B
r
B dr B cos | dr | ( | dr | cos ds rd ) Brd 2 0 I 若绕行方向相反，则 B dr rd 0 2r L 0 I 2 ( | dr | cos rd ) 0 d o I 2 ( rd ) o I B dl L L o I 2 r
Idl
Idl
r
R
dB dB
o
z
x
P dBx
x
0 Idl dBx dB sin sin 2 4 r
B 0
0 Idl dBx sin 2 4 r
y Idl
R
B Bx dBx
r
x
dB dB
P dBx
注意： 这是一个矢量积分。具体计算时，先选取适 当的坐标，计算 dB 的分量式，分别积分计算各分量 的值，然后再求合磁感应强度 B 的大小和方向。
二、几种载流导线产生的磁场分布
z
1. 直线电流的磁场（已知I，r，θ1，θ2） z2 2 （p246，对比p18 例4） I 一段载流导线长度为L，电流为I，计 算离导线垂直距离为r 的场点P 的磁场。 Idl r
Idl
b c
2、磁场叠加原理 对于任一有限长的线电流，在场点P 的磁感 应强度 B ，等于线电流上各个电流元在该点的磁 感应强度 dB 的矢量和：
电磁场课件9毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理-zyw教程
0 I 0 M dl
l
移项，除去系数
B l ( 0 M ) dl I
B H -M 0
H 与I 成右螺旋关系
定义：磁场强度
A/m
则有
H dl I
l
媒质安培环路定律
一般式：
H dl I
l
磁场强度 H 沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路 所包围面积的传导电流 I 的代数和。
P
长直导线的磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为 R 的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。 解：元电流 Idl 在 P 点产生的 dB 为
dB
0 Id l e r
4π r
2
( Id l
er )
dB
2 4π( R 2 x 2 )
0 Idl sin
1820年，奥斯特发现通有 电流的导线能使附件的磁针发 生偏转，即电流的磁效应。 I
N S
同时，人们还发现： 磁铁对载流导线也有力的作用； 磁铁对运动电荷也有力的作用； 电流与电流之间也有力的相互作用。
安培对这些实验事实进行分析，提出物质磁性本质假说：
一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。
物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢 ? 近代的理论和实验都表明，物质间的磁力作用是通过 磁场传递的。即
磁通量
磁场中,通过给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。
m B d S BdS cos
s
s
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
磁通连续性原理 由于磁力线是闭合曲线，既无始端又无终端， 因此，通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量) 必为零。
安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别
安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别本文介绍安培定律和毕奥萨伐尔定律的定义、应用和区别。
下面是本店铺为大家精心编写的3篇《安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《安培定律和毕奥萨伐尔定律的区别》篇1一、引言在电磁学中，安培定律和毕奥萨伐尔定律都是描述电流和磁场之间关系的定律。
它们都可以用来求解磁场强度 B，但它们的应用场景和推导方式略有不同。
本文将介绍它们的定义、应用和区别。
二、安培定律安培定律，也称为安培定理，是由法国物理学家安培提出的。
它描述了通过一条导线的电流元产生的磁场强度与该电流元长度之比。
数学表达式为：B = μ * J / (2 * pi * r)其中，B 为磁场强度，μ为真空磁导率，J 为电流元，r 为观测点与电流元之间的距离。
安培定律适用于求解无限长导线产生的磁场强度。
在实际应用中，可以通过将导线分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线产生的磁场强度。
三、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律，也称为毕奥定律，是由丹麦物理学家毕奥萨伐尔提出的。
它描述了在静止的导线圈中，磁场强度 B 与电流 I 之间的关系。
数学表达式为：B = μ * I / (2 * pi * r)其中，B 为磁场强度，μ为真空磁导率，I 为电流，r 为观测点与导线圈之间的距离。
毕奥萨伐尔定律适用于求解静止的闭合导线圈产生的磁场强度。
在实际应用中，可以通过将导线圈分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线圈产生的磁场强度。
四、区别与联系安培定律和毕奥萨伐尔定律都是描述电流和磁场之间关系的定律，但它们的应用场景和推导方式有所不同。
安培定律适用于求解无限长导线产生的磁场强度，可以通过将导线分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线产生的磁场强度。
毕奥萨伐尔定律适用于求解静止的闭合导线圈产生的磁场强度，可以通过将导线圈分割为许多无限小的单元，计算每个单元产生的磁场强度，再求和得到整个导线圈产生的磁场强度。
磁场磁感应强度
y
I1 I2
x
O
y
dF
dFy
I1 x
I2dl
dFx y
(1,0)
(2,1) x
(2,-1)
7．半径为 a 的金属环粗细均匀，将环置于均匀的磁场 B 中，将
另一金属杆放在圆环上，如图所示。当杆以速度 v 垂直于环半 径滑至距环心 a 处时，试求：感应电流在环心处产生的磁感应
2 强度。设金属环与金属杆单位长度上的电阻为 r。
2. 磁通量 通过磁场中某一曲面的磁感应线总数
B en
dS
Φ S B dS
3. 磁场的高斯定理 穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零
S B dS 0
磁场是无源场
4. 安培环路定理
在恒定电流的磁场中，磁场感应强度 B 沿任一闭
合路径 L 的积分（ B 的环流）等于穿过该闭合曲线所
2. H 、 B 和 M 三者的关系
一般情况：
B 0 (H M)
均匀、线性的磁介质：
M mH
B 0r H H
m ：磁化率 r 1 m ：相对磁导率 0 r ：磁导率
四、铁磁质（了解）
一、电磁感应基本定律
1.电磁感应现象 当通过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中有产 生感应电流的现象。
包围曲面的电流强度的代数和乘以 0 ：
L B dr 0 Iint
磁场是有旋场
5．磁感应强度的计算（Ⅱ） ——计算对称电流的磁感应强度
解题要点： 几种常见电流的磁场（II）： 1）长直螺线管内部的磁场：
B 0nI
2）环形螺线管的磁场：
安培环路定理
第19讲 安培环路定理毕奥-萨伐尔定律的应用 毕奥 萨伐尔定律的应用 安培环路定理及其应用毕奥－萨伐尔定律毕奥—萨伐尔定律 一 毕奥 萨伐尔定律(给出了电流元在空间产生的磁场) 给出了电流元在空间产生的磁场 给出了电流元在空间产生的磁场v Idlv dBdB =µ0 Idl sin θ4π r2v dBP *v rθv IdlIv v v µ0 Idl × r dB = 3 4π rv r任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π rA. 无限长载流长直导线的磁场B=µ0I2π rI BIXBB.半无限长载流长直导线的磁场 半无限长载流长直导线的磁场 半无限长BP =µ0I4π rIor* P圆形载流导线的磁场. 例2 圆形载流导线的磁场 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 电流. 的磁感强度的方向和大小. 电流 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小v Idlrv Bv dBp *oRϕv BI 解 根据对称性分析4π r B = Bx = ∫ dB sin ϕdB =µ 0 Id l2xv IdlRrxoϕr 2 2 2 ϕ r =R +x α µ 0 I cos αdl *p x B= 4 π ∫l r 2v dBcosα = R4π r µ 0 I cos αdl dB x = 2 4π rdB =µ 0 Id l2B=B=µ0 IR4π r 2 µ0 IR2 23 0∫2π Rdl3（x + R ）2 2IR o x *v BxB=B=µ0 IR22 2 3讨 论（x + R ）2 2 v v 2）x < 0 B 的方向不变 I 和 B 成右螺旋关系） 的方向不变( 右螺旋关系 关系） ） µ 0I B = 3）x = 0 ） 2R 2 µ 0 IR µ 0 IS 4）x >> R ） B= ， B= 3 3 2x 2π x2 21）若线圈有 N 匝 ）（x + R ）2 2 2 N µ 0 IR3（1） ）I （2 ）v R B x 0 µ0I o B0 = 2RI R o+（4） ）BA =d *AR1µ0 I4π dB0 =µ0 I4R（5） ） IR2（3） I ） R o*oB0 =µ0 I8RB0 =µ0 I4 R2−µ0 I4 R1−µ0 I4π R1磁偶极矩（磁矩） 二 磁偶极矩（磁矩）v v m = IS e n圆电流磁感强度公式也可写成I Sv env mB=µ 0 IR2x32v µ0m v B= e 3 n 2π xv v µ0m B= 3 2π xv mv enI S说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距 说明：只有当圆形电流的面积 很小， 很小 圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子 磁偶极子. 圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子三. 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l 半径为R的载流密绕直螺线 例 如图所示，有一长为 , 半径为 的载流密绕直螺线 管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管放 螺线管的总匝数为 ，通有电流 在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度. 在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度Ro* p xdxx++ ++++++ +++ ++ +解 由圆形电流磁场公式B=µ 0 IR22 2 3/ 2（x + R ） 2β1βx1o pβ2x2++ + + + + + + + + + + + + +xdB =µ02B = ∫ dB =µ 0 nI2(RR In d x22+xx2 x12 3/2)∫ (R3R 2 dx2x = R cot β 2 dx = − R csc βdβ+x22 3/ 2)R + x = R csc β2 2 2 2B=−µ 0 nI2∫ββ21R csc β d β µ0 nI β 2 =− 3 3 ∫β1 sin β d β 2 R csc β d β讨 论B=µ0 nI2(cos β 2 − cos β1 )β1 = π − β 2l/2点位于管内轴线中点 （1）P点位于管内轴线中点 ） 点位于管内cos β1 = − cos β 2B = µ0 nI cos β 2 =若cos β2 =(l / 2)l2+ R2µ0 nI2(l2/4+ R2 1/ 2)l >> RB = µ 0 nI(2) 无限长的螺线管 无限长的螺线管（3）半无限长螺线管 ）半无限长螺线管B = µ 0 nI或由 β1 = π , β 2 = 0 代入π β1 = , β 2 = 0 21 B = µ 0 nI 2µ0nIxL/2B=µ0nI2(cos β2 − cos β1 )B1 µ 0 nI 2O-L/2安培环路定理一 安培环路定理 载流长直导线的磁感强度为 流长直导线的磁感强度为B=µ0IIov BR2π Rv dlv v µ0 I ∫l B ⋅ dl = ∫ 2π R dl v v µ0I ∫l B ⋅ dl = 2π R ∫l dl v v ∫ B ⋅ dl = µ0 Ill设闭合回路 l 为圆形 螺旋） 回路（ 回路（ l 与 I 成右螺旋）Iov BR若回路绕向化为逆时针时，则 回路绕向化为逆时针时，v dllv v µ0 I 2π ∫l B ⋅ d l = − 2π ∫0 dφ = −µ0 I对任意形状的回路dφv vB dlIrll与 I 成右螺旋v v µ0 I µ0 I B ⋅ dl = rdφ = dφ 2π r 2π v v B ⋅ dl = µ 0 I ∫l电流在回路之外dφv B1Ir1v ， B2 = B1 = B2 2π r1 2π r2 v v v v v µ0 I v dl B1 ⋅ dl1 = −B2 ⋅ dl2 = − dφ 2 dl1 2π r2 v v v v B1 ⋅ dl1 + B2 ⋅ dl2 = 0 l v v ∫ B ⋅d l = 0lµ0 Iµ0 I多电流情况I1I2I3v v v v B = B1 + B2 + B3 v v ∫ B ⋅ d l = µ0 ( I 2 − I 3 )ll以上结果对任意形状 以上结果对任意形状 任意 的闭合电流（ 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立. 的电流）均成立n v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i i =1安培环路定理安培环路定理n v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i i =1一闭合路径的积分的值， 一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和. 所包围的各电流的代数和 注意v 即在真空的稳恒磁场中， 即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任µ 0 乘以该闭合路径I正负的规定 电流 I 正负的规定 ：I 与 之为负 为正；反之为负.螺旋时， L 成右螺旋时，v v B⋅dl = µ0 (−I1 + I1 − I1 − I2 ) ∫LI1 I1LI2 I 3 I1= −µ0 I1 + I2） （问v 1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 外电流有关？ ） v v v 2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ，是否回路 L上各处 B = 0？ ） L 内无电流穿过？ 是否回路 L 内无电流穿过？二 安培环路定理的应用举例 例1 求长直密绕螺线管内磁场解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿 轴向, 轴向 外部磁感强度趋于零 ，即 B ≅ 0 .2 ) 选回路 电流L.M N +++ + + + ++++++ L O PNO OP PMv 磁场 B 的方向与右螺旋. I 成右螺旋v Bv v v v v v v v v v ∫ B ⋅ d l = ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l +∫ B ⋅ d ll MNB ⋅ MN = µ 0 n MN IB = µ 0 nI无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零. 为零v 解 1） 对称性分析；环内 B ） 对称性分析； v 线为同心圆，环外 B 为零. 线为同心圆， 为零例2 求载流螺绕环内的磁场v v ∫l B ⋅ d l = 2π RB = µ0 NI µ0 NI B= 2π R令 当2）选回路 . ）dRL = 2 πRB = µ0 NI L2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .例3 无限长均匀载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 ） ）Ir>R2π rB = µ0 Iv v ∫ B ⋅ d l = µ0 IlR RLr2π r 2 v v πr 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR 2 µ0r µ0 Ir 2π rB = 2 I B= 2 R 2π RB=µ0 II.v Bv dBdIv Bv B 的方向与 I 成右螺旋 µ 0 Ir B= 2 0 < r < R, 2π R µ0I r > R, B= 2π rIµ0I2π RBRo Rr例4 无限长载流圆柱面的磁场L1rRµ0 I2π RBIL2解ro R rB=0 µ0I2π rv v 0 < r < R, ∫ B ⋅ d l = 0lv v r > R, ∫ B ⋅ d l = µ 0 IlB=作业 作业：练习 作业：练习16。
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8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
r r 静电场 ∫ E ⋅ dl = 0 r r 磁 场 ∫ B⋅ dl = ?
I
l
r
r B
r µ0I B= 2πr
1、圆形积分回路 、
r r µ0 I dl ∫ B⋅ dl = ∫ 2πr µ0I µ0I = ∫ dl = 2πr ⋅ 2πr 2πr r
r r ∫ B • dl = µ0nabI
r ............... B
a
b
µ0nI 内 B= 外 0
第八章
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
恒定电流的磁场
d
c
I
8-4磁场的安培环路定理 3. 环形载流螺线管 已知： 已知：I 、N、R1、R2 N——导线总匝数 导线总匝数 分析对称性 磁力线分布如图 作积分回路如图 方向 右手螺旋
实用条件
v << c
恒定电流的磁场
毕奥—萨伐尔定律 8-3 毕奥 萨伐尔定律
r r r µ0 qv × r0 B= 4π r 2 r v v r v v 若q < 0, B与v × r反向 若q > 0, B与v r
θ
−q
恒定电流的磁场
v ⊗B
⊕
+q
θ
v v
第八章
v v
µ0 NI B = 2πr 0 内 外
. . . .. .. .. . . . . . . . . . r . . R1 . . . . R2 . .. . .. . . . . ... B
O
R 1 R2
r
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 4. 无限大载流导体薄板 已知： 已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n 单位长度导线匝数 分析对称性 磁力线如图 作积分回路如图 ab、cd与导体板等距 与导体板等距
?
不变
?
I1
l
改变
I2
I1
I3
I2
I4
l
I3
第八章
位置移动 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
静电场
r r ∫ E ⋅ dl = 0
电场有保守性， 电场有保守性，它是 保守场， 保守场，或有势场
稳恒磁场 r r ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
i
磁场没有保守性， 磁场没有保守性，它是 非保守场， 非保守场，或无势场
毕奥—萨伐尔定律 8-3 毕奥 萨伐尔定律 任意载流导线在点 P 处的磁感强度
I
α
v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
磁感应强度矢量叠加
v Idl
r dB
P
r r
第八章
恒定电流的磁场
毕奥—萨伐尔定律 8-3 毕奥 萨伐尔定律
三、运动电荷的磁场
电流 电荷定向运动 r 电流元 Idl
. . . .. . .. . .
. . . . . . . ..
. . . . . . . .
r
R1 R2 .. .. . . . . .
第八章
恒定电流的磁场
I
8-4磁场的安培环路定理 计算环流 r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B • dl = µ0 NI
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
当场源分布具有高度对称性时 当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理 高度对称性
I R
8-4磁场的安培环路定理
r 的方向判断如下： B的方向判断如下：
r
dS1
O
r r dB r
dB2
P
dB1
l
dS2
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 作积分环路并计算环流 如图
2 d π a + ∫c Bdl cos 0 + ∫d Bdl cos 2
b
a
.........
B = µ0 nI 2
c
d
板上下两侧为均匀磁场
恒定电流的磁场
第八章
8-4磁场的安培环路定理 讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n 已知： 、单位长度导线匝数
µ0I 2 R π
r B
r B
I
R
O
r
恒定电流的磁场
第八章
8-4磁场的安培环路定理 讨论：长直载流圆柱面。已知： 讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
0 Ii = ∑ µ I 0 r<R r >R
I R
µ0I B 2πR
0 B= µ0I 2πr
B = µ0 nI 2
两板外侧 0 B= µ0nI 两板之间
第八章
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗
.........
恒定电流的磁场
r ∫ B⋅ dl = µ0I
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 改变电流方向 l
I
r
r B
µ0I B= 2πr
r r ∫ B⋅ dl = −µ0I
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 2、任意积分回路 、
r r ∫ B⋅ dl = ∫ Bcos θdl
µ0 I =∫ cosθdl 2πr µ0 I rdϕ =∫ 2πr µ0 I 2π = 2π r r ∫ B• dl = µ0I
r v 1 ∫ E • dS = ∑qi
s
ε0
r v ∫ B• dS = 0
磁力线闭合、 磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
恒定电流的磁场
电力线起于正电荷、 电力线起于正电荷、 止于负电荷。 止于负电荷。 静电场是有源场
第八章
r r 二、安培环路定理的应用 ∫ B• dl = µ0 ∑Ii
计算磁感应强度 1. 无限长载流圆柱导体 已知： 已知：I、R 电流沿轴向， 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 轴对称 电流分布 磁场分布——轴对称 轴对称 磁场分布
r 利用安培环路定理求 B
r r ∫ B • dl = µ0 I
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
µ0
r>R
I R
r
r B
2πrB = µ0 I µ0 I B= 2πr
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 作积分环路并计算环流 如图
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B • dl = µ0 I′
I
r dB
b a .........
c
第八章 恒定电流的磁场
d
8-4磁场的安培环路定理 计算环流
r r b π c ∫ B • dl = ∫a Bdl cos 0 + ∫b Bdl cos
= B ⋅ ab + B ⋅ cd = 2B⋅ ab ⋅ r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B• dl = µ0n⋅ ab⋅ I
第八章
.
I
r
dϕ
v B v θ dl
cosθdl = rdϕ
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 3、回路中包含多根电流 、
I1
I3
I2
I4
r r ∫ B • dl = µ0 ∑Ii
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 4、回路不环绕电流 、
r µ0I B= 2πr
r r µ0I B ⋅ dl = cosθ1dl 1 2πr 1 r µI r B2 ⋅ dl = 0 cosθ2dl 2πr2
r B2
r2
.
r1
r B 1
dϕ
cos θ1dl = − r1dϕ
r r r B ⋅ dl + B2 ⋅ dl = 0 1
cos θ 2 dl = r2 dϕ r
第八章
r r ∫ B• dl = 0
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 安培环路定理
v 在稳恒磁场中， 在稳恒磁场中，磁感应强度 B 在闭合曲线
I πr 2 = µ0 πR2
r<R
I R
I′
r B
µ0
r
µ0 Ir B= 2 2πR 第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 结论：无限长载流圆柱导体。已知： 结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R µ0 Ir r≤R 2 R2 π B= µ0 I r≥R 2 r B π
⊕ ⊕ ⊕
⊕ q⊕ ⊕
r v
I S
dl
r r r µ0 Idl × r µ nSqdlv × r = 0 dB = 4π r3 4π r3
Q qnSl I= = = qnSv t t r r
r r r µ0 qdNv × r dB = 4π r3
第八章
dN = nSdl
r r r µ0 qv × r B= 3 4π r
v 的分布。 求B 的分布。
(1) r > R2 , B = 0
µ0 I (2) R < r < R2 , B = 1 2πr
R2
R 1
I
r I
(3) r < R , B = 0 1
第八章 恒定电流的磁场